Sáng kiến kinh nghiệm THPT: Phát triển các dạng bài toán vận dụng cao về sự tương giao của đồ thị hàm hợp có chứa dấu giá trị tuyệt đối từ bài toán cơ bản

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:44

Thêm vào BST

Báo xấu

4
lượt xem 1
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Mục đích của đề tài "Phát triển các dạng bài toán vận dụng cao về sự tương giao của đồ thị hàm hợp có chứa dấu giá trị tuyệt đối từ bài toán cơ bản" là làm nỗi bật được sự tương giao của đồ thị của hàm hợp chứa dấu giá trị tuyệt đối và đường thẳng. Từ đó, học sinh định hướng được năng lực tư duy, sáng tạo và cách tiếp cận các kỳ thi học sinh giỏi, tốt nghiệp THPT, ĐGNL, ĐGTD… Góp phần nâng cao hiệu quả dạy học môn toán ở trường THPT Nguyễn Sỹ Sách.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Sáng kiến kinh nghiệm THPT: Phát triển các dạng bài toán vận dụng cao về sự tương giao của đồ thị hàm hợp có chứa dấu giá trị tuyệt đối từ bài toán cơ bản

SỞ GD&ĐT NGHỆ AN TRƢỜNG THPT NGUYỄN SỸ SÁCH ---------------- SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ĐỀ TÀI PHÁT TRIỂN CÁC DẠNG BÀI TOÁN VẬN DỤNG CAO VỀ SỰ TƢƠNG GIAO CỦA ĐỒ THỊ HÀM HỢP CÓ CHỨA DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI TỪ BÀI TOÁN CƠ BẢN Lĩnh vực: Toán học Tác giả: Nguyễn Quang Sáng Tổ chuyên môn: Toán - Tin SĐT liên hệ: 0972579378 Năm học: 2023 – 2024
MỤC LỤC PHẦN I. ĐẶT VẤN ĐỀ ................................................................................................ 1 1. Lý do chọn đề tài ......................................................................................................... 1 2. Mục đích nghiên cứu ................................................................................................... 1 3. Nhiệm vụ nghiên cứu .................................................................................................. 1 4. Đối tượng, phạm vi nghiên cứu .................................................................................. 2 5. Phương pháp nghiên cứu ............................................................................................. 2 6. Giả thiết khoa học ....................................................................................................... 2 7. Tính mới, đóng góp của đề tài..................................................................................... 2 8. Cấu trúc đề tài ............................................................................................................. 2 PHẦN II. NỘI DUNG ................................................................................................... 3 Chƣơng 1: CƠ SỞ LÍ LUẬN VÀ CƠ SỞ THỰC TIỄN ............................................ 3 1.1. Cơ sở lí luận ............................................................................................................. 3 1.1.1. Khái niệm về hàm hợp .......................................................................................... 3 1.1.2. Khái niệm về dấu giá trị tuyệt đối của một số ...................................................... 3 1.1.2.1. Định nghĩa 1 ....................................................................................................... 3 1.1.2.2. Định nghĩa 2 ....................................................................................................... 3 1.1.2.2. Định nghĩa 3 ....................................................................................................... 3 1.1.3. Một số tính chất của trị tuyệt đối .......................................................................... 3 1.1.4. Một số dạng đồ thị hàm số có chứa dấu giá trị tuyệt đối ...................................... 4 1.1.4.1. Đồ thị hàm số y = f(|x|) ...................................................................................... 4 1.1.4.2. Đồ thị hàm số y  f ( x ) .................................................................................... 4 1.1.4.3. Đồ thị của hàm số y  f ( x ) ............................................................................ 4 1.2. Cơ sở thực tiễn ......................................................................................................... 4 1.2.1. Thực trạng dạy của giáo viên ở trường THPT Nguyễn Sỹ Sách .......................... 4 1.2.2. Thực trạng việc học của học sinh ở trường THPT Nguyễn Sỹ Sách .................... 5 1.2.3. Sự cần thiết của đề tài ........................................................................................... 5 Chƣơng 2: PHÁT TRIỂN BÀI TOÁN VẬN DỤNG CAO VỀ SỰ TƢƠNG GIAO CỦA ĐỒ THỊ HÀM HỢP CÓ CHỨA DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI TỪ BÀI TOÁN CƠ BẢN ............................................................................................................. 6 2.1. Dạng bài toán xét sự tương giao của đồ thị hàm số y  f ( u( x ) ) và đường thẳng y  g(m) ......................................................................................................................... 6 2.1.1. Bài toán cơ bản ...................................................................................................... 6 2.1.2. Phát triển bài toán.................................................................................................. 7 2.1.2.1. Dạng bài toán sử dụng phép tịnh tiến đồ thị hàm số .......................................... 7 2.1.2.2. Dạng bài toán xét sự tương giao của đồ thị hàm hợp có chứa dấu giá trị tuyệt đối và đường thẳng ........................................................................................................ 10 2.1.3. Phương pháp giải tổng quát ................................................................................ 14
2.2. Dạng bài toán xét sự tương giao của đồ thị hàm số y  f (u( x )) và đường thẳng y  g(m) ...................................................................................................................... 15 2.2.1. Bài toán cơ bản .................................................................................................... 15 2.2.2. Phát triển bài toán................................................................................................ 16 2.1.2.1. Dạng bài toán sử dụng phép tịnh tiến đồ thị hàm số ........................................ 16 2.1.2.2. Dạng bài toán xét sự tương giao của đồ thị hàm hợp có chứa dấu giá trị tuyệt đối và đường thẳng ........................................................................................................ 18 2.2.3. Phương pháp tổng quát ....................................................................................... 24 2.3. Dạng bài toán xét sự tương giao của đồ thị hàm số y  f ( u( x ) ) và đường thẳng y  a ............................................................................................................................ 24 2.3.1. Bài toán cơ bản .................................................................................................... 24 2.3.2. Phát triển bài toán................................................................................................ 26 2.3.2.1. Dạng bài toán sử dụng phép tịnh tiến đồ thị hàm số ........................................ 26 2.3.2.2. Dạng toán sự tương giao của hàm hợp có chứa dấu giá trị tuyệt đối và đường thẳng .............................................................................................................................. 28 2.3.3. Phương pháp tổng quát ....................................................................................... 31 Chƣơng 3: KHẢO SÁT SỰ CẤP THIẾT VÀ TÍNH KHẢ THI CỦA CÁC GIẢI PHÁP ĐỀ XUẤT ......................................................................................................... 32 3.1. Mục đích khảo sát .................................................................................................. 32 3.2. Nội dung và phương pháp khảo sát ........................................................................ 32 3.3. Tổng hợp các đối tượng sau khảo sát ..................................................................... 33 Chƣơng 4: THỰC NGHIỆM SƢ PHẠM .................................................................. 37 4.1. Mục đích thực nghiệm ........................................................................................... 37 4.2. Đối tượng thực nghiệm: Tại trường THPT Nguyễn Sỹ Sách, huyện Thanh Chương, Tỉnh Nghệ An tôi chọn lớp 12C1, 12C2 làm thực nghiệm. ........................... 37 4.3. Nội dung thực nghiệm: Tiến hành dạy thực nghiệm theo chủ đề “Phát triển các dạng bài toán vận dụng cao về sự tương giao của đồ thị hàm hợp có chứa dấu giá trị tuyệt đối từ bài toán cơ bản”. gồm 6 tiết tại hai lớp 12C1, 12C2. ................................ 37 4.4. Kết quả thực nghiệm .............................................................................................. 37 4.5. Bài học kinh nghiệm rút ra khi tiến hành thực nghiệm .......................................... 38 PHẦN III. KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ ................................................................. 39 1. Kết quả đạt được ....................................................................................................... 39 2. Ý nghĩa của đề tài ...................................................................................................... 39 3. Kiến nghị và đề xuất ................................................................................................. 39 TÀI LIỆU THAM KHẢO .......................................................................................... 40
DANH MỤC CÁC KÍ HIỆU, CÁC CHỮ VIẾT TẮT GV Giáo viên HS Học sinh THPT Trung học phổ thông GD-ĐT Giáo dục và đào tạo ĐGNL Đánh giá năng lực ĐGTD Đánh giá tư duy
PHẦN I. ĐẶT VẤN ĐỀ 1. Lý do chọn đề tài Trong chương trình trung học phổ thông môn toán có vai trò quan trọng. Môn toán được coi là công cụ, cung cấp các tri thức để người học có thể học tập các môn khác. Thông qua toán học, người học được hình thành, rèn luyện phát triển năng lực, tư duy, sáng tạo. Do đó, ta thấy được tầm quan trọng của việc giảng dạy môn toán ở bậc phổ thông và việc thi môn toán trong kì thi tốt nghiệp THPT, ĐGNL, ĐGTD… Những năm gần đây các kì thi tốt nghiệp THPT, ĐGNL và ĐGTD môn toán thi dưới hình thức trắc nghiệm khách quan, điền khuyết. Hình thức thi này đòi hỏi giáo viên bộ môn toán phải thường xuyên cập nhật nội dung kiến thức, thay đổi phương pháp dạy học, đổi mới kiểm tra đánh giá nhằm phù hợp với yêu cầu của bài thi, đảm bảo được suy luận và phát triển năng lực tư duy môn toán. Trong chương trình Toán học ở THPT các bài toán về hàm số chiếm một vị trí quan trọng và thường xuyên có mặt trong đề thi tốt nghiệp THPT, ĐGNL và ĐGTD. Đặc biệt các bài toán hàm hợp có chứa dấu giá trị tuyệt đối được chú trọng nhằm phát huy hết năng lực tư duy, sáng tạo của học sinh. Tiếp cận các bài toán này các em thường lúng túng trong việc mở dấu giá trị tuyệt đối và xác định dạng đồ thị, chưa biết huy động hệ thống kiến thức, chọn cách giải nhanh để giải quyết bài toán. Cũng chính điều này đã làm cho học sinh dễ nản lòng và không chịu đầu tư thời gian để suy nghĩ từ đó làm cho hiệu quả học về nội dung này chưa cao. Ngoài ra, các tài liệu tham khảo viết về chủ đề hàm hợp còn ít và chưa có tính hệ thống. Để khắc phục những hạn chế đó chúng ta cần có cách tiếp cận mới, cách hiểu mới. Từ những lý do đó tôi chọn đề tài: “Phát triển các dạng bài toán vận dụng cao về sự tương giao của đồ thị hàm hợp có chứa dấu giá trị tuyệt đối từ bài toán cơ bản”. 2. Mục đích nghiên cứu Mục đích của đề tài là làm nỗi bật được sự tương giao của đồ thị của hàm hợp chứa dấu giá trị tuyệt đối và đường thẳng. Từ đó, học sinh định hướng được năng lực tư duy, sáng tạo và cách tiếp cận các kỳ thi học sinh giỏi, tốt nghiệp THPT, ĐGNL, ĐGTD… Góp phần nâng cao hiệu quả dạy học môn toán ở trường THPT Nguyễn Sỹ Sách. 3. Nhiệm vụ nghiên cứu Làm sáng tỏ mối quan hệ giữa đồ thị, bảng biến thiên của hàm số y  f ( x) và hàm hợp có chứa dấu giá trị tuyệt đối. Phương pháp giải dạng toán liên quan đến sự tương giao của đồ thị hàm hợp có chứa dấu giá trị tuyệt đối và đường thẳng. Xây dựng hệ thống bài tập về sự tương giao của đồ thị hàm hợp có chứa dấu giá trị tuyệt đối và đường thẳng. Giúp học thành thạo, nâng cao giải bài tập dạng này và tự tin tham gia kì thi tốt nghiệp THPT. 1
4. Đối tƣợng, phạm vi nghiên cứu 4.1. Đối tượng nghiên cứu Phương pháp giải các bài toán về sự tương giao của đồ thị hàm hợp có chứa dấu giá trị tuyệt đối và đường thẳng. 4.2. Phạm vi nghiên cứu Nội dung hàm hợp có chứa dấu giá trị tuyệt đối bồi dưỡng học sinh khá giỏi ôn thi tốt nghiệp THPT ở trường THPT Nguyễn Sỹ Sách. 5. Phƣơng pháp nghiên cứu - Phương pháp nghiên cứu lý luận: Nghiên cứu sách giáo khoa, sách tham khảo, đề minh họa, đề thi THPT QG từ năm 2017 đến 2023 và các vấn đề có liên quan đến đề tài. - Phương pháp điều tra, quan sát: Dự giờ, quan sát, lập phiếu điều tra thực trạng, kiểm tra trắc nghiệm việc giải bài tập trắc nghiệm. - Phương pháp thực nghiệm sư phạm: Tổ chức thực nghiệm sư phạm đánh giá tính khả thi và hiệu quả của đề tài. 6. Giả thiết khoa học Nếu mở rộng và đào sâu cho học sinh các bài toán về sự tương giao của các đồ thị của hàm hợp có chứa dấu giá trị tuyệt đối với đường thẳng trong đề tài thì giúp học sinh phát huy khả năng tư duy, sáng tạo, tự tin tiếp cận kì thi tốt nghiệp THPT hiệu quả. 7. Tính mới, đóng góp của đề tài Phân dạng bài toán về sự tương giao của đồ thị hàm hợp có chứa dấu giá trị tuyệt đối và đường thẳng. Mở rộng và phát triển các bái toán liên quan đến sự tương giao của các đồ thị chứa dấu giá trị tuyệt đối và đường thẳng từ bài toán cơ bản. Giúp học sinh thấy được mối liên hệ giữa đồ thị hàm số y  f ( x ) và đồ thị hàm hợp có chứa dấu giá trị tuyệt đối thông qua một số bài toán. Hình thành phương pháp giải tổng quát một số bài tập cơ bản và nâng cao nhằm phát huy phẩm chất và năng lực học sinh. Đề tài là tài liệu tham khảo cho giáo viên, bồi dưỡng học sinh giỏi, ôn thi tốt nghiệp THPT, ĐGNL, ĐGTD. 8. Cấu trúc đề tài Ngoài phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo, đề tài có 4 chương: Chương 1: Cơ sở lý luận và thực tiễn. Chương 2: Phát triển bài toán vận dụng cao về sự tương giao của đồ thị hàm hợp có chứa dấu giá trị tuyệt đối từ bài toán cơ bản. Chương 3: Khảo sát sự cấp thiết và tính khả thi của các giải pháp đề xuất. Chương 4: Thực nghiệm sư phạm. 2
PHẦN II. NỘI DUNG Chƣơng 1: CƠ SỞ LÍ LUẬN VÀ CƠ SỞ THỰC TIỄN 1.1. Cơ sở lí luận 1.1.1. Khái niệm về hàm hợp Hàm hợp là một thuật ngữ trong toán học, trong đó kết quả của một hàm số được dùng làm đối số cho một hàm số khác để tạo ra một hàm thứ ba. Hàm hợp là một trường hợp đặc biệt của việc kết hợp các quan hệ, do đó, tất cả các tính chất của kết hợp các quan hệ là đúng với hàm hợp. u  g( x ) là hàm số của x , xác định trên khoảng ( a; b) và lấy giá trị trên khoảng (c; d ) ; hàm số y  f ( x ) xác định trên khoảng (c; d ) và lấy giá trị trên theo quy tắc sau: x f  g  x   . Ta gọi hàm y  f  g  x   là hàm hợp của hàm số y  f (u) với u  g( x ) . 1.1.2. Khái niệm về dấu giá trị tuyệt đối của một số 1.1.2.1. Định nghĩa 1 Giá trị tuyệt đối thực chất là một ánh xạ:  f:  x x với mỗi giá trị x  có một và chỉ một giá trị f ( x )  x   . 1.1.2.2. Định nghĩa 2  x khi x  0 Giá trị tuyệt đối của một số thực x , ký hiệu x và x   .   x khi x  0 1.1.2.2. Định nghĩa 3 Giá trị tuyệt đối của số thực x , kí hiệu x , là khoảng cách từ điểm x tới điểm O trên trục số. 1.1.3. Một số tính chất của trị tuyệt đối Với mọi a, b  ta luôn có: Tính chất 1: a  0. Tính chất 2: a  0  a  0. Tính chất 3:  a  a  a . Tính chất 4: a  a . (Dựa trên định nghĩa giá trị tuyệt đối ta thấy được các tính chất 1, 2, 3, 4). 3
1.1.4. Một số dạng đồ thị hàm số có chứa dấu giá trị tuyệt đối 1.1.4.1. Đồ thị hàm số y = f(|x|) Nhận xét: f ( x )  f (  x ) . Do đó hàm số y  f ( x ) là hàm chẵn nên đồ thị của hàm số đối xứng qua trục Oy . Cách dựng đồ thị hàm số y  f ( x ) : - Dựng đồ thị hàm số y  f ( x) đối với x  0 . - Dựng phần đồ thị bên trái trục Oy bằng cách lấy đối xứng phần đồ thị bên phải trục Oy qua Oy . 1.1.4.2. Đồ thị hàm số y  f ( x )  f ( x ) khi f ( x )  0 Nhận xét: y  f ( x )   .  f ( x ) khi f ( x )  0 Cách dựng đồ thị hàm số y  f ( x ) . - Giữ nguyên phần đồ thị y = f(x) phía trên trục Ox - Lấy đối xứng phần đồ thi y = f(x) qua trục Ox * Chú ý: Đồ thị hàm số y  f ( x )  k được xem như đồ thị hàm số y  f ( x ) tịnh tiến theo đường thẳng đứng một đoạn bằng k ( k là số thực). 1.1.4.3. Đồ thị của hàm số y  f ( x )  f ( x ) khi f ( x )  0  Nhận xét: y  f ( x )   .  f ( x ) khi f ( x )  0  Cách dựng dựng đồ thị hàm số y  f ( x ) - Dựng đồ thị hàm số y  f ( x) với x  0 - Dựng phần đồ thị bên trái đối xứng với phần bên phải qua Oy - Phần đồ thị nằm ở mặt phẳng dưới Ox nghiã là ở đấy f ( x )  0 suy ra dựng phần đồ thị đối xứng với phần đồ thị đó qua trục Ox . (hay biến đổi các phần của đồ thị nằm trong nửa mặt phẳng dưới nên nửa mặt phẳng trên đối xứng qua trục Ox ). 1.2. Cơ sở thực tiễn 1.2.1. Thực trạng dạy của giáo viên ở trƣờng THPT Nguyễn Sỹ Sách Bài tập về sự tương giao của đồ thị hàm hợp chứa dấu giá trị tuyệt đối và dường thẳng có nội dung, tư duy, suy luận tương đối trừu tượng. Phần lớn các giáo 4
viên dạy ở lớp chọn và ôn thi tốt nghiệp THPT đã quan tâm ngày một nhiều hơn. Một số giáo viên đã vận dụng phương phương dạy học sáng tạo nhưng thường dừng lại ở mức độ dễ, nhỏ lẻ, chưa phân dạng, đưa ra phương pháp giải chung và phát triển các bài toán tương tự. Đối với dạng toán liên quan sự tương giao của đồ thị hàm hợp có chứa dấu giá trị tuyệt đối giáo viên dạy lớp đại trà ít quan tâm hơn. 1.2.2. Thực trạng việc học của học sinh ở trƣờng THPT Nguyễn Sỹ Sách Đa số học sinh biết giải các bài toán xét sự tương giao của các đồ thị của hàm thường gặp. Nhưng nhiều học sinh chưa được tiếp cận hoặc đã tiếp cận tuy nhiên thấy khó, bế tắc trong việc nắm các bước biến đổi, suy luận về đồ thị hàm hợp có chứa dấu giá trị tuyệt đối. Nhiều học sinh còn lúng túng khi chọn nội dung kiến thức giải quyết vấn đề, cách giải và lời giải chưa thật sự rõ ràng. Phần sự tương giao của đồ thị hàm hợp có chứa dấu giá trị tuyệt đối học sinh còn sợ khó. Việc tìm mối liên hệ giữa đồ thị, bảng biến thiên của y  f ( x ) và hàm có chứa dấu giá trị tuyệt đối chưa thuần thục. Thực tế qua khảo sát một số thông tin năm 2022-2023 của học sinh Trường THPT Nguyễn Sỹ Sách: Đã học hoặc Chƣa tiếp cận Lớp Số lƣợng tham khảo Số lƣợng % Số lƣợng % 12C1,12C2,12C3 44 10 22,7 34 77,3 (Phỏng vấn học sinh các thông tin về việc giải bài toán về sự tương giao của hàm hợp có chứa dấu giá trị tuyệt đối và đường thẳng) Thích Sợ khó Lớp Số lƣợng Số lƣợng % Số lƣợng % 12C2,12C2,12C3 50 10 20 40 80 (Phỏng vấn học sinh về mức độ hứng thú trong việc làm bài tập về sự tương giao của các hàm hợp có chứa dấu giá trị tuyệt đối và đường thẳng ) 1.2.3. Sự cần thiết của đề tài Qua phân tích thực trạng việc học của học sinh và việc dạy của giáo viên, tôi nhận thấy đề tài cần thiết đối với giáo viên trực tiếp giảng dạy. Nhằm giới thiệu những kinh nghiệm, phương pháp phù hợp để học sinh hứng thú và tự tin tiếp cận bài toán liên quan sự tương giao của đồ thị hàm hợp có chứa dấu giá trị tuyệt đối với đường thẳng cho học sinh lớp 12, giúp các em đạt kết quả cao trong việc bồi dưỡng và ôn thi THPT Quốc gia. 5
Chƣơng 2: PHÁT TRIỂN BÀI TOÁN VẬN DỤNG CAO VỀ SỰ TƢƠNG GIAO CỦA ĐỒ THỊ HÀM HỢP CÓ CHỨA DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI TỪ BÀI TOÁN CƠ BẢN 2.1. Dạng bài toán xét sự tƣơng giao của đồ thị hàm số y  f ( u( x ) ) và đƣờng thẳng y  g(m) 2.1.1. Bài toán cơ bản Ví dụ 1.1. Cho hàm số y  f ( x ) có đồ thị như hình vẽ. Số giá trị nguyên của tham số m để đồ thị hàm số y  f ( x ) và đường thẳng y  m cắt nhau tại 4 điểm phân biệt là: A. 0 B. 1 C. 2 D. Vô số. Phân tích: Đây là bài toán xét sự tương giao của hai đồ thị hàm số, có 2 cách giải như sau: Cách 1: Sử dụng sự tương giao của hai đồ thị. Mấu chốt của bài toán là xác định dạng đồ thị y  f ( x ). Cách 2: Sử dụng tính chất giá trị tuyệt đối biện luận số nghiệm của phương trình f ( x )  m theo tham số m. Lời giải: Cách 1: Dạng đồ thị y  f ( x ) được xác định như sau: - Dựng đồ thị hàm số y  f ( x ) đối với x  0 . - Dựng phần đồ thị bên trái đối xứng với trục bên phải qua Oy . Từ đó ta xác định được bảng biến thiên của hàm số như sau: t  -b -a 0 a b  3 3   4 4 f (t ) -1 -1 -3 6
Để đồ thị hàm số y  f ( x ) và y  m cắt nhau tại 4 điểm phân biệt khi và chỉ khi đồ thị hàm số y  f ( x ) và y  m cắt nhau tại 4 điểm phân biệt khi và chỉ khi: m  1; m  . Chọn đáp án B. 3 4 Cách 2: Ta có số giao điểm của hai đồ thị hàm số y  f ( x ) và y  m bằng số nghiệm của phương trình f ( x )  m (1). Đặt t  x , t  0 phương trình tương đương với f (t )  m (2). Ta thấy mỗi nghiệm dương khác 0 của t ở (2) cho ta hai nghiệm phân biệt x , do đó phương trình (1) có 4 nghiệm phân biệt thì (2) có 2 nghiệm phân biệt. 3 f (t )  m (2) có hai nghiệm phân biệt dương khi và chỉ khi là m  1; m   . 4 Chọn đáp án B. Nhận xét: Đây là bài toán cơ bản về sự tương giao của đồ thị hàm số có chứa dấu giá trị tuyệt đối và đường thẳng. Từ bài toán trên đây ta có thể phát triển bài toán với mức độ khó hơn bằng cách sử dụng phép tịnh tiến đồ thị hàm số hoặc thay biến x bởi u ( x) như sau. 2.1.2. Phát triển bài toán 2.1.2.1. Dạng bài toán sử dụng phép tịnh tiến đồ thị hàm số Ví dụ 1.2. Cho hàm số y  f ( x ) có đồ thị như hình vẽ. Số giá trị nguyên của tham số m để đồ thị hàm số y  f ( x  m ) và đường thẳng y  m cắt nhau tại 4 điểm phân biệt là: A. 0 B. 1 C. 2 D. Vô số Phân tích: Đây là bài toán xét sự tương giao của của đồ thị hàm số và đường thẳng được phát triển từ bài toán cơ bản, Tương tự ta có 2 cách giải như sau: Cách 1: Sử dụng sự tương giao của hai đồ thị 7
- Đối với dạng toán này ta đặt t  x  m với mọi số thực t bất kì. - Đồ thị hàm số y  f ( t ) có được bằng cách tịnh tiến đồ thị y  f ( x ) theo trục Ox sang trái (sang phải) m đơn vị. Cách 2: Sử dụng tính chất của dấu giá trị tuyệt đối biện luận số nghiệm của phương trình f ( x  m )  m theo tham số m . Lời giải Cách 1: Đặt t  x  m khi đó dạng đồ thị y  f ( t ) được xác định như sau: t  -b -a 0 a b  3 3   4 4 f (t ) -1 -1 -3 Ta thấy, để đồ thị hàm số y  f ( x  m ) và y  m cắt nhau tại 4 điểm phân biệt khi và chỉ khi đồ thị hàm số y  f ( t ) và y  m cắt nhau tại 4 điểm phân biệt khi và 3 chỉ khi: m  1; m  . 4 Chọn đáp án B. Cách 2: Ta có số giao điểm của hai đồ thị hàm số y  f ( x  m ) và y  m bằng số nghiệm của phương trình f ( x  m )  m. Đặt t  x  m phương trình tương đương với f ( t )  m (1) Ta thấy mỗi nghiệm của t ở (1) cho ta duy nhất một nghiệm x , do đó phương trình có 4 nghiệm phân biệt thì(1) có 4 nghiệm phân biệt khi và chỉ khi f (t )  m (1) có hai nghiệm phân biệt dương và không có nghiệm t  0 . Điều đó có 3 nghĩa là m  1; m   . 4 Chọn đáp án B. Ví dụ 1.3. (ĐỀ THI THỬ THPT 2019) Cho hàm số y  f ( x ) có đồ thị như hình vẽ. Số giá trị nguyên của tham số m để hai đồ thị hàm số y  f ( x  1) và y  m cắt nhau tại 4 điểm phân biệt là: 8
A. 2 B. 1 C. 3 D. 4 Phân tích: - Đây là bài toán xét sự tương giao của hai đồ thị được phát triển từ bài toán cơ bản. - Mấu chốt của bài toán là xác định đồ thị y  f ( x  1). - Chú ý: Đồ thị hàm số y  f ( x  a)(a  0) xác định bằng cách tịnh tiến thị hàm số y  f ( x ) sang phải a đơn vị. - Tương tự bài toán cơ bản 2 cách giải, tuy nhiên chọn cách 1 nhanh, hiệu quả: Lời giải Đặt g( x )  f ( x  1) , đồ thị hàm số y  g( x ) được xác định bằng cách tịnh tiến đồ thị hàm số y  f ( x ) sang phải 1 đơn vị. Rõ ràng g( x )  f ( x  1) , do đó đồ thị hàm số y  f ( x  1) , được xác định bằng cách giữ nguyên phần bên phải trục tung của đồ thị hàm số y  g( x ) và lấy đối xứng qua trục tung của phần đồ thị (như hình vẽ). Từ đồ thị ta thấy, đồ thị hàm số y  f ( x  1) và đường thẳng y  m cắt nhau tại 4 điểm phân biệt khi 3  m  1. Vậy có 3 giá trị nguyên của m là m  2; m  1; m  0 Chọn đáp án C. 9
Nhận xét: Từ bài toán cơ bản ta phát triển bằng cách sử dụng phép tịnh tiến đồ thị đã cho sang bên trái, sang bên phải, lên phía trên hoặc tính tiến xuống dưới. Ngoài ra, mở rộng và phát triển một lớp bài toán bằng cách thay x bởi hàm số lượng giác sin x, cos x,tan x,cot x như sau: 2.1.2.2. Dạng bài toán xét sự tương giao của đồ thị hàm hợp có chứa dấu giá trị tuyệt đối và đường thẳng Ví dụ 1.4. (ĐỀ THI THỬ THPT 2019) Cho hàm số y  f ( x ) liên tục trên và có đồ thị như hình vẽ. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương m trình f (2 sin x )  f ( ) có đúng 12 nghiệm thuộc đoạn [   ;2 ] là: 2 A. 2 B. 3 C.4 D. 5 Phân tích: Đây là bài toán liên quan đến xét sự tương giao của hai đồ thi được phát triển từ bài toán cơ bản. Cách giải tương tự như bài toán cơ bản. Mấu chốt của bài toán: + Tìm điều kiện của hàm t  g( x )  2 sin x . + Tìm mối liên hệ giữa giữa t và nghiệm x . Lời giải Đặt t  g( x )  2 sin x , ta có g '( x )  2( sin 2 x )'  2. s inx.cosx  2. s inx.cos x sin x 2 sin x Trên [   ;2 ] , g( x ) liên tục. g( x )'  0  cosx=0  x    ;  ; 3  .    2 2 2  g( x ) không có đạo hàm tại điểm sinx  0  x   ;0; ;2  . Ta có bảng biến thiên: 10
Nhìn vào bảng biến thiên, ta thấy: + Mỗi nghiệm t  2 tạo ra 3 nghiệm x    ;2 . + Mỗi nghiệm t  0 tạo ra 4 nghiệm x    ;2 . + Mỗi nghiệm t  (0;2) tạo ra 6 nghiệm x    ;2 . m m  f (2 sin x )  f ( )(1)  f (t )  f ( )(2). 2 2 Ta có phương trình (2) có tối đa 2 nghiệm t nên phương trình (1) có đúng 12 nghiệm x    ;2  thì phương trình (2) phải có đúng 2 nghiệm t  (0;2). 27 Với t  (0;2)  f (t )  ( ;0). 16 m 27 m 27 m 3 Hiển nhiên f ( )   , t  (0;2). f ( )      m  3. 2 16 2 16 2 2 m m f ( )  0  0   2  0  m  4. 2 2 Do m   m  1;2 . Chọn đáp án A. Ví dụ 1.5. (Chuyên Vinh – 2022) Cho hàm số đa thức bậc bốn y  f ( x) có đồ thị như hình vẽ bên. Có bao nhiêu số nguyên a để phương trình f  x 2  4 x  3  a có không ít hơn 10 nghiệm thực phân biệt? A. 4. B. 6. C. 2. D. 8. Phân tích: Đây là bài toán liên quan đến xét sự tương giao của hai đồ thi được phát triển từ bài toán cơ bản. Cách giải tương tự như bài toán cơ bản. Mấu chốt của bài toán: + Tìm điều kiện của hàm t  x 2  4 x  3 + Tìm mối liên hệ giữa giữa t và nghiệm x . 11
Lời giải: Đặt t  x 2  4 x  3; x2  4x  x 2  4 x  0  x  0; 4 Ta có t( x)   (2 x  4); t ( x)  0    . x2  4x 2 x  4  0 x  2 Bảng biến thiên: Nhận thấy: - Với t  3 thì vô nghiệm x . - Với t  3 thì có 2 nghiệm x . - Vói t  (3;1) thì có 4 nghiệm x . - Với t  1 thì có 3 nghiệm x . - Với t  1 thì có 2 nghiệm x . Khi đó ta có phương trình f (t )  a (1). Từ đồ thị hàm số f ( x) ta có + Nếu a  2 thì (1) có 2 nghiệm phân biệt t  1 hoặc vô nghiệm  Phương trình đã cho có số nghiệm không lớn hơn 4. + Nếu a  2 thì (1) có 3 nghiệm phân biệt trong đó 1 nghiệm t  (3;0) và có 2 nghiệm. t  1 .  Phương trình đã cho có 8 nghiệm.  Nếu a  (2;0) thì (1) có 4 nghiệm phân biệt trong đó có 2 nghiệm t  (3;1) và 2 nghiệm t  1  Phương trình đã cho có 12 nghiệm phân biệt. + Nếu a  0 thì (1) có 4 nghiệm phân biệt trong đó có 1 nghiệm t  (3;1) và 1 nghiệm t  1 và nghiệm t  1; t  3  Phương trình đã cho có 11 nghiệm phân biệt. 12
+ Nếu a  (0; 2] thì (1) có 4 nghiệm phân biệt trong đó có 2 nghiệm t  (3;1) và một nghiệm t  3 và một nghiệm t  1  Phương trình đã cho có 10 nghiệm phân biệt. a  2  Nếu  thì (1) có 2 nghiệm phân biệt trong đó 1 nghiệm t  3 và 1 a  nghiệm t  1  Phương trình đã cho có 2 nghiệm phân biệt. Vậy với 2  a  2 thì phương trình đã cho có không it hơn 10 nghiệm thực phân biệt, do đó có 4 số nguyên a cần tìm. Nhận xét: Việc mở rộng và phát triển bài toán còn có thể thay x bởi hàm số chứa căn thức, đa thức, hàm số mũ,… Bài tập tương tự: Bài 1: Cho hàm số y  f ( x ) liên tục trên có đồ thị như hình vẽ bên dưới. Tìm m để phương trình f ( x 2  2 x )  m có đúng 6 nghiệm thực phân biệt thuộc đoạn  3 ; 7     2 2 A. 2  m  3; f (4)  m  5 B. 2  m  3; f (4)  m  5 C. 2  m  3; f (4)  m  5 D. 2  m  3; f (4)  m  5 Bài 2: Cho hàm số f  x  là hàm số đa thức bậc bốn. Biết f  0   0 và đồ thị hàm số y  f   x  có hình vẽ bên dưới. 13
Tập nghiệm của phương trình f  2sin x  1  1  m (với m là tham số) trên đoạn 0;3  có tất cả bao nhiêu phần tử? A. 8 . B. 20 . C. 12 . D. 16 . Bài 3: (Sở Hà Nam - 2019) Cho hàm số f  x   x 2  4 x  3 . Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình f 2  x    m  6  f  x   m  5  0 có 6 nghiệm thực phân biệt? A. 1. B. 2 . C. 4 . D. 3 . Bài 4: Cho hàm số bậc ba y  f ( x ) có đồ thị như hình vẽ. Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để phương trình f (e x )  m có ba nghiệm phân biệt? A. 1. B. 2. C. 3. D. Vô số. 2.1.3. Phƣơng pháp giải tổng quát Bài toán: Xét sự tương giao của hai đồ thị y  f ( u( x ) ) và y  g(m) . Phương pháp: Bước 1: Đặt t  u( x ) (điều kiện nếu có).  f (t ) khi t  0 Nhận xét y  f ( t )   .  f (t ) khi t  0 Dựa vào đồ thị (bảng biến thiên) của hàm số y  f ( x ) xác định được dạng đồ thị hàm số y  f ( t ). Bước 2: Tìm sự tương giao của 2 đồ thị hàm số y  f ( t ) và y  g( m). Bước 3: Kết luận yêu cầu của bài toán. 14
2.2. Dạng bài toán xét sự tƣơng giao của đồ thị hàm số y  f (u( x )) và đƣờng thẳng y  g(m) 2.2.1. Bài toán cơ bản Ví dụ 2.1. Cho đồ thị hàm số y=f(x) như hình vẽ. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để đồ thị hàm số y  f ( x ) cắt đường thẳng y  m tại 6 điểm phân biệt. A. 0. B. 1. C. 2. D. 3. Phân tích: Đây là bài toán cơ bản xét sự tương giao của hai đồ thị. Cách 1: Xác định sự tương giao của đồ thị đồ thị hàm số y  f ( x ) và đường thẳng y  m. Cách 2: Sử dụng tính chất của dấu giá trị tuyệt đối biện luận số nghiệm của phương trình f ( x )  m. Lời giải Cách 1: Xác định đồ thị của hàm số y  f ( x ) - Từ đồ thị hàm số y = f(x) giữ nguyên phần đồ thị có f ( x )  0 . - Lấy đối xứng phần đồ thị có f ( x )  0 qua trục Ox . Từ cách dựng đồ thị trên ta có bảng biến thiên của hàm số y  f ( x ) x  a -1 b 1 c    y 2 2 0 0 0 15
Từ bảng biến thiên ta thấy đồ thị hàm số y  f ( x ) cắt đường thẳng y  m tại 6 điểm phân biệt khi và chỉ khi 0  m  2. m   m  1. Chọn đáp án B. Cách 2: Để đồ thị hàm số y  f ( x ) cắt đường thẳng y  m tại 6 điểm phân biệt khi và chỉ khi phương trình f ( x )  m có 6 nghiệm phân biệt.  f ( x )  m (1) f ( x)  m   (m  0).  f ( x )  m (2) Từ đồ thị hàm số y=f(x) ta thấy phương trình: (1) có nhiều nhất 3 nghiệm khi 0  m  2. (2) có nhiều nhất 3 nghiệm khi 2  m  0 hay 0  m  2. Vậy 0  m  2 thì phương trình f ( x )  m có 6 nghiệm. Do m nguyên nên m  1 . Chọn đáp án B. Nhận xét: Trên đây là bài toán cơ bản xét sự tương giao của hai đồ thị chứa dấu giá trị tuyệt đối. Tương tự 2.1 để mở rộng và phát triển bài toán như sau: 2.2.2. Phát triển bài toán 2.1.2.1. Dạng bài toán sử dụng phép tịnh tiến đồ thị hàm số Ví dụ 2.2. (Đề thi thử thpt 2019) Cho hàm số y  f ( x ) có bảng biến thiên như hình vẽ dưới đây: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình f ( x  2017)  2018  m có 4 nghiệm phân biệt. A. 4034. B. 4035. C. 4036. D. 4037. Phân tích: - Đây là bài toán tìm số nghiệm của phương trình, để giải quyết bài toán này ta đưa về xét sự tương giao của đồ thị hàm số và đường thẳng. 16