Sáng kiến kinh nghiệm THPT: Phát triển năng lực chuyển đổi ngôn ngữ toán học thông qua các bài toán số phức

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:45

Thêm vào BST

Báo xấu

11
lượt xem 5
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Mục đích nghiên cứu sáng kiến "Phát triển năng lực chuyển đổi ngôn ngữ toán học thông qua các bài toán số phức" nhằm giúp học sinh biết sử dụng ngôn ngữ toán học để giải quyết chuyển đổi các bài toán số phức sang bài toán hình học tọa độ hay đại số hoặc sử dụng máy tính cầm tay để giải bài toán một cách đơn giản hơn. Từng bước tạo ra niềm đam mê và xóa bỏ dần tâm lý e ngại của các em học sinh khi gặp các bài toán cực trị số phức.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Sáng kiến kinh nghiệm THPT: Phát triển năng lực chuyển đổi ngôn ngữ toán học thông qua các bài toán số phức

SỞ GD & ĐT NGHỆ AN TRƯỜNG THPT NGHI LỘC 4 --    -- SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM Đề tài: PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC CHUYỂN ĐỔI NGÔN NGỮ TOÁN HỌC THÔNG QUA CÁC BÀI TOÁN SỐ PHỨC MÔN: TOÁN Tên tác giả: Phạm Hoàng Quyền Lê Thị Thu Hương Nguyễn Ngọc Hoàng Tổ bộ môn: Toán - Tin Năm : 2023 Điện Thoại: 0919.548.996 1
MỤC LỤC Nội dung Trang Phần I. ĐẶT VẤN ĐỀ 3 I. Lý do chọn đề tài 3 II. Mục đích, phương pháp nghiên cứu, đối tượng nghiên cứu và 4 tính mới của đề tài 1. Mục đích nghiên cứu 4 2. Phương pháp nghiên cứu 4 3. Đối tượng nghiên cứu 4 4. Tính mới của đề tài 4 Phần II. NỘI DUNG NGHIÊN CỨU 5 I. Cơ sở khoa học 5 1. Cơ sở lý luận 5 1.1. Khái niệm về năng lực 5 1.2. Năng lực toán học là gì? 5 1.3. Năng lực giao tiếp toán học 7 2. Cơ sở thực tiễn 8 II. Phát triển năng lực ngôn ngữ toán học cho học sinh thông qua 9 chuyển đổi một số bài toán số phức 1. Chuyển đổi bài toán cực trị số phức sang bài toán cực trị Oxy 9 2. Chuyển đổi bài toán cực trị số phức sang bài toán cực trị đại số 19 3. Chuyển đổi bài toán cực trị số phức sang sử dụng máy tính cầm 26 tay III. Thực nghiệm sư phạm 34 1. Mục đích thực nghiệm 34 2. Nội dung thực nghiệm 34 3. Tổ chức thực nghiệm 34 4. Đánh giá kết quả thực nghiệm 36 Phần III. KẾT LUẬN 36 1
1. Quá trình thực hiện 36 2. Ý nghĩa của đề tài 37 3. Kiến nghị, đề xuất 37 4. Kết luận khoa học 37 2
Phần I. ĐẶT VẤN ĐỀ I. Lý do chọn đề tài Trong dạy học Toán, có những vấn đề trong trạng thái ban đầu, người học khó phát hiện ra giải pháp giải quyết vấn đề. Chuyển đổi ngôn ngữ là một trong những định hướng giúp người học tìm giải pháp giải quyết vấn đề. Tuy nhiên, việc hiểu ngôn ngữ diễn đạt và lựa chọn ngôn ngữ để diễn đạt lại bài toán với người học là một trở ngại trong quá trình giải toán. Chương trình tổng thể ban hành theo Thông tư 32/2018/TT-BGDĐT ngày 26/12/2018 nêu rõ “Giáo dục toán học hình thành và phát triển cho học sinh những phẩm chất chủ yếu, năng lực chung và năng lực toán học với các thành tố cốt lõi: năng lực tư duy và lập luận toán học, năng lực mô hình học toán học, năng lực giải quyết vấn đề toán học, năng lực giao tiếp toán học, năng lực sử dụng các công cụ và phương tiện học toán; phát triển kiến thức, kĩ năng then chốt và tạo cơ hội để học sinh được trải nghiệm, áp dụng toán học vào đời sống thực tiễn, giáo dục toán học tạo dựng sự kết nối giữa các ý tưởng toán học, giữa toán học với các môn học khác và giữa toán học với đời sống thực tiễn”. Bộ Giáo dục và Đào tạo đang tiến hành đổi mới đồng bộ phương pháp dạy học và kiểm tra, đánh giá kết quả giáo dục theo định hướng phát triển năng lực người học. Đặc biệt là phát triển năng lực toán học, trong đó có năng lực “ngôn ngữ toán học” là một tiêu chí của năng lực giao tiếp toán học. Việc rèn luyện cho người học biết một số hình thức chuyển đổi ngôn ngữ diễn đạt bài toán sẽ giúp họ tìm tòi, phát hiện những kiến thức mới liên quan đến chủ đề trong những tình huống học tập; làm tăng khả năng liên tưởng, nhìn nhận vấn đề dưới nhiều góc độ. Việc sử dụng các loại ngôn ngữ khác nhau trong tổ chức dạy học các kiến thức Toán học không chỉ giúp rèn luyện cho người học năng lực diễn đạt mà còn khai thác tiềm năng phong phú của các phương pháp toán học ở mỗi loại ngôn ngữ. Hoạt động này bồi dưỡng cho người học năng lực phát hiện giải pháp giải quyết vấn đề. Đặc biệt, nội dung số phức trong chương trình Toán THPT là một nội dung quan trọng, có mặt trong kì thi tốt nghiệp THPT. Việc giải các bài toán cực trị số phức là một bài toán khó đối với học sinh. Vì vậy, người giáo viên có vai trò quan trọng trong việc định hướng cho học sinh cách giải quyết vấn đề khi gặp các dạng toán này, giúp học sinh thoát khỏi tâm lí “sợ” và tạo hứng thú học tập cho các em. Vì những lí do trên chúng tôi chọn đề tài: “Phát triển năng lực chuyển đổi ngôn ngữ toán học thông qua các bài toán số phức”. 3
II. Mục đích, phương pháp nghiên cứu, đối tượng nghiên cứu và tính mới của đề tài 1. Mục đích nghiên cứu - Phát triển năng lực ngôn ngữ toán học, năng lực giao tiếp toán học cho học sinh. - Giúp học sinh biết sử dụng ngôn ngữ toán học để giải quyết chuyển đổi các bài toán số phức sang bài toán hình học tọa độ hay đại số hoặc sử dụng máy tính cầm tay để giải bài toán một cách đơn giản hơn. - Từng bước tạo ra niềm đam mê và xóa bỏ dần tâm lý e ngại của các em học sinh khi gặp các bài toán cực trị số phức. 2. Phương pháp nghiên cứu - Nghiên cứu lý luận: Tìm hiểu, nghiên cứu các tài liệu về các vấn đề liên quan đến đề tài sáng kiến kinh nghiệm. - Điều tra quan sát: Thực trạng về khả năng sử dụng ngôn ngữ toán học của học sinh trung học phổ thông. - Thực nghiệm sư phạm: Tổ chức thực nghiệm sư phạm để xem xét tính khả thi và hiệu quả của các biện pháp sư phạm đã đề xuất. 3. Đối tượng nghiên cứu - Sách giáo khoa Toán lớp 12, sách giáo viên. - Một số bài toán cực trị số phức trong các đề thi thử và đề thi tốt nghiệp trung học phổ thông. 4. Tính mới của đề tài - Góp phần thực hiện thành công đổi mới chương trình phổ thông 2018 về phát triển năng lực giao tiếp toán học cho học sinh, đặc biệt là năng lực “ngôn ngữ toán học”. - Học sinh giải quyết được một số bài toán về cực trị số phức. - Sáng kiến có thể được sử dụng làm tài liệu tham khảo cho giáo viên Toán nhằm góp phần nâng cao hiệu quả dạy học môn Toán ở trường trung học phổ thông. 4
Phần II. NỘI DUNG NGHIÊN CỨU I. Cơ sở khoa học 1. Cơ sở lý luận 1.1. Khái niệm năng lực Năng lực là thuộc tính cá nhân được hình thành, phát triển nhờ vào các tố chất và quá trình học tập, rèn luyện, cho phép con người huy động tổng hợp các kinh nghiệm, kĩ năng và các thuộc tính cá nhân khác như hứng thú, niềm tin, ý chí, ... thực hiện đạt kết quả các hoạt động trong những điều kiện cụ thể. Chương trình giáo dục phổ thông 2018 đã xác định mục tiêu hình thành và phát triển cho học sinh các năng lực cốt lõi bao gồm các năng lực chung và các năng lực đặc thù. Năng lực chung là những năng lực cơ bản, thiết yếu hoặc cốt lõi, làm nền tảng cho mọi hoạt động của con người trong cuộc sống và lao động nghề nghiệp. Năng lực đặc thù là những năng lực được hình thành và phát triển trên cơ sở các năng lực chung theo định hướng chuyên sâu, riêng biệt trong các loại hình hoạt động, công việc hoặc tình huống, môi trường đặc thù, cần thiết cho những hoạt động chuyên biệt, đáp ứng yêu cầu của một hoạt động như toán học, âm nhạc, mĩ thuật, thể thao... - Các năng lực chung được hình thành, phát triển thông qua các môn học và hoạt động giáo dục: năng lực tự chủ và tự học, năng lực giao tiếp và hợp tác, năng lực giải quyết vấn đề và sáng tạo; - Các năng lực đặc thù được hình thành, phát triển chủ yếu thông qua một số môn học và hoạt động giáo dục nhất định: năng lực ngôn ngữ, năng lực tính toán, năng lực khoa học, năng lực công nghệ, năng lực tin học, năng lực thẩm mĩ và năng lực thể chất. 1.2. Năng lực toán học là gì? Năng lực Toán học được đánh giá trên hai phương diện: Năng lực nghiên cứu toán học và năng lực học tập toán học. Như vậy, năng lực toán học là các đặc điểm tâm lí cá nhân đáp ứng được các yêu cầu của hoạt động toán và tạo điều kiện lĩnh hội các kiến thức, kĩ năng, kĩ xảo trong lĩnh vực toán học tương đối nhanh, dễ dàng, sâu sắc trong những điều kiện ngang nhau. Năng lực toán học bao gồm các thành tố: năng lực tư duy và lập luận toán học; năng lực mô hình hoá toán học; năng lực giải quyết vấn đề toán học; năng lực giao tiếp toán học; năng lực sử dụng công cụ, phương tiện học toán. Mỗi một thành tố của năng lực toán học cần được biểu hiện cụ thể bằng các tiêu chí, chỉ báo. Điều này có độ phức tạp cao và được minh hoạ trong bảng dưới đây: 5
Các thành tố của năng Các tiêu chí, chỉ báo lực toán học - So sánh; phân tích; tổng hợp; đặc biệt hoá, khái quát hoá; tương tự; quy nạp; diễn dịch. Năng lực tư duy và - Chỉ ra được chứng cứ, lí lẽ và biết lập luận hợp lí trước lập luận toán học khi kết luận. - Giải thích hoặc điều chỉnh cách thức giải quyết vấn đề về phương diện toán học. - Sử dụng các mô hình toán học (gồm công thức, phương trình, bảng biểu, đồ thị,...) để mô tả các tình huống đặt ra trong các bài toán thực tế. Năng lực mô hình hoá toán học - Giải quyết các vấn đề toán học trong mô hình được thiết lập. - Thể hiện và đánh giá lời giải trong ngữ cảnh thực tế và cải tiến mô hình nếu cách giải quyết không phù hợp. - Nhận biết, phát hiện được vấn đề cần giải quyết bằng toán học. - Đề xuất, lựa chọn được cách thức, giải pháp giải quyết vấn đề. Năng lực giải quyết vấn đề toán học - Sử dụng được các kiến thức, kĩ năng toán học tương thích (bao gồm các công cụ và thuật toán) để giải quyết vấn đề đặt ra. - Đánh giá giải pháp đề ra và khái quát hoá cho vấn đề tương tự. - Nghe hiểu, đọc hiểu và ghi chép được các thông tin toán học cần thiết được trình bày dưới dạng văn bản toán học hay do người khác nói hoặc viết ra. - Trình bày, diễn đạt (nói hoặc viết) được các nội dung, Năng lực giao tiếp ý tưởng, giải pháp toán học trong sự tương tác với người toán học khác (với yêu cầu thích hợp về sự đầy đủ, chính xác). - Sử dụng hiệu quả ngôn ngữ toán học (chữ số, chữ cái, kí hiệu, biểu đồ, đồ thị, các liên kết logic,...) kết hợp với ngôn ngữ thông thường hoặc động tác hình thể khi trình bày, giải thích và đánh giá các ý tưởng toán học 6
trong sự tương tác (thảo luận, tranh luận) với người khác. - Biết tên gọi, tác dụng, quy cách sử dụng, cách thức bảo quản các đồ dùng, phương tiện trực quan thông thường, phương tiện khoa học công nghệ (đặc biệt là phương tiện sử dụng công nghệ thông tin) phục vụ cho việc học toán. Năng lực sử dụng - Sử dụng thành thạo và linh hoạt các công cụ và phương công cụ, phương tiện tiện học toán, đặc biệt là phương tiện khoa học công học toán nghệ để tìm tòi, khám phá và giải quyết vấn đề toán học (phù hợp với đặc điểm nhận thức lứa tuổi). - Chỉ ra được các ưu điểm, hạn chế của những công cụ, phương tiện hỗ trợ để có cách sử dụng hợp lí. 1.3. Năng lực giao tiếp toán học 1.3.1. Năng lực giao tiếp: Năng lực giao tiếp là khả năng trình bày, diễn đạt những suy nghĩ, quan điểm, nhu cầu, mong muốn, cảm xúc của bản thân dưới hình thức nói, viết hoặc sử dụng ngôn ngữ cơ thể một cách phù hợp với đối tượng giao tiếp, hoàn cảnh giao tiếp và văn hóa; đồng thời đọc hiểu, biết lắng nghe và tôn trọng ý kiến của người khác ngay cả khi bất đồng quan điểm. 1.3.2. Năng lực giao tiếp toán học: Năng lực giao tiếp toán học là khả năng sử dụng số, ký hiệu, hình ảnh, biểu đồ, sơ đồ, từ ngữ để hiểu và tiếp nhận đúng các thông tin hay trình bày, diễn đạt ý tưởng, giải pháp, nội dung toán học và sự hiểu biết của bản thân bằng lời nói, bằng ánh mắt, cử chỉ, điệu bộ và bằng văn bản phù hợp với đối tượng giao tiếp. Đồng thời thể hiện được sự tự tin khi trình bày, diễn đạt, trao đổi, thảo luận các nội dung, ý tưởng toán học. + Giao tiếp toán học là phương thức cơ bản và cần thiết trong giờ học toán. Thông qua giao tiếp toán học, người học sẽ tiếp thu, lĩnh hội những tri thức, kinh nghiệm từ sách giáo khoa, từ thầy, cô giáo và bạn bè để hình thành kiến thức cho bản thân mình. + Giao tiếp toán học có thể thúc đẩy những hứng thú nhận thức khác nhau, tìm hiểu những kiến thức chưa biết và chia sẻ những cái đã biết với người khác. Điều này có thể làm đòn bẩy để dẫn đến sự đào tạo. + Thông qua giao tiếp, các em có thể nhận thức người khác và nhận thức chính mình. Đối chiếu sự hiểu biết của bản thân đối với kiến thức từ thầy cô và trao đổi, so sánh với bạn, từ đó các em sẽ tự đánh giá được bản thân. + Thông qua giao tiếp toán học còn giúp học sinh củng cố, tăng cường kiến thức và hiểu biết sâu về toán hơn. Chẳng hạn, qua những cuộc tranh luận với bạn, thậm chí là với thầy cô sẽ giúp các em nhận ra những thiếu sót trong bài 7
giải của mình, từ đó có thể chỉnh sửa, hoàn thiện và trình bày bài toán một cách khoa học hơn. + Giao tiếp toán học cũng giúp các em cởi mở và tự tin hơn về sự hiểu biết của bản thân đối với các vấn đề toán học, tạo nên một môi trường học tập thoải mái và thân thiện. Thông qua các cuộc thảo luận về toán học, học sinh có thể làm rõ và mở rộng các ý tưởng và sự hiểu biết của mình về môn toán. + Ngoài ra, giao tiếp toán học còn giúp giáo viên hiểu rõ hơn về năng lực học tập của học sinh, trình độ cũng như những quan điểm và hạn chế của học sinh trong học tập toán, từ đó quyết định được phương pháp và nội dung giảng dạy phù hợp với đối tượng học sinh. Giáo viên có thể kích thích sự phát triển của học sinh về kiến thức toán học thông qua những cách mà họ phát biểu ý kiến và trả lời các câu hỏi. 1.3.3. Năng lực ngôn ngữ toán học: Năng lực ngôn ngữ toán học bao gồm các kí hiệu toán học; thuật ngữ toán học; mô hình trực quan (hình ảnh, hình vẽ, sơ đồ, biểu bảng, …) biểu thị các nội dung toán học; các từ, cụm từ của ngôn ngữ toán học được kết hợp theo các nguyên tắc nào đó để biểu đạt chính xác nội dung toán học. Ngôn ngữ toán học được thể hiện bằng ngôn ngữ kí hiệu; được trình bày dưới dạng ngôn ngữ viết; ngôn ngữ toán học trong giao tiếp được biểu đạt bằng lời nói; ngôn ngữ toán học có tính đơn trị, chặt chẽ và chính xác; ngôn ngữ toán học có dùng đến ngôn ngữ biến và mang tính quốc tế. 2. Cơ sở thực tiễn: Khi thực hiện chương trình giáo dục phổ thông 2018 giáo viên đã có nhận thức về tầm quan trọng và ý nghĩa của việc cần phát triển năng lực ngôn ngữ toán học cho học sinh trong đó có năng lực ngôn ngữ toán học. Tuy nhiên, đa số giáo viên chưa chú ý phát triển phẩm chất năng lực ngôn ngữ toán học cho học sinh. Vấn đề phát triển cho học sinh những kỹ năng chủ yếu, cơ bản của năng lực ngôn ngữ toán học đã được quan tâm giáo dục trong các giờ học. Ở mức độ nổi trội hơn là các kỹ năng nghe hiểu, đọc hiểu hay thể hiện sự tự tin đã đạt được kết quả nhất định, tuy nhiên vẫn còn những hạn chế cần phải tiếp tục phát triển, hoàn thiện. Những tồn tại trong kết quả thực hiện này cũng dễ giải thích bởi nó bị ảnh hưởng, tác động trực tiếp của hoàn cảnh, môi trường và ngay cả bản thân các đối tượng giao tiếp. Để khắc phục những tồn tại này, để vươn tới thực hiện có kết quả cao hơn, đòi hỏi những người làm công tác giáo dục phải có những biện pháp hiệu quả để phát triển năng lực ngôn ngữ toán học cho học sinh. Tuy nhiên, việc phát triển năng lực ngôn ngữ toán học cho học sinh bắt đầu được quan tâm khi Chương trình giáo dục phổ thông môn Toán mới ban hành của bộ giáo dục năm 2018, đưa năng lực giao tiếp toán học trong đó có năng lực ngôn 8
ngữ toán học trở thành một trong những yêu cầu cần đạt được đối với giáo dục phổ thông, bởi vậy nên còn nhiều giáo viên chưa hiểu rõ và gặp nhiều khó khăn khi dạy học phát triển năng lực ngôn ngữ toán học cho học sinh. Đặc biệt là khi dạy ông thi tốt nghiệp trung học phổ thông, các bài toán cự trị số phức là một bài toán khó đối với đa số học sinh, việc chuyển đổi ngôn ngữ bài toán cực trị số phức sang ngôn ngữ bài toán cực trị hình học hay cực trị đại số quen thuộc mà các em đã từng gặp, từng giải là một vấn đề rất cần thiết trong vai trò tổ chức, hướng dẫn của người giáo viên. Vì vậy, chúng tôi chọn đề tài phát triển năng lực ngôn ngữ toán học cho học sinh học trong dạy học giải toán thông qua chuyển đổi ngôn ngữ bài toán cực trị số phức sang ngôn ngữ bài toán cực trị hình học Oxy, ngôn ngữ cực trị đại số và máy tính cầm tay góp phần giải quyết được một số khó khăn của học sinh khi gặp những dạng toán này. II. Phát triển năng lực ngôn ngữ toán học cho học sinh thông qua chuyển đổi một số bài toán số phức 1. Chuyển đổi bài toán cực trị số phức sang bài toán cực trị Oxy: 1.1. Dạng 1: Cho số phức z hoặc biểu thức chứa số phức z . Tìm Max, Min của z 1.1.1. Bài toán 1. Cho số phức z thoả mãn z  2  2i  1 . Tìm giá trị nhỏ nhất, lớn nhất của z Phân tích: Đặt z  x  yi có điểm biểu diễn là M  x ; y  trên mặt phẳng tọa độ  Oxy  , ta có: z  2  2i  1  ( x  2)2  ( y  2)2  1 . Suy ra, M thuộc đường tròn tâm I  2; 2  , bán kính bằng 1. Mà z  OM . Bài toán chuyển sang ngôn ngữ hình học sẽ như thế nào ? Chuyển bài toán sang ngôn ngữ hình học Oxy: Trong  Oxy  , cho đường tròn tâm I ( 2; 2) , bán kính r  1 . Tìm M   I , r  sao cho OM lớn nhất, nhỏ nhất? 9
Lời giải Dựa vào hình vẽ trên, ta có: OB  OM  OD  IO  r  OM  OI  r  2 2  1  OM  2 2  1 Ta thấy: OM  2 2  1  M  D OM  2 2  1  M  B Vậy max OM  2 2  1, min OM  2 2  1 hay max z  2 2  1, min z  2 2  1 . 1.1.2. Bài toán 2: Tìm giá trị lớn nhất của z biết rằng z thỏa mãn điều kiện 2  3i z  1  1. 3  2i A. max z  1 . B. max z  2 . C. max z  2 D. max z  3 . Phân tích: 2  3i Ta có z  1  1  iz  1  1   i  z  i   1  z  i  1 (*). 3  2i Trong mp  Oxy  , gọi M  x; y  là điểm biểu diễn số phức z  x  yi ,  x; y  ℝ  . Khi đó (*)  x 2   y  1  1 . Suy ra, M thuộc đường tròn  C  tâm I  0;  1 , bán 2 kính bằng r  1 . Mà z  OM . Bài toán chuyển sang ngôn ngữ hình học sẽ như thế nào ? Chuyển bài toán sang ngôn ngữ hình học Oxy: Trong  Oxy  , cho đường tròn tâm I (0; 1) , bán kính r  1 . Tìm M   I , r  sao cho OM lớn nhất ? 10
Lời giải Do O  I (0; 1) nên OM lớn nhất khi OM là đường kính đường tròn  C  . Khi đó, OM  2r  2 . Vậy max z  2 . Chọn đáp án B. 1.2. Dạng 2: Tập hợp các điểm biểu diển số phức z là đoạn thẳng, đường thẳng. Tìm Max, Min của f ( z ) 1.2.1. Bài toán 1. (Đề Tham Khảo 2017) Xét số phức z thỏa mãn z  2  i  z  4  7i  6 2. Gọi m , M lần lượt là giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của z  1  i . Tính P  m  M . 5 2  2 73 5 2 73 A. P  B. P  5 2  73 C. P  D. P  13  73 2 2 Phân tích Gọi z  x  yi ,  x; yℝ được biểu diễn bởi điểm A  x; y  trong  Oxy Ta có: z  2  i  z  4  7i  6 2  x  2   y  1  x  4   y  7  2 2 2 2   6 2  AE  AF  6 2 với E  2;1 , F  4;7  . Mà EF  6 2 nên ta có A thuộc đoạn thẳng EF . Gọi H là hình chiếu của 3 3 N lên EF , ta có H   ;  .    2 2  x  1   y  1  AN , với N 1; 1 . 2 2 Ta có z  1  i  11
Bài toán quy về: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của AN khi A thuộc đoạn EF ? Ta thấy, AN lớn nhất khi A  F , AN nhỏ nhất khi A  H 5 2  2 73 Khi đó: P  NH  NF  . Vậy chọn đáp án A 2 1.2.2. Bài toán 2 (Chuyên Phan Bội Châu Nghệ An 2019) Cho số phức z thỏa mãn z  z  z  z  4 . Gọi M, m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của P  z  2  2i . Đặt A  M  m . Mệnh đề nào sau đây là đúng? A. A   34;6 .  B. A 6; 42 .   C. A  2 7 ; 33 .   D. A  4;3 3 .  Phân tích bài toán: Giả sử: z  x  yi,  x, y  ℝ   N  x; y  là điểm biểu diễn của số phức z trên mặt phẳng tọa độ Oxy . Ta có: • z  z  z  z  4  x  y  2  Tập hợp các điểm N là hình vuông BCDF (hình vẽ). y B 2 I 1 E C F x -2 O 1 2 D -2  IN với I  2; 2   x  2   y  2 2 2 • P  z  2  2i  Bài toán quy về: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của IN khi N thuộc các cạnh của hình vuông BCDF . Gọi E 1;1 là trung điểm của BF IE  BF . Khi đó:  2  1   2  1 2 2 IN max  ID  4 2  2 2  2 5 và IN min  IE   2 Vậy, A  M  m  2  2 5    34;6 . Chọn đáp án A. 12
1.3. Dạng 3: Tập hợp các điểm biểu diển số phức z là đường tròn. Tìm Max, Min của f ( z ) . 1.3.1. Bài toán 1. (Đề Tham Khảo 2018) Xét số phức z  a  bi  a, bℝ  thỏa mãn z  4  3i  5 . Tính P  a  b khi z  1  3i  z  1  i đạt giá trị lớn nhất. A. P  8 B. P  10 C. P  4 D. P  6 Phân tích bài toán Gọi M  a; b  là điểm biểu diễn của số phức z. Theo giả thiết ta có: z  4  3i  5   a  4 2   b  3 2  5  Tập hợp các điểm M là đường tròn tâm I  4;3  bán kính R  5 Ta có :  x  1   y  3  x  1   y  1 2 2 2 2 z  1  3i  z  1  i    MA  MB với A  1;3 ; B 1; 1 Bài toán quy về, tìm điểm M trên đường tròn tâm I  4;3  , bán kính R  5 sao cho MA  MB lớn nhất với A  1;3 ; B 1; 1 . Đặt Q  MA MB  Q2  MA2  MB2  2MAMB  MA2  MB2  MA2  MB2  2 MA2  MB2  . Gọi E là trung điểm của AB , kéo dài EI cắt đường tròn tại D ( I nằm giữa E và D) 13
Vì ME là trung tuyến trong MAB nên ta có: 2 MA2  MB 2 AB 2 2 2 2 AB 2 ME    MA  MB  2 ME  2 4 2  AB  2  Q 2  2  2ME 2  2 2   4 ME  AB .  2  Mặt khác ME  DE  EI  ID  2 5  5  3 5  MA  MB   2  Q 2  4. 3 5  20  200  Q  10 2  Qmax  10 2   M  D 4  2( a  4) a  6 Khi đó: EI  2 ID     M  6;4   P  a  b  10  2  2(b  3) b4 Vậy chọn đáp án B. 1.3.2. Bài toán 2: Cho số phức z và w biết chúng đồng thời thỏa mãn hai điều kiện: 1  i  z  2  1 và w  iz . Tìm giá trị lớn nhất của P  z  w 1 i A. P  3 3 . B. P  3 . C. P  3 2 . D. P  2 3 . Phân tích bài toán: 1  i  z  2  1 (1  i ) z  2(1  i )  (1  i) z  2(1  i)  1  i  1 1 i 1 i  (1  i ) z  2(1  i )  2 1 Đặt z  x  yi, ( x, y  ℝ) thay vào 1 ta được 1  i  ( x  yi )  2(1  i)  2 2 2   x  y  2   ( x  y  2) 2  2  x  ( y  2)  1 . 2 Tập hợp điểm M  x; y  biểu diễn số phức z trên hệ trục tọa độ Oxy là đường tròn tâm I (0;2) bán kính R  1. Mà P  z  w  z  iz  1  i  z  2  x 2  y 2   OM 2 Bài toán quy về tìm điểm M  x; y  trên đường tròn tâm I  0; 2  bán kính R  1 sao cho OM lớn nhất ? 14
Từ hình vẽ, ta thấy, OM lớn nhất khi M  A 0;3 . Khi đó, OM  3  P  2.OM  3 2 Vậy chọn đáp án C. 1.3.3. Bài toán 3. (Đề thi liên trường Nghệ An - Lần 2 - Mã đề 101). Cho số phức z thỏa mãn: 1  i  z  1  i  z  1  i  z  1  i  z  4 và số   phức u thỏa mãn:  u  1  3i  iu  3  5i là số thực. Gọi M và m lần lượt là giá 2 2 trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của z  u . Giá trị của M  m bằng A. 4 0 . B. 65. C. 56 . D. 50 . Phân tích bài toán: Gọi z  x  yi, ( x, y  ℝ) có điểm biểu diễn hình học là E  x; y  và u  a  bi, (a, b  ℝ) có điểm biểu diễn hình học là F (a; b) . Ta có: 1  i  z  1  i  z  1  i  z  1  i  z  4  x  y  x  y  2  x  1, y  1 Do đó tập hợp điểm E là những điểm nằm trong và trên các cạnh hình vuông ABCD với A 1;1 , B 1; 1 , C  1; 1 , D  1;1 .   Từ  u  1  3i  iu  3  5i là số thực   a  2 2  b 2  18 . Vì thế tập hợp điểm F là đường tròn tâm I  2;0  và bán kính r  3 2. 15
Hình vẽ biểu diễn: Mà z  u  FE . Vì E nằm trong đường tròn  I , r  và F   I , r  nên r  IE  FE  r  IE . Vậy FE lớn nhất, nhỏ nhất khi IE lớn nhất. Bài toán này quy về tìm điểm E thuộc hình vuông ABCD sao cho IE lớn nhất ? Dựa vào hình vẽ IE lớn nhất khi E trùng với A hoặc B . Khi đó IE  10 nên M  max( EF )  3 2  10, m  min( EF )  3 2  10 .    3  2 2 Suy ra: M 2  m 2  3 2  10 2  10  56 . Do đó chọn đáp án C. 1.4. Dạng 4: Tập hợp các điểm biểu diển số phức z là đường elip. Tìm Max, Min của f ( z ) . 1.4.1. Bài toán 1. Cho số phức z thỏa mãn z  4  z  4  10 . Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của z lần lượt là A. 10 và 4 . B. 5 và 4 . C. 4 và 3. D. 5 và 3. Phân tích bài toán: Gọi M  x; y  là điểm biểu diễn số phức z  x  yi ,  x; y ℝ  trên mặt phẳng toạ độ  Oxy  . Ta có: z  4  z  4  10   x  4   yi   x  4   yi  10  x  4  x  4 2 2   y2   y 2  10 16
 MF  MF2 10 với F1  4;0  , F2  4;0  1 c  4 Suy ra M thuộc Elip có   b  a 2  c2  3  2a  10  a  5 Bài toán này ta chuyển sang ngôn ngữ hình học Oxy: Trong Oxy , cho điểm 2 M (x; y) thuộc đường Elip có phương trình x y2   1 . Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất 25 9 của OM . Từ hình vẽ, ta thấy OM lớn nhất khi OM  OA  5 , OM nhỏ nhất khi OM  OB  3 Suy ra: max z  5,min z  3 . Vậy chọn đáp án D. 1.4.2. Bài toán 2. Cho số phức z  a  bi  a, b ℝ  thỏa mãn z  4  z  4  10 và z  6 lớn nhất. Tính S  a  b . A. S  11 . B. S   5 . C. S   3 . D. S  5 . Phân tích và hướng dẫn giải: Trong mp tọa độ Oxy , gọi M  x ; y  là điểm biểu diễn của số phức z  x  yi  x, y ℝ  .  x  4   y 2   x  4   y 2  10 2 2 Ta có: z  4  z  4  10   MF  MF2 10 với F1  4;0  , F2  4;0  (1) 1 Vậy, tập hợp các điểm biểu diễn của số phức z thỏa mãn z  4  z  4  10 là x2 y 2 Elip  E có phương trình chính tắc:   1. 25 9  x  6  y 2  MA với A  6;0  2 Mà z  6  17
x2 y 2 Bài toán này quy về tìm điểm M ( x; y ) thuộc đường elip  E :   1 sao cho 25 9 MA đạt giá trị lớn nhất. Từ hình vẽ trên ta thấy MA lớn nhất khi M  C . Mà C  5;0  M  5;0   a  5; b  0  S  5 . Vậy chọn đáp án B. Nhận xét: Việc chuyển đổi ngôn ngữ bài toán từ số phức sang hình học tọa độ phẳng làm cho bài toán trở nên quen thuộc, dễ giải hơn. Trong những năm gần đây, các bài toán này thường xuất hiện trong kỳ thi tốt nghiệp THPT, khi gặp các bài toán số phức này các em sẽ có định hướng cách giải bài toán một cách hiệu quả. Qua đó phát triển năng lực ngôn ngữ toán học cho học sinh và năng lực giao tiếp toán học cho học sinh. Bài tập tương tự: Bài 1. Trong các số phức z thỏa mãn điều kiện 1  i  z  1  7 i  2 . Tìm max z A. max z  4 . B. max z  3 . C. max z  7 . D. max z  6 . Bài 2. Cho hai số phức z1 , z2 thỏa mãn z1  1  2i  1 và z2  5  i  2 . Tìm giá trị nhỏ nhất P của biểu thức P  z1  z2 . min A. P  2. min B. P  1. min C. P  5 . min D. P  3. min Bài 3. Cho hai số phức z1 , z2 thỏa mãn 2 z  i  2  iz , biết z1  z2  1. Tính giá trị biểu thức P  z1  z2 . 3 2 A. P  . B. P  2 . C. P  . D. P  3 . 2 2 18
Bài 4. Cho số phức z thỏa mãn z  2  2i  z  2  2i  10 2 . Tìm giá trị lớn nhất của z . A. 5 2 . B. 11 2 . C. 12 2 . D. 16 2 . Bài 5. Cho số phức z thỏa mãn điều kiện z  1  i  z  3  2i  5 . Gọi M, m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của z , tính M – m. A. 5 13  5 B. 5 13  5 C. 13  2 D. 2 13  2 5 Bài 6. (Đề thi liên trường Nghệ An - Lần 2 - Mã đề 102). Cho số phức z thỏa mãn: 1  i  z  1  i  z  1  i  z  1  i  z  4 và số   phức u thỏa mãn:  u  1  3i  iu  3  5i là số thực. Gọi M và m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của z  u . Giá trị của M  m bằng A. 3 10 . B. 2 10 . C. 10 . D. 4 10 . 2. Chuyển đổi bài toán cực trị số phức sang bài toán cực trị đại số: 2.1. Dạng 1: Cho số phức z hoặc biểu thức chứa số phức z . Tìm Max, Min của z 2.1.1. Bài toán 1. Trong các số phức z thoả mãn điều kiện z  1  5i  z  3  i , tìm số giá trị nhỏ nhất của z . Phân tích bài toán: Gọi z  x  yi,  x; y  R  . Ta có: z  1  5i  z  3  i  ( x  1)2  ( y  5)2  ( x  3)2  ( y  1) 2  x  3y  4  0. Mà z  x 2  y 2 Bài toán được chuyển sang ngôn ngữ đại số: Cho hai số thực x, y thỏa mãn x  3 y  4  0 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P  x2  y2 ? Lời giải Từ x  3 y  4  0  x  4  3 y , khi đó: 2  6  8 2 10 P 2 2 2 2 2 x  y  (4  3 y )  y  10 y  24 y  16  10  y     .  5 5 5 6 2 Đẳng thức xảy ra khi y x . 5 5 2 6 Vậy min P  2 10 khi x  , y  . 5 5 5 19