Sáng kiến kinh nghiệm THPT: Phát triển năng lực giải quyết vấn đề và sáng tạo cho học sinh thông qua dạy học chủ đề thể tích khối đa diện

Chia sẻ: Behodethuonglam | Ngày: | Loại File: DOC | Số trang:57

Thêm vào BST

Báo xấu

19
lượt xem 1
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Mục đích nghiên cứu của sáng kiến là hình thành cho học sinh quy trình tựa thuật toán để giải quyết một bài toán thể tích khối đa diện. Phân dạng các bài toán thể tích khối đa diện. Xây dựng một số công thức tính thể tích mới giúp tính nhanh thể tích một số khối đa diện.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Sáng kiến kinh nghiệm THPT: Phát triển năng lực giải quyết vấn đề và sáng tạo cho học sinh thông qua dạy học chủ đề thể tích khối đa diện

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ĐỀ TÀI: PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ VÀ SÁNG TẠO CHO HỌC SINH THÔNG QUA DẠY HỌC CHỦ ĐỀ THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN LĨNH VỰC: TOÁN HỌC
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO NGHỆ AN TRƯỜNG THPT DIỄN CHÂU 2 _____________________________________________________________ SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ĐỀ TÀI: PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ VÀ SÁNG TẠO CHO HỌC SINH THÔNG QUA DẠY HỌC CHỦ ĐỀ THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN LĨNH VỰC: TOÁN HỌC Người thực hiện: NGUYỄN VĂN MINH Tổ bộ môn: Toán Tin Thời gian thực hiện: Năm học 2020 2021 Số điện thoại: 0984627768
Diễn Châu, tháng 3 năm 2021
MỤC LỤC
PHẦN I: ĐẶT VẤN ĐỀ 1.1. Lí do chọn đề tài Nghị quyết Hội nghị Trung ương 8 khóa XI về đổi mới căn bản, toàn diện giáo dục và đào tạo nêu rõ: “Tiếp tục đổi mới mạnh mẽ phương pháp dạy và học theo hướng hiện đại; phát huy tính tích cực, chủ động, sáng tạo và vận dụng kiến thức, kỹ năng của người học; khắc phục lối truyền thụ áp đặt một chiều, ghi nhớ máy móc. Tập trung dạy cách học, cách nghĩ, khuyến khích tự học, tạo cơ sở để người học tự cập nhật và đổi mới tri thức, kỹ năng, phát triển năng lực. Chuyển từ học chủ yếu trên lớp sang tổ chức hình thức học tập đa dạng, chú ý các hoạt động xã hội, ngoại khóa, nghiên cứu khoa học. Đẩy mạnh ứng dụng công nghệ thông tin và truyền thông trong dạy và học”. Đổi mới phương pháp dạy học đang thực hiện bước chuyển từ chương trình giáo dục tiếp cận nội dung sang tiếp cận năng lực của người học, nghĩa là từ chỗ quan tâm đến việc học sinh học được cái gì đến chỗ quan tâm học sinh vận dụng được cái gì qua việc học. Để đảm bảo được điều đó, phải thực hiện chuyển từ phương pháp dạy học theo lối "truyền thụ một chiều" sang dạy cách học, cách vận dụng kiến thức, rèn luyện kỹ năng, hình thành năng lực và phẩm chất. Tăng cường việc học tập trong nhóm, đổi mới quan hệ giáo viên học sinh theo hướng cộng tác có ý nghĩa quan trọng nhằm phát triển năng lực xã hội. Bên cạnh việc học tập những tri thức và kỹ năng riêng lẻ của các môn học chuyên môn cần bổ sung các chủ đề học tập tích hợp liên môn nhằm phát triển năng lực giải quyết các vấn đề phức hợp. Phải phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động của người học, hình thành và phát triển năng lực tự học (sử dụng sách giáo khoa, nghe, ghi chép, tìm kiếm thông tin...), trên cơ sở đó trau dồi các phẩm chất linh hoạt, độc lập, sáng tạo của tư duy. Có thể chọn lựa một cách linh hoạt các phương pháp chung và phương pháp đặc thù của môn học để thực hiện. Tuy nhiên dù sử dụng bất kỳ phương pháp nào cũng phải đảm bảo được nguyên tắc “Học sinh tự mình hoàn thành nhiệm vụ nhận thức(tự chiếm lĩnh kiến thức) với sự tổ chức, hướng dẫn của giáo viên”. Chương trình giáo dục phổ thông tổng thể (07/2017) có nêu “Những năng lực chung được tất cả các môn học và hoạt động giáo dục góp phần hình thành, phát triển: năng lực tự chủ và tự học, năng lực giao tiếp và hợp tác, năng lực giải quyết vấn đề và sáng tạo”. Trong đó, năng lực giải quyết vấn đề và sáng tạo (GQVĐ&ST) được xem là một trong những năng lực cốt lõi giúp học sinh (HS) biết cách vận dụng kiến thức đã học giải quyết các vấn đề học tập, những tình huống thực tiễn từ cuộc sống, xã hội ở tất cả các môn học. Trong trường phổ thông môn toán là một bộ môn rất quan trọng trong việc giúp học sinh hình thành năng lực giải quyết vấn đề và sáng tạo, trong môn toán thì phần hình học không gian lại giữ một vai trò, vị trí hết sức đặc biệt. Ngoài việc cung cấp cho học sinh những kiến thức, kĩ năng giải toán hình học không 1
gian, còn rèn luyện cho học sinh đức tính, phẩm chất, năng lực của người công dân mới, trong đó có năng lực giải quyết vấn đề và sáng tạo. Qua nhiều năm giảng dạy môn học tôi cũng đúc kết được một số kinh nghiệm nhằm giúp tìm ra những phương pháp truyền đạt phù hợp với học sinh, với mong muốn nâng dần chất lượng giảng dạy nói chung và môn Hình học không gian nói riêng. Từ những lý do nêu trên, tôi quyết định chọn đề tài nghiên cứu là: ‘‘Phát triển năng lực giải quyết vấn đề và sáng tạo cho học sinh thông qua dạy học chủ đề thể tích khối đa diện”. 1.2. Mục đích nghiên cứu Trong đề tài này tôi đưa ra một số giải pháp giúp học sinh học tốt chủ đề này qua đó giúp học sinh phát triển năng lực giải quyết vấn đề và sáng tạo. Một số giải pháp đưa ra như sau: + Hình thành cho học sinh quy trình tựa thuật toán để giải quyết một bài toán thể tích khối đa diện. + Phân dạng các bài toán thể tích khối đa diện + Xây dựng một số công thức tính thể tích mới giúp tính nhanh thể tích một số khối đa diện. 1.3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu Đề tài nghiên cứu các đối tượng sau: Một số bài toán hình học không gian ở chương 1 lớp 12 1.4. Tính mới của đề tài, sáng kiến, giải pháp Đã có nhiều tài liệu viết về chủ đề hình học không gian này, cũng đã có nhiều sáng kiến kinh nghiệm viết về chủ đề này nhưng những giải pháp đưa ra cụ thể trong đề tài này thì gần như chưa có một tài liệu nào trước đó viết sát thực như sáng kiến này. 1.5. Phương pháp nghiên cứu + Nghiên cứu lý luận chung. + Khảo sát điều tra thực tế dạy học. + Tổng hợp so sánh, đúc rút kinh nghiệm. 1.6. Cách thực hiện + Trao đổi với đồng nghiệp, tham khảo ý kiến giáo viên của nhóm bộ môn. + Liên hệ thực tế, áp dụng đúc rút kinh nghiệm. + Thông qua việc giảng dạy trực tiếp. 1.7. Tính khả thi khi thực hiện Đề tài này đã được áp dụng cho các em học sinh lớp 12 trường THPT Diễn Châu 2 trong năm học 20192020 và đặc biệt là trong năm học 20202021. 2
PHẦN II. NỘI DUNG 2.1 Thực trạng của vấn đề Trong môn toán ở trường phổ thông phần hình học không gian giữ một vai trò, vị trí hết sức quan trọng. Ngoài việc cung cấp cho học sinh kiến thức, kĩ năng giải toán hình học không gian, còn rèn luyện cho học sinh đức tính, phẩm chất, năng lực của con người lao động mới: cẩn thận, chính xác, có tính kỉ luật, tính phê phán, tính sáng tạo, bồi dưỡng óc thẩm mĩ, tư duy sáng tạo và năng lực giải quyết vấn đề cho học sinh. Tuy nhiên trong quá trình giảng dạy tôi nhận thấy học sinh lớp 12 rất e ngại học môn Hình học không gian vì một số lý do sau: i) Phân môn Hình học không gian được học phần cơ bản ở lớp 11 và phần tổng hợp ở lớp 12. Do đa số học sinh không chú ý, không nắm vững vấn đề cơ bản và cốt lõi của chủ đề này ở lớp 11, không rèn luyện kỹ năng giải toán từ lớp 11 nên bị mất gốc cả về kiến thức lẫn tư duy phương pháp giải bài toán hình học không gian do đó khi lên lớp 12 hầu hết các em đều buông xuôi phần hình học không gian này. ii) Để học tốt phân môn Hình đòi hỏi người học phải có tư duy nhạy bén, óc tưởng tượng phong phú, phải nắm được các qui ước vẽ hình. Nhưng hiện nay đa số học sinh lại lười tư duy, ít suy nghĩ, bài toán nào hơi khó là bỏ qua không kiên trì tìm kiếm phương pháp giải. iii) Về phía giáo viên, một bộ phận giáo viên toán khi dạy đến phân hình học không gian là suy nghĩ các em yếu phần này, có dạy thế nào đi nữa các em cũng không học, không hiểu bài nên dẫn đến cách tiếp cận vấn đề sơ sài, cẩu thả làm cho các em học sinh thêm phần khó khăn trong việc học chủ đề này. Từ các lý do trên nên kết quả bài kiểm tra phần hình học không gian của các em trước khi thực hiện đề tài này không cao, cụ thể như sau: Lớp Sĩ số Giỏi Khá Trung bình Yếu 12A 41 10 20 30 01 12K 38 0 10 20 18 12M 39 0 06 10 23 2.2 Cơ sở lí luận và thực tiễn 2.2.1 Năng lực giải quyết vấn đề và sáng tạo Năng lực giải quyết vấn đề và sáng tạo (NLGQVĐ&ST) của HS là khả năng cá nhân sử dụng hiệu quả các quá trình nhận thức, hành động và thái độ, động cơ, cảm xúc để phân tích, đề xuất các biện pháp, lựa chọn giải pháp và 3
thực hiện giải quyết những tình huống, những vấn đề học tập và thực tiễn mà ở đó không có sẵn quy trình, thủ tục, giải pháp thông thường, đồng thời đánh giá giải pháp GQVĐ để điều chỉnh và vận dụng linh hoạt trong hoàn cảnh, nhiệm vụ mới”. Cấu trúc NLGQVĐ&ST của HS gồm sáu thành tố: nhận ra ý tưởng mới; phát hiện và làm rõ vấn đề; hình thành và triển khai ý tưởng mới; đề xuất, lựa chọn giải pháp; thực hiện và đánh giá giải pháp GQVĐ; tư duy độc lập. Mỗi thành tố bao gồm một số hành vi của cá nhân khi làm việc nhóm hoặc làm việc độc lập trong quá trình GQVĐ. Nhận biết, phát hiện được vấn đề cần giải quyết bằng toán học. Đề xuất, lựa chọn được cách thức, giải pháp giải quyết vấn đề. Sử dụng được các kiến thức, kĩ năng toán học tương thích để giải quyết vấn đề đặt ra. Đánh giá giải pháp đề ra và khái quát hóa cho vấn đề tương tự. 2.2.2 Một số định nghĩa, định lý và tính chất liên quan 1. Khái niệm về hình đa diện Hình đa diện (gọi tắt là đa diện) là hình được tạo bởi một số hữu hạn các đa giác thỏa mãn hai tính chất: a) Hai đa giác phân biệt chỉ có thể hoặc không có điểm chung, hoặc chỉ có một đỉnh chung, hoặc chỉ có một cạnh chung. b) Mỗi cạnh của đa giác nào cũng là cạnh chung của đúng hai đa giác. Mỗi đa giác gọi là một mặt của hình đa diện. Các đỉnh, cạnh của các đa giác ấy theo thứ tự được gọi là các đỉnh, cạnh của hình đa diện. 2. Khái niệm về khối đa diện Khối đa diện là phần không gian được giới hạn bởi một hình đa diện, kể cả hình đa diện đó. Những điểm không thuộc khối đa diện được gọi là điểm ngoài của khối đa diện. Những điểm thuộc khối đa diện nhưng không thuộc hình đa diện đó được gọi là điểm trong của khối đa diện. Tập hợp các điểm trong được gọi là miền trong, tập hợp những điểm ngoài được gọi là miền ngoài của khối đa diện. 4
Mỗi hình đa diện chia các điểm còn lại của không gian thành hai miền không giao nhau là miền trong và miền ngoài của hình đa diện, trong đó chỉ có miền ngoài là chứa hoàn toàn một đường thẳng nào đó. d Mieàn ngoaøi Ñieåm trong N Ñieåm ngoaøi M 3. Phân chia và lắp ghép khối đa diện Nếu khối đa diện ( H ) là hợp của hai khối đa diện ( H1) , ( H 2 ) sao cho ( H1) và ( H2 ) không có chung điểm trong nào thì ta nói (H1) có thể chia được khối đa diện ( H ) thành hai khối đa diện ( H1) và ( H 2 ) , hay có thể lắp ghép hai khối đa diện ( H1) và ( H 2 ) với nhau (H) (H2) để được khối đa diện ( H ) . 4. Thể tích khối chóp và khối lăng trụ S 1 a) Thê tich ̉ ́ khôi chop ́ ́ : V = B.h 3 h D ̣ ́ măt đay + B : Diên tich ̣ ́ . + h : Độ dài chiêu cao khôi chop. ̀ ́ ́ A H Sđ b) Thê tich khôi lăng tru: ̉ ́ ́ ̣ V = B .h B C ̣ ́ ̣ ́ + B : Diên tich măt đay. ̀ ̉ + h : Chiêu cao cua khôi chop. ́ ́ 5
2.3. Giải pháp cụ thể Giải pháp 1. Hình thành cho học sinh quy trình tựa thuật toán để giải quyết một bài toán thể tích khối đa diện Để tiến hành giải quyết một bài toán tính thể tích khối đa diện thì chúng ta thường trải qua ba bước sau: Bước 1: Xây dựng công thức tính Trong bước này chúng ta phải xác định được đâu là đáy, đâu là đường cao của khối đa diện từ đó xác lập được công thức tính thể tích của khối đa diện đó Bước 2: Tính các yếu tố thành phần trong công thức trên Từ giả thiết ta đi tính đường cao và diện tích đáy của khối đa diện trên Bước 3: Lắp các yếu tố đã tính được vào công thức và cho kết quả Để giúp cũng cố quy trình trên ta thực hiện ví dụ sau: VÍ DỤ 1. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật tâm O . Biết AB = a, AD = a 3, SA = 2a và SO ⊥ ( ABCD ) . Tính theo a thể tích của khối chóp S.ABC ? Phân tích: Bài toán này yêu cầu tính thể tích của khối chóp S.ABCD khi cho SO ⊥ ( ABCD ) nên ta sẽ chọn SO là đường cao của khối chóp này, từ đó suy ra 1 công thức tính là V = SO.S ABCD 3 Khối chóp S.ABCD lại có đáy là hình chữ nhật và AB = a, AD = a 3 nên dễ dàng tính được diện tích đáy. Vậy thể tích khối chóp tính được khi ta tính được độ dài đường cao SO , dựa vào kiến thức cơ bản trong hình học phẳng chúng ta dễ dàng tính được độ dài đường cao của hình chóp. Từ những phân tích trên ta suy ra lời giải như sau: Lời giải: 6
1 Ta có SO ⊥ ( ABCD ) suy ra V = SO.S ABCD 3 2 Diện tích đáy: S∆ABC = 1 SABCD = 1 AB.AD = 1.a.a 3 = a 3 . 2 2 2 2 Xét tam giác ABC vuông tại B có: AC AC = AB + BC = a + 3a = 2a � AO = 2 2 2 2 = a. 2 Xét tam giác SOA vuông tại O có: SO = SA2 − AO 2 = a 3 . Thể tích của hình chóp là: V 1 1 a2 3 a3 . S .ABC = .SO.S∆ABC = .a 3. = 3 3 2 2 VÍ DỤ 2. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A và có AB = a, BC = a 3 . Mặt bên SAB là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng ( ABC ) . Tính theo a thể tích V của khối chóp S.ABC ? Phân tích: Trong bài toán này khối chóp S.ABC chưa cho rõ đâu là đường cao, đâu là đáy. Vậy để xác lập được công thức tính thì ta phải xác định được đường cao của khối chóp này. Ta có giả thiết mặt bên SAB là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng ( ABC ) kết hợp với định lý: "Hai mặt phẳng vuông góc với nhau, thì bất cứ đường thẳng nào nằm trong mặt phẳng này mà vuông góc với giao tuyến thì sẽ vuông góc với mặt phẳng kia" Từ đó chỉ cần trong tam giác đều SAB ta kẻ đường cao SH ⊥ AB thì 1 SH ⊥ ( ABC ) suy ra VS.ABC = .SH .S∆ABC 3 Để hoàn thành yêu cầu bài toán thì nhiệm vụ còn lại là tính SH và S∆ABC , mà việc này thì không còn khó khăn nữa. Từ những phân tích trên ta suy ra lời giải như sau: 7
Lời giải: Gọi H là trung điểm của cạnh AB . Do ∆SAB đều nên SH ⊥ AB . Hơn nữa (SAB) vuông góc với mặt đáy (ABC) nên SH ⊥ ( ABC ) . Do đó 1 SH là chiều cao của khối chóp S.ABC suy ra VS.ABC = .SH .S∆ABC 3 ( ) 2  ∆ABC vuông tại A , ta có: AC = BC 2 − AB 2 = a 3 − a2 = a 2 . 1 1 a2 2 S∆ABC = AB.AC = .a.a 2 = 2 2 2 Do tam giác SAB đều cạnh a nên SH = a 3 2 Vậy thể tích khối chóp S.ABC là: V 1 1 a 3 a 2 2 a3 6 . S .ABC = .SH .SABC = . . = 3 3 2 2 12 ﾷ VÍ DỤ 3. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi cạnh a , BAD = 600 , SA = SB = SC = 2a . Tính theo a thể tích của khối chóp S.ABCD ? Phân tích: Trong bài toán này khối chóp S.ABCD chưa cho rõ đâu là đường cao, đâu là đáy. Vậy để xác lập được công thức tính thì ta phải xác định được đường cao của khối chóp này. Từ giả thiết SA = SB = SC = 2a kết hợp với định lý: “Hai đường xiên bằng nhau khi và chỉ khi hai hình chiếu của chúng bằng nhau” ta suy ra hình chiếu vuông góc của S lên mặt phẳng ( ABCD ) là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC , vấn đề cần giải quyết là đi tìm tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC . ﾷ Xét tam giác ABD cân tại A có BAD = 600 nên tam giác ABD đều, suy ra DA = DB tức là DA = DB = DC . Vậy D là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác 8
ABC . Khi xác định được đường cao của hình chóp thì việc tính toán các yếu tố sẽ trở nên đơn giản, từ đó ta có lời giải bài toán như sau: Lời giải: ﾷ Xét tam giác ABD cân tại A có BAD = 600 nên tam giác ABD đều, suy ra DA = DB tức là DA = DB = DC . Vậy D là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC . Gọi H là hình chiếu vuông góc của S lên mp ( ABCD ) . Vì SA = SB = SC nên các tam giác SHA , SHB , SHC bằng nhau (theo trường hợp cạnh huyền cạnh góc vuông). Suy ra HA = HB = HC , hay H là tâm đường tròn ngoại tiếp 1 tam giác ABC . Do đó H trùng với D suy ra V = .SD.S ABCD 3 Như vậy hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi ABCD và chiều cao SD . a2 3 a2 3 ; SABCD = 2S∆ABD = 2. = SD = SA2 − AD 2 = 4a2 − a2 = a 3 . 4 2 Vậy thể tích khối chóp S.ABCD là: V = 1.SD.S 1 a 2 3 a3 ABCD = .a 3. = . 3 3 2 2 VÍ DỤ 4. Cho hình chóp S.ABCD có cạnh bên SA tạo với đáy một góc 60 và SA = a 3 , đáy là tứ giác có hai đường chéo vuông góc, AC = BD = 2a . Tính thể tích V của khối chóp S.ABCD theo a ? Phân tích: Trong bài toán này khối chóp S.ABCD chưa cho rõ đâu là đường cao, đâu là đáy. Vậy để xác lập được công thức tính thì ta phải xác định được đường cao của khối chóp này. Từ giả thiết SA = a 3 và hợp với đáy một góc 60 nên nếu ta kẻ SH vuông góc với mặt đáy thì AH là hình chiếu vuông góc của SA lên mặt phẳng 9
( ) đáy nên góc giữa SA,( ABCD ) = ( SA, AH ) = SAH ﾷ = 600 . Khi đó áp dụng giả thiết SA = a 3 thì ta sẽ tính được SH . Khi xác định được đường cao của hình chóp thì việc tính toán các yếu tố sẽ trở nên đơn giản, từ đó ta có lời giải bài toán như sau: Lời giải: 1 Diện tích đáy: SABCD = AC .BD = 2a 2 . 2 Dựng SH ⊥ (ABCD ) . Ta có: AH là hình chiếu của SA trên mặt phẳng (ABCD). ﾷ Suy ra góc giữa SA và đáy là SAH 3 3a = 60 � SH = SA.sin60�= a 3. = . 2 2 1 3a Vậy thể tích khối chóp là VS .ABCD = . .2a2 = a3 . 3 2 VÍ DỤ 5. Tính theo a thể tích khối chóp S.ABC biết AB = a , AC = 2a , ﾷ BAC = 1200 , SA ⊥ ( ABC ) , góc giữa ( SBC ) và ( ABC ) là 600? Phân tích: Trong bài toán này khối chóp S.ABC đã xác định được đường cao là SA . Vì vậy ta xác lập được công thức tính thể tích của khối chóp này. ﾷ Từ giả thiết AB = a , AC = 2a , BAC = 1200 ta suy ra diện tích tam giác ∆ABC . Vì vậy để tính thể tích khối chóp S.ABC thì cần tính đường cao SA , ở đây ta thấy còn giả thiết góc góc giữa ( SBC ) và ( ABC ) là 600 còn chưa sử dụng nên chắc chắn để tính được SA thì cần sử dụng giả thiết này. Muốn sử dụng giả thiết này thì ta phải dựng được góc của hai mặt phẳng, sau khi dựng được góc giữa hai mặt phẳng thì việc tính sẽ trở nên đơn giản. Khi đó ta có lời giải bài toán như sau: 10
Lời giải: Gọi H là hình chiếu vuông góc của A trên BC . BC = ( SBC ) ( ABC ) BC ⊥ AH Ta có: � BC ⊥ ( SAH ) . Do đó: AH ⊥ BC trong ( ABC ) BC ⊥ SA SH ⊥ BC trong ( SBC ) ( (ﾷSBC ) ,( ABC ) ) = ( AH ) ﾷ = 60 . ﾷ ,SH = SHA 0 ﾷ Xét tam giác ABC có: BC 2 = AB 2 + AC 2 − 2.AB.AC .cosBAC = 7a 2 � BC = a 7 ; 1 ﾷ 1 3 a2 3 mặt khác S∆ABC = AB.AC sinBAC = a.2a. = ; 2 2 2 2 a2 3 1 2S∆ABC 2. S∆ABC = AH .BC � AH = = 2 = a 21. 2 BC a 7 7 ﾷ Xét tam giác SAH vuông tại A có: SA = AH .tanSHA a 21 3a 7 = . 3= . 7 7 Do đó: V 1 1 3a 7 a2 3 a3 21 S .ABC = SA.S∆ABC = . . = . 3 3 7 2 14 VÍ DỤ 6. Cho khối chóp S.ABCD có đáy là hình thoi tâm O , AB = a , ﾷ BAD = 60 , SO ⊥ ( ABCD ) , mặt phẳng ( SCD ) tạo với mặt phẳng đáy góc 60 . Tính theo a thể tích khối chóp S.ABCD ? Phân tích: Trong bài toán này khối chóp S.ABCD đã cho rõ SO là đường cao nên ta chọn ABCD là đáy. Từ đó ta xác lập được công thức tính thể tích của khối chóp này. 11
Từ giả thiết ABCD là hình thoi có một góc 60 nên ta dễ dàng tính được diện tích đáy. Vì vậy để tính được thể tích của khối chóp thì cần tính được đường cao SO mà ta còn giả thiết mặt phẳng ( SCD ) tạo với mặt phẳng đáy góc 60 nên chắc chắn phải sử dụng giả thiết này để tính độ dài đường cao, khi ta dựng được góc thì việc tính độ dài đường cao sẽ trở nên đơn giản hơn, từ đó ta có lời giải bài toán như sau: Lời giải: ﾷ Ta có ABCD là hình thoi tâm O cạnh a, BAD = 600 nên các tam giác ABD, BCD đều cạnh a. Gọi BK là đường cao của tam giác BCD , ta có BK = a 3 . 2 Gọi H là hình chiếu của O lên CD. CD ⊥ OH Ta có: � CD ⊥ ( SOH ) � CD ⊥ SH CD ⊥ SO (( )( )) ( � SCD , ABCD = OH ,SH = SHO ﾷ ) = 600 . BK 3a 2 Ta có: SO = OH .tan600 = .tan600 = ; SABCD = 2S∆ABD = a 3 . 2 4 2 Thể tích khối chóp: V 1 1 3a a2 3 a3 3 . S .ABCD = .SO.SABCD = . . = 3 3 4 2 8 VÍ DỤ 7. Cho lăng trụ ABC .A B C với các cạnh đáy là AB = a, AC = 2a, BC = a 2 . Diện tích hình bình hành ABB A bằng a2 3 và mặt bên ( ABB A ) vuông góc với mặt đáy. Tính theo a thể tích lăng trụ ABC .A B C ? 12
Phân tích: Trong bài toán này khối lăng trụ chưa cho rõ đường cao nên để tính được thể tích của khối lăng trụ thì đầu tiên chúng ta phải xác định được đường cao của nó. Ta có giả thiết mặt bên ( ABB A ) là hình bình hành và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng ( A B C D ) kết hợp với định lý: "Hai mặt phẳng vuông góc với nhau, thì bất cứ đường thẳng nào nằm trong mặt phẳng này mà vuông góc với giao tuyến thì sẽ vuông góc với mặt phẳng kia" nên nếu ta kẻ AH ⊥ A B thì AH ⊥ ( A B C D ) từ đó ta xác định được đường cao của khối lăng trụ, việc tính toán các yếu tố trong bài này khi dựng được rồi thì rất cơ bản, từ đó ta có lời giải bài toán như sau: Lời giải: Vẽ đường cao AH của hình bình hành ABB A , vì mặt bên ABB A vuông góc với mặt đáy nên AH cũng là đường cao của lăng trụ đã cho. S ABB A a2 3 Ta có SABB A = AH .AB � AH = = = a 3. AB a Đặt p = AB + AC + BC = 3a + a 2 . 2 2 a2 7 Theo công thức Hêrông: S ∆ABC = p ( p − AB ) ( p − AC ) ( p − BC ) = . 4 2 Thể tích khối lăng trụ: V = AH .S∆ABC = a 3. a 7 a3 21 . = 4 4 VÍ DỤ 8. Các đường chéo của các mặt một hình hộp chữ nhật bằng 5, 10, 13 . Tính thể tích V của khối hộp chữ nhật đó. A. V = 2 . B. V = 6 . C. V = 5 26 . D. V = 5 26 . 3 13
Phân tích: Trong bài toán này đa cho sẵn đâu là đườ ng cao, đâu là đáy nên để giải quyết bài toán này thì nặng về khâu tính toán, để tính đượ c thể tích của khối chữ nhật này thì cần tính đượ c độ dài ba cạnh của nó, từ đó ta có lời giải bài toán như sau: Lời giải: Giả sử hình hộp chữ nhật là ABCD.A B C D (hình vẽ), có AB = 5 , AD = 10 , AC = 13 . Đặt AB = a , AD = b , AA = c . AB 2 = a2 + c 2 = 5 a=2a2 = 4 2 2 2 2 Ta có AD = b + c = 10 � b = 9 � b = 3. AC 2 = a2 + b2 = 13 c2 = 1 c =1 Thể tích V của khối hộp chữ nhật đã cho là: V = abc = 2.3.1= 6. VÍ DỤ 9. Cho hình lăng trụ ABC .A B C có đáy ABC là tam giác vuông tại A, cạnh BC = 2a và góc ﾷABC = 60 . Biết tứ giác BCC B là hình thoi có ﾷ BC nhọn và mặt phẳng ( BCC B ) vuông góc với mặt phẳng ( ABC ) . góc B Mặt phẳng ( ABB A ) tạo với mặt phẳng ( ABC ) góc 45 . Tính thể tích V của khối lăng trụ ABC .A B C . Phân tích: Trong bài toán này khối lăng trụ chưa cho rõ đường cao nên để tính được thể tích của khối lăng trụ thì đầu tiên chúng ta phải xác định được đường cao của nó. Ta có giả thiết mặt bên ( BCC B ) là hình thoi và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng ( ABC ) kết hợp với định lý: "Hai mặt phẳng vuông góc với nhau, thì bất cứ đường thẳng nào nằm trong mặt phẳng này mà vuông góc với giao tuyến thì sẽ vuông góc với mặt phẳng kia" nên nếu ta kẻ 14
B H ⊥ BC thì B H ⊥ ( ABC ) từ đó ta xác định được đường cao của khối lăng trụ. Sau khi dựng được đường cao, ta thấy tam giác vuông B HI chỉ có góc ﾷ IH = 450 , với từng đó dữ kiện không thể tìm được đường cao B H của lăng B ﾷ = 600 , không đủ điều trụ. Xét tam giác BHI vuông tại I, ta cũng chỉ có được B kiện để tìm bất kỳ cạnh nào. Xét tam giác vuông BB H cũng chỉ có dữ kiện BB = 2a = BC (cạnh hình thoi). Qua đây, ta thấy mỗi tam giác vuông trong hình đều có những dữ kiện nửa vời, vì vậy muốn giải quyết dạng toán này, chúng ta cần xét cùng lúc nhiều tam giác rồi liên hệ các dữ kiện rời rạc thành một phương trình duy nhất để tìm cạnh (góc) như mong muốn. Từ đó ta có lời giải bài toán như sau: Lời giải: Xét tam giác vuông ABC ta có BC = 2a , ﾷABC = 60 , suy ra 3 AC = BC .sin600 = 2a. = a 3 , AB = BC 2 − AC 2 = a . Diện tích đáy 2 lăng trụ: S 1 1 a2 3 ∆ABC = AB.AC = a.a 3 = . 2 2 2 Gọi H là chân đường cao kẻ từ B đến BC, do đó B H ⊥ ( ABC ) , gọi I là ﾷ ( hình chiếu của H trên cạnh AB, ta được: ( ABB A ) ,( ABC ) = HIB ﾷ ) = 45 . Do đó tam giác B HI vuông cân tại H. Gọi h = B H là chiều cao của hình lăng trụ ABC .A B C suy ra IH 2h IH = h; BH = = . sin600 3 Xét tam giác HBB vuông tại H có: 2 �2h � 2 3 BH + B H = BB � � �+ h 2 = ( 2a ) � h = 2 2 2 2 a. � 3� 7 15
2 3 a2 3 3 7 3 Suy ra V = a. = a . 7 2 7 VÍ DỤ 10. Cho lăng trụ đứng ABC .A 'B 'C ' có đáy ABC là tam giác vuông cân tại C , CB = 2a. Biết rằng góc giữa B 'C và AC ' bằng 600. Tính thể tích của khối lăng trụ đã cho? Phân tích: Trong bài toán này đã cho khối lăng trụ đứng nên ta đã biết cạnh bên của lăng trụ cũng là đường cao của nó. Mặt khác giả thiết bài toán cho đáy ABC là tam giác vuông cân tại C , CB = 2a nên ta dễ dàng tính được diện tích của đáy. Vì vậy để giải quyết được bài toán này thì chúng ta cần huy động các kiến thức vào việc tính cạnh bên của khối lăng trụ. Áp dụng giả thiết góc giữa B 'C và AC ' bằng 600 thì sẽ tính được cạnh bên, từ đó ta có lời giải như sau: Lời giải: Gọi E là trung điểm đoạn AB thi ̀ CE ⊥ AB tại E (vì ∆ACB vuông cân tại C ). Hơn nữa CE ⊥ BB nên CE ⊥ EB suy ra ∆CEB vuông tại E . Gọi K = C B B C thì EK là đường trung bình của ∆ABC suy ra EK P AC . ﾷ Khi đó: góc giữa AC với CB là góc giữa EK với CB , do đó EKC = 600 . Xét tam giác EB C vuông tại E có đường trung tuyến EK nên KE = KC , ﾷ hơn nữa EKC = 600 nên ∆EKC đều. 1 1 1  CE = AB = CB. 2 = a ; EC = EK = KC = CB = a � CB = 2a 2 2 2  BB = B C 2 − CB 2 = 4a 2 − 2a 2 = a 2 . 16