Sáng kiến kinh nghiệm THPT: Phát triển năng lực giải toán cho học sinh thông qua bài toán Cực trị hàm hợp, hàm ẩn chứa trị tuyệt đối

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: DOCX | Số trang:53

Thêm vào BST

Báo xấu

26
lượt xem 7
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Đề tài "Phát triển năng lực giải toán cho học sinh thông qua bài toán Cực trị hàm hợp, hàm ẩn chứa trị tuyệt đối" trình bày ý tưởng về phân dạng các bài tập cực trị của hàm hợp, hàm ẩn chứa trị tuyệt đối trong các đề thi TNTHPT quốc gia và hiểu rõ bản chất bài toán để áp dụng trong các kì thi học sinh giỏi và TNTHPT.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Sáng kiến kinh nghiệm THPT: Phát triển năng lực giải toán cho học sinh thông qua bài toán Cực trị hàm hợp, hàm ẩn chứa trị tuyệt đối

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO NGHỆ AN ĐỀ TÀI “PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC GIẢI TOÁN CHO HỌC SINH THÔNG QUA BÀI TOÁN CỰC TRỊ HÀM HỢP, HÀM ẨN CHỨA TRỊ TUYỆT ĐỐI” Năm hoc: 20212022 ̣
MỤC LỤC Trang PHẦN I. ĐẶT VẤN ĐỀ 1. Lý do chọn đề tài............................................................................................. .... 1 2. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu…………………………………………....... 2 3. Mục tiêu nghiên cứu......................................................................................... ... 2 4. Giả thuyết khoa học........................................................................................ .....2 PHẦN II. NỘI DUNG NGHIÊN CỨU 1. Cơ sở khoa học…………………………………………………………............ 3 2. Thực trạng trước khi thực hiện đề tài………………………………………...... 3 3. Nội dung đề tài………..……………………………………………………...... 4 3.1. Hai mệnh đề thường sử dụng………..…………………………………….......4 3.2. Ba bài toán cơ bản về cực trị hàm số............………..…………………….......5 3.3. Phát triển năng lực giải toán cho học sinh thông qua bài toán cực trị hàm hợp, hàm ẩn chứa trị tuyệt đối …..…………………..........................……….. 7 3.3.1 Dạng. Tìm số điểm cực trị của hàm hợp dạng ……… 7 3.3.2.Dạng 2.Tìm số điểm cực trị của hàm ẩn dạng …….. 19 3.3.3.Dạng 3. Các bài toán cực trị của hàm số dạng …….. 26 3.3.4.Dạng 4. Tìm số điểm cực trị của đồ thị hàm số dạng …... 48 3.3.5.Dạng 5. Tìm số điểm cực trị của hàm số dạng ………. 52 4. Kết quả thực nghiệm………………………………………………………........ 64 PHẦN III. KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ.............................................................. 64 TÀI LIỆU THAM KHẢO......................................................................................... 65
PHẦN I. ĐẶT VẤN ĐỀ 1. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI Hiện nay công cuộc đổi mới của đất nước đa va đang đăt ra cho nganh Giao ̃ ̀ ̣ ̀ ́ ̣ ̀ ̀ ̣ ̣ duc va Đao tao nhiêm vu to ḷ ơn đo la đao tao nguôn nhân l ́ ́ ̀ ̀ ̣ ̀ ực chât l ́ ượng cao, đap ́ ứng yêu câu cua s ̀ ̉ ự nghiêp công nghiêp hoa, hiên đai hoa trong ̣ ̣ ́ ̣ ̣ ́ điều kiện kinh tế thị trường định hướng xã hội chủ nghĩa và hội nhập quốc tế. Vì thế, ngày 4112013, Tổng bí thư Nguyễn Phú Trọng đã ký ban hành Nghị quyết Hội nghị lần 8, BCHTW khoá XI, Nghị quyết 29NQ/Tw về đổi mới căn bản, toàn diện giáo dục và đào tạo. ̉ ực hiên nhiêm vu nay, bên c Đê th ̣ ̣ ̣ ̀ ạnh việc đổi mới mục tiêu, nội dung chương trình và sách giáo khoa ở moi bâc hoc, chúng ta c ̣ ̣ ̣ ần quan tâm nhiều đến việc đổi mới phương pháp dạy học: “Phương pháp giáo dục phải phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động, tư duy sáng tạo của người học; bồi dưỡng cho người học năng lực tự học, khả năng thực hành, lòng say mê học tập và ý chí vươn lên”. Vì vậy, mỗi thầy cô giáo trong ngành giáo dục phải tự hoàn thiện bản thân về nghề nghiệp, đổi mới về phương pháp dạy học đó là điều tất yếu để phù hợp với yêu cầu của ngành giáo dục và cũng là thể hiện sự tôn trọng, tâm huyết với nghề dạy học của mình. Các năm học gần đây có nhiều đổi mới trong đề thi từ tự luận đến trắc nghiệm khách quan trong môn Toán. Từ đó, người giáo viên phải thay đổi tư duy trong cách dạy và ôn luyện cho các em các phương pháp giải phù hợp với thi trắc nghiệm. Kiến thức ở dạng nhận biết, thông hiểu hoặc vận dụng thấp thường là các kiến thức cơ bản, học sinh có thể dễ dàng dành được những điểm số cao ở phần này. Nhưng ở các câu hỏi vận dụng cao, để dành được điểm số các em phải nắm được phương pháp cho các dạng câu hỏi đó. Ở các tài liệu tham khảo cũng như các trang mạng cũng viết nhiều về bài toán vận dụng cao cực trị hàm hợp, hàm ẩn chứa trị tuyệt đối nhưng mang tính rời rạc, chủ yếu đưa ra lời giải trực tiếp mà khi đọc học sinh rất khó để biết vì sao lại giải được như thế, gặp bài tương tự các em cũng khó vận dụng. Trong các đề thi chính thức, đề thi thử Tốt nghiệp THPT Quốc gia, đề học sinh giỏi các Tỉnh lớp 12 mấy năm gần đây, các bài toán cực trị hàm hợp, hàm ẩn chứa trị tuyệt đối luôn xuất hiện ngày càng nhiều, hay và mới mẻ. Đòi hỏi phải có tư duy cao và kĩ thuật giải toán điêu luyện mới giải quyết được trong khoảng thời gian ngắn. Chẳng hạn: Bài toán 1: (Trích đề thi tốt nghiệp THPT Quốc gia 2021 đợt 1) Cho hàm số có đạo hàm . Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số để hàm số có ít nhất 3 điểm cực trị? A. 6 . B. 7 . C. 5 . D. 4 . Bài toán 2: (Trích đề thi tốt nghiệp THPT Quốc gia 2021 đợt 2) Cho hàm số , với là tham số thực. Có bao nhiêu giá trị nguyên của để hàm số có đúng 7 điểm cực trị. A. 25 . B. 27 . C. 26 . D. 28 . Bài toán 3: (Trích đề thi học sinh giỏi Tỉnh Hà Tĩnh lớp 12 năm học 2021 2022 ) 4
Cho hàm số có đạo hàm liên tục trên . Đồ thị của hàm số như hình vẽ. Có bao nhiêu giá trị thực của tham số thuộc khoảng thoả mãn và hàm số có 5 điểm cực trị? A. . B. . C. . D. . Bài toán 4: (Trích đề thi thử tốt nghiệp THPT Quốc gia trường Lương Thế Vinh Hà Nội năm học 2021 2022) Cho hàm số liên tục trên . Đồ thị của hàm số như hình vẽ. hàm số có tối đa bao nhiêu điểm cực đại. Do đó chúng tôi luôn trăn trở làm thế nào để có tài liệu giảng dạy và cho học sinh ôn thi mang tính hệ thống giúp các em năng lực giải toán, có tầm nhìn, cách tiếp cận vấn đề tốt để giải quyết nhanh các bài toán cực trị hàm hợp, hàm ẩn chứa trị tuyệt đối. Cùng với phong trào “mỗi thầy cô giáo là một tấm gương tự học và sáng tạo”. Đồng thời hưởng ứng tinh thần đổi mới về chương trình Toán THPT mới: “Tinh giản – thiết thực – hiện đại và khơi nguồn sáng tạo”. Vì vậy trong năm học 2021 – 2022 chúng tôi đã nghiên cứu chuyên đề này. Chúng tôi chọn trình bày đề tài: “Phát triển năng lực giải toán cho học sinh thông qua bài toán Cực trị hàm hợp, hàm ẩn chứa trị tuyệt đối”. Với mong muốn học sinh tự tin hơn, sáng tạo hơn, biết quy lạ về quen khi đứng trước các bài toán lạ và khó. Thực tiễn cho thấy sự sáng tạo chỉ bắt đầu khi đứng trước một vấn đề cần giải quyết mà các phương pháp trước đó không đủ hoặc gặp trở ngại hoặc kết quả không đáp ứng yêu cầu hoặc xuất hiện giải pháp mới tốt hơn giải pháp cũ. Vì vậy quá trình giải bài tập toán cần phải tìm tòi, sáng tạo cái mới, phát triển trên cái đã biết để tìm ra giải pháp mới đáp ứng những yêu cầu nảy sinh. 2. ĐỐI TƯỢNG VÀ PHẠM VI NGHIÊN CỨU 1. Đối tượng: Học sinh lớp 12 Trung học phổ thông. 2. Phạm vi nghiên cứu: Học sinh lớp 12, học sinh giỏi Toán ôn thi TNTHPT. 3. MỤC TIÊU NGHIÊN CỨU a. Đối với học sinh: Giúp học sinh có phương pháp giải các dạng bài tập cực trị của hàm hợp, hàm ẩn chứa trị tuyệt đối. b. Đối với giáo viên: Giúp giáo viên phân loại được một số dạng bài tập vận dụng cao trong phần cực trị của hàm số. 5
4. GIẢ THIẾT KHOA HỌC CỦA ĐỀ TÀI Đề tài trình bày ý tưởng về phân dạng các bài tập cực trị của hàm hợp, hàm ẩn chứa trị tuyệt đối trong các đề thi TNTHPT quốc gia và hiểu rõ bản chất bài toán để áp dụng trong các kì thi học sinh giỏi và TNTHPT. 5. NHIỆM VỤ VÀ PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU 1. Nhiệm vụ Để đạt được mục đích trên, đề tài có nhiệm vụ làm rõ một số vấn đề sau: Chú trọng cho học sinh thao tác tư duy tương tự hóa giữa các dạng toán liên quan. Cần chú trọng rèn luyện cho học sinh năng lực chứng minh, suy diễn. ̉ ưc day th Tô ch ́ ̣ ực nghiệm đê b ̉ ước đầu kiêm nghi ̉ ệm tính khả thi các biện pháp đề ra. 2. Phương pháp: Trong quá trình nghiên cứu, đề tài sử dụng những phương pháp sau: Nghiên cứu lý luận, điều tra, quan sát thực tiễn và thực nghiệm sư phạm. 6. DỰ BÁO NHỮNG ĐÓNG GÓP MỚI CỦA ĐỀ TÀI Cung cấp những phương pháp và định hướng giải nhanh các dạng bài tập về cực trị của hàm hợp, hàm ẩn chứa trị tuyệt đối. Làm phong phú hơn kho tài liệu về dạy và học môn Toán học. ́ ̉ Phat triên cac năng l ́ ực như thu nhân, x ̣ ử li thông tin, năng l ́ ực tư duy, năng lực ngôn ngư,̃ năng lực nghiên cưu khoa hoc, giúp h ́ ̣ ọc sinh học tập tốt hơn, chủ động và tích cực hơn khả năng ghi nhớ khoa học và logic hơn. PHÂN II: N ̀ ỘI DUNG NGHIÊN CỨU 1. CƠ SỞ KHOA HỌC a. Cơ sở lý luận Hiện nay, thời gian thi cho môn Toán 90 phút với 50 câu hỏi trải rộng hầu hết chương trình 12,11. Vì vậy trong quá trình giải đề, nếu các em không lựa chọn được phương pháp thích hợp thì thời gian không đủ để giải quyết 50 câu hỏi mà số lượng câu hỏi dạng vận dụng ngày càng nhiều. Cách nhận biết và giải nhanh giúp học sinh nắm vững cac phân kiên th ́ ̀ ́ ưc, làm cho nôi ́ ̣ ̣ ́́ dung hoc co y nghia h ̃ ơn, hứng thú, hâp dân h ́ ̃ ơn vơi cac em hoc sinh. ́ ́ ̣ Phương phap day hoc nay có s ́ ̣ ̣ ̀ ử dung ph ̣ ần mềm vẽ đồ thị Geogebra giup tăng kha ́ ̉ ́ ̉ ̣ năng quan sat cua hoc sinh, đông th ̀ ơi cung s ̀ ̃ ử dung ph ̣ ương phap truyên thông la phân trăng ́ ̀ ́ ̀ ́ ́ ̉ ̉ ̉ bang đen đê tăng kha năng ghi nh ơ. Kêt h ́ ́ ợp vơi ś ử dung ban đô t ̣ ̉ ̀ ư duy, thao luân nhom th ̉ ̣ ́ ực sự ̣ ̣ ̉ mang lai hiêu qua cao v ơi hoc sinh. ́ ̣ b. Cơ sở thực tiễn Qua thực tế giảng dạy phần cực trị của hàm hợp, hàm ẩn chứa trị tuyệt đối, tôi nhận thấy nếu không đi từ các bài toán cơ bản để định hướng cách giải thì việc tìm ra lời giải bằng phương pháp cũ, học sinh sẽ tốn rất nhiều thời gian, không đủ thời gian và có thể không ra kết quả như mong muốn do đó không gây được hứng thú học tập ở học sinh. Qua thực tế giảng dạy các lớp khối khi ra những bài tập dạng này thấy các em rất khó khăn, lúng túng trong xử lí các bài toán. Cụ thể tháng 9 năm 2021 khi chưa áp dụng đề tài chúng tôi cho học sinh 2 lớp 12 Trường THPT Cửa Lò làm bài khảo sát, kết quả thu được như sau: Lớp Số hs Điểm 9 Điểm 7 Điểm 5 Điểm
2. THỰC TRẠNG TRƯỚC KHI THỰC HIỆN ĐỀ TÀI Trong quá trình dạy học chương ứng dụng của đạo hàm, rất ít học sinh tiếp cận với các dạng câu hỏi cực trị hàm hợp, hàm ẩn chứa có trị tuyệt đối: một phần vì đây là các câu vận dụng cao, các em cũng không định hướng được cách giải, nó có liên quan gì với các bài toán cơ bản trong sách giáo khoa không. Đứng trước thực trạng như vậy, chúng tôi đã mạnh dạn đưa ra đề tài này, vừa phục vụ giảng dạy cho bản thân vừa đồng thời làm tài liệu bồi dưỡng thường xuyên cho đồng nghiệp. 3. NỘI DUNG 3.1 Hai mệnh đề thường sử dụng 3.1.1 Mệnh đề 1: Goi k la sô điêm c ̣ ̀ ́ ̉ ực tri cua ham sô y = f(x); h la sô nghiêm đ ̣ ̉ ̀ ́ ̀ ́ ̣ ơn cua ph ̉ ương trinh f(x) = 0; e la sô nghiêm bôi le cua ph ̀ ̀ ́ ̣ ̣ ̉ ̉ ương trinh f(x) = 0, thi sô điêm c ̀ ̀ ́ ̉ ực trị cua ham sô băng k + h + e ̉ ̀ ́ ̀ Để chứng minh mệnh đề trên, trước tiên ta chứng minh bổ đề sau: Bổ đề: Nếu là điểm tới hạn của hàm số y = f(x) thì cũng là điểm tới hạn của hàm số g(x)=| f(x)| Chứng minh bổ đề: + Ta có + Theo giả thiết, là điểm tới hạn của hàm số nên xác định và không xác định. +) Ta có . Vì xác định nên xác định. Vậy xác định. (*) + Ta có . Vì không xác định nênkhông xác định. Vậy không xác định.(**) Từ (*), (**) suy ra cũng là điểm tới hạn của hàm số g(x)=| f(x)| Chứng minh mệnh đề 1 ̣ ̣ Thât vây + Theo giả thiết, y = f(x) co k điêm c ́ ̉ ực tri co m nghiêm đ ̣ ́ ̣ ơn, n nghiêm bôi le và t ̣ ̣ ̉ điểm tới hạn ma m + n + t = k. (*) ̀ + Theo giả thiết, h la sô nghiêm đ ̀ ́ ̣ ơn cua ph ̉ ương trinh ; e la sô nghiêm bôi le cua ̀ ̀ ́ ̣ ̣ ̉ ̉ phương trinh (**) ̀ + ; ́ ́ ̉ ực tri cua ham sô băng k + h + e Theo (*), (**) ta co sô điêm c ̣ ̉ ̀ ́ ̀ 3.1.2 Mệnh đề 2: Goi la sô điêm c ̣ ̀ ́ ̉ ực tri d ̣ ương cua ham sô thi sô điêm c ̉ ̀ ́ ̀ ́ ̉ ực tri cua ̣ ̉ ham sô băng ̀ ́ ̀ Thât vâỵ ̣ ̉ ́ ̀ ́ ̉ ực tri d + Theo gia thiêt la sô điêm c ̣ ương cua ham sô co nghiêm d ̉ ̀ ́ ́ ̣ ương ̀ ̀ ̣ ̀ đô thi đôi x + Vi đô thi va ̀ ̣ ́ ứng nhau qua Oy co nghiêm âm ́ ̣ ̀ ̀ ̣ ̀ + Vi đô thi ham sô ̀ ̀ ̣ ̀ ́va đô thi ham sô ́ ưng nhau qua truc Oy nên f’(x) đôi dâu khi ́ đôi x ́ ̣ ̉ ́ ̉ qua điêm x = 0 ̣ ́ ̉ ực tri cua ham sô Vây sô điêm c ̣ ̉ ̀ ́ băng ̀ 3.2 Ba bài toán cơ bản về cực trị hàm số  3.2.1 Bài toán c ơ bản 1 :Tìm số điểm cực trị của đồ thị hàm số Bước 1: Tìm TXĐ, tính y’ 7
Bước 2:Tìm các giá trị để tại đó y’=0 hoặc không xác định Bước 3: Lập bảng biến thiên và kết luận số điểm cực trị (Chú ý: Số điểm cực trị bằng số nghiệm đơn (hoặc nghiệm bội lẻ) của y’ Ví dụ 1. Sô điêm c ́ ̉ ực tri cua ham sô ̣ ̉ ̀ ́ là A. 2. B. 4. C. 3. D. 1. Lời giải ̣ ́ ̣ Tâp xac đinh: . . ̉ Bang biên thiên: ́ ́ ̀ ́ ́ ̉ ực tri.̣ Chọn C. Dựa vao bang biên thiên suy ra ham sô co 3 điêm c ̀ ̉ Ví dụ 2. Cho hàm số có đạo hàm với mọi . Số điểm cực trị của hàm số là A. . B. . C. . D. . Lời giải Ta có Bảng xét dấu đạo hàm. Suy ra hàm số đạt cực đại tại , đạt cực tiểu tại Chọn A. Lời bình: Ta thấy số điểm cực trị của hàm số bằng số nghiệm đơn hoặc nghiệm bội lẻ của  3.2.2Bài toán cơ bản 2: Đồ thị hàm số có bao nhiêu điểm cực trị? Phương pháp giải Cách 1: Áp dụng mệnh đề 1 ở mục 3.1.1 Bước 1: Tìm số điểm cực trị của hàm dưới dấu trị tuyệt đối Bước 2: Tìm số các nghiệm đơn nghiệm bội lẻ của phương trình Bước 3: Kết luận số điểm cực trị của hàm số bằng: Cách 2: Sử dụng phép biến đổi đồ thị. Ví dụ 1. Cho hàm số có như hình vẽ sau. Số điểm cực trị của hàm số là: A. . B. . C. . D. . Lời giải Ta thấy có 2 nghiệm đơn, có 3 nghiệm đơn . Như vậy, có 5 nghiệm đơn, suy ra hàm số có 2 + 3 = 5 điểm cực trị. Chọn B.  3.2.3Bài toán cơ bản 3: Đồ thị hàm số có bao nhiêu điểm cực trị? 8
Phương pháp giải: Cách 1. (Áp dụng định nghĩa trị tuyệt đối). Bước 1. Ta có Số nghiệm của ta dựa vào đồ thị, bảng biến thiên suy ra. Bước 2. Lập bảng biến thiên kết luận cho bài toán Cách 2. Vì hàm số là hàm số chẵn nên đồ thị nhận trục Oy làm trục đối xứng. Vì thế ta có công thức tính số điểm cực trị là với là số nghiệm dương của Năng lực giải toán của học sinh sẽ được phát triển trong hoạt động và bằng hoạt động thông qua 5 dạng toán cực trị hàm hợp, hàm ẩn chứa trị tuyệt đối (được mở rộng từ 3 bài toán cơ bản ở trên) từ dễ đến khó dưới sự dẫn dắt, định hướng của giáo viên. Bây giờ chúng tôi sẽ đi vào nghiên cứu nội dung chính của đề tài. 3.3. Phát triển năng lực giải toán cho học sinh thông qua bài toán cực trị hàm hợp, hàm ẩn chứa trị tuyệt đối 3.3.1. Dạng 1. Tìm số điểm cực trị của hàm hợp dạng trong đó là hàm số đối và là hằng số, Phương pháp giải: Bước 1: Tìm số điểm cực trị của hàm số dưới dấu trị tuyệt đối . Ta thực hiện như sau: +) Tính đạo hàm +) Giải phương trình +) Tìm số nghiệm đơn hoặc bội lẻ và các điểm mà không xác định. Suy ra số điểm cực trị của hàm . Bước 2: Tìm số nghiệm phương trình ta thực hiện như sau: Lập bảng biến thiên của hàm số , kết hợp tương giao đường thẳng để suy ra số nghiệm đơn, nghiệm bội lẻ của phương trình Bước 3: Kết luận: số cực trị của bằng số điểm cực trị của hàm số cộng với số nghiệm đơn, cộng số nghiệm bội lẻ của phương trình . (Theo mệnh đề 1 ở mục 3.1.1). ﾡ Ví dụ 1. Cho hàm số xác định, liên tục trên và có bảng biến thiên như hinh ve ̀ ̃ dưới. Số điểm cực trị của hàm số là: A. B. C. D. Phân tích: Đây là dạng bài đếm số cực trị của hàm số cho bởi đồ thị, học sinh thấy cực trị hàm hợp đã khó rồi giờ lại còn thêm cả trị tuyệt đối thì quả là rối rắm, rất 9
nhiều em sẽ không biết nên làm thế nào. Sau đây ta sẽ định hướng các bước giải để tháo gỡ khó khăn. Định hướng Bước 1: Tìm số cực trị của hàm số (là hàm dưới dấu trị tuyệt đối) Bước 2: Tìm số nghiệm đơn, nghiệm bội lẻ của phương trình Bước 3: Kết luận số điểm cực trị của hàm (dựa vào mệnh đề 1 ở mục 3.1.1 để kết luận). Lời giải Xét hàm số .Ta có . Ta có đổi dấu khi đi qua 2 nghiệm này nên hàm số có 2 cực trị. Xét phương trình Trong 2 nghiệm này thì là nghiệm đơn (không trùng với 2 điểm cực trị của hàm số ); là nghiệm bội chẵn. Do đó PT có 1 nghiệm đơn và có 0 nghiệm bội lẻ. Vậy hàm số có điểm cực trị. Chọn C. Nhận xét: Trong bài trên là hàm bậc nhất thì việc tìm số cực trị của hàm cũng không quá phức tạp. Khi là hàm đa thức có bậc cao hơn thì mức độ khó sẽ được tăng lên. Ta đi tìm hiểu bài toán sau. Ví dụ 2. Cho hàm số có đồ thị như hình vẽ bên. Số cực trị của hàm số là: A. 15 B. 16 C. 17 D. 18 Định hướng Bước 1: Tìm số cực trị của hàm số dưới dấu giá trị tuyệt đối . Bước 2: Tìm số nghiệm đơn, bội lẻ của phương trình Bước 3: Kết luận số cực trị của hàm (dựa vào mệnh đề 1 ở mục 3.1.1 để kết luận). Lời giải Xét hàm số Suy ra: ; Ta có +); Xét hàm số có bảng biến thiên: 10
Do đó: ; Xét thấy 9 nghiệm này là các nghiệm đơn phân biệt của phương trình , mà hàm đổi dấu khi đi qua 9 nghiệm trên. Suy ra hàm số có 9 cực trị. Bây giờ ta tìm số nghiệm phương trình . Căn cứ đồ thị của và bảng biến thiên của hàm số ở trên ta có: Ta có có 8 nghiệm đơn phân biệt, các nghiệm này không trùng với các điểm cực trị của hàm số . Vậy hàm số có điểm cực trị. Chọn C. Lưu ý: Chúng ta cần khắc sâu mấu chốt tìm số cực trị của hàm dưới dấu trị tuyệt đối và tìm số nghiệm đơn, bội lẻ của phương trình Ví dụ 3. Cho hàm số có đồ thị đạo hàm như hình vẽ dưới đây, biết . Hàm số có tối đa bao nhiêu điểm cực trị? A. . B. . C.. D.. Định hướng Bước 1: Tìm số cực trị của hàm số dưới dấu trị tuyệt đối . Bước 2: Tìm số nghiệm đơn, bội lẻ của phương trình Bước 3: Kết luận số cực trị của hàm (dựa vào mệnh đề 1 ở mục 3.1.1 để kết luận). Lời giải Xét hàm số có Phương trình đạo hàm Suy ra hàm số có điểm cực trị. Xét phương trình Vì có 8 cực trị và nên có bảng biến thiên 11
Do đó phương trình có tối đa 9 nghiệm đơn phân biệt không trùng với các điểm cực trị của hàm số Vậy có tối đa 8 + 9 = 17 điểm cực trị. Chọn B. Ví dụ 4. Cho hàm số có đồ thị như hình vẽ. Biết tất cả các điểm cực trị của hàm số là ; ; ; ; với . Số điểm cực trị của hàm số là A. 10. B. 13. C. 11. D. 7. Định hướng Bước 1: Tìm số cực trị của hàm số dưới dấu trị tuyệt đối . Bước 2: Tìm số nghiệm đơn, bội lẻ của phương trình Bước 3: Kết luận số cực trị của hàm (dựa vào mệnh đề 1 ở mục 3.1.1 để kết luận). Lời giải Xét hàm số . Từ đồ thị ta có 2; 0; 2; ; 6 là tất cả các nghiệm của . Ta có: Ta có bảng biến thiên của hàm số Dựa vào bảng biến thiên của hàm số , ta suy ra là nghiệm kép của phương trình và là nghiệm kép của phương trình . Do đó và là nghiệm kép của . Do vậy và là nghiệm bội ba của . Các nghiệm khác và của đều là nghiệm đơn. Nên hàm số đã cho có 11 cực trị. Bây giờ ta tìm số nghiệm phương trình Căn cứ đồ thị của hàm ta có Căn cứ vào bảng biến thiên của hàm số ta có phương trình vô nghiệm, phương trình có hai nghiệm đơn phân biệt (hai nghiệm này không trùng với bất kì điểm cực trị nào của hàm số ở trên) . Do đó có 2 nghiệm đơn phân biệt. Vậy hàm số có 11 + 2 = 13 cực trị. Chọn B. 12
Ví dụ 5. Cho hàm số là hàm số bậc 3 có đồ thị là đường cong như hình vẽ. Biết . Hàm số có mấy điểm cực tiểu? A. . B. . C. . D. . Lời giải Từ đồ thị ta thấy do đó ta có . Xét ta có (Tất cả các nghiệm đều bội lẻ) Ta có bảng biến thiên của hàm số như sau: Do hàm số là hàm bậc 3 suy ra là hàm bậc nhất có hệ số bậc nhất âm và do đó , theo giả thiết nên kết hợp với bảng biến thiên của hàm số suy ra hàm số có 6 điểm cực tiểu. Chọn D. Lời bình: Khi đã quen với quy trình giải toán, nếu không còn là đa thức ta cũng giải quyết tương tự. Ta nghiên cứu các bài toán sau. Ví dụ 6. Cho hàm sốcó đạo hàm . Hàm số có tối thiểu bao nhiêu điểm cực trị. A. . B. . C. . D. . Định hướng Bước 1: Tìm số cực trị của hàm số dưới dấu trị tuyệt đối . Bước 2: Tìm số nghiệm đơn, bội lẻ của phương trình Bước 3: Kết luận số cực trị của hàm (dựa vào mệnh đề 1 ở mục 3.1.1 để kết luận). Lời giải Xét hàm số có và Bảng xét dấu của 13
Khi đó Suy ra hàm số có 6 điểm cực trị Xét phương trình Bảng biến thiên Căn cứ bảng biến thiên thì phương trình có tối thiểu 1 nghiệm. Vậy Hàm số có tối thiểu 6 + 1 = 7 điểm cực trị. Chọn D. Nhận xét: Khi học sinh đã quen với đường lối giải thì ta không cần định hướng nữa mà để các em tự tìm tòi mới phát triển khả năng tư duy của các em, giáo viên chỉ hỗ trợ định hướng khi thấy thực sự cần thiết. Ví dụ 7. (Đề thi thử THPT Lương Thế Vinh2021) Cho hàm bậc ba có đồ thị như hình vẽ. Hàm số có bao nhiêu điểm cực trị trên đoạn . A.. B. . C.. D. . Lời giải: Xét hàm số Phương trình cho một nghiệm thuộc đoạn . Phương trình cho nghiệm thuộc đoạn . Ta tìm số cực trị của hàm số . Ta có: , (Vì ) . Hàm số có một điểm cực trị thuộc trục hoành . Vậy hàm số có điểm cực trị. Chọn D 14
Ví dụ 8. Cho hàm số là hàm đa thức bậc bốn. Biết và đồ thị hàm số có hình vẽ bên dưới. Hàm số có bao nhiêu điểm cực trị trên đoạn ? A. . B. . C. . D. . Lời giải Ta có qua nên Suy ra . Bảng biến thiên của Ta có bảng chuyển đổi giá trị Khi đó có bảng biến thiên của với Hàm sốcó 17 cực trị trên đoạn Phương trình có có 16 nghiệm phân biệt trên đoạn. Suy ra Phương trình có 16 nghiệm phân biệt trên đoạn . Vậy hàm có điểm cực trị trên đoạn Ví dụ 9. Cho hàm số y=f(x) có đồ thị hình vẽ. Gọi S là tập hợp các giá trị nguyên dương của tham số m để đồ thị hàm số có 5 điểm cực trị. Tổng giá trị tất cả các phần tử của S bằng A. . B. . C. . D. . Lời giải: 15
Cách 1: Dùng đồ thị . Nhận thấy: số giao điểm của với bằng số giao điểm của với .Vì nên có được bằng cách tịnh tiến lên trên đơn vị. Đồ thị hàm số có được bằng cách lấy đối xứng qua trục hoành phần đồ thị nằm phía dưới trục và giữ nguyên phần phía trên trục . Ta xét các trường hợp sau: + Trường hợp 1: : đồ thị hàm số có 7 điểm cực trị (loại). + Trường hợp 2: : đồ thị hàm số có 5 điểm cực trị (thỏa mãn). + Trường hợp 3: : đồ thị hàm số có 5 điểm cực trị (thỏa mãn). + Trường hợp 4: : đồ thị hàm số có 3 điểm cực trị (loại). Vậy Do nên hay . Vậy tổng giá trị tất cả các phần tử của bằng . * Cách 2: đạo hàm hàm số hợp. Ta có: Xét Do phương trình có nghiệm phân biệt nên phương trình cũng có nghiệm phân biệt. Suy ra phương trình phải có 2 nghiệm đơn khác nghiệm (1) hoặc 2 nghiệm đơn và một nghiệm kép trùng với nghiệm của (1). Vậy tổng giá trị tất cả các phần tử của bằng . Chọn D. Lời bình: Trong 2 cách giải trên ta nên định hướng cho các em giải theo cách thứ 2 vì đây là cách nhanh nhất và dễ tiếp thu nhất đối với các em! Ví dụ 10. (Trích đề thi thử chuyên Lam sơn Thanh Hóa lần 2 năm học 20212022) Cho hàm số , với là tham số. Có bao nhiêu giá trị nguyên của thuộc đoạn để hàm số có số điểm cực trị nhiều nhất? A. 2021. B. 2022. C. 4040. D. 2023 Lời giải Hàm số có số điểm cực trị nhiều nhất là khi và chỉ khi phương trình có nghiệm phân biệt hay phương trình có nghiệm phân biệt Ta có Suy ra có nghiệm phân biệt khi và chỉ khi có nghiệm phân biệt khác và 1 tức là do nguyên thuộc nên có 2021 giá trị thỏa mãn. Ví dụ 11. Cho hàm số có đồ thị như hình vẽ. Có bao nhiêu giá trị nguyên m trên để hàm số có 3 điểm cực trị? 16
A. B. C. D. Lời giải: Gọi Suy ra y=g(x) có 2 cực trị. Để hàm số (1) có 5 cực trị thì phương trình g(x)=0 có 1 nghiệm đơn (hoặc 1 đơn, 1 kép) có 1 nghiệm đơn (hoặc 1 đơn, 1 kép) suy ra có 2020 giá trị cần. Chọn A. 3.3.2.Dạng 2. Tìm số điểm cực trị của hàm ẩn dạng trong đó là hàm số đối và là hằng số khác Phương pháp chung: Bước 1: Tìm số điểm cực trị của hàm số dưới dấu trị tuyệt đối . Ta thực hiện như sau: +) Tính đạo hàm +) Giải phương trình +) Tìm số nghiệm đơn hoặc bội lẻ và các điểm mà không xác định. Suy ra số điểm cực trị của hàm . Bước 2: Tìm số nghiệm phương trình ta thực hiện như sau: Lập bảng biến thiên của hàm số , kết hợp tương giao đường thẳng để suy ra số nghiệm đơn, bội lẻ của phương trình Bước 3: Kết luận: số cực trị của bằng số điểm cực trị của hàm số cộng với số nghiệm đơn, cộng số nghiệm bội lẻ của phương trình . (Theo mệnh đề 1 ở mục 3.1.1). Ví dụ 1. Cho hàm số với . Biết đồ thị f’(x) như hình vẽ. Hỏi hàm số có bao nhiêu điểm cực trị?. A. B. C. D. Lời giải: Ta có Dựa vào đồ thị hàm ta suy ra có hai nghiệm và và Đặt Dựa vào tương giao đồ thị f’(x) và đường thẳng y=x suy ra có ba nghiệm , , 17
Ta có bảng biến thiên của Dựa vào bảng biến thiên ta suy ra có 2 nghiệm đơn. Vậy hàm số có 5 có 3 + 2 = 5 điểm cực trị. Chọn B Ví dụ 2. Cho hàm số đa thức có đạo hàm trên , và đồ thị hình bên dưới là đồ thị của đạo hàm . Hỏi hàm số có bao nhiêu cực trị? A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 Lời giải: Đặt , , Theo đồ thị của hàm số thì phương trình có nghiệm Ta có bảng biết thiên x ∞ 1 0 1 2 +∞ h' ( x) 0 + 0 0 + 0 + +∞ +∞ h( x ) f ( 0) Theo bảng biến thiên ta có phương trình có hai nghiệm và (do có ). Khi đó ta có x ∞ x 1 0 1 x 1 2 +∞ +∞ +∞ g( x)= h( x) f ( 0) 0 0 Vậy hàm số có cực trị. Chọn C. 18
Ví dụ 3. Cho hàm số . Hàm số có đồ thị như hình vẽ bên. Hàm số có tối đa bao nhiêu điểm cực trị A. . B. . C. . D. . Lời giải Xét hàm số có: Đường cong cắt parabol tại ba điểm có hoành độ lần lượt là Và đổi dấu khi đi qua các điểm nên có ba điểm cực trị. Xét phương trình Ta có bảng biến thiên Vậy phương trình có tối đa bốn nghiệm ( đơn hoặc bội lẻ ) Vậy hàm số có tối đa điểm cực trị Ví dụ 4. Cho hàm số có đồ thị đạo hàm như hình vẽ dưới đây. Hỏi hàm số có tối đa bao nhiêu điểm cực trị? A. . B. . C. . D. Lời giải Xét hàm số Cho Ta có đồ thị: 19
Từ đồ thị ta thấy phương trình có ba nghiệm phân biệt là Suy ra hàm số có ba điểm cực trị có tối đa điểm cực trị. Chọn D. Ví dụ 5. Cho là hàm số đa thức bậc 5 với . Biết hàm số có đồ thị như hình bên. Hàm số có bao nhiêu điểm cực trị? A. 4. B. 3. C. 1. D. 0. Lời giải Xét hàm số Ta có: Dựa vào đồ thị hàm bậc bốn và ta có Suy ra , dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi . Do đó không có điểm cực trị nào. Xét phương trình Vì hàm số đa thức bậc 5 nên liên tục trên cũng là hàm số đa thức bậc 5 do đó liên tục trên liên tục trên , mà Lại có . Do đó phương trình có nghiệm duy nhất . Vậy hàm số có điểm cực trị. Chọn C. Ví dụ 6. (Trích đề thi thử TN THPT Trường Lương Thế Vinh Hà Nội năm học 2021 2022) Cho hàm số liên tục trên . Đồ thị của hàm số như hình vẽ. hàm số có tối đa bao nhiêu điểm cực đại. A. 4. B. 3. C. 1. D. 2. Lời giải Xét hàm số liên tục trên . Khi đó nên . Đặt, khi đó xét hàm . Vẽ đồ thị hàm số cùng hệ tọa độ với đồ thị hàm số ta được như hình dưới 20