Sáng kiến kinh nghiệm THPT: Phát triển năng lực mô hình hóa toán học cho học sinh thông qua việc tiếp cận và giải quyết các bài toán thực tiễn về khối tròn xoay

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:59

Thêm vào BST

Báo xấu

4
lượt xem 3
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Mục đích nghiên cứu sáng kiến nhằm nghiên cứu các câu hỏi về khối tròn xoay trong đề thi tốt nghiệp THPT và các bài toán về khối tròn xoay trong thực tiễn, từ đó giúp học sinh tiếp cận và có cái nhìn khái quát hơn, trực quan hơn các dạng toán thực tế về khối tròn tròn xoay qua đó phát triển năng lực mô hình hóa cho học sinh.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Sáng kiến kinh nghiệm THPT: Phát triển năng lực mô hình hóa toán học cho học sinh thông qua việc tiếp cận và giải quyết các bài toán thực tiễn về khối tròn xoay

Phần I. ĐẶT VẤN ĐỀ 1.1. Lý do chọn đề tài Toán học có liên hệ mật thiết với thực tiễn và có ứng dụng rộng rãi trong rất nhiều lĩnh vực khác nhau của khoa học, công nghệ cũng như trong sản xuất và đời sống. Với vai trò đặc biệt, Toán học trở nên cần thiết đối với mọi ngành khoa học, góp phần làm cho đời sống xã hội ngày càng hiện đại và văn minh hơn. Bởi vậy, việc rèn luyện cho học sinh năng lực vận dụng kiến thức Toán học vào thực tiễn là điều cần thiết đối với sự phát triển của xã hội và phù hợp với mục tiêu của giáo dục Toán học. Để thực hiện đổi mới căn bản, toàn diện giáo dục và đào tạo, đòi hỏi giáo dục phổ thông cần chuyển từ nền giáo dục theo hướng tiếp cận nội dung sang tiếp cận năng lực người học. Chương trình giáo dục phổ thông môn Toán (2018) xác định năng lực mô hình hóa là một trong những thành tố cốt lõi của năng lực toán học với yêu cầu cần đạt: Thiết lập được mô hình toán học để mô tả tình huống, từ đó đưa ra cách giải quyết vấn đề toán học đặt ra trong mô hình được thiết lập. Có thể nói mô hình hóa toán học được hiểu là sử dụng công cụ toán học để thể hiện vấn đề thực tiễn dưới dạng của ngôn ngữ toán học. Trong dạy học toán mô hình hóa là quá trình giúp học sinh tìm hiểu, khám phá các tình huống nảy sinh từ thực tiễn bằng công cụ toán học. Quá trình này đòi hỏi các kỹ năng và thao tác tư duy toán học như phân tích, tổng hợp, so sánh, khái quát hóa, trừu tượng hóa. Cách tiếp cận này giúp việc học toán của học sinh trở nên có ý nghĩa hơn, tạo động cơ và niềm say mê toán học. Là một giáo viên đang thực hiện chương trình giáo dục mới chúng tôi tự đặt ra câu hỏi vậy hình thành và phát triển năng lực mô hình hóa như thế nào và thông qua những hoạt động nào? Trong quá trình dạy học chúng tôi nhận thấy việc dạy học sinh giải các bài toán về khối tròn xoay có thể phát triển năng lực mô hình hóa cho học sinh rất tốt. Vì vậy, chúng tôi đã chọn đề tài: “Phát triển năng lực mô hình hóa toán học cho học sinh thông qua việc tiếp cận và giải quyết các bài toán thực tiễn về khối tròn xoay”. 1.2. Mục đích và nhiệm vụ của đề tài Nghiên cứu các câu hỏi về khối tròn xoay trong đề thi tốt nghiệp THPT và các bài toán về khối tròn xoay trong thực tiễn, từ đó giúp học sinh tiếp cận và có cái nhìn khái quát hơn, trực quan hơn các dạng toán thực tế về khối tròn tròn xoay qua đó phát triển năng lực mô hình hóa cho học sinh. Nghiên cứu các bước thiết lập mô hình hoá toán học cho các bài toán thực tiễn về khối tròn xoay 1.3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu Học sinh ôn thi tốt nghiệp THPT QG Giáo viên giảng dạy môn Toán trường THPT Lê Lợi Tân Kỳ và các trường THPT trên địa bàn. 1
1.4. Phương pháp nghiên cứu Để thực hiện mục đích và nhiệm vụ của đề tài, trong quá trình nghiên cứu cần sử dụng các nhóm phương pháp sau: Nghiên cứu các loại tài liệu sư phạm có liên quan đến đề tài. Nhóm phương pháp lý thuyết Phương pháp thực nghiệm. 2
Phần II. NỘI DUNG Chương 1 Cơ sở lý thuyết và thực tiễn 1.1. Thực trạng của đề tài Thực tế, nếu cách giảng dạy của giáo viên và cách học tập của học sinh trên chỉ bám vào sách giáo khoa hiện hành thì chưa có điều kiện tiếp cận nhiều các dạng toán về khối tròn xoay và đặc biệt là các dạng bài toán thực tế, các bài toán có hình vẽ phức tạp về khối tròn xoay. Điều đó làm cho học sinh có tâm thế e ngại và cảm thấy môn Toán chưa thực sự gần gũi và cần thiết trong cuộc sống. Mặc dù trong những năm gần đây, cùng với sự thay đổi trong phương thức kiểm tra, đánh giá thì một số đề thi đã đưa các bài toán gắn với thực tiễn như liên quan đến khối tròn xoay và tính diện tích thể tích vẫn còn rất ít. Chúng ta cần phải thay đổi hơn nữa, nhân rộng các bài toán thực tiễn, các đề thi có các bài toán thực tiễn để nhằm đánh giá năng lực phát hiện và giải quyết vẫn đề, năng lực mô hình hóa toán học và liên hệ toán học vào các tình huống thực tế cụ thể. Về học sinh việc nghiên cứu lí thuyết và thực hành dạy học cho thấy những khó khăn thường gặp của học sinh; Thứ nhất là vấn đề hiểu tình huống: học sinh không thể tự nhận ra hết những thông tin quan trọng của tình huống cần để chuyển đổi sang ngôn ngữ toán học và thường bị chi phối bởi những hình ảnh minh họa. Điều này dẫn đến xây dựng mô hình toán học chưa phù hợp. Thứ hai là vấn đề toán học hóa: học sinh khó khăn trong trong việc đơn giản bài toán, xử lí điều kiện bài toán, chuyển bài toán sang ngôn ngữ toán học. Thứ ba là vấn đề giải bài toán: học sinh quên kiến thức cũ, không linh hoạt trong tìm phương pháp giải, quen giải theo dạng, khả năng liên tưởng còn hạn chế. Thứ tư là học sinh thường thiếu kiến thức thực tiễn, khả năng liên hệ kiến thức liên môn còn yếu. Về Giáo viên: Mô hình hóa rất có ích cho dạy học Toán nhưng lại gặp không ít khó khăn. Thứ nhất là lựa chọn một vấn đề ngoài toán học để ủy thác cho học sinh không phải dễ vì bài toán liên hệ với thực tế có độ khó cao. Vì vậy, cần một tình huống thực tiễn thật sự hay biến đổi đến mức nào thì phù hợp trong việc giảng dạy. Thứ hai là năng lực xây dựng và phát triển một bài toán nảy sinh từ tình huống thực tế còn hạn chế, khó xây dựng hoặc lựa chọn mô hình toán học; học sinh thường không thích thử phương pháp mới. 1.2. Cơ sở lý thuyết 1.2.1. Kiến thức về mô hình hóa và năng lực mô hình hóa toán học 1.2.2. Kiến thức về xây dựng công thức toán học trong khối tròn xoay. 1.3. Cơ sở thực tiễn Qua khảo sát thực tế, học sinh tốt nghiệp THPT QG hiện nay nói chung và học sinh trường THPT Lê Lợi nói riêng (chất lượng đầu vào thấp), tư duy hệ thống, logic và lập luận của các em còn hạn chế. Tính liên hệ thực tế và sự chuyển đổi giữa toán học và thực tiễn 3
chưa linh hoạt. Các em còn gặp khó khăn khi giải các bài toán thực tiễn trong các đề thi cũng như trong quá trình học tập. Khi vận dụng toán giải các bài toán thực tế liên quan đến khối tròn xoay , đa số học sinh (kể cả học sinh khá giỏi) thường gặp những khó khăn và có những sai lầm nhất định chẳng hạn: Nếu không có hình vẽ thì học sinh thường không hình dung được hình phẳng (hay vật thể tròn xoay) dẫn đến không tính được diện tích hình phẳng hoặc thể tích vật thể. Vì thế học sinh có cảm giác “xa lạ” so với khi học về diện tích của hình phẳng đã học trước đây (diện tích đa giác, thể tích các khối đa diện). Dạy thử nghiệm và dạy đối chứng được tiến hành trong cùng một nhà trường. Sau giáo án thử nghiệm chúng tôi tiến hành cho HS làm bài kiểm tra 90 phút có phân tích, đánh giá kết quả bài kiểm tra. Lớp dạy thử nghiệm và lớp dạy đối chứng có sỹ số và kết quả học tương đương nhau thuộc Trường THPT Lê Lợi. Số Điểm 9-10 Điểm 7-8 Điểm 5-6 Điểm
Chương 2 Phát triển năng lực mô hình hóa toán học cho học sinh thông qua việc tiếp cận và giải quyết các bài toán thực tiễn về khối tròn xoay 2.1. Thiết lập hoạt động mô hình hóa trong dạy học về nội dung khối tròn xoay trong chương trình lớp 12. 2.1.1. Quy trình mô hình hóa trong dạy học nội dung khối tròn xoay Phỏng theo Coulange (1997), tác giả Lê Thị Hoài Châu (2014) đã cụ thể hóa các bước của quá trình mô hình hóa như sau: Thiết lập hoạt động mô hình hóa trong dạy học về nội dung khối tròn xoay lớp 12: Bước 1: Quan sát và thu thập số liệu của các tình huống thực tiễn liên quan trực tiếp đến việc tìm giải pháp cho vấn đề. Hai nhiệm vụ quan trọng nhất trong bước 1 là quan sát và thu thập số liệu. Ở bước này, cần phát hiện được các yếu tố có liên quan trong tình huống thực tiễn, yếu tố nào đã xác định, yếu tố nào cần tìm và mối quan hệ giữa các yếu tố. Bước 2: Từ các yếu tố của tình huống thực tiễn, xem xét mối quan hệ để biểu diễn tình huống thành một bài toán có liên quan khối tròn xoay. Sắp xếp các mối quan hệ và kết nối chúng tạo thành một sơ đồ logic và phát biểu bài toán bằng ngôn ngữ toán học. Bước 3: Dùng công cụ toán học – công thức diện tích xung quanh , diện tích toàn phần, thể tích khối tròn xoay để giải bài toán đã được thiết lập Bước 4: Đối chiếu kết quả của lời giải với mô hình thực tiễn và kết luận. Đánh giá lời giải và đối chiếu với mô hình thực tiễn của bài toán. Từ đó, đưa ra kết luận về mô hình hóa toán học cho bài toán thực tiễn ban đầu. 5
2.1.2. Một số kiến thức cần nhớ trong dạy học nội dung khối tròn xoay a) Thể tích khối tròn xoay được tạo thành khi quay một hình phẳng quanh trục hoành Thể tích của một vật thể tròn xoay được tạo bởi một hình phẳng giới hạn bởi các đường: y  f ( x) , trục hoành, hai đường thẳng x  a; x  b (a  b) và quay quanh trục Ox , được tính theo công thức: b V     f ( x) dx 2 a b) Hình nón – khối nón + Diện tích xung quanh: S xq   rl + Diện tích toàn phần: STP   rl   r 2   r  l  r  1 1 + Thể tích của khối nón: Vn  Bh   r 2 h 3 3 c) Hình trụ – khối trụ + Diện tích xung quanh: S xq  2 rl + Diện tích toàn phần: STP  2 rl  2 r 2  2 r  l  r  + Thể tích của khối trụ : VTr  Bh   r 2 h . d) Hình cầu – khối cầu i) Định nghĩa mặt cầu  Mặt cầu: S(O;R)  M OM  R  Khối cầu: V(O;R)  M OM  R ii) Vị trí tương đối giữa mặt cầu và mặt phẳng iii) Diện tích mặt cầu và thể tích khối cầu + Diện tích của mặt cầu : SC  4 r 2 . 4 + Thể tích của khối cầu : VC   r 3 . 3 6
2.2. Một số phương pháp tiếp cận và giải quyết các bài toán thực tiễn về khối tròn xoay nhằm phát triển năng lực mô hình hóa cho học sinh. 2.2.1. Phương pháp tiếp cận và giải quyết bài toán thực tế về khối nón Bài 1. Với một miếng tôn hình tròn có bán kính bằng R = 6cm. Người ta muốn làm một cái phễu bằng cách cắt đi một hình quạt của hình tròn này và gấp phần còn lại thành hình nón (Như hình vẽ). Hình nón có thể tích lớn nhất khi người ta cắt cung tròn của hình quạt bằng A.  6 cm B. 6 6 cm C. 2 6 cm D. 8 6 cm Bước 1: Giáo viên hỗ trợ HS thu thập và tìm hiểu thông tin thông qua một số câu hỏi như:  Đề bài yêu cầu cần xác định gì?  Hình dạng chiếc phễu ?  Từ bán kính miếng tôn ta xác định được gì? Đường sinh, chiều cao hình nón là bao nhiêu?  Tính thể tích tức là xác định gì? Thể tích lớn nhất áp dụng công thức nào? Bước 2: Giáo viên giúp học sinh phát biểu tình huống ban đầu bằng ngôn ngữ toán học:  Gọi x (x>0) là chiều dài cung tròn của phần được xếp làm hình nón.  Rút bán kính, chiều cao của hình nón theo x: 2 x x Ta có: 2 r  x  r   h  R2  r 2  R2  2 2 4  Lập công thức thể tích theo x, tìm x để thể tích hình nón lớn nhất Bước 3: HS chủ động sử dụng công cụ toán học để giải quyết bài toán toán học. Gọi x (x>0) là chiều dài cung tròn của phần được xếp làm hình nón. Như vậy, bán kính R của hình tròn sẽ là đường sinh của hình nón và đường tròn đáy của hình nón sẽ có độ dài là x. x Bán kính r của đáy được xác định bởi đẳng thức 2 r  x  r  . 2 x2 Chiều cao của hình nón tính theo Định lý Pitago là: h = R2  r 2  R2  . 4 2 7
I r  x 2 Thể tích của khối nón: V   r 2 h    2 1 x N M   R  2 3 3  2  4 2 Áp dụng Bất đẳng thức Côsi ta có: R h 3  x2 x2 x2  2   2  R2   4 2 R 6 4 x 2 2 x 2 x 2 4 8 2 8 4 2 V2  . 2 . 2 ( R2  )    . 9 8 8 4 2 9  3  9 27 S     x2 x2 2 Do đó V lớn nhất khi và chỉ khi  R2  x R 6  x  6 6 8 2 4 3 (Lưu ý bài toán có thể sử dụng đạo hàm để tìm giá trị lớn nhất, tuy nhiên lời giải bài toán sẽ dài hơn) Bước 4: HS chủ động phân tích và kiểm định lại các kết quả thu được ở bước 3 để xác định mức độ phù hợp của mô hình và kết quả tính toán với vấn đề thực tế. Hình nón có thể tích lớn nhất khi người ta cắt cung tròn của hình quạt có chiều dài là x  6 6. cm Bài 2. Một cái phễu có dạng hình nón. Người ta đổ một lượng nước vào phễu sao cho 1 chiều cao của lượng nước trong phễu bằng chiều cao của phễu. Hỏi nếu bịt kín miệng 3 phễu rồi lộn ngược phễu lên thì chiều cao của nước bằng bao nhiêu? Biết rằng chiều cao của phễu là 15cm. A. 0,188 (cm). B. 0,216 (cm). C. 0,3 (cm). D. 0,5 (cm). Bước 1: Giáo viên đặt ra một số câu hỏi như:  Đề bài yêu cầu cần xác định gì?  So sánh thể tích của phần khối nón không chứa nước với thể tích phần phễu không chứa nước? 1  Do chiều cao nước trong phễu ban đầu bằng chiều cao phễu nên bán kính đáy 3 hình nón tạo bởi lượng nước bằng mấy phần bán kính đáy phễu ? 8
 Tỉ số thể tích của phần khói nón không chứa nước và thể tích cả khối nón? Bước 2: Giáo viên giúp học sinh phát biểu tình huống ban đầu bằng ngôn ngữ toán học  Gọi h, V lần lượt là chiều cao và thể tích phễu. HS xác định thể tích nước V1  trong phễu và thể tích phễu V   HS xác định được thể tích phần khối nón không chứa nước chính là thể tích phễu không chứa nước V2   HS xác định thể tích phễu ko chứa nước là thể tích phễu trừ đi thể tích nước: R  cm3  5 130 2 V2  V  V1  5R 2  R 2  27 27  Gọi h’ và r là chiều cao và bán kính đáy của khối nón không chứa nước, ta có h' r V h '3 h '3   2  3  3  2 h R V h 15 Bước 3: HS chủ động sử dụng công cụ toán học để giải quyết bài toán toán học. Gọi h1 là chiều cao của mực nước khi lộn ngược phễu lên. 1 Công thức thể tích khối nón: V  R 2 .h 3 Gọi bán kính đáy phễu là R, chiều cao phễu là h  15  cm  , do chiều cao nước trong 1 1 phễu ban đầu bằng h nên bán kính đáy hình nón tạo bởi lượng nước là R . 3 3 Thể tích phễu và thể tích nước trong phễu lần lượt là V;V1 . 2 1  R  15 5 Khi đó: V  R 2 .15  5R 2  cm3  và V1     .  R 2  cm3  . 1 3 3  3  3 27 Suy ra thể tích phần khối nón không chứa nước là R 2  cm3  5 130 V2  V  V1  5R 2  R 2  27 27 V2 26   1 . Gọi h’ và r là chiều cao và bán kính đáy của khối nón không chứa nước, V 27 h' r V2 h '3 h '3 ta có      2 h R V h 3 153 Từ (1) và (2) suy ra h '  5 3 26  h1  15  5 3 26  0,188  cm  Bước 4: HS chủ động phân tích và kiểm định lại các kết quả thu được ở bước 3 để xác định mức độ phù hợp của mô hình và kết quả tính toán với vấn đề thực tế. Nếu bịt kín miệng phễu rồi lộn ngược phễu lên thì chiều cao của nước gần bằng 0,188cm 9
Bài 3. Cần phải đặt một ngọn điện ở phía trên và chính giữa một cái bàn hình tròn có bán kính a. Hỏi phải treo ở độ cao bao nhiêu để mép bàn được nhiều ánh sáng nhất. Biết sin  rằng cường độ sáng C được biểu thị bởi công thức C  k (  là góc nghiêng giữa r2 tia sáng và mép bàn, k là hằng số tỷ lệ chỉ phụ thuộc vào nguồn sáng, r là khoảng cách từ mép bàn tới bóng điện ). 3a a 2 a a 3 A. h  B. h  C. h  D. h  2 2 2 2 Bước 1: Giáo viên đặt ra một số câu hỏi như  Đề bài yêu cầu cần xác định gì?  Ánh sáng đèn chiếu xuống bàn tròn tạo nên hình dáng giống vật tròn xoay nào?  Từ bán kính bàn tròn và chiều cao đèn ta thiết lập được công thức nào?  Lập công thức C là một hàm số phụ thuộc theo chiều cao? Bước 2: Giáo viên giúp học sinh phát biểu tình huống ban đầu bằng ngôn ngữ toán học  Ánh sáng đèn tạo với bàn tròn một hình nón .  Gọi r là độ dài đường sinh. Gọi h (h>0) là chiều cao đèn so với mặt bàn. Ta có: r 2  a 2  h 2 (Định lý Py-ta-go).  Ta tính C theo h. Tìm h để C max. Bước 3: HS chủ động sử dụng công cụ toán học để giải quyết bài toán toán học. Gọi h là độ cao của bóng điện so với mặt bàn (h > 0); Đ là bóng điện; I là hình chiếu của Đ lên mặt bàn. Đ MN là đường kính của mặt bàn. (như hình vẽ) r2  a2  h2 h h sin    r a2  h2 sin  r h h  C  k. 2  k r  a2  h2 a2  h2  N a M a I 10
h Xét hàm f  h    h  0  , ta có:   3 a h2 2 a   2h . 3 3 2 h 2 2 a2  h2 f 'h   2 a  h  2 2 3  h 2  a 2   3.h 2 . a 2  h 2  h 2  a 2  3h 2  h  3 a 2 f 'h  0  2 Lập bảng biến thiên, từ bảng biến thiên suy ra: a 2 a 2 f  h max  h   C  k.f  h max  h  2 2 Bước 4: HS chủ động phân tích và kiểm định lại các kết quả thu được ở bước 3 để xác định mức độ phù hợp của mô hình và kết quả tính toán với vấn đề thực tế. 2 Trong thực tế nếu bàn có bán kính 1m thì treo đèn ở độ cao m để mép bàn được 2 nhiều ánh sáng nhất. Bài 4. Một công ty sản xuất một loại cốc giấy hình nón có thể tích 27cm3. Với chiều cao h và bán kính đáy là r. Tìm r để lượng giấy tiêu thụ ít nhất. 36 38 38 36 A. r  4 B. r  6 C. r  4 D. r  6 2 2 2 2 2 2 2 2 Bước 1: Giáo viên đặt ra một số câu hỏi như:  Lượng giấy tiêu thụ là đại lượng nào liên quan đến hình nón?  Từ bán kính và chiều cao hình nón ta thiết lập được công thức nào? Bước 2: Giáo viên giúp học sinh phát biểu tình huống ban đầu bằng ngôn ngữ toán học  Lượng giấy tiêu thụ chính là diện tích xung quanh của hình nón.  Thiết lập diện tích xung quanh theo r.  Tìm r để Sxq nhỏ nhất. I r N M R h S 11
Bước 3: HS chủ động sử dụng công cụ toán học để giải quyết bài toán toán học. 1 3V Ta có: V   r 2 h  h  3  r2 => độ dài đường sinh là: 3V 2 81 2 38 l  h r  ( 2) r  ( 2) r  2 2 2 2  r2 r r  r 2 4 38 38 Diện tích xung quanh của hình nòn là: S xq   rl   r  r2    r4  r 2 4  r 2 2 38 Áp dụng BĐT Cauchy ta được giá trị nhỏ nhất là khi r  6 . 2 2 Bước 4: HS chủ động phân tích và kiểm định lại các kết quả thu được ở bước 3 để xác định mức độ phù hợp của mô hình và kết quả tính toán với vấn đề thực tế. Để lượng giấy tiêu thụ ít nhất thì bán kính gần bằng 2,63cm Bài 5. Có một cái cốc úp ngược như hình vẽ. Chiều cao của cốc là 30cm, bán kính đáy cốc là 3cm, bán kính miệng cốc là 5cm. Một con kiến đang đứng ở điểm A của miệng cốc dự định sẽ bò ba vòng quanh thân cốc để lên đến đáy cốc ở điểm B. Tính quãng đường ngắn nhất để con kiến có thể thực hiện được dự định của mình. A. l  76cm B. l  75,9324cm C. l  74cm D. l  74,6386cm Bước 1: Giáo viên đặt ra một số câu hỏi như:  Làm cách nào để vẽ được quãng đường ngắn nhất?  Từ bán kính của 2 đáy ta tính được cái gì? Bước 2: Giáo viên giúp học sinh phát biểu tình huống ban đầu bằng ngôn ngữ toán học:  Ta “trải” ba lần mặt xung quanh cốc lên mặt phẳng sẽ được một hình quạt (vẽ mô hình)  Dùng định lý cosin để thiết lập công thức đường đi của kiến 12
Bước 3: HS chủ động sử dụng công cụ toán học để giải quyết bài toán toán học. Đặt r1 , r2 , h lần lượt là bán kính đáy cốc, miệng cốc và chiều cao của cốc,  là góc kí hiệu như trên hình vẽ. Ta “trải” ba lần mặt xung quanh cốc lên mặt phẳng sẽ được một hình quạt của một khuyên với cung nhỏ l ( BB3 )  6 r1  18 và cung lớn l ( AA3 )  6 r2  30 . Con kiến muốn đi từ A tới B phải vòng 3 vòng quanh cốc, đường đi ngắn nhất là đi theo đoạn AB3, Theo định lý Côsin ta có: AB3  OA2  OB32  2OA.OB3 .cos3 (1) với   AOA1 Độ dài AB  h2  (r2  r1 )2  2 226 OB l ( BB3 ) 3 OB     OB  3 226 OA l ( AA3 ) 5 OB  BA  OA  OB  BA  5 226 l ( BB1 ) 2 .r1 2 Lại có l ( BB1 )  OB.      OB 3 226 226 Thay vào công thức (1) có kết quả. ĐS: 74,6386cm Bước 4: HS chủ động phân tích và kiểm định lại các kết quả thu được ở bước 3 để xác định mức độ phù hợp của mô hình và kết quả tính toán với vấn đề thực tế. Quãng đường ngắn nhất để con kiến có thể thực hiện được dự định là 74,6386cm. HS có thể giải quyết bài toán tương tự trong thực tế sau: Bài toán. Nhà đầu tư du lịch dự định xây một con đường nhằm phục vụ việc chuyên chở khách du lịch tham quan ngắm cảnh vòng quanh ngọn núi bắt đầu từ vị trí A dừng lại ở vị trí B. Biết rằng người ta đã chọn xây dựng đường đi ngắn nhất vòng quanh núi từ A đến B, đoạn đường đầu là phần lên dốc từ A và đoạn sau sẽ xuống dốc đến B. Tính quảng đường xuống dốc khi đi từ A đến B, cho biết AB=15m, OA=90m, bán kính đường tròn đáy R=30m Hướng dẫn: Cắt mặt nón theo đường sinh OA , trải phẳng như hình vẽ. Gọi C là đỉnh dốc, do người ta đã chọn xây dựng đường đi ngắn nhất vòng quanh núi 600 từ A đến B nên B, C, A′ thẳng hàng. Lập luận tương tự ta có CB= m 91 13
Bài 6. Khi sản xuất hộp mì tôm, các nhà sản xuất luôn để một khoảng trống ở dưới đáy hộp để nước chảy xuống dưới và ngấm vào vắt mì, giúp mì chín. Hình vẽ dưới mô tả cấu trúc của một hộp mình tôm (hình vẽ chỉ mang tính chất minh họa). Vắt mì tôm có hình một khối trụ, hộp mì tôm có dạng hình nón cụt được cắt ra bởi hình nón có chiều cao 9cm và bán kính đáy 6cm. Nhà sản xuất đang tìm cách để sao cho vắt mì tôm có thể tích lớn nhất trong hộp với mục địch thu hút khách hàng. Tìm thể tích lớn nhất đó ? 81 A. V  36 B. V  54 C. V  48 D. V   2 Bước 1: Giáo viên đặt ra một số câu hỏi như:  Thể tích vắt mỳ tôm hình trụ có công thức gì ?  Vẽ hình trụ nội tiếp hình nón  Vẽ mặt cắt dọc theo trục hình nón ta có hai tam giác nào đồng dạng Bước 2: Giáo viên giúp học sinh phát biểu tình huống ban đầu bằng ngôn ngữ toán học:  Gọi h, r là chiều cao hình trụ và bán kính hình trụ.  Ta có thể tích vắt mì tôm được tính bằng V  B.h   r 2 .h  Đây là ứng dụng của bài toán tìm GTLN, GTNN trên một khoảng (đoạn) xác định: Ta sẽ đưa thể tích về hàm số một biến theo h hoặc r. Trước tiên ta cần đi tìm mối liên hệ giữa h và r. Nhìn vào hình vẽ ta thấy các mối quan hệ vuông góc và song song, dùng định lí Thales để rút h theo r. Bước 3: HS chủ động sử dụng công cụ toán học để giải quyết bài toán toán học. 14
Đây thực chất là bài toán khối trụ nội tiếp khối nón, ta có kí hiệu các kích thước như sau: h 6r 18  3r Theo định lí Thales, ta có:  h 9 6 2 18  3r 3 r 3 Khi đó V  f  r    r 2 .   9 r 2 với 0  r  6 2 2 9 r  0 f '  r     r 2  18 r  0   2 r  4 Khi đó ta không cần phải vẽ BBT ta cũng có thể suy ra được với r  4 thì V đạt GTLN, khi đó V  48 Bước 4: HS chủ động phân tích và kiểm định lại các kết quả thu được ở bước 3 để xác định mức độ phù hợp của mô hình và kết quả tính toán với vấn đề thực tế. Vậy vắt mì tôm có thể tích lớn nhất trong hộp với mục địch thu hút khách hàng khi r4 2.2.2: Phương pháp tiếp cận và giải quyết bài toán thực tế về khối trụ Bài 1. Bạn An là một học sinh lớp 12, bố bạn là một thợ hàn. Bố bạn định làm một chiếc thùng hình trụ từ một mảnh tôn có chu vi 120 cm theo cách dưới đây: Bằng kiến thức đã học em giúp bố bạn chọn mảnh tôn để làm được chiếc thùng có thể tích lớn nhất, khi đó chiều dài, rộng của mảnh tôn lần lượt là A. 35cm; 25cm B. 40cm; 20cm C. 50cm;10cm D. 30cm;30cm Bước 1: Giáo viên đặt ra một số câu hỏi như:  Thể tích hình trụ có công thức gì?  Mối quan hệ giữa chiều dài, rộng của hình chữ nhật và chiều cao, bán kính của hình trụ. Bước 2: Giáo viên giúp học sinh phát biểu tình huống ban đầu bằng ngôn ngữ toán học  Đây là ứng dụng của bài toán tìm GTLN, GTNN trên một khoảng (đoạn) xác định: Ta sẽ đưa thể tích về hàm số một biến. Gọi một chiều dài là x(cm);  0  x  6  , khi đó chiều còn lại là 60  x(cm) . Giả sử quấn cạnh có chiều dài là x lại thì x là chu vi đường tròn đáy hình trụ. x Do đó bán kính đáy là: r  , h  60  x 2  Lập bảng biến thiên tìm giá trị lớn nhất của V. 15
Bước 3: HS chủ động sử dụng công cụ toán học để giải quyết bài toán toán học. Gọi một chiều dài là x(cm);  0  x  6  , khi đó chiều còn lại là 60  x(cm) , giả sử quấn cạnh có chiều dài là x lại thì bán kính đáy và chiều cao hình trụ là x x3 60 x2 r , h  60  x  V 2 r .h . 2 4 Xét hàm số: f ( x) x3 60x2 , x 0; 60 x 0 f '( x) 3x 2 120 x; f '( x) 0 x 40 3 2 Lập bảng biến thiên, ta thấy f ( x) x 60x , x 0; 60 lớn nhất khi x  40  h  60  40  20 . Khi đó chiều dài là 40 cm; chiều rộng là 20 cm. Bước 4: HS chủ động phân tích và kiểm định lại các kết quả thu được ở bước 3 để xác định mức độ phù hợp của mô hình và kết quả tính toán với vấn đề thực tế Mảnh tôn được chọn để làm được chiếc thùng có thể tích lớn nhất thì chiều dài, rộng của mảnh tôn lần lượt là 40cm và 20cm. Thực tế người thợ hàn có thể áp dụng để làm quây đựng thóc hoặc làm thùng phi đựng xăng dầu. Tấm tôn ban đầu có thể được cắt ra từ một mảnh tôn hình tam giác hay hình tròn hay elip. Chẳng hạn như bài 2 sau: Bài 2. Người ta muốn làm một chiếc thùng hình trụ không đáy từ nguyên liệu là mảnh tôn hình tam giác vuông cân ABC tại A có AB  10 2 (cm) . Người ta muốn cắt mảnh tôn hình chữ nhật MNPQ từ mảnh tôn trên ( với M , N thuộc cạnh BC ; P và Q tương ứng thuộc cạnh AC và AB để tạo thành hình trụ có chiều cao bằng MQ . Thể tích lớn nhất của chiếc thùng mà người ta có thể làm được là A Q P B C M N 4001 4003 1994 4000 A. . B. . C. . D. . 27 9 9 27 Bước 1: Giáo viên đặt ra một số câu hỏi như:  Thể tích hình trụ có công thức gì?  Chu vi đường tròn đáy, chiều cao hình trụ là độ dài đoạn thẳng nào trong tam giác? 16
Bước 2: Giáo viên giúp học sinh phát biểu tình huống ban đầu bằng ngôn ngữ toán học Đây là ứng dụng của bài toán tìm GTLN, GTNN trên một khoảng (đoạn) xác định: Ta sẽ đưa thể tích về hàm số một biến. Trước tiên ta cần đưa h , R rút theo biến đó. Gọi I là trung điểm BC. Suy ra I là trung điểm MN . Đặt MN  2 x  0  x  10 . MQ BM AI .BM 10 10  x     MQ    10  x . AI BI BI 10 MN x Gọi R là bán kính của trụ  R   2  Bước 3: HS chủ động sử dụng công cụ toán học để giải quyết bài toán toán học. A Q P B C M I N Gọi I là trung điểm BC. Suy ra I là trung điểm MN . Đặt MN  2 x  0  x  10 . MQ BM AI .BM 10 10  x     MQ    10  x . AI BI BI 10 2 x  VT   R 2 h     10  x     x 3  10 x 2  . MN x 1 Gọi R là bán kính của trụ  R   2     x  10 x 2  với 0  x  10 . Khi đó: max f  x   1 4000 20 Xét f  x   3 khi x  .  x 0;10  27 7 Bước 4: HS chủ động phân tích và kiểm định lại các kết quả thu được ở bước 3 để xác định mức độ phù hợp của mô hình và kết quả tính toán với vấn đề thực tế 4000 Thể tích lớn nhất của chiếc thùng mà người ta có thể làm được là max f  x   x 0;10  27 Bài 3. Một người thợ xây, muốn xây dựng một bồn chứa nước hình trụ tròn với thể tích là 150m3 (như hình vẽ bên). Đáy làm bằng bê tông, thành làm bằng tôn và bề làm bằng bằng nhôm. Tính chi phí thấp nhất để làm bồn chứa nước (làm tròn đến hàng nghìn). Biết giá thành các vật liệu tính theo một mét vuông như sau: bê tông 100 nghìn đồng, tôn 90 nghìn đồng và nhôm 120 nghìn. A. 15037000 đồng. B. 15038000 đồng. C. 15039000 đồng. D. 15040000 đồng. 17
Bước 1: Giáo viên đặt ra một số câu hỏi như:  Thể tích hình trụ có công thức gì?  Chi phí tính theo mét vuông thì đáy, thành, bề tính diện tích theo công thức nào?. Bước 2: Giáo viên giúp học sinh phát biểu tình huống ban đầu bằng ngôn ngữ toán học  Đây là ứng dụng của bài toán tìm GTLN, GTNN trên một khoảng (đoạn) xác định: Ta sẽ đưa chi phí về hàm số một biến theo h hoặc r. Trước tiên ta cần đi tìm mối liên hệ giữa h và r.  Sử dụng công thức tính diện tích hình tròn và diện tích xung quanh của hình trụ để lập hàm chi phí theo một biến. Bước 3: HS chủ động sử dụng công cụ toán học để giải quyết bài toán toán học. Gọi r , h  m   r  0, h  0  lần lượt là bán kính đường tròn đáy và đường cao của hình 2 150 trụ. Theo đề ta có  r 2 h  150  h  .  r2 Khi đó chi phí làm nên bồn chứa nước được xác định theo hàm số 150 27000 f  r   220 r 2  90.2 r  220 r 2  (nghìn đồng) . r 2 r 27000 675 f '  r   440 r  , f 'r   0  r  3 a. r 2 11  675  Lập BBT, dựa vào BBT ta suy ra chi phí thấp nhất là f  a   f  3  11   15038,38797    nghìn đồng. Bước 4: HS chủ động phân tích và kiểm định lại các kết quả thu được ở bước 3 để xác định mức độ phù hợp của mô hình và kết quả tính toán với vấn đề thực tế Chi phí thấp nhất để làm bồn chứa nước (làm tròn đến hàng nghìn) 15039000 đồng Bài 4. Ông A dự định làm một cái thùng phi hình trụ (không có nắp) với dung tích 1m3 bằng thép không gỉ để đựng nước. Chi phí trung bình cho 1 m2 thép không gỉ là 400.000 đồng. Hỏi chi phí nguyên vật liệu làm cái thùng thấp nhất là bao nhiêu (làm tròn đến hàng nghìn) ? A. 1.758.000 đồng. B. 1.107.000 đồng. C. 2.790.000 đồng. D. 2.197.000 đồng. \ 18
Bước 1: Giáo viên đặt ra một số câu hỏi như:  Thể tích hình trụ có công thức gì?  Chi phí tính theo mét vuông thì tính diện tích đáy và diện tích xung quanh hình trụ theo công thức nào? Bước 2: Giáo viên giúp học sinh phát biểu tình huống ban đầu bằng ngôn ngữ toán học:  Đây là ứng dụng của bài toán tìm GTLN, GTNN trên một khoảng (đoạn) xác định: Ta sẽ đưa diện tích về hàm số một biến theo h hoặc r. Trước tiên ta cần đi tìm mối liên hệ giữa h và r. Giả sử thùng hình trụ có chiều cao h , bán kính đáy R và độ dài đường sinh l  h . 1 Dung tích của thùng là: V   R 2 h   R 2 h  1  h  .  R2 Tổng diện tích xung quanh và diện tích đáy của thùng  Để chi phí nguyên vật liệu làm cái thùng thấp nhất thì tổng diện tích xung quanh và diện tích đáy của thùng phải nhỏ nhất. Bước 3: HS chủ động sử dụng công cụ toán học để giải quyết bài toán toán học. Giả sử thùng hình trụ có chiều cao h , bán kính đáy R và độ dài đường sinh l  h . 1 Dung tích của thùng là: V   R 2 h   R 2 h  1  h  .  R2 Tổng diện tích xung quanh và diện tích đáy của thùng là: 1 2 S  2 Rl   R 2  2 Rh   R 2  2 R.   R2    R2 . R 2 R Để chi phí nguyên vật liệu làm cái thùng thấp nhất thì tổng diện tích xung quanh và diện tích đáy của thùng phải nhỏ nhất.   R 2     R 2  3 3 . . R 2  3 3   m2  . 2 1 1 1 1 Ta có: S  R R R R R   R 2  R  3 .Khi đó: S min  3 3   m 2  . 1 1 Dấu bằng xảy ra khi: R  Vậy chi phí nguyên vật liệu làm cái thùng thấp nhất là: 3 3  .400000  1.758.000 đ. Bước 4: HS chủ động phân tích và kiểm định lại các kết quả thu được ở bước 3 để xác định mức độ phù hợp của mô hình và kết quả tính toán với vấn đề thực tế Chi phí nguyên vật liệu làm cái thùng thấp nhất là 1.758.000 đồng Bài 5. Một khúc gỗ có dạng hình khối nón có bán kính đáy R  2m , chiều cao h  6m . Bác thợ mộc chế tác từ khúc gỗ đó thành một khúc gỗ có dạng hình khối trụ như hình vẽ. Gọi V là thể tích lớn nhất của khúc gỗ hình trụ sau khi chế tác. Tính V . A. V  32  m3  . B. V  32  m3  . C. V  32  m3  . D. V  32  m3  . 9 3 27 5 19
Bước 1: Giáo viên đặt ra một số câu hỏi như:  Vẽ mặt cắt dọc theo trục của hình nón  Thể tích hình trụ có công thức gì?  Chu vi đường tròn đáy, chiều cao hình trụ là độ dài đoạn thẳng nào trong tam giác ? R Bước 2: Giáo viên giúp học sinh phát biểu tình huống ban đầu bằng ngôn ngữ toán học:  Đặt R là bán kính đáy hình trụ, h là chiều cao của hình trụ.  Đây là ứng dụng của bài toán tìm GTLN, GTNN trên một khoảng (đoạn) xác định: Ta sẽ đưa thể tích về hàm số một biến h hoặc R. Trước tiên ta tìm mối liên hệ giữa h , R .  Xác định V theo công thức sau đó tìm GTLN của V Bước 3: HS chủ động sử dụng công cụ toán học để giải quyết bài toán toán học. Đặt R là bán kính đáy hình trụ, h là chiều cao của hình trụ. Ta có hi tam giác SAI và SAI  đồng dạng. SI AI 6 2      h  6  3R . SI  AI  6h R Khi đó V   .R .h   .R .  6  3R     3R  6 R  . 2 2 3 2  Khảo sát hàm số V , biến số R  0  R  2  , ta có: V     9 R 2  12 R   R  0 l  V   0    9 R  12 R   0   2 R  4  n .   3 Lập bảng biến thiên, dựa vào bảng biến thiên ta thấy Vmax  32  m3  khi R  4 . 9 3 Bước 4: HS chủ động phân tích và kiểm định lại các kết quả thu được ở bước 3 để xác định mức độ phù hợp của mô hình và kết quả tính toán với vấn đề thực tế Thể tích lớn nhất của khúc gỗ hình trụ sau khi chế tác Vmax  32  m3  9 Bài 6. Khi sản xuất vỏ lon sữa Ông Thọ hình trụ, các nhà sản xuất luôn đặt chỉ tiêu sao cho chi phí sản xuất vỏ lon là nhỏ nhất, tức là nguyên liệu (sắt tây) được dùng là ít nhất. Hỏi khi đó tổng diện tích toàn phần của lon sữa là bao nhiêu, khi nhà sản xuất muốn thể tích của hộp là V cm3 V 2 V 2 V 2 V 2 A. Stp  3 3 B. Stp  6 3 C. Stp  3 D. Stp  6 4 4 4 4 20