Sáng kiến kinh nghiệm THPT: Phát triển năng lực mô hình hóa Toán học của học sinh trong dạy học chủ đề hệ thức lượng trong tam giác và chủ đề hàm số bậc hai ở lớp 10

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: DOCX | Số trang:53

Thêm vào BST

Báo xấu

1
lượt xem 0
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Sáng kiến "Phát triển năng lực mô hình hóa Toán học của học sinh trong dạy học chủ đề hệ thức lượng trong tam giác và chủ đề hàm số bậc hai ở lớp 10" được hoàn thành với mục tiêu nhằm xây dựng các thành tố của năng lực mô hình hóa và đề xuất các biện pháp nhằm phát triển năng lực mô hình hóa Toán học cho học sinh khi học chủ đề kiến thức hệ thức lượng trong tam giác và chủ đề hàm số bậc hai.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Sáng kiến kinh nghiệm THPT: Phát triển năng lực mô hình hóa Toán học của học sinh trong dạy học chủ đề hệ thức lượng trong tam giác và chủ đề hàm số bậc hai ở lớp 10

SÁNG KIẾN Đề tài: PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC MÔ HÌNH HÓA TOÁN HỌC CỦA HỌC SINH TRONG DẠY HỌC CHỦ ĐỀ HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC VÀ CHỦ ĐỀ HÀM SỐ BẬC HAI Ở LỚP 10 Lĩnh vực: Toán học
MỤC LỤC Trang PHẦN I ĐẶT VẤN ĐỀ 1 Lý do chọn đề tài 3 2 Mục đích nghiên cứu 4
3 Đối tượng, phạm vi và nhiệm vụ nghiên cứu 4 4 Phương pháp nghiên cứu 4 5 Dự báo những đóng góp mới của đề tài 4 PHẦN II NỘI DUNG CHƯƠNG I CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN I Một số khái niệm và thuật ngữ liên quan đến đề tài. 5 II Thực trạng về việc dạy học mô hình hóa trong dạy … 7 CHƯƠNG II CÁC GIẢI PHÁP … 1 Một số biểu hiện của năng lực mô hình hóa … 11 1.1 Biểu hiện 1: Sử dụng các mô hình toán học … 11 1.2. Biểu hiện 2: Giải quyết các vấn đề toán học … 13 2 Một số giải pháp góp phần phát triển năng lực … 15 2.1 Giải pháp 1: Rèn luyện kỹ năng chuyển đổi từ … 15 2.2 Giải pháp 2: Rèn luyện kỹ năng sử dụng mô hình … 22 2.3 Giải pháp 3: Rèn luyện kỹ năng chuyển đổi … 30 2.4 Giải pháp 4: Rèn luyện kỹ năng chuyển đổi các … 33 3 Kế hoạch bài dạy chủ đề hàm số bậc hai và … 36 4 Đánh giá hiệu quả của các giải pháp đã đề xuất … 36 5 Khảo sát sự cấp thiết và tính khả thi của … 37 CHƯƠNG III THỰC NGHIỆM SƯ PHẠM 1 Mục đích thực nghiệm 41 2 Đối tượng, địa bàn thực nghiệm 41 3 Nội dung thực nghiệm 41 4 Phương pháp thực nghiệm 42 5 Kết quả thực nghiệm 42 PHẦN 3 KẾT LUẬN 1 Kết luận 45 2 Ý nghĩa của đề tài 45 3 Kiến nghị 46
4 Quá trình nghiên cứu đề tài 46 5 Hướng phát triển của đề tài 46 TÀI LIỆU THAM KHẢO 47 PHẦN 4 PHỤ LỤC Đề kiểm tra sau khi thực nghiệm 48 Đáp án đề kiểm tra sau khi thực nghiệm 51 DANH MỤC VIẾT TẮT TT Ký hiệu chữ viết tắt Chữ viết đầy đủ 1 CT Chương trình 2 THPT Trung học phổ thông 3 GV Giáo viên 4 SGK Sách giáo khoa 5 GDPT Giáo dục phổ thông 6 NL Năng lực 7 HS Học sinh 8 MHHTH Mô hình hóa Toán học 9 MHH Mô hình hóa 10 GD Giáo dục 11 TN Lớp thực nghiệm 12 ĐC Lớp đối chứng PHẦN I: ĐẶT VẤN ĐỀ 1. Lý do chọn đề tài Nghị quyết 29-NQ/TW ngày 04 tháng 11 năm 2013 của Ban chấp hành Trung ương Đảng về đổi mới căn bản, toàn diện giáo dục và đào tạo đã nêu rõ “ Phát triển giáo dục và đào tạo là nâng cao dân trí, đào tạo nhân lực, bồi dưỡng nhân tài. Chuyển mạnh quá trình giáo dục từ chủ yếu trang bị kiến thức sang phát triển toàn diện năng lực và phẩm chất người học”. Nghị quyết 88/2014/QH13 ngày 28/11/2014 của Quốc hội về đổi mới chương trình sách giáo khoa phổ thông cũng đã xác định mục tiêu đổi mới. Đó là:” Đổi mới CT, SGK GDPT nhằm tạo chuyển biến căn bản, toàn diện về chất lượng và hiệu quả GDPT; kết hợp dạy chữ, dạy người và định hướng nghề nghiệp; góp phần chuyển nền giáo dục nặng về
truyền thụ kiến thức sang nền giáo dục phát triển toàn diện cả về phẩm chất và năng lực, hài hoà đức trí thể mỹ và phát huy tốt nhất tiềm năng của mỗi học sinh”. Tất cả các môn học trong nhà trường đều có vai trò nhất định trong việc hình thành và phát triển NL đặc thù, riêng đối với môn Toán có thể phát triển được các NL như: tư duy và lập luận toán học; mô hình hóa toán học MHHTH); giải quyết vấn đề toán học; giao tiếp toán học; sử dụng công cụ và phương tiện toán học [2]. Trong số những NL này, MHHTH là NL đã được nhiều quốc gia trên thế giới đề cập đến từ hai thập niên trước (như: Mĩ, Đức, Pháp, Anh, Trung Quốc, Nga,…) và là NL quan trọng của HS phổ thông. Chương trình giáo dục phổ thông môn Toán (2018) xác định năng lực mô hình hóa (MHH) toán học là một trong những thành tố cốt lõi của năng lực toán học cần hình thành và phát triển cho học sinh (HS), trong đó chỉ ra thành phần và biểu hiện của năng lực cũng như định hướng lựa chọn phương pháp và công cụ để đánh giá năng lực này. Theo đó, để đánh giá năng lực MHH toán học cần chú trọng: lựa chọn những tình huống trong thực tiễn làm xuất hiện bài toán toán học, từ đó đòi hỏi HS phải xác định được mô hình toán học (gồm công thức, phương trình, bảng biểu, đồ thị,…) cho tình huống xuất hiện trong các bài toán thực tiễn, giải quyết được những vấn đề toán học trong mô hình được thiết lập, thể hiện và đánh giá lời giải trong ngữ cảnh thực tiễn và cải tiến được mô hình nếu cách giải quyết là không phù hợp. Để thực hiện được quá trình đánh giá một cách hiệu quả, điều cần thiết là giáo viên sử dụng các tình huống học tập mà qua đó HS có cơ hội hoạt động, trải qua quá trình MHH để giải quyết vấn đề từ đó bộc lộ những hành vi, biểu hiện của năng lực. Những hành vi mà HS biểu hiện chính là cơ sở chính xác nhất để đánh giá năng lực của các em. Để làm được điều này, tình huống học tập cần có một số đặc điểm nhất định mới có thể hỗ trợ cho việc đánh giá năng lực HS. Xuất phát từ việc đổi mới của chương trình giáo dục phổ thông cũng như yêu cầu đổi mới về phương pháp dạy học nhằm giúp học sinh học tốt hơn, nắm bắt các kiến thức về hệ thức lượng trong tam giác và hàm số bậc hai một cách sâu sắc hơn nên chúng tôi chọn đề tài: “Phát triển năng lực mô hình hóa Toán học của học sinh trong dạy học chủ đề hệ thức lượng trong tam giác và chủ đề hàm số bậc hai ở lớp 10”. 2. Mục đích nghiên cứu Xây dựng các thành tố của năng lực mô hình hóa và đề xuất các biện pháp nhằm phát triển năng lực mô hình hóa Toán học cho học sinh khi học chủ đề kiến thức hệ thức lượng trong tam giác và chủ đề hàm số bậc hai. 3. Đối tượng, phạm vi và nhiệm vụ nghiên cứu 3.1. Đối tượng, phạm vi nghiên cứu - Học sinh khối 10 cấp trung học phổ thông.
- Các bài toán về ứng dụng của hệ thức lượng trong tam giác, hàm bậc hai và vận dụng tư duy về mô hình hóa toán học vào để giải quyết vấn đề của bài toán. 3.2. Nhiệm vụ nghiên cứu Đề tài sẽ làm rõ các vấn đề sau: - Cơ sở lí luận và thực tiễn của năng lực mô hình hóa Toán học. - Các thành tố của năng lực mô hình hóa Toán học. - Để phát triển năng lực mô hình hóa Toán học cho học sinh ta cần phải thực hiện những biện pháp nào? - Kết quả thực nghiệm ra sao? 4. Phương pháp nghiên cứu 4.1. Nghiên cứu lí luận: Nghiên cứu các tài liệu về tâm lí học giáo dục, tài liệu giáo dục học, các tài liệu về lí luận và giảng dạy bộ môn toán làm cơ sở để đề xuất các biện pháp nhằm phát triển năng lực mô hình hóa cho học sinh. 4.2. Quan sát, trao đổi: Thực hiện việc trao đổi với giáo viên và học sinh, tham khảo các tài liệu để đề xuất các thành tố của năng lực mô hình hóa Toán học cho học sinh. 4.3. Thực nghiệm sư phạm: Tiến hành thực nghiệm trên những đối tượng học sinh cụ thể nhằm đánh giá hiệu quả của đề tài. 5. Dự báo những đóng góp mới của đề tài Đề tài đề xuất các giải pháp ứng dụng toán học vào giải quyết các bài toán thực tế và từ các bài toán thực tế giải quyết các vấn đề của toán học. Đề tài đã xây dựng được các thành tố của năng lực mô hình hóa Toán học nhằm giúp học sinh kiến tạo kiến thức. Đề tài đề xuất các biện pháp nhằm bồi dưỡng năng lực mô hình hóa cho học sinh thông qua dạy học hệ thức lượng trong tam giác và hàm số bậc hai. Đề tài có thể dùng làm tài liệu tham khảo cho giáo viên trung học phổ thông. PHẦN II: NỘI DUNG NGHIÊN CỨU CHƯƠNG I: CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN I. Một số khái niệm và thuật ngữ liên quan đến đề tài. 1. Năng lực toán học Năng lực toán học là một loại hình năng lực đặc thù gắn liền với môn học. Có nhiều quan niệm khác nhau về năng lực toán học. Hiệp hội GV Toán Mỹ mô tả “ Năng lực toán là cách thức nắm bắt và sử dụng nội dung kiến thức toán”. Theo Blomhoi &Jensen (2017): “ Năng lực toán học là khả năng sẵn sàng hành động để đáp ứng thách thức toán học của các tình huống nhất định”. Theo Niss (1999): “
Năng lực toán học như khả năng của cá nhân để sử dụng các khái niệm toán học trong một loạt các tình huống có liên quan đến toán học, kể cả những lĩnh vực bên trong hay bên ngoài của toán học”. Theo Trần Kiều (2014): “ Các năng lực cần hình thành và phát triển cho người học qua dạy học môn toán trong trường phổ thông Việt Nam là: năng lực tư duy toán học, năng lực giải quyết vấn đề toán học, năng lực mô hình hóa toán học, năng lực suy luận toán học, năng lực biểu diễn, năng lực sử dụng ngôn ngữ, năng lực giao tiếp toán học, năng lực sử dụng công cụ phương tiện toán học, năng lực học tập độc lập và hợp tác các năng lực này không hoàn toàn độc lập mà liên quan chặt chẽ và có phần giao thoa với nhau. 2. Mô hình và mô hình hóa Mô hình: Theo Swetz và Hartzle (1991) mô hình là một hình mẫu dùng để minh họa mô tả hình dáng cấu trúc, phương thức hoạt động của sự vật, hiện tượng hay một khái niệm thông qua mô hình ta có thể khám phá đối tượng mà không cần dùng đến vật thật hoặc không dùng trực tiếp được vật thật trong thực tế như đo chiều cao của một ngọn núi hay tòa tháp…. Về mặt nhận thức mô hình là sản phẩm của quá trình tư duy, ra đời nhờ quá trình trừu tượng hóa các đối tượng cụ thể hay nói cách khác đối tượng nghiên cứu đã được lý tưởng hóa. Mô hình hóa: Từ định nghĩa về mô hình ta có thể thấy, muốn có mô hình con người ta phải tạo ra nó từ tình huống thực tiễn, quá trình tạo ra mô hình chính là mô hình hóa. Mô hình hóa là thay thế đối tượng gốc bằng một mô hình nhằm thu thập các thông tin quan trọng về đối tượng bằng cách tiến hành các nghiên cứu thực nghiệm trên mô hình. Gierre (1998) cho rằng mô hình hóa là mô tả một tình huống trong thực tế nhằm mục đích giải quyết một vấn đề hoặc câu hỏi trong tình huống đó. Mô hình hóa vừa là cách làm việc, vừa là cách suy nghĩ. Nó bao gồm một quá trình lặp đi lặp lại, đòi hỏi sự sáng tạo và phát minh trong đó kiến thức Toán học, Khoa học và Kỹ thuật được áp dụng để mô tả tình huống mới. Trên phương diện dạy học mô hình hóa được biết đến như một phương pháp dạy học, cung cấp cho học sinh hiểu khái niệm của vấn đề, giúp học sinh đọc hiểu, thiết lập và giải quyết vấn đề cụ thể dựa trên tình huống thực tế. Mô hình hóa giống như một phương pháp nghiên cứu khoa học, giúp học sinh biết cách nghiên cứu và ứng dụng các mô hình toán học vào các lĩnh vực khác nhau. Đây chính là môi trường để học sinh khám phá các kiến thức toán học và phát triển năng lực mô hình hóa Toán học. 3. Toán học hóa và mô hình hóa Toán học Toán học và mô hình hóa toán học đóng vai trò quan trọng trong hoạt động toán học. Do vậy ngoài mục tiêu phát triển những năng lực chung theo chương trình GDPT 2018 môn toán ở bậc THPT cần góp phần hình thành và phát triển một số năng lực toán học như năng lực giải quyết vấn đề, năng lực tính toán và năng lực mô hình hóa toán học.
Để đáp ứng được các vấn đề này giáo viên cần giúp học sinh thấy được sự phản ánh thực tế của toán học trong đời sống con người từ đó các em sẽ hứng thú tích cực và chủ động hơn trong học tập. Trong chương trình GD môn toán cấp THPT Đại số lớp 10 có bài Hệ thức lượng trong tam giác và Đồ thị hàm số bậc hai có nhiều bài toán có nội dung liên hệ với thực tiễn, khai thác bối cảnh thực tế trong các bài toán như thế, việc vận dụng kiến thức về hệ thức lượng trong tam giác và đồ thị hàm số bậc hai vào giải quyết vấn đề thông qua quá trình “Toán học hóa” tỏ ra khá hiệu quả và đem lại nhiều hiệu ứng tích cực đối với người học. Mô hình hóa Toán học: Theo Aristides C. Barreto (2010), mô hình toán học là một mô hình trừu tượng, sử dụng ngôn ngữ Toán học (các đồ thị, phương trình, hệ phương trình, hàm số, các kí hiệu Toán học,…) để biểu diễn mô tả đặc điểm của một sự vật, hiện tượng hay một đối tượng thực được nghiên cứu. Nguyễn Danh Nam (2016), đã đưa vào quan điểm của Edward và Hasmson (2001) để đưa ra khái niệm mô hình hóa Toán học là quá trình chuyển đổi một vấn đề thực tế sang một vấn đề Toán học thông qua việc thiết lập và giải quyết các mô hình Toán học, thể hiện và đánh giá lời giải trong ngữ cảnh thực tế. 4. Năng lực mô hình hóa là gì? Năng lực mô hình hóa toán học là năng lực gắn liền với cấu trúc mô hình hóa, tức là chuyển đổi tình huống “ thực tiễn” dưới dạng toán học, xây dựng mô hình toán học từ các tình huống thực tiễn dựa trên các công cụ toán học, giải thích các mô hình toán học theo nghĩa “thực tế”. Năng lực mô hình hóa toán học được xem như là khả năng vận dụng kiến thức toán học vào thực tiễn hay khả năng áp dụng hiểu biết toán học để chuyển một tình huống thục tiễn về dạng toán học. Năng lực mô hình hóa toán học là khả năng quan sát tình huống thực tiễn, lựa chọn và xác định các giả thiết, câu hỏi, mối quan hệ phù hợp để “phiên dịch” sang ngôn ngữ toán học, giải bài toán bằng các thuật toán và kiểm chứng lời giải trong môi trường ban đầu, phân tích và so sánh những mô hình đã có để tìm những mô hình phù hợp hơn. Năng lực MHHTH được Chương trình Giáo dục phổ thông môn Toán năm 2018 mô tả thông qua 3 việc ( hay hành động, thành tố,…): Xác định được mô hình toán học ( gồm công thức, phương trình, bảng biểu, đồ thị …) cho tình huống xuất hiện trong bài toàn thực tiễn; Giải quyết được những vấn đề toán học trong mô hình được thiết lập; Thể hiện và đánh giá được lời giải trong ngữ cảnh thực tế và cải tiến được mô hình nếu cách giải quyết không phù hợp. Dạy học phát triển năng lực MHHTH phải thực hiện dạy HS các hoạt động MHHTH theo nghĩa các hoạt động trong quá trình MHHTH. Có thể thấy chương trình Giáo dục phổ thông môn Toán năm 2018 môn Toán đã nói đến 3 loại việc MHHTH cũng ứng với 3 loại hoạt động mô hình hóa: Loại thứ nhất : Hoạt động chuyển mô hình từ tình huống thực tiễn thành mô hình toán học; Loại thứ hai: Hoạt động trên mô hình toán
học; Loại thưc 3: Là giải thích kết quả từ mô hình toán học vào tình huống thực tiễn và có thể cải tiến mô hình toán học. Vì vậy khi dạy học theo hướng phát triển năng lực MHHTH cần chú ý thiết kế được các hoạt động MHHTH và tổ chức cho học sinh thực hiện các hoạt động đó thì có thể coi là thực hiện dạy học theo hướng phát triển năng lực MHHTH. II. Thực trạng về việc dạy học mô hình hóa trong dạy học hiện nay. 1. Mục đích điều tra. Biết được: - Khả năng ứng dụng toán học của học sinh trong thực tế. - Học sinh có hứng thú gì khi ứng dụng toán học vào thực tế. - Học sinh nhận biết được tầm quan trọng của toán học trong thực tế. - Năng lực sử dụng mô hình hóa của học sinh khi giải các bài toán trong thực tế như thế nào? 2. Nội dung điều tra. Học sinh truy cập vào đường link và trả lời câu hỏi trắc nghiệm như sau: Câu hỏi 1. Theo em Toán học có ứng dụng như thế nào đến thực tiễn cuộc sống ? A. Rất nhiều ứng dụng. B. Nhiều ứng dụng. C. Ít ứng dụng. D. Không có ứng dụng. Câu hỏi 2. Khi học các bài toán có ứng dụng trong thực tế em cảm thấy thế nào? A. Rất hứng thú. B. Hứng thú. C. Bình thường. D. Không hứng thú. Câu hỏi 3. Nếu có bài toán yêu cầu em đo chiều cao của ngọn núi em làm thế nào? A. Đoán mò ( ước lượng). B. Nhận dạng được tình huống. C. Biết chuyển đổi về mô hình toán học nhưng chưa giải quyết được. D. Biết chuyển đổi và sử dụng mô hình toán học để giải quyết. Câu hỏi 4. Nếu có bài toán yêu cầu đo chiều cao lớn nhất của một quả bóng đá được đá từ mặt đất lên, biết chuyển động của quả bóng là một đường parabol em làm thế nào? A. Đoán mò. B. So sánh nó với vật cố định xung quanh ( ước lượng). C. Biết chuyển đổi về mô hình toán học nhưng chưa giải quyết được.
D. Biết chuyển đổi và sử dụng mô hình toán học để giải quyết. Câu hỏi 5. Khi yêu cầu sử dụng mô hình toán học vào giải quyết các tình huống thực tiễn. Bản thân em đã sử dụng được ở mức độ nào trong các mức độ sau: A. Không biết B. Mới nhận dạng được. C. Biết chuyển sang mô hình toán học. D. Chuyển sang mô hình toán học và giải quyết được bài toán. 3. Đối tượng điều tra Học sinh lớp 10, Trường THPT quỳnh lưu 4 4. Phương pháp điều tra Giáo viên chuyển đường link cho học sinh trả lời câu hỏi trắc nghiệm và khảo sát các học sinh lớp 10 của trường THPT Quỳnh Lưu 4. 5. Tập hợp số liệu điều tra. Qua kết quả khảo sát ở câu hỏi 1 này chúng ta dễ dàng nhận thấy đa số học sinh đều nghĩ rằng Toán học ít ứng dụng trong thực tiễn chiếm tỷ lệ 61,2%
Ở câu hỏi 2 chúng ta nhận thấy hầu hết học sinh có hứng thú và rất hứng thú khi học các bài toán có ứng dụng trong thực tế chiếm tỷ lê 86,8% nghĩa là các em đang mong muốn Toán học phải gần gũi hơn, đơn giản hơn và có nhiều ứng dụng hơn trong thực tế. Trong câu hỏi 3 khi hỏi đến 1 bài toán cụ thể có ứng dụng trong thực tế dường như các em nghĩ rằng không thể thực hiện được việc đo chiều cao của ngọn núi nên các em đoán mò hoặc nhận dạng được tình huống hoặc biết chuyển đổi về mô hình toán học nhưng chưa giải quyết được chiếm 82,2%. Ở câu hỏi 4 cũng vậy điều này minh chứng cho chúng ta thấy việc học toán đang còn xa
rời với thực tiễn số học sinh biết chuyển đổi và sử dụng mô hình toán học để giải quyết còn ít chiếm tỷ lệ 17,8%. Trong câu hỏi 5 chúng tôi muốn tìm hiểu về mức độ vận dụng toán học vào thực tế thì các em lựa chọn phương án không biết hoặc mới nhận dạng được chiếm tỷ lệ 65,1%. 6. Nguyên nhân của những thực trạng. - Trong dạy học Toán ở nước ta từ trước tới nay có tình trạng chuộng cách dạy nhồi nhét, luyện trí nhớ, dạy kỷ thuật để giải những bài toán khó không mẫu mực xa rời thực tế. - Việc dạy học Toán trong nhà trường hiện nay đang rơi vào tình trạng coi nhẹ thực hành và ứng dụng Toán học trong cuộc sống không thực hiện phương châm “Học đi đôi với hành”. - Do áp lực và cách đánh giá trong thi cử và đề ra hầu như các ứng dụng ngoài toán học không được hoặc có ít đề cập đến. 7. Những thuận lợi và khó khăn trong việc dạy học nhằm phát triển năng lực mô hình hóa Toán học trong dạy học hệ thức lượng trong tam giác và hàm số bậc hai ở trường THPT Quỳnh Lưu 4. 7.1. Thuận lợi: - Trường học có cơ sở vật chất thuận lợi ( máy chiếu, ti vi….), học sinh có khả năng tiếp thu tốt. - Ban giám hiệu nhà trường luôn tạo điều kiện cho giáo viên được nghiên cứu. - Có giờ ngoại khóa và có thời gian tổ chức hoạt động cho học sinh. - Giáo viên có nhu cầu đưa thực tiễn vào giảng dạy. - Các công cụ máy tính và các phần mềm hỗ trợ dạy học được đưa vào sử dụng. 7.2. Khó khăn: - Các bài toán vận dụng vào tình huống thực tiễn được đưa vào thi cử rất ít. - Việc chọn nội dung, những câu hỏi, tình huống thực tiễn là khó. - Nội dung kiến thức không có nhiều ví dụ, mô hình thực tiễn. - Khả năng liên hệ Toán học với thực tế còn nhiều hạn chế.
CHƯƠNG II: CÁC GIẢI PHÁP NHẰM PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC MÔ HÌNH HÓA TOÁN HỌC CỦA HỌC SINH TRONG DẠY HỌC HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC VÀ HÀM SỐ BẬC HAI 1. Một số biểu hiện của năng lực mô hình hóa Toán học của học sinh trong ứng dụng của hệ thức lượng và hàm số bậc hai. 1.1. Biểu hiện 1: Sử dụng các mô hình toán học bao gồm: công thức, phương trình, bảng biểu, đồ thị,…để mô tả các tình huống đặt ra trong các bài toán thực tế. Mô hình hoá Toán học là quá trình chuyển đổi từ thực tiễn sang toán học bằng các ngôn ngữ toán. Ngôn ngữ và các công cụ toán là các biến số, kí hiệu, phương trình, bảng biểu, đồ thị, công thức….Sau khi phát hiện được bản chất của tình huống và phát biểu lại tình huống theo ngôn ngữ riêng của mình, học sinh cần làm công việc tiếp theo là đặt biến, ẩn cho các đại lượng, tìm phương trình, công thức hoặc đồ thị…. biểu diễn mối liên hệ của các biến. Thông qua các hoạt động đó, học sinh được phát triển các thành tố năng lực: Năng lực sử dụng ngôn ngữ tự nhiên và ngôn ngữ toán học, năng lực định hướng đến các yếu tố trung tâm, năng lực xây dựng mô hình hoá toán học, năng lực kiểm tra, đánh giá, điều chỉnh mô hình…. Mô hình Toán trong hệ thức lượng bao gồm: định lý cosin, định lý sin, công thức tính diện tích, bán kính đường tròn nội, ngoại tiếp tam giác, phương pháp tìm cạnh, góc khi cho các yếu tố khác…. Mô hình Toán trong hàm số bậc hai: đồ thị hàm số, bảng giá trị, bảng biến thiên, các tính chất như đỉnh, trục đối xứng, giao với trục hoành, trục tung…. Ví dụ 1. Trên bản đồ địa lí, người ta thường gọi tứ giác với bốn đỉnh lần lượt là các thành phố Hà Tiên, Châu Đốc, Long Xuyên, Rạch Giá là tứ giác Long Xuyên. Dựa theo các khoảng cách đã cho trên hình vẽ, tính khoảng cách giữa Châu Đốc và Rạch Giá. Phân tích: - Khoảng cách giữa Châu Đốc và Rạch Giá chính là độ dài đoạn thẳng . Vậy yêu cầu của tình huống thực tiễn chính là tính độ dài cạnh . - Để tính độ dài ta cần gắn vào tam giác, có thể chọn các , . - Nếu xét tam giác thì mới có độ dài cạnh và vậy cần tìm thêm số đo một góc nữa mới giải quyết được bài toán
- Xét tam giác đã có độ dài ba cạnh, vậy ta có thể sử dụng hệ quả định lí côsin để tính số đo góc , tương tự áp dụng hệ quả định lí côsin cho tam giác tính số đo góc , từ đó suy ra góc . - Vậy tam giác đã có 2 cạnh và một góc xen giữa, từ đó sử dụng định lí cosin trong tam giác để tính cạnh . Bài toán đã được giải quyết. Lời giải Áp dụng hệ quả của định lí côsin cho tam giác , ta có: Áp dụng hệ quả của định lí côsin cho tam giác , ta có: Suy ra . Áp dụng định lí côsin cho tam giác , ta có . Vậy khoảng cách từ Rạch Giá đến Châu Đốc khoảng . Ví dụ 2. Khi một quả bóng được đá lên, nó sẽ đạt đến độ cao nào đó rồi rơi xuống. Hình ảnh dưới đây minh hoạ quỹ đạo của quả bóng là một phần của cung parabol trong mặt phẳng toạ độ , trong đó là thời gian ( tính bằng giây) kể từ khi quả bóng được đá lên và là độ cao ( tính bằng mét) của quả bóng. Giả thiết rằng quả bóng được đá từ mặt đất. Sau khoảng , quả bóng lên đến vị trí cao nhất là . Hỏi sau bao lâu thì quả bóng chạm đất kể từ khi đá lên ? Lời giải Gọi hàm số bậc hai biểu thị theo thời gian là . Theo giả thiết, quả bóng được đá lên từ mặt đất, nghĩa là , do đó . Sau , quả bóng lên đến vị trí cao nhất là nên ta có hệ phương trình sau: . Vậy hàm số bậc hai là . Để quả bóng chạm đất trở lại khi độ cao , tức là . 1.2. Biểu hiện 2: Giải quyết các vấn đề toán học trong mô hình được thiết lập. Từ mô hình được thiết lập, học sinh tiến hành giải quyết các vấn đề bằng công cụ toán học. Để giải quyết được học sinh cần nắm vững các tri thức Toán, và có thể sử dụng nhiều cách giải quyết khác nhau cho mỗi tình huống thực tế. Thông qua việc xây dựng mô hình, giải quyết mô hình toán, học sinh sẽ hình thành và phát triển các năng lực như giải quyết vấn đề toán học, năng lực tư duy và lập luận.
Đồng thời quá trình này cũng sẽ tạo cơ hội cho các em học sinh làm việc nhóm, thảo luận trao đổi với bạn bè, thầy cô góp phần phát triển năng lực giao tiếp toán, năng lực sử dụng các công cụ phương tiện tóán học. Đây đều là những năng lực cốt lõi mà chương trình giáo dục phổ thông môn Toán 2018 hướng đến. Ví dụ 3. Trong Vật lí ta biết rằng, khi một vật được ném xiên với vận tốc ban đầu , góc ném hợp với phương ngang một góc , nếu ta bỏ qua sức cản của không khí và gió, vật chỉ chịu tác động của trọng lực với gia tốc trọng trường, thì độ cao (so với mặt đất) của vật phụ thuộc vào khoảng cách theo phương ngang (tính đến mặt đất tại điểm ném) theo một hàm số bậc hai cho bởi công thức . Như vậy quỹ đạo chuyển động của vật là một phần của đường Parabol. Hãy xác định: a) Các hệ số của hàm bậc hai này. b) Độ cao lớn nhất mà vật có thể đạt được. c) Giả sử vận tốc ban đầu không đổi. từ kết quả câu b) hãy xác định góc ném để độ cao lớn nhất của vật đạt gía trị lớn nhất. d) Một quả bóng được đá từ mặt đất lên cao với vận tốc ban đầu và góc đá so với phương ngang là . Khi quả bóng ở độ cao thì khoảng cách theo phương ngang từ vị trí của quả bóng đến vị trí đá bóng bằng bao nhiêu ?( làm tròn kết quả đến hàng phần trăm). Phân tích: a) Từ công thức hàm bậc hai tổng quát , học sinh nhận biết được các hệ số của hàm độ cao là . b) Độ cao lớn nhất mà vật có thể đạt được chính là tung độ đỉnh của hàm bậc hai ( do ), bề lõm quay xuống. Do đó học sinh sử dụng công thức tính toạ độ đỉnh để mô tả yêu cầu tình huống: Toạ độ đỉnh của đường Parabol là: Vậy độ cao lớn nhất của vật là . c) Theo ý b) khi không đổi thì độ cao lớn nhất của vật phụ thuộc vào đại lượng nào, nhận xét giá trị của ? d) Phương trình quỹ đạo của quả bóng với vận tốc ban đầu và góc đá so với phương ngang bằng là: Khi đó quả bóng ở độ cao 5m nghĩa là ta có phương trình Giải phương trình bậc hai ta có Vậy khoảng cách theo phương ngang từ vị trí của quả bóng đến vị trí đá bóng bằng hoặc . 2. Một số giải pháp góp phần phát triển năng lực mô hình hóa Toán học của học sinh trong dạy học hệ thức lượng và hàm số bậc hai.
2.1. Giải pháp 1: Rèn luyện kỹ năng chuyển đổi từ tình huống thực tế sang tình huống Toán học để giải quyết tình huống. Chuyển từ tình huống thực tiễn sang bài toán toán học (mô hình toán học), có nghĩa là từ tình huống thực tiễn đã cho, học sinh thực hiện chuyển đổi để đưa về các bài toán toán học thường gặp, chẳng hạn như các bài toán sử dụng hệ thức lượng trong tam giác, bài toán liên quan đến các yếu tố của hàm bậc hai…Từ đó học sinh có thể giải quyết tình huống thực tiễn bằng mô hình toán học quen thuộc. Phương pháp thực hiện: GV đưa ra tình huống trong thực tiễn có thể chuyển sang bài toán toán học (mô hình toán học) bằng nhiều cách, nhiều phương pháp khác nhau. Sau đó GV yêu cầu HS giải bài tập đó, hướng dẫn HS các cách nhìn nhận khác nhau để đưa ra các mô hình toán học khác nhau cho tình huống thực tiễn đó. Sau khi đưa ra các mô hình toán học cho tình huống thực tiễn đó thì so sánh để nhận xét về ưu điểm, nhược điểm của từng cách chuyển đổi đó, đưa ra lời giải tối ưu nhất. Ví dụ 1. Hai bạn An và Bình trao đổi với nhau. An nói: tớ đọc ở một tài liệu nói rằng cổng Trường Đại học Bách khoa Hà Nội (Tham khảo hình ảnh) có dạng một parabol, khoảng cách giữa hai chân cổng là và chiều cao của cổng tính từ một điểm trên mặt đất cách chân cổng là . Từ đó tính ra chiều cao của cổng là . Hình ảnh: Cổng parabol của trường Đại học Bách khoa Hà Nội. Sau một hồi suy nghĩ, Bình nói: Nếu dữ kiện như bạn nói, thì chiều cao của cổng parabol mà bạn nói tính ra không chính xác . Dựa vào thông tin mà An đọc được, em hãy tính chiều cao của cổng Trường Đại học Bách khoa Hà Nội để xem kết quả bạn An tính được có chính xác không nhé! Phân tích: Gặp tình huống thực tiễn này, hình ảnh thực tiễn có hình dạng là một parabol và yêu cầu của tình huống là tính chiều cao của nó. Khi đó cần nghĩ đến mô hình hóa toán học nào liên quan đên tình huống thực tiễn đó, làm thế nào để chuyển tình huống sang bài toán toán học, có thể chọn lựa mô hình hóa nào để giải quyết tình huống thực tiễn đặt ra. Qua đó rèn luyện được năng lực chuyển đổi từ tình huống thực tiễn sang mô hình toán học và giải quyết được tình huống thực tiễn của HS. + Hướng thứ nhất: Chọn hệ trục tọa đô gốc trùng với một chân cổng, phần dương của trục chưa khoảng cách giữa hai chân cổng.
+ Hướng thứ hai: Chọn hệ trục tọa đô gốc trùng với trung điểm của đoạn khoảng cách giữa hai chân cổng, trục chưa khoảng cách giữa hai chân cổng. + Hướng thứ ba: Chọn hệ trục tọa đô gốc trùng với điểm cách chân cổng , trục chưa khoảng cách giữa hai chân cổng và trục chứa chiều cao của cổng tính từ một điểm trên mặt đất cách chân cổng là . Hình minh hoạ giáo viên hướng dẫn học sinh Hình minh hoạ học sinh đang tích cực hoạt động nhóm Lời giải: Gọi phương trình của parabol cần tìm là . + Hướng thứ nhất: Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ, trong đó một chân cổng bên trái trùng với gốc tọa độ và chân bên phải cũng nằm trên trục hoành.
Vì đi qua ba điểm nên ta có hệ phương trình: . Vậy . Lập bảng biến thiên của hàm số. Như vậy chiều cao của cổng Bách khoa Hà Nội là . Do đó kết quả của bạn An tính được chiều cao là chưa chính xác. + Hướng thứ hai: Sản phẩm nhóm 2 + Hướng thứ ba: Sản phẩm nhóm 1
Hình minh hoạ học sinh trình bày bài làm của nhóm Ngoài ví dụ điển hình nêu trên, giáo viên có thể rèn luyện thêm nhiều các tình huống thực tiễn khác. Một số tình huống thực tiễn liên quan đến mô hình hoá sử dụng hàm bậc hai như: - Phương trình chuyển động của vật chuyển động thẳng biến đổi đều Trong đó là toạ độ ban đầu của vật, là vận tốc ban đầu của vật và a là gia tốc của vật. Như vậy là một hàm số bậc hai của thời gian . - Phương trình chuyển động của vật ném xiên Trong đó là khoảng cách vật bay được theo phương ngang tính từ mặt đất tại điểm ném, là độ cao so với mặt đất của vật. Như vậy quỹ đạo chuyển động của một vật ném xiên là một Parabol. Tương tự, đường đi của quả bóng khi được cầu thủ đá lên không trung, quỹ đạo của viên đạn pháo khi bắn ra khỏi nòng pháo, tia lửa hàm, hạt nước bắn lên từ đài phun nước… đều có dạng đường Parabol. -Diện tích mảnh vườn hình chữ nhật có chu vi cho trước A cũng là một hàm số bậc hai theo một kích thước dài (hoặc rộng)…. Ví dụ 2. Trong khi khai quật ngôi mộ cổ, các nhà khảo cổ học đã tìm được một chiếc đĩa cổ hình tròn bị vỡ, các nhà khảo cổ muốn khôi phục lại hình dạng chiếc đĩa này.
a) Sử dụng thước đo độ dài và dụng cụ đo góc các em hãy xác định bán kính của chiếc đĩa? b) Giả sử các nhà khảo cổ lấy ba điểm trên chiếc đĩa và tiến hành đo đạc thu được kết quả như sau (tham khảo hình vẽ). Bán kính của chiếc đĩa này bằng (kết quả được làm tròn tới hai chữ số sau dấu phẩy). Phân tích: Gặp bài toán này, học sinh không thể dùng công cụ để đo trực tiếp bán kính của chiếc đĩa. Khi đó cần nghĩ đến các mô hình toán học là các hệ thức lượng trong tam giác, mô hình toán học nào có thể chọn lựa để giải quyết tình huống thực tiễn này, qua đây rèn luyện được năng lực chuyển đổi từ tình huống thực tiễn sang mô hình toán học và giải quyết được tình huống thực tiễn của học sinh. Hướng thứ nhất: Trên cung tròn của đĩa lấy ba điểm sau đó sử dụng thước đo đo độ dài các cạnh . Sử dụng công thức Hêrông tính diện tích của tam giác , từ đó tính bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác Hướng thứ hai: Trên cung tròn của đĩa lấy ba điểm đo độ dài một cạnh và góc đối diện cạnh đó. Sử dụng định lí sin để tính : bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác Hướng thứ ba: Trên cung tròn của đĩa lấy ba điểm bán kính đĩa là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác , nên ta có thể dựng hai đường trung trực của hai cạnh. Giao điểm hai đường này chính là tâm đường tròn, đo khoảng cách từ tâm này đến điểm chính là bán kính đĩa. Cách thức thực hiện: - Giáo viên chuẩn bị ba tấm bìa carton có hình dạng tương tự chiếc đĩa cỗ hình tròn, giao nhiệm vụ cho ba nhóm tìm bán kính chiếc đĩa theo các hướng khác nhau. - Nhóm thực hiện yêu cầu củ thể ý b).