Sáng kiến kinh nghiệm THPT: Phát triển năng lực toán học cho học sinh THPT thông qua việc định hướng tìm lời giải trong một số bài toán có nội dung thực tiễn

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:58

Thêm vào BST

Báo xấu

1
lượt xem 0
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Sáng kiến "Phát triển năng lực toán học cho học sinh THPT thông qua việc định hướng tìm lời giải trong một số bài toán có nội dung thực tiễn" được hoàn thành với mục tiêu nhằm định hướng cho học sinh THPT một số cách tiếp cận lời giải các bài toán có nội dung thực tiễn, từ đó phát triển tư duy , năng lực toán học cho các em, đáp ứng yêu cầu, mục tiêu của chương trình GDPT 2018 môn Toán; Tạo hứng thú cho học sinh trong học môn Toán, từ đó giúp học sinh thấy ý nghĩa của việc học môn Toán.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Sáng kiến kinh nghiệm THPT: Phát triển năng lực toán học cho học sinh THPT thông qua việc định hướng tìm lời giải trong một số bài toán có nội dung thực tiễn

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO NGHỆ AN Đề tài: PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC TOÁN HỌC CHO HỌC SINH THPT THÔNG QUA VIỆC ĐỊNH HƯỚNG TÌM LỜI GIẢI TRONG MỘT SỐ BÀI TOÁN CÓ NỘI DUNG THỰC TIỄN LĨNH VỰC: TOÁN HỌC NGHỆ AN – 2024
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO NGHỆ AN TRƯỜNG THPT HUỲNH THÚC KHÁNG * Đề tài: PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC TOÁN HỌC CHO HỌC SINH THPT THÔNG QUA VIỆC ĐỊNH HƯỚNG TÌM LỜI GIẢI TRONG MỘT SỐ BÀI TOÁN CÓ NỘI DUNG THỰC TIỄN LĨNH VỰC: TOÁN HỌC Họ và tên: Đậu Hoàng Hưng Số điện thoại: 0983.566.166 NGHỆ AN – 2024
MỤC LỤC Trang A. ĐẶT VẤN ĐỀ …………………………………………………………… 1 I. Lý do chọn đề tài………………………………………………………...... 1 II. Mục đích nghiên cứu…………………………………………………...... 2 III. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu……………………………………… 3 IV.Phương pháp nghiên cứu……………………………………………… 3 V.Khả năng ứng dụng và triển khai đề tài………………………………… 3 B. NỘI DUNG……………………………………………………………….. 4 I. Cơ sở lý luận………………………………………………………………. 4 II. Cơ sở thực tiễn…………………………………………………………… 7 III. Nội dung đề tài…………………………………………………………... 9 0. Một số khái niệm và tính chất cơ bản………………………………........ 9 1. 1. Phát triển năng lực Toán học cho học sinh THPT thông qua việc định hướng tìm lời giải cho các bài toán thực tiễn hình học…………………….. 10 2. Phát triển năng lực Toán học cho học sinh THPT thông qua việc định hướng tìm lời giải cho các bài toán thực tế từ kiến thức cơ bản của tập 32 hợp…………………………………………………………………………….. 3. Phát triển năng lực Toán học cho học sinh THPT thông qua việc định 44 hướng tìm lời giải cho các bài toán tối ưu…………………………………... 44 C. KẾT LUẬN……………………………………………………………… 45 D. TÀI LIỆU THAM KHẢO………………………………………………..
A. ĐẶT VẤN ĐỀ I. Lý do chọn đề tài Nền giáo dục Việt Nam nói chung, mấy chục năm qua đã có rất nhiều thành tựu trong việc đào tạo nguồn nhân lực cho đất nước. Những thành tựu đó không thể phủ nhận. Nhưng hoàn cảnh lịch sử đã khác, trước yêu cầu cấp bách của sự phát triển kinh tế-xã hội trong bối cảnh toàn cầu hóa, đã nảy sinh nhiều bất cập đòi hỏi chúng ta phải có sự nhận thức lại, nhìn nhận lại một cách nghiêm túc thực trạng nền giáo dục Việt Nam. Nghị quyết 29-NQ/TW ngày 04 tháng 11 năm 2013 của Ban chấp hành Trung ương Đảng về đổi mới căn bản, toàn diện giáo dục và đào tạo đã chỉ rõ một thực trạng hiện nay là “… công việc giảng dạy, học tập, thi cử, kiểm tra và đánh giá kết quả còn lạc hậu, thiếu thực chất…’’. Như vậy, theo xu thế đổi mới, mục tiêu giáo dục được thay đổi từ quan niệm tiếp cận nội dung, nghĩa là quan tâm đến việc người học sẽ lĩnh hội được những kiến thức gì, sang cách tiếp cận phát triển năng lực, nghĩa là học sinh có thể làm được gì sau khi lĩnh hội được các kiến thức ở nhà trường. Vì vậy, vấn đề hình thành và phát triển năng lực trở thành một trong những yêu cầu tất yếu trong việc xây dựng chương trình cũng như việc tổ chức dạy học ở nhiều nước trên thế giới, trong đó có Việt Nam. Nghị quyết 29-NQ/TW ngày 04 tháng 11 năm 2013 của Ban chấp hành Trung ương Đảng về đổi mới căn bản, toàn diện giáo dục và đào tạo đã nêu rõ "Phát triển giáo dục và đào tạo là nâng cao dân trí, đào tạo nhân lực, bồi dưỡng nhân tài. Chuyển mạnh quá trình giáo dục từ chủ yếu trang bị kiến thức sang phát triển toàn diện năng lực và phẩm chất người học". Nghị quyết 88/2014/QH13 ngày 28 tháng 11 năm 2014 của Quốc hội về đổi mới Chương trình, Sách giáo khoa phổ thông cũng đã xác định mục tiêu đổi mới, đó là "Đổi mới chương trình, Sách giáo khoa GDPT nhằm tạo chuyển biến căn bản, toàn diện về chất lượng và hiệu quả giáo dục phổ thông; kết hợp dạy chữ, dạy người và định hướng nghề nghiệp; góp phần chuyển nền giáo dục nặng về truyền thụ kiến thức sang nền giáo dục phát triển toàn diện cả về phẩm chất và năng lực, hài hòa đức, trí, thể, mỹ và phát huy tốt nhất tiềm năng của mỗi học sinh". 4
Cụ thể hóa các Nghị quyết của Đảng và Nhà nước, chương trình GDPT môn Toán (ban hành theo Thông tư số 32/2018/TT-BGDĐT) nêu rõ “Môn Toán góp phần hình thành và phát triển cho học sinh năng lực toán học bao gồm các thành phần cốt lõi sau: Năng lực tư duy và lập luận toán học; Năng lực giải quyết vấn đề toán học; Năng lực sử dụng công cụ, phương tiện học toán…”. Qua thực tế thực hiện chương trình GDPT 2018 môn Toán chúng tôi nhận thấy, việc tăng cường, sử dụng các bài toán có nội dung thực tế và nội dung trải nghiệm hợp lý không chỉ giúp học sinh hiểu rõ hơn về ý nghĩa và tầm quan trọng của việc học Toán mà còn giúp học sinh khắc sâu tri thức đã được học, vận dụng linh hoạt kiến thức đó để giải quyết những vấn đề trong cuộc sống. Đồng thời việc tham gia tích cực chuẩn bị những nội dung trên sẽ giúp nâng cao năng lực của giáo viên. Tuy nhiên, thực hiện tăng cường các bài toán thực tế trong nội dung chương trình vẫn còn gặp nhiều khó khăn, việc giải các bài toán thực tế thường phức tạp hơn rất nhiều so với các bài toán thuần túy. Để thực hiện tốt các yêu cầu, mục tiêu của chương trình GDPT 2018, đồng thời khắc phục những khó khăn nêu trên, chúng tôi lựa chọn và viết sáng kiến với đề tài “Phát triển năng lực toán học cho học sinh THPT thông qua việc định hướng tìm lời giải trong một số bài toán có nội dung thực tiễn” . II. Mục đích nghiên cứu - Định hướng cho học sinh THPT một số cách tiếp cận lời giải các bài toán có nội dung thực tiễn, từ đó phát triển tư duy , năng lực toán học cho các em, đáp ứng yêu cầu, mục tiêu của chương trình GDPT 2018 môn Toán. - Tạo hứng thú cho học sinh trong học môn Toán, từ đó giúp học sinh thấy ý nghĩa của việc học môn Toán. - Hình thành cho các em học sinh thế giới quan khoa học, chỉ cho các em phương pháp tìm hiểu mối liên hệ mật thiết giữa các phần trong các nội dung, chương trình môn Toán bậc THPT, mối liên hệ giữa kiến thức sách giáo khoa và thực tiễn cuộc sống. - Phát triển tư duy sáng tạo và lập luận toán học; năng lực giải quyết một số vấn đề có tính thực tiễn; năng lực sử dụng công cụ, phương tiện học toán và thực tiễn cuộc sống. 5
III. Phương pháp nghiên cứu - Trên cơ sở kiến thức Sách giáo khoa Toán 10, 11 chúng tôi xây dựng, khai thác, phát triển, sắp sếp các vấn đề, lồng ghép vào các ví dụ thực tiễn (được tham khảo từ đề thi THPTQG, TNTHPT, đề minh họa của Bộ Giáo dục và Đào tạo hàng năm và đề thi đánh giá năng lực của các trường đại học, đề thi HSG hàng năm của các cấp) để phân hoạch thành các dạng toán cụ thể theo từng mức độ để phù hợp với từng nhu cầu, năng lực của các em học sinh. - Tham khảo bài viết của các đồng nghiệp trong và ngoài nước ở các tạp chí có nội dung liên quan đến đề tài. - Trao đổi với các đồng nghiệp ở Tổ Toán-Tin ở Trường Huỳnh Thúc Kháng, Trường THPT chuyên Phan Bội Châu và một số đơn vị bạn trong tỉnh có quan tâm đến vấn đề này để đề xuất biện pháp tiếp cận lời giải các bài toán, triển khai đề tài. - Trao đổi, thảo luận và phối hợp trực tiếp với các em học sinh chúng tôi trực tiếp hoặc gián tiếp giảng dạy để kiểm nghiệm và rút kinh nghiệm. IV. Khả năng ứng dụng và triển khai đề tài - Đề tài có thể dùng làm tài liệu tham khảo, học tập cho các em học sinh lớp THPT trong và ngoài trường. - Đề tài có thể làm tài liệu tham khảo cho các giáo viên giảng dạy bộ môn Toán THPT, học viên Cao học, Nghiên cứu sinh chuyên nghành Phương pháp giảng dạy Toán . - Đề tài có thể ứng dụng để phát triển thành mô hình sách tham khảo trong lĩnh vực này để phục vụ công tác giảng dạy của giáo viên, công việc học tập cho học sinh và công tác nghiên cứu của các nhà giáo dục. Mặc dù đã rất cố gắng tìm tòi, nghiên cứu song chắc chắn không tránh khỏi thiếu sót. Rất mong được sự đóng góp ý kiến của của các độc giả để bản thân tôi ngày càng hoàn thiện hơn và đạt được nhiều kết quả tốt hơn nữa trong việc giảng dạy môn Toán THPT, đáp ứng mục tiêu, yêu cầu đổi mới giáo dục. Chúng tôi xin chân thành cảm ơn. 6
B. NỘI DUNG I. Cơ sở lý luận - Nghị quyết 29-NQ/TW ngày 04 tháng 11 năm 2013 của Ban chấp hành Trung ương Đảng về đổi mới căn bản, toàn diện giáo dục và đào tạo "Phát triển giáo dục và đào tạo là nâng cao dân trí, đào tạo nhân lực, bồi dưỡng nhân tài. Chuyển mạnh quá trình giáo dục từ chủ yếu trang bị kiến thức sang phát triển toàn diện năng lực và phẩm chất người học". - Nghị quyết 88/2014/QH13 ngày 28 tháng 11 năm 2014 của Quốc hội về đổi mới Chương trình, Sách giáo khoa phổ thông cũng đã xác định mục tiêu đổi mới, đó là "Đổi mới chương trình, Sách giáo khoa GDPT nhằm tạo chuyển biến căn bản, toàn diện về chất lượng và hiệu quả giáo dục phổ thông; kết hợp dạy chữ, dạy người và định hướng nghề nghiệp; góp phần chuyển nền giáo dục nặng về truyền thụ kiến thức sang nền giáo dục phát triển toàn diện cả về phẩm chất và năng lực, hài hòa đức, trí, thể, mỹ và phát huy tốt nhất tiềm năng của mỗi học sinh". - Chương trình GDPT môn Toán (ban hành theo Thông tư số 32/2018/TT-BGDĐT) nêu rõ “Môn Toán góp phần hình thành và phát triển cho học sinh năng lực toán học bao gồm các thành phần cốt lõi sau: Năng lực tư duy và lập luận toán học; Năng lực giải quyết vấn đề toán học; Năng lực sử dụng công cụ, phương tiện học toán…”. Trong đó: + Năng lực tư duy và lập luận toán học: được thể hiện qua việc thực hiện được các hành động như thực hiện được các thao tác tư duy như: so sánh, phân tích, tổng hợp, đặc biệt hoá, khái quát hoá, tương tự; quy nạp, diễn dịch.; chỉ ra được chứng cứ, lí lẽ và biết lập luận hợp lí trước khi kết luận; giải thích hoặc điều chỉnh được cách thức giải quyết vấn đề về phương diện toán học. + Năng lực mô hình hóa toán học: thể hiện qua việc thực hiện được các hành động như xác định được mô hình toán học (gồm công thức, phương trình, bảng biểu, đồ thị,...) cho tình huống xuất hiện trong bài toán thực tiễn; giải quyết được những vấn đề toán học trong mô hình được thiết lập; thể hiện và đánh giá được lời giải trong ngữ cảnh thực tế và cải tiến được mô hình nếu cách giải quyết không phù hợp. 7
+ Năng lực giải quyết vấn đề toán học: thể hiện qua việc thực hiện được các hành động như nhận biết, phát hiện được vấn đề cần giải quyết trong môn Toán; lựa chọn, đề xuất được cách thức, giải pháp giải quyết vấn đề; sử dụng được các kiến thức, kĩ năng toán học tương thích (bao gồm các công cụ và thuật toán) để giải quyết vấn đề đặt ra; đánh giá được giải pháp đề ra và khái quát hoá được cho vấn đề tương tự. +Năng lực giao tiếp toán học: thể hiện qua việc thực hiện được các hành động như nghe hiểu, đọc hiểu và ghi chép được các thông tin toán học cần thiết được trình bày dưới dạng văn bản toán học hay do người khác nói hoặc viết ra; trình bày, diễn đạt (nói hoặc viết) được các nội dung, ý tưởng, giải pháp toán học trong sự tương tác với người khác (với yêu cầu thích hợp về sự đầy đủ, chính xác); sử dụng được hiệu quả ngôn ngữ toán học (chữ số, chữ cái, kí hiệu, biểu đồ, đồ thị, các liên kết logic,...) kết hợp với ngôn ngữ thông thường hoặc động tác hình thể khi trình bày, giải thích và đánh giá các ý tưởng toán học trong sự tương tác (thảo luận, tranh luận) với người khác. + Năng lực sử dụng công cụ, phương tiện học toán: thể hiện qua việc thực hiện được các hành động như nhận biết được tên gọi, tác dụng, quy cách sử dụng, cách thức bảo quản các đồ dùng, phương tiện trực quan thông thường, phương tiện khoa học công nghệ (đặc biệt là phương tiện sử dụng công nghệ thông tin), phục vụ cho việc học Toán; sử dụng được các công cụ, phương tiện học toán, đặc biệt là phương tiện khoa học công nghệ để tìm tòi, khám phá và giải quyết vấn đề toán học (phù hợp với đặc điểm nhận thức lứa tuổi); nhận biết được các ưu điểm, hạn chế của những công cụ, phương tiện hỗ trợ để có cách sử dụng hợp lí. Chương trình GDPT môn Toán năm 2018 đặc biệt chú trọng tăng cường các bài toán thực tế. Việc tăng cường các bài toán thực tế có nhiều lợi ích quan trọng, giúp học sinh áp dụng của kiến thức Toán học trong cuộc sống hằng ngày. Điều này giúp học sinh hiểu rõ hơn về ý nghĩa và tầm quan trọng của việc học Toán cũng như khắc sâu tri thức đã học. Việc giải các bài toán thực tế thường phức tạp hơn so với các bài toán thuần túy, đòi hỏi học sinh phải tư duy logic, phân tích vấn đề và áp dụng kiến thức để tìm ra giải pháp. Điều này giúp 8
học sinh phát triển kĩ năng giải quyết vấn đề và tư duy sáng tạo; Kĩ năng giải bài toán thực tế là một kĩ năng quan trọng trong công việc và cuộc sống hằng ngày. Các bài toán thực tế thường liên quan đến các vấn đề xã hội, kinh tế hoặc khoa học, gần gũi với thực tế cuộc sống của học sinh. Điều này có thể khuyến khích sự quan tâm và hứng thú của học sinh đối với môn Toán, giúp học sinh có động lực học tập tốt hơn. Do đó, việc tăng cường các bài toán thực tế trong Chương trình môn Toán ở trường trung học phổ thông sẽ giúp học sinh chuẩn bị tốt hơn cho tương lai và áp dụng kiến thức của mình vào các tình huống thực tiễn, đồng thời góp phần hình thành và phát triển cho học sinh năng lực toán học, đáp ứng được các mục tiêu của Chương trình GDPT môn Toán năm 2018 . Quá trình giả quyết bài toán thực tế có thể tiến hành theo từng bước của sơ đồ sau: Vấn đề thực tiễn vấn đề Xuất hiện các liên tưởng Sàng lọc các liên tưởng và chuyển đổi, hình thành mô hình toán học Kiểm tra mô hình toán học, phát biểu bài toán Chính xác hoá Khẳng định Phủ định Hoạt động tư duy mới Tìm lời giải bài toán và diễn giải vấn đề thực tiễn Nhìn vào sơ đồ trên ta thấy việc nhận thức, phát hiện vấn đề và giải quyết vấn đề giữ vai trò hết sức quan trọng, góp phần hình thành và phát triển cho học sinh năng lực toán học bao gồm các thành phần cốt lõi sau: Năng lực tư duy và lập luận toán học; Năng lực giải quyết vấn đề toán học; Năng lực sử dụng công cụ, phương tiện học toán…”. Mặt khác, trong quá trình thực hiện, 9
chúng ta có thể hướng dẫn, rèn luyện cho học sinh “ gộp” một số bước trong đó, điều này phụ thuộc nhiều vào ý thức học hỏi, năng lực tiếp thu và cả về thời gian tiến hành. II. Cơ sở thực tiễn Để có thông tin về tình hình thực tiễn của giáo viên, học sinh và tài liệu dạy-học phần này, chúng tôi tiến hành khảo sát: - Mục đích khảo sát: Năm tình hình thực tiễn của giáo viên, học sinh và tài liệu dạy-học phần toán học thực tiễn này - Nội dung khảo sát: Nghiên cứu các thành phần tham gia vào quá trình giải quyết các bài toán thực tế.... - Đối tượng và mẫu khảo sát: Giáo viên dạy toán THPT và học sinh THPT ( bao gồm cả học sinh thường và học sinh có tham gia đội tuyển). Số lượng khảo sát được lựa chọn ngẫu nhiên và thống kê trong bảng sau: Đối tượng Giáo viên dạy Học sinh Học sinh có tham gia các đội Toán thường tuyển Số lượng 15 150 81 - Chúng tôi tiến hành khảo sát chúng tôi được kết quả: + Đối với giáo viên: TT Nội dung Rất đảm bảo Đảm bảo Không đảm bảo 1. Thời gian chuẩn bị bài 6,7% 20% 73,3% giảng và giảng dạy 2. Tài liệu tham khảo 26,7% 33,3% 40% 3. Nhu cầu của người học 13,3% 46,7% 40% 4. Năng lực giải toán và 53,3% 33,47% 13,3% năng lực phương pháp + Đối với học sinh : 10
TT Nội dung Rất tốt Đảm bảo Không đảm bảo 1. Thời gian dành cho việc 31,6% 54,6% 13,8% học phần toán thực tiễn? 2. Nhận dạng mô hình toán 16,7% 44,8% 38,50,4 của bài toán thực tiễn 3. Chuyển đổi mô hình thực 20,4% 39,3% 40,3% tế về mô hình toan học 4. Huy động kiến thưc và kỹ 15,1% 32% 39,8% năng để giải quyết 5. Tài liệu tham khảo 31,6% 46,7% 11,2% Qua kết quả khảo sát ta thấy , khi thực hiện việc tăng cường các bài toán thực tế trong nội dung Chương trình môn Toán, giáo viên và học sinh vẫn còn gặp phải nhiều khó khăn nhất định: - Đối với giáo viên: Áp lực khối lượng kiến thức môn học quá nhiều, thời lượng ngắn nên việc rèn luyện kĩ năng để vận dụng kiến thức vào giải các bài toán thực tế gặp khó khăn. Số bài toán thực tế trong sách giáo chưa nhiều, rời rạc và ít đa dạng; một số bài toán thực tế rất phức tạp, khó hiểu đối với học sinh. Việc giải quyết những vấn đề này đòi hỏi sự am hiểu sâu sắc về Toán học cũng như khả năng áp dụng kiến thức vào thực tế. Giáo viên gặp khó khăn trong việc tìm kiếm tài liệu và tài nguyên phù hợp để hỗ trợ quá trình giảng dạy toán thực tế. - Đối với học sinh: Đa số học sinh chưa có thói quen tư duy khi gặp các bài toán thực tiễn mà thường chỉ biết lặp lại những kiến thức của giáo viên truyền thụ nên không giải được. Học sinh chưa thực sự nghiên cứu, tìm hiểu các vấn đề đang diễn ra trong cuộc sống hằng ngày mà có thể vận dụng Toán học vào giải quyết. Hầu hết học sinh mang tư tưởng học để thi nên thụ động, thiếu đam mê tìm tòi, nghiên cứu, sáng tạo thông qua các bài toán thực tiễn. Học sinh thường gặp một số khó khăn khi giải các bài toán thực tế. Đầu tiên, học sinh có thể gặp khó khăn trong việc hiểu và phân tích đề bài. Một số bài toán thực tế có ngữ cảnh phức tạp và yêu cầu học sinh xác định được thông tin quan trọng và 11
điểm cần giải quyết. Sau khi đã hiểu vấn đề, học sinh cần tìm ra công thức hoặc mô hình phù hợp để giải quyết bài toán. Điều này đòi hỏi kiến thức và kĩ năng Toán học đầy đủ. Khi đã xác định công thức, học sinh phải thực hiện các phép tính và tính toán các giá trị từ dữ liệu cho trước. Nhưng đôi khi, việc tính toán có thể gây khó khăn do sự phức tạp của các phép tính hoặc sử dụng sai đơn vị đo lường. Một thách thức khác là áp dụng kiến thức Toán học vào bài toán thực tế. Học sinh gặp khó khăn khi phải điều chỉnh các giả định và giải quyết các rào cản thực tế để tìm ra lời giải phù hợp. Cuối cùng, học sinh mắc phải sai lầm trong việc hiểu ý nghĩa của kết quả. Đôi khi, học sinh có thể không biết cách diễn giải và áp dụng kết quả để trả lời cho câu hỏi ban đầu hoặc giải quyết vấn đề. Để vượt qua những khó khăn này, học sinh có thể tham gia thường xuyên vào các bài tập thực tế, rèn kĩ năng phân tích và ứng dụng kiến thức và tìm hiểu cách áp dụng Toán học vào cuộc sống hằng ngày. Sự luyện tập và sự hỗ trợ từ giáo viên, bạn bè cũng rất quan trọng để nâng cao khả năng giải toán thực tế. III. Nội dung đề tài Toán học được kết nối với thực tiễn, gần gũi với học sinh và có liên quan đến các tình huống trong cuộc sống quanh ta. Toán học thực tế ở đây không hẳn hoàn toàn là các tình huống liên quan đến thế giới thực mà nó cũng bao gồm các tình huống có vấn đề với các nội dung liên quan đến Toán học được mô phỏng từ thực tế trong một bối cảnh dạy-học cụ thể. Các tình huống có vấn đề cũng bao hàm các ứng dụng và các tình huống mô hình hóa Toán học. Việc dạy học Toán hiện nay “có thể” thực hiện theo tiến trình: Xây dựng, trình bày tri thức Toán lý thuyết, vận dụng vào giải quyết các bài toán thực tế; Xuất phát từ một vấn đề thực tế, xây dựng mô hình Toán học, giải quyết để tìm câu trả lời các bài toán thực tế; Thể chế hóa tri thức cần giảng dạy bằng cách “nêu” định nghĩa hay định lý, công thức; Vận dụng vào giải các bài toán thực tế khác có liên quan đến tri thức đó, cho phép xây dựng mô hình toán học phù hợp. Trong quá trình soạn kế hoạch bài dạy, những kiến thức có liên quan với thực tiễn thì cần đưa những bài toán thực tiễn vào để học sinh thấy rõ Toán học gần gũi với hơi thở của cuộc sống. Trên cơ sở đó, giáo viên xây dựng hệ thống 12
câu hỏi phù hợp, đặt ra các tình huống trong cuộc sống để học sinh tự giải quyết. Trong quá trình giảng dạy, để hình thành kiến thức cho học sinh thì giáo viên tiến hành các hoạt động theo trình tự: hoạt động khởi động, hoạt động hình thành kiến thức, hoạt động luyện tập, hoạt động tìm tòi và mở rộng nhằm giúp học sinh tiếp thu bài học dễ dàng. Giáo viên nêu những tình huống xảy ra trong cuộc sống để học sinh tiếp cận và suy nghĩ. Từ đó, cùng nhau giải quyết nhằm làm sáng tỏ. Chú trọng phương pháp nêu vấn đề để giải quyết các bài toán thực tiễn, tạo không khí lớp học thật vui vẻ, thoải mái; thân thiện, gần gũi để học sinh mạnh dạn bày tỏ ý kiến về bài toán thực tiễn. Tạo hứng thú học tập thông qua trò chơi, kể chuyện, hoạt động thực hành, các bài toán gắn liền với thực tiễn cuộc sống. Để giúp học sinh hiểu rõ hơn về cách áp dụng toán vào cuộc sống hằng ngày, cần sử dụng các ví dụ cụ thể và minh họa rõ ràng. Sử dụng ví dụ từ thực tế như đo lường, tính tiền, xác định tỉ lệ để giúp học sinh thấy được ý nghĩa của Toán trong việc giải quyết các vấn đề thực tế. Trước hết, để thuận lợi cho việc trình bày của chúng tôi cũng như việc theo dõi của người đọc, chúng tôi nhắc lại một số khái niệm và tính chất cơ bản cần dùng cho những phần sau. 0. Một số khái niệm và tính chất cơ bản - Giả sử S là tập con hữu hạn gồm m phần tử và F ( S ) là họ tất cả các tập con khác rỗng của tập hợp S . Khi đó ta có: a) F ( S )  2m ; b) Với mỗi x  S , nếu d ( x) là số các tập con thuộc F ( S ) chứa x thì :  d ( x)   xS AF ( S ) A. - Cho F ( S ) là họ các tập con khác rỗng của tập hữu hạn S . Với mỗi x  S , gọi d ( x ) là số các tập con thuộc F ( S ) chứa x . Khi đó ta có: a)  d ( x)   xS AF ( S ) A, b) d xS 2 ( x)    AF ( S ) BF ( S ) A B . Lưu ý: Ở đây chúng tôi sử dung ký hiệu X hoặc n( X ) là số phần tử của tập hợp X . 13
1. Phát triển năng lực Toán học cho học sinh THPT thông qua việc định hướng tìm lời giải cho các bài toán thực tiễn hình học. Thông thường, với các bài toán hình học được xuất phát từ thực tiễn, phát biểu bằng ngôn ngữ đời sống, việc đầu tiên người ta thường quan tâm là “phát hiện” mô hình toán học trong mô hình đời sống được đề cập, nhằm tìm hiểu cấu trúc, bản chất toán học của mô hình được quan tâm; từ đó, xác định hướng và phương án xử lý, giải quyết các yêu cầu đặt ra. Để minh họa cho điều này, ta xét một số ví dụ sau: Ví dụ 1.1 Có 3 đĩa thức ăn dạng hình tròn bằng nhau với đường kính là 20cm, người ta muốn chọn một cái lồng bàn để đậy ba đĩa thức ăn này sao cho bán kính của lồng bàn được chọn là bé nhất? Với điều kiện các đĩa không được chồng lên nhau và miệng đĩa có thể tiếp xúc nhau. Để minh họa cho quy trình giải bài toán có nội dung thực tế hình học, qua đó phát triển năng lực toán học cho học sinh chúng tôi thực hiện yêu cầu của bài toán tuần tự theo các bước như sau: Bước 1: Giáo viên định hướng học sinh gạt bỏ những yếu tố “ bên ngoài”, chỉ quan tâm những thuộc tính bên trong để gợi ý học sinh nhận dạng bài toán để đưa ra khẳng định: Ba đĩa thức ăn hình tròn và đậy bằng lồng bàn tròn.Từ đó chuyển về mô hình của bài toán là tìm hình tròn bé nhất chứa được ba hình tròn có cùng bán kính. 14
Bước 2: Xem mô hình thực này là vấn đề tìm đường tròn chứa được ba đường tròn có cùng bán kính, ta được mô hình toán như hình bên. Bước 3: Giáo viên hướng dẫn học sinh phát biểu bài toán: Cho ba đường tròn cùng bán kính 20cm, không chồng lên nhau và lần lượt có tâm là O1 , O2 , O3 . Tính bán kính R nhỏ nhất của đường tròn tâm O chứa cả ba đường tròn trên. Bước 4: Giải quyết bài toán. Từ giả thiết của bài toán, để giả quyết ta xét các trường hợp sau: Trường hợp 1: Ba đường tròn có tâm thẳng hàng. Khi đó, đường tròn chứa cả ba đường tròn trên phải có bán kính là R  30cm. Trường hợp 2: Ba đường tròn đôi một tiếp xúc ngoài nhau. Vì O1O2O3 đều cạnh 20cm nên ta có: 2 20 3 20 3 OO1  OO2  OO3  .  (cm). 3 2 3 Do đó: OO1 '  OO2 '  OO3 '  OO1  O1O1 ' 20 3  R  10  (cm) . 3 Trường hợp 3: Ba đường tròn rời nhau hoặc hai đường tiếp xúc ngoài nhau, một đường rời ra. Do O1O2O3 có thể không đều nên tồn tại cạnh có độ dài nhỏ nhất. 15
Không mất tính tổng quát giả sử O1O2 là nhỏ nhất, suy ra góc  là góc nhìn cạnh O1O2 có số đo bé nhất. Khi đó bán kính r của đường tròn ngoại tiếp O1O2O3 thỏa mãn: O1O2 OO 20 3 2 80 40 2r   1 2 0  2. .  r . sin  sin 60 3 3 3 3 40 70 Do đó ta có: R   10  (cm). 3 3 20 3 Kết hợp ba trường hợp ta thấy R  10  (cm) là giá trị nhỏ nhất. 3 Bước 5: Trở lại ví dụ 1.1, từ kết quả trên ta thấy để đậy lồng bàn nhỏ nhất, người ta cần đặt ba đĩa thức ăn đôi một tiếp xúc ngoài nhau và bán kính lông 20 3 bàn nhỏ nhất lúc đó là 10  (cm). 3  Nhận xét 1.1 - Khi “ tiếp cận” bài toán này, một số bạn có thể bị chi phối bởi “trực quan” của giả thiết bài toán hoặc đánh giá mang tính chủ quan nên “ hiển nhiên” xem xét bài toán chỉ trong trường hợp ba đường tròn nhỏ đôi một tiếp xúc nhau, điều này dẫn đến lời giả bài toán thiếu đi tính trọn vẹn, thậm chí sai về mặt tư duy, yêu cầu của bộ môn. - Một vấn đề tự nhiên được đặt ra, nếu thay giả thiết ba chiếc đĩa bán kính bằng nhau bởi ba chiếc đĩa bất kỳ thì kết quả như thế nào và lời giải có “ tương tự” với lời giải trong ví dụ 1.1 không ? Để trả lời câu hỏi này ta phát biểu bài toán sau: Ví dụ 1.1.1 Có 3 đĩa thức ăn dạng hình tròn có bán kính lần lượt là r1 , r2 , r3 . Người ta muốn chọn một cái lồng bàn để đậy ba đĩa thức ăn này sao cho bán kính R của lồng bàn được chọn là bé nhất? Với điều kiện các đĩa không được chồng lên nhau và miệng đĩa có thể tiếp xúc nhau. Lời giải bài toán có thể tham khảo ở bài P809-Tạp chi Pi tập 5-số 5 ( 2024). 16
Ví dụ 1.1.2 Một cánh đồng trồng có dạng là một bảng ô vuông gồm các ô vuông đơn vị (1m  1m ) ) và tại mỗi mỗi đỉnh của ô vuông đơn vị người ta trông một cây cau. Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n người ta luôn khoanh được một đường tròn chứa đúng n cây bên trong. Ví dụ 1.2 Một nhà vòm nối các giảng đường ở một trường học được thiết kế bởi các khung thép (phi 90) dạng cung tròn giống nhau và bố trí theo các nhịp cách đều, khoảng cách giữa các khung thép là 3m (xem hình bên). Để biết tổng chi phí cho nhà vòm, nhà đầu tư muốn biết chi phí mua các khung thép là bao nhiêu, biết rằng tổng chiều dài nhà vòm này là 900 m, chiều rộng đường đi là 2,5 m, chiều cao của mái vòm là 4,5 m và giá 1m khung thép là 60.000 đồng. Hãy giúp nhà đầu tư tính chi phí mua các khung thép trên? Bước 1: Giáo viên định hướng cho học sinh nhận biết bản chất của cấu trúc toán học trong ví dụ đã đã nêu: xem các khung thép là các cung tròn giống nhau. Từ đó chuyển về mô hình của bài toán liên quan đến cung tròn trong hình học phẳng. Bước 2: Xem mô hình thực này là vấn đề tìm độ dài của cung tròn của một đường tròn tâm O, bán kính R , ta được mô hình toán học như hình dưới đây. Bước 3: Giáo viên hướng dẫn học sinh phát biểu bài toán: Cho đường tròn (O; R) có đường kính AD vuông góc và cắt dây cung BC tại H. Tính độ dài của  cung trong BAC biết BC  2,5(m), AH  4,5(m). 17
Bước 4: Giải quyết bài toán. BC 2 AH  2 AB.BC.CA AB 2 .BC 4 Ta có: R    4SABC 2 AH .BC 2 AH AH BC 2 349   R ( m). 2 8 AH 144  BC 180  Lại có: sin BAC    BAC  0,542(rad ). 2 R 349  349 Độ dài cung BAC là: lBAC  (2  2.0,542).   12,6( m). 144 Bước 5: Trở lại ví dụ 1.2: Gọi S là tổng số các khung thép cung tròn, ta có: 900 S  1  301 ( khung thép). 3 Tổng chiều dài các khung thép là: 301.12,6  3792,6(m). Tổng chi phí để mua các khung thép là: 3792,6.60000  222556000 ( đồng). Vậy để mua các khung thép trên nhà đầu tư cần 222.556.000 (đồng).  Ví dụ 1.3 Bác An có một khu vườn hình vuông diện tích 100m 2 . Bác muốn chia làm 3 phần, phần hai đường tròn tâm B và C dùng trồng hoa, phần tô đậm dùng để trồng cỏ, phần còn lại lát gạch (như hình vẽ ). Biết mỗi mét vuông trồng cỏ chi phí 100 nghìn đồng, mỗi mét vuông trồng hoa chi phí 1 triệu đồng, mỗi mét vuông lát gạch chi phí 300 nghìn đồng. Khi diện tích phần trồng hoa là nhỏ nhất thì tổng chi phí thi công vườn bằng bao nhiêu? (làm tròn đến hàng nghìn) Bước 1: Giáo viên định hướng cho học sinh nhận biết bản chất của cấu trúc toán học trong ví dụ đã đã nêu: phần hai đường tròn tâm B và C dùng trồng hoa, phần tô đậm dùng để trồng cỏ. Từ đó chuyển về mô hình của bài toán liên quan đến khảo sát diện tích của các hình tròn trong hình học phẳng. 18
Bước 2: Xem mô hình thực này là vấn đề khảo sát mối liên hệ của các giả thiết trong bài toán: - Gọi x, y lần lượt là bán kính của hai hình tròn tâm B, C. Do giả thiết ta có: 2 x  2 y  10  x  y  5 (m). - Gọi S là tổng diện tích phần trồng hoa, ta có S   x 2   y 2 ( m 2 ). Bước 3: Giáo viên hướng dẫn học sinh xây dựng và phát biểu bài toán: Cho x, y là các số thực dương thỏa mãn x  y  5. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức S   ( x 2  y 2 ). Bước 4: “Giả thiết” của bài toán x  y  5 có dạng là phương trình đường thẳng S và “ kết luận” bài toán x 2  y 2  có dạng là phương trình đường tròn, điều  này gợi ý chúng ta đưa về xét vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn. Ta có mô hình như hình vẽ sau. Bước 5: Gọi H là hình chiếu vuông góc của tâm S O đường tròn (C ) : x 2  y 2  lên đường thẳng   : x  y  5 . Để thỏa mãn thì đường thẳng  và đường tròn (C ) phải có điểm chung, điều này xảy ra khi và chỉ khi OH  R 5 S 25   S . 2  2 x  y  5 25  Do đó ta có: min S   2 S. x  y   2 2  Như vậy, tổng chi phí thi công vườn là:  25  25 100. 25    1000.  300.(100  25 )  49.635.000 ( đồng).  2  2  19
Ví dụ 1.4 Bên trong một hồ bơi, người ta dự định thiết kế hai bể sục nửa hình tròn bằng nhau và một bể sục hình tròn để người bơi có thể ngồi tựa lưng vào thành các bể sục thư giãn như hình vẽ sau. Hãy tìm bán kính của các bể sục để tổng chu vi của ba bể là 32m mà tổng diện tích (chiếm hồ bơi ) là nhỏ nhất. Trong tính toán, lấy   3,14 và độ dài tính theo mét, làm tròn tới chữ số thập phân thứ hai. Bước 1: Giáo viên định hướng cho học sinh nhận biết bản chất của cấu trúc toán học trong ví dụ đã đã nêu: hai bể sục nửa hình tròn bằng nhau và một bể sục hình tròn. Từ đó chuyển về mô hình của bài toán liên quan đến khảo sát diện tích của hình tròn, nửa hình tròn trong hình học phẳng. Bước 2: Xem mô hình thực này là vấn đề khảo sát mối liên hệ của các giả thiết trong bài toán: - Gọi x, y lần lượt là bán kính của bể hình tròn và bể nửa hình tròn, ta có: + Chu vi bể hình tròn l1  2 x  6, 28 x (m); + Tổng chu vi hai bể nửa hình tròn l2  2 y  4 y  10, 28 y ( m); + Do tổng chu vi của 3 bể bằng 32 ( m) nên 6,28 x  10, 28 y  32. - Gọi S là tổng diện tích của ba bể sục, ta có S   x 2   y 2  3,14( x 2  y 2 ) ( m 2 ). 20