Sáng kiến kinh nghiệm THPT: Phát triển năng lực tư duy cho học sinh thông qua việc khai thác bài toán đạo hàm của hàm hợp

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:54

Thêm vào BST

Báo xấu

27
lượt xem 6
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Mục đích nghiên cứu sáng kiến "Phát triển năng lực tư duy cho học sinh thông qua việc khai thác bài toán đạo hàm của hàm hợp" nhằm nghiên cứu cơ sở lý luận về tư duy sáng tạo; Để cho học sinh thấy được mối liên hệ của đồ thị hàm số y=f'(x) với các vấn đề của hàm số y=f(x). Từ đó có thể làm tốt các dạng toán này, mang lại kết quả cao trong các kì thi, đặc biệt là kì thi TN THPT QG 2021-2022.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Sáng kiến kinh nghiệm THPT: Phát triển năng lực tư duy cho học sinh thông qua việc khai thác bài toán đạo hàm của hàm hợp

tgrg SỞ GD&ĐT NGHỆ AN TRƯỜNG THPT DIỄN CHÂU 4 SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM Tên đề tài “PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC TƯ DUY CHO HỌC SINH THÔNG QUA VIỆC KHAI THÁC BÀI TOÁN ĐẠO HÀM CỦA HÀM HỢP” Lĩnh vực: Toán học Đồng Tác giả: Nguyễn Thị Phương Thu - Trường THPT Diễn Châu 4 Hồ Thị Thúy - Trường THPT Diễn Châu 4 Tổ: Toán – Tin SĐT: 0914 909 171 – 0389 376 260 Nghệ An, tháng 4 năm 2022
MỤC LỤC MỤC LỤC DANH MỤC CÁC TỪ VIẾT TẮT PHẦN I. MỞ ĐẦU 1 1.1. Lý do chọn đề tài. 1 1.2.Mục đích và nhiệm vụ của đề tài 1 1.3. Đối tượng nghiên cứu 1 1.4. Giới hạn của đề tài 1 1.5. Phương pháp nghiên cứu 1 1.6. Tính mới và những đóng góp của đề tài 2 2 1.7. Bố cục của đề tài PHẦN II. NỘI DUNG ĐỀ TÀI 3 Chương 1. CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN 3 1.1. Cơ sở lí luận. 3 1.1.1. Khái niệm năng lực tư duy 3 1.1.2. Phát triển năng lực tư duy cho học sinh 4 1.1.3. Thực trạng của học sinh khi học và giải các bài toán về đạo 4 hàm của hàm hợp. 1.2. Cơ sở thực tiễn của đề tài. 4 1.3. Mục đích yêu cầu xây dựng các phương pháp giải các bài toán 5 về đạo hàm của hàm hợp. Chương 2. CÁC BÀI TOÁN ỨNG DỤNG VỀ ĐẠO HÀM CỦA 5 HÀM HỢP. 2.1. Một số kiến thức cơ bản 5 2.1.1. Tính đơn điệu của hàm số 5 2.1.2. Cực trị của hàm số 2.1.3. Hàm hợp 5 6 2.2. PHÂN DẠNG CÁC BÀI TOÁN ĐẠO HÀM CỦA HÀM HỢP. Dạng 1:Tìm khoảng đơn điệu của hàm số g(x)=f[u(x)] khi biết đồ thị, 6 bảng biến thiên hàm số f’(x).
Dạng 2: Tìm khoảng đơn điệu của hàm số g(x)=f[u(x)]+v(x) khi biết 11 đồ thị, bảng biến thiên của đồ thị hàm số f’(x). Dạng 3:Tìm cực trị của hàm số f[u(x)] khi biết đồ thị, bảng biến thiên 20 của hàm số f’(x). Dạng 4:Tìm cực trị của hàm số g(x)=f[u(x)]+v(x) khi biết đồ thị,bảng 28 biến thiên của hàm số f’(x). Chương 3. THỰC NGHIỆM SƯ PHẠM 37 3.1. Mục đích thực nghiệm sư phạm 37 3.2. Đối tượng thực nghiệm 37 3.3. Tiến hành thực nghiệm 37 3.4. Kết quả thực nghiệm. 44 PHẦN III. KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ 48 1. Kết luận. 48 1. 2. Kiến nghị. 48 TÀI LIỆU THAM KHẢO 49 DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU, CÁC CHỮ VIẾT TẮT GV Giáo viên HS Học sinh SGK Sách giáo khoa GD&ĐT Giáo dục và Đào tạo THPT Trung học phổ thông TNTHPTQG Tốt nghiệp trung học phổ thông quốc gia THPTQG Trung học phổ thông quốc gia SL Số lượng
PHẦN I. MỞ ĐẦU 1.1. Lí do chọn đề tài - Xuất phát từ yêu cầu thực tiễn đổi mới phương pháp dạy học và tiếp cận chương trình giáo dục phổ thông 2018. - Xuất phát từ mục tiêu chương trình giáo dục phổ thông 2018 về phát triển năng lực người học. - Trong môn giải tích đạo hàm là một công cụ mạnh để giải quyết nhiều bài toán. Giữa hàm số f  x  và đạo hàm của y  f '  x  có nhiều mối liên hệ chặt chẽ. Điển hình là sự đồng biến nghịch biến, cực trị. Đạo hàm của một hàm số ngoài việc biểu diễn dưới dạng các công thức thì nó còn được biểu diễn dưới dạng đồ thị. Việc đưa vào đồ thị của f '  x  để tìm ra tính chất của hàm số f  x  cho ta những bài toán hay. - Trong các đề thi hiện nay xuất hiện nhiều bài toán có giả thiết là cho đồ thị của hàm số f '  x  và yêu cầu chỉ ra các tính chất về sự biến thiên cũng như cực trị và một số tính chất khác của hàm số f  x  . Chính vì vậy tôi chọn đề tài từ thực trạng thi trung học phổ thông quốc gia theo định hướng phát triển năng lực tự học và vận dụng kiến thức vào bài toán ứng dụng về đạo hàm của hàm hợp thường xuyên xuất hiện trong đề thi tốt nghiệp trung học phổ thông quốc gia trong những năm gần đây. Vì tính quan trọng và ứng dụng của đồ thị hàm đạo hàm nên tôi thấy cần có một hệ lý thuyết, phương pháp và phân dạng bài tập đối với loại toán này. Do đó tôi chọn đề tài ‘Phát triển năng lực tư duy cho học sinh thông qua việc khai thác bài toán đạo hàm của hàm hợp’’. 1.2. Mục đích và nhiệm vụ của đề tài - Nghiên cứu cơ sở lý luận về tư duy sáng tạo. - Để cho học sinh thấy được mối liên hệ của đồ thị hàm số y  f '  x  với các vấn đề của hàm số y  f  x  . Từ đó có thể làm tốt các dạng toán này, mang lại kết quả cao trong các kì thi, đặc biệt là kì thi TN THPT QG 2021-2022. 1.3. Đối tượng nghiên cứu Các bài toán về khoảng đơn điệu, cực trị, các bài toán chứa tham số liên quan đến đồ thị hàm đạo hàm trong chương trình SGK 12, đề thi TN THPT QG, đề thi thử của Sở GD& ĐT Nghệ An và một số trường trên toàn quốc từ 2018 đến nay, để giải quyết các dạng toán liên quan đến đồ thị của hàm số y  f '  x  . 1.4. Giới hạn của đề tài Trình bày một cách hệ thống, khoa học các dạng toán liên quan đến đồ thị hàm ẩn với các ví dụ minh họa, cùng lời giải chi tiết. 1.5. Phương pháp nghiên cứu. - Phương pháp nghiên cứu lý thuyết - Phương pháp điều tra 1
- Phương pháp chuyên gia - Phương pháp thực nghiệm sư phạm 1.6. Tính mới và những đóng góp của đề tài. Đề tài xây dựng các dạng, nhận dạng, phân dạng, nêu dạng tổng quát xây dựng phương pháp giải và rèn luyện kĩ năng giải dạng toán “ Đồ thị hàm ẩn”. Qua đó học sinh có thể giải được, giải đúng, giải nhanh dạng toán trong các đề thi THPT QUỐC GIA, đồng thời bồi dưỡng và phát triển năng lực tư duy cho học sinh một số hoạt động tự học và vận dụng kiến thức qua chủ đề học tập phù THPT – một trong những năng lực quan trọng cần đạt trong chương trình giáo dục phổ thông mới hiện nay. 1.7. Bố cục của đề tài Ngoài phần mở đầu, phần kết luận và tài liệu tham khảo, đề tài được trình bày trong 3 chương. Chương 1. Cở sở lí luận và thực tiễn. Chương 2. Các bài toán ứng dụng về đạo hàm của hàm hợp Chương 3. Thực nghiệm sư phạm. 2
PHẦN II. NỘI DUNG ĐỀ TÀI Chương 1. CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN 1.1. Cơ sở lí luận. 1.1.1 Khái niệm năng lực tư duy Năng lực tư duy là một khả năng, một phẩm chất tâm sinh lý của óc người, vừa như là cái tự nhiên bẩm sinh, “sẵn có”, vừa như là sản phẩm của lịch sử, hơn nữa là sản phẩm của lịch sử phát triển xã hội. Cái vốn có tự nhiên ấy thông qua rèn luyện trong thực tiễn mới trở nên một sức mạnh thật sự có hiệu quả của con người và xã hội. Năng lực tư duy là sản phẩm của quá trình phát triển ngày càng cao yếu tố tự nhiên, lịch sử của con người và nhân loại. Nói cách khác, năng lực tư duy ngày càng được nâng cao theo sự phát triển của con người và lịch sử. Nhưng đó không phải là một quá trình tự phát, mà là cả một quá trình tự giác. Nghĩa là con người tự giác rèn luyện, nâng cao năng lực tư duy của mình. Năng lực tư duy là tổng hợp những khả năng ghi nhớ, tái hiện, trừu tượng hóa, khái quát hóa, tưởng tượng, suy luận – giải quyết vấn đề, xử lý tình huống trong quá trình phản ánh, phát triển tri thức và vận dụng chúng vào thực tiễn. Cần phải nhận thức rằng hoạt động của tư duy không thể tách rời yếu tố cảm xúc, ý chí ở tầng vô thức và hữu thức. Cảm xúc không phải là tri thức, nhưng lại là một yếu tố cần thiết cấu thành và là môi trường xúc tác của quá trình tư duy. Năng lực tư duy của con người như bao gồm cả yếu tố bẩm sinh. Thực tế đã chứng minh, yếu tố bẩm sinh có vai trò rất quan trọng nhưng chỉ ở dạng khả năng, có thể rèn luyện nâng cao, phát huy được, vì nếu không có tác nhân xã hội thì sẽ mai một dần. Theo chủ tịch Hồ Chí Minh, “năng lực của người không phải hoàn toàn do tự nhiên mà có, mà một phần lớn do công tác tập luyện mà có”. Năng lực tư duy xét về mặt tinh thần, trí tuệ, mặt bản chất xã hội, phải được đổi mới, rèn luyện, bổ sung không ngừng. Tuy nhiên, tùy theo từng bộ phận cấu thành của tư duy mà có sự rèn luyện, đổi mới khác nhau ít hoặc nhiều trên cơ sở các quy luật của tư duy và quy luật của tồn tại. Mác đã nói, tri thức là phương thức tồn tại của ý thức, rèn luyện và phát triển năng lực tư duy trước hết là nâng cao trình độ tri thức, để tạo nền cho năng lực tư duy. Năng lực tư duy không chỉ là năng lực tư duy hình thức mà chủ yếu là năng lực tư duy biện chứng. Do đó, để phát triển năng lực tư duy, phải bồi dưỡng và phát triển tính biện chứng của tư duy (khả năng nhận ra và thống nhất các mặt đối lập, mối liên hệ và sự chuyển hóa giữa các khái niệm, phạm trù; năng lực trừu tượng hóa, khái quát hóa, suy luận, theo quy luật biện chứng tồn tại). Nâng cao năng lực tư duy không phải là mục đích tự thân mà là để giải quyết thành công những vấn đề thực tiễn. 3
Thế kỷ XXI, kỷ nguyên của khoa học công nghệ, của trí tuệ, của thực tiễn đa dạng, luôn biến đổi nhanh chóng và thông tin, chất xám, khoa học ngày càng có vai trò quan trọng trong cuộc thử thách, cạnh tranh về trí tuệ. Năng lực tư duy đã trở thành một năng lực cơ bản nhất cần có ở mỗi con người. Vì vậy việc nâng cao năng lực tư duy là vấn đề quan trọng trong chiến lược phát triển con người ở nước ta. 1.1.2 Phát triển năng lực tư duy cho học sinh Phát triển năng lực tư duy thực chất là hình thành và phát triển năng lực nhận thức, năng lực suy nghĩ linh hoạt, sáng tạo cho học sinh mà bước đầu là giải các “bài toán” nhận thức, vận dụng vào bài toán “thực tiễn” một cách chủ động và độc lập ở các mức độ khác nhau. Hình thành và phát triển năng lực nhận thức được thực hiện thường xuyên, liên tục, thống nhất, có hệ thống – điều này đặc biệt quan trọng đối với HS. Hình thành và phát triển năng lực nhận thức được thực hiện từ việc rèn luyện năng lực quan sát, phát triển trí nhớ và tưởng tượng, trau dồi ngôn ngữ, nắm vững các kiến thức, kỹ năng, kỹ xảo, phương pháp nhận thức – những yếu tố này ảnh hưởng lớn tới sự phát triển năng lực nhận thức. 1.1.3. Thực trạng của học sinh khi học và giải các bài toán về đạo hàm của hàm hợp. - Chủ đề đồ thị hàm số là một trong những kiến thức cơ bản ở chương trình toán giải tích lớp 12. Việc dạy và học vấn đề này giúp học sinh hiểu rõ hơn các tính chất hàm số, trực quan hơn trong các bài toán liên quan đến đồ thị. Nhìn chung khi học vấn đề này, đại đa số học sinh (kể cả học sinh khá giỏi) thường gặp những khó khăn, sai lầm sau: - Các bài toán đều liên quan đến cho đồ thị, bảng biến thiên, công thức của hàm số f '  x  từ đó học sinh tìm ra các tính chất của hàm số f  x  hoặc các điểm cực trị,... - Hình vẽ minh họa ở các sách giáo khoa cũng như sách bài tập còn ít “chưa đủ” để giúp học sinh rèn luyện tư duy từ trực quan đến trừu tượng. - Học sinh chưa thực sự hứng thú và có cảm giác khó hiểu. - Kiến thức đồ thị như: Các phép tịnh tiến, đối xứng học sinh còn chưa thành thạo, học sinh còn yếu trong kỹ năng đọc đồ thị hàm số. 1.2. Cơ sở thực tiễn của đề tài. Để xác định cơ sở thực tiễn của đề tài về việc rèn luyện kỹ năng tự học cho học sinh THPT cũng như thực trạng xây dựng và tổ chức hình thức dạy học theo chủ đề “Phát triển năng lực tư duy cho học sinh thông qua việc khai thác bài toán đạo hàm của hàm hợp’’. Phiếu điều tra thăm dò ý kiến giáo viên đối với 20 giáo viên trực tiếp giảng dạy môn toán 12 ở các trường THPT lân cận trên địa bàn năm 2020 - 2021 và thu đươc kết quả như sau: Số giáo viên không thường xuyên thiết kế chủ đề dạy học là 18 GV (90%) và số giáo viên rất ít thiết kế chủ đề dạy học là 2 GV (10%), số giáo 4
viên chưa từng thiết kế chủ đề dạy học là không. Số giáo viên cho rằng việc thiết kế chủ đề dạy học môn toán rất cần thiết là 13 GV (65%), cần thiết là 7 GV (35%), không cần thiết là không. Như vậy hầu hết các giáo viên đã quan tâm sử dụng đến công tác đổi mới phương pháp dạy học tích cực. Đồng thời giáo viên nhận thấy được sự cần thiết của việc thiết kế dạy học theo chủ đề. Trong thực tế việc dạy học theo chủ đề không được thực hiện thường xuyên. Về thực tiễn thiết kế bài dạy ôn tập cực trị theo phương pháp có 13 (65%), đang dạy theo trình tự bài tập sách giáo khoa có 7 GV (35%). Thiết kế bài dạy theo chủ đề: “Phát triển năng lực tư duy cho học sinh thông qua việc khai thác bài toán đạo hàm của hàm hợp’’. 1.3. Mục đích yêu cầu xây dựng các phương pháp giải các bài toán về đạo hàm của hàm hợp. - Xây dựng các phương pháp tính đơn giản, hiệu quả hơn. - Giảm bớt mức độ trừu tượng của lớp bài toán. - Hình thành các bài toán tương tự, các bài toán mới. Chương 2. CÁC BÀI TOÁN ỨNG DỤNG VỀ ĐẠO HÀM CỦA HÀM HỢP. 2.1. Một số kiến thức cơ bản 2.1.1. Tính đơn điệu của hàm số Định lí: Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm trên K * Nếu f’(x) > 0 với mọi x thuộc K thì hàm số f(x) đồng biến (tăng) trên K * Nếu f’(x) < 0 với mọi x thuộc K thì hàm số f(x) nghịch biến (giảm) trên K 2.1.2. Cực trị của hàm số Định lí: Giả sử hàm số : y  f (x) liên tục trên khoảng K  ( x0  h; x0  h) và có đạo hàm trên K hoặc K \  x0  , với h  0 . * Nếu f ' ( x)  0 trên khoảng ( x0  h; x0 ) và f ' ( x)  0 trên khoảng ( x0 ; x0  h) thì x0 là một điểm cực đại của hàm số f (x) . * Nếu f ' ( x)  0 trên khoảng ( x0  h; x0 ) và f ' ( x)  0 trên khoảng ( x0 ; x0  h) thì x0 là một điểm cực tiểu của hàm số f (x) . 2.1.3. Hàm hợp: * Định nghĩa: Giả sử u = g(x) là hàm số của x, xác định trên (a;b) và lấy giá trị trên khoảng (c;d); y = f(u) là hàm số của u, xác định trên (c;d) và lấy giá trị trên Khi đó ta lập một hàm số xác định trên (a;b) và lấy giá trị trên R theo quy tắc sau: x f ( g ( x)) Ta gọi hàm y =f(g(x)) là hàm hợp của y = f(u) với u = g(x) * Đạo hàm của hàm hợp : 5
Nếu hàm số u = g(x) có đạo hàm tại x là u 'x và hàm số y = f(u) có đạo hàm tại u là y 'u thì hàm hợp y = f(g(x)) có đạo hàm tại x là : yx '  yu .ux ' ' 2.2. PHÂN DẠNG CÁC BÀI TOÁN ĐẠO HÀM CỦA HÀM HỢP. Dạng 1. Tìm khoảng đơn điệu của hàm số g(x)=f[u(x)] khi biết đồ thị, bảng biến thiên hàm số f’(x). Phương pháp giải: Cách 1: Bước 1: Tính đạo hàm của hàm số g  x  , g   x   u  x  . f  u  x   . Bước 2: Sử dụng đồ thị của f   x  , lập bảng xét dấu của g   x  . Bước 3: Dựa vào bảng dấu kết luận khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số. Cách 2: Bước 1: Tính đạo hàm của hàm số g  x  , g   x   u  x  . f  u  x   . Bước 2: Hàm số g  x  đồng biến  g   x   0 ; (Hàm số g  x  nghịch biến  g   x   0 ) (*) Bước 3: Giải bất phương trình * (dựa vào đồ thị hàm số y  f   x  ) từ đó kết luận khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số. Bài toán 1: Cho hàm số y  f  x  . Biết f  x  có đạo hàm là f   x  trên và hàm số y  f   x  có đồ thị như hình vẽ bên. Kết luận nào sau đây là đúng? A. Hàm số y  f  x  chỉ có hai điểm cực trị. y B. Hàm số y  f  x  đồng biến trên khoảng 1;3  . C. Hàm số y  f  x  nghịch biến trên khoảng  ;2  . 4 O 1 2 3 5 x D. Hàm số y  f  x  đồng biến trên khoảng  4;  . Học sinh sẽ gặp một số khó khăn sau: - Hiểu nhầm đây là đồ thị hàm số y  f  x  - Thiếu kỹ năng đọc đồ thị, mà đây lại là đồ thị hàm số y  f '  x  . Phân tích bài toán: Cách 1: - Dựa vào đồ thị hàm số, lập bảng biến thiên của đồ thị hàm số 6
-Từ bảng biến thiên kết luận tính đồng biến, nghịch biến của hàm số Cách 2: Dựa vào đồ thị hàm số y  f '  x  . * x thuộc khoảng tương ứng với phần đồ thị hàm số f’(x) nằm phía trên trục hoành thì trong khoảng đó hàm số f(x) đồng biến (tăng). * x thuộc khoảng tương ứng với phần đồ thị hàm số f’(x) nằm phía dưới trục hoành thì trong khoảng đó hàm số f(x) nghịch biến (giảm) Bài toán 2: Cho hàm số y  f  x  . Biết đồ thị hàm số y  f   x  có đồ thị như hình vẽ bên   Hàm số g  x   f 2x  3x2 đồng biến trên khoảng nào dưới đây? A.  ;  . B.  ;    . C.   ;  . D.  2;  . 1 1 1 1 1 3 2  2   3   2 Học sinh thường gặp khó khăn khi giải bài toán này là: - Khó khăn trong việc tìm được các khoảng để g ' ( x)  0, g ' ( x)  0 - Khó khăn trong việc xét dấu của hàm số g ' ( x) Phân tích bài toán: Ở bài này yêu cầu của bài toán lúc này không đơn thuần là kết luận tính đồng biến nghịch biến của hàm số y  f  x  khi biết đồ thị của hàm số y  f '  x  . mà kết luận tính đồng biến của hàm hợp y  g (u) với u=u(x) là biểu thức bậc 2 với biến x, để phát huy năng lực cho học sinh giáo viên nên hướng học sinh giải theo nhiều cách khác nhau và đặc biệt trong các bài toán trắc nghiệm thì phương pháp thử cũng được học sinh sử dụng Lời giải  Cách 1. Ta có g   x    2  6 x  . f  2 x  3x2  7
2  6x  0    g   x   0   2  6 x  . f  2 x  3x 2  0   2 x  3x 2  1  x   1 3  2 x  3 x 2 2 Bảng xét dấu của g   x      1 Từ bảng trên ta có hàm số g  x   f 2x  3x2 đồng biến trên khoảng   ;  3  Cách 2: g   x    2  6 x  . f  2 x  3x2  Hàm số đồng biến khi và chỉ khi:  g  x   0   2  6x . f  2x  3x2  0  2  6 x  0 2  6 x  0         f 2 x  3x  0 2     f  2 x  3x 2  0   1  x 2  6 x  0 3   1    x Trường hợp 1.      2  f 2 x  3x  0   2 x  3x  1 2   2 x  3x 2  2 3  2  6 x  0  1  x  3 2 0 Trường hợp 2.    f 2 x   3 x  1  2 x  3x 2  2  hệ vô nghiệm     1 Vậy hàm số g  x   f 2x  3x2 đồng biến trên khoảng   ;  3 Cách 3: sử dụng phương pháp thử    x    2  6 x  . f  2 x  3x 2 Bước 1: Tính đạo hàm của hàm số g∈  1  Bước 2: Thử đáp án B: chọn x  1  ;   sau đó thay vào hàm số 2    g   x    2  6 x  . f  2 x  3x 2 Ta được: g ' (1)  4. f ' (1)  0 (vì dựa vào đồ thị hàm số ta thấy f ' (1)  0 ) 8
1  Vì vậy trong khoảng  ;    hàm số nghịch biến  2  Tương tự, thử đáp án C 1  Chọn x  1 (; ) sau đó thay vào hàm số: g   x    2  6 x  . f  2 x  3x2 3  Ta được: g ' (1)  8. f ' (5)  0 (vì dựa vào đồ thị hàm số ta thấy f ' (1)  0 )  1 Vì vậy, trong khoảng   ;  hàm số đồng biến. Ta chọn đáp án C  3 Tương tự, với các đáp án A và D Nhận xét: Qua bài toán 2 học sinh cũng đã có cái nhìn, hình thành cách làm bài toán. Tuy nhiên, đây là bài toán khó đối với học sinh, các em rất khó khăn trong việc sử dụng các phương pháp khác để giải bài toán này, vì vậy việc phát triển năng lực tư duy cho học sinh là một việc làm rất cần thiết của giáo viên. Từ đó, hình thành ở học sinh tư duy linh hoạt trong giải toán, để học sinh có khả năng tư duy trước các bài toán ở mức độ vận dụng cao. Bài toán 3: Cho hàm số y=f(x) liên tục trên R và bảng xét dấu của hàm số y=f’(x) như hình bên. Hỏi hàm số g  x   f  x  1 nghịch biến trên khoảng nào trong các khoảng sau? A.  0; 2  B.  3;0  C. 1; 4  D.  1;1 Nhận xét: Dạng chuyển từ hàm y=f(x) sang hàm f ( x  1) rất dễ mắc sai lầm đó là: Chuyển từ y=f(x) sang f ( x ) (lấy đối xứng trước), rồi tịnh tiến sang trái 1 đơn vị (tịnh tiến sau). Lời giải  f  x  1 , x  0 Ta có: g  x   f  x  1    f   x  1 , x  0 Nhận xét: Hàm g  x   f  x  1 là hàm chẵn, có đồ thị đối xứng nhau qua trục tung. +) Ta có BBT của hàm số y  f ( x) 9
+) B1: Chuyển từ hàm số y=f(x) sang hàm số y  f  x  1 (tịnh tiến đồ thị sang trái 1 đơn vị) +) B2: Chuyển từ hàm số y  f  x  1 sang hàm số y  f  x  1 bằng cách giữ nguyên phần x  0 , phần x  0 được lấy đối xứng với phần x  0 qua Oy . (lấy đối xứng qua Oy) Bài tập tương tự Câu 1. (Chuyên Thái Nguyên -2019) Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm f '  x  trên  . Hình vẽ bên là đồ thị của hàm số y  f '  x  . Hàm số g  x   f x  x2  nghịch biến trên khoảng nào trong các khoảng dưới đây? 10
A.   ;   . B.  ;  . C.  ;   . D.  ;  . 3 3 1 1  2   2 2   2 Câu 2. (Chuyên Phan Bội Châu - Nghệ An - 2020) Cho hàm số y  f  x  có bảng xét dấu đạo hàm như sau: Hàm số g  x   f  3  2 x  đồng biến trên khoảng nào sau đây A.  3;   . B.  ; 5 . C. 1; 2  . D.  2;7  . Dạng 2. Tìm khoảng đơn điệu của hàm số g(x)=f[u(x)]+v(x) khi biết đồ thị, bảng biến thiên của hàm số f’(x). Phương pháp giải: Cách 1: Bước 1: Tính đạo hàm của hàm số g  x  , g   x   u  x  . f  u  x    v  x  . Bước 2: Sử dụng đồ thị của f   x  , lập bảng xét dấu của g   x  . Bước 3: Dựa vào bảng dấu kết luận khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số. Cách 2: Bước 1: Tính đạo hàm của hàm số g  x  , g   x   u  x  . f  u  x    v  x  . Bước 2: Hàm số g  x  đồng biến  g   x   0 ; (Hàm số g  x  nghịch biến  g   x   0 ) (*) Bước 3: Giải bất phương trình * (dựa vào đồ thị hàm số y  f   x  ) từ đó kết luận khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số. Cách 3: (Trắc nghiệm) Bước 1: Tính đạo hàm của hàm số g  x  , g   x   u  x  . f  u  x    v  x  . Bước 2: Hàm số g  x  đồng biến trên K  g   x   0, x  K ; (Hàm số g  x  nghịch biến trên K  g   x   0, x  K ) (*) Bước 3: Lần lượt chọn thay giá trị từ các phương án vào g   x  để loại các phương án sai. 11
Bài toán 4: (Đề Tham Khảo 2019) Cho hàm số f  x  có bảng xét dấu của đạo hàm như sau x  1 2 3 4  f  x  0  0  0  0  Hàm số y  3 f  x  2   x3  3x đồng biến trên khoảng nào dưới đây? A.  ; 1 . B.  1;0  . C.  0; 2  . D. 1;   . Phân tích bài toán Đây là bài toán Xét tính đồng biến, nghịch biến của hàm số kết hợp giữa hàm hợp và tổng. Hàm số y là tổng của hàm 3 f ( x  2) và f ( x)   x3  3x Cách 1: Hàm số y là tổng của hàm 3 f ( x  2) và f ( x)   x3  3x Trước hết ta tính đạo hàm của hàm số g(x). Giải bất phương trình y '  0 tìm tập nghiệm Cách 2: hướng học sinh sử dụng phương pháp trắc nghiệm Lời giải:  Cách 1: Ta có: y  3  f   x  2   x2  3     Với x   1;0   x  2  1;2   f   x  2   0 , lại có x2  3  0  y  0; x   1;0  Vậy hàm số y  3 f  x  2   x3  3x đồng biến trên khoảng  1;0  . Cách 2: +) Ta xét x  1;2   1;    x  2   3;4   f   x  2   0; x2  3  0 Suy ra hàm số nghịch biến trên khoảng 1;2  nên loại hai phương án A, D. +) Tương tự ta xét x   ; 2   x  2   ;0   f   x  2   0; x2  3  0  y  0; x   ; 2  Suy ra hàm số nghịch biến trên khoảng  ; 2  nên loại hai phương án B. Bài toán 5: (Đề Tham Khảo 2020 – Lần 1) Cho hàm số f  x  . Hàm số y  f '  x  có đồ thị như hình bên. Hàm số g  x   f 1  2 x   x2  x nghịch biến trên khoảng nào dưới đây ? y 1 4 –2 O x –2 12
A. 1;  . B.  0;  . 3 1 C.  2; 1 . D.  2;3 .  2   2  Phân tích bài toán Đây là bài toán xét tính đồng biến, nghịch biến của hàm số kết hợp giữa hàm hợp và tổng. Hàm số g(x) là tổng của hàm f (1  2 x) và f 2 ( x)  x 2  x Lời giải Cách 1: Trước hết ta tính đạo hàm của hàm số g(x). Đề bài yêu cầu tìm khoảng nghịch biến biến tức là giải bất phương trình g’(x)
 3 1 3 Mà 1;    ;  nên hàm số g  x   f 1  2 x   x2  x nghịch biến trên khoảng  2 2 2  3 1; 2  .   Bài toán 6: (Chuyên Biên Hòa - Hà Nam - 2020) Cho hàm số đa thức f  x  có đạo hàm trên . Biết f  0   0 và đồ thị hàm số y  f   x  như hình sau. Hàm số g  x   4 f  x   x2 đồng biến trên khoảng nào dưới đây? A.  4;   . B.  0; 4  . C.  ; 2  . D.  2; 0  . Lời giải Xét hàm số h  x   4 f  x   x trên R. 2 Vì f  x  là hàm số đa thức nên h  x  cũng là hàm số đa thức và h  0   4 f  0   0 . 1 Ta có h  x   4 f   x   2 x . Do đó h  x   0  f   x    x . 2 1 Dựa vào sự tương giao của đồ thị hàm số y  f   x  và đường thẳng y   x , ta 2 có h  x   0  x 2;0;4  Suy ra bảng biến thiên của hàm số h  x  như sau: Từ đó ta có bảng biến thiên của hàm số g  x   h  x  như sau: 14
Bài tập tương tự và nâng cao: Câu 1. (Chuyên Lào Cai - 2020) Cho hàm số f   x  có đồ thị như hình bên. Hàm 9 số g  x   f  3x  1  9 x3  x 2 đồng biến trên khoảng nào dưới đây? 2 A.  1;1 . B.  2;0  . C.  ;0  . D. 1;   . Câu 2. (Sở Phú Thọ - 2020) Cho hàm số y  f  x  có đồ thị hàm số y  f   x  như hình vẽ. Hàm số g  x   f  e x  2   2020 nghịch biến trên khoảng nào dưới đây? A.  1;  . D.  ; 2  . 3 3 B.  1; 2  . C.  0;   .  2 2  Câu 3. (Lý Nhân Tông - Bắc Ninh - 2020) Cho hàm số f  x  có đồ thị hàm số f   x  như hình vẽ. 15
Hàm số y  f  cos x   x2  x đồng biến trên khoảng A.  2;1 . B.  0;1 . C. 1; 2  . D.  1; 0  . Bài toán 7: Cho hàm số đa thức bậc bốn f ( x) . Đồ thị hàm số y  f   3  2 x  được cho như hình sau: Hàm số y  f ( x) nghịch biến trên khoảng A.  ; 1 . B.  5;   . C.  1;1 . D. 1;5 . Phân tích: Đây là dạng toán cho biết đồ thị của hàm số có liên quan đến hàm số f   x  , yêu cầu tìm các khoảng đơn điệu của hàm số y  f ( x) . Phương pháp giải chung của dạng toán này là từ đồ thị xác định được dấu của hàm số f   x  , từ đó suy ra kết luận. Đối với bài toán đã cho ta có các cách giải như sau: Lời giải Cách 1: Xác định công thức của f   x  . Dựa vào đồ thị ta có f   3  2 x   a.x. x 1 . x  2  , với a  0 . 3t Đặt t  3  2 x  x  . Khi đó 2 3t  3t   3t  a f   t   a. .  1 .   2     t  1 t  3  t  5  2  2  2  8 a  f   x     x  1 x  3  x  5  , với a  0 . 8 Bảng xét dấu của f   x  như sau Vậy hàm số y  f ( x) nghịch biến trên các khoảng  ; 1 và  3;5  . 16
Cách 2: Đổi biến tìm dấu của f   x  3t Đặt t  3  2 x  x  . Khi đó 2  1  x  0 Ta có f   t   0  f '  3  2 x   0   x  2  3t  1  2  0 3  t  5   . 3  t  2 t  1  2 3  x  5 Suy ra f   x   0   .  x  1 Vậy hàm số nghịch biến trên các khoảng  ; 1 và  3;5  . Nhận xét: Đề bài cho đồ thị hàm số y  f '  3  2 x  nên sẽ gây lúng túng ban đầu đối với học sinh khá trở xuống. Đối với bài toán này thì cách 1 là đơn giản và ngắn gọn nhất. Tuy nhiên, đối với bài toán khác nếu chỉ cho đồ thị mà không cho dạng của hàm số thì cách 1 lại không làm được. Khi đó phải sử dụng đến cách 2. Bài toán 8: Cho hàm số y  f  x  có đồ thị hàm số y  f '  2 x  1 như hình vẽ. Hàm 1 1 số g  x   f  x   x2  x . Đồng biến trên khoảng nào sau đây? 4 2 A.  ; 3 . B.  3; 0  . C. 1; 4  . D.  4;   . Lời giải 1 1 Ta có g  x   f  x   x2  x 4 2 1 1 g'  x   f '  x   x  2 2 1 1 g'  x   0  f '  x   x  1 2 2 Đặt x  2t  1 , 17