Sáng kiến kinh nghiệm THPT: Phát triển năng lực tư duy và lập luận toán học cho học sinh qua giải bài toán hình học không gian bằng phương pháp tọa độ

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:55

Thêm vào BST

Báo xấu

11
lượt xem 6
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Mục đích nghiên cứu sáng kiến "Phát triển năng lực tư duy và lập luận toán học cho học sinh qua giải bài toán hình học không gian bằng phương pháp tọa độ" nhằm nghiên cứu các bài toán hình học không gian có thể sử dụng phương pháp tọa độ hóa để giải; Rèn luyện kỹ năng cho học sinh dấu hiệu nhận biết các bài toán hình học không gian có thể giải quyết bằng phương pháp tọa độ hóa.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Sáng kiến kinh nghiệm THPT: Phát triển năng lực tư duy và lập luận toán học cho học sinh qua giải bài toán hình học không gian bằng phương pháp tọa độ

ĐỀ TÀI: PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC TƯ DUY VÀ LẬP LUẬN TOÁN HỌC CHO HỌC SINH QUA GIẢI BÀI TOÁN HÌNH HỌC KHÔNG GIAN BẰNG PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ Giáo viên: Nguyễn Hoàng Hào Số ĐTDĐ: 0979.033.268 Lĩnh vực: Toán học
A. PHẦN MỞ ĐẦU 1. Lý do chọn đề tài Dạy học định hướng phát triển năng lực thực hiện bước chuyển từ chương trình giáo dục tiếp cận nội dung sang tiếp cận phẩm chất, năng lực của người học, không quy định những nội dung dạy học chi tiết mà quy định kết quả đầu ra, khả năng vận dụng vào thực tiễn. Vì vậy việc đổi mới phương pháp dạy học theo định hướng phát triển phẩm chất, năng lực cho học sinh là vấn đề then chốt. Toán học là một trong những ngành khoa học đóng vai trò quan trọng, là yếu tố chủ chốt giúp ta có thể nghiên cứu nhiều ngành khoa học khác. Các năng lực chuyên biệt trong môn Toán bao gồm: năng lực tư duy và lập luận toán học, năng lực mô hình hóa toán học, năng lực giải quyết vấn đề, năng lực giao tiếp toán học và năng lực sử dụng công cụ, phương tiện toán học. Trong đó năng lực tư duy và lập luận toán học là một trong những năng lực quan trọng mà người học cần phải được rèn luyện và phát triển. Nhờ tư duy con người mới có thể tồn tại và phát triển. Nó chính là con đường ngắn nhất dẫn đến mọi sự thành công của mỗi con người. Trong những năm gần đây, đề thi tốt nghiệp trung học phổ thông Quốc gia (TN THPT QG) luôn xuất hiện bài toán hình học không gian được ra dưới dạng mà học sinh có thể giải bằng hai phương pháp: Phương pháp hình học thuần túy và phương pháp tọa độ. Chẳng hạn: Câu 37: (Mã đề 101, kỳ thi TN THPT Quốc B C gia 2018): Cho hình lập phương ABCD. A ' B ' C ' D ' có tâm O . Gọi I là tâm của hình vuông A ' B ' C ' D ' và M là điểm thuộc đoạn thẳng OI sao cho A D MO  2MI (tham khảo hình vẽ). Khi đó côsin của góc tạo bởi hai mặt phẳng  MC ' D ' và ( MAB) bằng O 6 85 7 85 17 13 6 13 B' C' A. . B. . C. . D. . M 85 85 65 65 I A' D' Câu 42: (Mã đề 112, kỳ thi TN THPT Quốc gia năm 2022): Cho khối lăng trụ đứng ABC. A ' B ' C ' có đáy ABC là tam giác vuông cân tại A , cạnh AA '  2a , góc giữa hai mặt phẳng  A ' BC  và  ABC  bằng 600 . Thể tích của khối lăng trụ đã cho bằng 8 3 8 3 A. a. B. a. C. 24a 3 . D. 8a 3 . 9 3 Trong quá trình dạy học, nhận ra việc giải bài toán hình học không gian bằng phương pháp thuần túy gặp nhiều khó khăn đối với học sinh vừa học xong lớp 12 vì 1
đa phần các em ít nhiều đã quen giải các bài toán tọa độ trong không gian. Đặc biệt là các em có học lực trung bình khá và khá thường bỏ qua không làm mà cũng không phân tích bài toán, không biết định hướng giải bài này như thế nào. Nhận thấy điều đó, tôi muốn giúp các em rèn luyện tốt khả năng tư duy lập luận, biết cách đặt câu hỏi, biết các phân tích để giải các bài toán hình học không gian bằng phương pháp tọa độ có rất nhiều ưu việt, tuy nhiên học sinh cũng gặp không ít khó khăn. Bởi vì, phương pháp này chưa được đề cập nhiều trong sách giáo khoa, và phương pháp này chỉ tối ưu với một lớp bài toán nào đó chứ không phải lúc nào cũng hiệu quả. Kết hợp với máy tính Casio hiện hành mà Bộ Giáo dục và Đào tạo cho phép sử dụng như Fx570, Fx580…các em có thể tính nhanh kết quả của bài toán. Với những lí do trên tôi chọn nghiên cứu đề tài: “Phát triển năng lực tư duy và lập luận toán học cho học sinh qua giải bài toán hình học không gian bằng phương pháp tọa độ”. 2. Mục đích nghiên cứu - Nghiên cứu các bài toán hình học không gian có thể sử dụng phương pháp tọa độ hóa để giải. - Rèn luyện kỹ năng cho học sinh dấu hiệu nhận biết các bài toán hình học không gian có thể giải quyết bằng phương pháp tọa độ hóa. 3. Nhiệm vụ nghiên cứu - Tìm hiểu những khó khăn và thuận lợi của học sinh khi tiếp cận bài toán hình học không gian. - Xây dựng hệ thống các bài toán hình học không gian giải bằng phương pháp tọa độ hóa tạo sự hứng thú học tập cho học sinh. - Áp dụng một số phương pháp dạy học, phương pháp đánh giá bám sát chương trình phổ thông mới. 4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu 4.1. Đối tượng nghiên cứu - Học sinh lớp 12 THPT - Giáo viên giảng dạy môn toán bậc THPT. - Các bài toán về hình học không gian giải bằng phương pháp tọa độ và các vấn đề liên quan. 4.2. Phạm vi nghiên cứu - Bám sát nội dung chương trình toán bậc THPT, các bài toán hình học không gian trong các đề thi chính thức TN THPT QG, các đề thi minh họa của Bộ Giáo dục và đề thi thử của các sở Giáo dục và Đào tạo các tỉnh thành trong cả nước. 2
- Mở rộng nội dung phù hợp với ôn thi TN THPT QG. 5. Phương pháp nghiên cứu - Phương pháp điều tra, phân tích: Tập hợp và phân tích các bài toán trong kỳ thi TN THPT QG những năm gần đây, trong sách giáo khoa, sách bài tập. - Phương pháp thực nghiệm: sử dụng các bài toán tạo ra, đặc biệt là các bài tập theo mức độ, thực nghiệm cho các lớp giảng dạy và phổ biến cho đồng nghiệp sử dụng để khảo nghiệm đề tài, rút ra kinh nghiệm, bổ sung vào đề tài. - Phương pháp phân loại và hệ thống hóa tri thức: Sắp xếp bài toán theo dạng, theo giải pháp phù hợp, bài tập theo mức độ. 6. Đóng góp mới của đề tài - Xây dựng các dấu hiệu nhận biết giúp học sinh định hướng giải các bài toán hình học không gian bằng phương pháp tọa độ hóa. - Tăng tốc độ giải các bài toán trắc nghiệm hình học không gian bằng Casio khi chuyển qua phương pháp tọa độ hóa. - Thiết kế trò chơi hoạt động luyện tập tạo sự hứng thú học tập cho học sinh. B. PHẦN NỘI DUNG I. CƠ SỞ KHOA HỌC 1. Cơ sở lí luận 1.1. Năng lực toán học Năng lực toán học là khả năng của cá nhân biết lập công thức, vận dụng và giải thích toán học trong nhiều ngữ cảnh. Năng lực toán học phổ thông là khả năng nhận biết ý nghĩa, vai trò của kiến thức toán học trong cuộc sống; vận dụng và phát triển tư duy toán học để giải quyết các vấn để của thực tiễn, đáp ứng nhu cầu đời sống hiện tại và tương lai một cách linh hoạt; là khả năng phân tích, suy luận, lập luận, khái quát hóa, trao đổi thông tin hiệu quả thông qua việc đặt ra, hình thành và giải quyết vấn đề toán học trong các tình huống, hoàn cảnh khác nhau, trong đó chú trọng quy trình, kiến thức và hoạt động. Năng lực toán học phổ thông không đồng nhất với khả năng tiếp nhận nội dung của chương trình toán trong nhà trường phổ thông truyền thống, mà điều cần nhấn mạnh đó là kiến thức toán học được học, vận dụng và phát triển như thế nào để tăng cường khả năng phân tích, suy luận, lập luận, khái quát hóa và phát hiện được tri thức toán học ẩn dấu bên trong các tình huống, các sự kiện. 1.2. Năng lực tư duy toán học Năng lực tư duy toán học là tổng hợp những khả năng cá nhân về ghi nhớ, tái hiện, trừu tượng hóa, khái quát hóa, tường tượng, suy luận - giải quyết vấn đề, xử lý và linh cảm trong quá trình phản ánh, phát triển tri thức và vận dụng vào thực tiễn. 3
1.3. Năng lực lập luận toán học Năng lực lạp luận toán học là khả năng của mỗi cá nhân dựa vào những tiền ̣ đề cho trước, sử dụng ngôn ngữ toán học, bằng phương pháp luận đề đưa ra kết luận đúng. 1.4. Khoảng cách từ một điểm đến đường thẳng, mặt phẳng  Khoảng cách từ một điểm đến đường thẳng: Về mặt hình học: Khoảng cách từ điểm O đến đường thẳng a là khoảng cách giữa hai điểm O và H , trong đó H là hình chiếu của điểm O lên đường thẳng a . Kí hiệu: d  O, a   OH Về mặt tọa độ: Trong không gian Oxyz cho điểm A  xA ; y A ; z A  , d có vectơ chỉ phương u  u1; u2 ; u3  . Khoảng cách từ điểm A dến đường thẳng d là d ( A, d ) : [ AM , u ] Cách 1: d ( A, d )  với điểm M bất kì thuộc d . |u | Cách 2: Bước 1: Gọi M là hình chiếu của A lên đường thẳng d . Tham số hóa điểm M theo t . Bước 2: Tìm tọa độ AM theo t , vì AM vuông góc với u nên AM .u  0 , từ đó tìm t . Bước 3: Biết t , tìm tọa độ M , từ đó tìm được d ( A, d )  AM .  Khoảng cách từ một điểm đến mặt phẳng: Về mặt hình học: Khoảng cách từ điểm O đến mặt phẳng ( ) là khoảng cách giữa hai điểm O và H , trong đó H là hình chiếu của điểm O trên mặt phẳng ( ) . Kí hiệu: d ( A,( P ))  AM . Về mặt tọa độ: Trong không gian Oxyz , cho điểm A  xA ; y A ; z A  và ( ) : Ax  By  Cz  D  0 . Khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng ( ) là: 4
Ax A  By A  Cz A  D d ( A,( ))  A2  B 2  C 2 1.5. Khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song song Về mặt hình học: Cho đường thẳng a song song với mặt phẳng   . Khoảng cách giữa đường thẳng a và mặt phẳng   là khoảng cách từ một điểm bất kì của a đến mặt phẳng   . Kí hiệu: d  a,    . Về mặt tọa độ: Trong không gian Oxyz , cho đường thẳng a và ( ) : Ax  By  Cz  D  0 . Khoảng cách từ đường thẳng a đến mặt phẳng ( ) là: AxA  By A  Cz A  D d (a,( ))  d ( A,( ))  với điểm A  xA ; y A ; z A  bất kỳ thuộc a A2  B 2  C 2 1.6. Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song Về mặt hình học: Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song   ,    là khoảng cách từ một điểm bất kì của mặt phẳng này đến mặt phẳng kia. Kí hiệu: d    ,     . Về mặt tọa độ: Trong không gian Oxyz , cho hai mặt phẳng song song ( ) : Ax  By  Cz  D  0 và (  ) : A ' x  B ' y  C ' z  D '  0 . Khoảng cách giữa hai mặt phẳng ( ) và (  ) là: AxA  By A  Cz A  D d (( ),(  ))  d ( A,( ))  với điểm A  xA ; y A ; z A   (  ) . A2  B 2  C 2 5
1.7. Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau Về mặt hình học: Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau a và b bằng độ dài đoạn vuông góc chung MN của hai đường thẳng ấy. Kí hiệu: d  a, b   MN a M b N Về mặt tọa độ: Trong không gian Oxyz , cho hai đường thẳng a, b lần lượt có các vectơ chỉ phương u1 , u2 . Cách 1: Bước 1: Lấy tọa độ điểm M  a và N  b . u1 , u2   M 1M 2   Bước 2: d (a, b)  . u1 , u2    Cách 2: Bước 1: Tham số hóa điểm M  a theo t , tham số hóa điểm N  b theo t ' . Lập vectơ MN theo t , t ' .  MN  u1  0  Bước 2: Vì MN vuông góc với cả u1 , u2 nên  từ đó tìm được t , t '   MN  u2  0 Bước 3: Từ t , t ' tìm được tọa độ hai điểm M , N . Tính d (a, b)  MN . 1.8. Góc giữa hai đường thẳng trong không gian Về mặt hình học: Góc giữa hai đường thẳng a và b trong không gian là góc giữa hai đường thẳng a ' và b ' cùng đi qua một điểm và lần lượt song song với a, b a Kí hiệu:  a, b  a' O b' b Chú ý: - Nếu a //b hoặc a  b thì  a, b   0 0 - Nếu a cắt b hoặc a chéo b thì 00   a, b   900 . 6
Về mặt tọa độ: Trong không gian Oxyz , cho hai đường thẳng a, b lần lượt có các vectơ chỉ phương u1 , u2 . Góc giữa hai đường thẳng là: u1.u2 cos(a, b)  cos(u1 , u2 )  u1 . u2 1.9. Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng trong không gian Về mặt hình học: Góc giữa hai đường thẳng a và ( ) trong không gian là góc giữa hai đường thẳng a và a ' , trong đó a ' là hình chiếu của a lên ( ) . Kí hiệu:  a,( )  a Chú ý: 00   a,( )   900 a' α Về mặt tọa độ: Trong không gian Oxyz , cho đường thẳng a có các vectơ chỉ phương u và ( ) có véc tơ pháp tuyến là n . Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng: u.n sin(a,( ))  cos(u , n )  u .n 1.10. Góc giữa hai mặt phẳng trong không gian Về mặt hình học: Góc giữa hai mặt phẳng ( ) và (  ) là góc được tạo bởi hai đường thẳng lần lượt vuông góc với hai mặt phẳng đó. Kí hiệu:  ( ),(  )  Chú ý: 00   ( ),(  )   900 Về mặt tọa độ: Trong không gian Oxyz , cho ( ) và (  ) có các vectơ pháp tuyến lần lượt là n1 và n2 . Góc giữa hai mặt phẳng là: n1 , n2 cos(( ),(  ))  cos(n1 , n2 )  n1 . n2 1.11. Thể tích của khối đa diện 1  Thể tích của khối tứ diện ABCD : V   AB, AC  . AD 6   Thể tích của khối hộp ABCD. A ' B ' C ' D ' : V   AB, AD  . AA '   7
1.12. Sử dụng Casio tính nhanh tích có hướng, tích vô hướng hai véc tơ, tích hỗn tạp Trong không gian Oxyz , cho véc tơ a  a1; a2 ; a3  , b  b1; b2 ; b3 , c  c1; c2 ; c3  Tính:  Tích vô hướng a.b  Tích có hướng  a , b     Tính góc giữa hai véc tơ a , b    Tính tích hỗn tạp:  a , b  .c   a. Đối với Casio Fx580VN Bước 1: Ấn w513 (nhập véc tơ a ) Ấn C Bước 2: Ấn w523 (nhập véc tơ b ) Ấn C Bước 3: - Tính tích vô hướng a.b : Ấn OPTN 3 OPTN R2 OPTN 4= - Tính tích có hướng  a , b  : Ấn phím OPTN 3O Ấn phím OPTN 4     - Tính góc giữa hai véc tơ a , b : Ấn OPTN R3OPTN3q)OPTN4)= - Tính tích hỗn tạp:  a , b  .c : Dùng ma trận   MENU4133(Nhập dòng a1; a2 ; a3 )(nhập dòng b1; b2 ; b3 )(nhập dòng c1; c2 ; c3 )COPTNR2OPTN3= b. Đối với Casio Fx570VN, Fx570ES Bước 1: Ấn w811 (nhập véc tơ a ) Ấn C Bước 2: Ấn w812 (nhập véc tơ b ) Ấn C Bước 3: - Tính tích vô hướng a.b : Ấn q537q4= - Tính tích có hướng  a , b  : Ấn q53Oq54=     - Tính góc giữa hai véc tơ a , b : Ấn (q53q57q54)a(qcq53) Oqcq54))= - Tính tích hỗn tạp:  a , b  .c : Dùng ma trận   W611(Nhập dòng a1; a2 ; a3 )(nhập dòng b1; b2 ; b3 )(nhập dòng c1; c2 ; c3 ) Cq47q43= 2. Cơ sở thực tiễn Sự cần thiết của phát triển năng lực tư duy và lập luận toán học trong dạy học. Và bắt nguồn từ một thực tiễn là đề thi TN THPT QG những năm gần đây đều xuất hiện những bài toán hình học không gian ở mức độ vận dụng, vận dụng cao làm cho nhiều em học sinh, đặc biệt là học sinh có học lực trung bình và khá lo lắng, quan 8
tâm nhưng chưa giải quyết được. Nhưng bằng cách chuyển bài toán về hướng giải tích có thể giải được một cách hiệu quả bằng phương pháp tọa độ. 2.1. Khảo sát thực trạng Từ thực tế cho thấy phương pháp tọa độ hóa hình học không gian không được đề cập nhiều trong sách giáo khoa bởi một phần do hình học không gian được học ở lớp 11. Còn hình học không gian giải tích lại nằm ở chương trình lớp 12 nên giáo viên và học sinh không có nhiều thời gian để đi sâu về nó. Qua khảo sát học sinh lớp 12 trường THPT Thanh Chương 3 tôi nhận thấy rất ít học sinh được tiếp cận, hoặc từng giải bài toán hình học không gian bằng phương pháp tọa độ hóa. Và thực tế các giáo viên cũng rất ít hướng dẫn học sinh giải bằng phương pháp này. Tôi đã tiến hành khảo sát tại các lớp: 12A3, 12D1, 12D5 ở trường THPT Thanh chương 3. Hình thức khảo sát: Học sinh làm đề kiểm tra tự luận Thời gian: 45 phút Mục tiêu: Đánh giá mức độ của người học giải bài toán hình học không gian về tính góc, tính khoảng cách và thể tích của khối đa diện. Đề khảo sát như sau: (Kết quả bài làm ở phần phụ lục) Mức độ 2: Câu 1: (2.0 điểm). Cho hình chóp S . ABC có SA  ( ABC ) , tam giác ABC đều cạnh a và SA  a . Tính góc giữa SC và mặt phẳng ( ABC ) . Câu 2: (2.0 điểm). Cho hình chóp S. ABCD , có đáy ABCD là hình vuông a 3 cạnh a , SA  ( ABCD ) và SA  . Tính khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng 3 ( SCD ) . Mức độ 3: Câu 3: (2.0 điểm). Cho hình chóp S. ABCD có đáy là hình thang vuông tại A và B ; AB  BC  a và AD  2a ; SA vuông góc với mặt đáy và SA  a . Tính khoảng cách giữa SB và CD . Câu 4:(4.0 điểm). Cho hình chóp S. ABCD có đáy là hình chữ nhật AB  a, AD  a 2 , SA  a, SA  ( ABCD) , Gọi M , N là trung điểm AD, SC . Gọi I là giao điểm BM , AC a. Chứng minh rằng ( SAC )  ( SMB ) b. Tính thể tích của khối tứ diện ANIB 2.2. Phân tích, đánh giá thực trạng a. Kết quả khảo sát Sau khi khảo sát giáo viên đã nhận được kết quả như sau: 9
Thứ tự Lớp Sĩ số Điểm Trung bình 1 12A3 38 5,8 2 12D1 43 5,3 3 12D5 42 4,0 b. Phân tích, đánh giá thực trạng đó Trường THPT Thanh Chương 3 đóng trên địa bàn huyện miền núi, nhiều xã còn gặp nhiều khó khăn về kinh tế và giao thông đi lại. Nhiều em có nền tảng kiến thức về môn Toán còn yếu đa số tập trung ở mức trung bình và khá. Đối với bài toán hình học không gian, qua bảng khảo sát trên cho thấy các em hầu hết gặp rất nhiều khó khăn trong việc tiếp cận bài toán, nhiều em chưa giải quyết được các bài toán cơ bản mức độ 2. Qua việc quan sát các em khi làm bài khảo sát, tôi nhận thấy chỉ có khoảng 30% học sinh hứng thú với các câu mức độ 3. Qua đó cho thấy mặc dù câu hỏi hình học không gian chưa phải ở mức độ 4 nhưng các em cũng đã cảm thấy khó khăn trong việc giải quyết bài toán. II. PHƯƠNG HƯỚNG VÀ GIẢI PHÁP Từ thực trạng đó, tôi định hướng phát triển cho các em năng lực tư duy và lập luận hình học bằng phương pháp tọa độ hóa đề giải quyết các bài toán. Kết hợp với sử dụng máy tính cầm tay trong tính toán nhằm tăng tốc độ giải toán tạo sự hứng thú cho học sinh khi làm bài tập trắc nghiệm. 1. Dấu hiệu nhận biết bài toán hình học không gian có thể giải bằng phương pháp tọa độ - Hình đã cho có một đỉnh là tam diện vuông. - Hình chóp có một cạnh bên vuông góc với đáy và đáy là các tam giác vuông, tam giác đều, hình vuông, hình chữ nhật… - Hình lập phương, hình hộp chữ nhật. - Hình đã cho có một đường thẳng vuông góc với mặt phẳng, trong mặt phẳng đó có những đa giác đặc biệt: Tam giác vuông, tam giác đều, hình thoi… - Một vài hình chưa có sẵn tam diện vuông nhưng có thể tạo được tam diện vuông chẳng hạn: Hai đường thẳng chéo nhau mà vuông góc, hoặc hai mặt phẳng vuông góc. Ngoài ra, với một số bài toán mà giả thiết không cho những hình quen thuộc như đã nêu ở trên thì ta còn có thể dựa vào tính chất song song, vuông góc của các đoạn thẳng hay đường thẳng trong hình vẽ để thiết lập hệ trục tọa độ. 10
2. Các bước giải bài toán hình học không gian bằng phương pháp tọa độ Bước 1: Chọn hệ trục tọa độ Oxyz thích hợp và tìm tọa độ các điểm có liên quan đến yêu cầu bài toán Bước 2: Chuyển bài toán đã cho về bài toán hình học giải tích Bước 3: Giải bài toán hình học giải tích trên Bước 4: Chuyển kết luận của bài toán hình học giải tích sang tính chất hình học tương ứng 3. Thiết lập hệ trục tọa độ Vấn đề quan trọng nhất trong việc giải bài toán hình học không gian bằng phương pháp tọa độ là thiết lập hệ trục tọa độ cho phù hợp. Sau đây là một số phương pháp để thiết lập hệ trục tọa độ. 3.1. Thiết lập hệ tọa độ đối với tam diện vuông thường gặp Bước 1: Chọn hệ trục tọa độ Oxyz sao cho gốc tọa độ O trùng với đỉnh của tam diện vuông. Bước 2: Xác định tọa độ các đỉnh liên quan từ dữ kiện đề bài. Bước3: Sử dụng các công thức, tính chất trong tọa độ Oxyz để giải quyết bài toán Một số mô hình tam diện vuông thường gặp: Giả thiết và chọn hệ trục Oxyz tương ứng Hình vẽ 1. Hình lập phương ABCD. A ' B ' C ' D ' có các z cạnh bằng a . A' D' - Chuẩn hóa a  1 . Chọn hệ trục Oxyz sao cho: A  0;0;0  , B 1;0;0  , C 1;1;0  , D  0;1;0  B' C' A '  0;0;1 , B ' 1;0;1 , C ' 1;1;1 , D '  0;1;1 D y A O B C x z 2. Hình hộp chữ nhật ABCD. A ' B ' C ' D ' có các cạnh bằng AB  a, AD  b, AA '  c . A' D' - Chọn hệ trục tọa độ Oxyz sao cho: B' C' A  0;0;0  , B  a;0;0  , C  a; b;0  , D  0; b;0  A '  0;0; c  , B '  a;0; c  , C '  a; b; c  , D '  0; b; c  D y A O B C x 11
3. Hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình z vuông, SA   ABCD  . S - Chọn hệ trục Oxyz sao cho: O  0;0;0   A A B x O D C y 4. Hình chóp S. ABC có đáy ABC vuông tại z A, SA   ABC  . S - Chọn hệ trục Oxyz sao cho: O  0;0;0   A A O C y B x 5. Hình lăng trụ đứng ABC. A ' B ' C ' có đáy z ABC vuông tại A. A' - Chọn hệ trục tọa độ Oxyz sao cho: C' B' O  0;0;0   A A O C B x y 3.2. Thiết lập hệ trục tọa độ vào các hình đa diện tạo thêm mô hình tam diện vuông 3.2.1. Định hướng chọn hệ trục tọa độ đối với các hình chóp, hình lăng trụ: Định hướng 1: Vẽ hình theo yêu cầu, giả thiết của bài toán. Trong mặt đáy tìm mối quan hệ vuông góc, khi đó điểm có yếu tố vuông góc ở mặt đáy chính là điểm ta chọn làm gốc tọa độ O , đồng thời hai đường thẳng vuông góc tại điểm đó được chọn làm hai trục tọa độ Ox, Oy . Từ O dựng tia vuông góc với mặt đáy ta được trục Oz Định hướng 2: Từ chân hình chiếu của đỉnh hình chóp ta chọn làm gốc tọa độ, đồng thời đường cao này ta chọn làm trục Oz . Trong mặt đáy tại O tạo ra hai đường thẳng vuông góc thích hợp, và hai đường thẳng này chọn làm trục Ox, Oy . 12
3.2.2. Một số hình đa diện tạo thêm mô hình tam diện vuông thường gặp Giả thiết và chọn hệ trục Oxyz tương ứng Hình vẽ 1. Hình chóp tứ giác đều S. ABCD có đáy z ABCD là hình vuông tâm O . S - Chọn hệ trục tọa độ Oxyz như hình vẽ sao cho: O  0;0;0   O A D O x y B C 2. Hình chóp tứ giác S. ABCD có đáy ABCD z là hình thoi tâm O, SO   ABCD  S - Chọn hệ trục Oxyz sao cho: O  0;0;0   O A D O x y B C 3. Hình chóp tam giác đều S. ABC có đáy z S ABC là tam gác đều cạnh a , đường cao SI  h với I là tâm của đáy. - Chọn hệ trục tọa độ Oxyz như hình vẽ: O  0;0;0   H A C y OH I - Trục Oz //SI B x 4. Hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình S z thoi tâm O, SA   ABCD  - Chọn hệ trục tọa độ Oxyz như hình vẽ sao cho: O  0;0;0   O A D x - Trục Oz //SA O B C y 5. Hình chóp tam S. ABC có SA   ABC  và S z ABC vuông tại B . - Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ sao cho: O  0;0;0   B y - Trục Bz //SA x C A BO 13
6. Hình chóp tam S. ABC có mặt bên  SAB  z S là tam giác đều hoặc cân tại S ,  SAB    ABC  và đáy ABC vuông tại A . Gọi H là trung điểm của AB - Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ sao cho: O  0;0;0   A O y A C - Trục Az //SH H B x 7. Hình chóp tam S. ABC có mặt bên  SAB  z là tam giác đều hoặc cân tại S S ,  SAB    ABC  và đáy ABC vuông cân tại C. Gọi H là trung điểm của AB - Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ sao cho: y O  0;0;0   H A C O H B x 8. Hình lăng trụ ABC. A ' B ' C ' có đáy ABC z đều (hoặc vuông cân tại C hoặc cân tại C ). A' C' Hình chiếu vuông góc H của A ' trên mặt phẳng  ABC  là trung điểm của AB . B' - Chọn hệ trục tọa độ sao cho: O  0;0;0   H y A O C H B x 9. Hình lăng trụ ABC. A ' B ' C ' có đáy ABC z A' vuông tại A . Hình chiếu vuông góc H của A ' C' trên mặt phẳng  ABC  là trung điểm của AB B' . - Chọn hệ trục tọa độ sao cho: O  0;0;0   A O y A C H B x 14
4. Hệ trục tọa độ Oxyz 4.1. Định nghĩa Hệ trục tọa độ vuông góc Oxyz trong không gian là hệ gồm 3 trục x ' Ox, y ' Oy, z ' Oz đôi một vuông góc. - Điểm O là gốc tọa độ z - Ox gọi là trục hoành - Oy gọi là trục tung y' - Oz gọi là trục cao x' x o y z' 4.2. Cách xác định tọa độ điểm M  xM ; yM ; zM  trong hệ tọa độ Oxyz z K M y' x' O I x J M' y z' - Tìm hình chiếu M ' của M trên mặt phẳng Oxyz - Từ điểm M ' kẻ M ' I vuông góc với trục x ' Ox tại điểm I - Từ điểm M ' kẻ M ' J vuông góc với trục y ' Oy tại điểm J - Từ điểm M kẻ MK vuông góc với trục z ' Oz tại điểm K  xM  OI  Nếu I , J , K lần lượt thuộc các tia Ox, Oy, Oz thì:  yM  OJ  z  OK  MM '  M  xM  OI  Nếu I , J , K lần lượt thuộc các tia Ox ', Oy ', Oz ' thì:  yM  OJ  z  OK   MM '  M 15
5. Các dạng bài toán 5.1. Bài toán về khoảng cách trong không gian  Khoảng các từ điểm đến đường thẳng và mặt phẳng Bài toán 1: Cho hình lập phương ABCD. A ' B ' C ' D ' có cạnh bằng a . Tính khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng B ' D . Phương pháp hình học thuần túy: Lời giải:  AD  AB Vì   AD   ABB ' A '  AD  AB ' .  AD  AA ' Trong tam giác ADB ' vuông tại A ta vẽ đường cao AH . Vậy AH  d  A, B ' D  . D' C' Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác A' B' ADB ' 1 1 1 1 1 2  2  2  2 2 H AH AD AB a 2a D C a 6  AH  3 A B Phương pháp tọa độ hóa: Lời giải: Chuẩn hóa a  1. z Chọn hệ trục tọa độ Dxyz (hình vẽ) với D' C' gốc tọa độ tại điểm D . A' B' Trong hệ trục tọa độ này ta có: D  0;0;0  , A 1;0;0  , B ' 1;1;1 H Ta có DA  1;0;0  , DB '  1;1;1 y D C Khoảng cách điểm A đến đường thẳng B ' D là: x A B  DA, DB '   6 d  A, DB '   . DB ' 3 a 6 Vậy d  A, DB '  . 3 16
Phân tích: Đây là một bài toán mà đối với các em có học lực khá sẽ giải quyết được một cách khá dễ dàng bằng phương pháp hình học thuần túy nhưng đối với các em có học lực trung bình, trung bình yếu thì không hề đơn giản. Vì các em thường không dựng được điểm H chính vì vậy việc tọa độ hóa để đưa bài toán hình học về bài toán hình học giải tích sẽ tạo cho các em sự hứng thú trong việc tính toán. Nhờ sự hỗ trợ của máy tính Casio các em có thể tính nhanh  DA, DB ' , DB ' .   Bài toán 2: Cho hình chóp S. ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B , cạnh bên SA vuông góc với đáy và SA  2a, AB  BC  a. Gọi M là điểm thuộc 2a AB sao cho AM  . Tính khoảng cách từ điểm S đến đường thẳng CM . 3 Phương pháp hình học thuần túy: Lời giải: S B M H A C Trong ( SMC ) kẻ SH  MC tại H .  MC  SH Có   MC  ( SAH )  MC  AH . Do đó d  S , CM   SH  MC  SA 1 a2 Diện tích tam giác ABC là S ABC  AB  BC  2 2 1 a2 Diện tích tam giác MBC là S MBC  MB  BC  2 6 2 2 2 a a a  S AMC  S ABC  S MBC    . 2 6 3 10a Xét BMC  MC  MB 2  BC 2  . 3 2 S AMC 2a 10 Độ dài cạnh AH   . MC 10 17
a 110 a 110 Xét AHS  SH  AH 2  SH 2  . Vậy d  S , CM   . 5 5 Phương pháp tọa độ hóa: Lời giải: Chuẩn hóa a  1. Chọn hệ trục tọa độ Bxyz (hình vẽ) với gốc tọa độ tại điểm B . Trong hệ trục tọa độ này ta có: 1  B  0;0;0  , A 1;0;0  , C  0;1;0  , S 1;0;2  , M  ;0;0  3  2   1   2 2 Ta có MS   ;0;2  , MC    ;1;0    MS , MC    2; ;      3 3 3   3  z Khoảng cách điểm S đến đường thẳng CM là:  MS , MC  S   110 d  S , CM    . MC 5 a 110 Vậy d  S , CM   . B 5 M H A C y x Phân tích: Khi giải bài toán này bằng phương pháp hình học thuần túy đối với nhiều em có học lực khá trở xuống cũng có thể gặp nhiều khó khăn vì phải dựng được được khoảng cách từ điểm S đến đường thẳng CM và việc tính toán độ dài đoạn thẳng SH . Nhưng công việc trở nên “dễ dàng” hơn nhiều khi ta đưa bài toán này về dạng hình học tọa độ. Bài toán 3 (sáng tác): Cho hình chóp tứ giác đều S. ABCD có cạnh đáy bằng a và chiều cao bằng h . Gọi I là trung điểm cạnh bên SC . Tính khoảng cách từ S đến mặt phẳng ( AIB ) . Phương pháp tọa độ hóa Lời giải: a 2 Gọi O là giao điểm của AC và BD . Ta có OA  OB  OC  . 2 Chọn hệ trục tọa độ Oxyz có gốc tọa độ O , tia Ox chứa điểm A , tia Oy chứa điểm B , tia Oz chứa điểm S . 18
z S I G D C O x B y A a 2   a 2   a 2  Khi đó: A  ;0;0  , B  0; ;0  , C  ;0;0  , S (0;0; h) .  2   2   2  Gọi G là giao điểm của SO và AI . Tam giác SAC có G là giao điểm của hai  h đường trung tuyến nên G là trọng tâm, do đó G  0;0;  .  3 x y z Mặt phẳng ( AIB ) đi qua A, B, G nên có phương trình:   1 a 2 a 2 h 2 2 3 2 2 3  x y  z 1  0 . a a h 3  h 1 h 2ah Do đó khoảng cách từ S đến mặt phẳng ( AIB ) là: d   2   2 9 4h 2  9a 2 a 2 a 2 h2  Khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song song Bài toán 4: Cho hình chóp tứ giác đều S. ABCD có cạnh đáy bằng 2a và chiều cao bằng a 3 . Tính khoảng cách giữa đường thẳng CD và mặt phẳng ( SAB ) . Phương pháp hình học thuần túy Lời giải:  SO   ABCD   Gọi O là tâm của đáy    SO  a 3  19