Sáng kiến kinh nghiệm THPT: Phát triển năng lực vận dụng toán học vào thực tiễn cho học sinh lớp 12 thông qua một số bài toán về chủ đề Tích phân

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:48

Thêm vào BST

Báo xấu

16
lượt xem 4
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Mục đích nghiên cứu sáng kiến nhằm góp phần gây hứng thú học tập chủ đề ứng dụng của tích phân trong thực tiễn, một trong các phần được coi là hóc búa, đòi hỏi tính tư duy cao. Làm cho học sinh thấy được tầm quan trọng của chương học, là vấn đề then chốt cho việc tiếp nhận và ứng dụng vào thực tiễn.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Sáng kiến kinh nghiệm THPT: Phát triển năng lực vận dụng toán học vào thực tiễn cho học sinh lớp 12 thông qua một số bài toán về chủ đề Tích phân

SỞ GD&ĐT NGHỆ AN TRƢỜNG THPT NGUYỄN SỸ SÁCH ---------------- SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ĐỀ TÀI PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC VẬN DỤNG TOÁN HỌC VÀO THỰC TIỄN CHO HỌC SINH LỚP 12 THÔNG QUA MỘT SỐ BÀI TOÁN VỀ CHỦ ĐỀ TÍCH PHÂN Lĩnh vực: Toán học Tác giả: Nguyễn Quang Sáng Tổ chuyên môn: Toán - Tin Năm học: 2022 – 2023 SĐT liên hệ: 0972579378
MỤC LỤC PHẦN I. ĐẶT VẤN ĐỀ ........................................................................................ 1 1. Lý do chọn đề tài ................................................................................................. 1 2. Mục đích nghiên cứu ........................................................................................... 2 3. Khách thể và đối tƣợng nghiên cứu. ................................................................... 2 3.1. Khách thể nghiên cứu....................................................................................... 2 3.2. Đối tƣợng nghiên cứu....................................................................................... 2 4. Giả thuyết khoa học ............................................................................................ 2 5. Nhiệm vụ và phạm vi nghiên cứu ....................................................................... 2 6. Phƣơng pháp nghiên cứu..................................................................................... 3 7. Những luận điểm cần bảo vệ của đề tài .............................................................. 3 8. Tính mới, đóng góp của đề tài............................................................................. 3 PHẦN II. NỘI DUNG ........................................................................................... 4 I. CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN .................................................................. 4 1.1. Cơ sở lí luận ..................................................................................................... 4 1.2. Cơ sở thực tiễn và thực trạng của đề tài ........................................................... 6 II. PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC VẬN DỤNG TOÁN HỌC VÀO THỰC TIỄN THÔNG QUA MỘT SỐ DẠNG TOÁN VỀ CHỦ ĐỀ TÍCH PHÂN .................... 7 2.1. DẠNG CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN DIỆN TÍCH, THỂ TÍCH. ....... 7 2.1.1 Dạng các bài toán liên quan đến diện tích ..................................................... 7 2.1.2. Dạng các bài toán liên quan đến thể tích .................................................... 14 2.2. DẠNG CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN CHUYỂN ĐỘNG ................ 22 2.3. DẠNG CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN TĂNG TRƢỞNG. ................ 32 III. KHẢO SÁT SỰ CẤP THIẾT VÀ TÍNH KHẢ THI CỦA CÁC GIẢI PHÁP ĐỀ XUẤT ............................................................................................................. 36 3.1. Mục đích khảo sát .......................................................................................... 36 3.2. Nội dung và phƣơng pháp khảo sát................................................................ 36 3.3. Tổng hợp các đối tƣợng sau khảo sát ............................................................. 37 IV. THỰC NGHIỆM SƢ PHẠM.......................................................................... 42 3.1. Mục đích thực nghiệm sƣ phạm. .................................................................... 42 3.2. Đối tƣợng thực nghiệm .................................................................................. 42 3.3. Nội dung thực nghiệm .................................................................................... 42 3.4. Kết quả thực nghiệm. ..................................................................................... 42 3.5. Bài học kinh nghiệm rút ra khi tiến hành thực nghiệm.................................. 43 PHẦN III. KẾT LUẬN VÀ KHUYẾN NGHỊ .................................................. 44 1. Kết luận ............................................................................................................. 44 2. Khuyến nghị ...................................................................................................... 44 TÀI LIỆU THAM KHẢO .................................................................................. 45
DANH MỤC CÁC KÍ HIỆU, CÁC CHỮ VIẾT TẮT GV Giáo viên HS Học sinh THPT Trung học phổ thông THPT QG Trung học phổ thông quốc gia GD-ĐT Giáo dục và đào tạo ĐGNL Đánh giá năng lực PTNL Phát triển năng lực
PHẦN I. ĐẶT VẤN ĐỀ 1. Lý do chọn đề tài Toán học ngày càng có nhiều ứng dụng trong cuộc sống. Những kiến thức và kỹ năng toán học cơ bản đã giúp con ngƣời giải quyết các vấn đề trong thực tế cuộc sống một cách có hệ thống và chính xác, góp phần thúc đẩy xã hội phát triển. Môn toán ở trƣờng phổ thông góp phần hình thành và phát triển năng lực toán học cho học sinh, phát triển kiến thức, kỹ năng then chốt và tạo cơ hội để học sinh đƣợc vận dụng toán học vào thực tiễn, tạo lập sự kết nối giữa các ý tƣởng toán học, giữa toán học với thực tiễn. Đặc biệt xã hội ngày càng phát triển thì con ngƣời càng quan tâm đến mô hình toán ứng dụng Trong toán học chủ đề tích phân đƣợc ứng dụng rộng rãi trong thực tế nhƣ là tính diện tích hình phẳng, thể tích khối tròn xoay, cách thiết kế khúc cua của con đƣờng, tính vận tốc, tính quãng đƣờng, tính công sinh ra,...Vì thế mà trong các kỳ thi THPTQG, thi học sinh giỏi các cấp đều có sự xuất hiện của toán ứng dụng. Hiện nay với xu hƣớng thi trắc nghiệm, thi đánh giá năng lực và thi đánh giá tƣ duy phần tích phân còn đƣợc yêu cầu rộng hơn và đòi hỏi học sinh phải tƣ duy linh hoạt hơn, mặc dù đã đƣợc học kỹ các phƣơng pháp tính tích phân. Nhƣng đứng trƣớc yêu cầu về bài toán tính tích phân nhất là những bài toán vận dụng thực tế. Khi xuất hiện trong đề thi thƣờng ở mức độ vận dụng và vận dụng cao. Đa số các em còn nhiều lúng túng và thậm chí là không định hình đƣợc lời giải, hoặc giải thì các em cũng không tự tin về kết quả của mình. Vì vậy tôi quyết định viết đề tài này nhằm hƣớng tới các mục tiêu sau: Mục tiêu thứ nhất: Nhằm phát triển năng lực toán học giúp các em học sinh có cách nhìn tổng thể về mô hình toán ứng dụng của tích phân trong thực tiễn, các dạng toán gặp phải trong đề thi, từ đó các em dễ tiếp cận với các câu hỏi đƣợc xem là “hóc búa” trong đề thi. Các em sẽ tự tin dành trọn điểm cao trong các kỳ thi một cách nhẹ nhàng. Mục tiêu thứ hai: Đào tạo các em thành những con ngƣời năng động, tự tin, sáng tạo, sẵn sàng thích ứng với những đổi mới diễn ra hàng ngày. Học là phải gắn liền với ứng dụng vào thực tế trong cuộc sống. Mục tiêu thứ ba: Làm nguồn tài liệu giảng dạy cho bản thân và đồng nghiệp trong quá trình giảng dạy chủ đề tích phân lớp 12. Xuất phát từ những lý do trên, với mong muốn góp phần đổi mới và nâng cao hiệu quả dạy học môn toán 12, tôi quyết định làm sáng kiến kinh nghiệm với đề tài “Phát triển năng lực vận dụng toán học vào thực tiễn cho học sinh lớp 12 thông qua một số bài toán về chủ đề Tích phân” để nghiên cứu, tìm hiểu và áp dụng trong quá trình dạy học. 1
2. Mục đích nghiên cứu Làm rõ vấn đề mà học sinh còn lúng túng, thậm chí là không có định hình về lời giải trong việc giải các bài toán tích phân có ứng dụng thực tiễn. Góp phần gây hứng thú học tập chủ đề ứng dụng của tích phân trong thực tiễn, một trong các phần đƣợc coi là hóc búa, đòi hỏi tính tƣ duy cao. Làm cho học sinh thấy đƣợc tầm quan trọng của chƣơng học, là vấn đề then chốt cho việc tiếp nhận và ứng dụng vào thực tiễn. Nâng cao chất lƣợng bộ môn toán theo từng chuyên đề khác nhau góp phần nâng cao chất lƣợng dạy học. 3. Khách thể và đối tƣợng nghiên cứu 3.1. Khách thể nghiên cứu Hoạt động dạy và học môn Toán ở trƣờng THPT. 3.2. Đối tƣợng nghiên cứu - Học sinh lớp 12 và giáo viên dạy môn Toán THPT. - Chƣơng Nguyên hàm - Tích phân và chủ yếu là ứng dụng tích phân để giải các bài toán thực tiễn. 4. Giả thuyết khoa học Nguyên nhân dẫn đến tình trạng nhiều học sinh còn chƣa thành thạo và ngại giải các bài toán liên quan đến bài toán thực tiễn thông qua ứng dụng tích phân là do các em chƣa đƣợc rèn luyện nhiều bài tập dạng này. Nếu đƣợc giáo viên định hƣớng và phân các dạng toán cụ thể thì các em sẽ biết vận dụng giải và đạt kết quả cao trong các kỳ thi cũng nhƣ biết vận dụng vào thực tiễn trong cuộc sống. 5. Nhiệm vụ và phạm vi nghiên cứu 5.1. Nhiệm vụ nghiên cứu - Nghiên cứu dạy học theo hƣớng phát triển năng lực cho học sinh, vận dụng vào chủ đề ứng dụng của tích phân. - Đề xuất phƣơng án ứng dụng tích phân vào dạy học một số dạng toán. - Thử nghiệm sƣ phạm để kiểm chứng các biện pháp sƣ phạm đã đề ra trong đề tài. 5.2. Phạm vi nghiên cứu - Về nội dung: Đề tài tập trung nghiên cứu “Phát triển năng lực vận dụng toán học vào thực tiễn cho học sinh lớp 12 thông qua một số bài toán về chủ đề Tích phân” áp dụng trong quá trình dạy học. - Về thời gian: Từ năm học 2020-2021 đến nay. 2
6. Phƣơng pháp nghiên cứu Để thực hiện đề tài này, tôi đã sử dụng các phƣơng pháp sau: a. Nghiên cứu tài liệu: - Đọc các tài liệu sách, báo, tạp chí giáo dục ...có liên quan đến nội dung đề tài. - Đọc SGK, sách giáo viên, các loại sách tham khảo. - Tham khảo các đề minh họa, đề thi THPT- QG của Bộ Giáo dục và đề thi thử của các trƣờng trên toàn quốc. - Trao đổi kinh nghiệm với các giáo viên dạy toán trên toàn quốc thông qua các nhóm VD-VDC MÔN TOÁN, Diễn đàn toán học … b. Nghiên cứu thực tế: - Dự giờ, trao đổi ý kiến với đồng nghiệp về nội dung tích phân. - Tổng kết rút kinh nghiệm trong quá trình dạy học. - Tổ chức và tiến hành thực nghiệm sƣ phạm để kiểm tra tính khả thi của đề tài. - Nghiên cứu khả năng nắm bắt của học sinh qua từng buổi học. - Tìm hiểu qua phiếu thăm dò của học sinh. 7. Những luận điểm cần bảo vệ của đề tài Thứ nhất: Thay đổi cách dạy và học của học sinh theo phƣơng pháp dạy học tích cực chú trọng vào ngƣời học. Thứ hai: Các em biết vận dụng kiến thức vào giải toán để đạt kết quả cao trong các kỳ thi. Thứ ba: Học là phải gắn liền với ứng dụng vào thực tế trong cuộc sống. 8. Tính mới, đóng góp của đề tài Đề tài giúp các em học sinh phát triển năng lực, tƣ duy giải toán, biết vận dụng kiến thức toán học để giải quyết vấn đề thực tiễn cũng nhƣ nhìn nhận các vấn đề thực tiễn qua lăng kính toán học. Xu hƣớng “gắn lý thuyết với các vấn đề thực tiễn” đã có từ lâu ở các nền giáo dục tiên tiến và đã có ảnh hƣởng lớn trong những lần đổi mới giáo dục gần đây của nƣớc ta. Qua đề tài cũng giúp học sinh hoàn thiện kĩ năng sống và đảm bảo vốn kiến thức thực tế cho một con ngƣời bắt đầu bƣớc sang giai đoạn trƣởng thành. Vì vậy chúng ta cần làm cho học sinh thấy đƣợc không chỉ học để đi thi, mà còn để vận dụng vào đời sống hàng ngày, từ đó các em có thêm động lực và lòng ham mê học tập. Đề tài cũng là nguồn tài liệu tham khảo để giúp các em học và tự tin làm các bài toán trong các kỳ thi THPTQG, kỳ thi đánh giá năng lực, đánh giá tƣ duy của các trƣờng đại học trên toàn quốc. Đề tài có thể là nguồn tài liệu cho đồng nghiệp trong công tác giảng dạy và tích lũy chuyên môn. 3
PHẦN II. NỘI DUNG I. CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN 1.1. Cơ sở lí luận 1.1.1. Năng lực toán học Năng lực là thuộc tính cá nhân đƣợc hình thành, phát triển nhờ tố chất sẵn có và quá trình học tập, rèn luyện, cho phép con ngƣời huy động tổng hợp các kiến thức, kỉ năng và các thuộc tính cá nhân khác nhƣ hứng thú, niềm tin, ý chí ... thực hiện thành công một loạt hoạt động nhất định, đạt kết quả mong muốn trong những điều kiện cụ thể. Thông qua chƣơng trình môn Toán, học sinh cần hình thành và phát triển đƣợc năng lực toán học, biểu hiện tập trung nhất của năng lực tính toán. Năng lực toán học bao gồm các thành tố cốt lõi sau: a) Năng lực tƣ duy và lập luận toán học. - So sánh, phân tích, tổng hợp, đặt biệt hóa, khái quát hóa, tƣơng tự, quy nạp, diễn dịch. - Chỉ ra đƣợc chứng cứ, lí lẽ và biết lập luận hợp lí trƣớc khi kết luận. - Giải thích hoặc điều chỉnh cách thức giải quyết vấn đề về phƣơng diện toán học. b) Năng lực mô hình hóa toán học. - Sử dụng các mô hình toán học (gồm công thức, phƣơng trình, bảng biểu, đồ thị ...) để mô tả các tình huống đặt ra trong các bài toán thực tế. - Giải quyết các vấn đề toán học trong mô hình đƣợc thiết lập. Nhƣ vậy, thông qua tìm hiểu, phân tích vấn đề chƣa có cách giải quyết, học sinh tìm cách đƣa vấn đề về mô hình toán học đã biết cách giải quyết, qua đó học sinh có cơ hội đƣợc phát triển năng lực mô hình hóa toán học. c) Năng lực giải quyết vấn đề toán học. - Nhận biết, phát hiện đƣợc vấn đề cần giải quyết bằng toán học. - Đề xuất, lựa chọn đƣợc cách thức, giải pháp giải quyết vấn đề. - Sử dụng đƣợc các kiến thức, kĩ năng toán học tƣơng thích (bao gồm các công cụ và thuật toán) để giải quyết vấn đề đặt ra. - Đánh giá giải pháp đề ra và khái quát hóa cho vấn đề tƣợng tự . Thông qua quá trình phân tích, thảo luận và đƣa ra phƣơng án giải quyết của nhóm mình, học sinh có cơ hội đƣợc phát triển năng lực giải quyết vấn đề toán học. 4
d) Năng lực giao tiếp toán học. - Nghe hiểu, đọc hiểu và ghi chép đƣợc các thông tin toán học cần thiết đƣợc trình bày dƣới dạng văn bản toán học hay do ngƣời khác nói hoặc viết ra. - Trình bày, diễn đạt (nói hoặc viết) đƣợc các nội dung, ý tƣởng, giải pháp toán học trong sự tƣơng tác với ngƣời khác (với yêu cầu thích hợp về sự đầy đủ, chính xác). - Sử dụng hiệu quả ngôn ngữ toán học (chữ số, chữ cái, kí hiệu, biểu đồ, đồ thị, các liên kết logic...) kết hợp với ngôn ngữ thông thƣờng hoặc động tác hình thể khi trình bày, giải thích và đánh giá các ý tƣởng toán học trong sự tƣơng tác (thảo luận, tranh luận) với ngƣời khác. Nhƣ vậy, thông qua hoạt động mua bán giả định, học sinh đƣợc cùng nhau thảo luận, trao đổi và đƣa ra quyết định của mình đã tạo cơ hội cho học sinh đƣợc phát triển năng lực giải quyết vấn đề và năng lực giao tiếp toán học. e) Năng lực sử dụng công cụ, phƣơng tiện toán học. - Sử dụng thành thạo và linh hoạt các công cụ, phƣơng tiện toán học, đặc biệt phƣơng tiện khoa học công nghệ để tìm tòi, khám phá và giải quyết vấn đề toán học ( phù hợp với đặc điểm nhận thức lứa tuổi). - Chỉ ra đƣợc các ƣu điểm, hạn chế của những công cụ, phƣơng tiện hỗ trợ để có những cách sử dụng hợp lí. 1.1.2. Năng lực vận dụng toán học vào thực tiễn Phát triển năng lực vận dụng toán học vào thực tiễn cho học sinh sẽ làm thay đổi cách dạy của giáo viên và cách học của HS theo hƣớng “ Học đi đôi với hành”, lí thuyết gắn với thực tiễn, nhà trƣờng gắn với gia đình và xã hội. Thực trạng dạy học ở các trƣờng phổ thông hiện nay, hầu hết GV mới chỉ tập trung vào hình thành và phát triển kiến thức cho HS mà chƣa chú trọng vào phát triển năng lực vận dụng kiến thức vào thực tiễn cho HS. Do đó, quá trình dạy học hƣớng tới giúp HS có kỷ năng vận dụng kiến thức vào thực tiễn rất cần thiết, đƣợc xem nhƣ mục tiêu cốt lõi của chƣơng trình phổ thông. 1.1.3. Năng lực vận dụng kiến thức vào thực tiễn Năng lực vận dụng kiến thức vào thực tiễn là khả năng của ngƣời học tự giải quyết những vấn đề đặt ra một cách nhanh chóng và hiệu quả bằng cách áp dụng các kiến thức đã lĩnh hội vào những tình huống, hoạt động thực tiễn để tìm hiểu thế giới xung quanh và có khả năng biến đổi nó. Năng lực vận dụng kiến thức vào thực tiễn thể hiện phẩm chất và nhân cách của con ngƣời trong quá trình hoạt động để thỏa mãn nhu cầu chiếm lĩnh tri thức. Nhƣ vậy, có thể hiểu: Năng lực vận dụng kiến thức vào thực tiễn là khả năng chủ thể phát hiện được vấn đề thực tiễn, huy động được các kiến thức liên quan nhằm giải quyết các vấn đề thực tiễn hiệu quả. 5
1.1.4. Các thành tố cơ bản của năng lực vận dụng toán học vào thực tiễn trong nội dung bài toán chuyển động, tính diện tích, thể tích và tăng trƣởng Thành tố 1: HS có năng lực thu nhận thông tin Toán học từ tình huống thực tế liên quan đến bài toán chuyển động, tính diện tích, thể tích, tăng trƣởng. Thể hiện ở khả năng HS nhận thức đƣợc các thông tin định lƣợng về diện tích, thể tích của các khối, các hình trong thực tế hoặc các thông tin định tính nhƣ đặc điểm hình dạng, tính chất của các hình, các khối, kích thƣớc, đối tƣợng... Thành tố 2: Học sinh có năng lực thiết lập mối quan hệ giữa các kiến thức Toán học với các thông tin có đƣợc từ các tình huống thực tiễn. Thể hiện ở khả năng chuyển đổi thông tin giữa thực tiễn và Toán học bao gồm: năng lực mã hóa thông tin toán học từ tình huống thực tiễn, năng lực giải mã thông tin Toán học có đƣợc từ tình huống thực tế. Thành tố 3: Năng lực ƣớc lƣợng, tính gần đúng của quảng đƣờng, diện tích, thể tích của các hình, khối có trong thực tiễn. Bao gồm năng lực ƣớc lƣợng trong tính giá trị đại lƣợng, năng lực sử dụng hợp lí các giá trị gần đúng. Thành tố 4: Vận dụng tối ƣu nguyên hàm, tích phân để tính các bài Toán liên quan đến vận tốc, gia tốc, quảng đƣờng, diện tích, thể tích và tăng trƣởng. 1.2. Cơ sở thực tiễn và thực trạng của đề tài Chƣơng trình GDPT tổng thể năm 2018 đã nêu rõ nhiệm vụ dạy học của môn Toán: trang bị những tri thức cơ bản cần thiết cho HS, rèn luyện kỹ năng Toán học và kỹ năng vận dụng Toán học vào thực tiễn, phát triển trí tuệ… chú trọng bồi dƣỡng những HS có năng khiếu về bộ môn Toán. Góp phần hình thành và phát triển các năng lực cốt lõi của năng lực toán học: năng lực tƣ duy và lập luận toán học; năng lực mô hình hoá toán học; năng lực giải quyết vấn đề toán học; năng lực giao tiếp toán học; năng lực sử dụng công cụ, phƣơng tiện học toán. Năm học 2016 - 2017 bộ GD-ĐT chuyển đổi hình thức thi THPT quốc gia của môn toán từ thi tự luận sang hình thức thi trắc nghiệm đòi hỏi phƣơng pháp dạy và học cũng phải thay đổi cho phù hợp. Trong các đề minh họa của bộ GD - ĐT, đề thi THPTQG và đề thi ĐGNL của các trƣờng Đại học trên toàn Quốc, học sinh thƣờng gặp một số câu về tính tích phân ở mức độ 3 và mức độ 4 và đây là các bài toán vận dụng thực tế. Phần lớn các em học sinh đều bỏ qua hoặc giải thì cũng không tự tin vào kết quả của mình. Vì vậy các em phải chuyển đƣợc mô hình bài toán thực tế đó về bài toán đã học, thì các em sẽ thấy đơn giản và tự tin vào kết quả của mình và càng không phải lo âu sợ học toán nữa. Đề tài góp phần vào giải các bài toán trong thực tiễn sẽ tạo đƣợc cho các em có thêm phƣơng pháp, linh hoạt hơn trong việc tính tích phân và nâng cao tƣ duy trong giải toán nhằm lấy đƣợc điểm cao hơn trong bài thi. 6
Trƣớc khi áp dụng đề tài này vào dạy học, tôi đã khảo sát chất lƣợng học tập của học sinh trƣờng THPT Nguyễn Sỹ Sách (thông qua các lớp 12C1 và 12C2) về các bài toán tính tích phân có vận dụng thực tế, đã thu đƣợc kết quả nhƣ sau: Lớp Sĩ Giỏi Khá TB Yếu Kém số SL % SL % SL % SL % SL % 12C1 46 15 32,6 25 54,3 6 13,1 0 0 0 0 12C2 45 14 31,1 25 55,6 6 13,3 0 0 0 0 Nhƣ vậy số lƣợng học sinh nắm bắt dạng này không nhiều, có rất nhiều em chƣa định hình đƣợc lời giải do chƣa có đƣợc nguồn kiến thức và kĩ năng cần thiết. Từ những thực trạng nêu trên, tôi nhận thấy cần phải có giải pháp để khắc phục, thôi thúc tôi nghiên cứu tìm tòi để đƣa ra phƣơng pháp giải các dạng toán dạng này. II. PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC VẬN DỤNG TOÁN HỌC VÀO THỰC TIỄN THÔNG QUA MỘT SỐ DẠNG TOÁN VỀ CHỦ ĐỀ TÍCH PHÂN Nhƣ đã trình bày ở lí do chọn đề tài, các bài toán ứng dụng tích phân vào giải các bài toán thực tiễn liên quan đến tính quảng đƣờng, vận tốc, gia tốc, tính diện tích, thể tích và tăng trƣởng…luôn gây khó khăn cho học sinh và nhiều học sinh e ngại hoặc bỏ qua khi gặp dạng bài tập dạng này. Để giúp học sinh có hƣớng giải cũng nhƣ phát triển năng lực của mình khi giải quyết các bài toán dạng này, tôi đƣa ra một số dạng toán đã rút ra đƣợc trong quá trình giảng dạy bao gồm : Dạng 1: Dạng các bài toán liên quan đến diện tích và thể tích Dạng 2: Dạng các bài toán liên quan đến chuyển động. Dạng 3: Dạng các bài toán liên quan đến tăng trƣởng. Trong mỗi dạng tôi nêu kiến thức cần sử dụng và các ví dụ. Ở mỗi ví dụ đó, tôi phân tích, định hƣớng phƣơng pháp giải cho học sinh theo hƣớng PTNL và nêu ứng dụng của các bài toán vào thực tiễn cuộc sống. 2.1. DẠNG CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN DIỆN TÍCH, THỂ TÍCH. 2.1.1 Dạng các bài toán liên quan đến diện tích a. Kiến thức sử dụng: Bài toán 1: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y  f ( x) liên tục, trục hoành và hai đƣờng thẳng x  a , x  b b (hình bên) đƣợc tính theo công thức S   f ( x) dx . a 7
Bài toán 2: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y  f ( x) , y  g ( x) liên tục, và hai đƣờng thẳng x  a , x  b (hình bên) đƣợc tính theo công thức b S   f ( x)  g ( x) dx . a b. Ví dụ áp dụng: Trong cuộc sống chúng ta gặp một số bài toán như: Tính diện tích một bồn hoa, một bức tranh, một sân khấu .. Từ đó để ước lượng và tính toán chi phi cần thiết để làm bồn hoa, bức tranh, sân khấu...Vậy, để giải quyết các bài toán đó, tôi đưa ra một số ví dụ sau: Ví dụ 1. Ông An có 1 mảnh vƣờn hình elip, có độ dài trục lớn là 16m và độ dài trục bé là 10m. Ông muốn trồng hoa trên dải đất rộng là 8m và nhận trục bé của elip là trục đối xứng. Biết kinh phí để trồng hoa là 100000 đồng /1m2. Ông An cần bao nhiêu tiền để trồng hoa trên mảnh đất đó? (số tiền đƣợc làm tròn đến hàng nghìn). A. 7862000 đồng. B. 7653000 đồng. C. 7128000 đồng. D. 7826000 đồng. Phân tích bài toán: y (E) 8m -4 0 4 x - Bài toán yêu cầu tính số tiền ông An cần bỏ ra trồng hoa? - Lúc này phải tính đƣợc diện tích đất là bao nhiêu m2? - Diện tích đất nhân 100000 đồng /1m2 ta tính đƣợc số tiền. - Vậy phải chuyển đƣợc về mô hình bài toán giải tích trên hình vẽ. - Diện tích đất là phần gạch chéo trên hình vẽ. - Dải đất nhận trục bé (Oy) làm trục đối xứng. Nên chỉ tính 1 phần tƣ của phần gạch chéo (phần gạch chéo có chấm). - Lúc này bài toán chuyển về dạng quen thuộc. 8
Ox Oy  - Phần gạch chéo có chấm đƣợc giới hạn bởi  x  4  y  f ( x)  (E)  - Viết công thức hàm số y  f ( x) - Kiến thức lớp 10 viết phƣơng trình đƣờng elip (E). Lời giải: 2a  16 a  8 Theo đề ta có:    phƣơng trình đƣờng (E)  2b  10 b  5 x 2 y2 x2   1 y  5 1 64 25 64 4 x2 Diện tích đất ông An dùng để trồng hoa là: S  4 5 1  dx  số tiền ông An 0 64 4 x2 dùng để đầu tƣ trồng hoa là: T=100000  4  5 1  dx  7652891,82 0 64 Do số tiền làm tròn đến hàng nghìn nên chọn đáp án B. Nhận xét: - Bài toán giúp chúng ta giải quyết được việc tính toán chi phí để làm được bồn hoa chính xác nhằm phục vụ trong xây dựng và sản xuất. - Qua ví dụ trên giúp học sinh phát triển các năng lực như: Năng lực chuyển đổi thông tin toán học từ tình huống thực tế, năng lực chuyển đổi từ tình huống thực tiễn vào toán học, năng lực thiết lập và mô hình toán học của thực tiễn Ví dụ 2. Một công ty quảng cáo X muốn làm một bức tranh trang trí nhƣ hình MNEIF. Ở chính giữa của mặt bức tƣờng hình chữ nhật ABCD có chiều cao BC = 6m, chiều dài CD = 12m( hình vẽ dƣới ), biết MNEF là hình chữ nhật. MN = 4m, cung EIF có hình dạng là 1 phần của cung parabol có đỉnh I là trung điểm của AB và đi qua 2 điểm C,D. Kinh phí làm bức tranh là 900.000đồng /1m2. Hỏi công ty X cần bao nhiêu tiền để làm bức tranh đó? A I B F E D C M N A. 20400000 đồng. B. 20600000 đồng. C. 20800000 đồng. D. 21200000 đồng. 9
Phân tích bài toán: - Bài toán yêu cầu tính số tiền để làm bức tranh? - Lúc này phải tính đƣợc diện tích phần làm bức tranh? (tức phần gạch chéo) - Số tiền làm bức tranh bằng diện tích phần làm bức tranh nhân với 900.000 đồng. - Vậy phải chuyển đƣợc về mô hình bài toán giải tích. - Gắn vào hệ trục tọa độ, có nhiều cách gắn ở bài này nên gắn I trùng với O, và Ox trùng với AB. 12m A I=O B F E x D C M N 4m - Bài toán chuyển về dạng quen thuộc, tính diện tích hình (H) giới hạn bởi các y  f (x)   y  g( x ) đƣờng. ( H )  x  a x  b  - y  f ( x) là đƣờng cong EF , y  g ( x) trùng với MN. Đoạn MN  4 . Vậy M(-2;0), N(2;0). Nên a  2, b  2 Lời giải: 12m A I=O B F E x D C M N 4m 10
Chọn hệ trục tọa độ nhƣ hình vẽ. Gọi s là diện tích bức tƣờng tranh (là phần gạch chéo trên hình vẽ). EF là 1 phần của parabol có đỉnh I trùng với O và đi qua 2 điểm C, D nên có 1 phƣơng trình y   x 2 . 6 MN là đƣờng thẳng song song với trục Ox có phƣơng trình y  6 (vì BC  6m ) Đoạn MN  4 .Vậy M(-2;0), N(2;0) Khi đó diện tích S của bức tƣờng tranh là diện tích phần hình phẳng giới hạn bởi  1 2 y   6 x   các đƣờng  y  6  x  2  x  2  2 1 Do đó : S   ( 6 x  6)dx . Vậy số tiền công ty cần bỏ ra làm bức tranh là: 2 2 2 1 T  900000   ( 6 x  6) dx  20800000 . 2 Chọn đáp án C 2 Nhận xét: Bài toán giúp chúng ta giải quyết được việc tính toán chi phí để làm được bức tranh nhằm phục vụ trong lao động và sản xuất. Qua ví dụ trên giúp học sinh phát triển các năng lực như: Năng lực chuyển đổi thông tin toán học từ tình huống thực tế, năng lực chuyển đổi từ tình huống thực tiễn vào toán học, năng lực thiết lập và mô hình toán học của thực tiễn. Ví dụ 3. (Chuyên Phan Bội Châu Nghệ An -2019) Ngƣời ta xây một sân khấu với mặt sân có dạng hợp của hai hình tròn giao nhau. Bán kính của hai hình tròn là 20 mét và 15 mét. Khoảng cách giữa hai tâm của hai hình tròn là 30 mét. Chi phí làm mỗi mét vuông phân giao nhau của hai hình tròn là 300.000 đồng và chi phí làm mỗi mét vuông phần còn lại là 100.000 đồng. Hỏi số tiền làm mặt sân của sân khấu gần với số nào trong các số dƣới đây? A. 202 triệu đồng. B. 208 triệu đồng. C. 218 triệu đồng. D. 200 triệu đồng. Phân tích bài toán: y I A H B O x 11
- Gọi O , I lần lƣợt là tâm của các đƣờng tròn bán kính bằng 20 mét và bán kính bằng 15 mét. Gắn hệ trục Oxy nhƣ hình vẽ, vì OI  30 mét nên I  0; 30 . Tìm đƣợc phƣơng trình hai đƣờng tròn, - Gọi A, B là các giao điểm của hai đƣờng tròn đó.Tọa độ A, B là nghiệm của hệ.hai phƣơng trình đƣờng tròn, - Tính diện tích các phần thông qua công thức diện tích hình tròn, ứng dụng của tích phân. - Từ diện tích tính đƣợc giá tiền làm sân khấu. Lời giải: Gọi O , I lần lƣợt là tâm của các đƣờng tròn bán kính bằng 20 mét và bán kính bằng 15 mét. Gắn hệ trục Oxy nhƣ hình vẽ, vì OI  30 mét nên I  0; 30 . Phƣơng trình hai đƣờng tròn lần lƣợt là x 2  y 2  202 và x 2   y  30   152 . Gọi A, B là các giao điểm của hai đƣờng tròn đó. 2  5 455  x 2  y 2  202  x    Tọa độ A, B là nghiệm của hệ  2  12 .  x   y  30  15 2 2   y  215   12 Tổng diện tích hai đƣờng tròn là   202  152   625 ( m2 ). Phần giao của hai hình tròn chính là phần hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị y  30  152  x 2 và y  202  x 2 . Do đó diện tích phần giao giữa hai hình tròn là 5 455   12 S  202  x 2  152  x 2  30 dx  60,2546 ( m2 ). 5 455  12 Số tiền để làm phần giao giữa hai hình tròn là 300.000 x 60,2546  18.076.386 (đồng). Số tiền để làm phần còn lại là 100.000 x  625  2 x 60,2546   184.299.220 (đồng). Vậy tổng số tiền làm sân khấu là 184.299.220  18.076.386  202.375.606 (đồng). Chọn đáp án A Nhận xét: - Thông qua các bài toán giúp các em hình thành và phát triển năng lực tư duy và lập luận toán học, năng lực giải quyết vấn đề toán học, năng lực mô hình hóa toán học, học sinh giải được các bài toán tương tự và bài toán mới. - Học sinh hiểu được tầm quan trọng của toán học vào việc giải quyết các vấn đề thực tiễn đời sống hàng ngày trong lao động sản xuất sao cho đem lại hiệu quả kinh tế cao góp phần tạo hứng thú cho người học. 12
c. Bài tập tương tự: Bài 1: Ông An muốn làm cổng sắt có hình dạng và kích thƣớc nhƣ hình vẽ bên, biết đƣờng cong phía trên là 1 parabol. Giá 1 m2 của cổng sắt là 700.000 đồng. Hỏi ông An phải bỏ ra bao nhiêu tiền để làm cái cổng sắt nhƣ vậy (làm tròn đến hàng phần nghìn). A. 6417000 đồng. B. 6320000 đồng. C. 6520000 đồng. D. 6620000 đồng. Bài 2: Một khuôn viên dạng nửa hình tròn có đƣờng kính bằng 4 5 (m ). Trên đó ngƣời ta thiết kế 2 phần để trồng hoa có dạng của 1 cánh hoa hình parabol có đỉnh trùng với tâm nửa hình tròn và 2 đầu mút của cánh hoa nằm trên nửa đƣờng tròn (phần tô màu ), cách nhau 1 khoảng bằng 4 (m), phần còn lại của khuôn viên (phần không tô)dành để trồng cỏ. Biết các kích thƣớc cho nhƣ hình vẽ và kinh phí để trồng cỏ là 100000 đồng/m2. Hỏi cần bao nhiêu tiền để trồng cỏ trên phần đất đó? (số tiền đƣợc làm tròn đến hàng nghìn ) A. 2388000 đồng. B. 3895000đồng. C. 1194000 đồng. D. 1948000 đồng. Bài 3: Ông An xây dựng một sân bóng đá mini hình chữ nhật có chiều rộng 30m và chiều dài 50m. Để giảm bớt kinh phí cho việc trồng cỏ nhân tạo, ông An chia sân bóng ra làm 2 phần (tô màu và không tô màu) nhƣ hình vẽ. Phần tô màu gồm 2 miền diện tích bằng nhau và đƣờng cong AIB là một parabol có đỉnh I. Phần tô màu đƣợc trồng cỏ nhân tạo với giá 130.000 đồng/ 1m 2 và phần còn lại đƣợc trồng cỏ nhân tạo với giá 90.000 đồng/ 1m 2 . Hỏi ông An phải trả bao nhiêu tiền để trồng cỏ nhân tạo cho sân bóng? 13
A. 165 triệu đồng. B. 151 triệu đồng. C. 195 triệu đồng. D. 135 triệu đồng. 2.1.2. Dạng các bài toán liên quan đến thể tích a. Kiến thức sử dụng: Bài toán 1:Cắt một vật thể bởi hai mặt phẳng ( P ) và (Q) vuông góc với trục Ox lần lƣợt tại x  a , x  b (a  b) . Một mặt phẳng tùy ý vuông góc với Ox tại điểm x (a  x  b) cắt vật thể theo thiết diện có diện tích là S ( x) . Giả sử S ( x) là hàm số liên tục trên đoạn  a; b .Khi đó, thể tích của vậ thể b đƣợc tính bởi công thức: V   S ( x)dx . a Bài toán 2: Thể tích khối tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y  f ( x) liên tục, trục hoành và hai đƣờng thẳng x  a , x  b khi quay quanh trục Ox b đƣợc tính bởi công thức V    f 2 ( x) dx . a Bài toán 3: Thể tích khối tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y  f ( x) , y  g ( x) liên tục, và hai đƣờng thẳng x  a , x  b khi quay quanh trục Ox b đƣợc tính bởi công thức V    f 2 ( x)  g 2 ( x) dx . a b. Ví dụ áp dụng: Trong cuộc sống chúng ta gặp một số bài toán như: Tính thể tích một thùng đựng dầu, khối trụ, một cái phao …Từ đó để ước lượng thùng dầu còn bao nhiêu lít, ước lượng và tính toán số lượng bê tông cần đổ …Vậy, để giải quyết các bài toán đó, tôi đưa ra một số ví dụ sau: 14
Ví dụ 1: Trong chƣơng trình nông thôn mới, tại một xã X có xây một cây cầu bê tông nhƣ hình vẽ. Tính thể tích bê tông để đổ đủ cây cầu. Đƣờng cong trong hình vẽ là các đƣờng parabol. A. 21m3 . B. 18m3 . C. 40m3 . D. 19m3 . Phân tích bài toán: - Từ giả thiết chọn hệ trục tọa độ phù hợp để viết các phƣơng trình parabol 19 - Gọi ( P ) : y  a1 x2  b1 là parabol đi qua 2 điểm A( 1 ;0); B(0;2) 2 5 - Gọi ( P2 ) : y  a 2 x 2  b2 là parabol đi qua 2 điểm A(10;0); B(0; ) 2 - Tính thể tích bê tông Lời giải: Chọn hệ trục tọa độ nhƣ hình vẽ: 15
19 Gọi ( P ) : y  a1 x2  b1 là parabol đi qua 2 điểm A( 1 ;0); B(0;2) 2 8 2  (P ) : y  1 x 2 361 5 Gọi ( P2 ) : y  a 2 x 2  b2 là parabol đi qua 2 điểm A(10;0); B(0; ) 2 1 2 5  ( P2 ) : y  x  40 2 Khi đó thể tích khối bê tông là: 10 19   1 2 5  2 8 2 V  5  2   ( x  )dx   ( x  2)dx   40m3 40 2 361 0  0   Chọn đáp án C Nhận xét: - Bài toán giúp chúng ta giải quyết được việc tính toán khối lượng bê tông cần đổ, từ đó ta có thể tính được chi phí cần để mua bê tông chính xác . - Qua ví dụ trên giúp học sinh phát triển các năng lực như : Năng lực chuyển đổi thông tin toán học từ tình huống thực tế, năng lực chuyển đổi từ tình huống thực tiễn vào toán học, năng lực thiết lập và mô hình toán học của thực tiễn. Ví dụ 2: (Trƣờng phô thông chuyên - Hà Tĩnh 2020) Một cái thùng đựng dầu có thiết diện ngang (mặt trong của thùng) là một đƣờng elip có trục lớn bằng 1m , trục bé bằng 0,8m , chiều dài (mặt trong của thùng) bằng 3m . Đƣơc đặt sao cho trục bé nằm theo phƣơng thẳng đứng (nhƣ hình bên). Biết chiều cao của dầu hiện có trong thùng (tính từ đáy thùng đến mặt dầu) là 0,6m . Hỏi trong thùng còn có bao nhiêu lít dầu. A. 1520 .lít B. 1310 .lít C. 1270 .lít D. 1190 .lít Phân tích bài toán: x2 y 2 - Dựa vào giả thiết viết đƣợc phƣơng trình của Elíp.  1 a 2 b2 - Tính diện tích của hình phẳng giới hạn Elíp và đƣờng thẳng - Tính thể tích của dầu trong thùng. 16
Lời giải: Chọn hệ trục tọa độ nhƣ hình vẽ. y B M N x A' A B' x2 y 2 Theo đề bài ta có phƣơng trình của Elip là  1. 1 4 4 25 Gọi M , N lần lƣợt là giao điểm của dầu với elip. 1 2  Gọi S1 là diện tích của Elip ta có S1   ab   .  . 2 5 5 Gọi S2 là diện tích của hình phẳng giới hạn bởi Elip và đƣờng thẳng MN .(phần tô đậm) Theo đề bài chiều cao của dầu hiện có trong thùng (tính từ đáy thùng đến mặt dầu) 1 là 0,6m nên ta có phƣơng trình của đƣờng thẳng MN là y  . 5 x2 y 2 4 1 Mặt khác từ phƣơng trình   1 ta có y   x2 . 1 4 5 4 4 25 1 3 Do đƣờng thẳng y  cắt Elip tại hai điểm M , N có hoành độ lần lƣợt là  5 4 3 và nên 4 3 3 4 4 1 2 1 4 1 2 4 3 S2    5 4  x  5  dx  5  4  x dx  10 .   3  3   4 4 3 4 1 2 1 1 Tính I   4  x dx . Đặt x  sin t  dx  cos tdt . 2 2 3  4  3  3  Đổi cận: Khi x  thì t   ; Khi x  thì t  . 4 3 4 3 17