Sáng kiến kinh nghiệm THPT: Sử dụng phương pháp ô ăn quan để giải một lớp bài toán tập hợp lớp 10

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:29

Thêm vào BST

Báo xấu

22
lượt xem 4
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Mục đích nghiên cứu sáng kiến "Sử dụng phương pháp ô ăn quan để giải một lớp bài toán tập hợp lớp 10" nhằm giới thiệu về cách nhìn bài toán cổ dưới tư duy của lý thuyết đồ thị. Lý thuyết đồ thị được xem là lý thuyết Toán học gắn liền với các Bài toán thực tiễn, đặc biệt là các Bài toán quy hoạch trong Kiến trúc, các cấu trúc liên kết mạng Internet.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Sáng kiến kinh nghiệm THPT: Sử dụng phương pháp ô ăn quan để giải một lớp bài toán tập hợp lớp 10

Sở Giáo dục và Đào tạo Nghệ An Trường PT Hermann Gmeiner Vinh “Sáng kiến kinh nghiệm” SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP “Ô ĂN QUAN” ĐỂ GIẢI MỘT LỚP BÀI TOÁN TẬP HỢP LỚP 10 Môn: Toán học Tác giả: Ngô Quốc Chung Tổ: Toán -Tin Vinh, tháng 4 năm 2022
A. Đặt vấn đề Nội dung Tập hợp chính là nền tảng của toán học phổ thông, đây là nội dung thiên về lý thuyết và khá trừu tượng đối với học sinh, điều đó làm giảm tính hấp dẫn của nội dung này đối với học sinh. Tập hợp cũng là nội dung gắn liền với các bài toán thực tế trong cuộc sống, đặc biệt là tập hợp hữu hạn, gần như bất kỳ khía cạnh nào của cuộc sống đều xuất hiện khái niệm tập hợp, như tập hợp học sinh, tập hợp các trường học, tập hợp xe máy, tập hợp nhân viên, hay tập hợp các tỉnh thành ... Khi mà Tin học phát triển thì người ta nhận thấy tập hợp hữu hạn được xem là kiến thức không thể thiếu với các Bài toán Tin học. Trong quá trình nghiên cứu các Bài toán thực tế, và nghiên cứu về trò chơi dân gian “Ô ăn quan” chúng tôi phát hiện ra có sự tương đồng rất lớn giữa bài toán tập hợp hữu hạn với tập hợp các viên sỏi trong trò chơi “Ô ăn quan”. Từ đó chúng tôi nghĩ đến câu hỏi có thể sử dụng phương pháp ô ăn quan để giải các bài Toán tập hợp thường được giải bằng biểu đồ Ven hay không? Áp dụng cho một số Bài toán ban đầu chúng tôi thấy cách giải là rất đẹp và dễ hiểu. Bởi vậy chúng tôi chọn đề tài “SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP “Ô ĂN QUAN” ĐỂ GIẢI MỘT LỚP BÀI TOÁN TẬP HỢP LỚP 10” Với ý muốn là sẽ tạo một cách giải hết sức sơ cấp và rất trực quan chúng tôi quyết định nghiên cứu sâu hơn về các Bài toán tập hợp được giải bằng biểu đồ Ven ở chương trình Toán lớp 10 sẽ giải bằng phương pháp “Ô ăn quan”. Đồng thời với phương pháp này các em có khả năng Tin học có thể viết các thuật toán để giải những bài Toán này một cách rất dễ dàng. Trong bài viết này chúng tôi sẽ giải các Bài toán đó bằng phương pháp ‘‘Ô ăn quan’’ do chúng tôi đề xuất. Ngoài ra chúng tôi sẽ đề xuất các Bài toán về lý thuyết Graph mà bản chất của nó chính là các Bài toán tập hợp trong chương trình Toán 10, do đó ta có thể giải quyết các Bài toán đồ thị đó bằng phương pháp ‘‘Ô ăn quan’’. Việc tiếp cận các bài toán Graph theo phương pháp này, giúp các em học sinh không cần thiết phải sử dụng nhiều các kiến thức về lý thuyết đồ thị chuyên sâu. Các bài Toán tập hợp, đặc biệt là Tập hợp hữu hạn có ý nghĩa rất quan trọng đối với Toán học ứng dụng và các bài toán tổ hợp, khi các em hiểu sâu sắc về Tập hợp sẽ giúp cho các em có được một nền tảng vững chắc để học tập tốt các nội dung Toán học còn lại. Riêng phần tập hợp hữu hạn chính là cơ sở cho nội dung Xác suất Thống kê phổ thông, một nội dung khá mới mẻ trong chương trình Toán hiện thời. Trong bài viết này chúng tôi cũng giới thiệu về cách nhìn bài toán cổ dưới tư duy của lý thuyết đồ thị. Lý thuyết đồ thị được xem là lý thuyết Toán học gắn liền với các Bài toán thực tiễn, đặc biệt là các Bài toán quy hoạch trong Kiến trúc, các 2
cấu trúc liên kết mạng Internet. Những bài toán này có thể giúp cho Học sinh khá, giỏi và yêu thích môn Toán mở rộng chúng một cách sâu sắc và mang nhiều ích lợi hơn. Với ý tưởng như trên trong bài viết này chúng tôi sẽ trình bày các nghiên cứu của chúng tôi đạt được trong quá trình chuyển tải phương pháp “Ô ăn quan” vào giải các bài Toán tập hợp của Toán 10. Hy vọng với hướng phát triển này chúng tôi sẽ mở rộng Bài toán sang cho lĩnh vực tin học và các bài toán về Graph ở mức độ sâu sắc hơn. Phương pháp của chúng tôi, đã được thực tế áp dụng cho học sinh thuộc trường PT Hermann Gmeiner Vinh, học sinh Khối PT trường ĐH Hà Tĩnh và đặc biệt đã đưa vào các chuyên đề cho Sinh viên khoa Sư phạm, ĐH Hà Tĩnh và đạt kết quả rất tốt. Vinh, tháng 4 năm 2022 Tác giả Ngô Quốc Chung 3
B. Nội dung Ở mục này chúng tôi giới thiệu một số khái niệm cơ bản của lý thuyết tập hợp, trình bày chi tiết phương phướng giải toán bằng “Ô ăn quan”. I. Cơ sở lý thuyết 1.1. Khái niệm: Tập hợp là một khái niệm cơ bản của Toán học dùng để mô tả một nhóm đối tượng có cùng tính chất nào đó. Mỗi đối tượng trong tập hợp được gọi là một phần tử của tập hợp. Ta ký hiệu tập hợp bằng chữ hoa: A, B, P, X, Y Ta ký hiệu phần thử thuộc tập hợp bằng chữ thường: x, y, a, b, c,... 1.2. Định nghĩa: Số phần tử của một tập hợp X gọi là lực lượng của tập hợp X. Kí hiệu là |X|. Một tập hợp có số phần tử hữu hạn ta gọi là tập hữu hạn. 1.3. Định nghĩa: Ta nói tập X là con của tập Y nếu mọi phần tử của tập X đều nằm trong tập Y. Kí hiệu: X Y Hai tập hợp X và Y gọi là bằng nhau nếu tập X là con của tập Y và ngược lại tập Y là con của tập X. Nghĩa là: X=Y X Y và Y X 1.4. Phép hợp: Hợp của hai tập hợp X và Y là một tập hợp bao gồm tất cả các phần tử thuộc X hoặc thuộc Y. Kí hiệu: X Y={x|x X hoặc x Y} 1.5. Phép giao: Giao của hai tập hợp A và B là tập hợp bao gồm tất cả các phần tử thuộc cả A và B. Kí hiệu: X Y={x|x X và x Y} 1.6. Phép trừ hai tập hợp: Hiệu của tập hợp X trừ tập hợp Y là một tập hợp gồm các phần tử thuộc X mà không thuộc Y. Kí hiệu: X\Y=={x|x X và x Y} 1.7. Lý thuyết đồ thị 1.7.1 Định nghĩa về Graph Một Graph G là một tập hợp hữu hạn các điểm (gọi là đỉnh của Graph) cùng với tập hợp các đoạn đường cong hay thẳng (gọi là cạnh của graph) có các đầu mút tại các đỉnh của graph. 1.7.2 Định nghĩa về bậc của đỉnh Định nghĩa 1. Đồ thị G là một tập hợp gồm các đỉnh và các cạnh. Ta thường ký hiệu: G = (V, E), trong đó: 4
+ V: Là tập các đỉnh + E: Là tập các cạnh Ví dụ: V={1;2;3;4}, E={a;b;c;d;e} Định nghĩa 2. Bậc của đỉnh V trong đồ thị vô hướng là số cạnh được nối với đỉnh đó. Ký hiệu: deg(V) Ví dụ: Deg(1)=2, deg(4)=3, deg(6)=1, deg(7)=0 Một đỉnh của graph được gọi là đỉnh của bậc n nếu nó là đầu mút của n cạnh. Định lý 1. (xem [6]) Trong mọi graph G, tổng tất cả các bậc của các đỉnh là một số chẵn, bằng hai lần tổng tất cả các cạnh của G. 5
II. Giải các Bài toán cổ bằng phương pháp ‘‘Ô ăn quan’’ Các bài toán cổ này thường có nhiều cách giải mà mỗi bậc học có thể được trang bị một cách, tuy nhiên đây là các bài toán có tính logic cao nên học sinh phải có năng lực Toán học khá mới dùng được các phương pháp như vẽ biểu đồ, đặt ẩn giải hệ phương trình, hoặc biểu đồ Ven. Trong phương pháp ô ăn quan chúng tôi đưa ra đơn giản chỉ là viên sỏi, ô trống và rải, các kiến thức có thể nói rất thực tế, dẫn đến học sinh không cần đòi hỏi quá nhiều kiến thức về Toán vẫn có thể lĩnh hội được. Bài toán 2.1: Gà và chó “Vừa gà vừa chó Bó lại cho tròn 36 con, 100 chân chẵn ” Hỏi có bao nhiêu con gà, bao nhiêu con chó? Lời giải Theo bài ta có: tổng số con gà và con chó có tất cả 36 con và 100 chân. Bây giờ ta vẽ 36 ô và 100 viên sỏi. Trong 36 ô mỗi ô ta rải vào 2 viên sỏi hết 72 viên sỏi, còn lại 28 viên sỏi. Rải tiếp 28 viên sỏi còn lại vào các ô, mỗi ô thêm 2 viên sỏi. Khi đó, có 14 ô chứa 4 viên sỏi và 22 ô chứa 2 viên sỏi. Hay có 14 con chó và 22 con gà. Bài toán 2.2: Thuyền to - Thuyền nhỏ "Thuyền to chở được 6 người, Thuyền nhỏ chở được 4 người là đông. Một đoàn trai gái sang sông, 10 thuyền to nhỏ giữa dòng đang trôi. Toàn đoàn có cả 100 người, Trên bờ còn 48 người đợi sang" Hỏi có bao nhiêu thuyền to, bao nhiêu thuyền nhỏ 6
Lời giải: Toàn đoàn có 100 người, trên bờ còn 48 người đợi sang, có 52 người đang ngồi trên 10 thuyền. Theo bài ta có: Tổng số thuyền nhỏ và to có tất cả 10 thuyền, 52 người. Bây giờ ta vẽ 10 ô và 52 viên sỏi. Trong 10 ô mỗi ô ta rải vào 4 viên sỏi hết 40 viên sỏi, còn lại 12 viên sỏi. Bỏ tiếp 12 viên sỏi còn lại vào các ô, mỗi ô thêm 2 viên. Khi đó, có 6 ô chứa 6 viên sỏi và 4 ô chứa 4 viên sỏi. Hay có 6 thuyền to và 4 thuyền nhỏ. Phương pháp Ô ăn quan. Nhận xét: Từ một bài toán tưởng chừng như đơn giản nhưng cách giải không hề đơn giản. Thông qua ví dụ trên ta thấy từ những trực quan cụ thể sẽ giúp cho học sinh hình dung ra được bài toán, khắc sâu được những kiến thức và dễ dàng tìm ra được kết quả chính xác. =>Vì vậy nếu chỉ rập khuôn máy móc các phương pháp giải hiện có thì sẽ rất khó khăn cho việc tìm ra đáp số bài toán. Ví dụ trên đã yêu cầu học sinh vận dụng được sự mềm dẻo, linh hoạt trong suy nghĩ để giải quyết bài toán. Đó là một yếu tố rất cần thiết, tránh sự cứng nhắc dẫn đến những cách giải cồng kềnh hoặc bế tắc. Bài toán 2. 3: Bài toán lợn gà Tối qua đếm đàn lợn gà Thấy được trăm mắt còn đầu năm mươi Một trăm hai chục chân tròn Đố bạn biết có bao nhiêu gà và lợn? Lời giải: Có 50 cái đầu nên tổng số lợn và gà là 50 con và tổng số là 120 chân. Bây giờ ta vẽ 50 ô tượng trưng cho 50 con, và lấy 120 viên sỏi tượng trưng cho 120 cái chân. Bây giờ ta sẽ rải đầy kín tất cả các ô, với mỗi ô hoặc hai viên sỏi, hoặc 4 viên sỏi. Khi đó số ô có 4 viên tức là có 4 chân chính là lợn, số ô có 2 viên tức là có 2 chân chính là gà. 7
Rõ ràng khi rải đầy các ô có hai viên mỗi ô, thì hết 100 viên, nên thừa 20 viên. 20 viên còn lại rải đủ cho 10 ô, để thêm mỗi ô 2 viên vậy số ô có 4 viên là 10 nên số lợn là 10 con, còn lại số ô có 2 viên là 40 ô vậy có 40 gà. Bài toán 2.4: Cam – Quýt Quýt ngon mỗi quả chia 3 Cam ngon mỗi quả chia ra làm 10 Mỗi người 1 miếng chia đều Bổ 17 quả, 100 người đủ chia?" Hỏi có bao nhiêu quả cam và bao nhiêu quả quýt. Lời giải: Vì tổng số quả là 17 nên ta sẽ vẽ 17 ô, chia ra cho một 100 người nên có 100 miếng được chẻ ra nên ta sẽ lấy 100 viên sỏi để rải vào 17 ô. Ta sẽ rải hết tất cả các ô sao cho mỗi ô hoặc có 3 viên hoặc có 10 viên. Đầu tiên ta sẽ rải 17 ô mỗi ô 3 viên hết 51 viên còn lại 49 ô, bây giờ sẽ rải sỏi còn lại vào các ô 10 viên tức là mỗi ô đó cộng thêm 7 viên ta sẽ rải được 7 ô. Vậy số ô 10 viên là 7 nên có 7 quả cam, số ô 3 viên là 10 nên có 10 quả quýt. 8
Bài toán 2.5: Bài toán “thương nhau cau sáu bổ ba” “Thương nhau cau sáu bổ ba Ghét nhau cau sáu bổ ra làm mười. Mỗi người một miếng trăm người, Có mười bảy quả hỏi người ghét yêu”. Hỏi có bao nhiêu quả cau ghét và bao nhiêu quả cau yêu. Lời giải : Ta coi 17 quả cau là 17 ô vuông và 100 miếng cau chia cho 100 người là 100 viên sỏi. Trong 17 ô vuông, mỗi ô vuông rải 3 viên sỏi hết 51 viên sỏi, còn lại 49 viên sỏi. Rải tiếp 49 viên còn lại vào các ô, mỗi ô thêm 7 viên. Khi đó, có 7 ô chứa 10 viên sỏi và 10 ô chứa 3 viên sỏi. Hay có 30 người tương ứng với 10 quả cau bổ 3 và 70 người ghét ứng với 7 quả cau bổ 10. ●●●●● ●●●●● ●●● ●●● ●●● ●●●●● ●●●●● ●●●●● ●●●●● ●●● ●●● ●●●●● ●●●●● ●●●●● ●●●●● ●●● ●●● ●●●●● ●●●●● ●●●●● ●●● ●●● ●●● ●●●●● III. Giải bài toán tập hợp bằng phương pháp ‘‘Ô ăn quan’’ Bây giờ ta sẽ áp dụng tư tưởng ‘‘Ô ăn quan’’ để giải một lớp các bài toán tập hợp. Những bài toán này có thể được giải bằng phương pháp khác như suy luận logic, hệ phương trình hoặc biểu đồ Ven tuy nhiên các phương pháp đó thường là dài hoặc quá đi sâu vào tính kỹ thuật dẫn đến việc tiếp nhận nó thường khó khăn hơn phương pháp ‘‘Ô ăn quan’’. Bài toán 3.1: (Câu 3, trang 15, SGK Toán 10)Trong số 45 học sinh lớp 10A có 15 bạn được xếp loại học lực loại giỏi, 20 bạn xếp loại hạnh kiểm tốt, trong đó có 10 bạn vừa học lực giỏi, vừa có hạnh kiểm tốt. Hỏi: a) Lớp 10A có bao nhiêu bạn được khen thưởng, biết rằng muốn được khen thưởng bạn đó phải học lực giỏi và hành kiểm tốt. b) Lớp 10A có bao nhiêu bạn chưa được xếp loại học lực giỏi và chưa có hạnh kiểm tốt. Lời giải: 9
Vì có lớp 10 A có 45 học sinh nên ta vẽ 45 ô ứng với số học sinh. Ta lấy 15 bi đậm biểu thị cho 15 bạn học lực giỏi, 20 bi nhạt biểu thị cho 20 bạn hạnh kiểm tốt. Bây giờ ta sẽ rải 15 bi đậm vào các ô, sau khi rải hết bi đậm ta tiếp tục rải 20 viên bi nhạt, vì có 10 bạn là học lực giỏi và hạnh kiểm tốt nên ta rải 10 viên nhạt vào 10 ô đã có bi đậm, hết 10 ô đó ta rải vào các ô trống cho đến khi hết bi. Vì để được khen thưởng thì cần có hoặc học lực giỏi hoặc hạnh kiểm tốt, nên số ô có ít nhất 1 viên bi chính là số học sinh được khen thưởng. Các bạn chưa có học lực giỏi và cũng chưa đạt hạnh kiểm tốt nghĩa là ứng với các ô không có viên bi nào. a) Nhìn vào hình vẽ ta thấy có 25 ô có bi vậy có 25 học sinh được khen thưởng. b) Nhìn vào bảng ta thấy có 20 ô không có viên bi nào vậy có 20 học sinh không đạt học lực giỏi và cũng không được hạnh kiểm tốt. Bài toán 3.2: (Câu 7, trang 18, Toán 10 tập 1, Sách Cánh Diều) Lớp 10B có 28 học sinh tham gia câu lạc bộ thể thao và 19 học sinh tham gia câu lạc bộ âm nhạc, có 10 học sinh tham gia cả hai câu lạc bộ. Biết tổng số học sinh của lớp 10B là 40, hỏi có bao nhiêu học sinh không tham gia câu lạc bộ nào? Có bao nhiêu học sinh không tham gia thể thao? Lời giải: Lớp có 40 học sinh nên ta sẽ vẽ thành 40 ô, tương ứng mỗi ô là một học sinh. Ta lấy 28 viên bi đậm tượng trưng cho 28 thành viên CLB thể thao, 19 bi nhạt tượng trưng cho 19 thành viên câu lạc bộ âm nhạc. Bây giờ ta sẽ rải đều 28 bi đậm vào 28 ô. Vì có 10 bạn thành viên cả hai câu lạc bộ nên ta rải vào 10 bi nhạt cho 10 ô đã có bi đậm, thừa 9 bi nhạt ta sẽ rải vào các ô trống còn lại đến khi hết bi. 10
Khi đó số các ô không có bi nào chính là số học sinh không tham gia câu lạc bộ nào cả. Số các ô không có bi đậm chính là số các học sinh không tham gia thể thao. Nhìn vào hình vẽ ta sẽ thấy có 3 ô trống vậy có 3 em không tham gia câu lạc bộ nào. Có 12 ô không có bi đậm vậy có 12 em không tham gia câu lạc bộ thể thao. Bài toán 3.3: (Câu 8, trang 18, Toán 10 tập 1 Sách Cánh Diều) Một nhóm có 12 học sinh chuẩn bị hội diễn văn nghệ. Trong danh sách đăng ký tham gia tiết mục múa và tiết mục hát của nhóm đó, có 5 học sinh tham gia tiết mục múa và 3 học sinh tham gia cả hai tiết mục. Hỏi có bao nhiêu học sinh trong nhóm tham gia tiết mục hát? Biết có 4 học sinh của nhóm không tham gia tiết mục nào. Lời giải: Ta vẻ bảng có 12 ô ứng với 12 học sinh, ta lấy 5 viên bi đậm ứng với năm thành viên tham gia múa, lấy các viên bi nhạt viên bi nhạt ứng với thành viên nhóm hát. Ta sẽ rải 5 viên bi đậm lên 5 ô, sau đó rải tiếp các viên bi nhạt như sau: rải 3 viên vào 3 ô có sẵn bi đậm, sau đó rải vào các ô trống còn lại và trừ lại 4 ô không rải là của các bạn không tham gia tiết mục nào. Khi đó số ô có chứa bi nhạt chính là số các học sinh tham gia tiết mục hát. Ta có hình vẽ: Nhìn vào bảng ta thấy có 6 ô chứa bi nhạt vậy có 6 em tham gia tiết mục hát. Bài toán 3.4: (Câu 5, trang 25 sách Toán 10 - Chân trời sáng tạo) Trong số 35 học sinh của lớp 10H, có 20 học sinh thích môn Toán, 16 học sinh thích môn Tiếng Anh và 12 học sinh thích cả hai môn này. Hỏi lớp 10H : 11
a) Có bao nhiêu học sinh thích ít nhất một trong hai môn Toán và Tiếng Anh ? b) Có bao nhiêu học sinh không thích cả hai môn này. Lời giải: Lớp có 35 học sinh nên ta sẽ vẽ 35 ô, mỗi ô ứng với một học sinh. Ta lấy 20 viên bi đậm ứng với thích môn Toán, lấy 16 viên bi nhạt ứng với thích môn Tiếng Anh. Bây giờ ta sẽ rải 20 bi đậm vào 20 ô, tiếp đó ta sẽ rải 16 bi nhạt. Vì có 12 học sinh thích cả 2 môn, nên ta sẽ rải 12 bi nhạt vào 12 ô đã có bị đậm, số bi nhạt còn lại ta rải vào các ô trống. Sau khi rải xong ô nào mà có ít nhất một viên bi ứng với học sinh thích ít nhất một môn. Ô nào không có viên bi nào cả ứng với học sinh không thích môn nào. a) Nhìn vào bảng ta thấy có 24 ô chứa ít nhất 1 viên bi nên có 24 học sinh thích ít nhất một môn Toán và Tiếng Anh. b) Có 11 ô không có viên bi nào nên có 11 học sinh không thích môn nào cả. a) Nhìn vào bảng ta thấy có 24 ô chứa ít nhất 1 viên bi nên có 24 học sinh thích ít nhất một môn Toán và Tiếng Anh. b) Có 11 ô không có viên bi nào nên có 11 học sinh không thích môn nào cả. Bài toán 3.5: (Câu 10, trang 27, sách Toán 10 - Chân trời sáng tạo) Lớp 10C có 45 học sinh, trong đó có 18 học sinh tham gia cuộc thi vẽ đồ học trên máy tính, 24 học sinh tham gia cuộc thi tin học văn phòng cấp trường và có 9 học sinh không tham gia cả hai cuộc thi này. Hỏi có bao nhiêu học sinh lớp 10C tham gia đồng thời cả hai cuộc thi. Lời giải: Ta vẽ bảng có 45 ô tương ứng với 45 em học sinh. Lấy 18 viên bi đậm tương ứng với 18 em thi vẽ đồ họa trên máy tính, 24 bi nhạt tương ứng với 24 em thi tin học văn phòng cấp trường. Bây giờ ta rải 18 viên bi đậm vào mỗi ô một viên. Sau khi hết bi đậm ta bắt đầu rải bi nhạt, vì có 9 em không thi môn nào nên ta trừ ra 9 ô 12
không rải, ta bắt đầu rải bi nhạt vào các ô trống còn lại đến khi hết ô trống ta sẽ rải bi nhạt vào các ô đã có bi đậm đến khi hết bi nhạt. Sau khi rải xong, những ô nào chứa hai viên một nhạt, một đậm chính là học sinh thi cả hai môn. Nên số các ô có hai viên bi chính là số các học sinh thi cả hai môn. Nhìn vào bảng sau khi rải ta thấy có 6 ô chứa hai viên bi nên có 6 học sinh thi cả hai môn. Bài toán 3.6: Trong kì thi học sinh giỏi cấp trường, lớp 10A có 17 bạn được công nhận học sinh giỏi văn, 25 bạn học sinh giỏi toán. Tìm số học sinh đạt cả 2 giải văn và toán, biết lớp 10A có 45 bạn và có 13 bạn không đạt học sinh giỏi. Lời giải: Ta sẽ vẽ 45 ô ứng với 45 em học sinh lớp 10A, ta lấy 17 viên bi đậm tương ứng cho 17 giải học sinh giỏi văn, 25 viên bi nhạt tương ứng cho 25 giải học sinh giỏi Toán. Ta có hình vẽ x X x x x X x x x x x x x Vì có 13 em không đạt giải nên ta trừ ra 13 ô trống đánh dấu nhân vào đó, còn lại 32 ô sẽ được rải bi. Đầu tiên ta rảo 17 viên bi đậm vào 17 ô trống không nằm trong 13 ô được đánh dấu nhân. Sau khi ta rải hết bi đậm ta tiếp tục rải bi nhạt vào các ô trống còn lại là 32-17=15 ô, như vậy sẽ thừa 25-15=10 viên và ta rải vào các ô đã 13
có bi đậm đến khi hết bi nhạt. Khi đó những ô nào mà có 2 viên bi thì đó chính là học sinh đoạt giải cả văn và Toán. Nhìn vào bảng sau khi rải bi, ta thấy có 10 ô chứa 2 viên bi một đậm, một nhạt vậy có 10 em học sinh đạt cả hai giải Toán và Văn Bây giờ ta sẽ giải các bài Toán tập hợp có độ phức tạp cao hơn, đó là những bài toán và có từ 3 biến trở lên. Những bài toán này nếu giải bằng các cách thông thường sẽ hết sức phức tạp và đòi hỏi rất nhiều kỹ thuật. Nhưng với phương pháp ‘Ô ăn quan’’ ta sẽ có một lời giải rất dễ hiểu và đẹp đẽ. Bài toán 3.7: Lớp 11A có 35 học sinh (HS) làm bài kiểm tra toán cuối Kỳ II . Đề bài gồm có 3 bài toán. Giáo viên chủ nhiệm lớp báo cáo với Nhà trường rằng: Cả lớp mỗi em đều làm được ít nhất một bài, trong đó 20 em giải được bài toán thứ nhất, 14 HS giải được bài toán thứ hai, 10 HS giải được bài toán thứ ba, 5 HS giải được bài toán thứ hai và thứ ba, 2 HS giải được bài toán thứ nhất và thứ hai, chỉ có một HS được 10 điểm vì đã giải được cả ba bài. Học sinh nào giải được bài 3 thì làm ít nhất thêm được một bài khác. Hỏi lớp học đó có bao nhiêu HS không dự kiểm tra? Lời giải: Trước hết ta vẽ bảng gồm có 35 ô ứng với 35 em học sinh lớp 11A. Ta lấy 20 tấm thẻ ký hiệu là số B1 ứng với số lần giải được bài toán 1, lấy 14 thẻ ký hiệu là B2 ứng với 14 lần giải được bài toán 2, 10 tấm thẻ đánh dấu là B3 ứng với 10 lượt giải được bài toán 3. Bây giờ ta sẽ rải thẻ vào các ô theo quy tắc đã cho. Đầu tiên ta rải 20 tấm thẻ B1 vào 20 ô, sau đó ta rải đến tấm thẻ B2 vào 2 ô có thẻ B1 và thêm 12 ô trống, hết thẻ B2 bây giờ ta rải thẻ B3, 1 tấm thẻ vào ô đã có 2 thẻ B1 và B2, tiếp tục rải 5 thẻ vào các ô chỉ có thẻ B2, do làm được bài 3 thì sẽ làm được hơn một bài do đó sẽ rải 4 thẻ còn lại vào các ô chỉ có B1. Sau khi rải hết thẻ mà ô nào còn trống có nghĩa là học sinh đó không đi thi. B1-B3 B1-B3 B1-B3 B1-B3 B1 B1 B1 B1 B1 B1 B1 B1 B1 B1 B1 B1 B1 B1 B1-B2 B1-B2-B3 B2-B3 B2-B3 B2-B3 B2-B3 B2-B3 B2 B2 B2 B2 B2 B2 B2 14
Nhìn vào bảng sau khi rải hết các thẻ theo quy tắc trên ta thấy còn lại chỉ có 3 ô trống nên có 3 em học sinh không tham gia thi cuối kỳ II Bài toán 3.8: Trong 1 hội nghị có 100 đại biểu tham dự, mỗi đại biểu nói được một hoặc hai trong ba thứ tiếng: Nga, Anh hoặc Pháp. Có 39 đại biểu chỉ nói được tiếng Anh, 35 đại biểu nói được tiếng Pháp, có 12 đại biểu biết 2 thứ tiếng trong đó 8 đại biểu nói được cả tiếng Anh và tiếng Nga. Hỏi có bao nhiêu đại biểu chỉ nói được tiếng Nga, bao nhiêu đại biểu chỉ nói được tiếng Pháp? Lời giải: Ta vẽ 100 ô tương ứng với 100 đại biểu. Ta sẽ làm 39 thẻ chữ A ứng với 35 người nói được tiếng Anh, 35 thẻ chữ P ứng với 35 người biết nói tiếng Pháp và 8 thẻ chữ NA ứng với số lượng biết nói tiếng Nga, gọi thẻ chữ N là ký hiệu biết nói tiếng Nga. Đầu tiên, ta sẽ rải 39 thẻ A vào 39 ô. Ta rải tiếp 35 thẻ chữ P vào các ô trống tiếp theo, tiếp tục rải tiếp 8 thẻ NA vào các ô trống còn lại. Bây giờ ta sẽ rải thẻ chữ N, vì mỗi đại biểu nói được ít nhất một thứ tiếng, nên những ô trống còn lại ta sẽ rải chữ N vào. Do có 12 đại biểu biết nói hai thứ tiếng mà lại có 8 người nói Anh và Nga do đó chắc chắn có 4 người nói tiếng Pháp thì nói được tiếng Nga (vì không thể cùng biết cả Anh và Pháp) do đó ta sẽ rải 4 thẻ chữ N vào 4 ô có chữ P. Khi đó ô nào mà chỉ có một mình chữ N là chỉ nói được tiếng Nga, những ô chỉ có chữ P là chỉ nói được tiếng Pháp. A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P PN PN PN P NA NA NA NA NA NA NA NA N N N N N N N N N N N N N N N N N N Nhìn vào bảng ta thấy: có 18 ô chữ N vậy có 18 đại biểu chỉ nói được tiếng Nga. Có 31 ô chỉ có chữ P nên có 31 đại biểu chỉ nói được tiếng Pháp 15
Bài toán 3.9: Bốn mươi em học sinh của trường PT dự thi hội thao gồm 3 môn: ném tạ, chạy và đá cầu. Trong đội có 8 em chỉ thi ném tạ, 20 em thi chạy và 18 em thi đá cầu. Hỏi có bao nhiêu em vừa thi chạy vừa thi đá cầu? Lời giải: Ta kẻ 40 ô tương ứng 40 em học sinh tham gia hội thao. Ta làm 8 thẻ chữ T cho 8 vận động viên môn đẩy tạ, 20 thẻ chữ R cho 20 vận động viên tham gia môn chạy và 18 thẻ chữ C cho 18 em tham gia đá cầu. Bây giờ ta sẽ rải 8 thẻ T vào 8 ô, sau đó rải tiếp 20 thẻ R vào các ô tiếp theo, còn lại 12 ô, ta sẽ rải 18 thẻ chữ C vào 12 ô còn lại sẽ thừa 6 thẻ C. Do các em đẩy tạ chỉ thi một môn, nên ta sẽ rải thẻ C thừa vào các ô có chữ R. Khi đó những ô nào mà có 2 thẻ R-C thì chính là các em tham gia hai môn vừa chạy vừa đá cầu. Cụ thể như sau: T T T T T T T T R R R R R R R R R R R R R R R-C R-C R-C R-C R-C R-C C C C C C C C C C C C C Nhìn vào bảng sau khi rải đủ các thẻ ta sẽ thấy có 6 ô chứa 2 thẻ R-C vậy có 6 em học sinh tham gia cả hai môn chạy và đá cầu. Bài toán 3.10: Kỳ thi học sinh giỏi 3 môn Toán, Văn, Anh có 100 học sinh tham gia. Mỗi học sinh có thể thi một, hai hoặc ba môn. Có 8 học sinh chỉ thi môn Toán và Văn, có 12 học sinh chỉ thi môn Anh và Văn, 20 học sinh chỉ thi Anh và Toán, 5 học sinh tham gia thi cả 3 môn. Hỏi có bao nhiêu học sinh chỉ thi một môn? Lời giải: Ta vẽ 100 ô ứng với 100 học sinh. TV TV TV TV TV TV TV TV AV AV AV AV AV AV AV AV AV AV AV AV AT AT AT AT AT AT AT AT AT AT AT A AT AT AT AT AT AT AT AT TVA TVA TVA TVA TVA 16
Ta sẽ làm 8 loại thẻ TV là người thi 2 môn Toán-Văn, 12 thẻ AV là người thi hai môn Anh-Văn, 20 thẻ AT là người thi môn Anh-Toán, 5 thẻ TVA dành cho học sinh thi 3 môn. Bây giờ ta sẽ rải thẻ vào các ô, rõ ràng các loại thẻ này không trùng nhau, sau khi rải hết 4 loại thẻ trên thì các ô trống còn lại chính là các học sinh chỉ thi một môn.Nhìn vào bảng ta thấy có 55 ô trống vậy có 55 bạn chỉ tham dự thi một môn. Bài toán 3.11: 50 bạn học sinh lớp 12A đều đội 1 trong hai loại mũ: Mũ cứng hoặc mũ mềm, đi 1 trong 2 loại giày đen hoặc nâu, mặc 1 trong 2 loại áo: trắng hoặc xanh. Có 18 bạn đội mũ mềm, 19 bạn đi giầy đen, 11 bạn có áo trắng. Hỏi có thể chắc chắn có ít nhất bao nhiêu bạn vừa đi giày nâu, vừa đội mũ cứng và mặc áo xanh? Lời giải: Ta sẽ vẽ bảng gồm 50 ô, ta kí hiệu thẻ chữ M, C lần lượt ứng với đội mũ mềm và mũ cứng, thẻ Đ, N lần lượt cho giày đen và giày nâu, thẻ T, X cho mặc áo trắng và áo xanh. Vì có 18 bạn đội mũ mềm ta rải 18 thẻ M vào 18 ô, các ô trống còn lại ta rải chữ C cho các bạn đội mũ cứng, ta rải tiếp 19 thẻ D vào hết các bạn có thẻ chữ C, hết chữ C ta sẽ rải sang chữ M, nhiều ô chữ C nhất có thể. Sau đó ta rải 11 thẻ chữ T vào ô chữ CN, hết các ô đó ta sẽ rải sang các ô còn lại, khi hết 11 thẻ chữ T ta tiếp tục rải chữ X vào tất cả các ô không chứa chữ T. Khi đó ô nào mà chữa 3 chữ CNX thì đó chính là học sinh đi giày Nâu, đội mũ Cứng và mặc áo Xanh. MNX MNX MNX MNX MNX MNX MNX MNX MNX MNX MNX MNX MNX MNX MNX MNX MNX MNX CNX CNX CNT CNT CNT CNT CNT CNT CNT CNT CNT CNT CDX CDX CDX CDX CDX CDX CDX CDX CDX CNT CDX CDX CDX CDX CDX CDX CDX CDX CDX CDX Nhìn vào bảng ta thấy chỉ có hai ô có 3 chữ CNX nên có ít nhất 2 học sinh đội mũ cứng, đi giày nâu và mặc áo xanh. Nhận xét: Đây là bài Toán logic khá hóc búa vì nó chứa đến 6 yếu tố để tác động lên một học sinh, nếu dùng phương pháp suy luận thông thường chúng ta sẽ vấp phải các lý luận khá phức tạp và dễ bị nhầm lẫn. Phương pháp “Ô ăn quan” cho ta một lời giải rất đẹp đẽ và khá ngắn gọn. 17
Bài toán 3.12: Lớp 10A có 10 học sinh giỏi Toán, 10 học sinh giỏi Lý, 11 học sinh giỏi Hóa, 6 học sinh giỏi cả Toán và Lý, 5 học sinh giỏi cả Hóa và Lý, 4 học sinh giỏi cả Toán và Hóa, 3 học sinh giỏi cả ba môn Toán, Lý, Hóa. Số học sinh giỏi ít nhất một trong ba môn (Toán, Lý, Hóa) của lớp 10A là Lời giải: Ta sẽ làm 10 cái thẻ chữ T cho HSG Toán, 10 thẻ chữ L cho HSG Lý, 11 thẻ chữ H cho học sinh giỏi Hóa. Vì số học sinh giỏi của lớp không quá 10+10+11=31, nên ta kẻ bảng có 30 ô, sau khi rải xong ô nào có thẻ nghĩa là ô đó tương ứng với một HSG và ta bắt đầu rải thẻ như sau. Ta rải 10 thẻ chữ T vào 10 ô, có 6 em giỏi cả Toán và Lý nên ta rải 6 thẻ L vào 6 ô có chữ T, còn lại ta rải vào ô trống. Tiếp tục rải thẻ chữ H, có 3 bạn giỏi cả Toán Lý Hóa nên ta rải 3 thẻ H vào 3 ô đã có thẻ T và L, có 4 học sinh giỏi Hóa và Lý nên ta rải thêm 2 thẻ H vào ô có chữ L, có 4 HSG Toán và Hóa nên ta rải một thẻ vào ô có chữ T, còn bao nhiêu ta rải vào ô trống. Sau khi rải xong số ô có ít nhất một thẻ chính là số học sinh giỏi ít nhất một môn. Ta có hình vẽ: TH T T T TL TL TL TLH TLH TLH LH LH L L H H H H H Nhìn vào bảng ta thấy có 19 ô có ít nhất một thẻ nên có 19 học sinh 10A là HSG ít nhất một môn IV. Nhìn bài toán cổ theo quản điểm tổ hợp Bài toán đưa ra cách tiếp cận mới về hai bài toán cổ quen thuộc. Các bài toán cổ: “vừa gà vừa chó”, “thương nhau cau sáu bổ ba”,… sẽ được xem xét theo tư tưởng tổ hợp. Bài toán cổ là một dạng bài toán gắn kết cuộc sống và hoạt động của con người từ thời cổ đại. Hiện nay các bài toán cổ được tiếp cận bằng các tư tưởng mới như hệ phương trình đại số, lý thuyết đồ thị. Trong bài báo này chúng tôi sẽ tiếp cận một số bài toán cổ như “vừa gà vừa chó”, “thương nhau cau sáu bổ ba” bằng tử tưởng của Toán tổ hợp. Toán Tổ hợp có thể xem là đề tài thời sự của Toán học hiện đại ngày nay. Bài toán 4.1: Cho một hình vuông kẻ ca rô 6 6. Hãy dùng 100 viên sỏi rải vào các ô vuông sao cho mỗi ô có 2 hoặc 4 viên sỏi. Chứng minh rằng số ô gồm 4 viên sỏi luôn là một hằng số đối với mọi cách rải. 18
Lời giải. Ngoài cách giải “Ô ăn quan” như Bài toán 2.1, chúng ta cũng có thể đưa ra cách giải dựa theo hệ phương trình:  x  y  36  x  22   2 x  4 y  100  y  14 Bài toán sau đây là một biến thể của Bài toán 4.1 trong lý thuyết đồ thị. Bài toán 4.2: Cho G (V, E) là một đồ thị bao gồm 36 đỉnh và 50 cạnh, sao cho mỗi đỉnh có bậc 2 hoặc bậc 4. (a) Hỏi có bao nhiêu đỉnh bậc 2 và bao nhiêu đỉnh bậc 4. (b) Xây dựng đồ thị G thỏa mãn yêu cầu bài toán. Lời giải. (a). Gọi x là số đỉnh bậc 2, y là số đỉnh bậc 4. Lưu ý tính chất tổng số bậc của các đỉnh bằng 2 lần số cạnh. Chúng ta có hệ phương trình:  x  y  36  x  22   2 x  4 y  100  y  14 Điều đó có nghĩa là đồ thị có 22 đỉnh bậc 2 và 14 đỉnh bậc 4. (b) Sau đây là đồ thị (G) thỏa mãn yêu cầu bài toán. Hình 1 Phát biểu bài toán “thương nhau cau sáu bổ ba” mang tính tổ hợp Bài toán 4.3: Cho một hình gồm 17 ô vuông. Hãy dùng 100 viên sỏi rải vào các ô vuông sao cho mỗi ô có 10 viên hoặc 3 viên sỏi. Lời giải. Ngoài cách giải sử dụng phương pháp “Ô ăn quan”, chúng ta cũng có thể đưa ra cách giải dựa theo hệ phương trình:  x  y  17  x  10   3 x  10 y  100 y  7 Điều đó có nghĩa là đồ thị có 10 đỉnh bậc 3 và 7 đỉnh bậc 10. Bài toán sau đây là một biến thể của Bài toán 4.3 trong lý thuyết đồ thị. 19
Bài toán 4.4: Cho G = G (V, E) là một đồ thị bao gồm 17 đỉnh và 50 cạnh, sao cho mỗi đỉnh có bậc 3 hoặc bậc 10. (a) Hỏi có bao nhiêu đỉnh bậc 2 và bao nhiêu đỉnh bậc 4. (b) Xây dựng đồ thị G thỏa mãn yêu cầu bài toán. Lời giải. (a). Gọi x là số đỉnh bậc 2, y là số đỉnh bậc 4. Lưu ý tính chất tổng số bậc của các đỉnh bằng 2 lần số cạnh. Chúng ta có hệ phương trình:  x  y  17  x  10   3 x  10 y  100 y  7 Điều đó có nghĩa là đồ thị có 10 đỉnh bậc 3 và 7 đỉnh bậc 10. Hình 2 Lời giải và phát biểu một số bài toán khác theo quan điểm tổ hợp Bài toán 4.5: Có 8 sọt đựng tất cả 46 quả, mỗi sọt quýt đựng được 5 quả, mỗi sọt cam đựng được 7 quả. Hỏi có bao nhiêu sọt quýt, bao nhiêu sọt cam? Lời giải bài toán bằng tổ hợp. Ta coi 8 sọt là 8 ô vuông và 46 quả là 46 viên sỏi. Trong 8 ô vuông, mỗi ô vuông rải 5 viên sỏi hết 40 viên sỏi, còn lại 6 viên sỏi. Rải tiếp 6 viên còn lại vào các ô, mỗi ô thêm 2 viên. Khi đó, có 3 ô chứa 7 viên sỏi và 5 ô chứa 5 viên sỏi. Hay có 3 sọt cam, có 5 sọt quýt. Đáp số: 3 sọt cam, 5 sọt quýt. ●●●●● ●●●●● ●●●●● ●●●●● ●● ●● ●●●●● ●●●●● ●●●●● ●●●●● ●● 20