Sáng kiến kinh nghiệm THPT: Sử dụng phương pháp tìm hàm đại diện để tính tích phân hàm ẩn nhằm nâng cao hiệu quả ôn thi tốt nghiệp THPT

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:46

Thêm vào BST

Báo xấu

9
lượt xem 4
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Mục đích nghiên cứu sáng kiến nhằm tạo một tài liệu tham khảo nhỏ giúp các em học sinh trong nhà trường có thêm một phương pháp tiếp cận nhanh và hiệu quả khi gặp những bài toán tính tích phân hàm ẩn và tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị các hàm số nhằm giúp các em có khả năng lấy được điểm cao trong kỳ thi tốt nghiệp THPT.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Sáng kiến kinh nghiệm THPT: Sử dụng phương pháp tìm hàm đại diện để tính tích phân hàm ẩn nhằm nâng cao hiệu quả ôn thi tốt nghiệp THPT

SỞ GD&ĐT NGHỆ AN SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM Đề tài “Sử dụng phương pháp tìm hàm đại diện để tính tích phân hàm ẩn nhằm nâng cao hiệu quả ôn thi tốt nghiệp THPT” Môn: Toán học Năm học: 2022 - 2023
SỞ GD&ĐT NGHỆ AN TRƯỜNG THPT QUỲNH LƯU 4 SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM Đề tài “Sử dụng phương pháp tìm hàm đại diện để tính tích phân hàm ẩn nhằm nâng cao hiệu quả ôn thi tốt nghiệp THPT” Môn: Toán học. Tổ chuyên môn: Toán - Tin Tác giả: Nguyễn Thị Hương Đơn vị : Trường THPT Quỳnh Lưu 4 Số ĐT: 0346431688 Năm thực hiện: 2022 - 2023
PHẦN I . ĐẶT VẤN ĐỀ: 1. Lý do chọn đề tài: Trong đề thi tốt nghiệp THPT thì các bài toán về tính tích phân và ứng dụng phép tính tích phân vào giải các bài toán diện tích, thể tích, đồ thị chiếm phần không nhỏ đi từ bài dễ đến bài khó, mỗi dạng có một cách giải khác nhau và có thể có nhiều cách giải khác nhau, việc lựa chọn cách giải phụ thuộc vào bài toán và trình độ của học sinh và phương pháp dạy học của giáo viên. Vì vậy tôi luôn tìm tòi và học hỏi, nghiên cứu để đưa ra cho học sinh những phương pháp giải nhanh nhất, phù hợp nhất và ứng dụng được nhiều dạng bài tập nhất. Tích phân hàm ẩn là dạng toán có thể nói khá mới mẻ bởi nó được xuất hiện nhiều từ những năm 2017 trở về sau, khi đề thi tốt nghiệp THPT môn toán thay đổi từ hình thức thi tự luận sang hình thức thi trắc nghiệm, với thời gian 90 phút, học sinh phải thật sự nỗ lực làm thế nào để nhớ được tất cả các kiến thức, phương pháp giải để trả lời, giải quyết hết các bài toán trong đề thi là vấn đề rất khó, rồi phương pháp giải đó có áp dụng cho đươc bài toán này, bài toán kia không? Làm thế nào để giải các bài toán trong phạm vi thời gian nhanh nhất hiệu quả nhất.Với phương pháp tính tích phân như đề thi tự luận trước đây không còn phù hợp nữa đặc biệt là các bài tích phân hàm ẩn và các bài toán vận dụng cao. Đối với học sinh các bài toán tính tích phân hàm tường minh và biết cách áp dụng các phương pháp tính tích phân của hàm tường minh đã là vấn đề rất khó chưa nói đến việc tính tích phân hàm ẩn (Tức hàm không tường minh) lại càng khó hơn. Đề thi thì đổi mới mà SGK chưa đổi mới chưa đề cập đến việc tính tích phân hàm ẩn do đó cả học sinh và giáo viên phải tự mày mò, suy luận để tìm ra phương pháp giải cho dạng các bài toán này. Qua các đề thi tốt nghiệp THPT những năm gần đây, đề tham khảo của Bộ giáo dục, đề minh họa, các đề thi thử và trải qua công việc ôn thi tốt nghiệp THPT tôi đã tìm tòi nghiên cứu và mạnh dạn và quyết định xây dựng đề tài “Sử dụng phương pháp tìm hàm đại diện để tính tích phân hàm ẩn nhằm nâng cao hiệu quả ôn thi tốt nghiệp THPT ” giúp học sinh giải quyết một số bài toán trong đề thi tốt nghiệp THPT, đề thi học sinh giỏi hàng năm. 2. Tính khoa học, tính mới Hình thành cho học sinh phương pháp mới vận dụng vào tính tích phân hàm ẩn và một số bài toán khác như tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường cong là đồ thị của các hàm số. 3. Mục đích nghiên cứu: Tôi chọn đề tài sáng kiến kinh nghiệm này trước hết nhằm mục đích tạo một tài liệu tham khảo nhỏ giúp các em học sinh trong nhà trường có thêm một phương pháp tiếp cận nhanh và hiệu quả khi gặp những bài toán tính tích phân hàm ẩn và tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị các hàm số nhằm giúp các em có khả năng lấy được điểm cao trong kỳ thi tốt nghiệp THPT. 1
Bản thân nhận thấy trong các bài toán tính tích phân hàm ẩn và bài toán ứng dụng tích phân vào tính diện tích, thể tích có một lớp bài toán việc sử dụng và đưa về hàm đại diện học sinh rất thích thú và đạt hiệu quả rõ trong quá trình ôn thi tốt nghiệp THPT. 4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu: - Vì đối tượng học sinh các lớp tôi dạy là các học sinh có học lực yếu, trung bình, khá nên các bài tập tôi đưa ra phù hợp với đối tượng học sinh và đề tài này sẽ dùng cho được các trường bán công, công lập, có những bài phù hợp với đối tương ôn thi học sinh giỏi, thi đánh giá năng lực, phù hợp cho đối tượng học sinh ôn thi tốt nghiệp THPT đạt mức điểm từ 8 đến 9. - GV giảng dạy môn toán bậc THPT. - GV dạy bồi dưỡng HSG, giáo viên dạy ôn thi tốt nghiệp THPT. - Học sinh THPT ôn thi tốt nghiệp THPT. 5. Phương pháp nghiên cứu: - Nghiên cứu về phương pháp tính tích phân hàm ẩn - Đề thi tốt nghiệp THPT của các năm, đề minh họa của Bộ giáo dục, đề thi thử. - Dựa vào thực tiễn quá trình giảng dạy. - Dựa vào định nghĩa và các tính chất của tích phân. - Lấy ý kiến của đồng nghiệp về mức độ khả thi của đề tài. PHẦN II. NỘI DUNG NGHIÊN CỨU 1. Cơ sở khoa học: 1.1. Cơ sở lý luận: Trong thời đại hiện nay công nghệ thông tin ngày càng phát triển, kéo theo các loại máy tính cầm tay ngày càng hiện đại việc sử dụng máy tính cầm tay tính tích phân hàm tường minh dễ dàng do đó đề thi tốt nghiệp THPT đòi hỏi phải đổi mới các bài toán tìm tích phân hàm tường minh đa số đã chuyển sang tính tích phân hàm ẩn. Tổng quan lý luận về định hướng tìm lời giải các bài toán tìm tích phân hàm ẩn thực chất đó là đưa về hàm tường minh bởi hàm ẩn là vỏ bọc bên ngoài mà ta cần phá bỏ lớp vỏ đó. Đề tài cung cấp cho học sinh không chỉ kiến thức về phương pháp khả năng tư duy, khả năng quy lạ về quen đưa những bài toán phức tạp trở thành bài toán tương đối nhẹ nhàng nhờ việc hiểu rõ cốt lõi của dạng toán và đề tài cung cấp cho học sinh hệ thống bài tập trắc nghiệm phù hợp với xu thế của đề thi tốt nghiệp THPT hiện nay. 2
Các kiến thức cơ bản sử dụng trong đề tài bao gồm bảng nguyên hàm số sơ cấp, nguyên hàm của hàm hợp, định nghĩa tích phân và các tính chất từ sách giáo khoa mà học sinh đã được học. Bảng 1. Nguyên hàm của các hàm số sơ cấp, nguyên hàm của hàm hợp u là hàm số theo * Trường hợp đặc biệt biến x, tức là u  u ( x) u  ax  b, a  0 *Nguyên hàm của các hàm số đơn giản  dx  x  C  du  u  C  k.dx  k.x  C ,k là  k.du  k.u  C hằng số  1  1  1  dx  x  du  u  .dx  1 . (ax  b) x  1 C u  1 C  (ax  b) a  1 C 1 1 1 1  x dx  ln x  C  u du  ln u  C  (ax  b) dx  a ln ax  b  C 1 1 1 1  2 dx    C  2 dx    C x x u u 1 1 1 1  x dx  2 x  C  u du  2 u  C  ax  b du  .2 ax  b  C a *Nguyên hàm của hàm số mũ e x dx  e x  C u du  eu  C  e e axb dx  1 eaxb  C a  x dx  e x  C u du  eu  C e e x ax u au mxn dx  1 a mxn  a dx  ln a  C, 0  a  1  a du  ln a C a . m ln a  C, m  0 *Nguyên hàm của hàm số lượng giác  cos x.dx  sin x  C  cos u.du  sin u  C 1  cos(ax  b)dx  a sin(ax  b)  C  sin x.dx   cos x  C  sin u.du   cos u  C 1  sin(ax  b)dx   a cos(ax  b)  C 1 1 1 1  cos2 x dx  tan x  C  cos2 u du  tan u  C  cos2 (ax  b) dx  a tan(ax  b)  C 1 1 1 1  sin 2 x dx   cot x  C  sin 2 u du   cot u  C  2 dx   cot(ax  b)  C sin (ax  b) a 1.1.1.. Định nghĩa tích phân. Cho hàm số f(x) liên tục trên  a, b  , với a  b . Nếu F ( x) là nguyên hàm của hàm số f(x) trên  a, b  thì giá trị F (b)  F (a) được gọi là tích phân từ a đến b của hàm số f(x) trên  a, b  3
b b Ký hiệu:  f ( x)dx  F ( x) a  F (b)  F (a) a (1). Công thức (1) được gọi là công thức Newton-Leibnitz, a là cận dưới, b là cận trên của tích phân. 1.1.2.Ý nghĩa hình học của tích phân. Giả sử hàm số y  f ( x) là hàm số liên tục và không âm trên  a, b  . Khi đó tích b phân  f ( x)dx a chính là diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường cong y  f ( x) , trục hoành Ox và hai đường thẳng x  a, x  b, Với a  b . b S   f ( x)dx . a 1.1.3. Tính chất cơ bản của tích phân. Cho hàm số f(x) và g(x) là 2 hàm số liên tục trên khoảng K, trong đó K có thể là khoảng, nửa khoảng hoặc đoạn và a,b,c  K. Khi đó: b a) Nếu b = a thì  f ( x)dx  0 a b) Nếu hàm số f(x) có đạo hàm liên tục trên  a, b  thì ta có: b b  a f ( x)dx  f ( x) a  f (b)  f (a) c) Tính chất tuyến tính: b b b   k. f ( x)  h.g ( x)dx  k  f ( x)dx  h  g ( x)dx , với mọi a a a k, h  R . b c b d) Tính chất trung cận  f ( x)dx   f ( x)dx   f ( x)dx , với c   a; b  a a c b a e) Đảo cận  f ( x)dx   f ( x)dx a b b b f) Nếu f ( x)  0, x   a; b  thì  f ( x)dx  0 và  f ( x)dx  0 khi f ( x)  0 . a a b b g) Nếu f ( x)  g ( x), x   a; b  thì  f ( x)dx   g ( x)dx . a a 4
b h) Nếu m  min f ( x) và M  max f ( x) thì m(b  a)   f ( x)dx  M (b  a) a ;b    a ;b  a i) Tích phân không phụ thuộc vào biến, tức là ta luôn có: b b b  f ( x)dx   f (t )dt  f (u)du  ... a a a 1.2. Cơ sở thực tiễn 1.2.1. Thuận lợi: - Bản thân được nhà trường giao nhiệm vụ ôn thi tốt nghiệp THPT nhiều năm. - Luôn nhiệt tình học hỏi từ tài liệu, từ đồng nghiệp và được học sinh tin tưởng. 1.2.2. Khó khăn: - Các bài toán tính tích phân hàm ẩn là những bài toán khó vừa là những bài toán ở mức độ từ vận dụng cho đến vận dụng cao. - Học sinh chưa quen với dạng toán này vì chỉ có trong đề thi mà không có trong bài tập sách giáo khoa. - Đa số học sinh theo phương pháp biến đổi trực tiếp rồi dùng phương pháp biến đổi phương trình hàm thời gian các em dành để tìm ra đáp số của bài toán mất nhiều thời gian. - Một số bài toán phức tạp các em sẽ gặp khó khăn trong việc định hướng tìm lời giải. 2. Thực trạng của đề tài 2.1. Nguyên nhân - Các bài toán tích phân hàm ẩn xuất hiện nhiều trong các đề thi tốt nghiệp THPT. - Học sinh không định hướng được phương pháp giải. - Điểm thi tốt nghiệp chưa đạt kết quả như mong muốn. 2.2. Nhu cầu Từ những nguyên nhân trên tôi nhận thấy cần xây dựng cho học sinh phương pháp tính tích phân hàm ẩn qua một lớp bài toán đưa về hàm tường minh. 2.3. Thái độ Học sinh tích cực, hứng thú trong học tập. 2.4. Kết quả khảo sát Khảo sát tình hình trước khi thực hiện đề tài giáo viên cho học sinh làm đề kiểm tra tại các lớp tôi dạy tại trường THPT Quỳnh Lưu 4 như sau: 5
Đề số 1. (Trước khi thực hiện đề tài) Bài 1. (VD) Cho hàm số y  f ( x) có đạo hàm, liên tục trên và a dx f ( x)  0x   0; a  . Biết f ( x) f (a  x)  1. Tính tích phân I   0 1  f ( x) a a a A. B. 2a C. D. 2 3 4  1 2 3 Bài 2. (VD) Cho  0 f (2 x  1)dx  12 và  0 f (sin 2 x) sin 2 xdx  3 . Tính  f ( x)dx 0 A. 26 B. 22 C. 15 D. 27. Bài 3. (VDC)Cho hàm số f  x  liên tục trên đoạn  0;1 thỏa mãn điều kiện 1 f  x   2 f 1  x   3 x  6 x, x  0;1 . Tính I   f 1  x  dx 2 2 0 2 4 2 A. I   B. I  1 C. I  D. I  15 15 15 “Chọn đáp án đúng và trình bày cách thức làm để có thể chọn được đáp án đó” (thời gian làm bài 45 phút) Kết quả thu đươc sau khi làm đề kiểm tra: * Năm học 2021 - 2022 tôi đã tiến hành thực nghiệm đề tài này cho các học sinh có lực học từ trung bình, khá, giỏi của các lớp cơ bản tại các lớp tôi dạy của trường THPT Quỳnh Lưu 4. Tôi đã thu được các kết quả sau: Bảng 2.Kết quả bài kiểm tra số 1 (Trước khi dạy chuyên đề) Số lượng học Số học sinh Số học sinh Số học sinh Đơn vị lớp sinh được không làm không đủ thời làm được khảo sát được gian làm 12A5 20 11 3 6 12A7 20 14 1 5 12A10 20 12 2 6 3. Các giải pháp: 3.1. Lựa chọn hàm đại diện là hàm hằng - Giải pháp 1: Các hàm số có biến x thay đổi nhưng hàm số không thay đổi ta chọn hàm đại diện là hàm hằng và đặt f(x) = a ( trong đó a là hằng số ). Bài toán 1. Cho hàm số f ( x) có đạo hàm liên tục và dương trên , f (0). f (2018  x)  1 . 2018 dx Tính I   0 1  f ( x) A. I = 2018 B. I = 1009 C. I = 0 D. I = 4016. 6
Bài giải Chọn f(x) = k > 0 ( k là hằng số) Ta có f (0). f (2018  x)  1  k 2  1  k  1 2018 2018 dx dx x 2018 I  0 1  f ( x)   0  2 20  1009 Chọn B. Bài toán 2. Cho hàm số f ( x) có đạo hàm liên tục và dương trên  0;e , thỏa mãn và e 1 be f  x  . f  e  x   1; x   0; e  . Tích phân  1 f  xdx  trong đó b, c là hai số 0 c b nguyên dương và là phân số tối giản. Khi đó b  c có giá trị là c A.3. B.4. C.5. D.6. Bài giải Phân tích: Giả thiết cho một điều kiện f  x  . f  e  x   1; x  0; e và hàm số f  x  không thay đổi khi x thay đổi nên chọn hàm đại diện là hàm hằng. Vì vậy, dự kiến chọn hàm đại diện f  x   k (là hàm hằng) Ta có f  x  . f  e  x   1; x  0; e  k 2  1  k  1 . Vậy ta chọn hàm đại diện f  x   1 e 1 e eb e b 1 b  dx      , do b, c là hai số nguyên dương và 0 1 f  x 2 c 2 c 2 c là phân số tối giản  c  2, b  1  b  c  3 . Chọn A. Bài toán 3. 1 Cho hàm số f(x) chẵn và liên tục trên [-1;1] và  f  x  dx  2 1 Kết quả 1 f ( x) I  1 e 1 x dx  ? A. I = 1. B. I = 3. C. I = 2. D. I = 4. (BỘ ĐỀ ÔN THI TỐT NGHIỆP THPT) 7
Bài giải Vì f(x) là hàm số chẵn và liên tục trên [-1; 1] nên ta chọn hàm đại diện là hàm 1 1 số hằng f(x) = a. Khi đó  f  x  dx   adx  2a  2  a  1 1 1 ex 1  ex 1 1 1 1 f ( x) 1 ex I dx   dx   dx   (1  )dx  1 1  ex 1 1  ex 1 1  ex 1 1  ex 1 = ( x  ln |1  e x |)  1. 1 Chọn A.  1 Bài toán 4. Cho  1  x 2  f  x  dx  10 . Tính I   cos3 xf  sin x  dx . 2 0 0 A.I  5 B.I  10 C .I  10 D.I  5 Bài giải. 1 Phân tích: Giả thiết cho một điều kiện  1  x 2  f  x  dx  10 và hàm số f  x  0 chưa đánh giá được có sự thay đổi khi x thay đổi hay không nên chọn hàm đại diện là f  x   ax hoặc f  x   a có một tham số. Vì vậy, thử chọn f  x   a . 1 1  1  x  f  x  dx  10   1  x  adx  10  3 a  10  a  2 2 2 30 Ta có . 0 0 2 30 Suy ra f  x   . 2   2 2 30 Ta có: I   cos xf  sin x  dx   3 cos3 xdx  10. 0 0 2 Chọn C. Bài tập. Bài 1. Cho hàm số y  f ( x ) có đạo hàm, liên tục trên và f ( x)  0x  0; a  . Biết a dx f ( x) f (a  x)  1. Tính tích phân I   0 1  f ( x) a a a A. B. 2a C. D. . 2 3 4 Bài 2. Cho hàm số y  f ( x ) có đạo hàm, liên tục trên và f ( x)  0x  0;5 . Biết 8
5 dx f ( x) f (5  x)  1. Tính tích phân I   0 1  f ( x) 5 5 5 A. B. C. D. 10 . 4 3 2 Bài 3. Cho hàm số y  f ( x ) liên tục trên  0; a  thỏa mãn :  f ( x). f (a  x)  1  a dx ba   f ( x)  0x   0; a  và  1  f ( x)  c  0 b Trong đó a, c là hai số nguyên dương, là phân số tối giản. Khi đó b + c có giá trị c thuộc khoảng nào dưới đây ? A. (11 ; 12) B. (0 ; 9) C. (7 ; 21) D. (2017 ; 2020). Bài 4. Cho hàm số y  f ( x) có đạo hàm, liên tục trên và f ( x)  0, x  0;3 . 3 dx Biết f ( x) f (3  x)  4. Tính tích phân I   0 2  f ( x) 1 3 5 A. B. C. D. 3 . 3 5 2 4 1 f (2 x) Bài 5. Cho hàm số f(x) chẵn và liên tục trên và  1 5 1 x dx  8 2 Giá trị của  f ( x)dx 0 bằng: A.8. B.2. C.1. D.16. 3.2. Lựa chọn hàm đại diện là hàm bậc nhất một tham số Giải pháp 2: Nếu bài toán chỉ cho một giả thiết và hàm số thay đổi khi biến x thay đổi thì ta chọn hàm đại diện là hàm bậc nhất có một tham số f(x) = ax Bài toán 1. 9 Cho hàm số f(x) liên tục trên , và thỏa mãn  f  x dx  9 0 4 Tính tích phân  f (3x  3)dx = ?. 1 A. 27 B. 3 C. 0 D. 24 (BỘ ĐỀ ÔN THI TỐT NGHIỆP THPT) Bài giải PP chọn hàm đại diện. 9 Vì hàm số cho một điều kiện là  f  x  dx = 9 và 0 hàm số thay đổi khi x thay đổi nên ta chọn hàm đại diện là hàm bậc nhất có một tham số, vậy chọn f(x) = ax. 9
9 9 81a 2 2 Khi đó  f  x dx =  axdx = = 9  a = . Do đó f(x) = x. 0 0 2 9 9 4 4 4 2 2 2 Vậy  1 f (3x  3)dx   (3x  3)dx   ( x  )dx  3 . 1 9 1 3 3 Chọn B 1 Bài toán 2. Cho hàm số f(x) liên tục trên , và thỏa mãn  f  x  dx 0 = 10. 2 x Tính tích phân  f ( 2 )dx  ? 0 5 A. B.20 C.10 D.5 2 Bài giải Phân tích: Tương tự như ví dụ 1 ta chọn hàm đại diện là: 1 a f(x) = ax, khi đó  axdx = 0 2 = 10  a = 20. 2 x Vậy  20 dx  20 . 0 2 Chọn B. Nhận xét qua bài này ta thấy rất đơn giản và nhẹ nhàng đối với học sinh 5 Bài toán 3. Cho hàm số f(x) liên tục trên , và thỏa mãn  f  x  dx  4 . Tính tích 1 2 phân  f  2 x  1 dx  ? 1 5 3 A. 2 B. C. 4 D. . 2 2 Bài giải 5 1 Đặt f(x) = ax Khi đó  axdx  12a  4  a = . 1 3 2 2 1   f  2 x  1 dx   3  2 x  1 dx  2 . 1 1 Vậy chọn A. 1 Bài toán 4 Cho hàm số f  x  liên tục trên và thỏa mãn  f  x  dx  9 . Tính tích 5 2 phân   f 1  3x   9 dx .   0 A.15. B.27. C.75. D.21. [CHUYÊN BIÊN HÒA - 2020] 10
Bài giải 1 Phân tích: Giả thiết cho một điều kiện  f  x  dx  9 và hàm số f  x  thay đổi 5 khi x thay đổi nên chọn hàm đại diện là hàm bậc nhất có một tham số. Vì vậy, dự kiến chọn hàm dạng f  x   ax . 1 1 3 f  x  dx   axdx  12a  9  a   . Do đó f  x    x . 3 Khi đó  5 5 4 4 Vậy   f 1  3x   9  dx    3 1  3 x   9  dx    9 x  33  dx  21 . 2 2 2       0 0  4  0 4 4 Chọn D. 11 2 Bài toán 5. Biết  f ( x)dx  18 . Tính tích phân I =  x[2  f (3x  1)]dx  ? 2 1 0 A. I = 5. B. I = 7. C. I = 8. D. I = 10. Bài giải. 11 11 3 Đặt f(x) = ax, khi đó  1 f ( x)dx   axdx  60a  18  a  1 10 . 2 2 2 3 17 9 Vậy I =  x[2  f (3x 2  1)]dx   x[2  (3x 2  1)]dx   ( x  x3 )dx  7 . 0 0 10 0 10 10 Chọn B. 3 Bài toán 6. Cho hàm số f(x) liên tục trên [1;+  ) và  f ( x  1)dx  8 . Tính tích phân: 0 2 I =  xf ( x)dx  ? 1 A. I = 16. B. I = 2. C. I = 8. D. I = 4. Bài giải 3 3 1 14a 12 Đặt f(x) = ax, khi đó  a( x  1)dx  a  ( x  1) 2 dx  8 a  . 0 0 3 7 2 2 12 2 Vậy I =  xf ( x)dx  7 x dx  4 1 1 Chọn D.   2 2 Bài toán 7. Cho I =  cos xf (s inx)dx  8. Tính tích phân K =  sin xf (cos x)dx  ? . 0 0 A. K = - 8. B. K = 4. C. K = 8. D. K = 16 Bài giải   2  a2 a a Đặt f(x) = ax, Khi đó I = a  cos x s inxdx   sin 2 xdx   cos2x 2  8  a  16 20 4 2 0 0    2 2 2 Vậy K =  sin xf (cos x)dx  16  s inx.cos x.dx  8 sin 2 x.dx  8 . 0 0 0 Chọn C. 11
1 Bài toán 8. Cho hàm số f(x) liên tục trên , và thỏa mãn  f  x  dx  1 . Tính tích 0  4 phân  (tan 2 x  1) f (tanx)dx=? 0   A. 1. B. -1. C. . D. - . 4 4 Bài giải. 1 1 a Đặt f(x) = ax, Khi đó  f  x  dx   axdx  1 a  2 0 0 2   4 4 Vậy  (tan x  1) f (tanx)dx=2  (tan 2 x  1)tanxdx  1. 2 0 0 Chọn A.    ?.  2 2 s inx. f 3cos x  1 Bài toán 9. Cho  f  x  dx  2. Tính giá trị của biểu thức J =  1 0 3cos x  1 4 4 A. 2. B.  . C. . D. -2. 3 3 (THPT YÊN KHÁNH –Ninh bình lần 4 năm 2018-2019) Bài giải 2 2 3a 4 Đặt f(x) = ax . Khi đó  f  x  dx   axdx  1 1 2 2a  . 3        3cos x  1  2 s inx. f 4 s inx. 3cos x  1 2 42 4 4 Vậy J =  3cos x  1   30 3cos x  1   sin xdx   cos x 2  30 3 3 0 0 Chọn C. 9 3 Bài toán 10. Cho  f  x  dx  3021. Tính tích phân :I =   f (3x)  f (9  3x) dx  ? 0 0 A.I = 0. B. I = 4046. C. I = 2014. D. I = 1009 Bài giải 9 9 81a 6042 Đặt f(x) = ax . Khi đó  f  x  dx   axdx   3021  a  . 0 0 2 81 Tính tích phân :  6042  3 3 3 6042 6042 I =   f (3x)  f (9  3x) dx    9  3x  (9  3x) dx  dx  2014 0  0 81 81 0 Chọn C. Bài toán 11. Cho hàm số f(x) có đạo hàm liên tục trên , f (0)  0, f (0)  0 và thỏa mãn hệ thức f ( x). f ( x)  18 x 2  (3x 2  x) f ( x)  (6 x  1) f ( x); x  . 1 Biết  ( x  1)e f ( x ) dx  ae2  b, (a, b  ). Giá trị của a – b bằng 0 12
2 A.1. B. 2. C. 0. D. . 3 [ ĐỀ THAM KHẢO 2023] Bài giải Vì f (0)  0, f (0)  0 và quan sát hệ thức đã cho ta chọn hàm đại diện là f ( x)  ax  f ( x)  a  a  0 f ( x). f ( x)  18 x 2  (3 x 2  x) f ( x)  (6 x  1) f ( x); x  .  a 2 x  18 x 2  3ax 2  ax  6ax 2  ax  9ax 2  (a 2  2a ) x  18 x 2 a2 1 1 Ta có f ( x)  2 x   ( x  1)e f ( x) dx   ( x  1)e2 x dx. 0 0 u  x  1  du  dx Đặt 1 dv  e 2 x dx  v  e 2 x 2 1 1 1 2x 1 1 2x 3 2 1  ( x  1)e dx  2 ( x  1)e 0  2  e dx  4 e  4 2x 0 0 3 1 Vậy a  , b    a  b  1 . 4 4 Chọn A. Bài tập. 2 5  f (x  1) xdx  2 . Tính tích phân I   f ( x)dx  ? 2 Bài 1. Cho 1 2 A. 2 B. 1 C. -1 D. 4. 5 2 Bài 2. Cho  1 f ( x)dx  4. Tính I  1  f (2 x  1)dx  ? 5 3 A. 2 B. C. 4 D. . 2 2 5 Bài 3. Giả sử hàm số y  f ( x) liên tục trên và  f ( x)dx  a 3 2  a  R  . Tính tích phân I   f (2 x  1)dx có giá trị là: 1 1 1 A. I  a  1 B. I  2a  1 C. I  2a D. I  a 2 2 1 Bài 4. Cho hàm số y  f ( x) liên tục trên và  f (2 x)dx  8 0 13
2 Tính tích phân I   xf ( x 2 )dx 0 A. 4 B. 16 C. 8 D. 32. 2 4 f ( x) Bài 5. Cho  1 f ( x)dx  2 Tính  1 x dx  ? 1 A. 1 B. 2 C. 4 D. . 2 1 Bài 6. Cho hàm số f(x) có đạo hàm liên tục trên . Biết  xf (5 x)dx  1. Khi đó 0 5 Giá trị  x 2 f ( x)dx bằng: 0 123 A.-25 B. 15 C. 25 D. . 5 3.3. Lựa chọn hàm đại diện là hàm bậc nhất có hai tham số Giải pháp 3: Nếu bài toán cho hai giả thiết và hàm số thay đổi khi biến x thay đổi thì ta chọn hàm đại diên là hàm bậc nhất có hai tham số thường ta chọn f(x) = ax + b 16 f ( x) Bài toán 1. Cho hàm số f(x) liên tục trên , và thỏa mãn  1 x dx  6  2 4 Và  f (s inx)cosxdx  3 .Tính tích phân I =  f  x  dx  ? 0 0 A.I = -2. B. I = 6. C. I = 9. D. I = 2. Bài giải 16 f ( x) Phân tích vì giả thiết bài toán cho hai điều kiện  1 x dx  6  2 Và  f (s inx)cosxdx  3 0 . Nên ta chọn hàm đại diện là hàm bậc nhất có hai a x b 16 16 16 f ( x) b tham số: chọn f(x) = ax + b. Khi đó  1 x dx   1 x dx   (a  1 x )dx  15a  6b     2 2 2 2 a a  0 f (s inx)cosxdx   ( a.sin x  b).cosxdx  0 20 sin 2 xdx   b cos xdx   b 0 2 15a  6b  6 a  1   Suy ra ta có hệ phương trình  a  7 2 b  3  b  2  4 4 7 7 Vậy f(x) = - x +   f ( x)dx   ( x  )dx  6 2 0 0 2 Chọn B. 14
 4 Bài toán 2. Cho hàm số f(x) liên tục trên , và thỏa mãn  tanxf (cos x)dx  2 2 0 e2 2 4 f (ln x) f (2 x) và  x ln x dx  2 Tính  1 x dx  ? e 4 A. 0. C.4. B. 1.D.8. (HOÀNG HOA THÁM HƯNG YÊN). Bài giải Chọn hàm đại diện là f(x) = ax + b. Khi đó :     4 4 4 4  tanxf (cos x)dx   tanx(acos x  b)dx  a  ta nxcos xdx  b  tanxdx 2 2 2 0 0 0 0   (1) 4 4 a s inx a b  20 sin 2xdx  b  cosx dx  4  2 ln 2 0 e2 e2 e2 f (ln 2 x) a ln 2 x  b a ln x b  x ln x dx   x ln x dx   ( x  x ln x )dx  e e e (2) a ln 2 x 2 3a   b ln | ln x |   b ln 2 e 2 e e e 2 2 Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình : a  2  a  2b ln 2  8    5 3a  2b ln 2  4 b  ln 2  5 Vậy f(x) = - 2x + ln 2 5 4 4 (2.2 x  ) 4 4 f (2 x) 5 5  1 x dx   1 x  ln 2 dx  (4  1 x ln 2 )dx  (4 x  ln 2 ln x) 1  8 4 4 4 4 Chọn D.  3 Bài toán 3. Cho hàm số f(x) liên tục trên , và thỏa mãn  tanxf (cos x)dx  2 0 8 f (3 x) 2 f ( x2 )  1 x dx  6 .Tính  1 x dx  ? 2 A. 4. B.6. C. 7. D. 10. (CHUYÊN KHOA HỌC TỰ NHIÊN). Bài giải Chọn hàm đại diện là f(x) = ax + b.Khi đó: 15
    3 3 3 3  tanxf (cos x)dx   tanx(acos x  b)dx  a  tanxcos xdx  b  tanxdx  2 2 2 0 0 0 0     a3 3 s inx a 3a   sin 2 xdx  b  dx   cos2x 3  b ln | cosx | 3   b ln 2 20 cosx 4 8 0 0 0 a3 x b 8 8 f (3 x)  1 x dx   1 x dx  3a  3b ln 2  32 a 3a  8b ln 2  48   5   Từ đó ta có hệ phương trình : 3a  3b ln 2  6 b  42   5ln 2 32 2 42 x  32 2 2 2 2 f (x ) 42 1   ( dx  5 5 ln 2 dx  x )dx  1 x 1 x 1 5 5 ln 2 x 2 2 2 2 32 2 42 ( x  ln x) 1  7 10 5 ln 2 2 Chọn C. 1 Bài toán 4. Cho hàm số f(x) thỏa mãn  ( x  1) f '( x)dx  10 và 2f(1) – f(0) = 2. Tính 0 1 tích phân I =  f  x  dx  ? . 0 A. I = 8. B. I = - 8. C. I = 4. D. I = - 4. Bài giải Chọn hàm đại diện là f(x) = ax + b.khi đó 2f(1) – f(0) = 2a + b = 2. (1) 1 1 3a 20 34  ( x  1) f '( x)dx   ( x  1)adx  0 0 2  10  a  3 , thay vào (1) ta có b = - . 3 1 1 20 34 20 34 Vậy f(x) = x I=  f  x  dx   ( x  )dx  8 . 3 3 0 0 3 3 Chọn B. Bài toán 5. Cho hàm số y = f(x) liên tục trên [ 0; 1], thỏa mãn: 1 1 1 1  f ( x)dx   xf ( x)dx  1,   f ( x) dx  4. Tính giá trị của tích phân   f ( x)  dx  ? 2 3 0 0 0 0 A. 1 B. 8 C. 10 D. 80 Bài giải Chọn hàm f(x) = ax + b. Khi đó: 1 1 ax 2 1 a  0 f ( x)dx   (ax  b)dx  ( 0 2  bx)   b  1 0 2 (1)  a  2b  2 16
1 1 ax3 x2 1 a b  xf ( x)dx   (ax  bx)dx  ( b )   1 2 0 0 3 2 0 3 2 (2)  2a  3b  6 1 1 a2   f ( x) dx   (ax  b) dx  2 2  b 2  ab  4 0 0 3 (3)  a 2  3b 2  3ab  12 Từ (1),(2),(3) ta có hệ phương trình: a  2b  1  a  6 2a  3b  6  . a 2  3b 2  3ab  12 b  2  1 1 1 1 Vậy f(x) = 6x – 2, suy ra   f ( x) dx   (6 x  2)3 dx  (6 x  2) 4  10 . 3 0 0 24 0 Chọn C. 1 2 3 Bài toán 6. Biết  f  x dx  1 và  f  2 x  1dx  3. Tính  f  x dx. 0 1 0 A.5 B.2 C.7 D.-4 [CHUYÊN THÁI BÌNH – 2020] Bài giải 1 2 Giả thiết cho hai điều kiện  f  x dx  1 và 0  f  2 x  1dx  3 nên chọn hàm đại 1 diện là hàm bậc nhất có hai tham số. Vì vậy, dự kiến chọn hàm dạng f  x   ax  b . 1 1 a Khi đó  f  x dx    ax  b dx   b  1 0 0 2 2 2 2 và  f  2 x  1dx   a  2 x  1  b dx   2ax  a  bdx  2a  b  3 . 1  1  1  8 a   b  1  a  3 8 7 Suy ra hệ  2  . Do đó f  x   x  .  2a  b  3  b   7 3 3   3 Vậy  f  x dx    x  dx  5 . 3 3 8 7   0 0 3 3 Chọn A. Bài toán 7. Cho f  x  là hàm số có đạo hàm liên tục trên đoạn  0;1 và 1 1  f  x dx bằng 1 1 f 1   ,  xf   x dx  . Giá trị của 18 0 36 0 1 1 1 1 A.  B. C. D.  12 36 12 36 [CHUYÊN ĐẠI HỌC VINH – 2020] 17
Bài giải 1 1  xf   x dx  36 1 Giả thiết cho hai điều kiện f 1   , nên chọn hàm đại diện 18 0 là hàm bậc nhất có hai tham số. Vì vậy, dự kiến chọn hàm dạng f  x   ax  b . 1 1 21 x a 1 1 Khi đó f 1  a  b   và  xf   x dx   axdx  a 1   a . 18 0 0 2 2 36 18 0  1  1  a  b   18  a  18  1 1 Suy ra hệ   . Do đó f  x   x  . a  1 b   1 18 9   18   9 1 1 1 1 1 Vậy  f  x dx    18 x  9 dx   12 . 0 0   Chọn A. 1 thỏa mãn f 1  1 và 1 Bài toán 8. Cho f  x  là hàm liên tục trên  f  t  dt  3 0  2 Tính I   sin 2 x. f   sin x  dx . 0 4 2 1 2 A. I  . B. I  . C. I  . D. I   . 3 3 3 3 Bài giải 1 Giả thiết cho hai điều kiện f 1  1 và 1  f  t  dt  nên chọn hàm đại diện là 0 3 hàm bậc nhất có hai tham số. Vì vậy, dự kiến chọn hàm dạng f  x   ax  b . Khi đó: f 1  1  a  b  1 1 1 1 1 1 1 1 1 1  f  t  dt   f  x  dx    ax  b  dx  a  xdx   bdx  3  2 a  b  3  2 0 0 0 0 0  4 a  b  1 a  3   Từ 1 ,  2  ta có hệ  1 1 2 a  b  3  b   1   3 4 1 4 4 Ta được f  x   x  ; f '  x   , do đó f '  sin x   3 3 3 3   2 2 4 4 Vậy I   sin 2 x. f   sin x  dx   sin 2 x. dx  . 0 0 3 3 Chon A. Bài toán 9. Cho hàm số liên tục trên đoạn 0;  và thỏa điều kiện 1  3   18