Sáng kiến kinh nghiệm THPT: Tích hợp bài toán thực tiễn trong dạy học toán THPT nhằm góp phần phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh THPT

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:42

Thêm vào BST

Báo xấu

11
lượt xem 6
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Mục đích nghiên cứu sáng kiến "Tích hợp bài toán thực tiễn trong dạy học toán THPT nhằm góp phần phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh THPT" nhằm đề xuất việc tích hợp một số bài toán thực tế vào giảng dạy để học sinh hứng thú, chủ động nhằm góp phần phát triển tư duy sáng tạo trong mỗi học sinh và góp phần nhỏ đưa toán học vào thực tế.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Sáng kiến kinh nghiệm THPT: Tích hợp bài toán thực tiễn trong dạy học toán THPT nhằm góp phần phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh THPT

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO NGHỆ AN SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM Tên đề tài “TÍCH HỢP BÀI TOÁN THỰC TIỄN TRONG DẠY HỌC TOÁN THPT NHẰM GÓP PHẦN PHÁT TRIỂN TƯ DUY SÁNG TẠO CHO HỌC SINH THPT” Lĩnh vực: Toán học Năm học 2022 - 2023
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO NGHỆ AN TRƯỜNG THPT QUỲ HỢP 2 SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM Tên đề tài “TÍCH HỢP BÀI TOÁN THỰC TIỄN TRONG DẠY HỌC TOÁN THPT NHẰM GÓP PHẦN PHÁT TRIỂN TƯ DUY SÁNG TẠO CHO HỌC SINH THPT” Lĩnh vực: toán học Đồng tác giả: Võ thị Chín – Nguyễn Thị Bé Số ĐT: 0983756145 - 0968219588 Tổ: Toán - Tin Năm học 2022 - 2023
MỤC LỤC PHẦN I. MỞ ĐẦU ..................................................................................... 1 1. Lý do chọn đề tài: ................................................................................ 1 2. Mục đích nghiên cứu ........................................................................... 2 3. Nhiệm vụ và phạm vi nghiên cứu ....................................................... 2 4. Đối tượng nghiên cứu .......................................................................... 2 5. Phương pháp nghiên cứu ..................................................................... 2 6. Những đóng góp mới của đề tài .......................................................... 3 PHẦN II. NỘI DUNG ................................................................................ 3 A. CƠ SỞ LÍ LUẬN, CƠ SỞ THỰC TIỄN CỦA ĐỀ TÀI .................... 3 1. Cơ sở lí luận của đề tài:.................................................................... 3 2. Cơ sở thực tiễn ................................................................................. 5 3. Giải pháp sử dụng để giải quyết vấn đề ........................................... 5 4. Thực nghiệm sư phạm...................................................................... 5 5. Kết quả thực nghiệm sư phạm ......................................................... 5 B. GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ ..................................................................... 5 1. Các thành phần của bài toán có liên quan đến thực tiễn. ................. 5 2. Các bước giải bài toán có liên quan đến thực tiễn. .......................... 5 3. Một số bài tích hợp lồng nghép và ví dụ minh họa. ........................ 6 C. KẾT QUẢ VÀ BÀI HỌC KINH NGHIỆM:.................................... 26 1. Đối với giáo viên:.......................................................................... 26 2. Đối với trò:.................................................................................... 26 3. Kết quả: ......................................................................................... 26 PHẦN 3. KẾT LUẬN ............................................................................... 28 TÀI LIỆU THAM KHẢO ............................................................................................ 29 PHỤ LỤC…………………………………………………………………………… I.KHẢO SÁT TÍNH CẤP THIẾT VÀ KHẢ THI…………………………………. II.MỘT SỐ HÌNH ẢNH HOẠT ĐỘNG HỌC TẬP CỦA HỌC SINH……………
PHẦN I. MỞ ĐẦU 1. Lý do chọn đề tài: Điểm mới quan trọng nhất trong chương trình giáo dục phổ thông mới môn Toán học là đề cao tính thực tiễn, giảm sức nặng bài tập tính toán, chú trọng trang bị các khái niệm công cụ và phương pháp sử dụng công cụ, đặc biệt là giúp học sinh có kỹ năng vận dụng các tri thức toán học vào việc tìm hiểu và giải quyết ở mức độ nhất định một số vấn đề của thực tiễn, đáp ứng được yêu cầu của cuộc sồng. Trong nghị quyết Hội nghị Trung ương 8 khóa XI về đổi mới căn bản, toàn diện giáo dục và đào tạo đã nêu rõ “Phát triển giáo dục và đào tạo là nâng cao dân trí, đào tạo nhân lực, bồi dưỡng nhân tài. Chuyển mạnh quá trình giáo dục từ chủ yếu trang bị kiến thức sang phát triển toàn diện năng lực và phẩm chất người học. Học đi đôi với hành; lý luận gắn với thực tiễn; giáo dục nhà trường kết hợp với giáo dục gia đình và giáo dục xã hội”. Mục đích của giáo dục ở nhà trường không chỉ đào tạo ra những con người nắm vững kiến thức khoa học, mà còn giỏi thực hành, có bàn tay khéo léo thực hiện được những điều mà bộ óc suy nghĩ, biết áp dụng những kiến thức lý thuyết vào thực tế cuộc sống. Hiện nay, để chuẩn bị tốt cho chương trình giáo dục Phổ thông mới, dạy học phù hợp với mục tiêu của chương trình giáo dục Phổ thông 2018, việc đổi mới phương pháp dạy học theo hướng phát triển năng lực người học, phát huy tính cực chủ động, tự học của học sinh là một trong những vấn đề ưu tiên hàng đầu. Một nhiệm vụ cơ bản của dạy học ở nhà trường ngoài việc đảm bảo cho học sinh nắm vững được kiến thức, hiểu đúng bản chất của một vấn đề, thì cần phải bồi dưỡng cho các em năng lực sáng tạo, năng lực giải quyết vấn đề, để từ đó có thể sáng tạo ra những tri thức mới, phương pháp mới, cách giải quyết vấn đề mới, góp phần làm giàu thêm nền kiến thức của nhân loại. Vì vậy việc dạy học nói chung và dạy học Toán học nói riêng cần phải đổi mới mạnh mẽ về nội dung và phương pháp, nhất là đổi mới phương pháp dạy và học sao cho vai trò tự chủ của học sinh trong hoạt động xây dựng kiến thức ngày một nâng cao, để từ đó năng lực sáng tạo của họ được bộc lộ và ngày càng phát triển. Tiến tới mục tiêu “biến quá trình đào tạo thành tự đào tạo”. Trong chương trình Toán học PT, có những nội dung có tính ứng dụng cao vào thực tiễn như phần : hàm số mũ, mặt và khối tròn xoay, GTLN-GTNN của hàm số… . Để học sinh nắm rõ bản chất, hiểu đúng vấn đề và tích cực chủ động hơn trong lĩnh hội và áp dụng kiến thức vào thực tiễn. Từ đó học sinh sẽ có những suy nghĩ tích cực trong việc lĩnh hội kiến thức. Nhóm tác giả chúng tôi đã: khai thác tối đa các thiết bị dạy học, tăng cường ứng dụng công nghệ thông tin, kết hợp với các phương pháp dạy học hiện đại và khéo léo lồng ghép kiến thức vào trong thực tiễn, đưa lí thuyết gắn với thực tế cuộc sống, từ đó hình thành khả năng tiếp nhận và làm chủ kiến thức của học sinh. 1
Tuy nhiên hình thức tổ chức dạy học mới thường gặp không ít khó khăn do vấn đề thời gian, không gian, cách thức tổ chức, khả năng hợp tác, trình độ của học sinh, điều kiện cơ sở vật chất. Với những lí do cơ bản đó, chúng tôi đã quyết định chọn đề tài sáng kiến: “ Tích hợp bài toán thực tiễn trong dạy học toán THPT nhằm góp phần phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh THPT. ” Với mong muốn góp phần nâng cao chất lượng và hiệu quả quá trình dạy học toán học ở trường THPT. 2. Mục đích nghiên cứu Toán học là một trong những môn khoa học cơ bản mang tính trừu tượng, những mô hình ứng dụng của nó rất rộng rãi và gần gũi trong mọi lĩnh vực của đời sống xã hội, trong khoa học lý thuyết và khoa học ứng dụng. Tuy nhiên, nó là một môn học khó, khô khan và đòi hỏi ở mỗi học sinh phải có một sự nỗ lực rất lớn để chiếm lĩnh. Chính vì vậy, đối với mỗi giáo viên dạy toán cần tìm hiểu cấu trúc của chương trình, nội dung của sách giáo khoa, nắm vững phương pháp dạy học, để từ đó tìm ra những biện pháp dạy học hiệu quả. Trong những năm dạy học ở trường THPT Quỳ Hợp 2, chúng tôi thấy các em học sinh còn thiếu hứng thú, thụ động trong việc tiếp thu và áp dụng kiến thức toán học vì vậy nhóm tác giả chúng tôi đề xuất việc tích hợp một số bài toán thực tế vào giảng dạy để học sinh hứng thú, chủ động nhằm góp phần phát triển tư duy sáng tạo trong mỗi học sinh và góp phần nhỏ đưa toán học vào thực tế. 3. Nhiệm vụ và phạm vi nghiên cứu 3.1. Nghiên cứu cơ sở lý luận về các biện pháp nâng cao hiệu quả khi dạy: như sử dụng một số phần mềm hỗ trợ nâng cao hiệu quả giảng dạy, một số phương pháp và kỹ thuật dạy học hiện đại phù hợp với mục tiêu của chương trình giáo dục phổ thông 2018. 3.2. Để thực hiện đề tài này, chúng tôi thực hiện nghiên cứu tại đơn vị công tác là Trường THPT Quỳ Hợp 2 . 4. Đối tượng nghiên cứu - Chương trình toán THPT 11-12. 5. Phương pháp nghiên cứu 5.1. Nhóm phương pháp nghiên cứu lí thuyết Tiến hành thu thập tài liệu qua sách, báo, các văn bản liên quan đến đề tài. Trên cơ sở đó để phân tích, tổng hợp và rút ra những vấn đề cần thiết của đề tài. 5.2. Nhóm phương pháp nghiên cứu thực tiễn 2
Sử dụng các phương pháp như: Thực nghiệm sư phạm, điều tra, khảo sát, quan sát sản phẩm, tổng kết kinh nghiệm, trao đổi, lấy ý kiến góp ý của giáo viên, lấy ý kiến điều tra học sinh.… 6. Những đóng góp mới của đề tài Khai thác các mô hình bài tập mang ứng dụng thực tế trong từng nội dung bài học, cũng như khai thác một số phần mềm hỗ trợ và nâng cao hiệu quả khi dạy các dạng bài tập này. Sưu tầm, chọn lọc, phân dạng bài tập trắc nghiệm có thể áp dụng cho học sinh chương trình toán THPT. PHẦN II. NỘI DUNG A. CƠ SỞ LÍ LUẬN, CƠ SỞ THỰC TIỄN CỦA ĐỀ TÀI 1. Cơ sở lí luận của đề tài: 1.1. Bài toán thực tế: Trong chương trình phổ thông, có thể phân chia bài toán thành hai loại chính: Bài toán thuần túy toán học và bài toán có nội dung thực tiễn. Bài toán thuần túy toán học là bài toán chỉ có nội dung toán, nghĩa là nó chỉ chứa đựng các kiến thức toán học thuần túy mà không có bất kỳ yếu tố thực tiễn nào trong đó. Một trong những vai trò quan trọng của các bài toán thuần túy toán học là giúp học sinh thành thạo các kiến thức toán học được học, phát triển tư duy logic trong quá trình học Toán. Việc giải quyết tốt những bài toán này tạo tiền đề quan trọng cho việc ứng dụng toán học trong thực tiễn. Bài toán có nội dung thực tiễn là bài toán chứa các tình huống thực tiễn, các giả thiết hoặc dữ kiện của bài toán có liên quan đến thực tiễn cuộc sống. Bài toán có nội dung thực tiễn có hai loại chính, đó là: Bài toán giả định và bài toán có trong tình huống thực. Bài toán giả định là những bài toán có nội dung liên quan đến thực tiễn nhưng các dữ kiện không phản ánh đúng với thực tiễn cuộc sống, bởi nếu lấy nguyên nội dung của đời sống thực thì việc giải sẽ rất khó khăn thậm chí không giải quyết được. Chẳng hạn, tính chiều dài của bờ biển thì chúng ta phải giả định rằng bờ biển là đường thẳng, tính vận tốc của một ô tô chuyển động đều thì “chuyển động đều” được giả định, bởi trong thực tế thì chuyển động của ô tô khó có thể là chuyển động đều, … Tuy nhiên, các giả định đó nhằm giúp học sinh có thể vận dụng kiến thức toán để giải quyết và chúng chỉ không thực sự giống với thực tiễn nhưng vẫn đảm bảo tính chính xác của bài toán. Mặc dù vậy những bài toán này vẫn có ý nghĩa bởi trong thực tế có thể xem đó là những bài toán lý tưởng và cần thiết trong những tính toán về mặt lý thuyết, thiết kế ban đầu. Bài toán chứa tình huống thực là những bài toán mà dữ kiện giống với thực tế. Những bài toán này phản ánh rõ hơn ứng dụng thực tiễn của toán học, tuy nhiên 3
trên thực tế lượng bài toán này không nhiều. Vì vậy, trong giảng dạy, vấn đề sưu tầm và tích hợp vận dụng những bài toán có trong tình huống thực là điều rất cần thiết. Điều này làm phong phú các bài toán cho học sinh và đạt được mục tiêu, phương pháp dạy học sử dụng “thế giới thực” làm trung tâm. Về cấu trúc có thể xem bài toán có liên quan đến thực tiễn được cấu thành bởi: bài toán thuần túy và một số yếu tố liên quan đến thực tiễn như dữ liệu, ngôn ngữ tự nhiên… Việc giải bài tập có liên quan đến thực tiễn chính là việc tách các yếu tố liên quan đến thực tiễn để xác định thực chất của bài toán và việc tạo bài tập chứa tình huống liên quan đến thực tiễn chính là thêm các yếu tố thực tiễn, gắn cho các biến của bài toán thuần túy tương ứng với các đại lượng trong thực tiễn. 1.2.Phương pháp dạy học tích hợp: 1.2.1: Khái niệm dạy học tích hợp: Dạy học tích hợp là một quan niệm dạy học nhằm hình thành và phát triển ở học sinh những năng lực cần thiết, đặc biệt là năng lực vận dụng kiến thức vào giải quyết có hiệu quả những tình huống thực tiễn. Theo đó, giáo viên sẽ lồng ghép những nội dung giáo dục vào các môn học có sẵn, thông qua các hoạt động học tập do giáo viên tổ chức và hướng dẫn, học sinh không chỉ biết cách thu thập, chọn lọc và xử lý thông tin mà còn chủ động nên lên vấn đề, vận dụng các kiến thức và kỹ năng vào giải quyết các vấn đề liên quan đến học tập và thực tiễn cuộc sống. Dạy học tích hợp giúp cho việc học tập của học sinh trở nên ý nghĩa hơn, phát triển được những năng lực cần thiết như năng lực giải quyết vấn đề, đáp ứng yêu cầu đổi mới giáo dục hiện nay. Trong dạy học tích hợp bài toán thực tế , học sinh được vận dụng những kiến thức, kĩ năng đã học vào giải quyết những tình huống thực tiễn. Học sinh phải quan sát, thảo luận nhiệm vụ đặt ra theo suy nghĩ của cá nhân, tự lực tìm cách giải quyết để khám phá những điều mình chưa hiểu mà không phải thụ động tiếp thu những tri thức từ giáo viên cung cấp. Học sinh cần phải tiếp nhận tình huống học tập qua các phương tiện dạy học, phân tích tình huống để phát hiện mối quan hệ bản chất của sự vật, hiện tượng. 1.2.2. Phương pháp dạy học tích hợp Phương pháp giảng giải, thảo luận, đàm thoại, nhóm Phương pháp tham quan, khảo sát, điều tra, nghiên cứu thực địa 1.3. Một số kỹ thuật dạy học tích cực trong dạy học tích hợp 1.3.1. Kĩ thuật khăn trải bàn 1.3.2. Kĩ thuật sơ đồ tư duy 4
2. Cơ sở thực tiễn 2.1. Thực trạng khai thác và sử dụng thiết bị dạy học, ứng dụng CNTT ở trường THPT Quỳ hợp 2 2.2. Thuận lợi và khó khăn 2.3. Thực trạng sử dụng các phương pháp dạy học theo hướng phát triển năng lực học sinh ở trường THPT Quỳ Hợp 2 2.4. Phân tích và đánh giá thực trạng 3. Giải pháp sử dụng để giải quyết vấn đề 3.1. Một số kiến thức cơ bản học sinh cần nắm vững trong chương trình toán lớp 11-12 có tích hợp bài toán thực tế. 3.2. Yêu cầu cần đạt của chương trình toán học Phổ thông 2018 3.3. Ứng dụng CNTT, khai thác thiết bị dạy học khi dạy toán có tích hợp bài toán thực tế 3.4. Ứng dụng trang Padlet để giao nhiệm vụ cho học sinh 3.5. Phương pháp dạy học tích cực nhằm nâng cao hiệu quả khi dạy học có tích hợp bài toán thực tế. 3.6.. Bài tập trắc nghiệm 4. Thực nghiệm sư phạm. 5. Kết quả thực nghiệm sư phạm 5.1. Nhận xét định lượng 5.2. Nhận xét định tính B. GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ 1. Các thành phần của bài toán có liên quan đến thực tiễn. Về cấu trúc có thể xem bài toán có liên quan đến thực tiễn được cấu thành bởi: bài toán thuần túy và một số yếu tố liên quan đến thực tiễn như dữ liệu, ngôn ngữ tự nhiên… Việc giải bài tập có liên quan đến thực tiễn chính là việc tách các yếu tố liên quan đến thực tiễn để xác định thực chất của bài toán và việc tạo bài tập chứa tình huống liên quan đến thực tiễn chính là thêm các yếu tố thực tiễn, gắn cho các biến của bài toán thuần túy tương ứng với các đại lượng trong thực tiễn. 2. Các bước giải bài toán có liên quan đến thực tiễn. Quá trình giải quyết bài toán về cơ bản là một quá trình mô hình hóa toán học, được thể hiện theo sơ đồ sau: 5
Thế giới thực Thế giới toán học (5) Lời giải thực tế Lời giải toán học (5) (3), (4) Tình huống thực tế (1), (2) Bài toán chuyển tình huống thực tế Quá trình trên có thể tóm lược 5 bước chính để giải quyết bài toán có liên quan đến thực tiễn đó là: Bước 1: Hiểu được vấn đề, thu nhận được thông tin từ tình huống thực tế. Bước 2: Chuyển đổi thông tin từ tình huống thực tế về mô hình toán học. Bước 3: Tìm kiếm chiến lược giải quyết mô hình toán học. Bước 4: Thực hiện các phương pháp toán học hợp lý để tìm ra kết quả. Bước 5: Chuyển kết quả giải quyết mô hình toán học sang lời giải của bài toán có nội dung thực tiễn. 3. Một số bài tích hợp lồng nghép và ví dụ minh họa. 3.1: Tích hợp lồng nghép trong bài GTLN-GTNN của hàm số. Ví dụ 1: Khi nuôi tôm trong một hồ tự nhiên, một nhà khoa học đã thống kê được rằng: nếu trên mỗi mét vuông mặt hồ thả x con tôm giống thì cuối vụ mỗi con tôm có cân nặng trung bình là 108  x 2 (gam). Hỏi nên thả bao nhiêu con tôm giống trên mỗi mét vuông mặt hồ tự nhiên đó để cuối vụ thu hoạch được nhiều tôm nhất. A. 6. B. 7. C. 8. D. 9. 6
Giải: Sau một vụ lượng tôm trung bình trên mỗi m 2 mặt hồ nặng x 108  x2   108x  x3 ( gam) Xét hàm số f ( x)  108 x  x3 trên khoảng (0; ) ta có x  6 f '( x)  108  3 x 2 ; f '( x)  0  108  3 x 2  0    x  6  0 Trên khoảng (0; ) hàm số f ( x)  108 x  x3 đạt GTLN tại x  6 . Vậy nên thả 6 con tôm giống trên mỗi mét vuông mặt hồ thì cuối vụ thu hoạch được nhiều tôm nhất. Ví dụ 2: Một học sinh muốn có tiền trang trải việc học đã làm hoa bằng len và bán online biết giá nguyên liệu mỗi chiếc là 20.000đ và bán ra 30.000đ, với giá bán này thì số lượng bán mỗi tháng là 60 chiếc. bạn học sinh cần đẩy mạnh việc bán hàng đã đưa ra chiến lược kinh doanh giảm giá và theo tính toán nếu giảm 5.000đ mỗi bông hoa thì số lượng bán ra trong một tháng tăng thêm 20 chiếc. Hỏi bạn học sinh định giá mỗi bông hoa bao nhiêu thì doanh thu đạt lớn nhất Giải: Gọi x (nghìn đồng) là số tiền cần giảm ( 0  x  10 ) Số bông hoa bán được trong một tháng sau khi giảm giá: 20x+60 (bông) Số lợi nhuận thu được sau một tháng giảm giá: (20x+60)(10-x) Xét hàm số: y= -20x2 +140x+600 với ( 0  x  10 ) đạt giá trị lớn nhất là 845.000 đạt tại x=3.5nghìn(3.500đ) Ví dụ 3: Đường dây điện 110KV kéo từ trạm phát (điểm A) trong đất liền ra Côn Đảo (điểm C). biết khoảng cách ngắn nhất từ C đến B là 60km, khoảng cách từ A đến B là 100km, mỗi km dây điện dưới nước chi phí là 5000 USD, chi phí cho mỗi km dây điện trên bờ là 3000 USD. Hỏi điểm G cách A bao nhiêu để mắc dây điện từ A đến G rồi từ G đến C chi phí ít nhất. 7
A. 40km B. 45km C. 55km D. 60km Giải: Gọi BG = x (0
Để ít tốn vật liệu nhất thì diện tích toàn phần phải nhỏ nhất 𝟏 𝟐 𝟐 𝟑 𝟐 𝟐 𝒔 𝒕𝒑 = 𝒔 𝒙𝒒 + 𝒔 𝟐đá𝒚 = 𝟒𝒙𝒉 + 𝟐𝒙 𝟐 = 𝟒𝒙. + 𝟐𝒙 𝟐 = + + 𝟐𝒙 𝟐 ≥ 𝟑√ . . 𝟐𝒙 𝟐 = 6 𝒙𝟐 𝒙 𝒙 𝒙 𝒙 Vậy Min Stp = 6 xẩy ra khi: 𝟐 = 𝟐𝒙 𝟐 ⟺ 𝒙 𝟑 = 𝟏 ⟹ 𝒙 = 𝟏 ⟹ 𝒉 = 𝟏 𝒙 Nếu ta làm theo dạng hình hộp thì nhà thiết kế cần làm hình lập phương có cạnh là 1dm Phương án 2: Làm theo dạng hình trụ : bán kính x, chiều cao h Hộp sữa hình trụ Tương tự như trên : cần làm hộp sao cho diện tích toàn phần của nó là nhỏ nhất. 𝟏 𝑽 = 𝝅𝒙 𝟐 𝒉 = 𝟏 ⟹ 𝒉 = 𝝅𝒙 𝟐 𝟏 𝟐 𝒔 𝒕𝒑 = 𝒔 𝒙𝒒 + 𝒔 𝟐đá𝒚 = 𝟐𝝅𝒙𝒉 + 𝟐𝝅𝒙 𝟐 = 𝟐𝝅𝒙. + 𝟐𝝅𝒙 𝟐 = + 𝟐𝝅𝒙 𝟐 𝝅𝒙 𝟐 𝒙 𝟏 𝟏 𝟑 𝟏 𝟏 𝟑 = + + 𝟐𝝅𝒙 𝟐 ≥ 𝟑. √ . . 𝟐𝝅𝒙 𝟐 = 𝟑. √𝟐𝝅 = 𝟓, 𝟓𝟒 𝒙 𝒙 𝒙 𝒙 Min Stp = 5,54 . Đẳng thức xẩy ra khi: 𝟏 𝟏 = 𝟐𝝅𝒙 𝟐 ⟺ 𝒙 𝟑 = ⟹ 𝒙 = 𝟎, 𝟓𝟒𝒅𝒎 ⟹ 𝒉 = 𝟏, 𝟎𝟖𝟒 𝒙 𝟐𝝅 Nhận thấy h = 2x .Nếu làm bao bì dạng hình trụ thì nguời thiết kế phải làm hộp sao cho đường cao bằng đường kính đáy. 9
Theo tính toán ở trên cả hai hộp đều có thể tích là 1dm3 nhưng diện tích toàn phần của hộp lập phương lớn hơn hộp hình trụ do vậy chi phí vật liệu để làm hộp dạng lập hình lập phương là tốn kém hơn. Vì thế để nhà máy chọn bản thiết kế của mình thì người thiết kế nên chọn dạng hình trụ để làm hộp. Tuy nhiên trên thị trường hiện nay vẫn có dạng hộp sửa hình hộp chũ nhât, hình lập phương… là do những tính năng ưu việt khác của các dạng hộp đó. Ví dụ 5: Trong một xưởng cơ khí, sau đợt tham gia học tập, người chủ tổ chức thi để đánh giá trình độ tay nghề của các học viên. Sau khi kiểm tra xong các nội dung cơ bản, người chủ giao cho mỗi người mỗi tấm tôn hình chủ nhật có kích thước 80cm x 50cm và yêu cầu cắt đi ở bốn góc vuông những hình vuông bằng nhau để khi gấp lại thì được một cái thùng không nắp dạng hình hộp dùng để dụ trữ nước ngọt cho các chiến sĩ ở đảo xa. Giải: Phương án 1: Người thợ cắt một hình vuông bất kỳ và làm thùng. Chẳng hạn anh ta cắt hình vuông có cạnh là 5cm. Khi đó thùng tạo thành có chiều cao h = 5cm, chiều dài a = 80-10 = 70cm và chiều rộng b = 50 – 10 = 40cm. Khi đó thể tích của thùng tạo thành V = 5.70.40=14000(cm3) Như vậy với cái thùng này thì liệu rằng có cách cắt hình vuông nào để tạo thành thùng có thể tích lớn hơn không nghi ngờ này dẫn ta đến phương án giải quyết tiếp theo. Phương án 2: Người này cũng cắt một hình vuông cạnh x ( 0 < x < 50 ) và người này quan tâm đến việc tạo thành cái thùng sao cho thể tích lớn nhất 𝑉 = 𝑥 (50 − 2𝑥)(80 − 2𝑥)Thể tích cái thùng tạo thành là: 6𝑥 + 80 − 2𝑥 + 100 − 4𝑥 3 ⟹ 12𝑉 = 6𝑥 (80 − 2𝑥)(100 − 4𝑥) ≤ ( ) = 603 3 603 𝑉≤ = 1800 (𝑐𝑚2 ) 12 10
Đẳng thức xảy ra khi 6𝑥 = 80 − 2𝑥 = 100 − 4𝑥 ⟹ 𝑥 = 10 Vậy từ tính toán người này sẽ cắt hình vuông có cạnh bằng nhau và bằng 10cm. Với cái thùng này thì ta có thể chắc chắn khẳng định rằng đây là cái thùng có thể tích lớn nhất trong tất cả các thùng có thể làm ra lúc này. Và trong trường hợp người học viên này làm đẹp thì sẽ vừa lòng người chủ hơn Ví dụ 6: Nhân dịp chào mừng ngày thành lập đoàn 26/3 đoàn trường THPT Quỳ Hợp 2 tổ chức hội chợ. Chi đoàn 12C1 tham gia hội chợ với món khoai tây chiên, để đảm an toàn vệ sinh phẩm chi đoàn đã quyết định đóng hộp,về kích thước hộp tổng chiều dài l của hộp khoai tây chiên và chu vi đường tròn đáy không vượt quá 84 cm (để phù hợp với không gian của gian hàng ).Chi đoàn đang tìm kích thước để thiết kế hộp sao cho thể tích đựng khoai tây chiên là lớn nhất, thể tích đó là: 29152 14576 A. cm3 B. 29152 cm3 C. 14576 cm3 D. cm3   Giải: Do yêu cầu của đề bài tìm thể tích lớn nhất của hộp khoai tây chiên và tổng chiều dài l và chu vi đường tròn đáy không vượt quá 4cm nên: Muốn thể tích lớn nhất ta sẽ lấy giới hạn max của tổng độ dài tức là: l  p  84  l  2 r  84  l  84  2 r (r là bán kính đường tròn đáy) Thể tích hộp đựng khoai tây chiên được tính bằng công thức: V   r 2l   r 2 (84  2 r )  84 r 2  2 2 r 3  f (r )  28 Ta có: f '(r )  168 r  6 r  6 r (28   r )  0  2 2 r    0  r  0 28 29152 Dựa vào bảng biến thiên ta có Max f (r )  f ( )  cm3 R   Ví dụ 7: 11
Từ một khối bột hình trụ có chiều cao 20 cm, đường tròn đáy có bán kính 8 cm với chi phí ban đầu là 60.000đ. Bạn An muốn nặn khối bột đó thành nhiều bánh hình khối cầu và chúng có cùng bán kính 4cm để bán . Hỏi bạn An bán mỗi bánh giá bao nhiêu sẽ có lãi? Giải: Gọi V1 ,V2 lần lượt là thể tích khối đất hình trụ và khối cầu. 4 256 V1   .82.20  1280 , V2   .43  3 3 Suy ra V1  15V2 Do đó bạn An có thể làm ra được tối đa 15 cái bánh Vậy ạn An chỉ cần bán mỗi bánh giá nhiều hơn 4000đ sẽ có lãi. Ví dụ 8: Nhà Nam có một chiếc bàn tròn có bán kính bằng 2 m. Nam muốn mắc một bóng điện ở phía trên và chính giữa chiếc bàn sao cho mép bàn nhận được nhiều ánh sáng nhất. Biết rằng cường độ sáng C của bóng điện được biểu thị bởi công thức sin C c l2 (α là góc tạo bởi tia sáng tới mép bàn và mặt bàn, c ‐ hằng số tỷ lệ chỉ phụ thuộc vào nguồn sáng, l khoảng cách từ mép bàn tới bóng điện ) . Khoảng cách nam cần treo bóng điện tính từ mặt bàn là A. 1m B. 1,2m C. 1.5 m D. 2m Giải: Gọi h là độ cao của bóng điện so với mặt bàn (h > 0); Đ là bóng điện; I là hình chiếu của Đ lên mặt bàn. MN là đường kính của mặt bàn.( như hình vẽ) h Ta có : sin   , h 2  l 2  2 l 12
suy ra cường độ sáng là: l2  2 C (l )  c (l  2) l3 6  l2 C '(l )  c.  0(l  2) l4 l2  2 C '(l )  0  l  6 (l  2) Lập bảng biến thiên ta thu được kết quả C lớn nhất khi l  6 , khi đó Khoảng cách nam cần treo bóng điện tính từ mặt bàn là 2m Ví dụ 9: Trong một cuộc thi làm đồ dùng học tập do trường phát động, bạn An đã làm một hình chóp tứ giác đều bằng cách lấy một mảnh bìa hình vuông ABCD có cạnh bằng 1m, Người ta cắt phần tô đậm của tấm nhôm rồi gập thành một hình chóp tứ giác đều có cạnh đáy bằng x  m  sao cho bốn đỉnh của hình vuông gập lại thành đỉnh của hình chóp. Giá trị của x để khối chóp nhận được có thể tích lớn nhất là: 1 √2 √2 2√2 𝐴. 𝑥 = 𝐵. 𝑥 = 𝐶. 𝑥 = 𝐷. 𝑥 = 2 4 3 5 Giải Từ hình vuông ban đầu ta tính được x 2x OM  , S1M  S1O  OM  . (0  x  2) 2 2 13
Khi gấp thành hình chóp S.ABCD thì S1  S nên ta có SM  S1M . 2  2 2x 2 Từ đó SO  SM 2  OM 2  . (Điều kiện 0  x  ) 2 2 Thể tích khối chóp S.ABCD : 1 1 1 VS . ABCD  S ABCD .SO  x 2 2  2 2 x  2 x 4  2 2 x5 . 3 6 6 Ta thấy VSABCD lớn nhất khi f  x   2 x 4  2 2 x5 , 0  x  2 đạt giá trị lớn nhất 2 Ta có f   x   8 x 3  10 2 x 4  2 x 3  4  5 2 x  x  0 f  x  0   x  2 2   5 Bảng biến thiên Vậy: VS . ABCD lớn nhất bằng khi và chỉ khi 2 2 x . 5 3.3: Tích hợp lồng nghép trong bài mũ và logart. Ví dụ 10: Biết rằng khi đỗ vào trường đại học X, mỗi sinh viên phải đóng một khoản ban đầu là 10 triệu đồng. Ông A dự kiến cho con thi và vào học tại trường này, để 14
có số tiền đó, gia đình đã tiết kiệm và hàng tháng gửi ngân hàng với số tiền không đổi, với lãi suất 0,7%/tháng theo thể thức lãi kép. Hỏi để được số tiền trên thì gia đình phải gửi tiết kiệm mỗi tháng là bao nhiêu để sau 12 tháng gia đình đủ tiền đóng cho con ăn học? (làm tròn tới hàng ngìn) A. 796. 000đ B. 833. 000đ C. 794. 000đ D. 798. 000đ Giải: Đặt x= 1,005; y= 10,5 * Cuối tháng thứ 1, số tiền còn lại (tính bằng triệu đồng) là 500x -y * Cuối tháng thứ 2, số tiền còn lại là ( 500x-y) x –y = 500x2 –(x+1)y * Cuối tháng thứ 3, số tiền còn lại là 500x3 –(x 2 + x+1)y * Cuối tháng thứ n, số tiền còn lại là 500x n+1 –(x n +… + x+1)y Giải phương trình 500x n+1 –(x n +… + x+1)y =0 thu được n  54,836 nên chọn C. Ví dụ 11: Một học sinh lớp 12 muốn mẹ mua quà tốt nghiệp là một chiếc điện với giá 15,5 triệu đồng. Vì điều kiện gia đình nên mẹ phải mua với hình thức trả góp với lãi suất 2,5%/tháng. Để mua trả góp mẹ phải trước 30% số tiền, số tiền còn lại sẽ trả dần trong thời gian 3 tháng kể từ ngày mua, mỗi lần trả cách nhau 1 tháng. Số tiền mỗi tháng phải trả là như nhau và tiền lãi được tính theo nợ gốc còn lại ở cuối mỗi tháng. Biết rằng lãi suất không đổi trong thời gian hoàn nợ (làm tròn đến chữ số hàng nghìn). Hỏi bạn học sinh đó có nên xin món quà này không biết thu nhập hàng tháng của mẹ dao động từ 3.500.000 đồng đến 4.000.000 đồng Giải: Để biết bạn hcọ sinh có nên xin món quà này không ta phải tính xem số tiền phải trả hàng tháng là bao nhiêu. Số tiền ông B vay trả góp là: 15500000 – 15500000.0,3=10850000đ. Gọi a là số tiền ông B phải trả góp hàng tháng + Hết tháng thứ nhất số tiền còn nợ là: N1 = A(1+ r) – a 15
+ Hết tháng thứ 2 số tiền còn nợ là : N2 = N1(1+r) – a = A(1+r)2 – a(1+r)-a. + Hết tháng thứ 3 số tiền còn nợ là: N3 = A(1+r)3 – a(1+r)2 –a(1+r) – a. …………….. + Cuối tháng thứ n số tiền còn nợ là: (1+𝑟) 𝑛 −1 Nn=A(1+r)n – a(1+r)n-1- a(1+r)n-2-…- a = A(1+r)n -𝑎. . 𝑟 𝐴𝑟(1+𝑟) 𝑛 Để trả hết nợ sau n tháng thì: 𝑁 𝑛 = 0 ⟺ 𝑎 = (1+𝑟) 𝑛 −1 10,85. 106 . 0,025. (1,025)3 ⟹ 𝑎= ≈ 3800000 đồ𝑛𝑔 (1,025)3 − 1 Vậy sẽ có những tháng mẹ bạn học sinh đó không đủ tiền dể trả. 3.4: Tích hợp lồng nghép trong bài tích phân và ứng dụng. Ví dụ 12: Có một người cần làm một cái của cổng cố xưa, có hình dạng một parabol bậc hai như hình vẽ có bề rộng chân cổng bằng 4m, chiều cao bằng 4m . Hãy tính diện tích của cánh cửa cổng . 16
Giải: Giả sử đặt cánh cổng vào một hệ trục tọa độ như hình vẽ (mặt đất là trục Ox). Dựa vào đồ thị, ta xây dựng được công thức của hàm số là y= 4- x2 2 32 Diện tích là: S   (4  x 2 )dx  2 3 Ví dụ 13: Một mảnh vườn hình tròn tâm O bán kính 6m. Người ta cần trồng cây trên dải đất rộng 6m nhận O làm tâm đối xứng, biết kinh phí trồng cây là 70000 đồng/m2. Hỏi cần bao nhiêu tiền để trồng cây trên dải đất đó (số tiền được làm tròn đến hàng đơn vị) A. 8412322 đ. B. 8142232 đ. C. 4821232 đ. D. 4821322 đ. Giải: Xét hệ trục tọa độ oxy đặt vào tâm khu vườn, khi đó phương trình đường tròn tâm O là x 2 + y 2 =36 . Khi đó phần nửa cung tròn phía trên trục Ox có phương trình y  36  x 2 Khi đó diện tích S của mảnh đất bằng 2 lần diện tích hình phẳng giới hạn bởi trục hoành, đồ thị y= f(x) và hai đường thẳng x=-3; x= -3 3 S  2  36  x 2 dx  18 3  12 3 Do đó số tiền cần dùng là 4821322 đồng Ví dụ 14: Thành phố định xây cây cầu bắc ngang con sông dài 500m, biết rằng người ta định xây cầu có 10 nhịp cầu hình dạng parabol, mỗi nhịp cách nhau 40m, biết 2 bên đầu cầu và giữa mối nhịp nối người ta xây 1 chân trụ rộng 5m. Bề dày nhịp cầu không đổi là 20cm. Biết 1 nhịp cầu như hình vẽ. Hỏi lượng bê tông để xây các nhịp cầu là bao nhiêu (bỏ qua diện tích cốt sắt trong mỗi nhịp cầu) 17