Sáng kiến kinh nghiệm THPT: Ứng dụng hàm số vào giải hệ phương trình

Chia sẻ: Caphesua | Ngày: | Loại File: DOC | Số trang:19

Thêm vào BST

Báo xấu

43
lượt xem 8
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Khi hướng dẫn học sinh giải các bài toán hệ phương trình sử dụng hàm số để học sinh hiểu bài và tìm tòi lời giải người thầy khuyến khích học sinh học tập theo hướng tích cực, tư duy, sáng tạo trong giải toán. Mời các bạn cùng tham khảo bài viết dưới đây để nắm nội dung của sáng kiến kinh nghiệm!

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Sáng kiến kinh nghiệm THPT: Ứng dụng hàm số vào giải hệ phương trình

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO VĨNH PHÚC TRƯỜNG THPT BÌNH XUYÊN BÁO CÁO KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU, ỨNG DỤNG SÁNG KIẾN Tên sáng kiến ỨNG DỤNG HÀM SỐ VÀO GIẢI HÊ PH ̣ ƯƠNG TRÌNH Tác giả sáng kiến: Lê Văn Vượng Mã sáng kiến: 31.52.02 1
Vĩnh Phúc, năm 2019 BÁO CÁO KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU, ỨNG DỤNG SÁNG KIẾN 1. Lời giới thiệu: Trong các đề thi THPT Quốc gia năm học 2015 2016, năm học 2016 2018 cũng như đề thi Tuyển sinh Đại học năm học 2014 2015 trở về trước, đề thi học sỉnh giỏi Toán lớp 12 Tỉnh Vĩnh Phúc va cac tinh trên toan quôc nh ̀ ́ ̉ ̀ ́ ững năm gần đây, đề thi thử THPT Quốc gia của các trường THPT trên toàn quốc chúng ta hay gặp bài toán giải phương trinh va hê ph ̀ ̀ ̣ ương trình. Các bài toán này đều là bài toán ở mức độ vận dụng. Khi hướng dẫn học sinh giải bài toán hê ph ̣ ương trinh này ta ̀ không thể dùng các cách giải hê ph ̣ ương trình học ở lớp 10 như: Biến đổi tương đương thông thường đê đ ̉ ưa vê hê th ̀ ̣ ưc Viet, hê ph ́ ̣ ương trinh đôi x ̀ ́ ứng loai I, loai ̣ ̣ ̉ ̉ II,…đê giai. Trong đ ề thi THPT quốc gia 2017 thi Toán bằng hình thức trắc nghiệm ́ ưc thi trong ch kiên th ́ ương trinh 12, đ ̀ ề thi THPT quốc gia 2018 thi Toán bằng hình thức trắc nghiệm kiên th ́ ưc thi trong ch ́ ương trinh l ̀ ơp 11,12, đ ́ ề thi thử Toan 12 ́ THPT quốc gia 2019 theo hương dân cua Bô Giao duc va Đao tao thi Toán b ́ ̃ ̉ ̣ ́ ̣ ̀ ̀ ̣ ằng hình thức trắc nghiệm kiên th ́ ưc thi trong ch ́ ương trinh Toan 11, 12 trong tâm la ̀ ́ ̣ ̀ ́ ức Toan 12. kiên th ́ Khi hướng dẫn học sinh giải các bài toán hê ph ̣ ương trình sử dụng hàm số để học sinh hiểu bài và tìm tòi lời giải người thầy khuyến khích học sinh học tập theo hướng tích cực , tư duy, sáng tạo trong giải toán. Với mỗi người giáo viên việc đôi m ̉ ơi ph ́ ương phap day hoc đang th ́ ̣ ̣ ực hiêṇ bươc chuyên t ́ ̉ ừ chương trinh giao duc tiêp cân nôi dung sang tiêp cân năng l ̀ ́ ̣ ́ ̣ ̣ ́ ̣ ực cuả ngươi hoc, nghia la t ̀ ̣ ̃ ̀ ừ chô quan tâm hoc sinh hoc đ ̃ ̣ ̣ ược cai gi đên chô quan tâm hoc ́ ̀ ́ ̃ ̣ ̣ ̣ sinh vân dung đ ược cai gi qua viêc hoc. ́ ̀ ̣ ̣ Trong SKKN này tôi sẽ nêu hai vấn đề chính: + “ Ứng dụng hàm số vào giải hê ph ̣ ương trình ” Giáo viên hướng dẫn học sinh giải toán. + “ Cách ra hê ph ̣ ương trình sử dụng hàm số ”. Giáo viên ra đề. 2. Tên sáng kiến: “Ứng dụng hàm số vào giải hê ph ̣ ương trình” 3. Tác giả sáng kiến: Họ và tên: Lê Văn Vượng. Địa chỉ tác giả sáng kiến: Giáo viên trường THPT Bình Xuyên. Số điện thoại: 0988560979, E_mail: levuongc3bx@gmail.com . 2
4. Chủ đầu tư tạo ra sáng kiến: Lê Văn Vượng GV THPT Bình Xuyên. 5. Lĩnh vực áp dụng sáng kiến: Bài tập Đại số 12, bồi dưỡng học sinh giỏi, thi THPT quốc gia theo lộ trình. 6. Ngày sáng kiến được áp dụng lần đầu hoặc áp dụng thử: 10/12/2017 7. Mô tả bản chất của sáng kiến: 7.1 Nội dung của sáng kiến: 7.1.1 Nội dung: NỘI DUNG ỨNG DỤNG HÀM SỐ VÀO GIẢI HÊ PH ̣ ƯƠNG TRÌNH I. Cơ sở lý thuyết Cho hàm số y = f (x) luôn đồng biến ( hoặc luôn nghịch biến) và liên tục trên tập D: 1/ Nếu tồn tại x 0 D sao cho f (x 0 ) = 0 thì trên D phương trình f (x) = 0 có nghiệm duy nhất x = x 0 . 2/ Nếu f (u) = f (v) u = v, u,v D . 3/ Khi cho hê ph ̣ ương trinh hai ân (x;y) s ̀ ̉ ử dung ham sô th ̣ ̀ ́ ường bai toan co ̀ ́ ́ hương giai sau: ́ ̉ a/ Từ môt ph ̣ ương trinh cua hê dung ham sô lâp môi quan hê x va y thê vao ̀ ̉ ̣ ̀ ̀ ́ ̣ ́ ̣ ̀ ́ ̀ phương trinh con lai đê giai ph ̀ ̀ ̣ ̉ ̉ ương trinh môt ân. ̀ ̣ ̉ b/ Từ môt ph ̣ ương trinh cua hê dung biên đôi t ̀ ̉ ̣ ̀ ́ ̉ ương đương lâp môi quan hê x ̣ ́ ̣ va y thê vao ph ̀ ́ ̀ ương trinh con lai đê giai ph ̀ ̀ ̣ ̉ ̉ ương trinh môt ân băng ph ̀ ̣ ̉ ̀ ương phap ́ ham sô. ̀ ́ II. Áp dụng A/ Từ môt ph ̣ ương trinh cua hê dung ham sô lâp môi quan hê x va y thê ̀ ̉ ̣ ̀ ̀ ́ ̣ ́ ̣ ̀ ́ vao ph ̀ ương trinh con lai đê giai ph ̀ ̀ ̣ ̉ ̉ ương trinh môt ân. ̀ ̣ ̉ Cho hàm số y = f (x) luôn đồng biến ( hoặc luôn nghịch biến) và liên tục trên tập D nếu tồn tại x 0 D sao cho f (x 0 ) = 0 thì trên D phương trình f (x) = 0 có nghiệm duy nhất x = x 0 . 2 x 2 y + y 3 = 2 x 4 + x 6 ( 1) Bài tập 1 Giải hê ph ̣ ương trình: ( x + 2) y + 1 = x 2 +10x+10 ( 2) Hướng dẫn: Điều kiện y −1 (*). ̣ ̉ ̣ ương trinh. Ta thây x =0 không la nghiêm cua hê ph ́ ̀ ̀ ́ x ﾹ 0 . Tư ph Xet ̀ ương trinh (1) chia hai vê cho ̀ ́ x 3 ta được 3 �y � �y � � �+ 2 � �= x 3 + 2x (3) �x � �x � 3
Xét hàm số f (t) = t 3 + 2t vơí t R , f '(t) = 3t 2 +2>0 ∀ t R Hàm số luôn đồng biến va liên tuc trên R. ̀ ̣ �y � y Từ (3) f � �= f (x) =x y = x 2 thay vao (2) ta đ ̀ ược: �x � x 2 �x + 2 � ﾹ x +2 2 2 ( x + 2) x + 1 = 3( x + 2 ) - 2 ( x + 1) ﾹ 2 ﾹﾹﾹ - 3 ﾹﾹ - 2=0 ﾹ� x 2 + 1 �ﾹﾹ x 2 +1 x +2 x +2 2 ﾹ ̣ = 1 hoăc =- x 2 +1 x 2 +1 3 x +2 2 ﾹﾹ x ﾹ - 2 3 9 + Vơi ́ =1 ﾹ x + 2 = x + 1 ﾹﾹ 2 ﾹ x = - ﾹ y = x 2 +1 ﾹﾹ ( x + 2 ) = x 2 + 1 4 16 x +2 2 ﾹﾹ x ﾹ - 2 2 + Vơi ́ = - ﾹ - 3( x + 2 ) = 2 x + 1 ﾹﾹﾹ 2 x 2 +1 3 2 ﾹﾹ 9 ( x + 2 ) = 4 x + 1 ( ) - 18 - 164 488 + 36 164 ﾹ x = ﾹ y= . 5 25 � 3 9 �� - 18 - 164 488 + 36 164 � ﾹﾹ ̣ ̣ Vây nghiêm cua hê ph ̉ ̣ ương trinh ̀ ( x;y ) = ﾹﾹﾹ- ; ﾹﾹﾹ , ﾹﾹﾹ ; ﾹﾹ � 4 16 �ﾹ� 5 25 � ﾹ x 3 + 3x = ( y + 4 ) y + 1 ( 1) ﾹ Bài tập 2 Giải hê ph ̣ ương trình: ﾹ 3 ﾹﾹ x + 2x + y + y + 1 - 17 = 0 ( 2 ) ﾹ Hướng dẫn: Điều kiện y −1 (*). ( ) 3 Phương trinh (1) ̀ ﾹ x3 + 3x = y + 1 + 3 y + 1 ( 3) . Xét hàm số f (t) = t 3 + 3t vơí t R , f '(t) = 3t 2 +3>0 ∀ t R Hàm số luôn đồng biến va liên tuc trên R. ̀ ̣ Từ (3) f ( x ) = f ( y + 1) x = y + 1 y = x 2 − 1 thay vao (2) ta đ ̀ ược: x 3 + x 2 + 3x - 18 = 0 ﾹ x = 2 ﾹ y = 3 . ̣ ̣ ̉ Vây nghiêm cua hê ph ̀ ( x;y ) = ( 2;3) ̣ ương trinh Bài tập 3 Giải hê ph ̣ ương trình: ﾹ ( ) ( ﾹﾹ 3x 2 + 9x 2 + 3 - ( 4y + 2 ) 1 + 1 + y + y 2 = 0 ( 1) ﾹ ) ﾹﾹ 3 2 2 ﾹﾹ x - 6x + 4y + 6y + 1 = 0 ( 2 ) Hương dân: ́ ̃ � 2 � � 2 � Phương trinh (1) ̀ ﾹ 2 + ( 3x ) + 3 � 3x � � � � 2 + ( 2y + 1) + 3 � = ( 2y + 1) � � ( 3) � � � � � � 4
( 2 ) Xét hàm số f (t) = t 2 + t + 3 vơí t R , f '(t) = 2 + t + 3+ 2 t2 t2 + 3 >0 ∀ t R Hàm số luôn đồng biến va liên tuc trên R. ̀ ̣ Từ (3) f ( 3x ) = f (2y + 1) 3x = 2y + 1 thay vao (2) ta đ ̀ ược: 3 2 3 - 4 + 33 2 3 x + 3x + 3x - 1 = 0 ﾹ ( x + 1) = 2 ﾹ x = - 1 + 2 ﾹ y = 2 � - 4 + 33 2 � ﾹﾹ ̣ ̣ ̉ ̣ ương trinh Vây nghiêm cua hê ph ̀ ( x;y ) = ﾹﾹﾹ- 1 + 3 2; ﾹﾹﾹ� 2 � ( ) ( ) 2 y 4 y 2 + 3 x 2 = x 4 x 2 + 3 ( 1) Bài tập 4 Giải hê ph ̣ ương trình: 2019 x ( ) 2 y − 2 x + 5 − x + 1 = 4038 ( 2 ) Hướng dẫn: Điều kiện 2 y − 2 x + 5 0 (*). Tư ph ̀ ương trinh (1) ̀ yﾹ 0 ̣ ́ x = 0 ﾹ y = 0 không la nghiêm cua hê ph Ta nhân thây ̀ ̣ ̉ ̣ ương trinh. ̀ Xet ́ xﾹ 0 3 �2y � � � 2y � � Phương trinh (1) ̀ ﾹ � � � � � + 3 � � � = x 3 + 3x ( 3) � � �x � �x � Xét hàm số f (t) = t 3 + 3t vơí t R , f '(t) = 3t 2 +3>0 ∀ t R Hàm số luôn đồng biến va liên tuc trên R. ̀ ̣ �2y � 2y Từ (3) f � �= f (x) =x 2y = x 2 thay vao (2) ta đ ̀ ược: �x � x ( ) 2019 x x 2 − 2 x + 5 − x + 1 = 4038 2019 x � ( x − 1) + 4 − ( x − 1) � � 2 � =4038 (4) ̣ u = x - 1 phương trinh (4) Đăt ̀ ﾹ 2019 u +1 ( ) u 2 + 4 - u = 4038 (5) ́ g ( u ) = 2019 Xet ham sô ́ ̀ u +1 ( ) u2 +4 - u u ﾹ R . � u �ﾹ � u � ﾹﾹ g ' ( u ) = 2019 u +1 ﾹﾹﾹln 2019 + ﾹ - 1ﾹﾹﾹ 0 ﾹﾹ Do ln 2019 > 2, - 1 < < 1 ﾹﾹﾹﾹﾹ� ﾹ� u2 + 4 � u2 + 4 � ﾹ Hàm số luôn đồng biến va liên tuc trên R. ̀ ̣ 1 ́ ̀ ̣ ̉ Ta thây u=0 la nghiêm cua phương trinh (5) ̀ ﾹ x=1 y= ̉ thoa man (*). ̃ 2 � 1� ̣ ̣ ̉ ̀ ( x;y ) = ﾹﾹﾹ1; ﾹﾹﾹ . ̣ ương trinh Vây nghiêm cua hê ph � 2� ﾹ Bài tập 5 Giải hê ph ( )( ﾹﾹ x + x 2 + 1 y - 2 + y 2 - 4y + 8 = 2 ( 1) ̣ ương trình: ﾹ ) ﾹﾹ 2 2 ﾹﾹ x + y + 2x + y + 2 - 6 = 0 ( 2 ) Hướng dẫn: Điều kiện 2 x + y + 2 0 (*). 5
̣ ́ x < x 2 +1 ﾹ Ta nhân thây x 2 +1 ﾹ x > 0 2 2 Phương trinh (1) ̀ ﾹ y - 2 + ( y - 2 ) + 4 = ( - 2x ) + ( - 2x ) + 4 (3) t Xét hàm số f (t) = t + t 2 + 4 vơí t R , f '(t) = 1 + >0 ∀ t R t +4 2 Hàm số luôn đồng biến va liên tuc trên R. ̀ ̣ Từ (3) f ( y − 2) = f ( −2x) y − 2 = −2x thay vao (2) ta đ ̀ ược: ﾹ x =0ﾹ y=2 2 ﾹ 5x - 8x = 0 ﾹﾹ 8 ̉ - 6 thoa man (*). ̃ ﾹx = ﾹ y = ﾹﾹ 5 5 � 8 6� ﾹﾹ ̣ ̣ ̉ ̣ ương trinh Vây nghiêm cua hê ph ̣ ( x;y ) = ﾹﾹﾹ ;- ̀ ( x;y ) = ( 0;1) hoăc ﾹ � 5 5� x 3 y3 + 3y 2 3x 2 =0 ( 1) Bài tập 6 Giải hê ph ̣ ương trình: x 2 + 1 − x 2 2 2 y − y 2 +1=0 ( 2 ) −1 x 1 Hướng dẫn: Điều kiện ( *) . 0 y 2 3 Phương trinh (1) ̀ ﾹ x 3 - 3x = ( y - 1) - 3 ( y - 1) (3) Xét hàm số f (t) = t 3 − 3t vơí t �[ −1,1] , f '(t) = 3t 2 3
� 3 1� ̣ ̣ ̉ ̀ ( x;y ) = ﾹﾹﾹ ; ﾹﾹﾹ . ̣ ương trinh Vây nghiêm cua hê ph �2 2� ﾹ 7x 3 - y 3 - 3x 2 y - 3xy 2 + x - y = 0 ( 1) ﾹ Bài tập 8 Giai hê ph ̀ ﾹ 2 ̉ ̣ ương trinh ﾹﾹ x - y + 2 - 2 = 0 ( 2 ) ﾹ Hương dân: ́ ̃ y ﾹ - 2 3 3 Phương trinh (1) ̀ ﾹ ( x + y ) + ( x + y ) = ( 2x ) + 2x (3) Xét hàm số f (t) = t 3 + t vơí t R , f '(t) = 3t 2 +1 >0 ∀ t R Hàm số luôn nghich bi ̣ ến va liên tuc trên ̀ ̣ R. Từ (3) f ( x + y ) = f (2x) x + y = 2x x = y thay vaò (2) ta được: x2 - x +2 - 2 = 0 ̣ x ﾹ - 2 . Điêu kiên ̀ ﾹ x 2 = u + 2 ( 4 ) ﾹ ̣ u = x + 2 u ﾹ 0 (*) Ta được ﾹ 2 Đăt ﾹﾹ u = x + 2 ( 5) ﾹ Trư vê v ́ ược ( ̀ ́ ới vê ta đ x - u ) ( x + u + 1) = 0 + Vơi x=y thay vao (4) ta đ ́ ̀ ược x =u =2 x = u = 2 ﾹ x = y = 2 la nghiêm ̀ ̣ - 1- 5 + Vơi x+y+1=0 thay vao (4) ta đ ́ ̀ ược ﾹ x = y = la nghiêm ̀ ̣ 2 � - 1- 5 - 1- 5 � ﾹﾹ x;y 2;2 ; ﾹ ; ̣ ̣ ̉ ̀ ( ̣ ương trinh Vây nghiêm cua hê ph ) ( ) ﾹﾹ = ﾹﾹ . ﾹ � 2 2 � ﾹ � � ﾹﾹ x(2 + x 2 + 3) + ( 2y + 2 ) ﾹﾹ1 + 1 4 + 2y + y 2 ﾹﾹ = 0 ( 1) ﾹﾹ� 2 ﾹ� ̣ ương trình: ﾹﾹ Bài tập 9 Cho hê ph ﾹﾹ x- 1 ﾹﾹ ( x - 2 ) ( 5 + y ) + x - 2 + 5 + y = + x + 1 ( 2 ) ﾹ 2 n ̉ ử hê ph Gia s ̀ ́ ̣ ( x1 ;y1 ) , ( x 2 ;y 2 ) ... ( x n ;y n ) T = ﾹ x k băng ̣ ương trinh co nghiêm ̀ k =1 17 26 A. 10 B. 15 C. D. 2 5 Hướng dẫn: Điều kiện 2 x 4 .(*) Phương trình(1) ( ) x 2 + x 2 + 3 = [ − (y + 1) ] 2 + ( [ −(y + 1)] 2 + 3 ) (3) ( Xét hàm số f (t) = t 2 + t + 3 ∀ t 2 ) R , f '(t) = 2 + t + 3 + 2 t2 t +3 2 >0 ∀t R Hàm số luôn đồng biến trên R. Từ (3) f (x) = f ( − y − 1) x = − y − 1 y = − x − 1 . 7
x −1 Thay vao (2) ta đ ̀ ược ( x − 2) ( 4 − x ) + x−2 + 4− x = + x +1 2 Đặt t = x − 2 + 4 − x điều kiện 2 t 2 (**). ( ) 2 t2 − 2 x +1 − 2 Phương trình (1) +t= + x + 1 (2) 2 2 k −2 2 g(k) + k ∀k [ 2; 4 ] , g '(k) = k + 1 > 0 ∀k [ 2; 4] Hàm số g(k) luôn 2 đồng biến trên [ 2; 4] . Từ (2) ta có g(t) = g( x + 1) t = x +1 2 � 11 � 26 Chon (D) ̣ x +1 = x − 2 + 4 − x x=� 3; �ﾹ T = ﾹ xk = � 5 k =1 5 ﾹ Bài tập 10 Hê ph ( ﾹﾹ x + x 2 + 1 y - 3 + y 2 - 6y + 13 = 2 ( 1) ̣ ương trình: ﾹ )( ) ﾹﾹ 2 2 ﾹﾹ x + 2y + 3y 6 = 0 ( 2 ) ̣ Co bao nhiêu nghiêm? A.1 B.2 C.3 D.4 ́ Hướng dẫn: Do x 2 + 1 > x x x2 +1 > x x 2 + 1 − x > 0 . Bằng cách nhân hai vế phương trình (1) với x 2 + 1 − x ta được ( −2x ) + ( −2x ) 2 + 4 = y − 3 + ( y − 3) 2 + 4 (3) t Xét hàm số f (t) = t + t 2 + 4 , ∀t R . Ta có f '(t) = 1 + > 0 ∀t R t +4 2 t t Hàm số luôn đồng biến trên [ 1;+ Do t 2 + 4 > t −1 < 0 ) t +4 2 t +4 2 Từ phương trình (3) ta có f (y − 3) = f ( −2x) y − 3 = −2x . Thay y − 3 = −2x vao (2) ta đ ̀ ược 11y 2 + 2y - 13 = 0 phương trinh co 2 nghiêm ̀ ́ ̣ ương trinh co 2 nghiêm chon (B) nên hê ph ̀ ́ ̣ ̣ Nhận xét: Trong 10 bài tập đã cho khi hướng dẫn học sinh giải hê ph ̣ ương trình trước tiên cần hướng cho học sinh nhìn nhận bài toán ở góc nhận biêt, thông hiểu như: Từ môt ph ̣ ương trinh cua hê có chuy ̀ ̉ ̣ ển về phương trình đơn gian ngay đ ̉ ược không, có phân tích nhân tử được không … Tiếp theo ta thây co 1 ph ́ ́ ương trinh cua ̀ ̉ ̣ ́ ̉ ̀ hê co thê dung ph ương phap ham sô đê giai đ ́ ̀ ́ ̉ ̉ ưa vê môi quan hê x va y sau đo thê ̀ ́ ̣ ̀ ́ ́ ̀ ương trinh con lai đê đ vao ph ̀ ̀ ̣ ̉ ược phương trinh 1 ân đê giai… ̀ ̉ ̉ ̉ Bai tâp ̀ ̣ Giai cac hê ph ̉ ́ ̣ ương trinh sau ̀ 8
ﾹ ( 2x + 2 ) 2x + 1 + ( y - 3) 2 - y = 0 ﾹ 1/ ﾹﾹﾹ 8x + 4 - ( 2 - y ) 2 - y = 1 ﾹﾹ 4x 2 + 1 x + ( y - 3) 5 - y = 0 ( ﾹ ) 2/ ﾹﾹﾹﾹ 2 2 ﾹ 4x + y + 2 3 - 4x = 7 ﾹ 2 ( 2x + 1) 3 + 2x + 1 = ( 2y - 3) y - 2 ﾹ 3/ ﾹﾹﾹ 4x + 2 - 2y + 4 = 6 ﾹﾹ x 5 + x.y 4 = y10 + y 6 ﾹ 4/ ﾹﾹﾹ 4x + 5 + y 2 + 8 = 6 ﾹﾹ x 6 - y 3 + x 2 - 9y 2 - 30 = 28y 5/ ﾹﾹﾹﾹ 2x + 3 + x = y B/ Từ môt ph ̣ ương trinh cua hê dung biên đôi t ̀ ̉ ̣ ̀ ́ ̉ ương đương lâp môi quan ̣ ́ hê x va y thê vao ph ̣ ̀ ́ ̀ ương trinh con lai đê giai ph ̀ ̀ ̣ ̉ ̉ ương trinh môt ân dung ph ̀ ̣ ̉ ̀ ương phap ham sô đê giai. ́ ̀ ́ ̉ ̉ Cho hàm số y = f (x) luôn đồng biến ( hoặc luôn nghịch biến) và liên tục trên tập D nếu tồn tại x 0 D sao cho f (x 0 ) = 0 thì trên D phương trình f (x) = 0 có nghiệm duy nhất x = x 0 . ﾹ x 2 + y 3 - xy 2 - ( y + 6 ) x + 6y = 0 ( 1) ﾹ Bài tập 11 Giai hê ph ̉ ̣ ương trinh: ̀ ﾹ4 ﾹﾹ 4 - x + 4 y - 2 = 2 (2) ﾹ x 4 Hướng dẫn: Điều kiện ( *) . y 2 Phương trinh (1) ̀ ﾹﾹx = y 2 ( 2 ) x - y + y + 6 x + y y + 6 = 0 ﾹﾹﾹ x = (y 2 + 6 2 ( VN ) do(*) ) ﾹ Thay vao (2) ta đ ̀ ược 4 x − 2 + 4 4 − x = 2 Điều kiện 2 x 4 . Xét hàm số f (x) = 4 x − 2 + 4 4 − x liên tục trên [ 2;4] 1 1 Ta có f '(x) = − , f '(x) = 0 x =3 4 4 ( x − 2) 3 4 4 ( 4 − x) 3 Bảng biến thiên: x 2 3 4 y’ + 0 2 y 9
4 2 4 2 Ta có f ( 3) = 2 x =3 là nghiệm của phương trình f ( x ) = 2 . Vơi x=3 ́ ̉ y=3 thoa ̣ ̣ ̉ ̀ ( x;y ) = ( 3;3) . ̣ ương trinh man (*). Vây nghiêm cua hê ph ̃ ﾹ x 3 6y 3 + 4xy 2 + x 2 y = 0 ( 1) ﾹ Bài tập 12 Giai hê ph ̉ ̣ ương trinh: ̀ ﾹ 2 ﾹﾹ x + 15 = 3y 2 + y 2 + 8 (2) ﾹ Hương dân:Ta thây y =0 không la nghiêm cua hê ph ́ ̃ ́ ̀ ̣ ̉ ̣ ương trinh. ̀ 3 ́ y ﾹ 0 chia hai vê cua ph Xet ́ ̉ ương trinh (1) cho ̀ y ta được 3 2 �� x � �� x � x x � � � + � � � + 4 6 = 0 ﾹ = 1 ﾹ x = y thay vao (2) ta đ ̀ ược � y� �� y�� y y x 2 +15=3x2+ x 2 +8 3x 2 + x 2 +8 x 2 +15=0 (3) Xét hàm số: f (x) = 3x − 2 + x 2 + 8 − x 2 + 15 liên tục trên R x x f '( x) = 3 + 2 − 2 > 0 ∀ x R Hàm số luôn đồng biến và liên tục trên R. x +8 x + 15 Ta có f ( 1) = 0 x = 1 y =1. Vây nghiêm cua hê ph ̣ ̣ ̉ ̀ ( x;y ) = ( 1;1) . ̣ ương trinh ﾹ 7x 3 - 3x 2 y - 3xy 2 - y 3 = 0 (1) ﾹ Bài tập 13 Giai hê ph ̉ ̣ ương trinh: ̀ ﾹ 2 ﾹﾹ x + 3 + y 2 + 8 + y 2 6 = 0 (2) ﾹ 3 3 Hương dân: Ph ́ ̃ ương trinh (1) ̀ ﾹ ( x + y ) = ( 2x ) ﾹ x + y = 2x ﾹ x = y Thay vao (2) ta đ ̀ ược x 2 + 3 + x 2 + 8 + x 2 6 = 0 (3) Xet ham sô ́ ̀ ́ f (t) = t+ 3 + t + 8 + t 6 = 0 t ﾹ 0 1 1 f '(t) = + + 1> 0 " t ﾹ 0 ﾹ Ham sô đông biên va liên tuc trên ̀ ́ ̀ ́ ̀ ̣ [ 0;+ﾹ ) . 2 t+3 2 t + 8 Ta co ́ f (t) = 0 ﾹ t = 1 . Tư (3) ̀ ﾹ x 2 = 1 ﾹ x = ﾹ 1 … ̣ ̣ ̉ Vây nghiêm cua hê ph ̀ ( x;y ) = ( 1;1) , ( - 1;- 1) ̣ ương trinh 2 x − y + 3 x − y = x + 2 x ( 1) Bài tập 14 Giai hê ph ̉ ̣ ương trinh: ̀ x 3 + 3 y 2 + 4 x + 2 = ( x + 8) y + 7 ( 2) ﾹﾹ 2x - y ﾹ 0 ﾹﾹ 3x - y ﾹ 0 ́ ̃ ̀ ̣ ﾹﾹ Hương dân: Điêu kiên ﾹﾹ x ﾹ 0 ﾹﾹﾹ y +7 ﾹ Phương trinh (1) ̀ ﾹ x + ( x - y ) + 2x + ( x - y ) = x + 2x (3) ́ x > y ﾹ x - y > 0 tư ph Xet ̀ ương trinh (3) vê trai l ̀ ́ ́ ớn hơn vê phai ́ ̉ ́ x < y ﾹ x - y < 0 tư ph Xet ̀ ương trinh (3) vê trai nho h ̀ ́ ́ ̉ ơn vê phai ́ ̉ 10
́ ́ ́ ̀ ́ ̉ Xet x=y vê trai băng vê phai ̣ Vây x=y thay vao (2) ̀ x + 3x + 4x + 2 = ( x + 8) x + 7 (1) 3 2 Hướng dẫn: Điều kiện x −7 (*) ( x + 1) 3 + x + 1 = ( ) 3 Phương trình (1) x + 7 + x + 7 (2) Xét hàm số f (t) = t 3 + t t R , f '(t) = 3t 2 +1>0 ∀ t R Hàm số luôn đồng biến trên R. x − 1 Từ (2) f (x + 1) = f ( x + 7) x + 1 = x + 7 x = 2 ﾹ y=2 là nghiệm x2 + x − 6 = 0 của phương trình . Vây nghiêm cua hê ph ̣ ̣ ̉ ̣ ương trinh (x;y)=(2;2) ̀ x 3 + 2x 2 y +12xy 2 40y3 =0 ( 1) Bài tập 15 Giải hê ph ̣ ương trình: x 4 − 2 x3 + 4 y − 1 x= ( 2) 8 y3 − 2x2 + 4 y x 0 Hướng dẫn: Điều kiện (*) (*) 8y3 − 2x 2 + 4y 0 ́ ̀ ̣ ̣ ương trinh. Ta thây y=0 không la nghiêm hê ph ̀ 3 2 3 �x � �x � �x � ́ y ﾹ 0 chia hai vê cua (1) cho Xet ́ ̉ 8y ta được � �+ � � +3 � � 5=0 �2 y � �2 y � �2 y � x x 4 − 2x 3 + 2x − 1 ﾹ = 1 ﾹ x = 2y thay vao (2) ta đ ̀ ược x = (3) 2y x − 2x + 2x 3 2 ( x ) = ( x1) (4) 3 Phương trình (3) x= ( x + 1) ( x − 1) 3 3 (�x − 1) 2 + 1� ( x ) + 1 ( x − 1) + 1 2 2 x� � t3 ( ) 3t 2 t 2 + 1 − 2t.t 3 t 4 + 3t 2 Xét f (t) = 2 , f '(t) = = 0 hàm số luôn ( ) ( ) 2 2 t +1 t2 +1 t2 +1 đồng biến trên R. Từ phương trình (4) ta có ( ) x 1 3+ 5 3+ 5 f x = f ( x − 1) x = x −1 x= y= x2 − x −1 = 0 2 4 �3 + 5 3 + 5 � ̣ ̣ ̉ ̀( x; y ) = � ̣ ương trinh la Vây nghiêm cua hê ph ̀ ; � 2 4 �� ( ) x 2 y − 3 − y x y y 3y=0 ( 1) Bài tập 16 Cho hê ph ̣ ương trình: y2 − y − 2 3 2 y + 1 x + 1 = ( 2 ) 3 2x + 1 − 3 11
Giả sử hệ phương trinh ̣ ̀ có hai nghiêm ( x1 ;y1 ) , ( x 2 ;y 2 ) và M ( x1 ;y1 ) , N ( x 2 ;y 2 ) 2 + 10 MN băng? ̀ A. 5 B. C.3 D.4 2 Hướng dẫn: Điều kiện x −1, x 13, y 0 (*) ﾹ x = y ̀̉ ̀ ́ ược ﾹﾹ Phương trình (1) coi x la ân, y la tham sô ta đ ﾹﾹ x = - 3 - y ( loai do(*) ) x 2 − x − 2 3 2x +1 Vơi x=y thay vao (2) ta đ ́ ̀ ược x +1 = 3 2x +1 − 3 x2 − x − 6 (x + 2)( x + 1 − 2) � x +1 + 2 = 3 �1= 2x + 1 − 3 3 2x + 1 − 3 ( ) 3 2x + 1 + 3 2x + 1 = x + 1 + x + 1 (2) Xét f (t) = t 3 +t t R , f '(t) = 3t 2 +1>0 ∀ t R Hàm số luôn đồng biến trên R. Từ phương trình (2) ta có f ( 3 ) ( 2x + 1 = f x +1 ) 3 2x + 1 = x + 1 1+ 5 1+ 5 1+ 5 x = 0; x = là nghiệm cần tìm . Vơi ́ x = 0 ﾹ y = 0, x= ﾹ y= 2 2 2 � � M ( 0;0 ) , N ﾹﾹ1 + 5 ; 1 + 5 ﾹﾹﾹ MN = 2 + 10 ̣ Vây ﾹﾹ� 2 ﾹ ̣ Chon (B) 2 ﾹ� 2 x 2 ( y − 4) x 4y=0 ( 1) Bài tập 17 Cho hê ph ̣ ương trình: 4 3 + x + 4 3 − y = 1 + 4 5 ( 2) Giả sử hệ phương trinh ̣ ̀ có hai nghiêm ( x1 ;y1 ) , ( x 2 ;y 2 ) và M ( x1 ;y1 ) , N ( x 2 ;y 2 ) ̉ ̉ ́ ̣ ̣ ̀ trung điêm cua MN co toa đô la? A.(0;0) B.(1;2) C.(3;1) D.(2;3). Hướng dẫn: Điều kiện x −3, y 3 (*) ﾹ x = y ̀̉ ̀ ́ ược ﾹﾹ Phương trình (1) coi x la ân, y la tham sô ta đ ﾹﾹ x = - 4 ( loai do(*)) Vơi x=y thay vao (2) ta đ ́ ̀ ược 4 3 + x + 4 3 − x = 1 + 4 5 Điều kiện −3 x 3 . Hàm số f (x) = 4 x + 3 + 4 3 − x là hàm chẵn trên [ −3;3] 12
1 1 Xét 0 x 3 y' = − [ 0;3) < 0 ∀x hàm số luôn nghịch ( 3 + x) 4 ( 3 − x) 4 4 3 4 3 biến trên [ 0;3] . Ta có f ( 2) = 1 + 4 5 x = 2 là nghiệm. 1 1 Xét −3 x < 0 y' = − > 0 ∀x �( −3;0) hàm số luôn đồng ( 3 + x) 4 ( 3 − x) 4 4 3 4 3 biến trên [ −3;0) . Ta có f ( −2) = 1 + 4 5 x = 2 là nghiệm ́ x = - 2 ﾹ y = - 2, x=2 ﾹ y = 2 Vây Vơi ̣ M ( - 2;- 2 ) , N ( 2;2) ̣ ̣ ̉ ̉ ﾹ Toa đô trung điêm cua MN la (0;0) Chon (A) ̀ ̣ x + x y + xy 2 3y3 = 0 ( 1) 3 2 Bài tập 18 Hê ph ̣ ương trình: co bao nhiêu ́ x 2 + x + 1 − y 2 − y + 1 = 3 + 1 ( 2) ̣ nghiêm? A.0 B.1 C.2 D.3 Hướng dẫn: Ta thây y=0 không la nghiêm hê ph ́ ̀ ̣ ̣ ương trinh. ̀ 3 2 �x � �x � �x � 3 Xet ́ ̉ ́ y ﾹ 0 chia hai vê cua (1) cho y ta được � �+ � � + � � 3=0 �y � �y � �y � x ược x 2 + x + 1 − x 2 − x + 1 = 3 + 1 ﾹ = 1 ﾹ x = y thay vao (2) ta đ ̀ y Xét hàm số f (x) = x 2 + x + 1 − x 2 − x + 1 ∀x R 2x + 1 2x − 1 2x + 1 2x − 1 f '(x) = − = − 2 x2 + x +1 2 x2 − x +1 ( 2x + 1) 2 + 3 ( 2x − 1) 2 + 3 t 3 Xét g(t) = t R , g '(t) = >0 t R g(t) là hàm số đồng t2 + 3 (t 2 + 3) t 2 + 3 biến trên R. 2x + 1 2x − 1 Ta có 2x + 1 > 2x − 1 > f '(x) > 0 ∀x R nên f(x) ( 2x + 1) 2 + 3 ( 2x − 1) 2 + 3 đồng biến trên R . Ta có f(1)= 3+1 x =1 y=1. ̣ ̣ ương trinh co môt nghiêm (x;y) =(1;1) Chon (B) Vây hê ph ̀ ́ ̣ ̣ ̣ Bài tập 19 Cho hê ph ̣ ương trình: ( ) x 2 y − 2 − y x 2y y y =0 ( 1) y − 1 + x( y 2 − 3 y + 3) = 3 2 y + 2 + 2 x + 3 ( 2 ) ̉ ử hê ph Gia s ̣ ương trinh co nghiêm ̀ ́ ̣ ( x 0 ;y 0 ) T = x 0 + 4y 0 thuôc khoang nao ̣ ̉ ̀ ̉ trong cac khoang sau? ́ A. ( 10;12 ) B. ( 12;14 ) C. ( 14;16 ) D. ( 16;18 ) Hướng dẫn: Điều kiện x 0, y 0 (*) 13
ﾹ x = y ̀̉ ̀ ́ ược ﾹﾹ Phương trình (1) coi x la ân, y la tham sô ta đ ﾹﾹ x = - 2 - y ( loai do(*)) Vơi x=y thay vao (2) ta đ ́ ̀ ược x − 1 + x(x 2 − 3x + 3) = 3 2x + 2 + 2x + 3 (3) ( ) 3 Phương trình (3) x −1+ ( x − 1) + 1 = 3 2 x + 2 + 3 3 2 x + 2 + 1 (4) 3t 2 Xét f (t) = t + t + 1 ∀ t Υ [ 1;+ 3 ) , f '(t) = 1 + > 0 2 t3 + 1 Hàm số luôn đồng biến trên [ 1;+ ) Từ (4) f (x − 1) = f ( 3 2x + 2) x − 1 = 3 2x + 2 x =3 ﾹ y=3. ̣ ̣ ̉ ̀( x 0 ;y 0 ) = ( 3;3) ﾹ T = 15 ﾹ ( 14;16 ) Chon (C). ̣ ương trinh la Vây nghiêm cua hê ph ̀ ̣ ̉ ̣ ương trình: x y − 2x + y = 0 (1) 2 2 2 Bài tập 20 Giai hê ph 2x 3 + 3x 2 + 6y − 12x + 13 = 0 (2) 2x x 0 Hướng dẫn: Phương trinh (1) ̀ y2 = (*) x2 + 1 −1 y 1 Phương trinh (2) ̀ 6y = 2x 3 + 3x 2 − 12x + 13 (3) Xét hàm số f ( x) = 2 x 3 + 3x 2 − 12 x + 13 với −1 x 1 ta có bảng biến thiên x 1 1 f’(x) 26 f(x) 6 ﾹ - 6 ﾹ VT ﾹ 6 ̀ ́ﾹﾹ Phương trinh (3) co ̣ vây phương trinh (3) ̀ ﾹﾹ 6 ﾹ VP ﾹ 26 ﾹ VT = VP = 6 ﾹ x = y = 6 ̣ ̣ ̉ ̣ ương trinh (x;y)=(6;6) Vây nghiêm cua hê ph ̀ 3 x − y + 7 x − y = 2 x + 6 x ( 1) Bài tập 21 Giải phương trình ( )( ) y 3 +6y 2 +1 2 y 2 =2 1 x 2 ( 2) 14
ﾹ 3x - y ﾹ 0 ﾹﾹﾹﾹ 7x - y ﾹ 0 Hương dân: Điêu kiên ́ ̃ ̀ ̣ ﾹ (*) ﾹﾹ x ﾹ 0 ﾹﾹﾹﾹ 1 - x 2 ﾹ 0 Phương trinh (1) ̀ ﾹ 2x + ( x - y ) + 6x + ( x - y ) = 2x + 6x (3) ́ x > y ﾹ x - y > 0 tư ph Xet ̀ ương trinh (3) vê trai l ̀ ́ ́ ớn hơn vê phai ́ ̉ ́ x < y ﾹ x - y < 0 tư ph Xet ̀ ương trinh (3) vê trai nho h ̀ ́ ́ ̉ ơn vê phai ́ ̉ ́ ́ ́ ̀ ́ ̉ Xet x=y vê trai băng vê phai ̣ Vây x=y thay vao (2) ̀ ( )( x 3 +6x 2 +1 2 x 2 =2 1 x 2 (4) ) ̉ Giai ph ̀ ̀ ̣ −1 x 1 ương trinh (4) Điêu kiên 2 1 − x2 x + 6x + 1 = 3 2 ( ) Phương trình (4) 2 (5) . 1+ 1 − x2 2 1 − x2 Ta thấy vế phải 0 1 . Xét hàm số y = x3 + 6 x 2 + 1 với −1 x 1 ( ) 2 1+ 1− x 2 ta có bảng biến thiên x 1 0 1 y’ 0 + 6 8 y 1 x3 + 6 x 2 + 1 = 1 Phương trình 2 1 − x2 x=0 y = 0 là nghiệm cần tim. ̀ =1 2 − x2 ̣ Vây (x;y)=(0;0) 2x 3 + x 2 y + xy 2 4y3 = 0 ( 1) Bài tập 22 Giải hê ph ̣ ương trình: (x 4 + y3 + y2 ) x − y − x − 1 = 0 ( 2) Hướng dẫn: Điều kiện x 0. Hướng dẫn: Ta thây y=0 không la nghiêm hê ph ́ ̀ ̣ ̣ ương trinh. ̀ 3 2 �x � �x � �x � 3 ́ y ﾹ 0 chia hai vê cua (1) cho Xet ́ ̉ y ta được 2 � �+ � � + � � 4=0 �y � �y � �y � ﾹ x y = 1 ﾹ x = y thay vao (2) ta đ ̀ ược x 4 + x 3 + x 2 ( ) x − x − x − 1 = 0 (3) Ta thấy x=0 không là nghiệm phương trình (3). Xét x>0 chia hai vế của phương trình (3) cho x x ta được: 15
1 1 1 x 3 + x 2 +x = + + ( x) ( x) 3 2 x Xét f (t) = t 3 +t 2 +t ∀t R , f '(t) = 3t 2 +2t+1>0 ∀t R Hàm số luôn đồng biến trên R. �1 � Từ phương trình (2) ta có f (x) = f � � x = 1 y = 1. � x� ̣ Vây nghi ệm của hê ph ̣ ương trình la (x;y)=(1;1). ̀ Nhận xét: Trong 12 bài tập đã cho khi hướng dẫn học sinh giải hê ph ̣ ương trình trước tiên cần hướng cho học sinh nhìn nhận bài toán ở góc nhận biêt, thông hiểu như: ́ ̉ Có biên đôi 1 ph ương trình cua hê ph ̉ ̣ ương trinh tim môi liên hê x,y có phân ̀ ̀ ́ ̣ tích nhân tử được không … khi đa co môi quan hê x va y ta thay vao ph ̃ ́ ́ ̣ ̀ ̀ ương trinh ̀ ̀ ̣ ̉ ̣ ̀ ̀ ́ ̉ ̉ con lai cua hê va dung ham sô đê giai. ̀ Cách ra “Hê ph ̣ ương trinh s ̀ ử dung ham sô đê giai” ̣ ̀ ́ ̉ ̉ Bước 1: Xây dựng môt ph ̣ ương trinh hai ân đê tai môi quan hê x va y s ̀ ̉ ̉ ̣ ́ ̣ ̀ ử dung ̣ ﾹx = u ( y ) ́ ̉ 1/ Viet đao x 2 - � u ( y ) + v ( y ) � x + u ( y ) .v ( y ) = 0 ﾹﾹ � � ﾹx = v ( y ) ﾹ ̉ ́ ́ ̣ a.u ( x ) + b.u ( x ) .v ( y ) + c.u ( x ) .v 2 ( y ) + d.v 3 ( y ) = 0 2/ Đăng câp vi du 3 2 3/ Đanh gia đ ́ ́ ược môi quan hê x va y ́ ̣ ̀ Bước 2: Xây dựng môt ph ̣ ương trinh hai ân đê thay ̀ ̉ ̉ ̣ ̀ ử dung môi quan hê x va y s ́ ̣ ở bươc 1 thay vao đ ́ ̀ ược phương trinh 1 ân s ̀ ̉ ử dung ham sô ̣ ̀ ́ 1/ x 3 + αx = ax + b ( ax + b + α ) α >0 ( 2/ x + βx + αx = ax + b ax + b + β ax + b + α với y = x 3 + βx 2 + αx luôn 3 2 ) ( 4/ ax α + ( ax ) 2 + β ) = bx α + ( ( bx ) 2 + β ) ( trong đó y = ax α + ( ax ) 2 + β ) là hàm số luôn đồng biến hoặc luôn nghịch biến trên R. 5/ ax + b + ( ax + b) 3 + α = cx + d + ( cx + d ) 3 + α 16
6/ 3 ax + b + 3 ax + b + α = 3 cx + d + 3 cx + d + α với ac>0 Bước 3: Với phương trình đã lập ở bước 2 ta giải bài toán này bằng cách biến đổi theo chiều xuôi kiểm tra tính chính xác, mức độ đề để điều chỉnh và kết thúc ra đề. Bai tâp ̀ ̣ Giai cac hê ph ̉ ́ ̣ ương trinh sau ̀ ﾹ x2 - y - y - 6 x - y y + 6 = 0 ﾹ ( ) ( ) 1/ ﾹﾹﾹﾹ x 3 + y = y + 3 x + 2 ﾹ ( ) ﾹ x 3 + x 2 y + xy 2 - 3y 3 = 0 ﾹﾹ 2/ ﾹ ( )( ﾹﾹ x + x 2 + 3 2y + 1 + 2 y 2 + y + 1 = 3 ﾹ ) ﾹﾹ x 3 - 2y + 1 = 0 3/ ﾹﾹﾹ ( 3 - x ) 2 - x - 2y 2y - 1 = 0 ﾹﾹ x11 + xy10 = y 22 + y12 ﾹ 4/ ﾹﾹ 4 ( ﾹﾹ 7y + 13x + 8 = 2y 4 . 3 x 3x 2 + 3y 2 - 1 ﾹ ) ﾹ y 3 + y = x 3 + 3x 2 + 4x + 2 ﾹ 5/ ﾹﾹﾹﾹ 1 - x 2 - y = 2 - y - 1 ﾹ 7.1.2 Danh mục tài liệu tham khảo: [1]. Đề thi tuyển sinh Đại học và đề thi THPT quốc gia môn Toán.. [2]. Đề thi HSG Toán 12 Tỉnh Vĩnh Phúc. [3]. Sách giáo khoa Bài tập giải tích 12 nâng cao Nxb.Giáo dục. [4]. Các đề thi thử ĐH của khối chuyên ĐHSP Hà Nội. 7.2 Khả năng áp dụng của sáng kiến: SKKN này đã được áp dụng cho học sinh 12, bồi dưỡng học sinh giỏi Toán 12 . SKKN này đã được áp dụng cho giáo viên: Tài liệu bồi dưỡng thường xuyên cho giáo viên cách ra bài tập hê ph ̣ ương trình vô tỷ sử dụng hàm số. 8. Những thông tin cần được bảo mật (nếu có): 9. Các điều kiện cần thiết để áp dụng sáng kiến: 17
Học sinh lớp 12 sau khi học tính đơn điệu hàm số, bồi dưỡng học sinh khá giỏi, kiến thức áp dụng thi THPT quốc gia theo lộ trình. Tài liệu cho giáo viên bồi dưỡng thường xuyên. 10. Đánh giá lợi ích thu được hoặc dự kiến có thể thu được do áp dụng sáng kiến theo ý kiến của tác giả và theo ý kiến của tổ chức, cá nhân đã tham gia áp dụng sáng kiến lần đầu, kể cả áp dụng thử (nếu có) theo các nội dung sau: So sánh lợi ích kinh tế, xã hội thu được khi áp dụng giải pháp trong đơn so với trường hợp không áp dụng giải pháp đó, hoặc so với những giải pháp tương tự đã biết ở cơ sở (cần nêu rõ giải pháp đem lại hiệu quả kinh tế, lợi ích xã hội cao hơn như thế nào hoặc khắc phục được đến mức độ nào những nhược điểm của giải pháp đã biết trước đó nếu là giải pháp cải tiến giải pháp đã biết trước đó); Số tiền làm lợi (nếu có thể tính được) và nêu cách tính cụ thể. 10.1. Đánh giá lợi ích thu được hoặc dự kiến có thể thu được do áp dụng sáng kiến theo ý kiến của tác giả: Đề tài này đã được tác giả dạy cho học sinh lớp 12 lớp đầu cao, bồi dưỡng học sinh giỏi, ôn thi THPT quốc gia năm học trước. Giúp học sinh làm tốt các bài toán giải phương trình vô tỷ sử dụng phương pháp hàm số. Sáng kiến kinh nghiệm này là tài liệu tham khảo có ích cho giáo viên và học sinh. Độc giả quan tâm có thể bổ sung thêm làm cho tài liệu thêm phong phú và hấp dẫn hơn 10.2. Đánh giá lợi ích thu được hoặc dự kiến có thể thu được do áp dụng sáng kiến theo ý kiến của tổ chức, cá nhân: ..................................................................................................................................... 11. Danh sách những tổ chức/cá nhân đã tham gia áp dụng thử hoặc áp dụng sáng kiến lần đầu (nếu có): Số Tên tổ Địa chỉ Phạm vi/Lĩnh vực TT chức/cá nhân áp dụng sáng kiến 1 2 18
............., ngày…...tháng......năm........ Bình Xuyên, ngày 18.tháng 01 năm 2019 Thủ trưởng đơn vị/ Tác giả sáng kiến Chính quyền địa phương (Ký, ghi rõ họ tên) (Ký tên, đóng dấu) Lê Văn Vượng 19