SKKN: Ứng dụng tích phân tính diện tích hình phẳng và tính thể tích vật thể

Chia sẻ: Trần Thị Ta | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:22

Thêm vào BST

Báo xấu

88
lượt xem 4
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Mục tiêu của đề tài là nhằm giúp cho các em học sinh lớp 12 có một tài liệu tham khảo cô đọng nhất, lượng bài tập từ dễ đến khó và đầy đủ các dạng. Từ đó giúp học sinh phát huy tốt kiến thức, kỹ năng tính diện tích, thể tích. Học sinh thấy được những ứng dụng của tích phân trong thực tiễn, khi đó học sinh sẽ cảm thấy hứng thú, thiết thực và học tốt vấn đề ứng dụng của tích phân, gặp bài toán thực tế các em sẽ không còn cảm giác không làm được nữa, mà sẽ giải quyết được bài toán đó rất nhanh gọn.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: SKKN: Ứng dụng tích phân tính diện tích hình phẳng và tính thể tích vật thể

MỤC LỤC Trang 1. Lời giới thiệu…………………………………………………………………… 2 2.Tên sáng kiến……………………………………………………………………. 3 3.Tác giả sáng kiến………………………………………………………………... 3 4.Chủ đầu tư tạo ra sáng kiến……………………………………………………... 3 5. Lĩnh vực áp dụng sáng kiến…………………………………………………….. 3 6. Ngày sáng kiến được áp dụng lần đầu………………………………………….. 3 7. Mô tả bản chất của sáng kiến ………………………………………………….. 3 NỘI DUNG 5 Phần 1. Ứng dụng tích phân tính diện tích hình phẳng...………………………….. 5 Dạng 1.............................................................................................................. 5 Dạng 2………….............................................................................................. 6 Phần 2. Ứng dụng tích phân tính thể tích vật thể........................................................ 10 Dạng 1.............................................................................................................. 10 Dạng 2.............................................................................................................. 11 Loại 1..................................................................................................... 11 Loại 2..................................................................................................... 13 Loại 3..................................................................................................... 15 Loại 4……............................................................................................. 17 8. Những thông tin cần được bảo mật…………………………………………….. 21 9. Những điều kiện cần thiết để áp dụng sáng kiến………………………………. 21 10. Đánh giá lợi ích thu được…………………………………………………….. 21 11. Danh sách những tổ chức, cá nhân tham gia áp dụng thử……………………. 21 1
BÁO CÁO KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU, ỨNG DỤNG SÁNG KIẾN 1. Lời giới thiệu Bắt đầu từ năm học 2016 – 2017 đến nay Bộ Giáo Dục và Đào Tạo đã thực hiện đổi mới trong thi cử, trong đó môn Toán cùng với các bộ môn khác chuyển từ hình thức thi tự luận sang hình thức thi trắc nghiệm. Trong đề thi minh họa của Bộ Giáo Dục và Đào Tạo và trong các đề thi chính thức của Bộ Giáo Dục luôn có những bài toán thực tế. Những bài toán thực tế đó thường gây ra cho học sinh lúng túng và nhiều khi các em học sinh thường bỏ qua những bài toán thực tế đó. Một trong những bài toán thực tế đó là về tính diện tích hình phẳng hoặc thể tích của một vật thể dựa vào tích phân. Vấn đề tính diện tích của các hình quen thuộc như tam giác, tứ giác, ngũ giác, lục giác,… gọi chung là đa giác học sinh đều đã biết công thức tính diện tích từ các lớp dưới. Cũng tương tự như vậy vấn đề thể tích các khối như (khối hộp chữ nhật, khối lập phương, khối lăng trụ, khối chóp, ….gọi chung là khối đa diện) học sinh đều được học công thức tính thể tích. Đây là một vấn đề rất thực tế nhưng để học tốt nó vốn không đơn giản đối với các học sinh có tư duy hình học yếu, đặc biệt là tư duy cụ thể hoá, trừu tượng hoá. Việc dạy và học các vấn đề này ở chương trình toán lớp dưới vốn đã gặp rất nhiều khó khăn bởi nhiều nguyên nhân, trong đó yếu tố “trực quan và thực tế” trong các sách giáo khoa đang còn thiếu. Do đó khi học về vấn đề tính diện tích của các hình phẳng, tính thể tích của các vật thể ở chương trình giải tích 12 học sinh gặp rất nhiều khó khăn. Đa số các em học sinh thường có cảm giác nhìn vào bài toán là đã không muốn đọc rồi bởi vì nó dài và còn khó nữa. Có chăng nếu em nào đó mà học khá hơn một chút thì khi học vấn đề này nhìn chung các em thường vận dụng công thức một cách máy móc chưa có sự phân tích, thiếu tư duy thực tế và trực quan nên các em hay bị nhầm lẫn, hoặc không giải được, đặc biệt là những bài toán cần phải có hình vẽ để “chia nhỏ” diện tích mới tính được. Càng khó khăn hơn cho những học sinh có kỹ năng tính tích phân còn yếu và kỹ năng “đọc đồ thị” còn hạn chế. Trong sách giáo khoa bài tập về vấn đề đó còn ít, hoặc lượng bài tập rất hạn chế còn 2
sơ sài. Trên các diễn đàn thì tài liệu nhiều vô kể nhưng cũng gây hoang mang cho học sinh vì không biết nên tham khảo tài liệu nào hay bỏ tài liệu nào, chưa kể các tài liệu viết rất lan man, nhiều bài toán thậm chí còn đánh đố học sinh. Nhận thức được vấn đề đó nên tôi viết đề tài “ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN TÍNH DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG VÀ TÍNH THỂ TÍCH VẬT THỂ ” nhằm giúp cho các em học sinh lớp 12 có một tài liệu tham khảo cô đọng nhất, lượng bài tập từ dễ đến khó và đầy đủ các dạng. Từ đó giúp học sinh phát huy tốt kiến thức, kỹ năng tính diện tích, thể tích. Học sinh thấy được những ứng dụng của tích phân trong thực tiễn, khi đó học sinh sẽ cảm thấy hứng thú, thiết thực và học tốt vấn đề ứng dụng của tích phân, gặp bài toán thực tế các em sẽ không còn cảm giác không làm được nữa, mà sẽ giải quyết được bài toán đó rất nhanh gọn. 2. Tên sáng kiến “Ứng dụng tích phân tính diện tích hình phẳng và tính thể tích vật thể” 3. Tác giả sáng kiến - Họ và tên: Tô Ngọc Dũng - Địa chỉ tác giả sáng kiến: Trường THPT Nguyễn Viết Xuân – Huyện Vĩnh Tường – Tỉnh Vĩnh Phúc. - Số điện thoại: 0976378504 - Email: dung.thpt.nvx@gmail.com 4. Chủ đầu tư tạo ra sáng kiến - Họ và tên: Tô Ngọc Dũng 5. Lĩnh vực áp dụng sáng kiến - Nghiên cứu giảng dạy môn Toán lớp 12 trong trường THPT. 6. Ngày sáng kiến được áp dụng lần đầu hoặc áp dụng thử Từ tháng 09 năm 2018 đến tháng 02 năm 2019 7. Mô tả bản chất của sáng kiến: - Để giúp các em học sinh hiểu rõ ý nghĩa hình học của tích phân. Ứng dụng tích phân trong các bài toán thực tế về diện tích hình phẳng và thể tích vật thể. 3
- Nêu các dạng toán, các phương pháp giải cho từng dạng toán, hướng dẫn cho học sinh luyện tập rèn luyện kỹ năng, say mê hứng thú với môn học. - Giúp học sinh hiểu rõ bản chất của vấn đề, không nhớ công thức một cách máy móc, không còn cảm giác run sợ trước những bài toán thực tế này. 4
NỘI DUNG Phần 1. ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN TÍNH DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG Dạng 1. Nếu hàm số y  f ( x ) liên tục trên đoạn  a;b  thì diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số y  f ( x ) , trục hoành và hai đường thẳng x  a,x  b là: b S   f  x  dx . a Bài 1: Tính diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số y  x 3  1 , trục hoành Ox, trục tung và đường thẳng x  2 . Giải: Diện tích S của hình phẳng cần tìm là 2 1 2 3 11 7 S   x  1 dx     x  1 dx    x 3  1 dx    3 3 0 0 1 4 4 2 Chú ý: Nếu phương trình f(x) = 0 có k nghiệm phân biệt x1 , x2 , …, xk thuộc (a ; b) thì trên mỗi khoảng (a ; x1 ), (x1 ; x2), …, (xk ; b) biểu thức f(x) có dấu không đổi. b Khi đó để tính tích phân S   f ( x) dx ta có thể tính như sau: a b x1 x2 b S   f ( x) dx   f ( x)dx   f ( x)dx  ...   f ( x)dx . a a x1 xk 3 2 Bài 2. Cho hàm số y  x  3x  2 có đồ thị (C ). Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị (C ), trục hoành, trục tung và đường thẳng x  2 . y 4 f x =  x 3-3  x 2 +2 A 2 x -2 -1 O1 B 3 (C) Hình 3 5
Giải: Từ đồ thị ta thấy: x 3  3x 2  2  0,x  0;1 và x 3  3x 2  2  0,x  1;2  . Do đó diện tích hình phẳng cần tìm là: 2 1 2 5 S   x  3x  2 dx    x  3x  2  dx    x 3  3x 2  2  dx  3 2 3 2 0 0 1 2 Bài 3: Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số y  x 3  x 2  2 , trục hoành Ox và các đường thẳng x  1,x  2 . Giải: 2 2 85  x  x 2  2  dx  3 2 3 Diện tích S của hình phẳng: S  x  x  2 dx  1 1 12 Dạng 2. Hình phẳng giới hạn bởi đồ thị các hàm số y  f ( x ), y  g( x ) liên tục trên đoạn  a;b  và hai đường thẳng x  a,x  b có diện tích S được tính theo công thức: b S   f ( x)  g ( x) dx . a Bài 4. Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hai hàm số y  x 3  2 x và y  3 x 2 Giải Xét phương trình hoành độ giao điểm x  0  x 3  2 x  3 x 2  x  x 2  3 x  2  0   x  1 .  x  2  Diện tích hình phẳng cần tính là 2 1 2 S   x  2 x  3 x dx    x  3x  2 x dx   x 3  2 x  3 x 2 dx 3 2 3 2 0 0 1 1 2 1    x  3x  2 x dx    x 3  3x 2  2 x dx  3 2 . 0 1 2 Bài 5. (ĐỀ MINH HỌA QUỐC GIA NĂM 2017) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y  x 3  x và đồ thị hàm số y  x  x 2 . Giải: 6
x  0  Phương trình hoành độ giao điểm: x 3  x  x  x 2  x 3  x 2  2 x  0   x  1   x  2  Khi đó diện tích hình phẳng cần tìm là 1 0 1 S   x  x  2 x dx   x  x  2 x dx   x 3  x 2  2 x dx 3 2 3 2 2 2 0 0 1 8 5 37    x 3  x 2  2 x dx    x 3  x 2  2 x dx    . 2 0 3 12 12 Bài 6. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y  x 1  x 2 , đường thẳng y  0 và đường thẳng x  1 . Giải: x  0 Phương trình hoành độ giao điểm: x 1  x  0   2  x  0 .  1  x 2  0 1 1 2 2 1 Khi đó diện tích hình phẳng cần tìm: S   x 1  x dx   x 1  x 2 dx  2 . 0 0 3 x Bài 7. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị (C ): y  3x 2  4 và đường thẳng 4 y = x (đồ thị như hình vẽ). y 4 3 2 1 O x -3 -2 -1 1 2 3 4 -1 d -2 (C) -3 Giải: Phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị đã cho là : x 1 x  0 x  0 x  0 3x 2  4  x  x( 3x 2  4  1)  4   2  2  4 4 3x  4  16 x  4  x  2 7
Diện tích của hình phẳng cần tính: 0 2 0 2 x x 1 1 S 3 x 2  4 dx   3 x 2  4 dx  .  x 3 x 2  4dx   x 3 x 2  4dx 2 4 0 4 4 2 4 0 1  56 1 56 56  56 112 28 S     4 9 4 9 9.4 9.4 9 Bài 8. (Đề thi thử nghiệm – Bộ GD & ĐT năm 2016 – 2017) Ông An có một mảnh vườn hình Elip có độ dài trục lớn bằng 16m và độ dài trục bé bằng 10m. Ông muốn trồng hoa trên một dải đất rộng 8m và nhận trục bé của elip làm trục đối xứng (như hình vẽ). Biết kinh phí để trồng hoa là 100.000 đồng /1m 2 . Hỏi ông An cần bao nhiêu tiền để trồng hoa trên dải đất đó ? 8m (Số tiền được làm tròn đến hàng nghìn). A. 7.862.000 đồng. B. 7.653.000 đồng. C. 7.128.000 đồng. D. 7.826.000 đồng. Giải: x 2 y2 Phương trình đường elip là   1 . 64 25 4 25x 2 Diện tích hình phẳng cần tìm là S  2 25  dx  2.38,2644591 (đổi biến số 4 64 hoặc bấm máy tính casio). Vậy số tiền ông An cần là: 2.38,2644591.100000  7652891  7653000 . Chọn đáp án B. Bài 9. Ông Hùng muốn làm một cổng đồng có hình dạng và kích thước giống như hình vẽ kế bên, biết đường cong phía trên là một parabol. Giá 1m2 cổng đồng có giá là 7.000.000 đồng. Vậy ông Hùng phải trả bao nhiêu tiền để làm cổng đồng như vậy. (làm tròn đến hàng nghìn) . Giải: 8
Hình 7 Ta có mô hình cổng đồng trong mặt phẳng tọa độ như hình vẽ trên. Diện tích cổng đồng gồm diện tích hình chữ nhật và diện tích phần giới hạn bởi parabol  P  và trục hoành. Từ tọa độ 3 điểm thuộc parabol  P  ta tìm được phương trình của parabol  P  là: 2,5 2 2 1 2 1 5 15 55  P  : y   x   S     x 2   dx  5.1,5     m 2  25 2 2,5  25 2 3 2 6 55 Vậy số tiền ông Hùng cần trả để làm cổng đồng là: .7000000  64170000 (đồng) 6 Bài 10. Người ta trồng hoa vào phần đất được gạch sọc được giới hạn bởi cạnh AB, CD, đường trung bình MN của mảnh đất hình chữ nhật ABCD và một đường cong hình sin (như hình vẽ). Biết AB  2 (m ) và AD  2(m ). Tính diện tích phần còn lại. A. 4  1. B. 4(  1). 4  2 4  3 C.  D.  2 2 Bài 11. (THPT Chuyên Đại học Vinh) Trong Công viên Toán học có những mảnh đất mang hình dáng khác nhau. Mỗi mảnh được trồng một loài hoa và nó được tạo thành bởi một trong những đường cong đẹp trong toán học. Ở đó y có một mảnh đất mang tên Bernoulli, nó được tạo thành từ đường Lemmiscate có phương trình trong hệ tọa độ Oxy là 16y 2  x 2 (25  x 2 ) như hình vẽ bên. Tính diện x tích S của mảnh đất Bernoulli biết rằng mỗi đơn vị trong hệ tọa độ Oxy tương ứng với chiều dài 1 mét. 125 125 250 125 A. S  (m 2 ). B. S  (m 2 ). C. S  (m 2 ). D. S  (m 2 ). 6 4 3 3 Giải: Hoành độ giao điểm của đồ thị với trục hoành là x  5, x  0, x  5 . Diện tích của mảnh đất Bernoulli bằng 4 lần diện tích của mảnh đất nhỏ trong góc phần tư thứ nhất. 9
5 1 125 Ta có: S  4  x 25  x 2 dx  . Chọn đáp án D. 0 4 3 Bài 12. Một khuôn viên dạng nửa hình tròn có đường kính bằng 4 5 (m). Trên đó người thiết kế hai phần để trồng hoa có dạng của một cánh hoa hình parabol có đỉnh trùng với tâm nửa hình tròn và hai đầu mút của cánh hoa nằm trên nửa đường tròn (phần tô màu), cách nhau một khoảng bằng 4 (m), phần còn lại của khuôn viên (phần không tô màu) dành để trồng cỏ Nhật Bản. Biết các kích thước cho như hình vẽ và kinh phí để trồng cỏ Nhật Bản là 100.000 đồng/m2. Hỏi cần bao nhiêu tiền để trồng cỏ Nhật Bản trên phần đất đó? (Số tiền được làm tròn đến hàng nghìn) 4m 4m 4m Giải: Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ. Khi đó phương trình nửa đường tròn là: 2 y  R2  x2  2 5   x 2  20  x 2 . Phương trình parabol  P  có đỉnh là gốc O sẽ có dạng y  ax 2 . Mặt khác  P  qua điểm M  2;4  Hình 8 2 do đó: 4  a  2   a  1 . Phần diện tích của hình phẳng giới hạn bởi  P  và nửa đường 2 tròn. (phần tô màu) Ta có: S1   2   20  x 2  x 2 dx  11,94m 2 . 1 Vậy phần diện tích trồng cỏ là Strongco  Shinhtron  S1  19, 47592654 2 Vậy số tiền cần có là Strongxo  100000  1.948.000 (đồng) Phần 2. ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN TÍNH THỂ TÍCH VẬT THỂ Dạng 1: Tính thể tích của vật thể Cắt một vật thể C bởi hai mặt phẳng  P  và Q  vuông góc với trục Ox lần lượt tại x  a, x  b a  b  . Một mặt phẳng bất kì vuông góc với Ox tại điểm x a  x  b  cắt C theo một thiết diện có diện tích S  x  . Giả sử S  x  là hàm liên tục trên đoạn a;b  10
. Khi đó thể tích của vật thể C giới hạn bởi hai mặt phẳng  P  và Q  được tính theo b công thức V   S  x dx . a Bài 13. Thể tích của phần vật thể giới hạn bởi hai mặt phẳng x  0 và x  3 , có thiết diện bị cắt bởi mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ x 0  x  3 là một hình chữ nhật có hai kích thước bằng x và 2 9  x 2 , bằng: A. V  3 . B. V  18. C. V  20. D. V  22. Giải: Diện tích của hình chữ nhật có hai kích thước x và 2 9  x 2 bằng: 2 x 9  x 2 3 Do vậy thể tích của vật thể đã cho bằng V   2 x 9  x 2 dx 0  x  0  t  3 Đặt 9  x 2  t  x 2  9  t 2  xdx  tdt . Đổi cận     x  3  t  0 0 0  2  Suy ra V  2  t 2 dt   t 3   18 . Chọn B.  3  3 3 Bài 14. Tính thể tích vật thể nằm giữa hai mặt phẳng có phương trình x  0 và x  2 , biết rằng thiết diện của vật thể bị cắt bởi mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ x  0;2  là một phần tư đường tròn bán kính 2x 2 , ta được kết quả nào sau đây? 16 A. V  32. B. V  64 . C. V  . D. V  8. 5 Giải: 1   1 2 Ta có diện tích thiết diện là S  x    2 x 2   x 4 . 4 2 2 2 1 1 x5  16 Thể tích cần tìm là V    x 4 dx   .   . Chọn C. 2  2 5  5 0 0 Dạng 2: Tính thể tích của khối tròn xoay Loại 1. Tính thể tích vật thể tròn xoay khi quay miền D được giới hạn bởi các đường y  f  x ; y  0 ; x  a; x  b quanh trục Ox được tính 11
theo công thức b V    f 2  x dx . a Bài 15. Tính thể tích V của vật thể tròn xoay khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường 2 y  , y  0, x  1, x  4 quanh trục Ox. x Giải: 4 2 4 2 1 Thể tích cần tìm V      dx  4  2 dx  3 . 1 x 1 x Bài 16. Tính thể tích của vật thể tròn xoay tạo bởi khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường y  x 2  2x , y  0, x  0 và x  1. Giải: Thể tích cần tìm: 1 1 x5 x 3 1 8 V    ( x 2  2 x) 2 dx    ( x 4  4 x 3  4 x 2 )dx   (  x4  4 )  . 0 0 5 3 0 15 Bài 17. Cho hình thang cong (H ) giới hạn bởi các đường y  e x , y  0, x  1, x  1. Tính thể tích V của vật thể tròn xoay sinh ra khi cho hình (H ) quay quanh trục hoành. Giải: 1 1 x 2 e 2  e 2 Thể tích cần tìm V     e  dx    e 2 x dx   . 1 1 2 Bài 18. Cho hình phẳng giới hạn bởi đường cong y  sin x , trục hoành và hai đường thẳng x  0, x  . Tính thể tích V của khối tròn xoay thu được khi quay hình này quanh trục Ox . Giải:   2 Thể tích cần tìm V     sinx  dx    sin 2 xdx   2 . 0 0 Bài 19. Kí hiệu (H ) là hình phẳng giới hạn bởi đường cong y  tan x , trục hoành và hai  đường thẳng x  0, x   Tính thể tích V của khối tròn xoay thu được khi quay hình 4 (H ) xung quanh trục Ox . 12
Giải:   4 4 2   Thể tích cần tìm V     tanx  dx    tan2 xdx    1   . 0 0  4 Bài 20. Tính thể tích của vật thể tròn xoay tạo bởi khi quay hình phẳng giới hạn bởi bốn đường sau quanh trục hoành Ox. y  x 2  2 x , y = 0, x = 0, x = 1. Giải: Thể tích cần tìm 1 1 5 3 1 V    x  2 x dx    ( x 4  4 x 3  4 x 2 )dx   ( x  x 4  4 x )  38  . 2 2 0 0 5 3 0 15 Bài 21. Tính thể tích của vật thể tròn xoay tạo bởi khi quay hình phẳng giới hạn bởi bốn đường sau quanh trục hoành Ox. y  ln x , y = 0, x = 1, x = e. e e 2 Giải: Thể tích cần tìm V     ln x  dx    ln 2  x  dx 1 1  1 u  ln 2 x du  2 ln x. dx Đặt   x dv  dx v  x e e 2 e 2 e e 1 2 2 e Do đó  ln xdx  uv   vdu  x ln x -  x2lnx. dx  e ln e  ln 1  2 ln xdx  e  2 I 1 1 1 1 1 x 1 e  1 u  ln x du  dx I  ln xdx , Đặt    x 1  dv  dx v  x e e e e I   ln x  ( x ln x)   dx  e ln e  ln 1  ( x)  e  (e  1)  1 1 1 1 1 e e Suy ra V    (ln x) dx    ln 2 xdx = (e – 2). 2 1 1 Bài 22. Tính thể tích V của khối tròn xoay khi quay hình phẳng giới hạn bởi y  sin 2x cos x, y  0, (0  x  ) xung quanh trục hoành Ox . Giải:   2 2 2 2 Thể tích cần tìm V     sin 2x cosx  dx    sin 2x.cos xdx  . 0 0 4 Loại 2. Hình phẳng D được giới hạn bởi các đường y  f  x ; y  g  x  và hai đường 13
x  a; x  b (với f  x . g  x   0, x  a; b  ) thì thể tích khối tròn xoay sinh bởi khi quay b D quanh trục Ox được tính bởi công thức: V    f 2  x   g 2  x  dx . a Bài 23. Hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hai hàm số y  2 x  x 2 và y  x khi quay quanh trục Ox tạo thành khối tròn xoay có thể tích bằng bao nhiêu? Giải: x  0 Xét phương trình hoành độ giao điểm 2 x  x 2  x  x  x  1  0    x  1 Thể tích khối tròn xoay cần tìm là 1 1 1  3 x 5   V    2 x  x  2 2  x dx    3 x  4 x  x dx    x  x    . 2 2  3 4 4 0 0  5  0 5 Bài 24. Thể tích vật thể tròn xoay sinh ra khi hình phẳng giới hạn bởi các đường 4 y  x 2 , y  x quay quanh trục hoành bằng bao nhiêu? Giải: x2 x  0 Xét phương trình hoành độ giao điểm  x  x  x  4   0   4  x  4  x 2  4 2 Thể tích khối tròn xoay cần tìm là V       x 2 dx  4  0 4 4 x4  x 5 x 3  128     x dx       2 . 16  80 3  15 0 0 Bài 25. Cho hình phẳng  H  giới hạn bởi các đường y  x , y  x và x  4 . Tính thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay hình  H  quanh trục hoành. Giải: x  0  Phương trình hoành độ giao điểm là x  x    x 0.    x  x 2 4 Thể tích khối tròn xoay cần tìm là V    x 2  x dx . 0 14
x  0 Xét phương trình: x 2  x  0   .  x  1 1 4 1 4 Do đó V    x  x dx    x  x dx    x  x dx     x 2  x dx 2 2 2 0 1 0 1 1 4  x3 x2  x3 x2  41            .  3 2  0  3 2  1 3 Bài 26. Gọi (H )là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = 4 –x2 , trục hoành và đường thẳng y = x + 2 . Giải: Gọi V1 là thể tích của vật thể tròn xoay tạo bởi khi quay hình phẳng giới hạn bởi bốn đường y = x + 2 , y = 0, x = -2, x = 1 quanh trục hoành Ox . 1 1 x3 1 V1    ( x  2) 2 dx    ( x 2  4 x  4)dx   (  2 x 2  4 x)  9 2 2 3 2 Gọi V2 là thể tích của vật thể trên tròn xoay tạo bởi khi quay hình phẳng giới hạn bởi bốn đường y = 4- x2 , y = 0, x = 1 và x = 2 quanh trục hoành Ox. 2 2 53 V2    (4  x ) dx    (16  8 x 2  x 4 )dx  2 2 y 1 1 15 Thể tích của vật thể tròn xoay cần tính là : 4 d 53 188 3 V  V2  V1   9  (C) 15 15 2 1 2 x -3 -2 -1 O 1 3 -1 -2 Loại 3. Tính thể tích khối tròn xoay sinh ra khi quay hình phẳng D giới hạn bởi các đường x  g  y  , trục tung và hai đường y  c , y  d quanh trục Oy được tính theo d công thức: V    g 2  y dy . c Bài 27. Cho hình phẳng giới hạn bởi các các đường: y  ln x , trục tung, và hai đường thẳng y = 0, y = 1 .Tính thể của vật thể tròn xoay tạo bởi khi quay hình phẳng trên quanh trục tung . Giải: y Ta có y  ln x  x  e 15
Do đó thể tích của vật thể tròn xoay tạo bởi khi quay hình phẳng tạo bởi đồ thị hàm số x  e y , trục tung và hai đường thẳng y = 0, y = 1 là : 1 1 2y 1 1  V    e 2 y dy   e   (e 2  e0 )  (e 2  1) 0 2 0 2 2 Bài 28. Cho hình phẳng (H) giới hạn bởi đường cong (C) : x 2  4 y 2  4 , trục tung, hai đường thẳng x = 2 , y = 2. Tính thể tích của vật thể tròn xoay tạo bởi khi quay hình phẳng (H) quanh trục tung. Giải: Ta có 1 (C ) : x 2  4 y 2  4  4 y 2  4  x 2  y  4  x 2 , y  0 2 Gọi V1 là thể tích của vật thể tròn xoay tạo bởi khi quay hình phẳng giới hạn bởi nửa elip (E ) , trục tung và hai đường y = 0, y = 1 quanh trục tung . 1 1  1  11 11 V1    ( 4  x ) dx   (4  x 2 )dx  .  2 2 0 2 40 4 3 12 Gọi V2 là thể tích của vật thể tròn xoay tạo bởi khi quay hình phẳng giới hạn bởi đường thẳng y = 2, trục tung và hai đường y = 0, y =1 quanh trục tung. 2 2 2 V2    2 dx    4dx  8 0 0 11 85 Thể tích của vật thể tròn xoay cần tính là : V  V2  V1  8    12 12 Loại 4. Một số bài toán khác Bài 29. Trong hệ tọa độ Oxy cho nửa đường tròn có phương trình (C): x 2  y 2  16. với y  0 (hình vẽ). Quay nửa hình tròn đó quanh trục hoành ta được một mặt cầu có bán hính bằng 4 . Tính thể tích của mặt cầu này. Giải: y (P) 4 Ta có x 2  y 2  16  y  16  x 2 vì y  0 . Khi đó thể tích khối cầu là : 2 4 2 4 V   4  16  x 2  dx  2  16  x  dx  0 2 -r -2 -1 O 1 2 3 r x 3 -1  4  256  2  4 3    .  3  3 16
Bài 30. Một khối cầu có bán kính bằng 5 dm, người ta cắt bỏ hai đầu bằng hai mặt phẳng vùng vuông góc với một đường kính của khối cầu và cách tâm khối cầu một khoảng bằng 4 dm để làm một chiếc lu đựng nước. Thể tích cái lu bằng 500 2296  952 [6] 472 A. dm3 . B. dm3 . C. dm 3 . D. dm 3 . 3 15 27 3 Giải: Chọn D. Hai phần cắt đi có thể tích bằng nhau, mỗi phần là một chỏm cầu có thể tích R 5 14 V1     R  x  dx     25  x 2  dx  2 2 d 4 3 Vậy thể tích của chiếc lu là : 4 14 472 V  Vc  2V1   .53  2    3 3 3 Bài 31. Có một vật thể là hình tròn xoay có dạng giống 4 cm như một cái ly như hình vẽ dưới đây. Người ta đo được A B O đường kính của miệng ly là 4cm và chiều cao là 6cm . Biết rằng thiết diện của chiếc ly cắt bởi mặt phẳng đối xứng là một parabol. Tính thể tích V  cm 3  của vật thể đã cho. 6 cm A. V  12 . B. V  12 . 72 72 C. V   . D. V  . 5 5 I Giải: Chọn A. Chọn gốc tọa độ O trùng với đỉnh I của parabol  P  . Vì parabol  P  đi qua các điểm 3 2 A  2;6  , B  2;6  và I  0;0  nên parabol  P  có phương trình y x . Ta có 2 3 2 2 y x  x 2  y . Khi đó thể tích của vật thể đã cho là 2 3 6 2  V     y  dy  12  cm3  . 0 3  Bài 32. Một vật thể bằng gỗ có dạng khối trụ với bán kính đáy bằng 10  cm  . Cắt khối trụ bởi một mặt phẳng có giao tuyến với đáy là một đường kính của đáy và tạo với đáy góc 45o . Thể tích của khối gỗ bé là 2000 1000 A. 3  cm3  . B. 3  cm3  . 17
2000 2000 C. 7  cm3  . D. 9  cm3  [8]. Giải: Chọn A. Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ. Khi đó khúc gỗ bé có đáy là nửa hình tròn có phương trình: y  100  x 2 , x   10,10 . Một một mặt phẳng cắt vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ x , x   10,10 , cắt khúc gỗ bé theo thiết diện có diện tích là S  x  (xem hình). 1 1 Dễ thấy NP  y và MN  NP tan 45o  y  100  x 2 . Suy ra S  x   MN .PN  2 2  100  x 2 .  10 10 1 2000 Khi đó thể tích khúc gỗ bé là : V   S  x  dx  2 10   100  x 2 dx  3   cm3 . 10 Bài 33. Gọi V là thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường y  x , y  0 và x  4 quanh trục Ox . Đường y thẳng x  a, (0  a  4) cắt đồ thị hàm y  x tại M M (hình vẽ bên). Gọi V1 là thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay tam giác OMH quanh trục Ox Biết rằng H V  2V1. Tính a. O a 4 x A. a  2, 5. B. a  3. C. a  2 2. D. a  2. Giải: 4 Ta có V    xdx  8  V1  4 0 1   1   2 2 Mặt khác ta lại tính được V1  a a   4  a  a 3 3 Từ đó suy ra được a  3 Chọn đáp án B. 18
Bài 34. Một Bác thợ gốm làm một cái lọ có dạng khối tròn xoay được tạo thành khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường y  x  1 (đồ thị như hình vẽ bên dưới) và trục Ox quay quanh trục Ox . Biết đáy lọ và miệng lọ có đường kính lần lượt là 2 dm và 4 dm. Tính thể tích V của lọ. A. V  8 dm 3 . 15 B. V  dm 3 . 2 3 C. V  7  dm . D. V  17  dm 3 . Bài 35. Coi cái trống trường là vật thể giới hạn bởi một mặt cầu bán kính R  0, 5m và hai mặt phẳng song song cách đều tâm I . Biết chiều cao của trống là h  0, 8m. Tính thể tích V của cái trống. A. V  472 (m 3 ). B. V  375 (m 3 ). 3 59 C. V  59 (m 3 ). D. V  472 (m 3 ). 375 39 1 Bài 36. Gọi (H ) là phần giao của hai khối hình trụ có bán kính a, hai trục hình trụ 4 vuông góc với nhau. Xem hình vẽ bên. Tính thể tích V của (H ). 2a 3 A. V(H )   3 B. V(H )  2a 3 . a3 C. V(H )   2 a 3 D. V(H )  a . a Giải: Dùng hệ trục tọa độ Oxyz, từ đó tìm ra được diện tích thiết diện S x   a 2  x 2 . a a 2a 3 Thể tích của khối (H) cần tìm là: V(H )   S x dx   a 2  x 2 dx  0 0 3 Chọn đáp án A Bài 37. Cho hai đường tròn (O1;5) và (O2 ; 3) cắt nhau tại hai điểm A và B sao cho AB là một đường kính của đường tròn (O2 ). Gọi (D ) là diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đường tròn (ở ngoài đường tròn lớn, phần gạch chéo như hình vẽ). Quay (D ) quanh trục O1O2 , ta được một khối tròn xoay. Tính thể tích V của khối tròn xoay được tạo thành ? 19
14 A. V   3 68 B. V   3 40 C. V   3 D. V  36. 1 Bài 38. Cho (H ) là hình phẳng giới hạn bởi cung tròn có bán kính R  2, đường cong 4 y  4  x và trục hoành (miền tô đậm như hình vẽ). Tính thể tích V của khối tạo thành khi cho hình (H ) quay quanh trục Ox . 77 53 A. V   B. V   6 6 67 66 C. V   D. V   6 7 Bài 39. Trong chương trình nông thôn mới, tại một xã X có xây một cây cầu bằng bê tông như hình vẽ. Tính thể tích khối bê tông để đổ đủ cây cầu. (Đường cong trong hình vẽ là các đường Parabol). y A. 19m 3. B. 21m 3. C. 18m 3 . O x D. 40m 3. Giải: Dùng hệ trục tọa độ như hình vẽ 8 2 1 2 5 Từ đó tìm được phương trình parabol P1  : y  x  2, P  : y  2 x  . 361 40 2 Khi đó thể tích của khối bê tông là: V  40m 3 . 20