Tài liệu tham khảo: Số phức

Chia sẻ: Nguyễn Văn Chiến | Ngày: | Loại File: DOC | Số trang:16

Thêm vào BST

Báo xấu

522
lượt xem 234
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Tài liệu tham khảo và ôn thi toán học chuyên đề về Số phức

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Tài liệu tham khảo: Số phức

Chuyên đề: số phức Chủ đề1: dạng đại số của số phức Cộng, trừ, nhân, chia số phức A. củng cố kiến thức 1. Số phức: Một biểu thức dạng z = a + bi, trong đó a và b là những số thực và i thỏa mãn i 2 = -1 được gọi là một số phức. a được gọi là phần thực, b được gọi là phần ảo i được gọi là đơn vị ảo. Tập các số phức được kí hiệu là Χ Số phức có phần ảo bằng 0 gọi là số thực nên R ⊂ Χ . Số phức có phần thực bằng 0 gọi là số ảo. 0 = 0 + 0i là số vừa thực vừa ảo. 2. Hai số phức bằng nhau z = a+bi (a,b ∈ ¡ ) z' = a'+b' i (a',b' ∈ ¡ ) a = a ' z = z' ⇔  b = b ' 3. Cộng, trừ hai số phức z = a+bi (a,b ∈ ¡ ) z' = a'+b' i (a',b' ∈ ¡ ) z + z' = (a + a' ) + (b + b') i z − z' = (a - a') + (b - b' )i Số đối của số phức z = a + bi là số phức - z = - a - bi; z + (-z) = 0. 4. Nhân hai số phức z = a+bi (a,b ∈ ¡ ) z' = a'+b' i (a',b' ∈ ¡ ) zz' = aa '− bb '+ (ab '+ a ' b)i 5. Môđun của số phức, số phức liên hợp z = a +bi (a, b ∈ ¡ ) thì môđun của z là z = a 2 +b2 z = a +bi (a, b ∈ ¡ ) thì số phức liên hợp của z là z = a - bi. Ta có: 2 zz' = z z' , zz = a 2 + b 2 = z z + z' = z + z', zz'=z z', z = z z là số thực khi và chỉ khi z = z 6. Chia cho số phức khác 0 1 Nếu z = a + bi (a, b ∈ ¡ ) khác không thì số phức nghịch đảo của z là z-1= z 2 . z z' z'z z' z'  z' z' Thương của z' cho z khác không là: = z'z-1 = . Ta có: = ,  ÷= . z zz z z z z 7. Biểu diễn hình học của số phức Số phức z = a + bi (a, b ∈ ¡ ) được biểu diễn bởi M(a; b) trong mặt phẳng toạ độ Oxy hay còn gọi là mặt phẳng phức. Trục Ox biểu diễn các số thực gọi là trục thực, trục Oy biểu diễn các số ảo gọi là trục ảo
r Số phức z = a + bi (a, b ∈ ¡ ) cũng được biểu diễn bởi vectơ u = (a; b) , do đó M(a; b) uuuur là điểm biểu diễn của số phức z = a + bi (a, b ∈ ¡ ) cũng có nghĩa là OM biểu diễn số phức đó. rr Ta có:Nếu u , v theo thứ tự biểu diễn các số phức z, z' thì r r u + v biểu diễn số phức z + z', r r u − v biểu diễn số phức z - z', r k u (k ∈ ¡ ) biểu diễn số phức kz, uuuu r r OM = u = z , với M là điểm biểu diễn của z. B. Các dạng bài tập 1. Xác định tổng, hiệu, tích, thương của các số phức a) Phương pháp giải - áp dụng các quy tắc cộng, trừ, nhân, chia hai số phức, chú ý các tính chất giao hoán, kết hợp đối với các phép toán cộng và nhân. b) Các ví dụ Ví dụ 1: Tìm phân thực, phần ảo của các số phức sau a) i + (2 - 4i) - (3 - 2i); b) (−1 + i)3 − (2i )3 Bài giải a) Ta có: i + (2 - 4i) - (3 - 2i) = ((0 + 2) + (1 - 4)i) + (- 3 + 2i) = (2 - 3) + (-3 + 2)i = -1 - i. Vậy số phức đã cho có phần thực là - 1, phần ảo là - 1. b) Sử dụng các quy tắc cộng, trừ, nhân hai số phức ta có (−1 + i)3 = (−1)3 + 3(−1)2 i + 3(−1)i 2 + i3 = 2 + 2i (−2i)3 = (−2)3 (i)3 = 8i Do đó nhận được kết quả của bài toán là 2 + 10i 1 Ví dụ 2: Tính 1 3 + i 2 2 Bài giải 1 3 1 3 − i − i 2 2 1 3 Ta có :  =2 2 = − i 1 3  1 3  1 2 2  + i ÷ − i÷  2 2  2 2  Ví dụ 3: Tính 1 + i + i 2 + i3 + ... + i 2009 Bài giải Ta có: 1 − i 2010 = (1 − i)(1 + i + i 2 + i3 + ... + i 2009 ) 2 Mà 1 − i 2010 = 2 . Nên 1 + i + i 2 + i3 + ... + i 2009 = , hay là 1− i 1 + i + i 2 + i3 + ... + i 2009 = 1 + i . Ví dụ 4: Tính (1 − i)100 Bài giải Nhận thấy (1 − i)2 = (1 − i)(1 − i) = −2i . Suy ra (1 − i )100 = ((1 − i )2 )50 = (−2i)50 = (−2)50 (i)50 = −250 .
Ví dụ 5: Cho số phức z = − + 1 3 . i 2 2 1 Hãy chứng minh rằng: z 2 + z + 1 = 0; z = z 2 = ; z3 = 1. . z Bài giải 1 Do z 2 = − − 3 . Nên 2 1 3 1 3 i z + z + 1 = (− − i ) + (− + i) + 1 = 0 ; 2 2 2 2 2 2 1 3 1 1 − − i 1 3 Lại có = = 2 2 =− − i . Suy ra z 2 = z = 1 . z 1 3 1 2 2 z − + i 2 2 Hơn nữa ta có z3 = 1 . Ví dụ 6: Tìm số phức z, nếu z + z = 0 . 2 Bài giải Đặt z = x + yi, khi đó z 2 + z = 0 ⇔ ( x + yi) 2 + x 2 + y 2 = 0 ( ) ⇔ x 2 − y 2 + x 2 + y 2 + 2 xyi = 0  x = 0   2  x2 − y 2 + x2 + y 2 = 0   − y + y = 0  ⇔ ⇔ 2 xy = 0   y = 0   x2 + x = 0   x = 0  x = 0     y = 0  y (1 − y ) = 0  ⇔ ⇔  y = 1   y = 0    x = 0 (do x + 1 > 0)   x (1 + x ) = 0     y = 0    x = 0, y = 0  x = 0, y = 1 ⇔    x = 0, y = −1    y = 0, x = 0  Vậy có ba số phức thoả mãn điều kiện là z = 0; z = i; z = - i. 2. Biểu diễn số phức trong mặt phẳng toạ độ a) Phương pháp giải Để biểu diễn một số phức cần dựa vàor ịnh nghĩa và các tính chất sau: đ ur Nếu số phức z được biểu diễn bởi vectơ u , số phức z' được biểu diễn bởi vectơ u ' , thì r ur z + z' được biểu diễn bởi u + u ' ; r ur z - z' được biểu diễn bởi u − u ' ; r - z được biểu diễn bởi −u . b) Các ví dụ. Ví dụ 1: Giả sử M(z) là điểm trên mặt phẳng toạ đô biểu diễn số phức z. Tìm tập hợp những điểm M(z) thỏa mãn điều kiện sau a) z − 1 + i = 2 ; b) 2 + z = i − z . Bài giải
a) Đặt z = x + yi suy ra z - 1 + i = (x - 1) + (y + 1)i. Nên hệ thức z − 1 + i = 2 trở thành ( x − 1) 2 + ( y + 1) 2 = 2 ⇔ ( x − 1) 2 + ( y + 1) 2 = 4. Vậy tập hợp các điểm M(z) trên mặt phẳng toạ độ biểu diễn các số phức z thỏa mãn giả thiết là đường tròn tâm I(1; - 1) bán kính R = 2. b) Gọi A (- 2 ; 0), B(0 ; 1). Khi đó 2 + z = i − z ⇔ z − (−2) = z − i hay là M(z)A = M(z)B. Vậy tập hợp các điểm M(z) là đường trung trực của đoạn thẳng AB. Nhận xét: Với phần b ta có thể thức hiện cách giải như đã làm ở phần a. Tuy nhiên để thể thực hiện cách giải như vậy là ta đã dựa váo nhận xét sau: r r Nếu véctơ u của mặt phẳng phức biểu diễn số phức z thì độ dài của vectơ u là r u = z , và từ đó nếu các điểm A, B theo thứ tự biểu diễn các số phức z, z' thì uuu r AB = z − z ' . 3 Ví dụ 2: Trong các số phức z thoả mãn điều kiện z − 2 + 3i = . Tìm số phức z có 2 modul nhỏ nhất. Bài giải 3 Xét biểu thức z − 2 + 3i = (1). Đặt z = x + yi. Khi đó (1) trở thành 2 3 ( x − 2) + ( y + 3)i = 2 9 ⇔ ( x − 2)2 + ( y + 3)2 = . 4 Do đó các điểm M biểu diễn số phức z thoả mãn (1) nằm trên đường tròn (C) tâm 3 I(2; -3) và bán kính R = . y 2 Ta có đạt giá trị nhỏ nhất khi và chỉ khi O H 2 x z M -3 I điểm M nằm trên đường tròn (C) và gần O nhất. Do đó M là giao điểm của (C) và đường thẳng OI, với M là giao điểm gần O hơn. Ta có OI = 4 + 9 = 13 . Kẻ MH ⊥ Ox. Theo định lí ta lét có 3 13 − MH OM = = 2 ⇒ 13MH = 3 13 − 9 = 6 13 − 9 3 OI 13 2 2 6 13 − 9 78 − 9 13 ⇒ MH = = . 2 13 26 3 13 − Lại có OH = 2 ⇒ OH = 2 13 − 3 = 26 − 3 13 . 2 13 13 13
Vậy số phức cần tìm là 26 − 3 13 78 − 9 13 z= + i. 13 26 Ví dụ 3: Chứng minh rằng với mọi số phức z, w, ta có z + w ≤ z + w . Đẳng thức xảy ra khi nào? Bài giải Gọi A, B, C lần lượt là các điểm biểu diễn của các số phức z, w, z + w. Ta có z = OA, w = OB, z + w = OC . Từ OC ≤ OA + AC suy ra z + w ≤ z + w . Hơn nữa OC = OA + AC khi và chỉ khi O, A, C thẳng hàng và A thuộcuuu ạn uuu r đo r thẳng OC. Khi O ≠ A (hay z ≠ 0) điều đó có nghĩa là có số k ≥ 0 để AC = kOA tức là w = kz. (Còn khi z = 0, rõ ràng z + w = z + w ). Vậy z + w = z + w khi và chỉ khi z = 0 hoặc nếu z ≠ 0 thì tồn tại k ∈ R+ để w = kz. c. câu hỏi và bài tập 1. Chứng minh rằng với mọi số phức z, w ta đều có z − w ≤ z − w . Dấu bằng xảy ra khi nào? 2. Trong mặt phẳng phức, bốn điểm phân biệt A, B, C, D theo thứ tự biểu diễn các số phức z, w, u, v thoả mãn các tính chất: a) z = w = u = v = 1 ; b) z + w + u + v = 0. 3. Cho số phức z = m + (m - 3)i, m ∈ R a) Tìm m để biểu diễn của số phức nằm trên đường phân giác thứ hai y = - x; 2 b) Tìm m để biểu diễn của số phức nằm trên hypebol y = − ; x c) Tìm m để khoảng cách của điểm biểu diễn số phức đến gốc toạ độ là nhỏ nhất. 4. Xác định tập hợp các điểm trong mặt phẳng phức biểu diễn các số phức thoả mãn hệ z thức =3. z −i 5. Xét các điểm A, B, C trong mặt phẳng phức theo thứ tự biểu diễn các số phức 4i 2 + 6i ; (1 − i)(1 + 2i); . i −1 3−i a) Chứng minh ABC là tam giác vuông cân; b) Tìm số phức biểu diễn bởi điểm D sao cho tứ giác ABCD là hình vuông. Chủ đề 2: Căn bậc hai của số phức và phương trình bậc hai A. Kiến thức cần nhớ 1. Định nghĩa căn bậc hai của số phức Cho số phức w mỗi số phức z thoả mãn z2 = w được gọi là một căn bậc hai của số phức w. a) Nếu w là số thực + w < 0 thì có hai căn bậc hai: − wi & − − wi + w ≥ 0 thì có hai căn bậc hai: w & − w . b) Nếu w là số phức khi đó ta thực hiện các bước: + Giả sử w= a + ib, đặt z = x + iy là một căn bậc hai của w tức là: z 2 = w khi đó ta có  x 2 − y 2 = a (1) hệ:  2 xy = b (2) Bình phương 2 vế của (1) và (2) rồi cộng lại ta được x 2 + y 2 = a 2 + b 2
 x 2 − y 2 = a (1)  Do vậy ta được hệ:  2 x + y = a + b 2 2 2  (2') 2 Giải hệ tìm được x 2 và y suy ra x và y để tìm z. Chú ý: Theo (2) ta có nếu b > 0 thì x, y cùng dấu. Nếu b < 0 thì x, y trái dấu. 2. Công thức nghiệm của phương trình bậc hai hệ số phức Cho PT: ax 2 + bx + c = 0; (1) (a, b, c ∈ £ , a ≠ 0) và có ∆ = b 2 − 4ac −b + δ −b − δ + Nếu ∆ ≠ 0 pt có hai nghiệm là x1 = ; x2 = 2a 2a Trong đó δ là một căn bậc hai của ∆ . b + Nếu ∆ = 0 thì pt có nghiệm kép: x1 = x2 = − . 2a B. Các dạng bài tập 1. Giải phương trình bậc nhất a) Phương pháp giải Biến đổi phương trình về dạng Az + B = 0, A, B ∈ £ , A ≠ 0 . Viết nghiệm B z=− A b) Ví dụ Ví dụ 1: Giải phương trình 2iz + 1 - i = 0 Bài giải −(1 − i ) −1 1 1 1 Nghiệm của phương trình là z = = + = + i. 2i 2i 2 2 2 2. Tính căn bậc hai và giảiphương trình bậc hai a) Phương pháp giải Sử dụng công thức tính căn bậc hai của số phức để tính căn bậc hai. Sử dụng công thức nghiệm của phương trình bậc hai để tìm nghiệm của phương trình với chú ý phải đưa về đúng dạng của phương trình. b) Các ví dụ Ví dụ 1: Tìm căn bậc hai của các số phức sau: a) − 5 + 12i b) 8 + 6i c) 33 − 56i d ) − 3 + 4i Bài giải a) Gọi z = x + iy là một căn bậc hai của -5 + 12i tức là ( x + iy ) 2 = −5 + 12i ⇔ x 2 − y 2 + 2ixy = −5 + 12i  x 2 − y 2 = −5  2  x − y = −5 2  2 x = 4  x = ±2 ⇒ ⇒ 2 ⇔ 2 ⇔ 2 xy = 12  x + y = 13 y = 9  y = ±3 2   x = 2  x = −2 Do b = 12 > 0 nên x và y cùng dấu từ đó có  hoặc  y = 3  y = −3 Vậy -5 + 12i có 2 căn bậc hai là z1 =2+3i và z2 = -2-3i. b) Tương tự ta gọi z = x + iy là một căn bậc hai của 8+ 6i tức là ( x + iy ) 2 = 8 + 6i ⇔ x 2 − y 2 + 2ixy = 8 + 6i  x2 − y 2 = 8  x2 − y2 = 8   x2 = 9   x = ±3 ⇒ ⇒ 2 ⇔ 2 ⇔ 2 xy = 6  x + y = 10 y =1  y = ±1 2  
x = 3  x = −3 Do b= 6> 0 nên x và y cùng dấu từ đó có  hoặc  y =1  y = −1 Vậy 8 + 6i có 2 căn bậc hai là 3+i và -3-i. c) Gọi z = x + iy là một căn bậc hai của 33 - 56i tức là ( x + iy ) 2 = 33 − 56i ⇔ x 2 − y 2 + 2ixy = 33 − 56i  x 2 − y 2 = 33  x 2 − y 2 = 33   x 2 = 49   x = ±7 ⇒ ⇒ 2 ⇔ 2 ⇔ 2 xy = −56  x + y = 65  y = 16  y = ±4 2   x = 7  x = −7 Do b = -56 < 0 nên x và y trái dấu từ đó có  hoặc   y = −4 y = 4 Vậy 2 căn bậc hai của 33 - 56i là 7- 4i và -7+i4. d) Gọi z = x + iy là một căn bậc hai của -3 +4i tức là ( x + iy ) 2 = −3 + 4i ⇔ x 2 − y 2 + 2ixy = −3 + 4i  x 2 − y 2 = −3  2  x − y = −3 2  2 x = 1  x = ±1 ⇒ ⇒ 2 ⇔ 2 ⇔ 2 xy = 4 x + y = 5 y = 4  y = ±2 2   x = 1  x = −1 Do b = 4 > 0 nên x và y cùng dấu từ đó có  hoặc  y = 2  y = −2 Vậy 2 căn bậc hai của -3 + 4i là 1 + 2i và -1-2i. Ví dụ 2: Giải các phương trình sau: a) x 2 − ( 3 + 4i ) x + 5i − 1 = 0; (1) b) x 2 + ( 1 + i ) x − 2 − i = 0; (2) Bài giải a) Ta có ∆ = ( 3 + 4i ) − 4 ( 5i − 1) = −3 + 4i 2 Theo kết quả ví dụ 1d) thì ∆ có hai căn bậc hai là 1+ 2i và -1 - 2i. Do đó pt (1) có hai 3 + 4i + 1 + 2i 3 + 4i − 1 − 2i nghiệm là: x1 = = 2 + 3i; x2 = =1+ i 2 2 b) Tương tự ta có ∆ = ( 1 + i ) − 4 ( −i − 2 ) = 8 + 6i 2 Theo kết quả ví dụ 1b) thì ∆ có hai căn bậc hai là 3 + i và -3 - i. Do đó pt (2) có hai nghiệm là: −1 − i + 3 + i −1 − i − 3 − i x1 = = 1; x2 = = −2 − i 2 2 Chú ý: PT (2) có thể dùng nhẩm nghiệm nhờ a + b + c = 0 Ví dụ 3: Giải các phương trình sau: a) 3 x 2 + x + 2 = 0; (1) b) x 2 + x + 1 = 0; (2) c) x 3 − 1 = 0 (3) Bài giải a) Ta có ∆ = 1 - 4.3.2 =-23
b) Tương tự ta có ∆ = -3 < 0 có hai căn bậc hai là: i 3 & − i 3 nên (2) có các nghiệm là: −1 + i 3 −1 − i 3 x1 = ; x2 = 2 2 c) Ta có (3) ⇔ ( x − 1) ( x 2 + x + 1) = 0 x −1 = 0 ⇔ 2  x + x + 1 = 0; (*) −1 + i 3 −1 − i 3 Theo b) ta có (*) có hai nghiệm là x1 = ; x2 = . Từ đó ta có các 2 2 nghiệm của pt (3) là: −1 + i 3 −1 − i 3 x1 = 1; x2 = ; x3 = 2 2 ( Các nghiệm của pt (3) được gọi là căn bậc ba của 1). Ví dụ 4: Chứng minh rằng nếu một phương trình bậc hai với hệ số thực có nghiệm phức α ∉ ¡ thì cũng nhận α là nghiệm. Bài giải Giả sử PT bậc hai: ax + bx + c = 0; ( a, b, c ∈ ¡ , a ≠ 0 ) nhận số phức α ∉ ¡ là 2 nghiệm tức là ta có: aα 2 + bα + c = 0 . (1) Lấy liên hợp hai vế của (1) và sử dụng tính chất liên hợp của số thực bằng chính nó thì ( ) 2 ta được: aα 2 + bα + c = 0 ⇒ a α + bα + c = 0 . Điều này chứng tỏ α là nghiệm của pt. áp dụng: Chứng tỏ 1+i là một nghiệm của phương trình x 2 + 3x − 3 − 5i = 0 . Tìm nghiệm còn lại của pt đó. Ví dụ 5: Phát biểu và chứng minh định lí đảo và thuận của định lí Vi-et của phương tình bậc hai với hệ số phức. Thuận: Nếu hai số x1 & x2 là hai nghiệm của phương trình b c ax 2 + bx + c = 0; ( a, b, c ∈ £ , a ≠ 0 ) thì x1 + x2 = − & x1 x2 = . a a Chứng minh Theo công thức nghiệm của pt bậc hai với hệ số phức ta có: −b + δ  −b − δ  b x1 + x2 = + ÷= − 2a  2a  a  −b + δ   − b − δ  b − δ 2 2 c x1 x2 =  ÷. ÷ = 2 =  2a   2 a  4a a Đảo: Nếu hai số α ; β thoả mãn: α + β = S & α . β = P thì α ; β là nghiệm của pt: x 2 − Sx + P = 0 .(1) Chứng minh x = α Ta có: (1) ⇔ x − ( α + β ) x + αβ = 0 ⇔ ( x − α ) ( x − β ) = 0 ⇔  2 x = β Điều này chứng tỏ α ; β là nghiệm của (1). áp dụng: Lập phương trình bậc hai có các nghiệm α = 4 + 3i; β = −2 + 5i Bài giải
Theo bài ra ta có: α + β = 2 + 8i và α . β = ( 4 + 3i ) ( −2 + 5i ) = −23 + 14i Theo kết quả VD5 ta được pt bậc hai cần lập là: x − ( 2 + 8i ) x + 14i − 23 = 0 2 Ví dụ 6: Tìm m để phương trình: x 2 + mx + 3i = 0 có tổng bình phương 2 nghiệm bằng 8. Bài giải Theo bài ra ta có: x1 + x2 = 8 ⇔ ( x1 + x2 ) − 2 x1 x2 = 8 (1). Theo Vi-et ta có 2 2 2  x1 + x2 = −m  Thay vào (1) ta được m 2 − 6i = 8 ⇔ m 2 = 8 + 6i . Tức m là một căn bậc  x1 x2 = 3i hai của 8+6i. Theo kết quả VD1b/ ta có 2 giá trị của m là: 3 + i và -3 - i.  z12 + z2 = 5 + 2i (1) 2 Ví dụ 7: Giải hệ phương trình   z1 + z2 = 4 − i (2) Bài giải Từ (2) ta có z + z + 2 z1 z2 = 15 − 8i. Kết hợp với (1) ta có z1 z2 = 5 − 5i vậy ta có 2 2 1 2  z1 + z2 = 4 − i hệ phương trình:  Do đó z1 , z2 là nghiệm của phương trình  z1 z2 = 5 − 5i z 2 − ( 4 − i ) z + 5 − 5i = 0 . Ta có ∆ = −5 + 12i theo VD1a/ ta biết ∆ có hai căn bậc hai là: 2 + 3i và -2 - 3i.  4 − i + 2 + 3i  z1 = =3+i  2  z1 = 1 − 2i Vậy ta có  Hoặc  . z = 4 − i − 2 − 3i  z2 = 3 + i = 1 − 2i  2  2 Ví dụ 8: Cho z1 , z2 là hai nghiệm của phương trình (1+ i 2) z 2 − ( 3 + 2i ) z + 1 − i = 0 . Không giải pt hãy tính giá trị của các biểu thức sau: z1 z2 a) A = z12 + z2 2 b) B = z12 z2 + z1z2 2 c) C = + z2 z1 Bài giải  3 + 2i 3 + 2 2 2 − 3 2  z1 + z2 = = + i  1+ i 2 3 3 Theo Vi-et ta có:  z z = 1− i = 1− 2 + 1+ 2 i  1 2 1+ i 2  3 3 a) Ta có 2  3+ 2 2 2−3 2   1 − 2 1 + 2  −11 + 30 2 6 + 4 2 A = ( z1 + z2 ) 2 − 2 z1 z2 =   + i ÷ − 2 ÷  3 + 3 i ÷= ÷ − i  3 3    9 9 b)  3 + 2 2 2 − 3 2  1 − 2 1 + 2  −5 − 2 2 1 − 10 2 B = z1 z2 ( z1 + z2 ) =  + i ÷ + i ÷= + i  3 3  3 3  9 9 z + z2 2 2 A −6 + 26 2 i C= 1 = = c) Ta có z1 z2 1− 2 1+ 2 18 . + i 3 3
Ví dụ 9: Giải pt: z 4 − 6 z 2 + 25 = 0 (1) Bài giải Đặt z = t. Khi đó (1) có dạng: t − 6t + 25 = 0 (2). 2 2 Ta có: ∆ ' = −16 có hai căn bậc hai là 4i và - 4i nên pt (2) có hai nghiệm là t1 = 3 + 4i và t2 = 3 − 4i . Mặt khác 3 + 4i có hai căn bậc hai là: 2 + i và -2 - i còn 3 - 4i có hai căn bậc hai là: 2 - i và -2 + i nên pt (1) có 4 nghiệm là: z1 = 2 + i; z2 = −2 − i; z3 = 2 − i ; z4 = −2 + i C. câu hỏi và bài tập Bài 1: Tìm các căn bậc hai của các số phức sau: 3 −i a) 8+6i b) 3+4i c) 1+ i 3 2 1 1 1+ i  2 1− i 3  d) + e)  ÷ f)  ÷ 1+ i 1− i 1− i   3 −i  Bài 2: Gọi u1; u2 là hai căn bậc hai của z1 = 3 + 4i và v1 ; v2 là hai căn bậc hai của z2 = 3 − 4i . Tính u1 + u2 +v1 + v2 ? a) z 2 − 2iz + 2i − 1 = 0 b) z 2 − ( 5 − 14i ) z − 2 ( 12 + 5i ) = 0 Bài 3: Giải các phương trình sau: c) z − 80 z + 4099 − 100i = 0 2 ( z + 3 − i ) − 6 ( z + 3 − i ) + 13 = 0 2 d) e) z 2 − ( cos ϕ + i sin ϕ ) z + i cos ϕ sin ϕ = 0. Bài 4: Tìm các căn bậc ba của 8 và -8. Bài 5: Giải các phương trình trùng phương: a) z 4 − 8 ( 1 − i ) z 2 + 63 − 16i = 0 b) z 4 − 24 ( 1 − i ) z 2 + 308 − 144i = 0 ( Bài 6: Cho z1 , z2 là hai nghiệm của phương trình: z − 1 + i 2 z + 2 − 3i = 0 . 2 ) Không giải pt hãy tính giá trị của các biểu thức sau: z1 z2 a) A = z12 + z2 2 b) B = z12 z2 + z1z2 2 c) C = + z2 z1 1 2 1 2 d ) D = z13 + z2 3 e) E = z2 z13 + z1 z2 3 f ) F = z1  + ÷ + z 2  + ÷  z2 z1   z1 z2  Bài 7: Giải các hệ pt u 2 + v 2 + 4uv = 0  z − 2i = z  a)  b)  u + v = 2i  z − i = z −1 
Chủ đề 3 : Dạng lượng giác của số phức A. Kiến thức cần nhớ I. Số phức dưới dạng lượng giác. 1. Acgumen của số phức z ≠ 0 y Cho số phức z ≠ 0. Gọi M là điểm trong mặt phẳng phức biểu diễn số phức z. Khi đó số đo (radian) của mỗi góc lượng b giác tia đầu Ox, tia cuối OM được M gọi là một Acgumen của z. O a x Chú ý: + Nếu ϕ là Acgumen của z thì mọi Acgumen của z đều có dạng: ϕ + k2 π , k ∈ Z. + Acgumen của z ≠ 0 xác định sai khác k2 π , k∈ Z. 2. Dạng lượng giác của số phức Cho số phức Z = a+bi, (a, b∈ R), với r = a 2 + b 2 là modun của số phức z và ϕ là Acgumen của số phức z. Dạng z = r (cos ϕ +isin ϕ ) được gọi là dạng lượng giác của số phức z ≠ 0, còn dạng z = a + bi được gọi là dạng đại số của số phức z. II. Nhân và chia số phức dưới dạng lượng giác Nếu z = r(cos ϕ +isin ϕ ), z' = r' (cos ϕ '+isin ϕ ') (r ≥ 0 và r' ≥ 0 ) thì zz' = rr ( cos ( ϕ + ϕ ' ) + i sin(ϕ + ϕ ' )) z r = [ cos(ϕ − ϕ ') + i sin(ϕ − ϕ ') ] (khi r' > 0). z' r' III. Công thức Moa-Vrơ và ứng dụng 1. Công thức Moa- Vrơ [ r (cos ϕ + i sin ϕ )] = r n (cos nϕ + i sin nϕ ) n [ cos ϕ + i sin ϕ ] n = cos nϕ + i sin nϕ , ∀n ∈ N * . 2. Căn bậc n của một số phức Với z = r(cos ϕ +isin ϕ ), r > 0, có hai căm bậc hai của z là ϕ ϕ r (cos + i sin ) ; 2 2 ϕ ϕ ϕ ϕ − r (cos + i sin ) = r (cos( + Π ) + i sin( + Π )) . 2 2 2 2 B. các dạng Bài tập 1. Viết số phức dưới dạng lượng giác a) Phương pháp Với mỗi số phức z = a + bi: Tính r = a 2 +b 2 a b Tính cos ϕ = ,sin ϕ = từ đó suy ra acgumen của z r r
Sử dụng công thức lượng giác của số phức cho ta z = r (cos ϕ + i sin ϕ ) . b) Các ví dụ Ví dụ 1: Viết các số phức sau dưới dạng lượng giác 1− i 3 a )(1 − i 3)(1 + i ) b) 1+ i c ) z = sin ϕ + i cos ϕ Bài giải  Π Π   Π Π a) Ta có 1 − i 3 = 2 cos(− ) + i sin(− )  ; còn 1 + i = 2  cos + i sin  . Do đó  3 3   4 4  Π Π  (1 − i 3)(1 + i ) = 2 2 cos(− ) + i sin(− )  .  12 12  b) Từ phần trên ta có ngay kết quả 1− i 3   7Π   7Π   = 2 cos  − ÷+ i sin  − ÷ . 1+ i   12   12   Π Π Π Π c) Ta có z = sin ϕ + i cos ϕ = cos( − ϕ ) + i sin( − ϕ ) . Vậy z = cos( − ϕ ) + i sin( − ϕ ) . 2 2 2 2 Ví dụ 2: Tuỳ theo góc ϕ , hãy viết số phức sau dưới dạng lượng giác (1 − cos ϕ − i sin ϕ )(1 + cos ϕ + i sin ϕ ). Bài giải Xét số phức z = (1 − cos ϕ − i sin ϕ )(1 + cos ϕ + i sin ϕ ) , ta có ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ z = (2sin 2 − i.2sin cos )(2 cos 2 + i.2sin cos ) 2 2 2 2 2 2 ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ = 4sin cos (sin − i cos )(cos + i sin ) 2 2 2 2 2 2 ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ = 2sin ϕ (sin cos + sin cos − i(cos 2 − sin 2 )) 2 2 2 2 2 2 = 2sin ϕ [ sin ϕ − i cos ϕ ] . Hay z = 2sin ϕ (sin ϕ - icos ϕ ) (*)  Π Π  + Nếu sin ϕ > 0 , thì từ (*) có z = 2sin ϕ cos(ϕ − ) + i.sin(ϕ − )  là dạng số phức  2 2  cần tìm. + Nếu sinh ϕ < 0, thì từ (*) ta có  Π Π  z = −2sin ϕ ( − sin ϕ + i cos ϕ ) = −2sin ϕ cos(ϕ + ) + i.sin(ϕ + )  là dang lượng giác cần  2 2  tìm. + Nếu sinh ϕ = 0, thì z = 0, nên không có dạng lượng giác xác định. 2. Các bài tập tính toán tổng hợp về dạng lượng giác của số phức a) Phương pháp giải Đưa số phức về dạng lượng giác rồi sử dụng các công thức Moivre để tính toán các đại lượng theo yêu cầu của bài tập. b) Các ví dụ Ví dụ 1: Tìm phần thực và phần ảo của mỗi số phức sau (1 + i )10 a) ( 3 + i )9  Π Π b)  cos − i sin ÷i 5 (1 + 3i )7  3 3 1 1 c) z 2009 + 2009 , nếu z + = 1 . z z
Bài giải 10  Π Π  (1 + i )10  2(cos 4 + i sin 4 )  =  9 ( 3 + i) 9  Π Π  2(cos 6 + i sin 6    a) Xét số phức 5Π 5Π 25 (cos + i sin ) = 2 2 3Π 3Π 29 (cos + i sin ) 2 2 1 1 = 4 (cos Π + i sin Π ) = − 2 16 1 Vậy phần thực bằng − , phần ảo bằng 0. 16 b) Xét số phức  Π Π 5  cos − i sin ÷i (1 + 3i) 7  3 3 7  Π Π   Π Π  = cos(− ) + i sin(− )  i  2(cos + i sin )   3 3   3 3   Π Π  7Π 7Π = 27 cos(− ) + i sin(− )  (cos + i sin )i  3 3  3 3 = 27 [ cos 2Π + i sin 2Π ] i = 27 i. Vậy phần thực của số phức bằng 0, phần ảo bằng 27 = 128 . c) Từ 1 z+ = 1 ⇒ z2 − z +1 = 0 z  1 + 3i Π Π z = = cos + i sin 2 3 3 ⇒  1 − 3i Π Π z = = cos(− ) + i sin(− ).  2 3 3 Π Π Với z = cos + i sin , ta có 3 3 1 Π Π 1 z 2009 + 2009 = (cos + i sin ) 2009 + ( ) 2009 z 3 3 Π Π cos + i sin 3 3 Π Π Π Π = (cos + i sin ) 2009 + (cos(− ) + i sin( − )) 2009 3 3 3 3 2009Π 2009Π 2009Π −2009Π = (cos + i sin )(cos + i sin ) 3 3 3 3 2Π 2Π = 2 cos(669Π + ) = −2 cos = 1. 3 3 Vậy phần thực cảu số phức bằng 1, phần ảo bằng 0. Ví dụ 2: Tính tổng sau S = (1 + i ) 2008 + (1 − i) 2008 Bài giải Ta có
Π Π 1 + i = 2(cos + i sin ) ⇒ (1 + i ) 2008 = 21004 (cos 502Π + i sin 502Π ) 4 4 Π Π Π Π 1 − i = 2(cos − i sin ) = 2(cos( − ) + i sin( − )) 4 4 4 4 ⇒ (1 − i ) 2008 = 2 (cos(−502Π ) + i sin(−502Π )). 1004 Do đó S = 2 cos(502Π ) = 21005 . 1005 Ví dụ 3: Cm rằng các điểm biểu diễn các căn bậc ba của 1 lập thành một tam giác đều. Bài giải Xét phương trình z = 1 trên £ , có nghiệm dạng z = r (cos ϕ + i sin ϕ ) . Khi đó 3 z 3 = 1 ⇔ r 3 (cos 3ϕ + i sin 3ϕ ) = 1 r = 1 ⇔ 3ϕ = k 2Π , k ∈ ¢ . Do đó phương trình trên có đúng ba nghiệm ứng với ba giá trị của k là Với k = 0 ta có z 0 = cos0 + isin0 = 1; 2Π 2Π 1 3 Với k = 1 ta có z 1 = cos + i sin = − +i ; 3 3 2 2 4Π 4Π 1 3 Với k = 2 ta có z 2 = cos + i sin = − −i . 3 3 2 2 Nên 1 có ba căn bậc ba đó là các số phức được xác định như trên. Trong mặt phẳng phức, gọi A, B, C lần lượt là điểm biểu diễn các số phức z 0 , z 1 , z 2 . Khi đó uuu uuu uuu r r r OA = OB = OC = 1; · 2Π AOB = ; 3 · 2Π BOC = 3 Từ đó suy ra tam giác ABC là tam giác đều. C. Câu hỏi và bài tập Bài 1: Viết các số phức sau dưới dạng lượng giác: 1− i 3 a. 1 - i 3 b. ( 1 - i 3 )(1 + i) c. 1+ i π 5π d. 1 - itan e. tan +i f. 1-cos ϕ − i sin ϕ ( ϕ ∈ R, ϕ ≠ k 2π , k ∈ Z ) 5 8 Bài 2: Cho 2 số phức: 4 – 4i và 1+ i 3 . Tìm Modun và Acgumen của các số phức là đối liên hợp của 2 số phức trên và viết chúng dưới dạng lượng giác. 1 Bài 4: Tìm dạng lượng giác của các số phức sau: z ; , biết: z a, z = r ( cos ϕ + i sin ϕ ) , r >0. b, z = 1 + 3 i Bài 5: Tìm các căn bậc 5 của 1? CMR tổng của chúng bằng 0? Bài 6: Rút gọn hết dấu căn ở mỗi biểu thức sau −1 3 a, 4 −1 b, 8 1 c, 1 − i d, 3 − i 2 2 Bài 7: Cho số phức z = a + bi . Một hình vuông tâm là gốc toạ độ 0, các cạnh song song với các trục toạ độ và có độ dài bằng 4. Xác định a,b để tìm điểm biểu diễn của số thực z. a, Nằm trong hình vuông
b, Nằm trên đường chéo củahình vuông Bài 8: Chứng minh rằng 2 1 z1 z a. z1 z 2 + 1 + z1 − z2 2 = (1+ z1 2 )(1+ z 2 ) 2 b. z1 + z 2 ≥ ( z1 + z 2 ) + 2 . 2 z1 z2 Bài 9: Tính a. cos a + cos (a+b) + cos (a+2b) +…+ cos(a+nb) b. sin a + sin (a+b) + sin (a+2b) +…+ sin (a+nb).