intTypePromotion=1
zunia.vn Tuyển sinh 2024 dành cho Gen-Z zunia.vn zunia.vn
ADSENSE
 » 
 » 

Tài liệu tự học Toán 11

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:23

Thêm vào BST
Báo xấu
64
lượt xem 3
download
 
  Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Tài liệu tự học Toán 11 cung cấp các bài tập vận dụng để củng cố kiến thức về tập giá trị và Max - Min của hàm số lượng giác. Đây là tư liệu tham khảo hỗ trợ học sinh trong quá trình ôn luyện, hệ thống kiến thức. Mời các bạn cùng tham khảo!

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Tài liệu tự học Toán 11

  1. NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU TÀI LIỆU TỰ HỌC TOÁN 11 TẬP GIÁ TRỊ VÀ MAX - MIN CỦA HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC PHƯƠNG PHÁP 1. Các kiến thức về giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất Cho hàm số y  f  x  xác định trên miền D  R .  f  x   M , x  D a. Số thực M được gọi là giá trị lớn nhất của hàm số y  f  x  trên D nếu  x0  D, f  x0   M  f  x   m, x  D b. Số thực N được gọi là giá trị nhỏ nhất của hàm số y  f  x  trên D nếu  x0  D, f  x0   m 2. Một số kiến thức ta sử dụng trong các bài toán này  1  sin x  1  0  sin 2 x  1 a) Dựa vào tập giá trị của hàm số lượng giác, chẳng hạn :   2  1  cos x  1 0  cos x  1 b) Bảng biến thiên của hàm số lượng giác. c) Kỹ thuật sử dụng máy tính cầm tay.  MỨC ĐỘ 1 BÀI TẬP TỰ LUẬN Bài 1. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của đồ thị hàm số y  3  sin x Lời giải Tập xác định D   . Ta có: 1  sin x  1 x    1   sin x  1 x    3  1  3  sin x  3   1 x    4  y  2 x   Ta có: y  4 khi sin x  1 và y  2 khi sin x  1 Vậy min y  2 và max y  4 . Bài 2. Tìm tập giá trị T của hàm số y  3cos 2 x  5 LINK NHÓM: https://www.facebook.com/groups/nhomwordvabiensoantailieutoan/ Trang 1
  2. NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU TÀI LIỆU TỰ HỌC TOÁN 11 Lời giải Tập xác định D   . Ta có: 1  cos 2 x  1  3  3cos 2 x  3  3  5  3cos 2 x  5  3  5  8  y  2 Vậy tập giá trị của hàm số y  3cos 2 x  5 là T   8; 2 Bài 3. Tìm tập giá trị T của hàm số y  sin 2 x  2 cos 2 x  1 trên khoảng  Lời giải Ta có: y  sin 2 x  2 cos 2 x  1  sin 2 x  2 1  sin 2 x   1  3  sin 2 x Với x   thì 0  sin 2 x  1  0   sin 2 x  1  3  3  sin 2 x  3  1  2 Vậy tập giá trị của hàm số y  sin 2 x  2 cos 2 x  1 trên  là T   2 ; 3 1 Bài 4. Tìm giá trị nhỏ nhất m của hàm số y  cos x  1 Lời giải ĐKXĐ: cos x  -1  x    k2 . TXĐ: D   /   k 2  1 1 Ta có: x  D : 1  cos x  1  0  1  cos x  2   1  cos x 2 1 Ta có: y  khi cos x  1 . 2 1 Vậy, min y  . 2   Bài 5. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P  2 sin  x    1  3 Lời giải       Ta có: sin  x    1  2 sin  x    2  2 sin  x    1  1  3  3  3   Dấu " = " xảy ra khi và chỉ khi sin  x    1 .  3 Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức P là 1 . LINK NHÓM: https://www.facebook.com/groups/nhomwordvabiensoantailieutoan/ Trang 2
  3. NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU TÀI LIỆU TỰ HỌC TOÁN 11 BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM  10  Câu 1. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số: y  2017 cos8  x    2016  2017  A. min y  1; maxy  4033 B. min y  1 ; maxy  4033 C. min y  1 ; maxy  4022 D. min y  1; max y  4022 Lời giải Chọn B Hàm số xác định trên   10  Ta có 1  cos8  x    1, x    2017   10   2017  2016  2017 cos8  x    2016  2017  2016, x   .  2017   10   1  2017 cos8  x    2016  4033, x    2017   10   10  Ta có y  1 khi cos 8  x    1 ; y  4033 khi cos8  x    1.  2017   2017  Vậy min y  1 ; maxy  4033 . Câu 2. Giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của hàm số y  4 cos x là: A. 0 và 4. B.  4 và 4. C. 0 và 1. D.  1 và 1. Lời giải Chọn B Tập xác định: D   0 ;    . Ta có: 1  cos x  1 , x   0 ;     4  4 cos x  4 , x   0 ;    Ta có y  4 khi cos x  1 và y  4 khi cos x  1 . Vậy min y  4 ; max y  4   Câu 3. Cho hàm số y  sin  x   . Giá trị lớn nhất của hàm số là:  4  A. 1 . B. 0 . C. 1 . D. . 4 Lời giải Chọn C     Ta có: 1  sin  x    1 . Suy ra giá trị lớn nhất của hàm số y  sin  x   là 1.  4  4 Câu 4. Giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số y  1  cos 2 x  2 là: A. 0 và 2 1. B. 1 và 2 1. C. 2 và 1 D. 1 và 1 Lời giải LINK NHÓM: https://www.facebook.com/groups/nhomwordvabiensoantailieutoan/ Trang 3
  4. NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU TÀI LIỆU TỰ HỌC TOÁN 11 Chọn C Ta có y  1  cos 2 x  2  sin 2 x  2  sin x  2 Mặt khác 0  sin x  1  2  sin x  2  1  2  y  1 Ta có: y  2 khi sin x  0 và y  1 khi sin x  1 Vậy giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số là 2 và 1 .   Câu 5. Cho hàm số y  2sin  x    2 . Mệnh đề nào sau đây là đúng?  3 A. y  4 , x   B. y  4 , x   C. y  0 , x   D. y  2 , x  Lời giải Chọn C   Ta có 1  sin  x    1 , x    3    2  2sin  x    2 , x    3    4  2sin  x    2  0 , x    3     Ta có: y  4 khi sin  x    1 và y  0 khi sin  x    0  3  3 Suy ra chọn đáp án C.  MỨC ĐỘ 2 BÀI TẬP TỰ LUẬN  10  Bài 1. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số: y  2017 cos  8 x    2016 .  2017  Lời giải Cách 1: Hàm số xác định trên  .  10  Ta có : 1  cos  8 x    1 , x    2017   10   2017  2017 cos  8 x    2017 , x    2017   10   1  2017 cos  8 x    2016  4033 , x    2017   10   10  Ta có y  1 khi cos  8 x    1 ; y  4033 khi cos  8 x    1.  2017   2017  Vậy min y  1; maxy  4033 . Bài 2. Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số: y  2 cos 2 x  sin 2 x  5 . LINK NHÓM: https://www.facebook.com/groups/nhomwordvabiensoantailieutoan/ Trang 4
  5. NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU TÀI LIỆU TỰ HỌC TOÁN 11 Lời giải   Ta có y  2 cos 2 x  sin 2 x  5  cos 2 x  sin 2 x  6  2 cos  2 x    6 .  4     Do  2  2 cos  2 x    2 nên  2  6  2 cos  2 x    6  2  6 .  4  4 2 Vậy giá trị nhỏ nhất của hàm số y  2 cos x  sin 2 x  5 là 6  2 . Bài 3. Gọi M , m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y  sin x  cos x . Tính P  M  m . Lời giải   Ta có y  sin x  cos x  2 sin  x   .  4      M  2 Mà 1  sin  x    1   2  2 sin  x    2   P2 2.  4  4 m   2 Vậy P  2 2 . sin x  1 Bài 4. Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số y  . cos x  2 Lời giải sin x  1 Cách 1 : cos x  2  0 , x   . Vậy y   sin x  1  y  cos x  2  cos x  2  sin x  y cos x  1  2 y  0 . 2 2 4 Ta có 12    y   1  2 y   y 2  1  4 y 2  4 y  1  3 y 2  4 y  0  0  y  . 3 Vậy min y  0 min. sin x  1  0 Cách 2 : Ta có   y  0  min y  0  sin x  1 . cos x  2  0 Bài 5. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số: y  2 cos 2 x  2 3 sin x cos x  1 . Lời giải Cách 1: y  2 cos 2 x  2 3 sin x cos x  1  2 cos 2 x  1  3 sin 2 x  2  cos 2 x  3 sin 2 x  2 1 3     2  cos 2 x  sin 2 x   2  2 cos  2 x    2 . 2 2   3   Mặt khác 0  2 cos  2 x    2  4 , x    0  y  4 , x   .  3 Cách 2: y  2 cos 2 x  2 3 sin x cos x  1  2 cos 2 x  1  3 sin 2 x  2  cos 2 x  3 sin 2 x  2 * Ta có  1  3  2  y  1  3  2  0  y  4 . LINK NHÓM: https://www.facebook.com/groups/nhomwordvabiensoantailieutoan/ Trang 5
  6. NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU TÀI LIỆU TỰ HỌC TOÁN 11 BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM Câu 1. Tìm giá trị lớn nhất M và giá trị nhỏ nhất m của hàm số y  sin 2 x  2 cos 2 x . A. M  2 , m  0 . B. M  2 , m  1 . C. M  3 , m  1 . D. M  3 , m  0. Lời giải Chọn B Ta có: y  sin 2 x  2 cos 2 x   sin 2 x  cos 2 x   cos 2 x  1  cos 2 x . M  2 Do 1  cosx  1  0  cos2 x  1  1  cos2 x  2 . Suy ra  . m  1 Câu 2. Gọi M , m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y  8sin 2 x  3cos 2 x . Tính Tính P  2M  m2 . A. P  1 . B. P  2 . C. 112 . D. P  130 . Lời giải Chọn A Ta có: y  8sin 2 x  3cos 2 x  8sin 2 x  3 1  2 sin 2 x   2 sin 2 x  3 . M  5 Mà 1  sinx  1  0  sin 2 x  1  3  2sin 2 x  3  5  3  y  5 . Suy ra:  . m  3 Do đó: P  2M  m2  1 . Câu 3. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số y  3sin x  4 cos x  1 . A. max y  8 , min y  6 . B. max y  4 , min y  6 . C. max y  6 , min y  8 . D. max y  6 , min y  4 . Lời giải Chọn B Ta có y  3sin x  4 cos x  1  3sin x  4 cos x  y  1 * Ta coi * như là phương trình cổ điển với a  3 , b  4 , c  y  1 . 2 Phương trình * có nghiệm khi và chỉ khi a 2  b 2  c 2  9  16   y  1  6  y  4 . Vậy max y  4 , min y  6 . Chú ý: Ta có thể áp dụng bất đẳng thức BCS như sau: y  1  3sin x  4 cos x  3 2  42  sin 2 x  cos 2 x   5 . Câu 4. Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của hàm số y  sin 2 x  sin x  2 . 7 7 A. min y  ; max y  4 . B. min y  ; max y  2 . 4 4 LINK NHÓM: https://www.facebook.com/groups/nhomwordvabiensoantailieutoan/ Trang 6
  7. NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU TÀI LIỆU TỰ HỌC TOÁN 11 1 C. min y  1; max y  1 . D. min y  ; max y  2 . 2 Lời giải Chọn A Đặt sin x  u ; u   1;1 . Xét hàm số: y  u 2  u  2 trên  1;1 . b 1 Ta có:    1;1 . Từ đây có bảng biến thiên 2a 2 7 Ta kết luận: min f  u   và max y  4  u  1 . 1;1 4 1;1 7 1 Hay min y   sin x  và max y  4  sin x  1 . 4 2 sin x  2 cos x  3 Câu 5. Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số y  2  cos x 2 2 A. min y   ; max y  2 B. min y  ; max y  2 . 3 3 1 3 1 3 B. min y  ; max y  . D. min y   ; max y  . 2 2 2 2 Lời giải Chọn B Cách 1: Ta có cos x  2  0 , x   . sin x  2 cos x  3 y  sin x  2 cos x  3  2 y  y cos x  sin x   2  y  cos x  3  2 y  0 . 2  cos x 2 2 2 Ta có: 12   2  y    3  2 y   4 y 2  12 y  9  y 2  4 y  4  1  0  3 y 2  8 y  4  0   y  2 . 3 Cách 2 : sử dụng máy tính cầm tay sin x  2 cos x  3 Tương tự như ở ví dụ 1 thì ta có thể sử dụng SHIFT SOLVE:  2 thì phương trình 2  cos x có nghiệm. Do 2 là số lớn nhất trong các phương án A; B; C; D nên ta không cần thử trường hợp 3 max  . 2 2 Lúc này chỉ còn A và B. Thử với min y   thì không có nghiệm. 3 LINK NHÓM: https://www.facebook.com/groups/nhomwordvabiensoantailieutoan/ Trang 7
  8. NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU TÀI LIỆU TỰ HỌC TOÁN 11  MỨC ĐỘ 1 BÀI TẬP TỰ LUẬN   Bài 1. Tìm tập giá trị của các hàm số sau: y  3cos  x    2  3 Lời giải     Vì 1  cos  x    1 nên 3  3cos  x    3  3  2  y  3  2  1  y  5 .  3  2 Vậy tập gái trị của hàm số là  1;5 . Bài 2. Tìm tập giá trị của các hàm số sau: y  3  2 sin 2 x . Lời giải Ta có: 1  sin 2 x  1  2  2 sin 2 x  2  1  3  2sin 2 x  5  1  3  2 sin 2 x  5 . Vậy tập giá trị của hàm số là 1; 5  . Bài 3. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số sau: y  4sin x cos x  1 . Lời giải Ta có y  2sin 2 x  1 . Do 1  sin 2 x  1  2  2sin 2 x  2  1  2sin 2 x  1  3  1  y  3 .   * y  1  sin 2 x  1  2 x    k 2  x    k . 2 4  * y  3  sin 2 x  1  x   k . 4  Vậy giá trị lớn nhất của hàm số bằng 3 , đạt được khi x   k . 4  giá trị nhỏ nhất bằng 1 , đạt được khi x    k . 4 Bài 4. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số sau: y  4  3sin 2 2 x . Lời giải Ta có: 0  sin 2 x  1  1  4  3sin 2 x  4 .  * y  1  sin 2 x  1  cos x  0  x   k . 2 LINK NHÓM: https://www.facebook.com/groups/nhomwordvabiensoantailieutoan/ Trang 8
  9. NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU TÀI LIỆU TỰ HỌC TOÁN 11 * y  4  sin 2 x  0  x  k . Vậy giá trị lớn nhất của hàm số bằng 4 , đạt được khi x  k .  giá trị nhỏ nhất bằng 1, đạt được khi x   k . 2 Bài 5. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số sau y  2 sin x  3 . Lời giải Ta có 1  2 sin x  3  5  1  y  5 .  Vậy giá trị lớn nhất của hàm số bằng max y  5 , đạt được khi sin x  1  x   k 2 . 2  Giá trị nhỏ nhất bằng min y  1 , đạt được khi x  1  x    k 2 . 2 BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM   Câu 1. Tìm tập giá trị hàm số sau y  1  3sin  2 x   .  4 A.  2; 4 . B.  2; 2 . C.  1; 4 . D.  2;3 . Lời giải Chọn A       Ta có: 1  sin  2 x    1  3  3sin  2 x    3  2  1  3sin  2 x    4 .  4  4  4  2  y  4 . Vậy tập giá trị của hàm số là  2; 4 .   Câu 2. Tìm tập giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số sau y  2 cos  3 x    3  3 A. min y  2 , max y  5 . B. min y  1 , max y  4 . C. min y  1 , max y  5 . D. min y  1 , max y  3 . Lời giải Chọn C       Ta có: 1  cos  3 x    1  2  2 cos  3 x    2  1  2 cos  3 x    3  5  1  y  5 .  3  3  3 4 2 min y  1 đạt được khi x  k . 9 3  2 max y  5 đạt được khi x   k . 9 3 Câu 3. Tìm tập giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số sau y  1  2 cos 2 x  1 A. max y  1 , min y  1  3 . B. max y  3 , min y  1  3 . C. max y  2 , min y  1  3 . D. max y  0 , min y  1  3 . LINK NHÓM: https://www.facebook.com/groups/nhomwordvabiensoantailieutoan/ Trang 9
  10. NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU TÀI LIỆU TỰ HỌC TOÁN 11 Lời giải Chọn D Ta có 1  2 cos 2 x  1  3  1  3  y  0 .  Vậy giá trị nhỏ nhất của hàm số bằng max y  0 , đạt được khi x   k . 2 Giá trị nhỏ nhất của hàm số bằng min y  1  3 , đạt được khi x  k .   Câu 4. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số sau y  1  3sin  2 x   .  4 A. min y  2 , max y  4 . B. min y  2 , max y  4 . C. min y  2 , max y  3 . D. min y  1 , max y  4 . Lời giải Chọn A   Ta có: 1  sin  2 x    1  2  y  4  4     y  2  sin  2 x    1  x    k  min y  2  4 8   3  y  4  sin  2 x    1  x   k  max y  4  4 8 Câu 5. Tìm tập giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số sau y  3  2 cos 2 3 x A. min y  1 , max y  2 . B. min y  1 , max y  3 . C. min y  2 , max y  3 . D. min y  1 , max y  3 . Lời giải Chọn C Ta có: 0  cos 2 3 x  1  1  y  3 . k  y  1  cos 2 3 x  1  x   min y  1 . 3  k  y  3  cos 2 3 x  0  x    max y  3 . 6 3 LINK NHÓM: https://www.facebook.com/groups/nhomwordvabiensoantailieutoan/ Trang 10
  11. NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU TÀI LIỆU TỰ HỌC TOÁN 11  MỨC ĐỘ 2 BÀI TẬP TỰ LUẬN    Bài 1. Tìm giá trị lớn nhất của hàm số y  3sin 2  x    4  12  Lời giải          Ta có sin 2  x    1  3sin 2  x    3  3sin 2  x    4  7 .  12   12   12  Vậy giá trị lớn nhất của hàm số bằng 7 . Bài 2. Tìm giá trị lớn nhất của hàm số f  x   2sin 2 x  sin 2 x  10 . Lời giải   Ta có f  x   2sin 2 x  sin 2 x  10  11  sin 2 x  cos 2 x  11  2 sin  2 x   .  4       Do 1  sin  2 x    1   2  2 sin  2 x    2 nên 11  2 sin  2 x    11  2 .  4  4  4   3 Dấu "  '' xảy ra khi sin  2 x    1  x    k ,  k    . Vậy max f  x   11  2 .  4 8 2 Bài 3. Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số y  2cos x  sin 2 x  5 . Lời giải   Ta có y  2cos2 x  sin 2 x  5  cos 2 x  sin 2 x  6  2 cos  2 x    6 .  4     Do  2  2 cos  2 x    2 nên  2  6  2 cos  2 x    6  2  6 .  4  4 2 Vậy giá trị nhỏ nhất của hàm số y  2cos x  sin 2 x  5 là 6  2 . Bài 4.   Giả sử M là giá trị lớn nhất và m là giá trị nhỏ nhất của hàm số y  2  3 sin x  cos x . Tính M m. Lời giải 2 2 Ta có:  2  3    1  2  3 sin x  cos x  2  3 1 . Vậy M  m  0 . 12   5  Bài 5. Cho hàm số y  có giá trị lớn nhất M và giá trị nhỏ nhất m trên đoạn   ; . Tìm 7  4sin x  6 6  M ,m. Lời giải Ta có:  5 1 1  x    sin x  1  1   sin x   4  4 sin x  2  3  7  4 sin x  9 6 6 2 2 4 12 4    4 . Hay  y  4 . 3 7  4sin x 3 LINK NHÓM: https://www.facebook.com/groups/nhomwordvabiensoantailieutoan/ Trang 11
  12. NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU TÀI LIỆU TỰ HỌC TOÁN 11 4 Vậy M  4 , m  . 3   5  Bài 6. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y  2sin x trên đoạn   ;  .  6 6  Lời giải  y   2 cos x  0  x   k , k   . 2   5   Với x    ;  suy ra: x  .  6 6  2      5  y     1 , y    2 , y   1.  6 2  6  Vậy giá trị lớn nhất của hàm số là 2 và giá trị nhỏ nhất của hàm số là 1 . BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM  MỨC ĐỘ 2 Câu 1. Tìm tập giá trị của hàm số y  3 sin x  cos x  2 . A.  2; 3  . B.   3  3; 3  1 . C.  4;0 . D.  2;0 . Lời giải Chọn C      Xét y  3 sin x  cos x  2  2  sin x.cos  cos x.sin   2  2 sin  x    2 .  6 6  6     Ta có 1  sin  x    1  4  2sin  x    2  0  4  y  0 với mọi x   .  6  6 Vậy tập giá trị của hàm số là  4;0 . sin x  2 cos x  1 Câu 2. Giá trị nhỏ nhất m và giá trị lớn nhất M của hàm số y  là sin x  cos x  2 1 A. m   ; M 1. B. m  1 ; M  2 . C. m  2 ; M  1 . D. m  1 ; M  2 . 2 Lời giải Chọn C sin x  2 cos x  1 Ta có y    y  1 sin x   y  2  cos x  1  2 y * . sin x  cos x  2 2 2 2 Phương trình * có nghiệm   y  1   y  2   1  2 y   y 2  y  2  0  2  y  1 . Vậy m  2 ; M  1 . 12   5  Câu 3. Giá trị lớn nhất M và giá trị nhỏ nhất m của hàm số y  trên đoạn   6 ; 6  là 7  4sin x LINK NHÓM: https://www.facebook.com/groups/nhomwordvabiensoantailieutoan/ Trang 12
  13. NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU TÀI LIỆU TỰ HỌC TOÁN 11 12 4 4 12 12 12 A. M  ; m . B. M  4 ; m  . C. M  ; m . D. M  4 ; m  . 5 3 3 5 7 11 Lời giải Chọn B   5   1  12 Do x    ;   sin x    ;1  y  0;  6 6   2  7  4 sin x 12 7 y  12  1  4  y  7 y  4 y sin x  12  sin x     ;1  y   ; 4  . 7  4sin x 4y  2  3   1 4 Do đó M  max f  t   f 1  4 và m  min f  t   f     .  1   2 ;1  1    2 ;1  2 3        Câu 4. Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y  sin x trên đoạn   ;   lần lượt là  2 3 1 3 3 3 2 3 A.  ;  . B.  ; 1 . C.  ; 2 . D.  ;  . 2 2 2 2 2 2 Lời giải Chọn B       3 Ta có:  x  sin     sin x  sin     1  sin x   . 2 3  2  3 2   3   Vậy max y  sin      ; min y  sin     1 .     2 ; 3   3 2   ;   2 3  2     2 cos x  1 Câu 5. Gọi M , m tương ứng là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y  . Khẳng định cos x  2 nào sau đây đúng? A. M  9m  0 . B. 9 M  m  0 . C. 9 M  m  0 . D. M  m  0 . Lời giải Chọn C 2 cos x  1 5 Ta có y   2 . cos x  2 cos x  2 5 5 1 5 Mà 1  cos x  1  3  cos x  2  1     5   2   3  3 cos x  2 3 cos x  2 1  y  3 . 3 1 Vậy M  và 1  cos x  1  9 M  m  0 . 3 LINK NHÓM: https://www.facebook.com/groups/nhomwordvabiensoantailieutoan/ Trang 13
  14. NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU TÀI LIỆU TỰ HỌC TOÁN 11  MỨC ĐỘ 3 BÀI TẬP TỰ LUẬN  10  Bài 1. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số: y  2020 cos  8 x    2021 .  2019  Lời giải  10  Ta có 1  cos  8 x    1, x   .  2019   10   10  Nên 2020  2020 cos  8 x    2020  1  2020 cos  8 x    2021  4041 .  2019   2019   10  Vậy min y  1 đạt được khi cos  8 x    1 ,  2019   10  max y  4041 đạt được khi cos  8 x    1.  2019  Bài 2. Tìm GTNN của hàm số y  cos x  2  cos 2 x . Lời giải Ta có cos x  1 , dấu “  ” xảy ra khi cos x  1 . (1) Mặt khác 0  cos 2 x  1  1   cos 2 x  0  1  2  cos 2 x  2 .  2  cos 2 x  1 , dấu “  ” xảy ra khi cos x  1 . (2) Từ (1) và (2) ta có cos x  2  cos 2 x  0 . Suy ra min y  0 , đạt được khi cos x  1  x    k 2  k    . Bài 3. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số: y  cos 2 x  3 sin 2 x  2 . Lời giải Ta có 1 3  y  cos 2 x  3 sin 2 x  2  2  cos 2 x  sin 2 x   2 2 2         2  cos cos 2 x  sin sin 2 x   2  2 cos  2 x    2 .  3 3   3       Mặt khác 1  cos  2 x    1  2  2 cos  2 x    2  0  2 cos  2 x    2  4 .  3  3  3     Vậy min y  0 đạt được khi cos  2 x    1 , max y  4 đạt được khi cos  2 x    1 .  3  3  7  Bài 4. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số y  2 cos 2 x  2 3 sin x.cos x  1 trên đoạn 0;  .  12  LINK NHÓM: https://www.facebook.com/groups/nhomwordvabiensoantailieutoan/ Trang 14
  15. NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU TÀI LIỆU TỰ HỌC TOÁN 11 Lời giải   Ta có y  cos 2 x  3 sin 2 x  2  2 cos  2 x    2 .  3   7    3  Đặt t  2 x  . Theo giả thiết x   0;   t   ;  . 3  12  3 2    3  Ta lập BBT của hàm số f  t   2cos t  2 trên  ;  . 3 2   Từ bảng biến thiên ta có min y  min f  t   0 , đạt được khi t    x  max y  max f  t   3 ,  7  0; 12    3   3 ; 2  3  7  0; 12    3   3; 2       đạt được khi t   x0 3 Bài 5. Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của hàm số y  cos 2 x  cos x  2 . Lời giải Đặt cos x  t ; t   1;1 Xét hàm số bậc hai: f  t   t 2  t  2 trên  1;1 . b 1 Ta có:    1;1 . Từ đây có bảng biến thiên 2a 2 7 1 Ta kết luận: min y  min f  t   , đạt được khi cos x  ; 1;1 4 2 max y  max f  t   4 , đạt được khi cos x  1 . 1;1 LINK NHÓM: https://www.facebook.com/groups/nhomwordvabiensoantailieutoan/ Trang 15
  16. NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU TÀI LIỆU TỰ HỌC TOÁN 11 BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM Câu 1. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số sau y  2sin 2 x  cos 2 2 x . 3 A. max y  4 , min y  . B. max y  3 , min y  2 . 4 3 C. max y  4 , min y  2 . D. max y  3 , min y  . 4 Lời giải Chọn D Đặt t  sin 2 x, 0  t  1  cos 2 x  1  2t . 2 2 2  1 3  y  2t  1  2t   4t  2t  1   2t    .  2 4 2 1 1 3  1 9 3 Cách 1: Do 0  t  1    2t    0   2t      y  3 . 2 2 2  2 4 4 1 Cách 2: Có y '  8t  2  y   0  t    0;1 . 4 1 3 Ta có: y  0   1 ; y    ; y 1  3 . 4 4  Vậy max y  3 đạt được khi x   k . 2 3 1 1  cos 2 x 1 min y  đạt được khi sin 2 x    . 4 4 2 4 1    cos 2 x   2 x    k 2  x    k . 2 3 6 Câu 2. Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số sau y  tan 2 x  cot 2 x  3  tan x  cot x   1 . A. min y  2 . B. min y  4 . C. min y  5 . D. min y  1 . Lời giải Chọn C 2 Ta có: y   tan x  cot x   3  tan x  cot x   3 . 2 Đặt t  tan x  cot x   t  2. sin 2 x Suy ra y  t 2  3t  3  f  t  . Bảng biến thiên  Vậy min y  5 đạt được khi x    k . 4 LINK NHÓM: https://www.facebook.com/groups/nhomwordvabiensoantailieutoan/ Trang 16
  17. NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU TÀI LIỆU TỰ HỌC TOÁN 11 Câu 3. Gọi giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số y  sin x  2  sin 2 x là M , m . Tính M  m . A. 3 . B. 4 . C. 6 . D. 2 . Lời giải Chọn D Ta có y  1  sin x  0 , x và y 2  2  2sin x 2  sin 2 x . Mà 2 sin x 2  sin 2 x  sin 2 x  2  sin 2 x  2 . Suy ra 0  y 2  4  0  y  2 .  Vậy min y  0 đạt được khi x    k 2 . 2  max y  2 đạt được khi x   k 2 . 2 Vậy M  2, m  0 hay M  m  2 . sin x  2 cos x  3 Câu 4. Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số y  . 2  cos x 2 2 A. min y   ; max y  2 . B. min y  ; max y  2 . 3 3 1 3 1 3 C. min y  ; max y  . D. min y   ; max y  . 2 2 2 2 Lời giải Chọn B Cách 1: Ta có cos x  2  0 , x   . sin x  2 cos x  3 y  sin x  2 cos x  3  2 y  y cos x  s in x   2  y  cos x  2 y  3 2  cos x Ta có  2 y  3 2 2    s in x   2  y  cos x   1   2  y  2  s in 2 x  cos 2 x   5  4 y  y 2 2  4 y 2  12 y  9  y 2  4 y  5  0  3 y 2  8 y  4  0   y2 3 Cách 2: (dùng sau khi học xong bài phương trình bậc nhất theo sin và cos). Ta có cos x  2  0 , x   . sin x  2 cos x  3 y  sin x  2 cos x  3  2 y  y cos x  sin x   2  y  cos x  3  2 y  0 2  cos x 2 2 2 Ta có 12   2  y    3  2 y   4 y 2  12 y  9  y 2  4 y  4  1  0  3 y 2  8 y  4  0   y2 3 . Cách 3: sử dụng máy tính cầm tay. LINK NHÓM: https://www.facebook.com/groups/nhomwordvabiensoantailieutoan/ Trang 17
  18. NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU TÀI LIỆU TỰ HỌC TOÁN 11 sin x  2 cos x  3 Tương tự như ở ví dụ 1 thì ta có thể sử dụng SHIFT SOLVE:  2 thì phương trình 2  cos x có nghiệm. Do 2 là số lớn nhất trong các phương án A; B; C; D nên ta không cần thử trường hợp 3 max  . 2 2 Lúc này chỉ còn A và B Thử với min y   thì không có nghiệm. 3 Từ đây chọn B. Câu 5. Cho hàm số h  x   sin 4 x  cos 4 x  2m sin x.cos x . Tất cả các giá trị của tham số m để hàm số xác định với mọi số thực x (trên toàn trục số) là 1 1 1 1 1 A.   m  . B. 0  m  . C.   m  0 . D. m  . 2 2 2 2 2 Lời giải Chọn A 2 2 Xét hàm số g  x    sin 2 x    cos 2 x   m sin 2 x 2   sin 2 x  cos 2 x   2sin 2 x cos 2 x  m sin 2 x 1  1  sin 2 2 x  m sin 2 x . 2 Đặt t  sin 2 x  t   1;1 . 1 Hàm số h  x  xác định với mọi x    g  x   0, x     t 2  mt  1  0, t   1;1 2  t 2  2mt  2  0, t   1;1 . Đặt f  t   t 2  2mt  2 trên  1;1 . Đồ thị hàm số có thể là một trong ba đồ thị trên. Ta thấy max f  t   f 1 hoặc max f  t   f  1 . 1;1 1;1  f 1  0  1  2m  0 Ycbt f  t   t 2  2mt  2  0 , t   1;1  max f  t   0    1;1  f  1  0  1  2m  0 1 1  m . 2 2 LINK NHÓM: https://www.facebook.com/groups/nhomwordvabiensoantailieutoan/ Trang 18
  19. NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU TÀI LIỆU TỰ HỌC TOÁN 11  MỨC ĐỘ 4 BÀI TẬP TỰ LUẬN Bài 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số y  sin x cos x  cos x sin x . Lời giải sin x  0 Điều kiện xác định:  . cos x  0 Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho 2 số không âm sin x cos x và cos x sin x ta có : 1 1 sin x cos x  cos x sin x  2 sin x cos x sin x cos x  y  2 sin 2 x sin 2 x  0 . 2 2 k Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi sin 2 x  0  2 x  k , k    x  ,k  . 2 s inx  2 cos x  3 Bài 2. Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số y  . 2  cos x Lời giải Ta có: cos x  2  0, x  R . s inx  2 cos x  3 Khi đó: y   s inx  2 cos x  3  2 y  y cos x  s inx   2  y  cos x  3  2 y  0 * 2  cos x 2 2 Phương trình * có nghiệm  12   2  y    3  2 y  2  4 y 2  12 y  9  y 2  4 y  4  1  0  3 y 2  8 y  4  0   y 2. 3 2 Vậy min y  ; max y  2 . 3 Bài 3. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P  cot 4 a  cot 4 b  2 tan 2 a. tan 2 b  2 . Lời giải Ta có: 2 P   cot 2 a  cot 2 b   2 cot 2 a.cot 2 b  2 tan 2 a.tan 2 b  2 2   cot 2 a  cot 2 b   2  cot 2 a.cot 2 b  tan 2 a.tan 2 b  2   6 2   cot 2 a  cot 2 b   2  cot 2 a.cot 2 b  tan 2 a.tan 2 b  2 cot a.cotb.tan a.tan b   6 2 2   cot 2 a  cot 2 b   2  cot a.cot b  tan a.tan b   6  6 cot 2 a  cot 2 b cot 2 a  1  k Vậy min y  6 , đạt được khi   2 ab  , ( k  ) . cot a.cot b  tan a.tan b cot b  1 4 2 1 1 Bài 4. Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số y  1  cos 2 x  5  2sin 2 x . 2 2 Lời giải LINK NHÓM: https://www.facebook.com/groups/nhomwordvabiensoantailieutoan/ Trang 19
  20. NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU TÀI LIỆU TỰ HỌC TOÁN 11 1 1 1 5 1 2 Ta có y  1  cos 2 x  5  2sin 2 x  y  1  cos 2 x   sin x 2 2 2 4 2 1 5 1 2 Áp dụng bất đẳng thức Bunyakopvsky cho 4 số: 1; 1; 1  cos 2 x ;  sin x ta có: 2 4 2 1 5 1 1 5 1 9 1 22 1. 1  cos 2 x  1.  sin 2 x  12  12 . 1  cos 2 x   sin 2 x  2.   . 2 4 2 2 4 2 4 2.1 2 22 1 5 1  Vậy min y  , xảy ra khi 1  cos 2 x   sin 2 x  x    k , k   . 2 2 4 2 6 4 4 Bài 5. Tìm giá trị lớn nhất của hàm số y  sin x  cos x  sin x cos x . Lời giải 1 1 Ta có y  sin 4 x  cos 4 x  sin x cos x  y  1  2sin 2 x cos 2 x  sin x cos x  y  1  sin 2 2 x  sin 2 x 2 2 2 2 1  1  1 9 1 1 9  y  1   sin 2 x      y    sin 2 x    . 2  2  4  8 2 2 8 9 1 Vậy max y  , đạt được khi sin 2 x  . 8 2 BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM  Câu 1. Cho x, y , z  0 và x  y  z  . Tìm giá trị lớn nhất của 2 y  1  tan x.tan y  1  tan y.tan z  1  tan z.tan x A. ymax  1  2 2 . B. ymax  3 3 . C. ymax  4 . D. ymax  2 3 . Lời giải Chọn D     tan x  tan y 1 Ta có x  y  z   x y   z  tan  x  y   tan   z    2 2 2  1  tan x.tan y tan z  tan x. tan z  tan y. tan z  1  tan x. tan y  tan x. tan z  tan y. tan z  tan x. tan y  1 Ta thấy tan x.tan z; tan y.tan z; tan x.tan y lần lượt xuất hiện trong hàm số đề bài cho. Khi đó, áp dụng bất đẳng thức Bunyakovsky cho 6 số ta có: 1. 1  tan x.tan y  1. 1  tan y.tan z  1. 1  tan z.tan x   12  12  12 . 1  tan x.tan z   1  tan y.tan z   1  tan x.tan y   3 3   tan x.tan z  tan y.tan z  tan x.tan y   2 3 . Vậy ymax  2 3 . Câu 2: Hàm số y  3cot 2 x 2  3 1  tan 2 x  đạt giá trị nhỏ nhất là tan x A. 1 . B. 3  2 3 . C. 2  2 2 . D. 0 . Lời giải Chọn A 1  tan 2 x Ta có cot 2 x  . 2 tan x 2 Từ đó suy ra y  3cot 2 x   2 3 1  tan 2 x   3cot 2 2 x  2 3 cot 2 x 2 tan x LINK NHÓM: https://www.facebook.com/groups/nhomwordvabiensoantailieutoan/ Trang 20
ADSENSE

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

THÔNG TIN
TRỢ GIÚP
HỖ TRỢ KHÁCH HÀNG
Theo dõi chúng tôi

Chịu trách nhiệm nội dung:

Nguyễn Công Hà - Giám đốc Công ty TNHH TÀI LIỆU TRỰC TUYẾN VI NA

LIÊN HỆ

Địa chỉ: P402, 54A Nơ Trang Long, Phường 14, Q.Bình Thạnh, TP.HCM

Hotline: 093 303 0098

Email: support@tailieu.vn

Giấy phép Mạng Xã Hội số: 670/GP-BTTTT cấp ngày 30/11/2015 Copyright © 2022-2032 TaiLieu.VN. All rights reserved.

 

Đồng bộ tài khoản
2=>2