intTypePromotion=1
zunia.vn Tuyển sinh 2024 dành cho Gen-Z zunia.vn zunia.vn
ADSENSE
 » 
 » 

TÍCH PHÂN (Phương pháp & Bài tập có lời giải )

Chia sẻ: Lê Văn Ánh | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:20

Thêm vào BST
Báo xấu
6.339
lượt xem 1.658
download
 
  Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Đây là tài liệu giải tích 12 bao gồm Lý thuyết - Phương pháp - Bài tập Tích phân có lời giải chi tiết gửi đến các bạn học sinh tham khảo.

Chủ đề:

Bình luận(3) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: TÍCH PHÂN (Phương pháp & Bài tập có lời giải )

  1. Gi i tích 12NC Th y: Lê Văn Ánh TÍCH PHÂN A. NH NGHĨA VÀ CÁC TÍNH CH T C A TÍCH PHÂN 1. nh nghĩa: Cho hàm s y=f(x) liên t c trên [ a; b] . Gi s F(x) là m t nguyên hàm c a hàm s f(x) thì: b ∫ f ( x )dx = [ F ( x )]a = F (b) − F (a) b ( Công th c NewTon - Leiptnitz) a 2. Các tính ch t c a tích phân: a ∫ f ( x )dx = 0 • Tính ch t 1: N u hàm s y=f(x) xác nh t i a thì : anh a b a ∫ f ( x )dx = −∫ f ( x)dx • Tính ch t 2: a b b ∫ cdx = c(b − a) • Tính ch t 3: V i c là h ng s thì a b Tính ch t 4: N u f(x) liên t c trên [ a; b] và f ( x ) ≥ 0 thì ∫ f ( x )dx ≥ 0 leâ • a Tính ch t 5: N u hai hàm s f(x) và g(x) liên t c trên [ a; b] và f ( x ) ≥ g( x ) ,∀x ∈ a;b  •  b b f ( x )dx ≥ ∫ g( x )dx ∫ Thì a a Tính ch t 6: N u f(x) liên t c trên [ a; b] và m ≤ f ( x ) ≤ M ( m,M laø hai haèng soá) thì • vaên b m(b − a) ≤ ∫ f ( x )dx ≤ M (b − a) a Tính ch t 7: N u hai hàm s f(x) và g(x) liên t c trên [ a; b] thì • b b b ∫ [ f ( x ) ± g( x )] dx = ∫ f ( x )dx ± ∫ g( x )dx a a a Tính ch t 8: N u hàm s f(x) liên t c trên [ a; b] và k là m t h ng s • thì b b ∫ k. f ( x )dx = k.∫ f ( x )dx a a Tính ch t 9: N u hàm s f(x) liên t c trên [ a; b] và c là m t h ng s • thì b c b f ( x )dx = ∫ f ( x )dx + ∫ f ( x )dx ∫ a a c Tính ch t 10: Tích phân c a hàm s trên [ a; b] cho trư c không ph thu c vào bi n s , • b b b f ( x )dx = ∫ f (t )dt = ∫ f (u)du = ... ∫ nghĩa là : a a a 1 http://www.anhlevan.tk
  2. Gi i tích 12NC Th y: Lê Văn Ánh B. CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN I. PHƯƠNG PHÁP I BI N S : b 1) D NG 1: Tính I = ∫ f[u(x)].u' (x)dx b ng cách t t = u(x) a u (b ) b ∫ f [u ( x)].u ' ( x)dx = ∫ f (t )dt (1) Công th c i bi n s d ng 1: a u(a) Cách th c hi n: anh t = u ( x) ⇒ dt = u ' ( x)dx B ư c 1: t x=b t = u (b) ⇒ B ư c 2: i c n : x=a t = u (a) Bư c 3: Chuy n tích phân ã cho sang tích phân theo bi n t ta ư c u (b ) b I = ∫ f [u ( x)].u ' ( x)dx = ∫ f (t )dt (ti p t c tính tích phân m i) leâ a u (a) b 2) D NG 2: Tính I = ∫ f(x)dx b ng cách t x = ϕ(t) a β b I = ∫ f ( x)dx = ∫ f [ϕ (t )]ϕ ' (t )dt Công th c i bi n s d ng 2: α a Cách th c hi n: vaên x = ϕ (t ) ⇒ dx = ϕ ' (t )dt B ư c 1: t t=β x=b ⇒ B ư c 2: i c n : t =α x=a Bư c 3: Chuy n tích phân ã cho sang tích phân theo bi n t ta ư c β b I = ∫ f ( x)dx = ∫ f [ϕ (t )]ϕ ' (t )dt (ti p t c tính tích phân m i) α a N u f(x) có ch a: Chú ý:  −π π  ;  , ho c x = a .cos t v i t ∈ [0; π] . (a 2 − x 2 )n thì t x = a . sin t v i t ∈  •  2 2   −π π  t x = a . tan t v i t ∈   2 ; 2  , ho c x = a . cot t v i t ∈ (0; π) . (a 2 + x 2 )n thì •   a a (x2 − a2 ) n t x= ho c x = • thì . sin t cos t 2 http://www.anhlevan.tk
  3. Gi i tích 12NC Th y: Lê Văn Ánh II. TÍNH TÍCH PHÂN B NG PHƯƠNG PHÁP TÍCH PHÂN T NG PH N: Công th c tích phân t ng ph n: b b ∫ u ( x).v' ( x)dx = [u ( x).v( x)]a − ∫ v( x).u ' ( x)dx b a a b b ∫ udv = [u.v ]a − ∫ vdu b Hay: a a anh Cách th c hi n: du = (?)'.dx u = ?  ⇒ B ư c 1:  t dv = (coøn laïi ) v ∈ ∫ (coøn laïi) (thöôøng choïn C = 0)  b b Bư c 2: Thay vào công th c tích phân t ng t ng ph n : ∫ udv = [u.v ]a − ∫ vdu b leâ a a b Bư c 3: Tính [u.v ] b và ∫ vdu a a b ∫ f(x)g(x)dx Chú ý: Gi s c n tính tích phân ta th c hi n a vaên t u = f(x), dv = g(x)dx (ho c ngư c l i) sao cho d tìm nguyên hàm v(x) và vi phân du = u/ (x)dx b ∫ vdu không quá ph c t p. Hơn n a, tích phân ph i tính ư c. a c bi t: b b b ∫ P(x) sin axdx, ∫ P(x) cos axdx, ∫ e t u = P(x) . ax .P(x)dx v i P(x) là a th c thì i/ N u g p a a a b ∫ P(x).ln (ax + b)dx t u = ln n (ax + b) . n ii/ N u g p thì a b b ∫e ∫e αx αx t u = LG . . sin axdx , .cos axdx thì ta tính hai l n t ng ph n b ng cách iii/ N u g p a a 3 http://www.anhlevan.tk
  4. Gi i tích 12NC Th y: Lê Văn Ánh C. PHÂN LO I M T S D NG TÍCH PHÂN I. TÍCH PHÂN LƯ NG GIÁC 1. D ng b c l v i hàm sin. Phương pháp chung: t t = cosx khi ó dt = - sinx.dx, sau ó ưa tích phân ban u v tích phân theo bi n t. Chú ý: sin2 x = 1 − cos2 x = 1 − t2 . (sin x)2n+1 = (sin2 x)n . sin x = (1 − t2 )n . sin x π 2 anh ∫ cos Ví d 1 (b c sin l ). Tính tích phân I = 2 x sin 3 xdx . 0 Gi i t t = cos x ⇒ dt = − sin xdx π i c n: x = 0 ⇒ t = 1, x = ⇒ t = 0 2 π 0 1  t3 t5  1 2 2  ∫ cos x(1 − cos x) sin xdx = −∫ t (1 − t )dt = ∫  ⇒I= (t − t )dt =  −  = 2 2 2 2 2 4 . leâ  3 5 0 15 0 1 0 2. D ng b c l v i hàm cos. Phương pháp chung: t t = sinx khi ó dt = cosx.dx, sau ó ưa tích phân ban u v tích phân theo bi n t. Chú ý: cos2 x = sin2 x = 1 − t2 . vaên (cos x)2n+1 = (cos2 x)n .cosx = (1 − t2 )n .cosx π 2 ∫ cos Ví d 2 (b c cosin l ). Tính tích phân I = 5 xdx . 0 Gi i t t = sin x ⇒ dt = cos xdx π i c n: x = 0 ⇒ t = 0, x = ⇒t=1 2 π π 1  t5  1 2 2 2t3 8 + = ∫ ∫ ∫ (1 − t2 )2 dt =  t − ⇒I= cos xdx = (1 − sin x) cos xdx = 5 2 2  .    5 0 3 15 0 0 0 3. D ng b c ch n v i hàm sin và cos. Phương pháp chung: S d ng công th c h b c Chú ý: 1 + cos 2x 1 − cos 2x cos2 x = ; sin2 x = 2 2 1 ( ) n sin x. cos x = sin 2x ; sin x = sin2 x 2n 2 4 http://www.anhlevan.tk
  5. Gi i tích 12NC Th y: Lê Văn Ánh π 2 ∫ cos Ví d 3 (b c sin và cosin ch n). Tính tích phân I = 4 x sin2 xdx . 0 Gi i π π π π 2 2 2 2 1 1 1 ∫ cos ∫ cos2 x sin2 2xdx = 16 ∫ (1 − cos 4x)dx + 4 ∫ cos 2x sin2 2xdx I= x sin2 xdx = 4 40 0 0 0 π π π x sin 3 2x  2 2 2  = π. 1 1 1 ∫ (1 − cos 4x)dx + ∫ sin2 2xd(sin 2x) =  − sin 4x + =   16 64   24  0 32 16 0 80 π 2 dx ∫ Ví d 4. Tính tích phân I = . cos x + sin x + 1 0 Gi i ( ) x 1 x 2dt t = tg ⇒ dt = tg2 + 1 dx ⇒ dx = 2 anh t: t +1 2 2 2 π i c n: x = 0 ⇒ t = 0, x = ⇒ t = 1 2 1 1 1 2dt dt ∫ ∫ ⇒I= = = ln t + 1 = ln 2 . 1 . t+1 1 − t2 1 + t2 0 2t + +1 0 0 1+ t 1 + t2 2 leâ 4. D ng liên k t π xdx ∫ Ví d 5. Tính tích phân I = . sin x + 1 0 Gi i t x = π − t ⇒ dx = −dt i c n: x = 0 ⇒ t = π, x = π ⇒ t = 0 π π π vaên) 0 ( ) (π − t)dt π π dt dt t ∫ sin t + 1 − sin t + 1 dt = π∫ sin t + 1 − I ⇒ I = 2 ∫ sin t + 1 ⇒ I = −∫ = sin(π − t) + 1 π 0 0 0 ( ) tπ d− π π π ( π π t ππ π π dt dt 24 =∫ =∫ =∫ = tg − = π. ( ) ( ) 2 0 cos2 t − π 4 0 cos2 t − π ( ) 2 2 2 40 20 t t + cos sin 24 24 2 2 V y I = π. T ng quát: π π π ∫ xf(sin x)dx = ∫ f(sin x)dx . 20 0 5 http://www.anhlevan.tk
  6. Gi i tích 12NC Th y: Lê Văn Ánh π 2 sin2007 x ∫ Ví d 6. Tính tích phân I = dx . sin2007 x + cos2007 x 0 Gi i π t x = − t ⇒ dx = −dt 2 π π i c n: x = 0 ⇒ t = , x = ⇒ t = 0 2 2 2007 π ( ) π −t sin 0 2 cos2007 t 2 ∫ ⇒ I = −∫ dx = dx = J (1). π π ( ) ( ) sin2007 t + cos2007 t − t + cos2007 −t π sin 2007 0 2 2 2 π 2 π π anh ∫ dx = 2 M t khác I + J = (2). T (1) và (2) suy ra I = . 4 0 T ng quát: π π 2 2 π n cos n x sin x ∫ ∫ dx = dx = , n ∈ Z+ . sin x + cosn x sin x + cos x n n n 4 0 0 π π 6 6 sin2 x cos2 x leâ ∫ ∫ Ví d 7. Tính tích phân I = dx và J = dx . sin x + 3 cos x sin x + 3 cos x 0 0 Gi i π π π 6 6 sin x − 3 cos x 2 2 ( ) ∫ sin x + ∫ (sin x − I − 3J = dx = 3 cos x)dx = − cos x − 3 sin x = 1 − 3 (1) • 6 0 3 cos x 0 0 π π 6 6 dx 1 dx vaên ∫ dx = ∫ I+J= • 2 0 sin x + π ( ) sin x + 3 cos x 0 3 π t t = x + ⇒ dt = dx 3 π π π i c n: x = 0 ⇒ t = , x = ⇒ t = 3 6 2 π π π π ( ) 2 2 2 2 d(cos t) 1 dt 1 sin tdt 1 1 1 1 ∫ sin t = 2 ∫ sin2 t = 2 ∫ cos2 t − 1 = 4 ∫ cos t − 1 − cos t + 1 d(cos t) ⇒ I+J = 2π π π π 3 3 3 3 π cos t − 1 1 1 2 = = ln ln 3 (2). cos t + 1 π 4 4 3  1− 3  3   I − 3J = 1 − 3 I = ln 3 +    T (1) và (2) ⇒  16 4. ⇔  1  I + J = ln 3   J = 1 ln 3 − 1 − 3     4   16 4 1− 3 1− 3 3 1 V yI= ln 3 + , J= ln 3 − . 16 4 16 4 6 http://www.anhlevan.tk
  7. Gi i tích 12NC Th y: Lê Văn Ánh 1 ln(1 + x) ∫ Ví d 8. Tính tích phân I = dx . 1 + x2 0 Gi i t x = tgt ⇒ dx = (1 + tg2 t)dt π i c n: x = 0 ⇒ t = 0, x = 1 ⇒ t = 4 π π ln(1 + tgt) 4 4 ∫ ∫ ln(1 + tgt)dt . ( 1 + tg2 t ) dt = ⇒I= 1 + tg t 2 0 0 π t t = − u ⇒ dt = −du 4 π π i c n: t = 0 ⇒ u = , t = ⇒ u = 0 4 4 anh π 0 4 π ∫ ln(1 + tgt)dt = −∫ ln  1 + tg ( 4 − u )  du   ⇒I= π 0 4 π π π π 4 4 4 4 1 − tgu  π    2  du =  ∫ ∫  1 + tgu  du = ∫ ln 2du − ∫ ln ( 1 + tgu ) du = 4 ln 2 − I . ln  1 + ln  =     1 + tgu   0 0 0 0 π leâ V y I = ln 2 . 8 π 4 cos x ∫ 2007 Ví d 9. Tính tích phân I = dx . +1 x π − 4 Gi i t x = −t ⇒ dx = −dt π π π π vaên i c n: x = − ⇒ t = , x = ⇒ t = − 4 4 4 4 π π − cos(−t) 4 4 2007 t cos t ⇒ I = −∫ ∫π 1 + 2007 t dt dt = 2007−t + 1 π − 4 4 π π ∫ ( 1 − 2007 ) cos tdt (1 + 2007 ) − 1 4 4 t 1 ∫ = cos tdt = 1 + 2007 t +1 t π π − − 4 4 π π π 4 4 4 1 2 ∫ cos tdt − I ⇒ I = 2 ∫ cos tdt = ∫ cos tdt = = . 2 π π 0 − − 4 4 T ng quát: V i a > 0 , α > 0 , hàm s f(x) ch n và liên t c trên o n [ −α; α ] thì α α f(x) ∫ a x + 1 dx = ∫ f(x)dx . −α 0 7 http://www.anhlevan.tk
  8. Gi i tích 12NC Th y: Lê Văn Ánh Ví d 10. Cho hàm s f(x) liên t c trên » và th a f (−x) + 2f(x) = cos x . π 2 ∫ f(x)dx . Tính tích phân I = π − 2 Gi i π 2 ∫ f(−x)dx , x = −t ⇒ dx = −dt tJ= π anh − 2 π π π π i c n: x = − ⇒t= , x= ⇒t=− 2 2 2 2 π π π π 2 2 2 2 ∫ f(−t)dt = J ⇒ 3I = J + 2I = ∫ [ f(−x) + 2f(x) ] dx = ∫ cos xdx = 2∫ cos xdx = 2 ⇒I= π π π 0 − − − 2 2 2 leâ . 2 V y I= . 3 ôi khi ta ph i i bi n s trư c khi l y tích phân t ng ph n. * Chú ý: π2 4 ∫ cos Ví d 4. Tính tích phân I = xdx . 0 vaên Gi i tt= x ⇒ x = t ⇒ dx = 2tdt2 π2 π i c n: x = 0 ⇒ t = 0, x = ⇒t= 4 2 π π 2 ⇒ I = 2 ∫ t cos tdt = 2 ( t sin t + cos t ) 0 = π − 2 . 2 0 V y I = π − 2. e ∫ sin(ln x)dx . Ví d 5. Tính tích phân I = 1 Gi i t t = ln x ⇒ x = e ⇒ dx = e dt t t i c n: x = 1 ⇒ t = 0, x = e ⇒ t = 1 1 1 ( sin t − cos t ) e t (sin1 − cos1)e + 1 ∫ ⇒I= e t sin tdt = = . 2 2 0 0 (sin1 − cos1)e + 1 VyI= . 2 8 http://www.anhlevan.tk
  9. Gi i tích 12NC Th y: Lê Văn Ánh II. TÍCH PHÂN CH A GIÁ TR TUY T I Phương pháp gi i toán 1. D ng 1 b ∫ Gi s c n tính tích phân I = f(x) dx , ta th c hi n các bư c sau a Bư c 1. L p b ng xét d u (BXD) c a hàm s f(x) trên o n [a; b], gi s f(x) có BXD: anh a x1 x2 b x −0 + + 0 f (x) b x1 x2 b ∫ ∫ f(x)dx − ∫ f(x)dx + ∫ f(x)dx . Bư c 2. Tính I = f(x) dx = a a x1 x2 2 ∫ Ví d 1. Tính tích phân I = x 2 − 3x + 2 dx . leâ −3 Gi i B ng xét d u −3 x 1 2 −0 + x − 3x + 2 0 2 1 2 59 ∫ (x − 3x + 2 ) dx − ∫ ( x 2 − 3x + 2 ) dx = I= 2 . 2 vaên −3 1 π 2 ∫ Ví d 2. Tính tích phân I = 5 − 4 cos2 x − 4 sin xdx . 0 Gi i π π 2 2 ∫ ∫ I= 4 sin2 x − 4 sin x + 1dx = 2 sin x − 1 dx . 0 0 B ng xét d u π π x 0 6 2 − + 2 sin x − 1 0 π π 6 2 π I = −∫ ( 2 sin x − 1 ) dx + ∫ ( 2 sin x − 1) dx = 2 3 −2− . 6 π 0 6 2. D ng 2 b ∫ [ f(x) Gi s c n tính tích phân I = ± g(x) ] dx , ta th c hi n a Cách 1. b b b ∫ [ f(x) ∫ ∫ Tách I = ± g(x) ] dx = f(x) dx ± g(x) dx r i s d ng d ng 1 trên. a a a Cách 2. Bư c 1. L p b ng xét d u chung c a hàm s f(x) và g(x) trên o n [a; b]. Bư c 2. D a vào b ng xét d u ta b giá tr tuy t i c a f(x) và g(x). 9 http://www.anhlevan.tk
  10. Gi i tích 12NC Th y: Lê Văn Ánh 2 ∫(x Ví d 1. Tính tích phân I = − x − 1 ) dx . anh −1 Gi i Cách 1. 2 2 2 ∫(x ∫ x dx − ∫ x − 1 dx I= − x − 1 ) dx = −1 −1 −1 0 2 1 2 leâ = −∫ xdx + ∫ xdx + ∫ (x − 1)dx − ∫ (x − 1)dx −1 −1 0 1 x   −  x − x = 0 . 20 22 1 2 2 2 x x  +  − x  =− +      2  −1  2 1 2 2 −1 0 Cách 2. B ng xét d u x –1 0 1 2 vaên x – 0 + + x–1 – – 0 + 0 1 2 ∫ ( −x + x − 1) dx + ∫ ( x + x − 1) dx + ∫ ( x − x + 1) dx I= −1 0 1 + (x − x) 0 + x 1 = −x = 0. 2 0 2 −1 1 V y I = 0. 3. D ng 3 b b ∫ max { f(x), ∫ min { f(x), tính các tích phân I = g(x) } dx và J = g(x) } dx , ta th c hi n các bư c a a sau: Bư c 1. L p b ng xét d u hàm s h(x) = f(x) − g(x) trên o n [a; b]. Bư c 2. + N u h(x) > 0 thì max { f(x), g(x) } = f(x) và min { f(x), g(x) } = g(x) . + N u h(x) < 0 thì max { f(x), g(x)} = g(x) và min { f(x), g(x)} = f(x) . 4 ∫ max { x + 1, 4x − 2 } dx . Ví d 1. Tính tích phân I = 2 0 Gi i t h(x) = ( x 2 + 1 ) − ( 4x − 2 ) = x 2 − 4x + 3 . B ng xét d u x 0 1 3 4 h(x) + 0 – 0 + 1 3 4 80 ∫ (x ∫ ( 4x − 2 ) dx + ∫ ( x + 1 ) dx + + 1 ) dx = I= 2 2 . 3 0 1 3 80 V yI= . 3 10 http://www.anhlevan.tk
  11. Gi i tích 12NC Th y: Lê Văn Ánh 2 ∫ min { 3 , Ví d 2. Tính tích phân I = 4 − x } dx . x 0 Gi i t h(x) = 3x − ( 4 − x ) = 3x + x − 4 . B ng xét d u x 0 1 2 h(x) – 0 + 1 2 3x 1  x2  2 2 5 +  4x −  = ∫3 ∫ I= dx + ( 4 − x ) dx = +. x    ln 3 0  2 1 ln 3 2 anh 0 1 2 5 V yI= +. ln 3 2 D NG HÀM VÔ T . III. TÍCH PHÂN C A M T S dx leâ 1.Tích phân d ng: ∫ (v i a ≠ 0) ax 2 + bx + c Cách làm: Bi n i ax 2 + bx + c v m t trong các d ng ,sau ó th c hi n phép i bi n tương ng ta s ưa v vi c tính tích phân c a hàm h u t .  π π t t = a.tgu (ho c a.cotgu) v i u ∈ − ;  (ho c u ∈ (0; π) ). a) a 2 + t 2  2 2     vaên  π π t t = a.Sinu(ho c a.Cosu) v i u ∈ − ;  (ho c u ∈ [0; π] . b) a 2 − t 2  2 2  π  π π  a a ) v i u ∈ [0; π] -   (ho c u ∈ − ;  - {0} ) c) t 2 − a 2 tt= (ho c t =  2  2 2    Cosu Sinu Chú ý công th c: dx ∫ = ln x + x 2 + a +C (C là h ng s tuỳ ý) x +a 2 Ch ng minh:  x t.dx x 2 + a ⇒ dt = 1 +  dx = tt=x+ x2 + a x +a 2  dt dx dx dt V y: ∫ = ∫ = ln t + C = ln x + x 2 + a + C ( PCM) = T ó ta có : x +a x +a t t 2 2 du V i hàm h p: ∫ = ln u + u 2 + a + C (*)Trong ó u = u(x). u +a 2 3 2 dx ∫ Ví d 1:Tính I= 2x − x 2 1 3 2 dx ∫ I= 1 − ( x − 1) 2 1 11 http://www.anhlevan.tk
  12. Gi i tích 12NC Th y: Lê Văn Ánh π 3 và dx = cost.dt i c n: x =1 ⇒ t = 0 ⇒t = t x - 1 = sint . , x= 6 2 Π Π π 6 6 cos tdt Π ∫ = ∫ dt = t v yI= = 6 0 6 1 − sin t 2 0 0 3 dx ∫ Ví d 2:Tính J = 4x + 4x − 3 2 2 1 dx = ln x + x 2 + k + C (*) ( Công th c: ∫ i bi n s ) 2 x +k 3 3 dx dx ∫ Áp d ng công th c (*) ta có: J = ∫ = (2 x + 1) 2 − 3 4x 2 + 4x − 3 2 2 1  7 + 45  d (2 x + 1) 3 1 3 1 = ln 2 x + 1 + 4 x 2 + 4 x − 3 = ln . =∫ 2  5 + 21  2 2 (2 x + 1) 2 − 4 2   2 anh 1+ 2 1+ 2 2 2 dx dx ∫ ∫ Ví d 3: Tính K = = 4x 2 − 4x + 3 (2 x − 1) 2 + 2 1 1 2 2 Cách 1: Áp d ng công th c (*) ta có: 1+ 2 1+ 2 2 dx1 2 ∫ = ln 2 x + 1 + 4 x 2 − 4 x + 3 = ln 1 + 2 . K= leâ (2 x − 1) + 2 2 2 1 1 2 2 2 tan t Cách 2: t 2x - 1 = Chú ý: N u m u th c có th khai căn ư c thì ta có th gi i bài toán m t cách ơn gi n hơn như sau: 0 dx Ví d 4: Tính M = ∫ −2 4 x − 4 x + 1 2 vaên 0 dx ∫ 2x − 1 = M= −2 1 d (1 − 2 x) 0 0 dx 1 1 0 ∫21 − 2 x = − 2 −∫2 1 − 2 x = − 2 ln 1 − 2 x = = - ln 5 2 −2 − 2.Tích phân d ng: ∫ ( Ax + B)dx V i a.A ≠ 0 ax 2 + bx + c Cách làm: Tách tích phân ã cho thành hai tích phân có chung m u là ax 2 + bx + c ,m t tích phân có t là o hàm c a tam th c b c hai,m t tích phân có t là h ng s . ( Ax + B)dx 2ax + b M .dx T c là tách: ∫ =∫ dx + ∫ ax 2 + bx + c ax 2 + bx + c ax 2 + bx + c ( x + 4)dx Ví d 1:Tính I = ∫ x2 + 2x − 3 12 http://www.anhlevan.tk
  13. Gi i tích 12NC Th y: Lê Văn Ánh 1  (2 x + 2)dx  ( 2 x + 2) + 6 1 6dx ∫ ∫ +∫ = dx = Ta có: I= x 2 + 2x − 3 2  x 2 + 2x − 3 x 2 + 2x − 3  2 x 2 + 2 x − 3 + 3 ln x + 1 + x 2 + 2 x − 3 + C = ( x + 2)dx 0 ∫ Ví d 2:Tính J = x 2 + 2x + 2 −1 ( x + 2)dx ( 2 x + 2) + 2 0 0 1 ∫ ∫ dx Ta có: J = = x 2 + 2x + 2 x 2 + 2x + 2 2 −1 −1 (2 x + 2)dx 0 0 dx 1 ∫ +∫ = x + 2x + 2 x + 2x + 2 2 2 2 −1 −1 0 =  x 2 + 2 x + 2 + ln x + 1 + x 2 + 2 x + 2  = 2 − 1 + ln(1 + 2)     −1 dx 3.Tích phân d ng: ∫ (V i α .a ≠ 0 ) (αx + β ) ax 2 + bx + c 1 Cách làm: t αx + β = chuy n tích phân c n tính v tích phân d ng (a). anh t 1 dx Ví d 1: Tính I = ∫ 0 ( x + 1) x + 2 x + 2 2 1 1 dt t x +1 = . i c n: x = 0 ⇒ t = 1 ; x = 1 ⇒ t = và dx = - 2 . t 2 t 2(1 + 2) 1 dt 1 leâ ∫ = ln t + t 2 + 1 Ta có: I = = ln 1+ 5 t +1 2 1 1 2 2 3 dx ∫ ( x − 1) Ví d 2: Tính J = x2 +12 t +1 1 t x -1 = ⇔ x = vaên t t 1 dt i c n: x = 2 thì t = 1 , x = 3 thì t = và dx = - t2 2 dt 1 − 1 2 1 dt t2 ∫ ∫ Tích phân c n tính là: I = = t2 + t + 2 2 1  t +1 1 1 1  +1 2  2 tt  1 d t +   3 + 10  1  2 1 1 1 1 1 ln  ∫ ln t + + t2 + t + 1 = = = 2  2+ 5  2 2 2 2   2  1 1 1 1 t +  + 2 2  2 4 13 http://www.anhlevan.tk
  14. Gi i tích 12NC Th y: Lê Văn Ánh ln 2 x e dx ∫ (1 + e Ví d 3: Tính K = ) 1 − e x + e2x x 0 t t = ex ⇒ dt = exdx. x = 0 ⇒ t = 1 ; x = ln2 ⇒ t = 2 i c n: 2 dt Ta có: K = ∫ 1 (1 + t ) 1 − t + t 2 1 dt du 1 ta có: du = − ⇒ dt = − 2 và t = − 1 t u= 1+ t (1 + t ) 2 u u  1 1 du −  1 2 2  1  2 1 3 1 1 1 2 ∫ ln u − +  u −  + V y K= = = ln 3  2  12 6 2 2 3 3  1 1 1 1 u −  + 3 3 anh  2  12 Π 2 cot gxdx ∫ Ví d 4: Tính N = Sin 2 x + 2 Π 6 Π Π 2 2 cot gxdx cos xdx ∫ ∫ Sinx Ta có : N = =N= leâ Sin 2 x + 2 Sin 2 x + 2 Π Π 6 6 1 2 dt 1 du 1 ∫t ∫ t t = sin x thì : N= Li t u = thì N = = t +2 t 2 2 1 u+ 1 2 1 2 2  2 2 +3  1 2 1 1 ln  ln u + u 2 + = = 2  2+ 3 2   2 vaên 1 f ( x)dx 4. Tích phân d ng: ∫ V i a ≠ 0 b c f(x) ≥ 2,f(x) là a th c. ax 2 + bx + c f ( x)dx dx Cách làm:Tách ∫ = g(x). ax 2 + bx + c + λ ∫ ax 2 + bx + c ax 2 + bx + c V i g(x) là a th c , b c g(x)+1 = b c f(x). Tìm các h s c a g(x) và s λ b ng phương pháp h s b t nh. ( x 2 + 1)dx Ví d 1: Tính M = ∫ x 2 + 2x + 3 ( x 2 + 1)dx dx = ( Ax + B ) x 2 + 2 x + 3 + λ ∫ Tách : ∫ x + 2x + 3 x + 2x + 3 2 2 λ ( Ax + B)( x + 1) x +1 2 = A. x 2 + 2 x + 3 + L y o hàm hai v ta có: + x + 2x + 3 x + 2x + 3 x + 2x + 3 2 2 2 1 3 ng nh t h s ta có : A = ; B = − ; λ = 1 2 2 x−3 2 x−3 2 dx x + 2x + 3 + ∫ x + 2 x + 3 + ln x + 1 + x 2 + 2 x + 3 + C V yM= = x + 2x + 3 2 2 2 14 http://www.anhlevan.tk
  15. Gi i tích 12NC Th y: Lê Văn Ánh x − x +1 3 ∫ Ví d 2: Tính N = dx x2 + 2x + 2 x3 − x +1 dx dx = ( Ax 2 + Bx + C ) x 2 + 2 x + 2 + λ ∫ Ta có : ∫ (1) x + 2x + 2 x + 2x + 2 2 2 L y o hàm hai v c a (1) và quy ng ta có: x3-x +1 = (2A.x+B)(x2+2x+2) +(Ax2+Bx+C)(x-1) +D ng nh t h s ta có 1  A = 3  3 A = 1  B = −5  5A + 2B = 0  6  ⇔  4 A + 3B + C = −1 C = 1 2 B + C + D = 1  6  anh  D = 5 2  ( ) dx 1 5 ∫ x 2 + 2x + 2 M = 2x 2 − 5x + 1 x 2 + 2 x + 2 V y có: + 6 2 ( ) 1 5 2 x 2 − 5 x + 1 x 2 + 2 x + 2 + ln x + 1 + x 2 + 2 x + 2 + C = 6 2 x(x − 1)( x + 1) leâ 0 Ví d 3: Tính P = ∫ dx x 2 + 2x + 2 −1 áp d ng ư c ví d 2 ta làm như sau:Tách tích phân c n tính thành hi u c a hai tích phân: x(x − 1)( x + 1) x3 − x x3 − x + 1 0 0 0 0 dx P= ∫ dx = ∫ dx = ∫ dx - ∫ x 2 + 2x + 2 −1 x + 2 x + 2 −1 x + 2 x + 2 −1 x + 2 x + 2 2 2 2 −1 0 ( ) dx 0 1 3 ( ) ∫ 2 x 2 − 5 x + 1 x 2 + 2 x + 2 + ln x + 1 + x 2 + 2 x + 2 =N- = vaên x 2 + 2x + 2 6 2 −1 −1 1 43 2 − + ln 1 + 2 . = 6 32 dx 5. Tích phân d ng: ∫ v i m, n ∈ N * , a.c ≠ 0 (ax + b) m (cx + d ) 2 n − m n m  ax + b  t t=   ta s Cách làm: ưa v tính tích phân c a hàm h u t . n  cx + d  1 dx ∫ Ví d : Tính I = (3 x + 1) 3 (5 x + 4) 0 3 3  3x + 1   3x + 1  Ta th y m = 3; n = 2 ⇒t =   2  t t=  5x + 4   5x + 4  2  3x + 1  7 dx dx 2dt ⇒ 2tdt = 3. ⇒ =3 .  5 x + 4  (5 x + 4) (5 x + 4) 2 2 21 t 1 8 x=0⇒t = ; x =1⇒ t = i c n: 8 27 15 http://www.anhlevan.tk
  16. Gi i tích 12NC Th y: Lê Văn Ánh 8 8 8 4 1 1 27 27 dx 2dt2 − dx 1 2 27 ∫ =∫ ∫ t 3 dt = − 73 t ∫ V y:I= = = = 3 (3 x + 1) 3 (5 x + 4) 21 1 7 3 1 21t. t  3x + 1  1 (5 x + 4)2 0 0   8 8 8  5x + 4  ax + b V i (a.c ≠ 0 ) 6. Tích phân d ng: ∫ dx cx + d ax + b Cách làm: Cách 1: t t = cx + d anh Cách 2: t t = cx + d V i cách t trên ta s ưa tích phân c n tính thành tích phân ơn gi n hơn. 1+ x 1 Ví d :Tính J = ∫ dx 3− x 0 dx dx t t = 3 − x ⇒ dt = − ⇒ = −2dt Ta th c hi n theo cách t 2: 2 3− x 3− x leâ Khi ó x = −t 2 + 3 ⇒ 1 + x = 4 − t 2 1+ x 1 2 ∫ dx = − 2 ∫ 4 − t 2 dt V yJ= 3− x 0 3 π π t t = 2siny t= 3⇒y= ; t= 2⇒y= i c n: 3 4 π π π 1 + cos2 y 3 3 4 vaên dt = 2.cosydy V y : J = −2 ∫ 4 − 4sin2 y .2cosydy = 4.∫ 2cos 2 ydy = 8∫ dy 2 π π π 3 4 4 π π 3 ( 4 y + 2sin2 y ) + 3 −2 = = 3 π 4 7. Tích phân d ng: ∫ R[x; n u ; m u ]dx t t = k u V i k là BCNN c a m và n. Cách làm: 1− x +1 0 ∫1+ Ví d 1 :Tính I = dx x +1 3 −1 t t = x + 1 ⇒ t 6 = x + 1(t ≥ 0) ⇒ 6t 5 dt = dx 6 1− t3 1− x +1 1 0 dx = ∫ 6t 5 ∫1+ dt I= 1+ t2 x +1 3 −1 0 1  6 6t = ∫  − 6t 6 + 6t 4 + 6t 3 − 6t 2 + 6t + 6 + 2 −2 dt t +1 t + 1  0 Tích phân này d dàng tính ư c. 16 http://www.anhlevan.tk
  17. Gi i tích 12NC Th y: Lê Văn Ánh x +1 − 2 3 ∫x Ví d 2 : Tính J = dx + 2x + x + 1 + 1 2 0 t t = x + 1 ⇒ 2tdt = dx x +1 − 2 3 2(t − 2)tdt 2t − 4 Bt + C  2 2 2 A ∫ x 2 + 2x + x + 1 + 1 1 t 4 + t = dx = ∫ ∫ t 3 + 1 dt = ∫  t + 1 + t 2 − t + 1 dt J= 1  0 1 ng nh t h s ta có: A = −2; B = 2; C = −2  1 dt −  2t − 2 d (t − t + 1) 2 2 2 2 − ∫ 2 2 2 2 2 V y J = − 2 ln t + 1 + ∫ 2 dt = 2 ln + ∫ 2 = 2 ln + ln t 2 − t + 1 + L 1 t − t +1 3 1 t − t +1 1 t − t +1 3 1 4 π anh 1 3 tgu Ta có áp s là: I = ln − t t− = Tính L b ng cách . 3 33 2 2 8.Tích phân d ng: ∫ x r (a + bx p ) q dx (p,q,r là các phân s ) s a)N u q nguyên t x= t v i s là BCNN c a m u s r và p. r +1 nguyên t a + bx p = t s v i s là m u c a phân s q. b)N u p r +1 leâ +q nguyên t ax − p + b = t s v i s là m u s c a phân s q. c) N u p dx Ví d 1 : Tính I = ∫ x ( x − 1) 3 4 −3   1 1 dx − = ∫ x  − 1 + x 4  dx Vi t tích phân c n tính d ng sau: I = ∫ 2   x (4 x − 1) 3   vaên 4 3 Vì q=-3 nguyên nên t x= t ta có dx=4t dt 1 1   4t 3 dt 1 1 1 tdt = 4∫  =4 ∫ I= ∫ 2 − −  dt = 4 − + − ln t − 1  + C t − 1  (t − 1) (t − 1)  2(t − 1) t −1 t (t − 1) (t − 1) 3 3 3 2 2  . x 5 dx (a > 0) Ví d 2 : Tính J = ∫ (a − x 2 ) a − x 2 −3 r +1 5 +1 ∫ x (a − x ) 2 dx Vì = = 3 nguyên nên t a-x2 = t2 5 2 Ta có: J = p 2 ⇒ x 4 = (a − t 2 ) 2 ⇒ −2 xdx = 2tdt ⇒ xdx = −tdt (a − t ) tdt 22 t 4 − 2at 2 + a 2 a2 1 V yJ= −∫ = -∫ dt = − t 3 + 2at + +C. t3 t3 t 3 ∫ ax − x 3 dx 3 Ví d 3 : Tính N = 1 1 ∫ ∫ x 3 (a − x ) 3 dx ax − x 3 dx = 3 2 Ta có: N = r +1 1 1 t ax −2 − 1 = t 3 hay Do r = ; p = 2; q = + q = 1 nguyên nên ta vì p 3 3. 17 http://www.anhlevan.tk
  18. Gi i tích 12NC Th y: Lê Văn Ánh 3at 2 dt a a −1 = t 3 ⇔ x2 = 3 ⇒ dx 2 = − 3 t +1 (t + 1) 2 x2 1 3at 2  t 3 dt 13a 3a − 1dx = ∫ t − 3 V y N= ∫  dt = − ∫ 3 2 = 2  (t + 1) 2  2 (t + 1) 2 x2 2 1 at a dt a ∫ td  t 2 + 1  = 2(t 2 + 1) − 2 ∫ t 3 + 1 (Tích phân này d dàng tính ư c). =   2 9.Các phép th Euler: ax 2 + bx + c = ± a .x + t N u a >0 a) t ax 2 + bx + c = x.t ± c b) t Nêú c>0 anh ax 2 + bx + c = t ( x − x0 ) c) t N u x0 là nghi m c a TTB2 1 dx ∫ Ví d 1 :Tính M = x 2 + 6x + 5 0 t x 2 + 6 x + 5 = a .x + t = x + t a=1 >0 S d ng phép th th nh t t2 −5 ⇒ x 2 − 6x + 5 = (x + t) 2 ⇔ x = − 2t − 6 leâ 2(−t + 6t − 5) 2 dx = dt Suy ra: (2t − 6) 2 − t 2 + 6t − 5 x + 6x + 5 = 2 − 2t + 6 x=0⇒t = 5 Vi x = 1 ⇒ t = 2 3 −1 (Chú ý r ng x + t > 0 ) vaên  3− 5  2 3 −1 2 3 −1 dt = ln  ∫ = - ln − t + 3 Ta có: I= 2 3 −2 −t +3   5 5 −2 x − x + 3x + 2 2 ∫ x+ Ví d 2 :Tính P = dx x 2 + 3x + 2 −5 Tam th c b c hai x2+3x+2 có nghi m là -1.Theo phép th th ba, t x 2 + 3 x + 2 = t ( x + 1) ; t ≤ 0∀x ∈ [− 2;−1] −t2 + 2 − 2tdt ⇒ x + 2 = t 2 ( x + 1) ⇒ x = v y dx = t 2 −1 (t 2 − 1) 2 −2 x − x 2 + 3x + 2 − 2t 2 − 4t 0 ∫ x+ ∫ (t − 2)(t − 1)(t + 1) 3 dt dx = Khi ó: P = x 2 + 3x + 2 −5 3 − 2 0 0 0 0 0 dt dt 1 5 17 dt 3 dt 16 dt ∫ (t + 1) 3 + 18 ∫ (t + 1) 2 - 108 ∫ t + 1 dt + 4 ∫ t − 1 dt - 27 ∫ dt = t−2 3 3 3 3 3 3 − − − − − 2 2 2 2 2 3 − 1  5 17 3 16 2 + + ln t + 1 − ln t − 1 + ln t − 2  = . 18(t + 1) 108  6(t + 1) 2 4 27  0 18 http://www.anhlevan.tk
  19. Gi i tích 12NC Th y: Lê Văn Ánh 7 − 2 dx ∫ Ví d 3 :Tính L = − x 2 − 3x + 4 −3 Vì c = 4 >0 có th s d ng phép th th hai. − x 2 − 3 x + 4 = xt + c = xt + 2 t 0 dt ∫t Chuy n vi c tính tích phân trên v vi c tính tích phân +1 2 −1 10.M t s bài toán khác: Ngoài các d ng trên thì có nh ng bài có th áp d ng tr c ti p công th c tích phân,ho c s d ng m t s phép bi n i ơn gi n.Sau ây là m t s ví d : −3 dx Ví d 1: Tính I1 = ∫ t t = 1− x −8 x 1 − x 1 anh ∫x x + 1dx t t = 3 x +1 3 Ví d 2: Tính I2 = 0 7 2 dx ∫ t t = 3 2x + 1 Ví d 3: Tính I3 = 2x + 1 3 0 7 7 (2 x + 1) 2 1 2 3 − 1 9 2 Có th trình bày như sau: I3 = ∫ (2 x + 1) 3 d (2 x + 1) = = leâ 20 4 3 0 1 dx ∫ Ví d 4: Tính I4 = x +1 − x 0 1 2 2 3 1 42 (x + 1)3 Ta có : I4 = ∫ ( x + 1 + x )dx =  + x = 3 0 3 3 0 vaên 1 ∫ 4 − x 2 dx Ví d 5: Tính 0 Cách1: S d ng phương pháp l y tích phân t ng ph n u = 4 − x2 t dv = dx Cách 2: t x =2Sint (Vì ây là tích phân d ng 1-b) 2Π áp s : 3 + 3 n ∫ x 2 − a 2 dx Ví d 6: Tính m Dùng phương pháp l y tích phân t ng ph n v i u = x 2 − a 2 ; dv = dx . x 2 n a2 Ta có k t qu là :   x − a2 − ln x + x 2 − a 2 2 m 2   dx (0 < a ≠ 1) Ví d 7: Tính ∫ 1+ a x 19 http://www.anhlevan.tk
  20. Gi i tích 12NC Th y: Lê Văn Ánh x dx 2 dt 2 − ∫ ∫ 1 + t 2 = − ln a ln t + 1 + t + C =− t t=a 2 2 ta có: 1+ a ln a x anh x x.e dx ∫ Ví d 8: Tính 1+ ex (t > 1) t t = 1+ ex x.e x dx ∫ = 2 ∫ ln(t 2 − 1)dt = 2 ∫ ln(t − 1)dt + 2 ∫ ln(t + 1)dt Ta có: 1+ e x = 2(t − 1) ln(t − 1) + 2(t + 1) ln(t + 1) − 4t + C leâ x x.e dx ∫ = 2( x − 2) 1 + e x + 4 ln(1 + 1 + e x ) − 2 x + C V y: 1+ e x x 2 n +1 dx ∫ Ví d 9: Tính 1− x2 ( x < 1) t t = 1− x2 vaên x 2 n +1 dx 1 x 2 n dx 2 n = − ∫ (1 − t 2 ) n dt = − ∫ ∑ ( −1) k C n t 2 k dt = ∫ 1− x2 2 ∫ 1− x2 k Ta có: k =0 2 k +1 2 k +1 k n n Cn kt = − ∑ (− 1) C n + C = ∑ (−1) k +1 k (1 − x 2 ) 2 + C ./ 2k + 1 2k + 1 k =0 k =0 muoán hoïc toát tích phaân thì hoïc daïng & ñoïc thaät nhieàu baøi giaûi saün 20 http://www.anhlevan.tk
ADSENSE

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

THÔNG TIN
TRỢ GIÚP
HỖ TRỢ KHÁCH HÀNG
Theo dõi chúng tôi

Chịu trách nhiệm nội dung:

Nguyễn Công Hà - Giám đốc Công ty TNHH TÀI LIỆU TRỰC TUYẾN VI NA

LIÊN HỆ

Địa chỉ: P402, 54A Nơ Trang Long, Phường 14, Q.Bình Thạnh, TP.HCM

Hotline: 093 303 0098

Email: support@tailieu.vn

Giấy phép Mạng Xã Hội số: 670/GP-BTTTT cấp ngày 30/11/2015 Copyright © 2022-2032 TaiLieu.VN. All rights reserved.

 

Đồng bộ tài khoản
2=>2