intTypePromotion=2
Array
(
    [0] => Array
        (
            [banner_id] => 141
            [banner_name] => KM2 - Tặng đến 100%
            [banner_picture] => 986_1568345559.jpg
            [banner_picture2] => 823_1568345559.jpg
            [banner_picture3] => 278_1568345559.jpg
            [banner_picture4] => 449_1568779935.jpg
            [banner_picture5] => 
            [banner_type] => 7
            [banner_link] => https://tailieu.vn/nang-cap-tai-khoan-vip.html
            [banner_status] => 1
            [banner_priority] => 0
            [banner_lastmodify] => 2019-09-18 11:12:45
            [banner_startdate] => 2019-09-13 00:00:00
            [banner_enddate] => 2019-09-13 23:59:59
            [banner_isauto_active] => 0
            [banner_timeautoactive] => 
            [user_username] => minhduy
        )

)

TÍCH PHÂN (Phương pháp & Bài tập có lời giải )

Chia sẻ: Lê Văn Ánh | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:20

15
6.042
lượt xem
1.656
download

TÍCH PHÂN (Phương pháp & Bài tập có lời giải )

Mô tả tài liệu
  Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Đây là tài liệu giải tích 12 bao gồm Lý thuyết - Phương pháp - Bài tập Tích phân có lời giải chi tiết gửi đến các bạn học sinh tham khảo.

Chủ đề:
Lưu

Nội dung Text: TÍCH PHÂN (Phương pháp & Bài tập có lời giải )

  1. Gi i tích 12NC Th y: Lê Văn Ánh TÍCH PHÂN A. NH NGHĨA VÀ CÁC TÍNH CH T C A TÍCH PHÂN 1. nh nghĩa: Cho hàm s y=f(x) liên t c trên [ a; b] . Gi s F(x) là m t nguyên hàm c a hàm s f(x) thì: b ∫ f ( x )dx = [ F ( x )]a = F (b) − F (a) b ( Công th c NewTon - Leiptnitz) a 2. Các tính ch t c a tích phân: a ∫ f ( x )dx = 0 • Tính ch t 1: N u hàm s y=f(x) xác nh t i a thì : anh a b a ∫ f ( x )dx = −∫ f ( x)dx • Tính ch t 2: a b b ∫ cdx = c(b − a) • Tính ch t 3: V i c là h ng s thì a b Tính ch t 4: N u f(x) liên t c trên [ a; b] và f ( x ) ≥ 0 thì ∫ f ( x )dx ≥ 0 leâ • a Tính ch t 5: N u hai hàm s f(x) và g(x) liên t c trên [ a; b] và f ( x ) ≥ g( x ) ,∀x ∈ a;b  •  b b f ( x )dx ≥ ∫ g( x )dx ∫ Thì a a Tính ch t 6: N u f(x) liên t c trên [ a; b] và m ≤ f ( x ) ≤ M ( m,M laø hai haèng soá) thì • vaên b m(b − a) ≤ ∫ f ( x )dx ≤ M (b − a) a Tính ch t 7: N u hai hàm s f(x) và g(x) liên t c trên [ a; b] thì • b b b ∫ [ f ( x ) ± g( x )] dx = ∫ f ( x )dx ± ∫ g( x )dx a a a Tính ch t 8: N u hàm s f(x) liên t c trên [ a; b] và k là m t h ng s • thì b b ∫ k. f ( x )dx = k.∫ f ( x )dx a a Tính ch t 9: N u hàm s f(x) liên t c trên [ a; b] và c là m t h ng s • thì b c b f ( x )dx = ∫ f ( x )dx + ∫ f ( x )dx ∫ a a c Tính ch t 10: Tích phân c a hàm s trên [ a; b] cho trư c không ph thu c vào bi n s , • b b b f ( x )dx = ∫ f (t )dt = ∫ f (u)du = ... ∫ nghĩa là : a a a 1 http://www.anhlevan.tk
  2. Gi i tích 12NC Th y: Lê Văn Ánh B. CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN I. PHƯƠNG PHÁP I BI N S : b 1) D NG 1: Tính I = ∫ f[u(x)].u' (x)dx b ng cách t t = u(x) a u (b ) b ∫ f [u ( x)].u ' ( x)dx = ∫ f (t )dt (1) Công th c i bi n s d ng 1: a u(a) Cách th c hi n: anh t = u ( x) ⇒ dt = u ' ( x)dx B ư c 1: t x=b t = u (b) ⇒ B ư c 2: i c n : x=a t = u (a) Bư c 3: Chuy n tích phân ã cho sang tích phân theo bi n t ta ư c u (b ) b I = ∫ f [u ( x)].u ' ( x)dx = ∫ f (t )dt (ti p t c tính tích phân m i) leâ a u (a) b 2) D NG 2: Tính I = ∫ f(x)dx b ng cách t x = ϕ(t) a β b I = ∫ f ( x)dx = ∫ f [ϕ (t )]ϕ ' (t )dt Công th c i bi n s d ng 2: α a Cách th c hi n: vaên x = ϕ (t ) ⇒ dx = ϕ ' (t )dt B ư c 1: t t=β x=b ⇒ B ư c 2: i c n : t =α x=a Bư c 3: Chuy n tích phân ã cho sang tích phân theo bi n t ta ư c β b I = ∫ f ( x)dx = ∫ f [ϕ (t )]ϕ ' (t )dt (ti p t c tính tích phân m i) α a N u f(x) có ch a: Chú ý:  −π π  ;  , ho c x = a .cos t v i t ∈ [0; π] . (a 2 − x 2 )n thì t x = a . sin t v i t ∈  •  2 2   −π π  t x = a . tan t v i t ∈   2 ; 2  , ho c x = a . cot t v i t ∈ (0; π) . (a 2 + x 2 )n thì •   a a (x2 − a2 ) n t x= ho c x = • thì . sin t cos t 2 http://www.anhlevan.tk
  3. Gi i tích 12NC Th y: Lê Văn Ánh II. TÍNH TÍCH PHÂN B NG PHƯƠNG PHÁP TÍCH PHÂN T NG PH N: Công th c tích phân t ng ph n: b b ∫ u ( x).v' ( x)dx = [u ( x).v( x)]a − ∫ v( x).u ' ( x)dx b a a b b ∫ udv = [u.v ]a − ∫ vdu b Hay: a a anh Cách th c hi n: du = (?)'.dx u = ?  ⇒ B ư c 1:  t dv = (coøn laïi ) v ∈ ∫ (coøn laïi) (thöôøng choïn C = 0)  b b Bư c 2: Thay vào công th c tích phân t ng t ng ph n : ∫ udv = [u.v ]a − ∫ vdu b leâ a a b Bư c 3: Tính [u.v ] b và ∫ vdu a a b ∫ f(x)g(x)dx Chú ý: Gi s c n tính tích phân ta th c hi n a vaên t u = f(x), dv = g(x)dx (ho c ngư c l i) sao cho d tìm nguyên hàm v(x) và vi phân du = u/ (x)dx b ∫ vdu không quá ph c t p. Hơn n a, tích phân ph i tính ư c. a c bi t: b b b ∫ P(x) sin axdx, ∫ P(x) cos axdx, ∫ e t u = P(x) . ax .P(x)dx v i P(x) là a th c thì i/ N u g p a a a b ∫ P(x).ln (ax + b)dx t u = ln n (ax + b) . n ii/ N u g p thì a b b ∫e ∫e αx αx t u = LG . . sin axdx , .cos axdx thì ta tính hai l n t ng ph n b ng cách iii/ N u g p a a 3 http://www.anhlevan.tk
  4. Gi i tích 12NC Th y: Lê Văn Ánh C. PHÂN LO I M T S D NG TÍCH PHÂN I. TÍCH PHÂN LƯ NG GIÁC 1. D ng b c l v i hàm sin. Phương pháp chung: t t = cosx khi ó dt = - sinx.dx, sau ó ưa tích phân ban u v tích phân theo bi n t. Chú ý: sin2 x = 1 − cos2 x = 1 − t2 . (sin x)2n+1 = (sin2 x)n . sin x = (1 − t2 )n . sin x π 2 anh ∫ cos Ví d 1 (b c sin l ). Tính tích phân I = 2 x sin 3 xdx . 0 Gi i t t = cos x ⇒ dt = − sin xdx π i c n: x = 0 ⇒ t = 1, x = ⇒ t = 0 2 π 0 1  t3 t5  1 2 2  ∫ cos x(1 − cos x) sin xdx = −∫ t (1 − t )dt = ∫  ⇒I= (t − t )dt =  −  = 2 2 2 2 2 4 . leâ  3 5 0 15 0 1 0 2. D ng b c l v i hàm cos. Phương pháp chung: t t = sinx khi ó dt = cosx.dx, sau ó ưa tích phân ban u v tích phân theo bi n t. Chú ý: cos2 x = sin2 x = 1 − t2 . vaên (cos x)2n+1 = (cos2 x)n .cosx = (1 − t2 )n .cosx π 2 ∫ cos Ví d 2 (b c cosin l ). Tính tích phân I = 5 xdx . 0 Gi i t t = sin x ⇒ dt = cos xdx π i c n: x = 0 ⇒ t = 0, x = ⇒t=1 2 π π 1  t5  1 2 2 2t3 8 + = ∫ ∫ ∫ (1 − t2 )2 dt =  t − ⇒I= cos xdx = (1 − sin x) cos xdx = 5 2 2  .    5 0 3 15 0 0 0 3. D ng b c ch n v i hàm sin và cos. Phương pháp chung: S d ng công th c h b c Chú ý: 1 + cos 2x 1 − cos 2x cos2 x = ; sin2 x = 2 2 1 ( ) n sin x. cos x = sin 2x ; sin x = sin2 x 2n 2 4 http://www.anhlevan.tk
  5. Gi i tích 12NC Th y: Lê Văn Ánh π 2 ∫ cos Ví d 3 (b c sin và cosin ch n). Tính tích phân I = 4 x sin2 xdx . 0 Gi i π π π π 2 2 2 2 1 1 1 ∫ cos ∫ cos2 x sin2 2xdx = 16 ∫ (1 − cos 4x)dx + 4 ∫ cos 2x sin2 2xdx I= x sin2 xdx = 4 40 0 0 0 π π π x sin 3 2x  2 2 2  = π. 1 1 1 ∫ (1 − cos 4x)dx + ∫ sin2 2xd(sin 2x) =  − sin 4x + =   16 64   24  0 32 16 0 80 π 2 dx ∫ Ví d 4. Tính tích phân I = . cos x + sin x + 1 0 Gi i ( ) x 1 x 2dt t = tg ⇒ dt = tg2 + 1 dx ⇒ dx = 2 anh t: t +1 2 2 2 π i c n: x = 0 ⇒ t = 0, x = ⇒ t = 1 2 1 1 1 2dt dt ∫ ∫ ⇒I= = = ln t + 1 = ln 2 . 1 . t+1 1 − t2 1 + t2 0 2t + +1 0 0 1+ t 1 + t2 2 leâ 4. D ng liên k t π xdx ∫ Ví d 5. Tính tích phân I = . sin x + 1 0 Gi i t x = π − t ⇒ dx = −dt i c n: x = 0 ⇒ t = π, x = π ⇒ t = 0 π π π vaên) 0 ( ) (π − t)dt π π dt dt t ∫ sin t + 1 − sin t + 1 dt = π∫ sin t + 1 − I ⇒ I = 2 ∫ sin t + 1 ⇒ I = −∫ = sin(π − t) + 1 π 0 0 0 ( ) tπ d− π π π ( π π t ππ π π dt dt 24 =∫ =∫ =∫ = tg − = π. ( ) ( ) 2 0 cos2 t − π 4 0 cos2 t − π ( ) 2 2 2 40 20 t t + cos sin 24 24 2 2 V y I = π. T ng quát: π π π ∫ xf(sin x)dx = ∫ f(sin x)dx . 20 0 5 http://www.anhlevan.tk
  6. Gi i tích 12NC Th y: Lê Văn Ánh π 2 sin2007 x ∫ Ví d 6. Tính tích phân I = dx . sin2007 x + cos2007 x 0 Gi i π t x = − t ⇒ dx = −dt 2 π π i c n: x = 0 ⇒ t = , x = ⇒ t = 0 2 2 2007 π ( ) π −t sin 0 2 cos2007 t 2 ∫ ⇒ I = −∫ dx = dx = J (1). π π ( ) ( ) sin2007 t + cos2007 t − t + cos2007 −t π sin 2007 0 2 2 2 π 2 π π anh ∫ dx = 2 M t khác I + J = (2). T (1) và (2) suy ra I = . 4 0 T ng quát: π π 2 2 π n cos n x sin x ∫ ∫ dx = dx = , n ∈ Z+ . sin x + cosn x sin x + cos x n n n 4 0 0 π π 6 6 sin2 x cos2 x leâ ∫ ∫ Ví d 7. Tính tích phân I = dx và J = dx . sin x + 3 cos x sin x + 3 cos x 0 0 Gi i π π π 6 6 sin x − 3 cos x 2 2 ( ) ∫ sin x + ∫ (sin x − I − 3J = dx = 3 cos x)dx = − cos x − 3 sin x = 1 − 3 (1) • 6 0 3 cos x 0 0 π π 6 6 dx 1 dx vaên ∫ dx = ∫ I+J= • 2 0 sin x + π ( ) sin x + 3 cos x 0 3 π t t = x + ⇒ dt = dx 3 π π π i c n: x = 0 ⇒ t = , x = ⇒ t = 3 6 2 π π π π ( ) 2 2 2 2 d(cos t) 1 dt 1 sin tdt 1 1 1 1 ∫ sin t = 2 ∫ sin2 t = 2 ∫ cos2 t − 1 = 4 ∫ cos t − 1 − cos t + 1 d(cos t) ⇒ I+J = 2π π π π 3 3 3 3 π cos t − 1 1 1 2 = = ln ln 3 (2). cos t + 1 π 4 4 3  1− 3  3   I − 3J = 1 − 3 I = ln 3 +    T (1) và (2) ⇒  16 4. ⇔  1  I + J = ln 3   J = 1 ln 3 − 1 − 3     4   16 4 1− 3 1− 3 3 1 V yI= ln 3 + , J= ln 3 − . 16 4 16 4 6 http://www.anhlevan.tk
  7. Gi i tích 12NC Th y: Lê Văn Ánh 1 ln(1 + x) ∫ Ví d 8. Tính tích phân I = dx . 1 + x2 0 Gi i t x = tgt ⇒ dx = (1 + tg2 t)dt π i c n: x = 0 ⇒ t = 0, x = 1 ⇒ t = 4 π π ln(1 + tgt) 4 4 ∫ ∫ ln(1 + tgt)dt . ( 1 + tg2 t ) dt = ⇒I= 1 + tg t 2 0 0 π t t = − u ⇒ dt = −du 4 π π i c n: t = 0 ⇒ u = , t = ⇒ u = 0 4 4 anh π 0 4 π ∫ ln(1 + tgt)dt = −∫ ln  1 + tg ( 4 − u )  du   ⇒I= π 0 4 π π π π 4 4 4 4 1 − tgu  π    2  du =  ∫ ∫  1 + tgu  du = ∫ ln 2du − ∫ ln ( 1 + tgu ) du = 4 ln 2 − I . ln  1 + ln  =     1 + tgu   0 0 0 0 π leâ V y I = ln 2 . 8 π 4 cos x ∫ 2007 Ví d 9. Tính tích phân I = dx . +1 x π − 4 Gi i t x = −t ⇒ dx = −dt π π π π vaên i c n: x = − ⇒ t = , x = ⇒ t = − 4 4 4 4 π π − cos(−t) 4 4 2007 t cos t ⇒ I = −∫ ∫π 1 + 2007 t dt dt = 2007−t + 1 π − 4 4 π π ∫ ( 1 − 2007 ) cos tdt (1 + 2007 ) − 1 4 4 t 1 ∫ = cos tdt = 1 + 2007 t +1 t π π − − 4 4 π π π 4 4 4 1 2 ∫ cos tdt − I ⇒ I = 2 ∫ cos tdt = ∫ cos tdt = = . 2 π π 0 − − 4 4 T ng quát: V i a > 0 , α > 0 , hàm s f(x) ch n và liên t c trên o n [ −α; α ] thì α α f(x) ∫ a x + 1 dx = ∫ f(x)dx . −α 0 7 http://www.anhlevan.tk
  8. Gi i tích 12NC Th y: Lê Văn Ánh Ví d 10. Cho hàm s f(x) liên t c trên » và th a f (−x) + 2f(x) = cos x . π 2 ∫ f(x)dx . Tính tích phân I = π − 2 Gi i π 2 ∫ f(−x)dx , x = −t ⇒ dx = −dt tJ= π anh − 2 π π π π i c n: x = − ⇒t= , x= ⇒t=− 2 2 2 2 π π π π 2 2 2 2 ∫ f(−t)dt = J ⇒ 3I = J + 2I = ∫ [ f(−x) + 2f(x) ] dx = ∫ cos xdx = 2∫ cos xdx = 2 ⇒I= π π π 0 − − − 2 2 2 leâ . 2 V y I= . 3 ôi khi ta ph i i bi n s trư c khi l y tích phân t ng ph n. * Chú ý: π2 4 ∫ cos Ví d 4. Tính tích phân I = xdx . 0 vaên Gi i tt= x ⇒ x = t ⇒ dx = 2tdt2 π2 π i c n: x = 0 ⇒ t = 0, x = ⇒t= 4 2 π π 2 ⇒ I = 2 ∫ t cos tdt = 2 ( t sin t + cos t ) 0 = π − 2 . 2 0 V y I = π − 2. e ∫ sin(ln x)dx . Ví d 5. Tính tích phân I = 1 Gi i t t = ln x ⇒ x = e ⇒ dx = e dt t t i c n: x = 1 ⇒ t = 0, x = e ⇒ t = 1 1 1 ( sin t − cos t ) e t (sin1 − cos1)e + 1 ∫ ⇒I= e t sin tdt = = . 2 2 0 0 (sin1 − cos1)e + 1 VyI= . 2 8 http://www.anhlevan.tk
  9. Gi i tích 12NC Th y: Lê Văn Ánh II. TÍCH PHÂN CH A GIÁ TR TUY T I Phương pháp gi i toán 1. D ng 1 b ∫ Gi s c n tính tích phân I = f(x) dx , ta th c hi n các bư c sau a Bư c 1. L p b ng xét d u (BXD) c a hàm s f(x) trên o n [a; b], gi s f(x) có BXD: anh a x1 x2 b x −0 + + 0 f (x) b x1 x2 b ∫ ∫ f(x)dx − ∫ f(x)dx + ∫ f(x)dx . Bư c 2. Tính I = f(x) dx = a a x1 x2 2 ∫ Ví d 1. Tính tích phân I = x 2 − 3x + 2 dx . leâ −3 Gi i B ng xét d u −3 x 1 2 −0 + x − 3x + 2 0 2 1 2 59 ∫ (x − 3x + 2 ) dx − ∫ ( x 2 − 3x + 2 ) dx = I= 2 . 2 vaên −3 1 π 2 ∫ Ví d 2. Tính tích phân I = 5 − 4 cos2 x − 4 sin xdx . 0 Gi i π π 2 2 ∫ ∫ I= 4 sin2 x − 4 sin x + 1dx = 2 sin x − 1 dx . 0 0 B ng xét d u π π x 0 6 2 − + 2 sin x − 1 0 π π 6 2 π I = −∫ ( 2 sin x − 1 ) dx + ∫ ( 2 sin x − 1) dx = 2 3 −2− . 6 π 0 6 2. D ng 2 b ∫ [ f(x) Gi s c n tính tích phân I = ± g(x) ] dx , ta th c hi n a Cách 1. b b b ∫ [ f(x) ∫ ∫ Tách I = ± g(x) ] dx = f(x) dx ± g(x) dx r i s d ng d ng 1 trên. a a a Cách 2. Bư c 1. L p b ng xét d u chung c a hàm s f(x) và g(x) trên o n [a; b]. Bư c 2. D a vào b ng xét d u ta b giá tr tuy t i c a f(x) và g(x). 9 http://www.anhlevan.tk
  10. Gi i tích 12NC Th y: Lê Văn Ánh 2 ∫(x Ví d 1. Tính tích phân I = − x − 1 ) dx . anh −1 Gi i Cách 1. 2 2 2 ∫(x ∫ x dx − ∫ x − 1 dx I= − x − 1 ) dx = −1 −1 −1 0 2 1 2 leâ = −∫ xdx + ∫ xdx + ∫ (x − 1)dx − ∫ (x − 1)dx −1 −1 0 1 x   −  x − x = 0 . 20 22 1 2 2 2 x x  +  − x  =− +      2  −1  2 1 2 2 −1 0 Cách 2. B ng xét d u x –1 0 1 2 vaên x – 0 + + x–1 – – 0 + 0 1 2 ∫ ( −x + x − 1) dx + ∫ ( x + x − 1) dx + ∫ ( x − x + 1) dx I= −1 0 1 + (x − x) 0 + x 1 = −x = 0. 2 0 2 −1 1 V y I = 0. 3. D ng 3 b b ∫ max { f(x), ∫ min { f(x), tính các tích phân I = g(x) } dx và J = g(x) } dx , ta th c hi n các bư c a a sau: Bư c 1. L p b ng xét d u hàm s h(x) = f(x) − g(x) trên o n [a; b]. Bư c 2. + N u h(x) > 0 thì max { f(x), g(x) } = f(x) và min { f(x), g(x) } = g(x) . + N u h(x) < 0 thì max { f(x), g(x)} = g(x) và min { f(x), g(x)} = f(x) . 4 ∫ max { x + 1, 4x − 2 } dx . Ví d 1. Tính tích phân I = 2 0 Gi i t h(x) = ( x 2 + 1 ) − ( 4x − 2 ) = x 2 − 4x + 3 . B ng xét d u x 0 1 3 4 h(x) + 0 – 0 + 1 3 4 80 ∫ (x ∫ ( 4x − 2 ) dx + ∫ ( x + 1 ) dx + + 1 ) dx = I= 2 2 . 3 0 1 3 80 V yI= . 3 10 http://www.anhlevan.tk
  11. Gi i tích 12NC Th y: Lê Văn Ánh 2 ∫ min { 3 , Ví d 2. Tính tích phân I = 4 − x } dx . x 0 Gi i t h(x) = 3x − ( 4 − x ) = 3x + x − 4 . B ng xét d u x 0 1 2 h(x) – 0 + 1 2 3x 1  x2  2 2 5 +  4x −  = ∫3 ∫ I= dx + ( 4 − x ) dx = +. x    ln 3 0  2 1 ln 3 2 anh 0 1 2 5 V yI= +. ln 3 2 D NG HÀM VÔ T . III. TÍCH PHÂN C A M T S dx leâ 1.Tích phân d ng: ∫ (v i a ≠ 0) ax 2 + bx + c Cách làm: Bi n i ax 2 + bx + c v m t trong các d ng ,sau ó th c hi n phép i bi n tương ng ta s ưa v vi c tính tích phân c a hàm h u t .  π π t t = a.tgu (ho c a.cotgu) v i u ∈ − ;  (ho c u ∈ (0; π) ). a) a 2 + t 2  2 2     vaên  π π t t = a.Sinu(ho c a.Cosu) v i u ∈ − ;  (ho c u ∈ [0; π] . b) a 2 − t 2  2 2  π  π π  a a ) v i u ∈ [0; π] -   (ho c u ∈ − ;  - {0} ) c) t 2 − a 2 tt= (ho c t =  2  2 2    Cosu Sinu Chú ý công th c: dx ∫ = ln x + x 2 + a +C (C là h ng s tuỳ ý) x +a 2 Ch ng minh:  x t.dx x 2 + a ⇒ dt = 1 +  dx = tt=x+ x2 + a x +a 2  dt dx dx dt V y: ∫ = ∫ = ln t + C = ln x + x 2 + a + C ( PCM) = T ó ta có : x +a x +a t t 2 2 du V i hàm h p: ∫ = ln u + u 2 + a + C (*)Trong ó u = u(x). u +a 2 3 2 dx ∫ Ví d 1:Tính I= 2x − x 2 1 3 2 dx ∫ I= 1 − ( x − 1) 2 1 11 http://www.anhlevan.tk
  12. Gi i tích 12NC Th y: Lê Văn Ánh π 3 và dx = cost.dt i c n: x =1 ⇒ t = 0 ⇒t = t x - 1 = sint . , x= 6 2 Π Π π 6 6 cos tdt Π ∫ = ∫ dt = t v yI= = 6 0 6 1 − sin t 2 0 0 3 dx ∫ Ví d 2:Tính J = 4x + 4x − 3 2 2 1 dx = ln x + x 2 + k + C (*) ( Công th c: ∫ i bi n s ) 2 x +k 3 3 dx dx ∫ Áp d ng công th c (*) ta có: J = ∫ = (2 x + 1) 2 − 3 4x 2 + 4x − 3 2 2 1  7 + 45  d (2 x + 1) 3 1 3 1 = ln 2 x + 1 + 4 x 2 + 4 x − 3 = ln . =∫ 2  5 + 21  2 2 (2 x + 1) 2 − 4 2   2 anh 1+ 2 1+ 2 2 2 dx dx ∫ ∫ Ví d 3: Tính K = = 4x 2 − 4x + 3 (2 x − 1) 2 + 2 1 1 2 2 Cách 1: Áp d ng công th c (*) ta có: 1+ 2 1+ 2 2 dx1 2 ∫ = ln 2 x + 1 + 4 x 2 − 4 x + 3 = ln 1 + 2 . K= leâ (2 x − 1) + 2 2 2 1 1 2 2 2 tan t Cách 2: t 2x - 1 = Chú ý: N u m u th c có th khai căn ư c thì ta có th gi i bài toán m t cách ơn gi n hơn như sau: 0 dx Ví d 4: Tính M = ∫ −2 4 x − 4 x + 1 2 vaên 0 dx ∫ 2x − 1 = M= −2 1 d (1 − 2 x) 0 0 dx 1 1 0 ∫21 − 2 x = − 2 −∫2 1 − 2 x = − 2 ln 1 − 2 x = = - ln 5 2 −2 − 2.Tích phân d ng: ∫ ( Ax + B)dx V i a.A ≠ 0 ax 2 + bx + c Cách làm: Tách tích phân ã cho thành hai tích phân có chung m u là ax 2 + bx + c ,m t tích phân có t là o hàm c a tam th c b c hai,m t tích phân có t là h ng s . ( Ax + B)dx 2ax + b M .dx T c là tách: ∫ =∫ dx + ∫ ax 2 + bx + c ax 2 + bx + c ax 2 + bx + c ( x + 4)dx Ví d 1:Tính I = ∫ x2 + 2x − 3 12 http://www.anhlevan.tk
  13. Gi i tích 12NC Th y: Lê Văn Ánh 1  (2 x + 2)dx  ( 2 x + 2) + 6 1 6dx ∫ ∫ +∫ = dx = Ta có: I= x 2 + 2x − 3 2  x 2 + 2x − 3 x 2 + 2x − 3  2 x 2 + 2 x − 3 + 3 ln x + 1 + x 2 + 2 x − 3 + C = ( x + 2)dx 0 ∫ Ví d 2:Tính J = x 2 + 2x + 2 −1 ( x + 2)dx ( 2 x + 2) + 2 0 0 1 ∫ ∫ dx Ta có: J = = x 2 + 2x + 2 x 2 + 2x + 2 2 −1 −1 (2 x + 2)dx 0 0 dx 1 ∫ +∫ = x + 2x + 2 x + 2x + 2 2 2 2 −1 −1 0 =  x 2 + 2 x + 2 + ln x + 1 + x 2 + 2 x + 2  = 2 − 1 + ln(1 + 2)     −1 dx 3.Tích phân d ng: ∫ (V i α .a ≠ 0 ) (αx + β ) ax 2 + bx + c 1 Cách làm: t αx + β = chuy n tích phân c n tính v tích phân d ng (a). anh t 1 dx Ví d 1: Tính I = ∫ 0 ( x + 1) x + 2 x + 2 2 1 1 dt t x +1 = . i c n: x = 0 ⇒ t = 1 ; x = 1 ⇒ t = và dx = - 2 . t 2 t 2(1 + 2) 1 dt 1 leâ ∫ = ln t + t 2 + 1 Ta có: I = = ln 1+ 5 t +1 2 1 1 2 2 3 dx ∫ ( x − 1) Ví d 2: Tính J = x2 +12 t +1 1 t x -1 = ⇔ x = vaên t t 1 dt i c n: x = 2 thì t = 1 , x = 3 thì t = và dx = - t2 2 dt 1 − 1 2 1 dt t2 ∫ ∫ Tích phân c n tính là: I = = t2 + t + 2 2 1  t +1 1 1 1  +1 2  2 tt  1 d t +   3 + 10  1  2 1 1 1 1 1 ln  ∫ ln t + + t2 + t + 1 = = = 2  2+ 5  2 2 2 2   2  1 1 1 1 t +  + 2 2  2 4 13 http://www.anhlevan.tk
  14. Gi i tích 12NC Th y: Lê Văn Ánh ln 2 x e dx ∫ (1 + e Ví d 3: Tính K = ) 1 − e x + e2x x 0 t t = ex ⇒ dt = exdx. x = 0 ⇒ t = 1 ; x = ln2 ⇒ t = 2 i c n: 2 dt Ta có: K = ∫ 1 (1 + t ) 1 − t + t 2 1 dt du 1 ta có: du = − ⇒ dt = − 2 và t = − 1 t u= 1+ t (1 + t ) 2 u u  1 1 du −  1 2 2  1  2 1 3 1 1 1 2 ∫ ln u − +  u −  + V y K= = = ln 3  2  12 6 2 2 3 3  1 1 1 1 u −  + 3 3 anh  2  12 Π 2 cot gxdx ∫ Ví d 4: Tính N = Sin 2 x + 2 Π 6 Π Π 2 2 cot gxdx cos xdx ∫ ∫ Sinx Ta có : N = =N= leâ Sin 2 x + 2 Sin 2 x + 2 Π Π 6 6 1 2 dt 1 du 1 ∫t ∫ t t = sin x thì : N= Li t u = thì N = = t +2 t 2 2 1 u+ 1 2 1 2 2  2 2 +3  1 2 1 1 ln  ln u + u 2 + = = 2  2+ 3 2   2 vaên 1 f ( x)dx 4. Tích phân d ng: ∫ V i a ≠ 0 b c f(x) ≥ 2,f(x) là a th c. ax 2 + bx + c f ( x)dx dx Cách làm:Tách ∫ = g(x). ax 2 + bx + c + λ ∫ ax 2 + bx + c ax 2 + bx + c V i g(x) là a th c , b c g(x)+1 = b c f(x). Tìm các h s c a g(x) và s λ b ng phương pháp h s b t nh. ( x 2 + 1)dx Ví d 1: Tính M = ∫ x 2 + 2x + 3 ( x 2 + 1)dx dx = ( Ax + B ) x 2 + 2 x + 3 + λ ∫ Tách : ∫ x + 2x + 3 x + 2x + 3 2 2 λ ( Ax + B)( x + 1) x +1 2 = A. x 2 + 2 x + 3 + L y o hàm hai v ta có: + x + 2x + 3 x + 2x + 3 x + 2x + 3 2 2 2 1 3 ng nh t h s ta có : A = ; B = − ; λ = 1 2 2 x−3 2 x−3 2 dx x + 2x + 3 + ∫ x + 2 x + 3 + ln x + 1 + x 2 + 2 x + 3 + C V yM= = x + 2x + 3 2 2 2 14 http://www.anhlevan.tk
  15. Gi i tích 12NC Th y: Lê Văn Ánh x − x +1 3 ∫ Ví d 2: Tính N = dx x2 + 2x + 2 x3 − x +1 dx dx = ( Ax 2 + Bx + C ) x 2 + 2 x + 2 + λ ∫ Ta có : ∫ (1) x + 2x + 2 x + 2x + 2 2 2 L y o hàm hai v c a (1) và quy ng ta có: x3-x +1 = (2A.x+B)(x2+2x+2) +(Ax2+Bx+C)(x-1) +D ng nh t h s ta có 1  A = 3  3 A = 1  B = −5  5A + 2B = 0  6  ⇔  4 A + 3B + C = −1 C = 1 2 B + C + D = 1  6  anh  D = 5 2  ( ) dx 1 5 ∫ x 2 + 2x + 2 M = 2x 2 − 5x + 1 x 2 + 2 x + 2 V y có: + 6 2 ( ) 1 5 2 x 2 − 5 x + 1 x 2 + 2 x + 2 + ln x + 1 + x 2 + 2 x + 2 + C = 6 2 x(x − 1)( x + 1) leâ 0 Ví d 3: Tính P = ∫ dx x 2 + 2x + 2 −1 áp d ng ư c ví d 2 ta làm như sau:Tách tích phân c n tính thành hi u c a hai tích phân: x(x − 1)( x + 1) x3 − x x3 − x + 1 0 0 0 0 dx P= ∫ dx = ∫ dx = ∫ dx - ∫ x 2 + 2x + 2 −1 x + 2 x + 2 −1 x + 2 x + 2 −1 x + 2 x + 2 2 2 2 −1 0 ( ) dx 0 1 3 ( ) ∫ 2 x 2 − 5 x + 1 x 2 + 2 x + 2 + ln x + 1 + x 2 + 2 x + 2 =N- = vaên x 2 + 2x + 2 6 2 −1 −1 1 43 2 − + ln 1 + 2 . = 6 32 dx 5. Tích phân d ng: ∫ v i m, n ∈ N * , a.c ≠ 0 (ax + b) m (cx + d ) 2 n − m n m  ax + b  t t=   ta s Cách làm: ưa v tính tích phân c a hàm h u t . n  cx + d  1 dx ∫ Ví d : Tính I = (3 x + 1) 3 (5 x + 4) 0 3 3  3x + 1   3x + 1  Ta th y m = 3; n = 2 ⇒t =   2  t t=  5x + 4   5x + 4  2  3x + 1  7 dx dx 2dt ⇒ 2tdt = 3. ⇒ =3 .  5 x + 4  (5 x + 4) (5 x + 4) 2 2 21 t 1 8 x=0⇒t = ; x =1⇒ t = i c n: 8 27 15 http://www.anhlevan.tk
  16. Gi i tích 12NC Th y: Lê Văn Ánh 8 8 8 4 1 1 27 27 dx 2dt2 − dx 1 2 27 ∫ =∫ ∫ t 3 dt = − 73 t ∫ V y:I= = = = 3 (3 x + 1) 3 (5 x + 4) 21 1 7 3 1 21t. t  3x + 1  1 (5 x + 4)2 0 0   8 8 8  5x + 4  ax + b V i (a.c ≠ 0 ) 6. Tích phân d ng: ∫ dx cx + d ax + b Cách làm: Cách 1: t t = cx + d anh Cách 2: t t = cx + d V i cách t trên ta s ưa tích phân c n tính thành tích phân ơn gi n hơn. 1+ x 1 Ví d :Tính J = ∫ dx 3− x 0 dx dx t t = 3 − x ⇒ dt = − ⇒ = −2dt Ta th c hi n theo cách t 2: 2 3− x 3− x leâ Khi ó x = −t 2 + 3 ⇒ 1 + x = 4 − t 2 1+ x 1 2 ∫ dx = − 2 ∫ 4 − t 2 dt V yJ= 3− x 0 3 π π t t = 2siny t= 3⇒y= ; t= 2⇒y= i c n: 3 4 π π π 1 + cos2 y 3 3 4 vaên dt = 2.cosydy V y : J = −2 ∫ 4 − 4sin2 y .2cosydy = 4.∫ 2cos 2 ydy = 8∫ dy 2 π π π 3 4 4 π π 3 ( 4 y + 2sin2 y ) + 3 −2 = = 3 π 4 7. Tích phân d ng: ∫ R[x; n u ; m u ]dx t t = k u V i k là BCNN c a m và n. Cách làm: 1− x +1 0 ∫1+ Ví d 1 :Tính I = dx x +1 3 −1 t t = x + 1 ⇒ t 6 = x + 1(t ≥ 0) ⇒ 6t 5 dt = dx 6 1− t3 1− x +1 1 0 dx = ∫ 6t 5 ∫1+ dt I= 1+ t2 x +1 3 −1 0 1  6 6t = ∫  − 6t 6 + 6t 4 + 6t 3 − 6t 2 + 6t + 6 + 2 −2 dt t +1 t + 1  0 Tích phân này d dàng tính ư c. 16 http://www.anhlevan.tk
  17. Gi i tích 12NC Th y: Lê Văn Ánh x +1 − 2 3 ∫x Ví d 2 : Tính J = dx + 2x + x + 1 + 1 2 0 t t = x + 1 ⇒ 2tdt = dx x +1 − 2 3 2(t − 2)tdt 2t − 4 Bt + C  2 2 2 A ∫ x 2 + 2x + x + 1 + 1 1 t 4 + t = dx = ∫ ∫ t 3 + 1 dt = ∫  t + 1 + t 2 − t + 1 dt J= 1  0 1 ng nh t h s ta có: A = −2; B = 2; C = −2  1 dt −  2t − 2 d (t − t + 1) 2 2 2 2 − ∫ 2 2 2 2 2 V y J = − 2 ln t + 1 + ∫ 2 dt = 2 ln + ∫ 2 = 2 ln + ln t 2 − t + 1 + L 1 t − t +1 3 1 t − t +1 1 t − t +1 3 1 4 π anh 1 3 tgu Ta có áp s là: I = ln − t t− = Tính L b ng cách . 3 33 2 2 8.Tích phân d ng: ∫ x r (a + bx p ) q dx (p,q,r là các phân s ) s a)N u q nguyên t x= t v i s là BCNN c a m u s r và p. r +1 nguyên t a + bx p = t s v i s là m u c a phân s q. b)N u p r +1 leâ +q nguyên t ax − p + b = t s v i s là m u s c a phân s q. c) N u p dx Ví d 1 : Tính I = ∫ x ( x − 1) 3 4 −3   1 1 dx − = ∫ x  − 1 + x 4  dx Vi t tích phân c n tính d ng sau: I = ∫ 2   x (4 x − 1) 3   vaên 4 3 Vì q=-3 nguyên nên t x= t ta có dx=4t dt 1 1   4t 3 dt 1 1 1 tdt = 4∫  =4 ∫ I= ∫ 2 − −  dt = 4 − + − ln t − 1  + C t − 1  (t − 1) (t − 1)  2(t − 1) t −1 t (t − 1) (t − 1) 3 3 3 2 2  . x 5 dx (a > 0) Ví d 2 : Tính J = ∫ (a − x 2 ) a − x 2 −3 r +1 5 +1 ∫ x (a − x ) 2 dx Vì = = 3 nguyên nên t a-x2 = t2 5 2 Ta có: J = p 2 ⇒ x 4 = (a − t 2 ) 2 ⇒ −2 xdx = 2tdt ⇒ xdx = −tdt (a − t ) tdt 22 t 4 − 2at 2 + a 2 a2 1 V yJ= −∫ = -∫ dt = − t 3 + 2at + +C. t3 t3 t 3 ∫ ax − x 3 dx 3 Ví d 3 : Tính N = 1 1 ∫ ∫ x 3 (a − x ) 3 dx ax − x 3 dx = 3 2 Ta có: N = r +1 1 1 t ax −2 − 1 = t 3 hay Do r = ; p = 2; q = + q = 1 nguyên nên ta vì p 3 3. 17 http://www.anhlevan.tk
  18. Gi i tích 12NC Th y: Lê Văn Ánh 3at 2 dt a a −1 = t 3 ⇔ x2 = 3 ⇒ dx 2 = − 3 t +1 (t + 1) 2 x2 1 3at 2  t 3 dt 13a 3a − 1dx = ∫ t − 3 V y N= ∫  dt = − ∫ 3 2 = 2  (t + 1) 2  2 (t + 1) 2 x2 2 1 at a dt a ∫ td  t 2 + 1  = 2(t 2 + 1) − 2 ∫ t 3 + 1 (Tích phân này d dàng tính ư c). =   2 9.Các phép th Euler: ax 2 + bx + c = ± a .x + t N u a >0 a) t ax 2 + bx + c = x.t ± c b) t Nêú c>0 anh ax 2 + bx + c = t ( x − x0 ) c) t N u x0 là nghi m c a TTB2 1 dx ∫ Ví d 1 :Tính M = x 2 + 6x + 5 0 t x 2 + 6 x + 5 = a .x + t = x + t a=1 >0 S d ng phép th th nh t t2 −5 ⇒ x 2 − 6x + 5 = (x + t) 2 ⇔ x = − 2t − 6 leâ 2(−t + 6t − 5) 2 dx = dt Suy ra: (2t − 6) 2 − t 2 + 6t − 5 x + 6x + 5 = 2 − 2t + 6 x=0⇒t = 5 Vi x = 1 ⇒ t = 2 3 −1 (Chú ý r ng x + t > 0 ) vaên  3− 5  2 3 −1 2 3 −1 dt = ln  ∫ = - ln − t + 3 Ta có: I= 2 3 −2 −t +3   5 5 −2 x − x + 3x + 2 2 ∫ x+ Ví d 2 :Tính P = dx x 2 + 3x + 2 −5 Tam th c b c hai x2+3x+2 có nghi m là -1.Theo phép th th ba, t x 2 + 3 x + 2 = t ( x + 1) ; t ≤ 0∀x ∈ [− 2;−1] −t2 + 2 − 2tdt ⇒ x + 2 = t 2 ( x + 1) ⇒ x = v y dx = t 2 −1 (t 2 − 1) 2 −2 x − x 2 + 3x + 2 − 2t 2 − 4t 0 ∫ x+ ∫ (t − 2)(t − 1)(t + 1) 3 dt dx = Khi ó: P = x 2 + 3x + 2 −5 3 − 2 0 0 0 0 0 dt dt 1 5 17 dt 3 dt 16 dt ∫ (t + 1) 3 + 18 ∫ (t + 1) 2 - 108 ∫ t + 1 dt + 4 ∫ t − 1 dt - 27 ∫ dt = t−2 3 3 3 3 3 3 − − − − − 2 2 2 2 2 3 − 1  5 17 3 16 2 + + ln t + 1 − ln t − 1 + ln t − 2  = . 18(t + 1) 108  6(t + 1) 2 4 27  0 18 http://www.anhlevan.tk
  19. Gi i tích 12NC Th y: Lê Văn Ánh 7 − 2 dx ∫ Ví d 3 :Tính L = − x 2 − 3x + 4 −3 Vì c = 4 >0 có th s d ng phép th th hai. − x 2 − 3 x + 4 = xt + c = xt + 2 t 0 dt ∫t Chuy n vi c tính tích phân trên v vi c tính tích phân +1 2 −1 10.M t s bài toán khác: Ngoài các d ng trên thì có nh ng bài có th áp d ng tr c ti p công th c tích phân,ho c s d ng m t s phép bi n i ơn gi n.Sau ây là m t s ví d : −3 dx Ví d 1: Tính I1 = ∫ t t = 1− x −8 x 1 − x 1 anh ∫x x + 1dx t t = 3 x +1 3 Ví d 2: Tính I2 = 0 7 2 dx ∫ t t = 3 2x + 1 Ví d 3: Tính I3 = 2x + 1 3 0 7 7 (2 x + 1) 2 1 2 3 − 1 9 2 Có th trình bày như sau: I3 = ∫ (2 x + 1) 3 d (2 x + 1) = = leâ 20 4 3 0 1 dx ∫ Ví d 4: Tính I4 = x +1 − x 0 1 2 2 3 1 42 (x + 1)3 Ta có : I4 = ∫ ( x + 1 + x )dx =  + x = 3 0 3 3 0 vaên 1 ∫ 4 − x 2 dx Ví d 5: Tính 0 Cách1: S d ng phương pháp l y tích phân t ng ph n u = 4 − x2 t dv = dx Cách 2: t x =2Sint (Vì ây là tích phân d ng 1-b) 2Π áp s : 3 + 3 n ∫ x 2 − a 2 dx Ví d 6: Tính m Dùng phương pháp l y tích phân t ng ph n v i u = x 2 − a 2 ; dv = dx . x 2 n a2 Ta có k t qu là :   x − a2 − ln x + x 2 − a 2 2 m 2   dx (0 < a ≠ 1) Ví d 7: Tính ∫ 1+ a x 19 http://www.anhlevan.tk
  20. Gi i tích 12NC Th y: Lê Văn Ánh x dx 2 dt 2 − ∫ ∫ 1 + t 2 = − ln a ln t + 1 + t + C =− t t=a 2 2 ta có: 1+ a ln a x anh x x.e dx ∫ Ví d 8: Tính 1+ ex (t > 1) t t = 1+ ex x.e x dx ∫ = 2 ∫ ln(t 2 − 1)dt = 2 ∫ ln(t − 1)dt + 2 ∫ ln(t + 1)dt Ta có: 1+ e x = 2(t − 1) ln(t − 1) + 2(t + 1) ln(t + 1) − 4t + C leâ x x.e dx ∫ = 2( x − 2) 1 + e x + 4 ln(1 + 1 + e x ) − 2 x + C V y: 1+ e x x 2 n +1 dx ∫ Ví d 9: Tính 1− x2 ( x < 1) t t = 1− x2 vaên x 2 n +1 dx 1 x 2 n dx 2 n = − ∫ (1 − t 2 ) n dt = − ∫ ∑ ( −1) k C n t 2 k dt = ∫ 1− x2 2 ∫ 1− x2 k Ta có: k =0 2 k +1 2 k +1 k n n Cn kt = − ∑ (− 1) C n + C = ∑ (−1) k +1 k (1 − x 2 ) 2 + C ./ 2k + 1 2k + 1 k =0 k =0 muoán hoïc toát tích phaân thì hoïc daïng & ñoïc thaät nhieàu baøi giaûi saün 20 http://www.anhlevan.tk

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

AMBIENT
Đồng bộ tài khoản