Toán phổ thông luyện thi

Chia sẻ: Trần Bá Trung1 | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:5

Thêm vào BST

Báo xấu

157
lượt xem 40
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Toán phổ thông luyện thi là tài liệu tham khảo, giúp ích cho các bạn tự học, ôn thi, với phương pháp giải hay, thú vị, rèn luyện kỹ năng giải đề, nâng cao vốn kiến thức cho các bạn trong các kỳ thi sắp tới. Tác giả hy vọng tài liệu này sẽ giúp ích cho các bạn.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Toán phổ thông luyện thi

Së Gi¸o dôc vµ ®µo t¹o Kú THI TUYÓN SINH LíP 10 thpt qUèC HäC Thõa Thiªn HuÕ M«n: TO¸N - N¨m häc 2007-2008 §Ò chÝnh thøc Th i gian làm bài: 150 phót B i 1: (1,25 ®iÓm) 1. TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc: A= a 2 + 4ab 2 + 4b 4 − 4a 2 − 12ab 2 + 9b 4 v i a = 2 ; b = 1 .  x x +3 3  x + 3  2. Chøng minh:   x − 3x + 3 − 2 x   3− x  =1  (víi x ≥ 0 vµ x ≠ 3 ).    2 B i 2: (1,25 ®iÓm) Cho ph−¬ng tr×nh: mx − 2mx + 1 = 0 ( m lµ tham sè) 1. T×m c¸c gi¸ trÞ cña m ®Ó ph−¬ng tr×nh cã nghiÖm vµ tÝnh c¸c nghiÖm cña ph−¬ng tr×nh theo m . 2. T×m gi¸ trÞ cña m ®Ó ph−¬ng tr×nh cã hai nghiÖm sao cho mét nghiÖm gÊp ®«i nghiÖm kia. B i 3: (1 ®iÓm) Trªn mÆt ph¼ng täa ®é Oxy, cho 4 ®iÓm A(−3; 4), B (−2;1), C (1; 2), D(0;5) . 1. Cho biÕt ®¬n vÞ ®o trªn c¸c trôc täa ®é lµ xentimÐt (cm), tÝnh ®é dµi c¸c c¹nh vµ c¸c ®−êng chÐo cña tø gi¸c ABCD. Tø gi¸c ABCD lµ h×nh g× ? 2. Dùa vµo h×nh vÏ, cho biÕt täa ®é giao ®iÓm cña 2 ®−êng chÐo cña tø gi¸c ABCD. B i 4: (1,25 ®iÓm) Cho hµm sè y = ax 2 ( a ≠ 0 ) 1. X¸c ®Þnh hÖ sè a biÕt r»ng ®å thÞ cña hµm sè ®· cho c¾t ®−êng th¼ng d : y = −2 x + 3 t¹i ®iÓm A cã tung ®é b»ng −1 . 2. VÏ ®å thÞ (P) cña hµm sè øng víi gi¸ trÞ a võa t×m ®−îc trong c©u 1) vµ vÏ ®−êng th¼ng d trªn cïng mét mÆt ph¼ng täa ®é. T×m täa ®é giao ®iÓm thø hai B cña (P) vµ d. B i 5: (1,25 ®iÓm) Hai vßi n−íc cïng ch¶y vµo bÓ th× ®Çy sau 16 giê. NÕu vßi I ch¶y trong 3 giê vµ vßi II ch¶y trong 6 giê th× ®−îc thÓ tÝch n−íc b»ng 25% bÓ. TÝnh thêi gian cÇn thiÕt ®Ó riªng mçi vßi ch¶y ®Çy bÓ. B i 6: (1 ®iÓm) Cho ®−êng trßn (O), A lµ ®iÓm cè ®Þnh trªn (O) vµ M lµ mét ®iÓm di ®éng trªn (O). Qua M vÏ ®−êng vu«ng gãc MH víi tiÕp tuyÕn AT cña ®−êng trßn (O) (H thuéc AT). Chøng minh r»ng trong tr−êng hîp tån t¹i tam gi¸c OMH, tia ph©n gi¸c gãc ngoµi ë ®Ønh M cña tam gi¸c ®i qua mét ®iÓm cè ®Þnh. B i 7: (1,5 ®iÓm) "Gãc sót" cña qu¶ ph¹t ®Òn 11 mÐt lµ gãc nh×n tõ chÊm ph¹t ®Òn ®Õn ®o¹n th¼ng nèi 2 ch©n cña cÇu m«n. BiÕt chiÒu réng cña cÇu m«n lµ 7,32 m, hái "gãc sót" cña qu¶ ph¹t ®Òn 11 mÐt lµ bao nhiªu ®é ? T×m c¸c ®iÓm kh¸c trªn s©n cá cã cïng "gãc sót" nh− qu¶ ph¹t ®Òn 11 mÐt. Nªu c¸ch dùng quü tÝch c¸c ®iÓm ®ã nÕu gäi A vµ B lµ 2 ®iÓm biÓu diÔn ch©n cÇu m«n vµ M lµ ®iÓm biÓu diÔn chÊm ph¹t ®Òn. B i 8: (1,5 ®iÓm) I Mét cèc n−íc h×nh nãn côt cã b¸n kÝnh 2 ®¸y lµ r1 = 4 cm, r2 = 1 cm , ®ùng ®Çy n−íc. Ng−êi ta th¶ mét qu¶ bi h×nh cÇu b»ng kim lo¹i vµo th× nã ®Æt võa khÝt h×nh nãn côt (h×nh vÏ). TÝnh thÓ tÝch khèi n−íc cßn l¹i trong cèc. HÕt J SBD thÝ sinh:____________ Ch÷ ký GT1:
Së Gi¸o dôc vµ ®µo t¹o Kú THI TUYÓN SINH LíP 10 thpt qUèC HäC Thõa Thiªn HuÕ M«n: TO¸N - N¨m häc 2007-2008 §Ò chÝnh thøc §¸p ¸n vµ thang ®iÓm B i ý Néi dung §iÓm 1 1,25 1.1 2 2 2 2 A= ( a + 2b ) − ( 2a − 3b ) = a + 2b 2 − 2a − 3b 2 0,25 V i a = 2 ; b = 1 thì A = 2 +2 − 2 2 −3 = 2 + 2 + 2 2 − 3 = 3 2 −1 0,25 1.2 + Víi gi¶ thiÕt ®· cho: x ≥ 0 vµ x ≠ 3 , ta cã: 3 3 x x +3 3 −2 x = ( x ) + ( 3) −2 x = 3− x 0,25 2 2 x − 3x + 3 ( x ) − x 3 + ( 3) x+ 3 x+ 3 1 + = = 0,25 3− x ( 3− x )( 3+ x ) 3− x  x x +3 3  x + 3  1 + VËy:   x − 3x + 3 − 2 x   3− x  =  ( ) 3− x . 3− x =1 0,25    2 1,25 2.1 + NÕu m = 0 th× ph−¬ng tr×nh trë thµnh 1 = 0 , nªn ph−¬ng tr×nh v« nghiÖm. 0,25 + NÕu m ≠ 0 th× ph−¬ng tr×nh ®· cho cã nghiÖm khi: ∆ ' = m 2 − m = m ( m − 1) ≥ 0 . Suy ra m < 0 hoÆc m ≥ 1 (*). 0,25 m − m2 − m m + m2 − m Khi ®ã c¸c nghiÖm cña ph−¬ng tr×nh lµ: x1 = ; x2 = . m m 0,25 2.2 Víi ®iÒu kiÖn (*), ph−¬ng tr×nh cã hai nghiÖm x1 , x2 . 1 Theo hÖ thøc Vi-Ðt: x1 + x2 = 2 vµ x1 x2 = 0,25 m 4 2 Theo gi¶ thiÕt, ta cã: x1 = 2 x2 (hoÆc x2 = 2 x1 ), suy ra: x1 = ; x2 = (hoÆc 3 3 2 4 x1 = ; x2 = ) 3 3 1 8 1 9 Suy ra: x1 x2 = ⇔ = ⇔ m = > 1 , tháa m·n ®iÒu kiÖn (*). m 9 m 8 0,25 9 VËy víi m = th× ph−¬ng tr×nh cã mét nghiÖm gÊp ®«i nghiÖm kia. 8 1
3 1,0 3.1 + Tø gi¸c ABCD cã: - C¸c c¹nh b»ng nhau v× cïng b»ng c¹nh huyÒn cña tam gi¸c vu«ng cã c¸c c¹nh gãc vu«ng lµ 3cm vµ 1cm. Do ®ã ®é dµi mçi c¹nh cña tø gi¸c lµ: 32 + 12 = 10 (cm) . 0,25 - C¸c ®−êng chÐo b»ng nhau v× cïng b»ng c¹nh huyÒn cña tam gi¸c vu«ng cã c¸c c¹nh gãc vu«ng lµ 2cm vµ 4cm. Do ®ã ®é dµi mçi ®−êng chÐo cña tø gi¸c lµ: AC = BD = 22 + 42 = 20 = 2 5 (cm) 0,25 + Tø gi¸c ABCD cã 4 c¹nh b»ng nhau vµ hai ®−êng chÐo b»ng nhau nªn lµ h×nh vu«ng. 0,25 3.2 + Tõ h×nh vÏ suy ra giao ®iÓm cña 2 ®−êng chÐo lµ: I ( −1;3) 0,25 4 1,25 4.1 + §iÓm A ë trªn d vµ cã tung ®é b»ng −1 nªn: −1 = −2 x + 3 ⇔ x = 2 . 0,25 Do ®ã: A(2; − 1) + A lµ giao ®iÓm cña ®å thÞ hµm sè y = ax 2 víi d, nªn A thuéc (P), suy ra: 1 −1 = a ⋅ 2 2 ⇔ a = − 0,25 4 4.2 1 + VÏ ®óng parabol (P): y = − x 2 0,25 4 + VÏ ®óng ®−êng th¼ng d 0,25 A + Hoµnh ®é giao ®iÓm cña (P) vµ d lµ nghiÖm cña ph−¬ng tr×nh : 1 − x 2 = −2 x + 3 ⇔ x 2 − 8 x + 12 = 0 . 4 B + Gi¶i ph−¬ng tr×nh ta ®−îc nghiÖm thø hai lµ: x2 = 6 ⇒ y2 = −9 . VËy giao ®iÓm thø hai cña (P) vµ d lµ B(6; − 9) 0,25 5 1,25 Gäi x (giê) vµ y (giê) lµ thêi gian ®Ó riªng vßi I vµ vßi II ch¶y ®Çy bÓ ( x > 0; y > 0 ). 1 1 Mçi giê vßi I ch¶y ®−îc bÓ, vßi II ch¶y ®−îc bÓ. 0,25 x y 16 16 Theo gi¶ thiÕt thø nhÊt, ta cã ph−¬ng tr×nh: + = 1. x y 0,25 3 6 25 3 6 1 Theo gi¶ thiÕt thø hai, ta cã ph−¬ng tr×nh: + = ⇔ + = . 0,25 x y 100 x y 4 2
16 16  x + y = 1 16u + 16v = 1   1 1 VËy ta cã hÖ ph−¬ng tr×nh:  ⇔ 1 (víi u = ; v = ) 3+6 =1  3u + 6v = 4  x y x y 4  ( u; v ) =  1 1  Gi¶i hÖ ph−¬ng tr×nh trªn, ta ®−îc  ;  0,25  24 48  Suy ra: ( x; y ) = ( 24; 48) tháa ®iÒu kiÖn bµi to¸n. VËy nÕu ch¶y riªng, th× vßi I ch¶y ®Çy bÓ trong 24 giê vµ vßi II ch¶y ®Çy bÓ trong 48 giê. 0,25 6 1,0 + Ta cã OA ⊥ AH (v× AT lµ tiÕp tuyÕn cña ®−êng trßn) vµ MH ⊥ AH (gt). Suy ra: OA // MH ⇒ OAM = AMH (so le trong). 0,25 + Mµ tam gi¸c AOM c©n t¹i O (OA = OM) nªn OAM = OMA , do ®ã: AMH = OMA vµ tia MA lu«n n»m gi÷a hai tia MO vµ MH, suy ra: MA lµ tia ph©n gi¸c cña gãc OMH . 0,25 + Dùng tia ph©n gi¸c gãc ngoµi ë ®Ønh M cña tam gi¸c OMH c¾t (O) t¹i A’, ta cã: MA ⊥ MA ' . Suy ra: Tam gi¸c AMA’ vu«ng t¹i M, do ®ã AA’ lµ ®−êng kÝnh cña (O). 0,25 + Mµ A cè ®Þnh, nªn A’ còng cè ®Þnh. VËy tia ph©n gi¸c gãc ngoµi ë ®Ønh M cña tam gi¸c OMH ®i qua ®iÓm A’ ®èi 0,25 xøng víi A qua t©m O. 7 1,50 + Tam gi¸c MAB c©n t¹i M. Gäi H lµ trung ®iÓm cña AB, th× trung tuyÕn MH còng lµ ®−êng cao H vµ ®−êng ph©n gi¸c gãc M cña tam gi¸c c©n MAB. Suy ra: HA = HB = 3, 66m 0,25 Gäi α = AMH , trong tam gi¸c vu«ng MHA, cã: AH 3, 66 tgα = = ⇒ α ≈ 180 24 ' MH 11 0,25 Suy ra "gãc sót" cña qu¶ ph¹t ®Òn 11 mÐt lµ: 2α ≈ 360 48' . 0,25 + C¸c ®iÓm trªn s©n cá cã cïng "gãc sót" nh− qu¶ ph¹t ®Òn 11 mÐt lµ c¸c ®iÓm cïng nh×n ®o¹n AB d−íi mét gãc 2α , nªn 0,25 chóng ë trªn cung chøa gãc 2α dùng trªn ®o¹n th¼ng AB (ë tr−íc cÇu m«n). + C¸ch dùng: - Dùng tia Ax t¹o víi AB mét gãc 2α ≈ 360 48' (ë sau cÇu m«n). - Dùng ®−êng th¼ng qua A vu«ng gãc víi Ax c¾t MH t¹i O - Dùng cung trßn t©m O, b¸n kÝnh OA chøa ®iÓm M, cung trßn nµy lµ quÜ tÝch 0,50 cÇn dùng. 3
8 1,50 + H×nh cÇu ®Æt khÝt h×nh nãn côt, nªn ®−êng trßn lín cña nã néi tiÕp trong h×nh thang c©n ABCD, víi 0,25 AD, BC lµ hai ®−êng sinh vµ AB, O CD lµ 2 ®−êng kÝnh cña 2 ®¸y h×nh nãn côt. Gäi O lµ t©m vµ r lµ b¸n kÝnh h×nh cÇu, I, J lµ 2 tiÕp ®iÓm cña ®−êng trßn lín víi AB vµ CD, M lµ tiÕp ®iÓm cña BC víi ®−êng trßn lín (O), ta cã: BI = BM vµ CJ = CM, suy ra BC = r1 + r2 = 4 + 1 = 5 0,25 (cm). Tõ C kÎ CH vu«ng gãc víi AB t¹i H, ta cã tø gi¸c IHCJ lµ h×nh ch÷ nhËt, nªn BH = r1 − r2 = 3 (cm), do ®ã: CH = BC 2 - BH 2 = 4(cm) . 0,25 VËy: ®−êng kÝnh cña h×nh cÇu lµ: IJ = CH = 4cm , nªn b¸n kÝnh cña h×nh cÇu lµ: r = 2cm + ThÓ tÝch khèi n−íc trµn ra ngoµi b»ng thÓ tÝch h×nh cÇu vµ b»ng: 4 4 32π 0,25 V1 = π r 3 = ⋅ 8π = 3 3 3 ( cm3 ) 1 + ThÓ tÝch cèc n−íc h×nh nãn côt lµ: V2 = π h ( r12 + r2 2 + r1r2 ) víi chiÒu cao cña 3 nãn côt lµ: h = IJ = 4(cm) . 1 0,25 V2 = ⋅ 4π ( 42 + 12 + 4.1) = 28π ( cm3 ) . 3 + VËy thÓ tÝch khèi n−íc cßn trong cèc n−íc lµ: 32π 52π 0,25 V = V2 − V1 = 28π − = ≈ 54, 5 ( cm3 ) 3 3 4