Tóm tắt luận án Tiến sĩ Hóa học: Phát triển phương pháp sai phân khác thường giải một số lớp phương trình vi phân

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:26

Thêm vào BST

Báo xấu

23
lượt xem 4
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Mục tiêu chính của luận án "Phát triển phương pháp sai phân khác thường giải một số lớp phương trình vi phân" là phát triển phương pháp luận của Mickens để xây dựng LĐSPKT giải một số lớp PTVPĐHT quan trọng nảy sinh trong các lĩnh vực khoa học và công nghệ.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Tóm tắt luận án Tiến sĩ Hóa học: Phát triển phương pháp sai phân khác thường giải một số lớp phương trình vi phân

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO VIỆN HÀN LÂM KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ VIỆT NAM HỌC VIỆN KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ Hoàng Mạnh Tuấn PHÁT TRIỂN PHƯƠNG PHÁP SAI PHÂN KHÁC THƯỜNG GIẢI MỘT SỐ LỚP PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN Chuyên ngành: Toán ứng dụng Mã số: 9 46 01 12 TÓM TẮT LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC HÀ NỘI - 2021
Công trình được hoàn thành tại: Học viện Khoa học và Công nghệ - Viện Hàn lâm Khoa học và Công nghệ Việt Nam. Người hướng dẫn khoa học 1: GS. TS. Đặng Quang Á Người hướng dẫn khoa học 2: PGS. TSKH. Vũ Hoàng Linh Phản biện 1: ................................................ Phản biện 2: ................................................ Phản biện 3: ................................................ Luận án sẽ được bảo vệ trước Hội đồng đánh giá luận án tiến sĩ cấp Học viện, họp tại Học viện Khoa học và Công nghệ - Viện Hàn lâm Khoa học và Công nghệ Việt Nam vào hồi ..... giờ ....’, ngày ..... tháng .... năm 2021. Có thể tìm hiểu luận án tại: - Thư viện Học viện Khoa học và Công nghệ - Thư viện Quốc gia Việt Nam
MỞ ĐẦU 1. Tổng quan tình hình nghiên cứu Nhiều quá trình và hiện tượng quan trọng nảy sinh trong các lĩnh vực khoa học và công nghệ được mô hình toán học bởi các phương trình vi phân (PTVP) có dạng dy(t) y(t0 ) = y0 ∈ Rn , = f y(t) , (0.0.1) dt T trong đó y(t) = y1 (t), y2 (t), . . . , yn (t) là một hàm véc-tơ, và f là một hàm thỏa mãn các điều kiện cần thiết sao cho nghiệm của bài toán (0.0.1) là tồn tại và duy nhất. Bài toán (0.0.1) còn được gọi là bài toán giá trị ban đầu hoặc bài toán Cauchy. Bài toán (0.0.1) có một vai trò đặc biệt quan trọng trong cả lý thuyết lẫn ứng dụng. Về mặt lý thuyết, không khó để chứng minh sự tồn tại và tính duy nhất của nghiệm, sự phụ thuộc liên tục vào dữ liệu đầu của bài toán nhờ các kết quả của giải tích toán học. Tuy nhiên, việc tìm nghiệm chính xác của bài toán là vô cùng khó khăn và phức tạp, thậm chí là không thể. Nói chung, người ta chỉ có thể tìm được nghiệm chính xác trong một số rất ít những trường hợp riêng và đặc biệt. Trong ứng dụng, việc tìm các nghiệm xấp xỉ cho bài toán (0.0.1) hầu như là không thể tránh khỏi. Vì vậy, việc nghiên cứu các phương pháp giải gần đúng PTVP đóng một vai trò quan trọng và nổi bật trong toán học nói chung và toán học tính toán và ứng dụng nói riêng. Do nhu cầu của thực tiễn cùng sự phát triển của lý thuyết toán học, nhiều phương pháp số, điển hình là các phương pháp sai phân đã được xây dựng và phát triển (xem, chẳng hạn, Ascher & Petzold 1998; Burden & Faires 2011; Hairer, Nørsset & Wanner 1993, Hairer & Wanner 1996, Stuart & Humphries 1998). Có thể nói rằng lý thuyết chung về lược đồ sai phân giải bài toán (0.0.1) đã được xây dựng hoàn chỉnh trong nhiều rất cuốn sách chuyên khảo. Các lược đồ này sẽ được gọi là các lược đồ sai phân bình thường (LĐSPBT) để phân biệt với các lược đồ sai phân khác thường (LĐSPKT) sẽ được trình bày ở các phần tiếp theo. Ngoài các yêu cầu cơ bản như sự hội tụ và ổn định thì một yêu cầu quan trọng hàng đầu với các lược đồ sai phân là phải bảo toàn chính xác các tính chất quan trọng của PTVP. Nói cách khác, các mô hình liên tục phải được chuyển đổi thành các mô hình rời rạc bảo toàn được các tính chất của mô hình liên tục. Tuy nhiên, trong nhiều bài toán, các LĐSPBT lại bộc lộ một nhược điểm nghiêm trọng là không thể bảo toàn các tính chất của PTVP tương ứng. Hiện tượng này được Mickens gọi là không ổn định số (numerical instabilities). Theo mô tả của Mickens, hiện tượng không ổn định số là một dấu hiệu cho thấy mô hình rời rạc không thể mô hình hóa chính xác các tính chất của mô hình liên tục (Mickens 1994, 2000, 2005, 2012). Trong nhiều kết quả, Mickens đã chỉ ra rất nhiều ví dụ và phân tích chi tiết hiện tượng không ổn định số xảy ra khi sử dụng các LĐSPBT. Vì lý do này, năm 1980, Mickens đã đề xuất khái niệm về LĐSPKT để khắc phục hiện tượng không ổn định số. Theo phương pháp luận của Mickens, một lược đồ sai phân được gọi là khác thường nếu nó được xây dựng dựa trên một bộ quy tắc xác định được đề xuất bởi Mickens dựa trên các phân tích hiện tượng không ổn định số khi sử dụng các LĐSPBT. Trong nhiều năm qua, hướng nghiên cứu về LĐSPKT giải PTVP đã thu hút được sự quan tâm của rất nhiều nhà khoa học ở nhiều khía cạnh khác nhau và thu được nhiều kết quả có ý nghĩa đặc biệt quan trọng. Tất 1
cả các kết quả đều khẳng định sự hiệu quả và ưu thế của các LĐSPKT. Ưu thế của LĐSPKT so với LĐSPBT là có thể bảo toàn chính xác các tính chất quan trọng (tính dương, tính bị chặn, tính đơn điệu, tính ổn định tiệm cận, tính tuần hoàn, etc.) của nghiệm của PTVP với mọi bước lưới hữu hạn. Tức là, tính chất của LĐSPKT độc lập với bước lưới được chọn. Hơn nữa, các LĐSPKT là hiệu quả trong tính toán, dễ dàng thực hiện và có thể được áp dụng cho một lớp lớn các bài toán của khoa học và công nghệ. Trong các bài tổng quan rất lớn Mickens (2012) và Patidar (2005, 2016) cũng như các cuốn sách chuyên khảo Mickens (1994, 2000, 2005), Mickens và Patidar đã trình bày một cách hệ thống các kết quả về LĐSPKT trong các thập kỷ gần đây cũng như các hướng phát triển trong tương lai. Ngày nay, LĐSPKT tiếp tục được sử dụng như một cách tiếp cận hiệu quả để giải gần đúng PTVP đạo hàm thường (PTVPĐHT), PTVP đạo hàm riêng (PTVPĐHR), PTVP phân thứ (PTVPPT) và PTVP có trễ (PTVPCT) (xem, chẳng hạn, Arenas, Gonzalez-Parra & Chen-Charpentier 2016; Garba et al. 2015; Ehrardt & Mickens 2013; Mickens 1994, 2000, 2005, 2012; Modday, Hashim & Momani 2011; Patidar 2005, 2016). 2. Sự cần thiết tiến hành nghiên cứu Mặc dù hướng nghiên cứu về LĐSPKT cho PTVP đã đạt được rất nhiều thành tựu quan trọng, tuy nhiên, sự phát triển của thực tiễn cũng như các lĩnh vực khoa học công nghệ luôn luôn đặt ra những bài toán mới phức tạp ở cả khía cạnh nghiên cứu định tính lẫn mô phỏng số. Mặt khác, có rất nhiều PTVP đã được nghiên cứu hoàn chỉnh về mặt lý thuyết nhưng các LĐSPKT vẫn chưa được đề xuất và nghiên cứu. Vì thế, việc xây dựng các mô hình rời rạc bảo toàn chính xác các tính chất quan trọng của PTVP là thực sự cần thiết, có ý nghĩa khoa học quan trọng và cần được tiến hành nghiên cứu. Đặc biệt, việc xây dựng LĐSPKT cho các PTVPĐHT vẫn phải đối mặt với nhiều khó khăn và chưa được giải quyết triệt để, đặc biệt là đối với các bài toán có ít nhất một trong các tính chất sau: (i) Có số chiều cao và chứa nhiều tham số. (ii) Có các điểm cân bằng non-hyperbolic. (iii) Có tính chất ổn định tiệm cận toàn cục (ÔĐTCTC). Nói chung, phần lớn các kết quả trước đó chỉ tập trung vào các PTVP có điểm cân bằng hyperbolic với tính chất ÔĐTCĐP, chưa có cách tiếp cận hiệu quả cho các bài toán có các điểm cân bằng non-hyperbolic và/hoặc có tính chất ÔĐTCTC. Hơn nữa, việc nghiên cứu tính chất ÔĐTCĐP của các LĐSPKT cho các mô hình có số chiều cao và chứa nhiều tham số cũng là một thử thách lớn. Do đó, các cách tiếp cận hiệu quả là rất cần thiết cho các mô hình loại này. Mặt khác, việc nâng cao cấp chính xác của các LĐSPKT và xây dựng lược đồ sai phân chính xác (LĐSPCX) cũng thực sự cần thiết và có nhiều ứng dụng quan trọng. Từ các lý do trên, chúng tôi cho rằng việc tiếp tục nghiên cứu các LĐSPKT cho PTVP là thực sự cần thiết, có ý nghĩa khoa học và thực tiễn quan trọng. Đây chính là lý do chúng tôi lựa chọn đề tài luận án "Phát triển phương pháp sai phân khác thường giải một số lớp phương trình vi phân". 3. Mục tiêu và nội dung nghiên cứu của luận án Mục tiêu chính của luận án là phát triển phương pháp luận của Mickens để xây dựng LĐSPKT giải một số lớp PTVPĐHT quan trọng nảy sinh trong các lĩnh vực khoa học và công nghệ. 2
Các nội dung nghiên cứu của luận án bao gồm: Nội dung 1. LĐSPKT cho một số lớp PTVPĐHT nảy sinh trong các lĩnh vực khoa học và công nghệ. Nội dung 2. LĐSPCX cho các hệ PTVP tuyến tính với hệ số hằng số và các ứng dụng. Nội dung 3. LĐSPKT có cấp chính xác cao cho một số lớp hệ động lực tổng quát và các ứng dụng. 4. Cách tiếp cận và phương pháp nghiên cứu Chúng tôi sẽ tiếp cận đến các nội dung của luận án từ cả khía cạnh định tính lẫn mô phỏng số. Các PTVP sẽ được nghiên cứu hoàn chỉnh về mặt định tính trước khi đề xuất và nghiên cứu các LĐSPKT. Các mô phỏng số được thực hiện để kiểm tra tính đúng đắn của các kết quả lý thuyết. Để thực hiện các nghiên cứu trên, chúng tôi sẽ sử dụng một tổ hợp của các công cụ bao gồm lý thuyết định tính của các hệ động lực liên tục và rời rạc, lý thuyết ổn định Lyapunov, phương pháp luận của Mickens về LĐSPKT, lý thuyết phương pháp số và lược đồ sai phân giải PTVP. Mặt khác, phương pháp thực nghiệm cũng sẽ được sử dụng, đặc biệt là trong trường hợp các chứng minh lý thuyết chưa được hoàn thiện. 5. Những đóng góp mới của luận án 1. Đề xuất và phân tích các lược đồ sai phân khác thường cho một số lớp phương trình vi phân, là mô hình toán học của nhiều hiện tượng và quá trình quan trọng nảy sinh trong khoa học và công nghệ. Các lược đồ sai phân khác thường này tương thích động lực học với các mô hình vi phân, dễ dàng được thực hiện và có thể áp dụng cho một lớp lớn các bài toán trong cả lý thuyết lẫn ứng dụng. 2. Đề xuất các kỹ thuật và cách tiếp cận mới và hiệu quả để nghiên cứu tính chất ổn định tiệm cận của các lược đồ sai phân khác thường. 3. Xây dựng phương pháp sai phân khác thường có cấp chính xác cao cho một số lớp hệ động lực tổng quát, qua đó giải quyết được mâu thuẫn giữa tính tương thích động lực và cấp chính xác cao của các lược đồ sai phân khác thường. 4. Đề xuất lược đồ sai phân chính xác cho các hệ phương trình vi phân tuyến tính với hệ số hằng số. Kết quả này không những giải quyết được một số câu hỏi mở về lược đồ sai phân chính xác mà còn tổng quát nhiều kết quả trước đó. 5. Thực hiện các thử nghiệm số để khẳng định các kết quả lý thuyết và chứng tỏ ưu thế của các lược đồ sai phân khác thường so với các lược đồ truyền thống. 6. Cấu trúc của luận án Ngoài phần "Mở đầu", "Kết luận chung" và "Tài liệu tham khảo", nội dung của luận án được trình bày trong 3 chương, trong đó nội dung chính được trình bày trong Chương 2 và Chương 3. 3
CHƯƠNG 1. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Trong chương này, chúng tôi nhắc lại một số kiến thức chuẩn bị quan trọng liên quan đến các hệ động lực liên tục và rời rạc, phương pháp số giải PTVPĐHT, LĐSPCX và LĐSPKT giải PTVP (Agarwal 2000; Allen 2007; Ascher & Petzold 1998; Brauer & Castillo-Chavez 2001; Burden 2011; Horváth 1998, 2005; Iggidr & Bensoubaya 1998; Edelstein-Keshet 1998; Khalil 2002; Kraaijevanger 1991; La Salle & Lefschetz 1961; Manning & Margrave 2006; Martcheva 2015; Mattheij & Molenaar 2002; Mickens 1994, 2000, 2005, 2012; Patidar 2005, 2016; Seibert & Suarez 1990; Smith & Waltman 1995; Stuart & Humphries 1998). Nội dung của chương này bao gồm: 1. Các hệ động lực liên tục. 2. Các hệ động lực rời rạc. 3. Phương pháp Runge-Kutta giải PTVP. 4. Tính dương của các phương pháp Runge-Kutta. 5. Lược đồ sai phân chính xác. 6. Lược đồ sai phân khác thường. 4
CHƯƠNG 2. LƯỢC ĐỒ SAI PHÂN KHÁC THƯỜNG GIẢI MỘT SỐ LỚP PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN THƯỜNG Trong chương này, chúng tôi đề xuất và nghiên cứu các LĐSPKT cho một số lớp PTVPĐHT mô tả các quá trình và hiện tượng quan trọng nảy sinh trong các lĩnh vực khoa học và công nghệ. Các mô hình được xem xét bao gồm: (i) Hai mô hình siêu quần thể (metapopulation). (ii) Một mô hình thú-mồi (predator-prey) tổng quát. (iii) Hai mô hình lan truyền virus máy tính. Cần nhấn mạnh rằng tất cả các mô hình trên đều có một trong các tính chất sau: (i) Có số chiều cao và chứa nhiều tham số. (ii) Có các điểm cân bằng non-hyperbolic. (iii) Có tính chất ÔĐTCTC. Do đó, việc phân tích tính chất ổn định của các LĐSPKT là một thử thách lớn. Để vượt qua thử thách này, chúng tôi đề xuất các cách tiếp cận và kỹ thuật mới và hiệu quả để nghiên cứu tính chất ổn định của các LĐSPKT. Kết quả chính là chúng tôi thu được các LĐSPKT bảo toàn các tính chất quan trọng của các mô hình liên tục với mọi bước lưới hữu hạn. Chương này được viết dựa trên nội dung của các công trình [A1]-[A7] trong "Danh mục các công trình đã công bố", trang 24. 2.1. Lược đồ sai phân khác thường cho một mô hình siêu quần thể Trong mục này, chúng tôi xây dựng các LĐSPKT bảo toàn các tính chất quan trọng của mô hình siêu quần thể đề xuất trong Keymer et al. (2000). Các tính chất bao gồm tính dương, tính bị chặn, tính chất ÔĐTCĐP, tính chất ÔĐTCTC và tính không tuần hoàn của nghiệm. Bằng các kỹ thuật của giải tích toán học, chúng tôi chứng minh rằng các LĐSPKT được đề xuất là tương thích động lực với mô hình liên tục. 2.1.1. Mô hình toán học và các tính chất Xét mô hình siêu quần thể được đề xuất trong Keymer et al. (2000) d p0 = e(p1 + p2 ) − λ p0 , dt d p1 = λ p0 − β p1 p2 + δ p2 − ep1 , (2.1.1) dt d p2 = β p1 p2 − (δ + e)p2 . dt 5
Chi tiết về mô hình này được trình bày trong Keymer et al. (2000). Bởi vì p0 + p1 + p2 = 1 nên ta chỉ cần xem xét mô hình sau đây d p1 = λ (1 − p1 − p2 ) − β p1 p2 + δ p2 − ep1 , dt (2.1.2) d p2 = p2 (β p1 − δ − e). dt Từ ý nghĩa sinh học của mô hình, chúng ta chỉ xét các điều kiện đầu p1 (0), p2 (0) thỏa mãn p1 (0), p2 (0) ≥ 0, p1 (0) + p2 (0) ≤ 1. (2.1.3) Các phân tích toán học trong Allen (2007) và Keymer et al. (2000) chỉ ra rằng mô hình (2.1.1) sở hữu các tính chất sau đây: (P1 ) Tính chất đơn điệu của tổng s(t) = p1 (t) + p2 (t): Với các điều kiện ban đầu thỏa mãn (2.1.3), tổng s(t) = p1 (t) + p2 (t) hội tụ đơn điệu đến s∗ = λ /(λ + e). (P2 ) Tính bị chặn: Tất cả các nghiệm của mô hình (2.1.1) với điều kiện ban đầu cho bởi (2.1.3) đều thỏa mãn p1 (t), p2 (t) ≥ 0 và p1 (t) + p2 (t) ≤ 1 với mọi t ≥ 0. (P3 ) Tính chất ÔĐTCĐP: Mô hình (2.1.1) có hai điểm cân bằng ∗ λ ∗ ∗ ∗ δ +e λ δ +e p1 = , 0 , p2 = (x , y ) = , − . λ +e β λ +e β βλ Chúng ta định nghĩa số R0 := . Khi đó, điểm cân bằng thứ nhất p∗1 là ÔĐTCĐP nếu (λ + e)(δ + e) R0 < 1 và điểm cân bằng thứ hai p∗2 là ÔĐTCĐP nếu R0 > 1. (P4 ) Tính chất ÔĐTCTC: Nếu R0 < 1 thì điểm cân bằng thứ nhất là ÔĐTCTC. Trong khi đó, nếu R0 > 1 thì điểm cân bằng thứ hai là ÔĐTCTC. (P5 ) Tính không tuần hoàn của nghiệm: Mô hình (2.1.2) không có nghiệm tuần hoàn trong tập D = (p1 , p2 )|0 < p1 + p2 < 1 . 2.1.2. Xây dựng lược đồ sai phân khác thường Để thuận lợi cho việc trình bày, chúng tôi ký hiệu bước lưới là h và đặt x(t) ≡ p1 (t), y(t) ≡ p2 (t). Xét các LĐSPKT xác định bởi xk+1 − yk+1 = −c1 (λ + e)xk − c2 (λ + e)xk+1 + c3 (δ − λ )yk + c4 (δ − λ )yk+1 ϕ(h) − c5 β xk yk − c6 β xk+1 yk − c7 β xk yk+1 − c8 β xk+1 yk+1 + λ , yk+1 − yk (2.1.4) = −c1 (λ + e)yk − c2 (λ + e)yk+1 + c3 (λ − δ )yk + c4 (λ − δ )yk+1 ϕ(h) + c5 β xk yk + c6 β xk+1 yk + c7 β xk yk+1 + c8 β xk+1 yk+1 , trong đó c1 + c2 = c3 + c4 = c5 + c6 + c7 + c8 = 1, ϕ(h) = h + O(h2 ). (2.1.5) Xét một vài trường hợp đặc biệt của lược đồ (2.1.4) như dưới đây. 6
• Lược đồ (2.1.4)-(i): c1 + c2 = 1, c3 = 1, c4 = 0, c5 + c6 = 1, c7 = c8 = 0, ϕ(h) = h + O(h2 ). (2.1.6) • Lược đồ (2.1.4)-(ii): c1 + c2 = 1, c3 = 1, c4 = 0, c5 = 1, c6 = c7 = c8 = 0, ϕ(h) = h + O(h2 ). (2.1.7) • Lược đồ Euler khác thường (2.1.4)-(iii): c1 = 1, c2 = 0, c3 = 1, c4 = 0, c5 = 1, c6 = c7 = c8 = 0. (2.1.8) Trong [A1], chúng tôi chứng minh được những kết quả dưới đây về tính chất của các LĐSPKT. Định lý 2.1. LĐSPKT (2.1.4)-(i) bảo toàn các tính chất (P1 ) − (P3 ) của mô hình (2.1.2) nếu δ δ +e c1 ≤ − , 2c2 > , c5 ≤ 0, c2 ≥ c6 ≥ 0. (2.1.9) λ +e λ +e Định lý 2.2. LĐSPKT (2.1.4)-(ii) bảo toàn các tính chất (P1 ) − (P5 ) của mô hình (2.1.2) nếu β |y∗ | −δ −β δ +e β c1 ≤ min , , c2 > max , , . (2.1.10) λ +e λ +e 2(λ + e) λ +e λ +e Định lý 2.3. Cho q là một số thực thỏa mãn |λ |2 ∗ q > max max , λ +e+β, δ + e, β |y | , (2.1.11) Ω 2|Re(λ )| trong đó Ω = S ∗ )) e∗ ∈{p∗1 ,p∗2 } σ (J(e với J là ma trận Jacobi của hệ (2.1.2), và ϕ(h) là một hàm thỏa mãn ϕ(h) < q, ∀h > 0. (2.1.12) Khi đó, lược đồ Euler khác thường (2.1.4)-(iii) bảo toàn các tính chất (P1 ) − (P5 ) của (2.1.2). 2.2. Một cách tiếp cận mới nghiên cứu tính chất ổn định của lược đồ sai phân khác thường cho một mô hình siêu quần thể Trong mục này, chúng tôi xét mô hình siêu quần thể được đề xuất trong Amarasekare và Possingham (2001). Chúng tôi thiết lập tính chất ÔĐTCTC hoàn chỉnh của mô hình và xây dựng các LĐSPKT tương thích động lực với mô hình liên tục. Đáng chú ý là tính chất ổn định tiệm cận của các LĐSPKT được thiết lập nhờ một cách tiếp cận mới dựa trên các mở rộng của Định lý ổn định Lyapunov. 2.2.1. Tính chất ổn định tiệm cận toàn cục Xét mô hình siêu quần thể đề xuất trong Amarasekare và Possingham (2001): dI = βI SI − eI I + f L − gI, dt dS = eI I − βI SI + f R − gS, dt (2.2.1) dL = gI − f L − eL L + βL RI, dt dR = gS − f R + eL L − βL RI. dt 7
Chi tiết về mô hình được trình bày trong Amarasekare và Possingham (2001). Dễ dàng chứng minh rằng tập Ω xác định bởi n o 4 Ω := (I, S, L, R) ∈ R+ : I + S + L + R = 1 (2.2.2) là một tập bất biến dương của (2.2.1). Mô hình (2.2.1) luôn luôn có một điểm cân bằng biên E0∗ = (I0∗ , S0∗ , L0∗ , R∗0 ) với mọi giá trị của tham số, trong đó f g I0∗ = 0, S0∗ = , L0∗ = 0, R∗0 = . f +g g+ f Ta định nghĩa các số f a =βI βL , b = βI ( f + eL ) + βL (eI + g) − βI βL , f +g (2.2.3) f f c =( f + eL ) eI − βI + g eL − β L . f +g f +g Khi đó, nếu c < 0 thì mô hình (2.2.1) có duy nhất một điểm cân bằng dương E1∗ = (I1∗ , S1∗ , L1∗ , R∗1 ) các định bởi f √ √ b + 2βI βL − b2 − 4ac 2 −b + b − 4ac f +g I1∗ := I ∗ = , S1∗ := S∗ = , 2a 2a g βI βI g + eI ∗ (2.2.4) R∗1 := R∗ = − I∗2 + − I , f +g f f +g f g βI β I g + eI ∗ L1∗ := L∗ = 1 − I ∗ − S∗ − R∗ = − R∗ = I ∗ 2 − − I , f +g f f +g f trong đó I1∗ là nghiệm dương duy nhất của phương trình aX 2 + bX + c = 0. Trong [A3], chúng tôi thiết lập được tính chất ÔĐTCTC của mô hình (2.2.1) như dưới đây. Định lý 2.4. Nếu c ≥ 0, thì điểm cân bằng E0∗ của mô hình (2.2.1) là ÔĐTCTC đối với tập Ω. Nếu c < 0, thì điểm cân bằng E1∗ của mô hình (2.2.1) là ÔĐTCTC đối với tập Ω − {E0∗ }. 2.2.2. Lược đồ sai phân khác thường bán ẩn cho mô hình (2.2.1) Chúng tôi đề xuất LĐSPKT bán ẩn cho mô hình (2.2.1) ở dạng Sk+1 − Sk = eI Ik − βI Sk+1 Ik + f Rk − gSk , ϕ Ik+1 − Ik = βI Sk+1 Ik − eI Ik + f LK − gIk , ϕ (2.2.5) Rk+1 − Rk = gSk − f Rk + eL Lk − βL Rk+1 Ik , ϕ Lk+1 − Lk = gIk − f Lk − eL Lk + βL Rk+1 Ik . ϕ Mục tiêu của chúng tôi là xác định các điều kiện đặt lên ϕ(h) sao cho lược đồ (2.2.5) bảo toàn các tính chất quan trọng của mô hình (2.2.1), bao gồm: (P1 ) Tính chất hội tụ đơn điệu: Với các giá trị ban đầu nằm trong tập Ω, các tổng a(t) := I(t) + S(t) và b(t) := R(t) + L(t) hội tụ đơn điệu đến a∗ := f /( f + g) và b∗ := g/( f + g), tương ứng. (P2 ) Tính chất bị chặn: Tập Ω cho bởi (2.2.2) là một tập bất biến dương của (2.2.1). 8
(P3 ) Tính chất ÔĐTCĐP: E0∗ là ÔĐTCĐP nếu c > 0 và E1∗ là ÔĐTCĐP nếu c < 0. Trong [A2], bằng cách đề xuất một cách tiếp cận mới dựa trên các mở rộng của Định lý ổn định Lyapunov (Iggidr & Bensoubaya 1998), chúng tôi thu được kết quả sau đây. Định lý 2.5. (i) Trong trường hợp c > 0, lược đồ (2.2.5) bảo toàn các tính chất (P1 ) − (P3 ) của mô hình (2.2.1) nếu ∗ 1 1 1 τ 2 ϕ(h) < ϕ := min , , , , , ∀h > 0, (2.2.6) eI + g f + eL f +g c τ trong đó f τ := f + eL + eI + g − βI . (2.2.7) f +g (ii) Trong trường hợp c < 0, xét các đa thức λ1 (ϕ) := ϕ 3 [(βI βL )2 I ∗ 4 − α4 ] + ϕ 2 [2(βI + βL )βI βL I ∗ 3 − α3 ] + ϕ[(βI + βL )2 I ∗ 2 + 2βI βL I ∗ 2 − α2 ] + [2(βI + βL )I ∗ − α1 ], λ2 (ϕ) := [βI2 βL2 I ∗ 4 − γ4 + α4 ]ϕ 2 + [2(βI + βL )βI βL I ∗ 3 − γ3 + α3 ]ϕ + [(βI + βL )2 I ∗ 2 + 2βI βL I ∗ 2 − γ2 + α2 ], λ3 (ϕ) := [βI2 βL2 I ∗ 4 + γ4 + α4 ]ϕ 4 + [2(βI + βL )βI βL I ∗ 3 + γ3 + α3 ]ϕ 3 + [(βI + βL )2 I ∗ 2 + 2βI βL I ∗ 2 + γ2 + α2 ]ϕ 2 + [2(βI + βL )I ∗ + γ1 + α1 ]ϕ + 4, và đặt n o ϕi∗ := sup ϕ > 0 : λi (ϕ) > 0 , i = 1, 2, 3; ϕ0 := min {ϕi∗ }. i=1,2,3 Khi đó, lược đồ (2.2.5) bảo toàn các tính chất (P1 ) − (P3 ) của mô hình (2.2.1) nếu ∗ 1 1 1 o ϕ(h) < ϕ := min , , , ϕ0 , ∀h > 0. (2.2.8) eI + g f + eL f +g 2.2.3. Lược đồ sai phân khác thường dạng hiển cho mô hình (2.2.1) Chúng ta xét lược đồ Euler khác thường Ik+1 − Ik = βI Sk Ik − eI Ik + f Lk − gIk , ϕ(h) Sk+1 − Sk = eI Ik − βI Sk Ik + f Rk − gSk , ϕ(h) (2.2.9) Lk+1 − Lk = gIk − f Lk − eL Lk + βL Rk Ik , ϕ(h) Rk+1 − Rk = gSk − f Rk + eL Lk − βL Rk Ik , ϕ(h) trong đó ϕ(h) = h + O(h2 ) khi h → 0. Sử dụng cách tiếp cận được đề xuất trong Mục 2.2.2, trong [A3] chúng tôi thu được kết quả sau đây . Định lý 2.6. (i) Trong trường hợp c ≥ 0, lược đồ Euler khác thường (2.2.9) bảo toàn tính bị chặn, tính hội tụ đơn điệu, tính chất ÔĐTCTC của E0∗ và tính chất không ổn định của E1∗ của mô hình (2.2.1) nếu ∗ 1 1 1 1 1 ϕ(h) < ϕ := min , , , , , ∀h > 0. (2.2.10) eI + g βI + g f + eL f + βL f +g 9
(ii) Trong trường hợp c < 0, lược đồ Euler khác thường (2.2.9) bảo toàn tính chất bị chặn, tính chất đơn điệu, tính chất ÔĐTCĐP của E1∗ và tính chất không ổn định của E0∗ của mô hình (2.2.1) nếu ∗ 1 1 1 1 1 τ1 2 ϕ(h) < ϕ := min , , , , , , , ∀h > 0, (2.2.11) eI + g βI + g f + eL f + βL f + g τ2 τ1 trong đó f τ1 := f + eL + βL I ∗ + 2βI I ∗ + eI + g − βI , f +g (2.2.12) ∗2 ∗ ∗ τ2 := βI βL I + βI ( f + eL )I + f βL L > 0. 2.2.4. Một chú ý về lược đồ sai phân khác thường cho mô hình (2.2.1) Chúng ta xem xét lại LĐSPKT (2.1.4) với điều kiện (2.1.5) được đã được xây dựng trong Mục 2.1. Nhờ cách tiếp cận được đề xuất trong Mục 2.2.2, chúng ta thu được kết quả dưới đây. Định lý 2.7. LĐSPKT (2.1.4)-(2.1.5) bảo toàn các tính chất (P1 ) − (P5 ) của mô hình (2.1.1) nếu δ c2 ≥ max c6 , c∗ , c5 ≤ 0, c6 ≥ 0, c1 ≤ − . (2.2.13) λ +e Chú ý rằng trong Mục 2.1 chúng ta chỉ kết luận được tính dương và không khẳng định được các tính chất khác của LĐSPKT. Vì vậy, Định lý 2.7 là một cải thiện quan trọng cho các kết quả trong Mục 2.1. Đều này khẳng định sự hiệu quả và ưu thế của cách tiếp cận mới. 2.3. Lược đồ sai phân khác thường cho một mô hình lan truyền virus máy tính Mục tiêu chính của mục này là đề xuất và nghiên cứu các LĐSPKT bảo toàn các tính chất quan trọng của mô hình lan truyền virus máy tính được đề xuất trong Yang et al. (2013). Đặc biệt, bằng cách sử dụng định lý ổn định Lyapunov, chúng tôi thiết lập được tính chất ÔĐTCTC của các LĐSPKT. 2.3.1. Mô hình toán học Chúng ta xét một mô hình lan truyền virus máy tính được đề xuất trong Yang et al. (2013): S˙ = δ − β S(L + B) + γ1 L + γ2 B − δ S, L˙ = β S(L + B) − γ1 L − αL − δ L, (2.3.1) B˙ = αL − γ2 B − δ B. Chi tiết về mô hình này được trình bày trong Yang et al. (2013). Bởi vì S(t) + L(t) + B(t) ≡ 1 nên ta chỉ cần xét hệ sau L˙ = β (1 − L − B)(L + B) − γ1 L − αL − δ L, (2.3.2) B˙ = αL − γ2 B − δ B. n o Dễ dàng chỉ ra rằng tập Ω = (L, B) : L ≥ 0, B ≥ 0, L + B ≤ 1 là một tập bất biến dương của (2.3.2). Các phân tích toán học chỉ ra rằng mô hình (2.3.2) có hai điểm cân bằng E0 và E∗ xác định bởi 1 1 ! (γ2 + δ ) 1 − α 1− R0 R0 E0 = (0, 0), E∗ = (L∗ , B∗ ) = , , (2.3.3) α + δ + γ2 α + δ + γ2 10
trong đó β (α + γ2 + δ ) R0 = . (2.3.4) (α + γ1 + δ )(γ2 + δ ) Hơn nữa, (i) E0 là ÔĐTCTC đối với tập Ω nếu R0 ≤ 1. (ii) E∗ là ÔĐTCTC đối với Ω0 = Ω − E0 nếu 1 < R0 ≤ 4. 2.3.2. Lược đồ sai phân khác thường cho mô hình (2.3.1) Chúng tôi đề xuất lược đồ Euler khác thường cho mô hình (2.3.1) Sk+1 − Sk = δ − β Sk (Lk + Bk ) + γ1 Lk + γ2 Bk − δ Sk , ϕ(h) Lk+1 − Lk = β Sk (Lk + Bk ) − γ1 Lk − αLk − δ Lk , (2.3.5) ϕ(h) Bk+1 − Bk = αLk − γ2 Bk − δ Bk , ϕ(h) trong đó ϕ(h) = h + O(h2 ) khi h → 0. Các điều kiện đặt lên ϕ(h) sẽ được xác định sao cho các tính chất quan trọng của mô hình (2.3.1) được bảo toàn. Trong [A4], nhờ lý thuyết ổn định Lyapunov, chúng tôi chứng minh được rằng: Định lý 2.8. (i) Trong trường hợp R0 ≤ 1, lược đồ Euler khác thường (2.3.5) bảo toàn tính dương, tính bị chặn, tính ÔĐTCTC của E0 và tính không ổn định của E∗ nếu 1 1 1 ϕ(h) < ϕ ∗ := min , , , ∀h > 0, (2.3.6) β + δ γ1 + α + δ δ + γ2 (ii) Trong trường hợp R0 > 1, lược đồ Euler khác thường (2.3.5) bảo toàn tính dương, tính bị chặn, tính ÔĐTCĐP của E∗ và tính không ổn định của E0 nếu ( ) ∗ 1 1 1 2 τ1 ϕ(h) < ϕ := min , , , , , ∀h > 0. (2.3.7) β + δ γ1 + α + δ δ + γ2 τ1 τ2 trong đó τ1 và τ2 được cho bởi τ1 =: 2β (L∗ + B∗ ) + α + 2δ + γ1 + γ2 − β , h i h i (2.3.8) τ2 =: 2β (L∗ + B∗ ) + α + γ1 + δ − β (γ + δ ) + 2β (L∗ + B∗ ) − β α. 2.4. Lược đồ sai phân khác thường cho một mô hình thú-mồi tổng quát Trong mục này, chúng tôi xây dựng LĐSPKT bảo toàn tính dương và tính ổn định tiệm cận của một mô hình thú-mồi tổng quát. Đáng chú ý là tính chất ÔĐTCTC của LĐSPKT được chứng minh bằng cách sử dụng định lý ổn định Lyapunov. Các mô phỏng số chỉ rằng các LĐSPBT như lược đồ Euler và Rung-Kutta bốn nấc kinh điển (RK4) không thể bảo toàn các tính chất quan trọng của mô hình liên tục. 11
2.4.1. Mô hình liên tục và các tính chất Chúng ta xét một mô hình thú-mồi tổng quá được xây dựng trong Ladino et al. (2015) ˙ = x(t) f (x(t), y(t)) = x(t) r(x(t)) − y(t)φ (x(t)) − m1 , x(t) (2.4.1) ˙ = y(t)g(x(t), y(t)) = y(t) s(y(t)) + cx(t)φ (x(t)) − m2 , y(t) trong đó x(t) và y(t) biểu thị số lượng con mồi và động vật ăn thịt tại thời điểm t, tương ứng. Chi tiết về mô hình
này được tình bày chi tiết trong Ladino et al. (2015). Dễ dàng kiểm tra rằng tập Ω = (x, y) ∈ R2
x ≥ 0, y ≥ 0 là một tập bất biến dương của mô hình (2.4.1). Định lý 2.9 (Ladino et. al 2015). (i) Mô hình (2.4.1) luôn luôn có điểm cân bằng P0∗ = (x0∗ , y∗0 ) = (0, 0) với mọi giá trị của tham số. (ii) Mô hình (2.4.1) có một điểm cân bằng P1∗ = (x1∗ , y∗1 ) = (K, 0), với r(K) = m1 , nếu và chỉ nếu m1 < r(0). (iii) Mô hình (2.4.1) có một điểm cân bằng P2∗ = (x2∗ , y∗2 ) = (0, M), với s(M) = m2 , nếu và chỉ nếu m2 < s(0). (iv) Mô hình (2.4.1) có một điểm cân bằng P3∗ = (x3∗ , y∗3 ) = (x∗ , y∗ ), trong đó x∗ là nghiệm của phương trình r(x∗ ) − m ∗ ∗ 1 cx φ (x ) + s − m2 = 0, φ (x∗ ) và y∗ được xác định bởi r(x∗ ) − m1 y∗ = , φ (x∗ ) nếu và chỉ nếu (m1 , m2 ) thỏa mãn m1 < r(0) − Mφ (0) và m2 < s(0) hoặc m1 < r(0) và s(0) < m2 < s(0) + cKφ (K). Tính chất ổn định tiệm cận của mô hình đã được thiết lập hoàn chỉnh trong Ladino et al. (2015). 2.4.2. Xây dựng lược đồ sai phân khác thường Chúng tôi đề xuất LĐSPKT tổng quát cho mô hình (2.4.1) ở dạng xk+1 − xk = α1 xk r(xk ) + α2 xk+1 r(xk ) − α3 xk yk φ (xk ) − α4 xk+1 yk φ (xk ) − α5 m1 xk − α6 m1 xk+1 , ϕ(h) yk+1 − yk = β1 yk s(yk ) + β2 yk+1 s(yk ) + cβ3 xk yk φ (xk ) + cβ4 xk yk+1 φ (xk ) − β5 m2 yk − β6 m2 yk+1 , (2.4.2) ϕ(h) α j + α j+1 = β j + β j+1 = 1, j = 1, 3, 5; ϕ(h) = h + O(h2 ), h → 0.
Mệnh đề 2.1. Tập Ω = (x, y) ∈ R2
x ≥ 0, y ≥ 0 là một tập bất biến dương của mô hình (2.4.2) nếu α1 ≥ 0, α2 ≤ 0, α3 ≤ 0, α4 ≥ 0, α5 ≤ 0, α6 ≥ 0, (2.4.3) β1 ≥ 0, β2 ≤ 0, β3 ≥ 0, β4 ≤ 0, β5 ≤ 0, β6 ≥ 0. Mệnh đề 2.2. Lược đồ (2.4.2) bảo toàn tập hợp điểm cân bằng của mô hình (2.4.1). 2.4.3. Phân tích ổn định Trong mục này, chúng ta luôn giả thiết rằng (2.4.3) được thỏa mãn. Trong [A5], nhờ lý thuyết ổn định Lyapunov, chúng tôi đã thiết lập được tính chất ổn định tiệm cận của LĐSPKT (2.4.2) như hai định lý dưới đây. 12
Định lý 2.10 (Tính chất ÔĐTCĐP của LĐSPKT). (i) Điểm cân bằng P0∗ = (x0∗ , y∗0 ) = (0, 0) của lược đồ (2.4.2) là ÔĐTCĐP nếu m1 > r(0) và m2 > s(0), và không ổn định nếu m1 < r(0) hoặc m2 < s(0). (ii) Xét lược đồ (2.4.2) trong trường hợp m1 < r(0) và m2 > s(0) + cKφ (K) và giả thiết rằng T1 := 2α6 m1 − 2α2 r(K) + Kr0 (K) > 0, (2.4.4) T2 := s(0) − m2 + cKφ (K) − 2β2 s(0) − 2β4 cKφ (K) + 2β6 m2 > 0. Khi đó, điểm cân bằng P1∗ = (K, 0) là ÔĐTCĐP. Hơn nữa, P1∗ là không ổn định nếu m1 ≥ r(0) hoặc m2 < s(0) + cKφ (K). (iii) Xét lược đồ (2.4.2) trong trường hợp m1 > r(0) − Mφ (0) và m2 < s(0) và giả thiết rằng T3 := r(0) − Mφ (0) − m1 − 2α2 r(0) + 2α4 Mφ (0) + 2α6 m1 > 0, (2.4.5) T4 := Ms0 (M) − 2β2 s(M) + 2β6 m2 > 0. Khi đó, điểm cân bằng P2∗ = (0, M) là ÔĐTCĐP. Hơn nữa, P2∗ là không ổn định nếu m1 < r(0) − Mφ (0) hoặc m2 ≥ s(0). (iv) Giả sử rằng điểm cân bằng P3∗ = (x∗ , y∗ ) nằm trong tập Ω. Xét lược đồ (2.4.2) dưới giả thiết T5 := − x∗ [r0 (x∗ ) − y∗ φ 0 (x∗ )][−β2 s(y∗ ) − β4 cx∗ φ (x∗ ) + β6 m2 ] − y∗ s0 (y∗ )[−α2 r(x∗ ) + α4 y∗ φ (x∗ ) + α6 m1 ] − x∗ y∗ s0 (y∗ )[r0 (x∗ ) − y∗ φ 0 (x∗ )] − cx∗ y∗ φ (x∗ )[φ (x∗ ) + x∗ φ 0 (x∗ )] > 0, (2.4.6) T6 := − α2 r(x∗ ) + α4 y∗ φ (x∗ ) + α6 m1 + x∗ [r0 (x∗ ) − y∗ φ 0 (x∗ )] > 0, T7 := − β2 s(y∗ ) − β4 cx∗ φ (x∗ ) + β6 m2 + y∗ s0 (y∗ ) > 0. Khi đó, P3∗ = (x∗ , y∗ ) là ÔĐTCĐP. Định lý 2.11. Xét LĐSPKT (2.4.2) trong trường hợp m1 ≥ r(0) và m2 ≥ s(0), và giả thiết thêm rằng α4 + β4 < 0. (2.4.7) Khi đó, điểm cân bằng P0∗ = (0, 0) là ÔĐTCTC. 2.4.4. Lược đồ sai phân khác thường tương thích động lực Định lý 2.12. LĐSPTK (2.4.2) là tương thích động lực với mô hình (2.4.1) nếu các tham số α j , β j ( j = 1, . . . , 6) thỏa mãn các điều kiện liệt kê trong Bảng 2.2, trong đó các cột liệt kê các điều kiện đảm bảo rằng lược đồ (2.4.2) bảo toàn các tính chất tương ứng của mô hình (2.4.1). Ký hiệu 00 ∗00 có nghĩa rằng tập hợp điểm cân bằng của mô hình (2.4.1) luôn luôn được bảo toàn bởi lược đồ (2.4.2). 13
Bảng 2.2. Các điều kiện cho sự tương thích động lực của các LĐSPKT Tham số (m1 , m2 ) Điểm cân bằng Tính dương Tính ổn định m1 ≥ r(0) and m2 ≥ s(0) * (2.4.3) (2.4.7) m1 < r(0) and m2 > s(0) + cKφ (K) * (2.4.3) (2.4.4) m1 > r(0) − Mφ (0) and m2 < s(0) * (2.4.3) (2.4.5) m1 < r(0) − Mφ (0) and m2 < s(0) * (2.4.3) (2.4.6) m1 < r(0) and s(0) < m2 < s(0) + cKφ (K) * (2.4.3) (2.4.6) 2.5. Một cách tiếp cận mới nghiên cứu tính chất ổn định của lược đồ sai phân khác thường cho một mô hình lan truyền virus máy tính Trong mục này, các LĐSPKT bảo toàn các tính chất quan trọng bao gồm tính dương và tính chất ÔĐTCTC của một mô hình lan truyền virus máy tính được đề xuất và nghiên cứu. Đặc biệt, chúng tôi đề xuất một cách tiếp cận mới để chứng minh rằng tính chất ÔĐTCTC của mô hình liên tục được bảo toàn bởi các LĐSPKT. Cách tiếp cận này dựa trên định lý ổn định Lyapunov, một mở rộng của nó cùng một định lý về sự ổn định của các hệ bậc thang (cascade systems). Kết quả chính là chúng tôi thu được các LĐSPKT tương thích động lực với mô hình liên tục. Các mô phỏng số chỉ ra rằng các LĐSPKT là hiệu quả và phù hợp để mô phỏng mô hình liên tục, trong khi đó, các LĐSPBT như lược đồ Euler và lược đồ RK4 là không thể bảo toàn các tính chất quan trọng của mô hình liên tục. 2.5.1. Mô hình toán học Xét mô hình lan truyền virus máy tính được đề xuất trong Zhu et al. (2013) S˙ = λ − β1 SI − β2 SC + γ1 I + γ2C − µS, I˙ = β1 SI − β2 IC − (γ1 + µ)I, (2.5.1) C˙ = β2 (S + I)C − (γ2 + µ)C, Chúng ta nhắc lại các kết hiệu sau đây (Zhu et al. 2013) 3 λ Γ1 := (S, I,C) ∈ R+ : S + I +C ≤ , µ λ E1 := (S1 , I1 ,C1 ), S1 = , I1 = C1 = 0, µ γ2 + µ λ β2 − µ(µ + γ2 ) E2 := (S2 , I2 ,C2 ), S2 = , I2 = 0, C2 = , β2 µβ2 (2.5.2) γ1 + µ λ β1 − µ(µ + γ1 ) E3 := (S3 , I3 ,C3 ), S3 = , I3 = , C3 = 0, β1 µβ1 λ β2 + µ(γ1 − γ2 ) E4 := (S4 , I4 ,C4 ), S4 = , µβ1 µβ1 (γ2 + µ) − β2 [λ β2 + µ(γ1 − γ2 )] I4 = , C4 = C2 . µβ1 β2 14