Tóm tắt Luận án tiến sĩ Toán học: Điều kiện cần và đủ cho nghiệm của bài toán cân bằng vecto qua dưới vi phân suy rộng

Chia sẻ: Trần Văn Ha | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:27

Thêm vào BST

Báo xấu

25
lượt xem 3
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Nội dung chính của luận án bao gồm: Thiết lập các điều cần Karush-Kuhn-Tucker cho nghiệm hữu hiệu Henig địa phương và nghiệm siêu hữu hiệu địa phương của bài toán cân bằng vecto có ràng buộc đẳng thức, bất đẳng thức và ràng buộc tập trong không gian Banach với các hàm Lipschitz địa phương

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Tóm tắt Luận án tiến sĩ Toán học: Điều kiện cần và đủ cho nghiệm của bài toán cân bằng vecto qua dưới vi phân suy rộng

I HÅC THI NGUYN TR×ÍNG I HÅC S× PHM TRN THÀ MAI IU KIN CN V Õ CHO NGHIM HÚU HIU CÕA BI TON CN BNG VECTÌ QUA D×ÎI VI PHN SUY RËNG TÂM TT LUN N TIN S TON HÅC THI NGUYN - 2019
Cæng tr¼nh ÷ñc ho n th nh t¤i: Tr÷íng ¤i håc S÷ ph¤m - ¤i håc Th¡i Nguy¶n Ng÷íi h÷îng d¨n khoa håc: GS.TS. é V«n L÷u Ph£n bi»n 1:.................................................................... Ph£n bi»n 2:.................................................................... Ph£n bi»n 3:.................................................................... Luªn ¡n s³ ÷ñc b£o v» tr÷îc Hëi çng ch§m luªn ¡n c§p tr÷íng håp t¤i: Tr÷íng ¤i håc S÷ ph¤m - ¤i håc Th¡i Nguy¶n. V o hçi ..... gií ..... ng y ..... th¡ng ..... n«m 2019 Câ thº t¼m hiºu luªn ¡n t¤i th÷ vi»n:: - Th÷ vi»n Quèc gia Vi»t Nam; - Trung t¥m håc li»u ¤i håc Th¡i Nguy¶n; - Th÷ vi»n tr÷íng ¤i håc S÷ ph¤m ¤i håc Th¡i Nguy¶n.
Mð ¦u B i to¡n c¥n b¬ng (equilibrium problem) ÷ñc E. Blum v W. Oettli ÷a ra l¦n ¦u ti¶n v o n«m 1994 v nhanh châng h§p d¨n nhi·u nh to¡n håc nghi¶n cùu do ph¤m vi ùng döng rëng lîn cõa nâ. B i to¡n c¥n b¬ng vectì âng mët vai trá quan trång trong gi£i t½ch phi tuy¸n, nâ cho ta mët mæ h¼nh to¡n håc hñp nh§t bao gçm nhi·u b i to¡n kh¡c nhau nh÷: B i to¡n b§t ¯ng thùc bi¸n ph¥n vectì; B i to¡n tèi ÷u vectì; B i to¡n iºm b§t ëng; B i to¡n bò vectì; B i to¡n c¥n b¬ng Nash vectì,.... C¡c l¾nh vüc nghi¶n cùu cõa b i to¡n c¥n b¬ng vectì bao gçm: i·u ki»n tèi ÷u; Sü tçn t¤i nghi»m; Thuªt to¡n; T½nh ch§t tªp nghi»m; T½nh ên ành nghi»m; ë nh¤y nghi»m,. . . Trong nhúng n«m g¦n ¥y, nhi·u nghi¶n cùu trong gi£i t½ch khæng trìn ¢ tªp trung ph¡t triºn c¡c lo¤i d÷îi vi ph¥n kh¡c nhau. C¡c d÷îi vi ph¥n l nhúng cæng cö tèt º nghi¶n cùu c¡c i·u ki»n tèi ÷u cho c¡c b i to¡n tèi ÷u vîi c¡c h m khæng trìn. C¡c i·u ki»n tèi ÷u cho c¡c b i to¡n tèi ÷u vîi c¡c dú li»u khæng trìn ¢ v ang ph¡t triºn m¤nh m³ d÷îi c¡c ngæn ngú d÷îi vi ph¥n h m lçi, d÷îi vi ph¥n Clarke, MichelPenot, Mordukhovich, Treiman v d÷îi vi ph¥n suy rëng. Kh¡i ni»m d÷îi vi ph¥n suy rëng (convexificator) l mët cæng cö tèt º thi¸t lªp i·u ki»n tèi ÷u khæng trìn. Kh¡i ni»m d÷îi vi ph¥n suy rëng lçi, compact l¦n ¦u ti¶n ÷ñc ÷a ra bði V.F. Demyanov (1994). V. Jeyakumar v D.T. Luc (1999) ¢ ÷a ra kh¡i ni»m d÷îi vi ph¥n suy rëng âng, khæng lçi cho h m væ h÷îng v Jacobian x§p x¿ cho h m vectì. Kh¡i ni»m d÷îi vi ph¥n suy rëng l têng qu¡t hâa mët sè kh¡i ni»m d÷îi vi ph¥n ¢ bi¸t nh÷ c¡c d÷îi vi ph¥n Clarke, MichelPenot, Mordukhovich, Treiman,. . . . Mët sè c¡c nh khoa håc Vi»t Nam ¢ câ nhúng âng gâp ¡ng kº trong vi»c nghi¶n cùu b i to¡n c¥n b¬ng vectì v b i to¡n b§t ¯ng thùc 1
bi¸n ph¥n nh÷ c¡c gi¡o s÷ Ho ng Töy, inh Th¸ Löc, Phan Quèc Kh¡nh, Ph¤m Húu S¡ch, é V«n L÷u, L¶ Dông M÷u, Nguy¹n æng Y¶n v nhi·u gi¡o s÷ kh¡c. i·u ki»n tèi ÷u cho b i to¡n c¥n b¬ng vectì v b i to¡n b§t ¯ng thùc bi¸n ph¥n vectì ¢ ÷ñc nhi·u t¡c gi£ quan t¥m nghi¶n cùu. F. Giannessi, G. Mastroeni v L. Pellegrini (2000) ¢ thi¸t lªp c¡c i·u ki»n tèi ÷u cho b i to¡n b§t ¯ng thùc bi¸n ph¥n vectì trong khæng gian húu h¤n chi·u. C¡c i·u ki»n tèi ÷u trong (Yang v Zeng (2008), Yang (1993)) ÷ñc chùng minh b¬ng c¡ch thi¸t lªp sü t÷ìng ÷ìng giúa b i to¡n tèi ÷u vectì v b i to¡n b§t ¯ng thùc bi¸n ph¥n vectì. ¢ câ r§t nhi·u cæng tr¼nh nghi¶n cùu gi£i quy¸t c¡c v§n · tçn t¤i nghi»m v i·u ki»n tèi ÷u cho c¡c lo¤i nghi»m cõa b i to¡n c¥n b¬ng vectì. X.H. Gong (2010) ¢ thi¸t lªp i·u ki»n tèi ÷u d÷îi ngæn ngú d÷îi vi ph¥n Clarke v d÷îi vi ph¥n x§p x¿ cho c¡c nghi»m húu hi»u y¸u, nghi»m húu hi»u Henig, nghi»m si¶u húu hi»u v nghi»m húu hi»u to n cöc cõa b i to¡n c¥n b¬ng vectì vîi r ng buëc tªp. X.H. Gong (2012) ¢ chùng minh c¡c i·u ki»n c¦n v c¡c i·u ki»n õ cho nghi»m húu hi»u cõa b i to¡n c¥n b¬ng vectì câ r ng buëc nân vîi vîi c¡c h m kh£ vi Fr²chet. X.X. Long v c¡c cëng sü (2011) ¢ chùng minh c¡c i·u ki»n tèi ÷u cho nghi»m húu hi»u Henig v nghi»m si¶u húu hi»u cõa b i to¡n c¥n b¬ng vectì câ r ng buëc nân, r ng buëc tªp vîi c¡c h m kiºu C -d÷îi g¦n lçi (nearly C - subconvexlike). Chó þ r¬ng, d÷îi vi ph¥n MichelPenot l mët d÷îi vi ph¥n suy rëng. Do â, vi»c nghi¶n cùu c¡c i·u ki»n tèi ÷u cho nghi»m húu hi»u Henig v si¶u húu hi»u cõa b i to¡n c¥n b¬ng vectì câ r ng buëc qua d÷îi vi ph¥n MichelPenot l mët v§n · c¦n thi¸t v ¥y l mët nëi dung ÷ñc nghi¶n cùu trong luªn ¡n. Y. Feng v Q. Qui (2014) ¢ nghi¶n cùu i·u ki»n tèi ÷u cho b i to¡n c¥n b¬ng vectì câ r ng buëc trong khæng gian Banach. D.V. Luu v D.D. Hang (2014) ¢ d¨n i·u ki»n tèi ÷u cho c¡c nghi»m húu hi»u y¸u, nghi»m húu hi»u, nghi»m húu hi»u to n cöc cõa b i to¡n b§t ¯ng thùc bi¸n ph¥n vectì c¡c r ng buëc ¯ng thùc, b§t ¯ng thùc v r ng buëc tªp vîi c¡c h m Lipschitz àa ph÷ìng qua d÷îi vi ph¥n Clarke, d÷îi vi ph¥n MichelPenot. D.V. Luu v D.D. Hang (2015) chùng minh c¡c i·u ki»n c¦n v c¡c i·u 2
ki»n õ tèi ÷u cho nghi»m húu hi»u y¸u cõa b i to¡n c¥n b¬ng vîi r ng buëc c¥n b¬ng qua d÷îi vi ph¥n Clarke. Chó þ r¬ng, b i to¡n b§t ¯ng thùc bi¸n ph¥n vectì l mët tr÷íng hñp ri¶ng quan trång cõa b i to¡n c¥n b¬ng vectì. Do â, vi»c nghi¶n cùu c¡c i·u ki»n tèi ÷u cho nghi»m húu hi»u y¸u cõa b i to¡n b§t ¯ng thùc bi¸n ph¥n vectì khæng trìn câ r ng buëc nân, r ng buëc ¯ng thùc v r ng buëc tªp qua d÷îi vi ph¥n suy rëng l mët v§n · c¦n thi¸t v ¥y l mët nëi dung ÷ñc nghi¶n cùu trong luªn ¡n. Trong nhúng n«m g¦n ¥y, c¡c i·u ki»n tèi ÷u cho b i to¡n tèi ÷u khæng trìn ¢ ÷ñc nhi·u t¡c gi£ nghi¶n cùu qua c¡c d÷îi vi ph¥n kh¡c nhau ¢ ¤t ÷ñc c¡c k¸t qu£ µp v s¥u sc. Khi c¡c h» sè cõa h m möc ti¶u v c¡c h m r ng buëc nhªn gi¡ trà kho£ng, ta nhªn ÷ñc c¡c b i to¡n tèi ÷u gi¡ trà kho£ng. i·u ki»n tèi ÷u v èi ng¨u cõa b i to¡n tèi ÷u phi tuy¸n gi¡ trà kho£ng ÷ñc nhi·u t¡c gi£ quan t¥m nghi¶n cùu. H.C. Wu (2008) ¢ d¨n c¡c i·u ki»n tèi ÷u KarushKuhnTucker cho b i to¡n tèi ÷u phi tuy¸n gi¡ trà kho£ng kh£ vi vîi c¡c r ng buëc b§t ¯ng thùc trong khæng gian húu h¤n chi·u. Jayswal v cëng sü (2016) ¢ thi¸t lªp c¡c i·u ki»n tèi ÷u v c¡c ành lþ èi ng¨u cho b i to¡n tèi ÷u phi tuy¸n gi¡ trà kho£ng vîi r ng buëc b§t ¯ng thùc v r ng buëc tªp qua d÷îi vi ph¥n suy rëng trong khæng gian húu h¤n chi·u. Vi»c nghi¶n cùu c¡c i·u ki»n Fritz John v KarushKuhnTucker còng vîi c¡c ành lþ èi ng¨u y¸u v m¤nh kiºu MondWeir v kiºu Wolfe cho b i to¡n tèi ÷u gi¡ trà kho£ng câ r ng buëc ¯ng thùc, b§t ¯ng thùc v r ng buëc tªp trong khæng gian Banach d÷îi ngæn ngú d÷îi vi ph¥n suy rëng l mët v§n · c¦n thi¸t v ¥y công l mët nëi dung ÷ñc nghi¶n cùu trong luªn ¡n. Möc ½ch cõa luªn ¡n l thi¸t lªp c¡c i·u ki»n tèi ÷u cho b i to¡n c¥n b¬ng vectì câ r ng buëc ¯ng thùc, b§t ¯ng thùc v r ng buëc tªp qua d÷îi vi ph¥n MichelPenot, mët tr÷íng hñp ri¶ng cõa d÷îi vi ph¥n suy rëng; chùng minh c¡c i·u ki»n c¦n v c¡c i·u ki»n õ cho b i to¡n b§t ¯ng thùc bi¸n ph¥n vectì vîi r ng buëc nân, r ng buëc ¯ng thùc v r ng buëc tªp qua d÷îi vi ph¥n suy rëng; thi¸t lªp c¡c i·u ki»n c¦n Fritz John v Karush KuhnTucker, c¡c i·u ki»n õ v c¡c ành lþ èi ng¨u kiºu MondWeir v kiºu Wolfe cho b i to¡n tèi ÷u gi¡ trà kho£ng ÷ñc thi¸t lªp. 3
Nëi dung ch½nh cõa luªn ¡n bao gçm: a) Thi¸t lªp c¡c i·u ki»n c¦n KarushKuhnTucker cho nghi»m húu hi»u Henig àa ph÷ìng v nghi»m si¶u húu hi»u àa ph÷ìng cõa b i to¡n c¥n b¬ng vectì câ r ng buëc ¯ng thùc, b§t ¯ng thùc v r ng buëc tªp trong khæng gian Banach vîi c¡c h m Lipschitz àa ph÷ìng v i·u ki»n ch½nh quy kiºu Abadie qua d÷îi vi ph¥n MichelPenot còng vîi v½ dö minh håa cho k¸t qu£ thu ÷ñc. b) Thi¸t lªp c¡c i·u ki»n c¦n Fritz John v KarushKuhnTucker cho nghi»m húu hi»u y¸u cõa b i to¡n b§t ¯ng thùc bi¸n ph¥n vectì khæng trìn câ r ng buëc ¯ng thùc, r ng buëc nân lçi a di»n v r ng buëc tªp qua d÷îi vi ph¥n suy rëng. Vîi i·u ki»n ch½nh quy kiºu MangasarianFromovitz, tø i·u ki»n c¦n Fritz John chóng tæi chùng minh ÷ñc c¡c i·u ki»n Karush KuhnTucker vîi c¡c v½ dö cö thº minh håa cho c¡c k¸t qu£ nhªn ÷ñc. C¡c i·u ki»n õ ÷ñc chùng minh vîi nhúng i·u ki»n v· t½nh lçi suy rëng cho dú li»u cõa b i to¡n. c) Thi¸t lªp c¡c i·u ki»n Fritz John v KarushKuhnTucker cho nghi»m LU-tèi ÷u àa ph÷ìng cõa b i to¡n tèi ÷u gi¡ trà kho£ng vîi c¡c r ng buëc ¯ng thùc, b§t ¯ng thùc v r ng buëc tªp trong khæng gian Banach qua d÷îi vi ph¥n suy rëng vîi c¡c nghi»m l ch½nh quy theo ngh¾a Ioffe (1979). Vîi gi£ thi¸t v· t½nh lçi suy rëng, c¡c i·u ki»n õ cho nghi»m LU-tèi ÷u ÷ñc chùng minh. Thi¸t lªp c¡c ành lþ èi ng¨u m¤nh v y¸u cho c¡c b i to¡n èi ng¨u kiºu MondWeir v kiºu Wolfe. Mët sè v½ dö ÷ñc cung c§p º minh håa cho c¡c k¸t qu£ nhªn ÷ñc. Luªn ¡n bao gçm ph¦n mð ¦u, bèn ch÷ìng, k¸t luªn chung, danh möc c¡c cæng tr¼nh ¢ cæng bè cõa t¡c gi£ li¶n quan ¸n luªn ¡n v danh möc c¡c t i li»u tham kh£o. C¡c k¸t qu£ cõa luªn ¡n ÷ñc b¡o c¡o t¤i: - Seminar Tèi ÷u, Vi»n To¡n håc v Khoa håc Ùng döng Th«ng Long, Khoa To¡n - Tin, ¤i håc Th«ng Long, H Nëi; - Seminar Nghi¶n cùu sinh cõa Khoa To¡n, Tr÷íng ¤i håc S÷ ph¤m, ¤i håc Th¡i Nguy¶n. 4
Ch÷ìng 1 Ki¸n thùc cì sð º tr¼nh b y c¡c k¸t qu£ nghi¶n cùu v· i·u ki»n tèi ÷u v c¡c ành lþ èi ng¨u cho c¡c b i to¡n tèi ÷u khæng trìn, chóng tæi c¦n sû döng kh¡i ni»m, t½nh ch§t cõa c¡c d÷îi vi ph¥n v mët sè cæng cö c¦n thi¸t kh¡c. Trong Ch÷ìng 1, tr¼nh b y c¡c ki¸n thùc bê trñ c¦n thi¸t cho c¡c ch÷ìng sau cõa luªn ¡n. • Möc 1.1: Tr¼nh b y mët sè ki¸n thùc v· b i to¡n c¥n b¬ng vectì, b i to¡n b§t ¯ng thùc bi¸n ph¥n vectì v b i to¡n tèi ÷u vectì. • Möc 1.2: Tr¼nh b y kh¡i ni»m v t½nh ch§t cì b£n cõa mët sè d÷îi vi ph¥n v mèi quan h» giúa chóng. • Möc 1.3: Tr¼nh b y mët sè k¸t qu£ væ h÷îng hâa cõa Gong (2010). • Möc 1.4: Mët sè kh¡i ni»m cõa h m lçi suy rëng ÷ñc nhc l¤i º thi¸t lªp c¡c i·u c¦n õ tèi ÷u cho b i to¡n. 5
Ch÷ìng 2 i·u ki»n tèi ÷u cho b i to¡n c¥n b¬ng vectì qua d÷îi vi ph¥n MichelPenot Trong ch÷ìng n y, c¡c i·u ki»n tèi ÷u cho c¡c nghi»m húu hi»u Henig v nghi»m si¶u húu hi»u àa ph÷ìng cõa b i to¡n c¥n b¬ng vectì câ c¡c r ng buëc vîi c¡c h m Lipschitz àa ph÷ìng d÷îi ngæn ngú d÷îi vi ph¥n Michel Penot ÷ñc thi¸t lªp. Tø k¸t qu£ cõa ch÷ìng n y chóng tæi suy ra ÷ñc mët sè k¸t qu£ trong Gong (2010) v Long còng cëng sü (2011). Nëi dung cõa Ch÷ìng 2 ÷ñc tr¼nh b y düa tr¶n nëi dung b i b¡o cõa D.V. Luu v T.T. Mai [A2 ] (trong Danh möc c¡c cæng tr¼nh ¢ cæng bè li¶n quan ¸n luªn ¡n) «ng trong t¤p ch½ Numerical Functional Analysis and Optimization, 39 (2018), No 16, 1833-1854 (SCI-E). 2.1 i·u ki»n tèi ÷u cho c¡c nghi»m húu hi»u Henig àa ph÷ìng v nghi»m si¶u húu hi»u àa ph÷ìng 2.1.1 i·u ki»n tèi ÷u cho nghi»m húu hi»u Henig àa ph÷ìng Cho X l khæng gian Bannach thüc vîi C l tªp con kh¡c réng trong X ; Q v S l¦n l÷ñt l c¡c nân lçi trong Rr v Rm ; F : X × X → Rr l mët song h m vectì; g : X → Rm v h : X → R` l c¡c r ng buëc, gi£ sû vîi tªp ch§p nhªn K = x ∈ C : gi (x) ≤ 0, vîi måi i ∈ I; hj (x) = 0, vîi måi j ∈ L , vîi gi , hj (i ∈ I := {1, 2, . . . , m} , j ∈ L := {1, 2, . . . , `}) l c¡c h m sè thüc x¡c ành tr¶n X v h m vectì F = (F1 , F2 , . . . , Fr ). °t Fx (y) := F (x, y), Fk,x (y) = Fk (x, y), vîi måi k ∈ {1, 2, . . . , r} v x²t tªp 6
I(x) = {i ∈ I : gi (x) = 0} , gi£ sû Fx (x) = 0. B i to¡n c¥n b¬ng vectì câ r ng buëc, k½ hi»u l (CVEP) ÷ñc ph¡t biºu nh÷ sau: T¼m vectì x ∈ K sao cho F (x, y) ∈ / −Q\ {0} (∀y ∈ K). ành ngh¾a 2.1. Vectì x ∈ K gåi l nghi»m húu hi»u Henig cõa b i to¡n (CVEP) n¸u tçn t¤i mët l¥n cªn lçi mð tuy»t èi U cõa 0 vîi U ⊆ VB thäa m¢n coneF (x, K) ∩ (−intQU (B)) = ∅, trong â, Q4 (B) = y ∗ ∈ Q# : ∃t > 0 thäa m¢n hy ∗ , bi ≥ t, ∀b ∈ B v Q# = {y ∗ ∈ Y ∗ : hy ∗ , yi > 0, ∀y ∈ Q\ {0}} ; Q∗ = {y ∗ ∈ Y : hy ∗ , yi ≥ 0, ∀y ∈ Q} . ành ngh¾a 2.2. Vectì x ∈ K gåi l nghi»m si¶u húu hi»u cõa b i to¡n (CVEP) n¸u vîi méi mët l¥n cªn V cõa 0, tçn t¤i mët l¥n cªn U cõa 0 sao cho coneF (x, K) ∩ (U − Q) ⊆ V. Gi£ thi¸t 2.1. C¡c h m Fx , gi (∀i ∈ I(x)) l Lipschitz àa ph÷ìng t¤i x, hj (∀j ∈ L) l kh£ vi Fr²chet t¤i x v nân Q câ cì sð l B . ành ngh¾a 2.3. ¤o h m theo ph÷ìng MichelPenot cõa h m f t¤i x theo ph÷ìng υ ∈ X ÷ñc ành ngh¾a bði f (x + t(υ + w)) − f (x + tw) f ♦ (x; υ) = sup lim sup . w∈X t↓0 t ành ngh¾a 2.4. D÷îi vi ph¥n MichelPenot cõa h m f t¤i x ÷ñc ành ngh¾a bði ∂ M P f (x) = {x∗ ∈ X ∗ : f ♦ (x, υ) ≥ hx∗ , υi, ∀υ ∈ X}. N¸u f l kh£ vi Fr²chet t¤i x vîi ¤o h m Fr²chet ∇f (x). Khi â, ∂ M P f (x) = {∇f (x)}. X²t c¡c tªp sau: C(K; x) = v ∈ T (C; x) : gi♦ (x, v) 6 0 (∀i ∈ I(x)), h∇hj (x), vi = 0 (∀j ∈ L) , 7
[ X ` X MP H(x) = µi ∂ gi (x) + vj ∇hj (x) i∈I(x) j=1 +N (C; x) : µi ≥ 0 (∀i ∈ I(x)), vj ∈ R (∀j ∈ L) . º chùng minh i·u ki»n c¦n tèi ÷u KarushKuhnTucker cho b i to¡n (CVEP), chóng tæi ÷a v o i·u ki»n ch½nh quy (CQ) sau ¥y C(K; x) ⊆ T (K; x). Mët i·u ki»n c¦n tèi ÷u KarushKuhnTucker cho nghi»m húu hi»u Henig àa ph÷ìng cõa b i to¡n (CVEP) ÷ñc ph¡t biºu nh÷ sau. ành lþ 2.1. Gi£ sû x l nghi»m húu hi»u Henig àa ph÷ìng cõa (CVEP); Fx (x) = 0; H(x) l tªp âng y¸u*; Thäa m¢n Gi£ thi¸t 2.1 v i·u ki»n ch½nh quy (CQ). Khi â, tçn t¤i µi ≥ 0 (∀i ∈ I(x)), v j ∈ R (∀j ∈ L) v h m li¶n töc, thu¦n nh§t d÷ìng Λ tr¶n Y thäa m¢n (α) n¸u y2 − y1 ∈ Q\ {0} th¼ Λ(y1 ) < Λ(y2 ); (β) tçn t¤i β0 > 0 sao cho Λ(−b) ≤ −β0 , vîi måi b ∈ B v X X 0 ∈ ∂ M P (Λ ◦ Fx )(x) + µi ∂ M P gi (x) + v j ∇hj (x) + NC (x). i∈I(x) j∈L Trong tr÷íng hñp X, Y l c¡c khæng gian húu h¤n chi·u, ành lþ ÷ñc ph¡t biºu nh÷ sau. ành lþ 2.2. Gi£ sû X = Rn , Y = Rp , x l nghi»m húu hi»u Henig àa ph÷ìng cõa b i to¡n (CVEP) v thäa m¢n c¡c gi£ thi¸t cõa ành lþ 2.1. Khi â, (i) tçn t¤i λ ∈ Q4 (B), µi ≥ 0 (∀i ∈ I(x)), v j ∈ R (∀j ∈ J) sao cho X X 0 ∈ λ∂J Fx (x) + µi ∂ M P gi (x) + v j ∇hj (x) + NC (x); i∈I(x) j∈L (ii) hìn núa, n¸u cì sð B cõa Q l tªp âng v bà ch°n th¼ λ ∈ intQ∗ . Trong tr÷íng hñp ¡nh x¤ Fx l kh£ vi ch°t, i·u ki»n c¦n cho nghi»m húu hi»u Henig àa ph÷ìng ÷ñc ph¡t biºu nh÷ sau. 8
ành lþ 2.3. Cho x l nghi»m húu hi»u Henig àa ph÷ìng cõa b i to¡n (CVEP) v thäa m¢n c¡c gi£ thi¸t cõa ành lþ 2.1. Gi£ sû Fx kh£ vi ch°t vîi ¤o h m ch°t Ds Fx (x). Khi â, (i) tçn t¤i λ ∈ Q4 (B), µi ≥ 0 (∀i ∈ I(x)), v j ∈ R (∀j ∈ J) sao cho 0 ∈ [Ds Fx (x)]∗ λ + X X µi ∂ M P gi (x) + v j ∇hj (x) + NC (x); i∈I(x) j∈L (ii) hìn núa, n¸u cì sð B cõa Q l tªp âng v bà ch°n th¼ λ ∈ intQ∗ , trong â intQ∗ l ph¦n trong cõa Q∗ theo tæpæ m¤nh cõa Y ∗ . ành lþ v· i·u ki»n õ cho nghi»m húu hi»u Henig ÷ñc ph¡t biºu nh÷ sau. ành lþ 2.4. Gi£ sû x ∈ K v thäa m¢n Gi£ thi¸t 2.1. Th¶m núa, tçn t¤i Λ ∈ Q4 (B), µi ≥ 0 (∀i ∈ I(x)), v j ∈ R (∀j ∈ J) sao cho X X 0 ∈ ∂ M P (Λ ◦ Fx )(x) + µi ∂ M P gi (x) + v j ∇hj (x) + NC (x). i∈I(x) j∈L Hìn núa, gi£ sû C -lçi, ¡nh x¤ Λ ◦ Fx l ∂ M P -gi£ lçi t¤i x tr¶n C , c¡c ¡nh x¤ gi (i ∈ I(x)) l ∂ M P -tüa lçi t¤i x tr¶n C v c¡c ¡nh x¤ h1 , . . . , h` tüa tuy¸n t½nh t¤i x tr¶n C . Khi â, vectì x l nghi»m húu hi»u Henig cõa (CVEP). ành lþ sau ÷ñc ph¡t biºu trong tr÷íng hñp X, Y l c¡c khæng gian húu h¤n chi·u. ành lþ 2.5. Gi£ sû X = Rn , Y = Rp , x ∈ K v thäa m¢n Gi£ thi¸t 2.1. Hìn núa, (i) tçn t¤i λ ∈ Q4 (B), µi ≥ 0 (∀i ∈ I(x)), v j ∈ R (∀j ∈ J) sao cho X X 0 ∈ λ∂J Fx (x) + µi ∂ M P gi (x) + v j ∇hj (x) + NC (x); i∈I(x) j∈L (ii) tªp C -lçi; ¡nh x¤ Λ◦Fx l ∂ C -gi£ lçi t¤i x tr¶n C ; c¡c ¡nh x¤ gi (i ∈ I(x)) l ∂ M P -tüa lçi t¤i x tr¶n C v c¡c ¡nh x¤ h1 , . . . , h` tüa tuy¸n t½nh t¤i x tr¶n C . Khi â, x l nghi»m húu hi»u Henig cõa (CVEP). Vîi X, Y l c¡c khæng gian væ h¤n chi·u v F l kh£ vi ch°t, ta câ ành lþ sau. ành lþ 2.6. Cho x ∈ K . Gi£ sû Fx kh£ vi ch°t t¤i x; gi (∀i ∈ I(x)) l Lipschitz àa ph÷ìng t¤i x; hj (∀j ∈ L) l kh£ vi Fr²chet t¤i x v 9
(i) tçn t¤i λ ∈ Q4 (B), µi ≥ 0 (∀i ∈ I(x)), v j ∈ R (∀j ∈ J) sao cho ∗ X X MP 0 ∈ [Ds Fx (x)] λ + µi ∂ gi (x) + v j ∇hj (x) + NC (x); i∈I(x) j∈L (ii) tªp C -lçi; ¡nh x¤ λ ◦ Fx gi£ lçi t¤i x tr¶n C ; c¡c ¡nh x¤ gi (∀i ∈ I(x)) l ∂ M P -tüa lçi t¤i x tr¶n C v c¡c ¡nh x¤ h1 , . . . , h` tüa tuy¸n t½nh t¤i x tr¶n C . Khi â, x l nghi»m húu hi»u Henig cõa (CVEP). Nhªn x²t 2.1. N¸u Q câ cì sð B l tªp âng bà ch°n th¼ i·u ki»n λ ∈ Q4 (B) trong c¡c ành lþ 2.5 v ành lþ 2.6 câ thº ÷ñc thay bði λ ∈ int Q∗ . 2.1.2 i·u ki»n KarushKuhnTucker cho nghi»m si¶u húu hi»u àa ph÷ìng i·u ki»n c¦n tèi ÷u cho nghi»m si¶u húu hi»u àa ph÷ìng cõa b i to¡n (CVEP) ÷ñc ph¡t biºu qua ành lþ sau. ành lþ 2.7. Cho x l nghi»m si¶u húu hi»u àa ph÷ìng cõa (CVEP). Gi£ sû Fx (x) = 0; H(x) l tªp âng y¸u*; Gi£ thi¸t 2.1 v i·u ki»n ch½nh quy (CQ) thäa m¢n. Khi â, tçn t¤i µi ≥ 0 (∀i ∈ I(x)), v j ∈ R (∀j ∈ L) v h m li¶n töc, thu¦n nh§t d÷ìng Λ tr¶n Y thäa m¢n (α), (β) trong ành lþ 2.1 sao cho X X MP MP 0∈∂ (Λ ◦ Fx )(x) + µi ∂ gi (x) + v j ∇hj (x) + NC (x). i∈I(x) j∈L Trong tr÷íng hñp X, Y l c¡c khæng gian húu h¤n chi·u, ta câ ành lþ sau. ành lþ 2.8. Gi£ sû X = Rn , Y = Rp , x l nghi»m si¶u húu hi»u àa ph÷ìng cõa b i to¡n (CVEP) v thäa m¢n c¡c gi£ thi¸t cõa ành lþ 2.1. Khi â, (i) tçn t¤i λ ∈ Q4 (B), µi ≥ 0 (∀i ∈ I(x)), v j ∈ R (∀j ∈ J) sao cho X X 0 ∈ λ∂J Fx (x) + µi ∂ M P gi (x) + v j ∇hj (x) + NC (x). i∈I(x) j∈L (ii) hìn núa, n¸u cì sð B cõa Q l tªp âng v bà ch°n th¼ λ ∈ intQ∗ . Vîi X, Y l c¡c khæng gian væ h¤n chi·u v F kh£ vi ch°t, ta câ ành lþ sau. ành lþ 2.9. Gi£ sû x l nghi»m si¶u húu hi»u àa ph÷ìng cõa b i to¡n (CVEP) v c¡c gi£ thi¸t cõa ành lþ 2.1 thäa m¢n. Hìn núa, gi£ sû r¬ng Fx 10
kh£ vi ch°t t¤i x vîi ¤o h m ch°t Ds Fx (x). Khi â, (i) tçn t¤i λ ∈ Q4 (B), µi ≥ 0 (∀i ∈ I(x)), v j ∈ R (∀j ∈ J) sao cho 0 ∈ [Ds Fx (x)]∗ λ + X X µi ∂ M P gi (x) + v j ∇hj (x) + NC (x); i∈I(x) j∈L (ii) hìn núa, n¸u cì sð B cõa Q l tªp âng v bà ch°n th¼ λ ∈ intQ∗ , vîi intQ∗ l ph¦n trong cõa Q∗ theo tæpæ m¤nh trong Y ∗ . Sû döng c¡c k¸t qu£ trong Möc 2.1.1, ta nhªn ÷ñc c¡c i·u ki»n õ tèi ÷u t÷ìng ùng cho c¡c nghi»m si¶u húu hi»u cõa (CVEP). 2.2 p döng cho b i to¡n b§t ¯ng thùc bi¸n ph¥n vectì v b i to¡n tèi ÷u vectì C¡c i·u ki»n tèi ÷u cho nghi»m húu hi»u Henig v nghi»m si¶u húu hi»u cõa b i to¡n (CVVI) l¦n l÷ñt ÷ñc ph¡t biºu nh÷ sau. ành lþ 2.10. Cho x l nghi»m húu hi»u Henig àa ph÷ìng ho°c nghi»m si¶u húu hi»u àa ph÷ìng cõa b i to¡n (CVVI). Gi£ sû H(x) l tªp âng y¸u*; Gi£ thi¸t 2.1 v i·u ki»n ch½nh quy (CQ) thäa m¢n. Khi â, (i) tçn t¤i λ ∈ Q4 (B), µi ≥ 0 (∀i ∈ I(x)), v j ∈ R (∀j ∈ J) sao cho 0 ∈ [T (x)]∗ λ + X X µi ∂ M P gi (x) + v j ∇hj (x) + NC (x); i∈I(x) j∈L (ii) hìn núa, n¸u cì sð B cõa Q l tªp âng v bà ch°n th¼ λ ∈ intQ∗ , trong â intQ∗ l ph¦n trong cõa Q∗ theo tæpæ m¤nh trong Y ∗ . C¡c i·u ki»n tèi ÷u cho nghi»m húu hi»u Henig v nghi»m si¶u húu hi»u cõa b i to¡n (CVOP) l¦n l÷ñt ÷ñc ph¡t biºu nh÷ sau. ành lþ 2.11. Cho x l nghi»m húu hi»u Henig àa ph÷ìng ho°c nghi»m si¶u húu hi»u àa ph÷ìng cõa b i to¡n (CVOP). Gi£ sû H(x) l tªp âng y¸u*; Gi£ thi¸t 2.1 v i·u ki»n ch½nh quy (CQ) thäa m¢n, trong â Fx ÷ñc thay bði f . Khi â, (i) tçn t¤i λ ∈ Q4 (B), µi ≥ 0 (∀i ∈ I(x)), v j ∈ R (∀j ∈ J) v mët h m li¶n töc thu¦n nh§t d÷ìng Λ tr¶n Y thäa m¢n (α), (β) trong ành lþ 2.1 sao cho X X 0 ∈ ∂ M P (Λ ◦ f )(x) + µi ∂ M P gi (x) + v j ∇hj (x) + NC (x); i∈I(x) j∈L 11
(ii) n¸u f kh£ vi ch°t t¤i x th¼ tçn t¤i λ ∈ Q4 (B), µi ≥ 0 (∀i ∈ I(x)), v j ∈ R (∀j ∈ J) sao cho ∗ X X MP 0 ∈ [Ds f (x)] + µi ∂ gi (x) + v j ∇hj (x) + NC (x); i∈I(x) j∈L Hìn núa, n¸u cì sð B cõa Q l tªp âng v bà ch°n th¼ λ ∈ intQ∗ . (iii) n¸u X = Rn , Y = Rp v c¡c gi£ thi¸t cõa ành lþ 2.1 thäa m¢n th¼ tçn t¤i λ ∈ Q4 (B), µi ≥ 0 (∀i ∈ I(x)), v j ∈ R (∀j ∈ J) sao cho X X MP 0 ∈ λ∂J Fx (x) + µi ∂ gi (x) + v j ∇hj (x) + NC (x). i∈I(x) j∈L Hìn núa, n¸u cì sð B cõa Q l tªp âng v bà ch°n th¼ λ ∈ intQ∗ . ành lþ 2.12. Cho x ∈ K v Q câ cì sð l B . Gi£ sû tçn t¤i λ ∈ Q4 (B), µi ≥ 0 (∀i ∈ I(x)), v j ∈ R (∀j ∈ J) thäa m¢n 0 ∈ [T (x)]∗ λ + X X µi ∂ M P gi (x) + v j ∇hj (x) + NC (x). i∈I(x) j∈L Hìn núa, tªp C -lçi; c¡c ¡nh x¤ gi (∀i ∈ I(x)) l ∂ M P -tüa lçi t¤i x tr¶n C v c¡c ¡nh x¤ h1 , . . . , h` tüa tuy¸n t½nh t¤i x tr¶n C . Khi â, x l nghi»m húu hi»u Henig cõa (CVVI). H» qu£ 2.1. Cho x ∈ K . Gi£ sû, cì sð B cõa Q l tªp âng, bà ch°n v c¡c gi£ thi¸t cõa ành lþ 2.11 thäa m¢n, trong â λ ∈ Q4 (B) ÷ñc thay th¸ bði λ ∈ intQ∗ . Khi â, x l nghi»m si¶u húu hi»u cõa (CVVI). Mët i·u ki»n õ tèi ÷u èi vîi nghi»m húu hi»u Henig cho b i to¡n (CVOP) ÷ñc ph¡t biºu nh÷ sau. ành lþ 2.13. Gi£ sû x ∈ K v B l mët cì sð cõa Q. Th¶m núa, tçn t¤i Λ ∈ Q4 (B), µi ≥ 0 (∀i ∈ I(x)), v j ∈ R (∀j ∈ J) sao cho X X 0 ∈ ∂ M P (Λ ◦ f )(x) + µi ∂ M P gi (x) + v j ∇hj (x) + NC (x). i∈I(x) j∈L Hìn núa, C -lçi; ¡nh x¤ Λ ◦ f l ∂ M P -gi£ lçi t¤i x tr¶n C ; c¡c ¡nh x¤ gi (∀i ∈ I(x)) l ∂ M P -tüa lçi t¤i x tr¶n C v c¡c ¡nh x¤ h1 , . . . , h` tüa tuy¸n t½nh t¤i x tr¶n C . Khi â, x l nghi»m húu hi»u Henig cõa (CVOP). Trong tr÷íng hñp f kh£ vi ch°t t¤i x, ta câ ành lþ sau. 12
ành lþ 2.14. Cho x ∈ K v B l mët cì sð cõa Q. Gi£ sû f kh£ vi ch°t t¤i x; tçn t¤i λ ∈ Q4 (B), µi ≥ 0 (∀i ∈ I(x)), v j ∈ R (∀j ∈ J) sao cho 0 ∈ [Ds f (x)]∗ λ + X X µi ∂ M P gi (x) + v j ∇hj (x) + NC (x). i∈I(x) j∈L Hìn núa, C -lçi; ¡nh x¤ λ ◦ f -gi£ lçi t¤i x tr¶n C ; c¡c ¡nh x¤ gi (∀i ∈ I(x)) l ∂ M P -tüa lçi t¤i x tr¶n C v c¡c ¡nh x¤ h1 , . . . , h` tüa tuy¸n t½nh t¤i x tr¶n C . Khi â, x l nghi»m húu hi»u Henig cõa (CVOP). Trong tr÷íng hñp X, Y l c¡c khæng húu h¤n chi·u, ta câ ành lþ sau. ành lþ 2.15. Gi£ sû X = Rn , Y = Rp , x ∈ K . Gi£ sû cì sð B cõa Q l âng bà ch°n v Gi£ thi¸t 2.1 thäa m¢n. Hìn núa, gi£ sû r¬ng (i) tçn t¤i λ ∈ Q4 (B), µi ≥ 0 (∀i ∈ I(x)), v j ∈ R (∀j ∈ J) sao cho X X MP 0 ∈ λ∂J f (x) + µi ∂ gi (x) + v j ∇hj (x) + NC (x); i∈I(x) j∈L (ii) tªp C -lçi; ¡nh x¤ λ◦f l ∂ C -gi£ lçi t¤i x tr¶n C ; c¡c ¡nh x¤ gi (∀i ∈ I(x)) ∂ M P -tüa lçi t¤i x tr¶n C; c¡c ¡nh x¤ h1 , . . . , h` tüa tuy¸n t½nh t¤i x tr¶n C . Khi â, x l nghi»m húu hi»u Henig cõa (CVOP). Hìn núa, n¸u cì sð B cõa Q l tªp âng v bà ch°n, th¼ x l nghi»m si¶u húu hi»u cõa (CVOP). 13
Ch÷ìng 3 i·u ki»n tèi ÷u cho b i to¡n b§t ¯ng thùc bi¸n ph¥n vectì qua d÷îi vi ph¥n suy rëng Trong ch÷ìng n y, chóng tæi tr¼nh b y c¡c k¸t qu£ v· i·u ki»n tèi ÷u c¦n v õ cho nghi»m húu hi»u y¸u cõa b i to¡n b§t ¯ng thùc bi¸n ph¥n vectì câ r ng buëc nân lçi a di»n, r ng buëc ¯ng thùc v r ng buëc tªp qua d÷îi vi ph¥n suy rëng. Chó þ r¬ng, nghi»m húu hi»u y¸u ð ¥y ÷ñc x¡c ành theo mët nân lçi âng nhån. Nëi dung cõa ch÷ìng 3 ÷ñc tr¼nh b y düa v o nëi dung b i b¡o cõa T.T. Mai v D.V. Luu [A3 ] (trong danh möc c¡c cæng tr¼nh ¢ cæng bè li¶n quan ¸n luªn ¡n) «ng trong t¤p ch½ Journal of Nonlinear and Variational Analysis, 2 (2018), No 3, 379-389. 3.1 i·u ki»n c¦n Fritz John cho c¡c nghi»m húu hi»u y¸u cõa b i to¡n b§t ¯ng thùc bi¸n ph¥n vectì Gi£ sû X l khæng gian Banach, v X ∗ l khæng gian tæpæ èi ng¨u cõa khæng gian X . Gi£ sû C l tªp con âng trong X v g , h t÷ìng ùng l c¡c ¡nh x¤ tø X v o Rm , Rl . Khi â, g = (g1 , ..., gm ), h = (h1 , ..., hl ) vîi gi , hj (i ∈ I := {1, ..., m}, j ∈ L := {1, ..., l}) l c¡c h m gi¡ trà thüc mð rëng tr¶n X. Gi£ sû g l Lipschitz àa ph÷ìng t¤i x ∈ C , S l nân lçi a di»n trong Rm . X²t tªp hñp M = {x ∈ C : g(x) ∈ S, h(x) = 0}. 14
Do S l nân lçi a di»n trong Rm , n¶n S ÷ñc vi¸t d÷îi d¤ng S = {y ∈ Rm : hai , yi ≥ 0, i = 1, ..., r} (ai ∈ Rm , i = 1, ..., r). (3.1) °t gei (x) = −hai , g(x)i (i = 1, ..., r). Tø (3.1), ta câ g(x) ∈ S ⇐⇒ gei (x) ≤ 0 (i = 1, ..., r). Do vªy, tªp M câ d¤ng M = {x ∈ C : gei (x) ≤ 0 (i = 1, ..., r), hj (x) = 0 (j = 1, ..., l)}. Vîi x ∈ M , ta °t I(x) = {i ∈ {1, ..., r} : gei (x) = 0}. Gi£ sû L(X, Rp ) l khæng gian c¡c ¡nh x¤ tuy¸n t½nh li¶n töc tø X v o Rp , v T l ¡nh x¤ tø X v o L(X, Rp ). Gi£ sû Q l nân lçi, âng, nhån trong Rp vîi ph¦n trong kh¡c réng. X²t b i to¡n b§t ¯ng thùc bi¸n ph¥n (WVVI): T¼m x ∈ M sao cho / −intQ (∀y ∈ M ). T (x)(y − x) ∈ (3.2) Vectì x gåi l nghi»m húu hi»u y¸u cõa b i to¡n (WVVI) n¸u (3.2) thäa m¢n. Trong tr÷íng hñp int Q = Rp++ , ành ngh¾a nghi»m húu hi»u y¸u cõa b i to¡n (WVVI) câ d¤ng: Khæng tçn t¤i y ∈ M sao cho T (x)k (y − x) < 0, vîi måi k ∈ J := {1, . . . , p}, trong â T (x) = (T (x)1 , . . . , T (x)p ), T (x)k : X → R (∀k ∈ J), Rp++ = int Rp+ . ành ngh¾a 3.1. ¤o h m Dini d÷îi (t.÷., tr¶n) cõa f t¤i x ∈ X theo ph÷ìng v ∈ X ÷ñc x¡c ành bði f (x + tυ) − f (x) fd− (x; υ) = lim inf , t↓0 t f (x + tυ) − f (x) t.÷., fd (x; υ) = lim sup + . t↓0 t 15
ành ngh¾a 3.2. H m f : X → R ÷ñc gåi l câ d÷îi vi ph¥n suy rëng tr¶n ∂ ∗ f (x) (t.÷., d÷îi ∂∗ f (x)) t¤i x n¸u ∂ ∗ f (x) ⊆ X ∗ (t.÷., ∂∗ f (x) ⊆ X ∗ ) l tªp âng *y¸u v vîi måi υ ∈ X, fd− (x, υ) ≤ sup hx∗ , υi, x∗ ∈ ∂ ∗ f (x) (t.÷., fd+ (x, υ) ≥ inf hx∗ , υi). x∗ ∈ ∂ ∗ f (x) Tªp âng *y¸u ∂f (x) ⊆ X ∗ gåi l d÷îi vi ph¥n suy rëng cõa f t¤i x n¸u nâ vøa l d÷îi vi ph¥n suy rëng tr¶n vøa l d÷îi vi ph¥n suy rëng d÷îi cõa f t¤i x. ành ngh¾a 3.3. iºm x ∈ C gåi l iºm ch½nh quy theo ngh¾a Ioffe cõa h theo C n¸u tçn t¤i sè K > 0 v δ > 0 sao cho vîi måi x ∈ C ∩ B(x; δ), dP (x) ≤ K k h(x) − h(x) k, trong â P := {x ∈ C : h(x) = h(x)}, dP (x) l kho£ng c¡ch tø x ¸n P, B(x; δ) l h¼nh c¦u mð t¥m x b¡n k½nh δ . Gi£ thi¸t 3.1. C¡c h m h1 , . . . , hl Lipschitz àa ph÷ìng t¤i x; vîi méi j ∈ L, h m |hj | ch½nh quy theo ngh¾a Clarke t¤i x v ¡nh x¤ d÷îi vi ph¥n suy rëng ∂hj nûa li¶n töc tr¶n t¤i x; gi (∀i ∈ I(x)) li¶n töc, gei (∀i ∈ I(x)) câ c¡c d÷îi vi ph¥n suy rëng tr¶n ∂ ∗ gei (x) t¤i x; C lçi. i·u ki»n c¦n Fritz John cho nghi»m húu hi»u y¸u cõa b i to¡n (WVVI) ÷ñc ph¡t biºu nh÷ sau. ành lþ 3.1. Gi£ sû x l nghi»m húu hi»u y¸u cõa b i to¡n (WVVI). Th¶m núa, x ch½nh quy theo ngh¾a Ioffe cõa h theo C v thäa m¢n Gi£ thi¸t 3.1. Khi â, tçn t¤i θ ≥ 0, χ := (χ1 , . . . , χp ) ∈ Q∗ \ {0}, µi ≥ 0 (∀i ∈ I(x)), γ j ∈ R (∀j ∈ L) sao cho θ + i∈I(x) µi = 1 v P X X X 0 ∈ cl θχk T (x)k + µi conv ∂ ∗ gei (x) + γ j conv ∂ ∗ hj (x) + NC (x) . k∈J i∈I(x) j∈L Tø ành lþ 3.1 ta suy ra ÷ñc mët k¸t qu£ trong ành lþ 6.1 cõa D.V. Luu (2016) cho b i to¡n b§t ¯ng thùc bi¸n ph¥n. 16
3.2 i·u ki»n tèi ÷u KarushKuhnTucker cho nghi»m húu hi»u y¸u cõa b i b§t ¯ng thùc bi¸n ph¥n vectì 3.2.1 i·u ki»n c¦n KarushKuhnTucker cho nghi»m cõa b i to¡n b§t ¯ng thùc bi¸n ph¥n vectì i·u ki»n ch½nh quy kiºu MangasarianFromovitz (MFCQ) ÷ñc ph¡t biºu nh÷ sau: Tçn t¤i υ0 ∈ TC (x) v sè ai > 0 (i ∈ I(x)) sao cho (i) hξi , υ0 i ≤ −ai (∀ξi ∈ ∂ ∗ gei (x), ∀i ∈ I(x)); (ii) hηj , υ0 i = 0 (∀ηj ∈ ∂ ∗ hj (x), ∀j ∈ L). i·u ki»n c¦n KarushKuhnTucker cho nghi»m húu hi»u y¸u cõa b i to¡n (WVVI) ÷ñc ph¡t biºu nh÷ sau. ành lþ 3.2. Gi£ sû x l nghi»m húu hi»u y¸u cõa b i to¡n (WVVI), thäa m¢n c¡c gi£ thi¸t cõa ành lþ 3.1 v i·u ki»n ch½nh quy (MFCQ). Khi â, tçn t¤i λ = (λ1 , . . . , λp ) ∈ Q∗ \ {0}, µi ≥ 0 (∀i ∈ I(x)), γ j ∈ R (∀j ∈ L) sao cho X X X 0 ∈ cl λk T (x)k + µi conv ∂ ∗ gei (x) + γ j conv ∂ ∗ hj (x) + NC (x) . k∈J i∈I(x) j∈L Tø ành lþ 3.2 ta suy ra ÷ñc mët k¸t qu£ trong ành lþ 6.2 cõa D.V. Luu (2016) cho b i to¡n b§t ¯ng thùc bi¸n ph¥n. 3.2.2 i·u ki»n õ cho nghi»m húu hi»u y¸u ành lþ 3.3. Gi£ sû x ∈ M v (i) tçn t¤i λ = (λ1 , . . . , λp ) ∈ Q∗ \ {0}, µi ≥ 0 (∀i ∈ I(x)), γ j ∈ R (∀j ∈ L) sao cho X X X ∗ ∗ 0 ∈ cl λk T (x)k + µi conv ∂ gei (x) + γ j conv ∂ hj (x) + NC (x) ; k∈J i∈I(x) j∈L (ii) méi h m gi l tüa lçi ti»m cªn t¤i x tr¶n M (∀i ∈ I(x)); méi h m hj l tüa tuy¸n t½nh ti»m cªn t¤i x tr¶n M (∀j ∈ L); C -lçi. Khi â, x l nghi»m húu hi»u y¸u cõa b i to¡n (WVVI). 17
Ch÷ìng 4 i·u ki»n tèi ÷u cho b i to¡n tèi ÷u gi¡ trà kho£ng qua d÷îi vi ph¥n suy rëng Lîp c¡c b i to¡n tèi ÷u vectì l mët tr÷íng hñp ri¶ng quan trång cõa lîp c¡c b i to¡n c¥n b¬ng vectì. Ch÷ìng 4 tr¼nh b y c¡c i·u ki»n tèi ÷u c¦n v õ cho nghi»m LUtèi ÷u àa ph÷ìng cõa b i to¡n tèi ÷u gi¡ trà kho£ng câ r ng buëc tªp trong khæng gian Banach qua d÷îi vi ph¥n suy rëng vîi c¡c nghi»m l ch½nh quy theo ngh¾a Ioffe (1979). C¡c ành lþ èi ng¨u y¸u v m¤nh kiºu MondWeir v Wolfe ÷ñc thi¸t lªp. Nëi dung cõa ch÷ìng ÷ñc tr¼nh b y düa v o nëi dung b i b¡o cõa D. V. Luu v T. T. Mai [A1 ] (trong danh möc c¡c cæng tr¼nh ¢ cæng bè li¶n quan ¸n luªn ¡n) «ng trong t¤p ch½ 4OR - A Quarterly Journal of Operations Research, 16 (2018), No 3, 311-337 (SCI-E). 4.1 B i to¡n tèi ÷u gi¡ trà kho£ng câ r ng buëc Möc n y d nh cho vi»c tr¼nh b y mët sè ành ngh¾a v t½nh ch§t cõa b i to¡n tèi ÷u gi¡ trà kho£ng câ c¡c r ng buëc ¯ng thùc, b§t ¯ng thùc v r ng buëc tªp. Gåi T l tªp t§t c£ c¡c kho£ng âng v bà ch°n trong R. Vîi A = [a1 , a2 ] ∈ T , B = [b1 , b2 ] ∈ T , quan h» thù tü bë phªn cõa c¡c kho£ng ÷ñc x¡c ành nh÷ sau: A ≤I B ⇐⇒ a1 ≤ b1 , a2 ≤ b2 , A