Tóm tắt Luận án Tiến sĩ Toán học: Một số hệ phương trình cặp trong cơ học chất lỏng

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA HÀ NỘI ——————– * ——————— Đặng Thanh Sơn MỘT SỐ HỆ PHƯƠNG TRÌNH CẶP TRONG CƠ HỌC CHẤT LỎNG Chuyên ngành: Phương trình vi phân và tích phân Mã số: 62460103 TÓM TẮT LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC Hà Nội - 2015 Công trình được hoàn thành tại: Trường Đại học Bách Khoa Hà Nội Người hướng dẫn khoa học: 1. TS. Trần Xuân Tiếp 2. PGS. TS. Cung Thế Anh Phản biện 1: Phản biện 2: Phản biện 3: Luận án được bảo vệ trước Hội đồng đánh giá luận án tiến sĩ cấp Trường họp tại Trường Đại học Bách Khoa Hà Nội Vào hồi .......... giờ, ngày ..... tháng ..... năm ..... Có thể tìm hiểu luận án tại thư viện: 1. Thư viện Tạ Quang Bửu - Trường ĐHBK Hà Nội 2. Thư viện Quốc gia Việt Nam MỞ ĐẦU 1. LỊCH SỬ VẤN ĐỀ VÀ LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI Các hệ phương trình trong cơ học chất lỏng xuất hiện khi mô tả chuyển động của các chất lỏng và khí như nước, không khí, dầu mỏ,..., và chúng xuất hiện khi nghiên cứu nhiều hiện tượng trong khoa học hàng không, công nghiệp dầu mỏ, vật lí plasma,... Một trong những lớp hệ phương trình quan trọng trong cơ học chất lỏng là hệ Navier-Stokes, miêu tả dòng chảy của chất lỏng thuần nhất, nhớt, không nén được và có dạng:   ∂u − ν∆u + (u · ∇)u + ∇p ∂t ∇ · u = f (x, t), = 0, ở đó u = u(x, t), p = p(x, t) tương ứng là hàm vectơ vận tốc và hàm áp suất cần tìm, hệ số nhớt ν > 0 và f là hàm ngoại lực. Được đưa ra lần đầu tiên vào năm 1822, cho đến nay lí thuyết hệ Navier-Stokes đã đạt được nhiều kết quả sâu sắc (xem các cuốn chuyên khảo của Constantin-Foias (1988), Temam (1979, 1995, 2000)). Các vấn đề cơ bản đặt ra khi nghiên cứu là: • Tính đặt đúng của bài toán. Sự tồn tại và duy nhất nghiệm, sự phụ thuộc liên tục của nghiệm vào dữ kiện đã cho. • Dáng điệu tiệm cận của nghiệm. Nghiên cứu dáng điệu tiệm cận nghiệm khi thời gian t ra vô cùng thông qua nghiên cứu sự tồn tại và tính chất của tập hút hoặc của các đa tạp bất biến, sự tồn tại và tính ổn định của nghiệm dừng. Việc nghiên cứu dáng điệu tiệm cận nghiệm là rất quan trọng vì nó cho phép ta hiểu và dự đoán xu thế phát triển của hệ động lực trong tương lai, từ đó đưa ra những đánh giá, điều chỉnh thích hợp. • Bài toán điều khiển. Bao gồm bài toán điều khiển được, bài toán điều khiển tối ưu và bài toán ổn định hóa: Tìm điều khiển thích hợp sao cho có thể chuyển quỹ đạo của hệ từ vị trí này sang 1 vị trí khác, hoặc là tìm điều khiển thích hợp để nghiệm tương ứng làm cực đại hoặc cực tiểu một phiếm hàm cho trước. Trong những năm gần đây, việc nghiên cứu những hệ phương trình cặp trong cơ học chất lỏng là một hướng nghiên cứu mới và rất thời sự. Ở đây hệ Navier-Stokes của trường vectơ vận tốc được kết hợp phù hợp với một phương trình khác cho ta mô hình toán học mô tả nhiều quá trình trong vật lí, hóa học, kỹ thuật,...như các công trình của Cabral-Rosa-Temam (2004), Cao-Wu (2010), Fucci-Wang-Singh (2009), Jia-Zhou (2012), Temam (1997),... Hệ phương trình cặp cũng xuất hiện khi nghiên cứu dòng chảy của chất lỏng hỗn hợp như: hệ Cahn-Hilliard-Navier-Stokes. Các kết quả đạt được là sự tồn tại, dáng điệu tiệm cận nghiệm thông qua sự tồn tại tập hút toàn cục, chủ yếu là trong miền bị chặn. Cho đến nay, các kết quả về dáng điệu tiệm cận nghiệm đối với những hệ phương trình cặp rất phong phú và đã khá hoàn thiện. Tuy nhiên các kết quả tương ứng trong trường hợp không ôtônôm và miền không bị chặn vẫn còn ít. Bên cạnh đó các kết quả về bài toán điều khiển đối với các hệ phương trình cặp trong cơ học chất lỏng vẫn còn khá ít, do tính phức tạp của nó. Chúng tôi điểm qua một số kết quả cho những hệ phương trình cặp trong cơ học chất lỏng liên quan đến nội dung của luận án. • Hệ phương trình Bénard (một trường hợp riêng của hệ Boussinesq): Là sự kết hợp giữa hệ Navier-Stokes của trường vectơ vận tốc u với phương trình đối lưu-khuếch tán của nhiệt độ T có dạng:  → ∂t u + (u · ∇)u − ν∆u + ∇p = fu + α− 2 (T − Tr ), e ∂t T + u · ∇T − κ∆T = fT , ∇ · u = 0. (1) Hệ Bénard mô tả chuyển động của chất lỏng nhớt, không nén được dưới tác dụng của nhiệt độ. Các tác giả C. Foias, O. Manley và R. Temam đã nghiên cứu sự tồn tại, dáng điệu tiệm cận nghiệm của hệ (1) với các điều kiện biên như: Dirichlet, Neumann, tuần hoàn (1987, 1993, 1997). Gần đây, Cabral-Temam (2004) đã chứng 2 minh sự tồn tại, đánh giá số chiều Hausdorff của tập hút toàn cục cho hệ (1) xét trong miền không bị chặn hai chiều. • Hệ phương trình động lực học thủy từ trường: Là mô hình được đề cập lần đầu tiên bởi T.G. Cowling (1957) khi kết hợp hệ Navier-Stokes của trường vectơ vận tốc u với hệ Maxwell của từ trường B. Hệ MHD miêu tả dòng chảy của các chất lỏng dẫn điện trong từ trường, và có dạng như sau:  2) (  ∂t u + (u · ∇)u − ∆u + ∇ p + S |B| − S(B · ∇)B = f,    Re 2 1 ∂t B + (u · ∇)B − (B · ∇)u + Rm curl(curl B) = 0,    ∇ · u = 0, ∇ · B = 0. (2) Sự tồn tại và duy nhất nghiệm yếu cũng như nghiệm mạnh đã được chứng minh lần đầu tiên bởi Duvaut-Lions (1972). Năm 1983, Sermange-Temam đã đưa ra khái niệm về tập bất biến để nghiên cứu dáng điệu tiệm cận nghiệm của hệ (2), đồng thời chứng minh được số chiều Hausdorff hữu hạn cho tập bất biến này. • Hệ phương trình Navier-Stokes và hệ Boussinesq với mật độ khối lượng thay đổi: Khi mô tả chuyển động của các chất lỏng có mật độ khối lượng thay đổi, ta dùng hệ Navier-Stokes có mật độ khối lượng ρ(x, t) được cho bởi:  ∂t (ρu) − ν∆u + ∇ · (ρuu) + ∇p = ρf, ∂t ρ + ∇ · (ρu) = 0, ∇ · u = 0. (3) Khi điều kiện ban đầu ρ0 (x) ≥ c0 > 0, sự tồn tại nghiệm yếu được chứng minh lần đầu tiên bởi Antontsev-Kazhikov (1973). Trong trường hợp ρ0 (x) ≥ 0, sự tồn tại nghiệm yếu, nghiệm mạnh, các vấn đề liên quan đến bài toán điều khiển đã được trình bày khá hoàn chỉnh bởi E.F. Cara (2012). Khác với hệ Navier-Stokes với mật độ khối lượng là hằng số, câu hỏi về tính duy nhất nghiệm yếu vẫn chưa được giải quyết thậm chí trong không gian 2 chiều. Khi kết hợp hệ (3) với một phương trình đối lưu-khuếch tán 3