intTypePromotion=1
zunia.vn Tuyển sinh 2024 dành cho Gen-Z zunia.vn zunia.vn
ADSENSE
 » 
 » 

Tuyển tập Toán bất đẳng thức

Chia sẻ: Nguyễn Đức Thụy | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:29

Thêm vào BST
Báo xấu
106
lượt xem 24
download
 
  Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

"Tuyển tập bất đẳng thức" với khoảng bốn trăm bài toán bất đẳng thức chọn lọc được gửi tới từ các bạn trẻ, các thầy cô yêu toán trên mọi miền của tổ quốc, ở đó bao gồm các bài toán bất đẳng thức mới sáng tạo....

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Tuyển tập Toán bất đẳng thức

  1. Nguy n ð c Th y Tuy n t p B t ñ ng th c PH N I: LUY N T P CĂN B N I. Ch ng minh BðT d a vào ñ nh nghĩa và tính ch t cơ b n: 3 a3 + b3  a + b  1. Cho a, b > 0 ch ng minh: ≥  2  2  a+b a2 + b2 2. Ch ng minh: ≤ 2 2 a + b 3 a3 + b3 3. Cho a + b ≥ 0 ch ng minh: ≥ 2 2 a b 4. Cho a, b > 0 . Ch ng minh: + ≥ a+ b b a 1 1 2 5. Ch ng minh: V i a ≥ b ≥ 1: + ≥ 1+ a2 1+ b2 1+ ab 6. Ch ng minh: a 2 + b2 + c2 + 3 ≥ 2 ( a + b + c ) ; a , b , c ∈ R 7. Ch ng minh: a2 + b2 + c 2 + d2 + e2 ≥ a ( b + c + d + e) 8. Ch ng minh: x 2 + y 2 + z2 ≥ xy + yz + zx a + b+ c ab + bc + ca 9. a. Ch ng minh: ≥ ; a,b,c ≥ 0 3 3 2 a2 + b2 + c 2  a + b + c  b. Ch ng minh: ≥  3  3  a2 10. Ch ng minh: + b2 + c 2 ≥ ab − ac + 2bc 4 11. Ch ng minh: a2 + b2 + 1 ≥ ab + a + b 12. Ch ng minh: x 2 + y 2 + z2 ≥ 2xy − 2xz + 2yz 13. Ch ng minh: x 4 + y4 + z2 + 1 ≥ 2xy(xy 2 − x + z + 1) 1 14. Ch ng minh: N u a + b ≥ 1 thì: a3 + b3 ≥ 4 15. Cho a, b, c là s ño ñ dài 3 c nh c a 1 tam giác. Ch ng minh: 2 2 2 a. ab + bc + ca ≤ a + b + c < 2(ab + bc + ca). b. abc ≥ (a + b – c)(a + c – b)(b + c – a) 2 2 2 2 2 2 4 4 4 c. 2a b + 2b c + 2c a – a – b – c > 0 II. Ch ng minh BðT d a vào BðT CÔSI: 1. Ch ng minh: (a + b)(b + c)(c + a) ≥ 8abc ; a,b,c ≥ 0 2. Ch ng minh: (a + b + c)(a2 + b2 + c2 ) ≥ 9abc ; a,b,c ≥ 0 3 3. Ch ng minh: (1+ a )(1+ b)(1+ c ) ≥ (1+ 3 abc ) v i a , b , c ≥ 0 m m  a  b Cho a, b > 0. Ch ng minh:  1+  +  1+  ≥ 2m + 1 , v i m ∈ Z + 4.  b  a bc ca ab 5. Ch ng minh: + + ≥ a + b + c ; a,b,c ≥ 0 a b c x6 + y 9 6. Ch ng minh: ≥ 3x2 y3 − 16 ; x,y ≥ 0 4 1 7. Ch ng minh: 2a4 + ≥ 3a2 − 1. 1+ a 2 8. Ch ng minh: a1995 > 1995 ( a − 1) ,a>0 9. Ch ng minh: a2 (1+ b2 ) + b2 (1+ c2 ) + c2 (1+ a2 ) ≥ 6abc . 1
  2. Tuy n t p B t ñ ng th c Nguy n ð c Th y a b c 1  1 1 1 10. Cho a , b > 0. Ch ng minh: + + ≤  + +  a2 + b2 b2 + c2 a2 + c2 2  a b c  11. Cho a , b ≥ 1 , ch ng minh: ab ≥ a b − 1 + b a − 1 . 12. Cho x, y, z > 1 và x + y + z = 4. Ch ng minh: xyz ≥ 64(x – 1)(y – 1)(z – 1) 13. Cho a > b > c, Ch ng minh: a ≥ 33 ( a − b)( b − c ) c . 14. Cho: a , b , c > 0 và a + b + c = 1. Ch ng minh: a) b + c ≥ 16abc. b) (1 – a)(1 – b)(1 – c) ≥ 8abc  1 1 1 c)  1+   1+   1+  ≥ 64  a  b c  1 15. Cho x > y > 0 . Ch ng minh: x+ ≥3 ( x − y) y 16. Ch ng minh: x2 + 2 x+8 a2 + 5 a) ≥ 2 ,∀x ∈ R b) ≥ 6 , ∀x > 1 c) ≥4 x2 + 1 x −1 a2 + 1 ab bc ca a+b+c 17. Ch ng minh: + + ≤ ; a, b, c > 0 a+b b+c c+a 2 x2 y2 1 18. Ch ng minh: 4 + ≤ , ∀x , y ∈ R 1+ 16x 1+ 16y 4 4 a b c 3 19. Ch ng minh: + + ≥ ;a,b,c>0 b+c a+c a+b 2 1 1 1 1 20. Cho a , b , c > 0. C/m: + + ≤ a3 + b3 + abc b3 + c3 + abc c3 + a3 + abc abc 21. Áp d ng BðT Côsi cho hai s ch ng minh: a. a + b + c + d ≥ 44 abcd v ia,b,c,d≥0 (Côsi 4 s ) b. a + b + c ≥ 33 abc v ia,b,c≥0, (Côsi 3 s ) 3 3 3 2 2 2 22. Ch ng minh: a + b + c ≥ a bc + b ac + c ab ; a , b , c > 0 3 4 9 23. Ch ng minh: 2 a + 3 b + 4 c ≥ 9 abc x 18 24. Cho y = + , x > 0. ð nh x ñ y ñ t GTNN. 2 x x 2 25. Cho y = + ,x > 1 . ð nh x ñ y ñ t GTNN. 2 x −1 3x 1 26. Cho y = + , x > −1 . ð nh x ñ y ñ t GTNN. 2 x+1 x 5 1 27. Cho y = + ,x > . ð nh x ñ y ñ t GTNN. 3 2x − 1 2 x 5 28. Cho y = + , 0 < x < 1 . ð nh x ñ y ñ t GTNN. 1− x x x3 + 1 29. Cho y = , x > 0 . ð nh x ñ y ñ t GTNN. x2 x2 + 4x + 4 30. Tìm GTNN c a f(x) = , x > 0. x 2 31. Tìm GTNN c a f(x) = x2 + 3 , x > 0. x 32. Tìm GTLN c a f(x) = (2x – 1)(3 – 5x) 33. Cho y = x(6 – x) , 0 ≤ x ≤ 6 . ð nh x ñ y ñ t GTLN. 5 34. Cho y = (x + 3)(5 – 2x) , –3 ≤ x ≤ . ð nh x ñ y ñ t GTLN 2 5 35. Cho y = (2x + 5)(5 – x) , − ≤ x ≤ 5 . ð nh x ñ y ñ t GTLN 2 1 5 36. Cho y = (6x + 3)(5 – 2x) , − ≤ x ≤ . ð nh x ñ y ñ t GTLN 2 2 x 37. Cho y = 2 . ð nh x ñ y ñ t GTLN x +2 2
  3. Nguy n ð c Th y Tuy n t p B t ñ ng th c 2 x 38. Cho y = . ð nh x ñ y ñ t GTLN ( x 2 + 2)3 III. Ch ng minh BðT d a vào BðT Bunhiacôpxki 2 2 2 2 2 1. Ch ng minh: (ab + cd) ≤ (a + c )(b + d ) BðT Bunhiacopxki 2. Ch ng minh: sinx + cos x ≤ 2 2 2 3. Cho 3a – 4b = 7. Ch ng minh: 3a + 4b ≥ 7. 725 4. Cho 2a – 3b = 7. Ch ng minh: 3a2 + 5b2 ≥ . 47 2 2 2464 5. Cho 3a – 5b = 8. Ch ng minh: 7a + 11b ≥ . 137 6. Cho a + b = 2. Ch ng minh: a4 + b4 ≥ 2. 1 7. Cho a + b ≥ 1 Ch ng minh: a2 + b2 ≥ 2 L i gi i: I. Ch ng minh BðT d a vào ñ nh nghĩa và tính ch t cơ b n: 3 a3 + b3  a + b  1. Cho a, b > 0 ch ng minh: ≥  (*) 2  2  3 a3 + b3  a + b  3 2 (*) ⇔ 2 −  ≥ 0 ⇔ 8 ( a + b)( a − b) ≥ 0 . ðPCM.  2  a+b a2 + b2 2. Ch ng minh: ≤ ( ) 2 2 a + b ≤ 0 , ( ) luôn ñúng. a2 + b2 + 2ab a2 + b2 ( a − b)2 a+b>0,( )⇔ − ≤0 ⇔ ≥ 0 , ñúng. 4 2 4 a+b a2 + b2 V y: ≤ . 2 2 a + b 3 a3 + b3 ( a + b)3 a3 + b3 3. Cho a + b ≥ 0 ch ng minh: ≥ ⇔ ≤ 2 2 8 2 ⇔ 3 ( b − a ) ( a 2 − b2 ) ≤ 0 ⇔ −3 ( b − a ) ( a + b) ≤ 0 , ðPCM. 2 a b 4. Cho a, b > 0 . Ch ng minh: + ≥ a+ b ( ) b a ( ) ⇔ a a + b b ≥ a b + b a ⇔ ( a − b) a − ( a − b) b ≥ 0 2 ⇔ ( a − b) ( a − b ) ≥ 0 ⇔ ( a − b ) ( a + b ) ≥ 0 , ðPCM. 1 1 2 5. Ch ng minh: V i a ≥ b ≥ 1: 2 + 2 ≥ ( ) 1+ a 1+ b 1+ ab 1 1 1 1 ab − a2 ab − b2 ⇔ + − − ≥ 0⇔ + ≥0 1+ a 2 1+ b2 1+ ab 1+ ab (1+ a2 ) (1+ ab) (1+ b2 ) (1+ ab) a (b − a) b ( a − b) b−a  a b  ⇔ + ≥0 ⇔  − ≥0 (1+ a ) (1+ ab) (1+ b ) (1+ ab) 2 2 1+ ab  1+ a 2 1+ b2  b − a  a + ab2 − b − ba2  ( b − a )2 ( ab − 1) ⇔  ≥0 ⇔ ≥ 0 , ðPCM. 1+ ab  (1+ a2 )(1+ b2 )    (1+ ab) (1+ a2 )(1+ b2 ) Vì : a ≥ b ≥ 1 ⇒ ab ≥ 1 ⇔ ab – 1 ≥ 0. 6. Ch ng minh: a2 + b2 + c2 + 3 ≥ 2 ( a + b + c ) ; a , b , c ∈ R 2 2 2 ⇔ ( a − 1) + ( b − 1) + ( c − 1) ≥ 0 . ðPCM. 7. Ch ng minh: a2 + b2 + c 2 + d2 + e2 ≥ a ( b + c + d + e) a2 a2 a2 a2 ⇔ − ab + b2 + − ac + c2 + − ad + d2 + − ae + e2 ≥ 0 4 4 4 4 3
  4. Tuy n t p B t ñ ng th c Nguy n ð c Th y 2 2 2 2 a  a  a  a  ⇔  − b  +  − c  +  − d  +  − e  ≥ 0 . ðPCM 2  2  2  2  8. Ch ng minh: x 2 + y 2 + z2 ≥ xy + yz + zx ⇔ 2x2 + 2y 2 + 2z2 − 2xy − 2yz − 2zx ≥ 0 ⇔ ( x − y )2 + ( x − z )2 + ( y − z )2 ≥ 0 a + b+ c ab + bc + ca 9. a. Ch ng minh: ≥ ; a,b,c ≥ 0 3 3 a2 + b2 + c2 ≥ ab + bc + ca 2 a+b+c a2 + b2 + c2 + 2ab + 2bc + 2ca ab + bc + ca   = ≥  3  9 3 a + b+ c ab + bc + ca ⇔ ≥ 3 3 2 a2 + b2 + c 2  a + b + c  b. Ch ng minh: ≥  3  3  3 ( a2 + b2 + c2 ) = a2 + b2 + c 2 + 2 ( a2 + b2 + c 2 ) 2 ≥ a2 + b2 + c2 + 2 ( ab + bc + ca ) = ( a + b + c ) 2 a2 + b2 + c 2  a + b + c  ⇒ ≥  3  3  a2 10. Ch ng minh: + b2 + c 2 ≥ ab − ac + 2bc 4 2 a2 a  ⇔ − a ( b − c ) + b2 + c 2 − 2bc ≥ 0 ⇔  − ( b − c )  ≥ 0 . 4 2  11. Ch ng minh: a2 + b2 + 1 ≥ ab + a + b ⇔ 2a2 + 2b2 + 2 − 2ab − 2a − 2b ≥ 0 ⇔ a2 − 2ab + b2 + a2 + 2a + 1+ b2 + 2b + 1 ≥ 0 2 2 2 ⇔ ( a − b) + ( a − 1) + ( b − 1) ≥ 0 . 12. Ch ng minh: x 2 + y 2 + z2 ≥ 2xy − 2xz + 2yz ⇔ x 2 + y 2 + z2 − 2xy + 2xz − 2yz ≥ 0 ⇔ (x – y + z)2 ≥ 0. 13. Ch ng minh: x 4 + y4 + z2 + 1 ≥ 2x(xy 2 − x + z + 1) ⇔ x 4 + y4 + z2 + 1− 2x2 y2 + 2x2 − 2xz − 2x ≥ 0 ⇔ ( x 2 − y2 ) + ( x − z ) + ( x − 1) ≥ 0 . 2 2 2 1 14. Ch ng minh: N u a + b ≥ 1 thì: a3 + b3 ≥ 4 ° a + b ≥ 1 ⇒ b ≥ 1 – a ⇒ b3 = (1 – a)3 = 1 – a + a2 – a3 2  1 1 1 ⇒ a3 + b3 = 3  a −  + ≥ .  2 4 4 15. Cho a, b, c là s ño ñ dài 3 c nh c a 1 tam giác. Ch ng minh: 2 2 2 a. ab + bc + ca ≤ a + b + c < 2(ab + bc + ca). 2 2 2 2 2 2 ab + bc + ca ≤ a + b + c ⇔ (a – b) + (a – c) + (b – c) a > b− c , b > a − c , c > a −b ⇒ a2 > b2 − 2bc + c 2 , b2 > a2 − 2ac + c 2 , c 2 > a2 − 2ab + b2 2 2 2 ⇒ a + b + c < 2(ab + bc + ca). b. abc ≥ (a + b – c)(a + c – b)(b + c – a) 2 a2 > a2 − ( b − c ) ⇒ a2 > ( a + c − b)( a + b − c ) 2 b2 > b2 − ( a − c ) ⇒ b2 > ( b + c − a )( a + b − c ) 2 c2 > c2 − ( a − b) ⇒ c 2 > ( b + c − a )( a + c − b) 2 2 2 ⇒ a2b2c2 > ( a + b − c ) ( a + c − b) ( b + c − a ) ⇔ abc > ( a + b − c )( a + c − b)( b + c − a ) 2 2 2 2 2 2 4 4 4 c. 2a b + 2b c + 2c a – a – b – c > 0 4
  5. Nguy n ð c Th y Tuy n t p B t ñ ng th c 2 2 2 2 2 4 4 2 2 4 ⇔ 4a b + 2c (b + a ) – a – b – 2a b – c > 0 2 2 2 2 2 2 2 2 4 ⇔ 4a b + 2c (b + a ) – (a + b ) – c > 0 ⇔ (2ab)2 – [(a2 + b2) – c2]2 > 0 ⇔ [c2 – (a – b)2][(a + b)2 – c2] > 0 ⇔ (c – a + b)(c + a – b)(a + b – c)(a + b + c) > 0 . ñúng ° Vì a , b , c là ba c nh c a tam giác ⇒ c – a + b > 0 , c + a – b > 0 , a + b – c > 0 , a + b + c > 0. II. Ch ng minh BðT d a vào BðT CÔSI: 1. Ch ng minh: (a + b)(b + c)(c + a) ≥ 8abc ; a, b, c ≥ 0 Áp d ng b t ñ ng th c Côsi cho hai s không âm: ⇒ a + b ≥ 2 ab , b + c ≥ 2 bc , a + c ≥ 2 ac ⇒ ( a + b)( b + c ) ( a + c ) ≥ 8 a2b2c 2 = 8abc . 2. Ch ng minh: (a + b + c)(a2 + b2 + c2 ) ≥ 9abc ; a,b,c ≥ 0 Áp d ng b t ñ ng th c Côsi cho ba s không âm: 3 ⇒ a + b + c ≥ 33 abc , a2 + b2 + c2 ≥ 3 a2b2c2 ⇒ ( a + b + c ) ( a2 + b2 + c2 ) ≥ 9 a3b3c3 = 9abc . 3 3 3. Ch ng minh: (1+ a )(1+ b)(1+ c ) ≥ (1+ 3 abc ) , v i a , b , c ≥ 0. (1+ a )(1+ b)(1+ c ) = 1+ a + b + c + ab + ac + bc + abc. 3 a + b + c ≥ 33 abc , ab + ac + bc ≥ 3 a2b2c 2 3 (1+ a )(1+ b)(1+ c ) ≥ 1+ 33 abc + 33 a2b2c2 + abc = (1+ 3 abc ) m m  a  b 4. Cho a, b > 0. Ch ng minh:  1+  +  1+  ≥ 2m + 1 , v i m ∈ Z+  b  a m m m m m  a  b  a  b  b a  1+  +  1+  ≥ 2  1+  .  1 +  = 2 2 + +   b  a  b  a  a b ≥ 2 4m = 2m + 1 bc ca ab 5. Ch ng minh: + + ≥ a + b + c ; a, b, c > 0 a b c Áp d ng BðT Côsi cho hai s không âm: bc ca abc2 bc ba b2ac ca ab a2bc + ≥2 = 2c , + ≥2 = 2b , + ≥2 = 2a a b ab a c ac b c bc bc ca ab ⇒ + + ≥ a + b+ c . a b c x6 + y 9 6. Ch ng minh: ≥ 3x2 y3 − 16 ; x,y ≥ 0 ( ) 4 3 ( ) ⇔ x6 + y9 + 64 ≥ 12x2 y3 ⇔ ( x 2 ) + ( y3 ) + 43 ≥ 12x 2 y3 3 Áp d ng BðT Côsi cho ba s không âm: ( x2 )3 + ( y3 )3 + 43 ≥ 3x2y3 4 = 12x2y3 . 1 7. Ch ng minh: 2a4 + ≥ 3a2 − 1 ( ) 1+ a 2 1 ( ) ⇔ a 4 + a 4 + a 2 + 1+ ≥ 4a2 . 1+ a 2 1 Áp d ng BðT Côsi cho 4 s không âm: a4 , a4 , a2 + 1, 1+ a 2 1 1 a 4 + a 4 + a 2 + 1+ 2 ≥ 44 a4a4 ( a2 + 1) = 4a2 1+ a 1+ a 2 8. Ch ng minh: a1995 > 1995 ( a − 1) ( ) ,a>0 1995 1995 ( )⇔ a > 1995a − 1995 ⇔ a + 1995 > 1995a 1995 1995 a1995 + 1995 > a1995 + 1994 = a1995 + 1+ 1+ ... + 1 ≥ 1995 a = 1995a 1994 soá 5
  6. Tuy n t p B t ñ ng th c Nguy n ð c Th y 9. Ch ng minh: a 2 (1+ b ) + b (1+ c ) + c (1+ a ) ≥ 6abc . 2 2 2 2 2 ° a ( 1+ b 2 2 ) + b2 (1+ c2 ) + c2 (1+ a2 ) = a2 + a2b2 + b2 + b2c2 + c2 + c2a2 Áp d ng b t ñ ng th c Côsi cho 6 s không âm: 6 ° a2 + a2b2 + b2 + b2c 2 + c2 + c 2a2 ≥ 6 a6b6c6 = 6abc a b c 1  1 1 1 10. Cho a , b > 0. Ch ng minh: 2 + + ≤  + +  a + b2 b2 + c2 a2 + c2 2  a b c  a a 1 b b 1 c c 1 ° 2 2 ≤ = , 2 2 ≤ = , 2 2 ≤ = a +b 2ab 2b b +c 2bc 2c a + c 2ac 2a a b c 1  1 1 1 ° V y: 2 + + ≤  + +  a + b2 b2 + c2 a2 + c2 2  a b c  11. Cho a , b ≥ 1 , ch ng minh: ab ≥ a b − 1 + b a − 1 . ° a = ( a − 1) + 1 ≥ 2 a − 1 , b = ( b − 1) + 1 ≥ 2 b − 1 ° ab ≥ 2b a − 1 , ab ≥ 2a b − 1 ° ab ≥ a b − 1 + b a − 1 12. Cho x, y, z > 1 và x + y + z = 4. C/m: xyz ≥ 64(x – 1)(y – 1)(z – 1) ° x = ( x − 1) + 1 = ( x − 1) + x + y + z − 3 2 = ( x − 1) + ( x − 1) + ( y − 1) + ( z − 1) ≥ 44 ( x − 1) ( y − 1) ( z − 1) 2 2 Tương t : y ≥ 44 ( x − 1) ( y − 1) ( z − 1) ; z ≥ 44 ( x − 1) ( y − 1) ( z − 1) ⇒ xyz ≥ 64(x – 1)(y – 1)(z – 1). 13. Cho a > b > c, Ch ng minh: a ≥ 33 ( a − b)( b − c ) c . ° a = ( a − b) + ( b − c ) + c ≥ 33 ( a − b)( b − c ) c 14. Cho: a , b , c > 0 và a + b + c = 1. Ch ng minh: a) b + c ≥ 16abc. 2 2 2 b+ c b+ c  1− a  2 °   ≥ bc ⇔ 16abc ≤ 16a   = 16a   = 4a (1− a )  2   2   2  ° 4a (1− a ) = (1− a ) ( 4a − 4a2 ) = (1− a ) 1− (1− 2a )  ≤ 1− a = b + c 2 2   b) (1 – a)(1 – b)(1 – c) ≥ 8abc ° (1 – a)(1 – b)(1 – c) = (b + c)(a + c)(a + b) ≥ 2 bc.2 ac.2 ab = 8abc  1 1  1 c)  1+   1+   1+  ≥ 64  a  b c  4  1   a + a + b + c  4 a2bc °  1+  =  ≥  a  a  a 4 4 1 4 ab2c 1 4 abc 2 ° 1+ ≥ ° 1+ ≥ b b c c  1 1  1  1+   1+   1+  ≥ 64  a  b c  1 15. Cho x > y > 0 . Ch ng minh: x+ ≥3 ( x − y) y 1 ( x − y) y VT = ( x − y ) + y + ≥ 33 =3 ( x − y) y ( x − y) y 16. Ch ng minh: x2 + 2 a) ≥ 2 ⇔ x 2 + 2 ≥ 2 x 2 + 1 ⇔ x 2 + 1+ 1 ≥ 2 x 2 + 1 2 x +1 x+8 x − 1+ 9 9 9 b) = = x − 1+ ≥2 x −1 =6 x −1 x −1 x −1 x −1 ( a2 + 1) + 4 ≥ 2 4 ( a2 + 1) = 4 a2 + 5 c. a2 + 1 ⇔ ≥4 a2 + 1 ab bc ca a+b+c 17. Ch ng minh: + + ≤ ; a, b, c > 0 a+b b+c c+a 2 6
  7. Nguy n ð c Th y Tuy n t p B t ñ ng th c ° Vì : a + b ≥ 2 ab ab ab ab bc bc bc ac ac ac ⇒ ≤ = , ≤ = , ≤ = a + b 2 ab 2 b + c 2 bc 2 a + c 2 ac 2 ° a + b + c ≥ ab + bc + ca , d a vào: a2 + b2 + c2 ≥ ab + bc + ca . ab bc ca ab + bc + ac a + b + c ° + + ≤ ≤ a + b b+ c c + a 2 2 x2 y2 1 18. Ch ng minh: 4 + ≤ , ∀x , y ∈ R 1+ 16x 1+ 16y 4 4 x2 x2 x2 1 ° 4 = 2 ≤ 2 = 1+ 16x 1+ ( 4x ) 2.4x 8 2 2 y y y2 1 ° 4 = 2 ≤ 2 = 1+ 16y 1+ ( 4y ) 2.4y 8 2 2 x y 1 4 + 4 ≤ 1+ 16x 1+ 16y 4 a b c 3 19. Ch ng minh: + + ≥ ;a,b,c>0 b+c a+c a+b 2 ð t X = b + c , Y = c + a , Z = a + b. 1 ° a + b + c = (X + Y + Z) 2 Y+ Z−X Z+ X−Y X+ Y−Z ° a= ,b= ,c = 2 2 2 a b c 1  Y X   Z X   Z Y   ° + + =  +  +  +  +  +  − 3 b + c a + c a + b 2  X Y   X Z   Y Z    1 3 ≥ [ 2 + 2 + 2 − 3] = . 2 2 Cách khác: a b c  a   b   c  ° + + = + 1 +  + 1 +  + 1 − 3 b+c a+c a+b b+c  a+c  a+b  1  1 1 1  = [( a + b) + ( b + c ) + ( c + a ) ]  + + −3 2  b+ c a + c a + b Áp d ng b t ñ ng th c Côsi cho ba s không âm: ° [ a + b) + ( b + c ) + ( c + a )]  1 + 1 + 1  ≥ 9 − 3 = 3 1 (   2 b+ c a + c a + b 2 2 20. Cho a , b , c > 0. C/m: 1 1 1 1 3 3 + 3 3 + 3 3 ≤ a + b + abc b + c + abc c + a + abc abc ° a3 + b3 = ( a + b) ( a2 − ab + a2 ) ≥ ( a + b) ab ⇒ a3 + b3 + abc ≥ ( a + b) ab + abc = ab ( a + b + c ) , tương t ° b3 + c3 + abc ≥ ( b + c ) bc + abc = bc ( a + b + c ) ° c3 + a3 + abc ≥ ( c + a ) ca + abc = ca ( a + b + c ) 1 1 1 1 a+b+c VT ≤ + + =   ab ( a + b + c ) bc ( a + b + c ) ca ( a + b + c ) a + b + c  abc  21. Áp d ng BðT Côsi cho hai s ch ng minh: a. a + b + c + d ≥ 44 abcd v ia,b,c,d≥0 (Côsi 4 s ) a + b ≥ 2 ab , c + d ≥ 2 cd a + b + cd ≥ 2 ( ab + cd ) ≥ 2 2 ( ) ab. cd ≥ 44 abcd 3 b. a + b + c ≥ 3 abc v ia,b,c≥0, (Côsi 3 s ) a+b+c a+ b+ c a + b+ c+ ≥ 4.4 abc 3 3 4 a + b+ c 4 a + b+ c a+b+c a + b+ c ⇔ ≥ abc ⇔   ≥ abc 3 3  3  3 7
  8. Tuy n t p B t ñ ng th c Nguy n ð c Th y 3 a+b+c 3 ⇔   ≥ abc ⇔ a + b + c ≥ 3 abc .  3  22. Ch ng minh: a3 + b3 + c3 ≥ a2 bc + b2 ac + c2 ab ; a , b , c > 0 ° a3 + abc ≥ 2a2 bc , b3 + abc ≥ 2b2 ac , c3 + abc ≥ 2c 2 ab ° a3 + b3 + c3 + 3abc ≥ 2 ( a2 bc + b2 ac + c2 ab ) ⇒ 2 ( a3 + b3 + c3 ) ≥ 2 ( a2 bc + b2 ac + c 2 ab ) , vì : a3 + b3 + c3 ≥ 3abc V y: a3 + b3 + c3 ≥ a2 bc + b2 ac + c2 ab 23. Ch ng minh: 2 a + 33 b + 44 c ≥ 99 abc Áp d ng b t ñ ng th c Côsi cho 9 s không âm: ° VT = a + a + 3 b + 3 b + 3 b + 4 c + 4 c + 4 c + 4 c ≥ 99 abc x 18 24. Cho y = + , x > 0. ð nh x ñ y ñ t GTNN. 2 x x 18 x 18 Áp d ng BðT Côsi cho hai s không âm: y= + ≥2 . =6 2 x 2 x x 18 ° D u “ = ” x y ra ⇔ = ⇔ x2 = 36 ⇔ x = ± 6 , ch n x = 6. 2 x V y: Khi x = 6 thì y ñ t GTNN b ng 6 x 2 25. Cho y = + ,x > 1 . ð nh x ñ y ñ t GTNN. 2 x −1 x −1 2 1 y= + + 2 x −1 2 x −1 2 Áp d ng b t ñ ng th c Côsi cho hai s không âm , : 2 x −1 x −1 2 1 x −1 2 1 5 y= + + ≥2 . + = 2 x −1 2 2 x −1 2 2 x −1 2 2 x = 3 ° D u “ = ” x y ra ⇔ = ⇔ ( x − 1) = 4 ⇔  2 x −1  x = −1(loaïi) 5 V y: Khi x = 3 thì y ñ t GTNN b ng 2 3x 1 26. Cho y = + , x > −1 . ð nh x ñ y ñ t GTNN. 2 x+1 3(x + 1) 1 3 y= + − 2 x+1 2 3 ( x + 1) 1 Áp d ng b t ñ ng th c Côsi cho hai s không âm , : 2 x+1 3 ( x + 1) 1 3 3 ( x + 1) 1 3 3 y= + − ≥2 . − = 6− 2 x +1 2 2 x+1 2 2 ° D u “ = ” x y ra ⇔ ⇔  6 ( x + 1) x = −1 3 1 2 2 3 = ⇔ ( x + 1) = ⇔  2 x+1 3  6 x = − − 1(loaïi )  3 6 3 V y: Khi x = − 1 thì y ñ t GTNN b ng 6 − 3 2 x 5 1 27. Cho y = + ,x > . ð nh x ñ y ñ t GTNN. 3 2x − 1 2 2x − 1 5 1 y= + + 6 2x − 1 3 2x − 1 5 Áp d ng b t ñ ng th c Côsi cho hai s không âm , : 6 2x − 1 8
  9. Nguy n ð c Th y Tuy n t p B t ñ ng th c 2x − 1 5 1 2x − 1 5 1 30 + 1 y= + + ≥2 . + = 6 2x − 1 3 6 2x − 1 3 3 D u “ = ” x y ra  30 + 1 2x − 1 5 x = 2 2 ⇔ = ⇔ ( 2x − 1) = 30 ⇔  6 2x − 1  − 30 + 1 x = (loaïi )  2 30 + 1 30 + 1 V y: Khi x = thì y ñ t GTNN b ng 2 3 x 5 28. Cho y = + , 0 < x < 1 . ð nh x ñ y ñ t GTNN. 1− x x x 5 (1− x ) + 5x x x −1 x 1− x ° f(x) = + = +5 +5≥ 2 5 +5= 2 5+5 1− x x 1− x x 1− x x 2 x 1− x  x  5− 5 D u “ = ‘ x y ra ⇔ =5 ⇔  =5⇔x= (0 < x < 1) 1− x x  1− x  4 5− 5 ° V y: GTNN c a y là 2 5 + 5 khi x = 4 x3 + 1 29. Cho y = , x > 0 . ð nh x ñ y ñ t GTNN. x2 x3 + 1 1 x x 1 xx 1 3 ° 2 = x+ 2 = + + 2 ≥ 33 2 =3 x x 2 2 x 22x 4 x x 1 ° D u “ = ‘ x y ra ⇔ = = 2 ⇔ x = 3 2 . 2 2 x 3 ° V y: GTNN c a y là 3 khi x = 3 2 4 x2 + 4x + 4 30. Tìm GTNN c a f(x) = , x > 0. x x2 + 4x + 4 4 4 ° = x + + 4 ≥ 2 x. + 4 = 8 x x x 4 ° D u “ = ‘ x y ra ⇔ x = ⇔ x = 2 (x > 0). x ° V y: GTNN c a y là 8 khi x = 2. 2 31. Tìm GTNN c a f(x) = x2 + 3 , x > 0. x 3 2 x2 x2 x2 2 1 1  x2   1  2 5 ° x + 3 = + + + 3 + 3 ≥ 55    3  = 5 x 3 3 3 x x  3  x  27 2 x 1 ° D u “ = ‘ x y ra ⇔ = 3 ⇔ x = 5 3 ⇔ x = 2 (x > 0). 3 x 5 ° V y: GTNN c a y là 5 khi x = 5 3 . 27 32. Tìm GTLN c a f(x) = (2x – 1)(3 – 5x) 2  11x   11  1 1 ° f(x) = –10x2 + 11x – 3 = −10  x 2 −  − 3 = −10  x −  + ≤  10   20  40 40 11 ° D u “ = “ x y ra ⇔ x = 20 11 1 ° V y: Khi x = thì y ñ t GTLN b ng . 20 40 33. Cho y = x(6 – x) , 0 ≤ x ≤ 6 . ð nh x ñ y ñ t GTLN. Áp d ng BðT Côsi cho 2 s không âm x và 6 – x (vì 0 ≤ x ≤ 6): ° 6 = x + ( 6 − x ) ≥ 2 x ( 6 − x ) ⇒ x(6 – x) ≤ 9 ° D u “ = “ x y ra ⇔ x = 6 – x ⇔ x = 3 ° V y: Khi x = 3 thì y ñ t GTLN b ng 9. 9
  10. Tuy n t p B t ñ ng th c Nguy n ð c Th y 5 34. Cho y = (x + 3)(5 – 2x) , –3 ≤ x ≤ . ð nh x ñ y ñ t GTLN. 2 1 y = (x + 3)(5 – 2x) = (2x + 6)(5 – 2x) 2  5 Áp d ng BðT Côsi cho 2 s không âm 2x + 6 và 5 – 2x ,  −3 ≤ x ≤  :  2 1 121 ° 11 = ( 2x + 6 ) + ( 5 − 2x ) ≥ 2 ( 2x + 6) ( 5 − 2x ) ⇒ (2x + 6)(5 – 2x) ≤ 2 8 1 ° D u “ = “ x y ra ⇔ 2x + 6 = 5 – 2x ⇔ x = − 4 1 121 ° V y: Khi x = − thì y ñ t GTLN b ng . 4 8 5 35. Cho y = (2x + 5)(5 – x) , − ≤ x ≤ 5 . ð nh x ñ y ñ t GTLN. 2 1 y = (2x + 5)(5 – x) = (2x + 5)(10 – 2x) 2  5  Áp d ng BðT Côsi cho 2 s không âm 2x + 5 , 10 – 2x ,  − ≤ x ≤ 5  :  2  1 625 ° ( 2x + 5 ) + (10 − 2x ) ≥ 2 ( 2x + 5)(10 − 2x ) ⇒ (2x + 5)(10 – 2x) ≤ 2 8 5 ° D u “ = “ x y ra ⇔ 2x + 5 = 10 – 2x ⇔ x = 4 5 625 ° V y: Khi x = thì y ñ t GTLN b ng 4 8 1 5 36. Cho y = (6x + 3)(5 – 2x) , − ≤ x ≤ . ð nh x ñ y ñ t GTLN 2 2 y = 3(2x + 1)(5 – 2x)  1 5 Áp d ng BðT Côsi cho 2 s không âm 2x + 1 , 5 – 2x ,  − ≤ x ≤  :  2 2 ° ( 2x + 1) + ( 5 − 2x ) ≥ 2 ( 2x + 1)( 5 − 2x ) ⇒ (2x + 1)(5 – 2x) ≤ 9 ° D u “ = “ x y ra ⇔ 2x + 1 = 5 – 2x ⇔ x = 1 ° V y: Khi x = 1 thì y ñ t GTLN b ng 9. x 37. Cho y = 2 . ð nh x ñ y ñ t GTLN x +2 1 x 1 ° 2 + x2 ≥ 2 2x2 = 2x 2 ⇔ ≥ 2 ⇒ y≤ 2 2 2+ x 2 2 ° D u “ = “ x y ra ⇔ x 2 = 2 và x > 0 ⇒ x= 2 1 ° V y: Khi x = 2 thì y ñ t GTLN b ng . 2 2 x2 38. Cho y = . ð nh x ñ y ñ t GTLN ( x 2 + 2)3 3 x2 1 x 2 + 2 = x 2 + 1+ 1 ≥ 3 x2 .1.1 ⇔ ( x 2 + 2) ≥ 27x2 ⇒ 3 ° 3 ≤ (x 2 + 2) 27 2 ° D u “ = “ x y ra ⇔ x = 1 ⇔ x = ± 1 1 ° V y: Khi x = ± 1 thì y ñ t GTLN b ng . 27 III. Ch ng minh BðT d a vào BðT Bunhiacôpxki 1. Ch ng minh: (ab + cd)2 ≤ (a2 + c2)(b2 + d2) ( ) BðT Bunhiacopxki ( ) ⇔ a2b2 + 2abcd + c2d2 ≤ a2b2 + a2d2 + c2b2 + c 2d2 2 ⇔ a2d2 + c2b2 − 2abcd ≥ 0 ⇔ ( ad − cb) ≥ 0 . 2. Ch ng minh: sinx + cos x ≤ 2 Áp d ng BðT Bunhiacopski cho 4 s 1 , sinx , 1 , cosx : 10
  11. Nguy n ð c Th y Tuy n t p B t ñ ng th c ° sinx + cos x = 1. sinx + 1. cos x ≤ (12 + 12 ) ( sin2 x + cos2 x ) = 2 2 2 3. Cho 3a – 4b = 7. Ch ng minh: 3a + 4b ≥ 7. Áp d ng BðT Bunhiacopski cho 4 s 3 , 3a , 4 , 4b: ° 3a + 4b =3. 3a + 4. 4b ≤ ( 3 + 4) ( 3a2 + 4b2 ) ⇔ 3a2 + 4b2 ≥ 7. 2 2 725 4. Cho 2a – 3b = 7. Ch ng minh: 3a + 5b ≥ . 47 2 3 2a − 3b = 3a − 5b 3 5 2 3 Áp d ng BðT Bunhiacopski cho 4 s , 3a , − , 5 b: 3 5 2 3  4 9 735 ° 3a− 5 b ≤  +  ( 3a2 + 5b2 ) ⇔ 3a2 + 5b2 ≥ . 3 5  3 5 47 2 2 2464 5. Cho 3a – 5b = 8. Ch ng minh: 7a + 11b ≥ . 137 3 5 3a − 5b = 7a− 11b 7 11 3 5 Áp d ng BðT Bunhiacopski cho 4 s , 7a ,− , 11b : 7 11 3 5  9 25  ( 2 2464  7a + 11 ) ⇔ 7a + 11b ≥ b2 2 2 ° 7a− 11b ≤  + . 7 11  7 11  137 4 4 6. Cho a + b = 2. Ch ng minh: a + b ≥ 2. Áp d ng BðT Bunhiacopski: 2 = a + b ≤ (1+ 1) ( a2 + b2 ) 2 2 ° ⇔ a +b ≥2 2 ≤ ( a2 + b2 ) ≤ (1+ 1) ( a4 + b4 ) 4 4 ° ⇔ a +b ≥2 1 7. Cho a + b ≥ 1 Ch ng minh: a2 + b2 ≥ 2 (12 + 12 ) ( a2 + b2 ) ⇔ a2 + b2 ≥ 1 ° 1≤ a + b ≤ 2 PH N II. ð THI ð I H C 1. (CðGT II 2003 d b ) Cho 3 s b t kì x, y, z. CMR: x2 + xy + y2 + x2 + xz+z2 ≥ y2 + yz+z2 2. (CðBC Hoa Sen kh i A 2006) Cho x, y, z > 0 và xyz = 1. Ch ng minh r ng: x3 + y3 + z3 ≥ x + y + z. 3. (CðKTKT C n Thơ kh i A 2006) 11
  12. Tuy n t p B t ñ ng th c Nguy n ð c Th y 1 1 1 Cho 3 s dương x, y, z tho x + y + z ≤ 1. Tìm giá tr nh nh t c a bi u th c: A=x+y+z+ + + x y z 4. (CðSPHCM kh i ABTDM 2006) 5 4 1 Cho x, y là hai s th c dương và tho x + y = . Tìm giá tr nh nh t c a bi u th c: A = + . 4 x 4y 5. (CðKTKT C n Thơ kh i B 2006) Cho 4 s dương a, b, c, d. Ch ng minh b t ñ ng th c: a b c d + + + 0 thì (x + 1)  x2 + x + 1 ≥ 16.  2  7. (CðKTKTCN1 kh i A 2006) a + b+ c a + b+ c a + b+ c Cho 3 s dương a, b, c. Ch. minh r ng: + + ≥9 a b c 8. (CðKTYT 1 2006) 2 Cho các s th c x, y thay ñ i tho mãn ñi u ki n: y ≤ 0; x + x = y + 12. Tìm giá tr l n nh t, nh nh t c a bi u th c: A = xy + x + 2y + 17 9. (CðBC Hoa Sen kh i D 2006) Cho x, y, z > 0; x + y + z = xyz. Tìm giá tr nh nh t c a bi u th c A = xyz. 10. (H c vi n BCVT 2001) Ch ng minh r ng v i m i s th c a, b, c tho mãn ñi u ki n: a + b + c = 1 thì: 1 1 1  a b c  + + ≥ 3 a + b + c  3a 3b 3c 3 3 3  11. (ðH ðà N ng kh i A 2001 ñ t 2) Cho ba s dương a, b, c tho a2 + b2 + c2 = 1. Ch ng minh: a b c 3 3 2 2 + 2 2 + 2 2 ≥ b +c c +a a +b 2 12. (ðH Ki n trúc HN 2001) a2 + b2 + c2 = 2  Cho các s a, b, c tho :  ab + bc + ca = 1  4 4 4 4 4 4 Ch ng minh: − ≤ a ≤ ; − ≤ b ≤ ; − ≤ c ≤ 3 3 3 3 3 3 13. (H c vi n NH TPHCM kh i A 2001) Cho ∆ABC có 3 c nh là a, b, c và p là n a chu vi. Ch ng minh r ng: 1 1 1  1 1 1 + + ≥ 2 + +  p−a p−b p− c a b c 14. (ðH Nông nghi p I HN kh i A 2001) Cho 3 s x, y, z > 0. Ch ng minh r ng: 2 x 2 y 2 z 1 1 1 3 2 + 3 2 + 3 2 ≤ 2+ 2+ 2 x +y y +z z +x x y z 15. (ðH PCCC kh i A 2001) Ch. minh r ng v i a ≥ 2, b ≥ 2, c ≥ 2 thì: logb+ c a + logc+ a b + loga+ b c > 1 16. (ðH Qu c gia HN kh i D 2001) Ch. minh r ng v i m i x ≥ 0 và v i m i α > 1 ta luôn có: xα + α – 1 ≥ αx. T ñó ch ng minh r ng v i 3 s dương a, b, c b t kì thì: a3 b3 a b c c3 3 + ≥ + + 3 + b c a3 b c a 17. (ðH Thái Nguyên kh i D 2001) Cho a ≥ 1, b ≥ 1. Ch ng minh r ng: a b − 1 + b a − 1 ≤ ab (*) 18. (ðH Vinh kh i A, B 2001) Ch ng minh r ng n u a, b, c là ñ dài ba c nh c a m t tam giác có chu vi b ng 3 thì: 3a2 + 3b2 + 3c2 + 4abc ≥ 13 19. (ðH Y Thái Bình kh i A 2001) 2 2 2 Cho a, b, c là nh ng s dương và a + b = c. Ch. minh r ng: > a 3 +b 3 c 3 20. (ðHQG HN kh i A 2000) a b c a b c V i a, b, c là 3 s th c b t kì tho ñi u ki n a + b + c = 0. Ch ng minh r ng: 8 + 8 + 8 ≥ 2 + 2 + 2 12
  13. Nguy n ð c Th y Tuy n t p B t ñ ng th c 21. (ðHQG HN kh i D 2000) V i a, b, c là 3 s th c dương tho ñi u ki n: ab + bc + ca = abc. Ch ng minh r ng: b2 + 2a2 c2 + 2b2 a2 + 2c2 + + ≥ 3 ab bc ca 22. (ðH Bách khoa HN kh i A 2000) 3 a3 + b3  a + b  Cho 2 s a, b tho ñi u ki n a + b ≥ 0. Ch. minh r ng: ≥  2  2  23. (ðHSP TP HCM kh i DE 2000) Cho 3 s a, b, c b t kì. Ch ng minh các BðT: 2 2 2 2 a) a + b + c ≥ ab + bc + ca b) (ab + bc + ca) ≥ 3abc(a + b + c) 24. (ðH Nông nghi p I kh i A 2000) Cho 3 s dương a, b, c tho ñi u ki n abc = 1. Tìm giá tr nh nh t c a bi u th c: P = bc ca ab + 2 + 2 a b + a c b c + b a c a + c 2b 2 2 2 25. (ðH Thu l i II 2000) Ch ng minh r ng v i m i s dương a, b, c ta ñ u có: ( ) 3 (a + 1).(b + 1).(c + 1) ≥ 1+ 3 abc 26. (ðH Y HN 2000) 2 3 Gi s x, y là hai s dương tho ñi u ki n + = 6 . Tìm giá tr nh nh t c a t ng x + y. x y 27. (ðH An Giang kh i D 2000) Cho các s a, b, c ≥ 0. Ch ng minh: ac + 1 + bc + 1 ≥ ab(ac – 1 + bc – 1) 28. (ðH Tây Nguyên kh i AB 2000) 18xyz CMR v i m i x, y, z dương và x + y + z = 1 thì xy + yz + zx > 2 + xyz 29. (ðH An Ninh kh i A 2000) Ch ng minh r ng v i m i s nguyên n ≥ 3 ta ñ u có: nn + 1 > (n + 1)n 30. (CðSP Nha Trang 2000) Cho 2 s th c a, b tho ñi u ki n: a, b ≥ –1 và a + b = 1. Tìm giá tr l n nh t c a bi u th c: A = a + 1 + b + 1 31. (CðSP Nhà tr – M u giáo TƯ I 2000) 1 1 1 9 Ch ng minh BðT sau ñây luôn luôn ñúng v i m i s th c x, y, z b t kì khác không: 2 + 2 + 2 ≥ 2 x y z x + y 2 + z2 BðT cu i cùng luôn ñúng ⇒ BðT c n ch ng minh ñúng. 32. (ðH Y Dư c TP HCM 1999) a2 b2 c2 a b c Cho 3 s a, b, c khác 0. Ch ng minh: 2 + 2 + 2 ≥ + + b c a b c a 33. (ðH Hàng h i 1999) Cho x, y, z ≥ 0 và x + y + z ≤ 3. Ch ng minh r ng: x y z 3 1 1 1 2 + 2 + 2 ≤ ≤ + + 1+ x 1+ y 1+ z 2 1 + x 1+ y 1 + z 34. (ðH An ninh HN kh i D 1999) Cho 3 s x, y, z thay ñ i, nh n giá tr thu c ño n [0;1]. Ch ng minh r ng: 2(x3 + y3 + z3) – (x2y + y2z + z2x) ≤ 3 (*) 35. (ð i h c 2002 d b 1) G i x, y, z là kho ng cách t ñi m M thu c mi n trong c a ∆ABC có 3 góc nh n ñ n các c nh BC, CA, AB. Ch ng minh r ng: a2 + b2 + c2 x+ y+ z≤ (a, b, c là các c nh c a ∆ABC, R là bán kính ñư ng tròn ngo i ti p). D u “=” x y 2R ra khi nào? 36. (ð i h c 2002 d b 3) 5 Gi s x, y là hai s dương thay ñ i tho mãn ñi u ki n x + y = . Tìm giá tr nh nh t c a bi u th c: S = 4 4 1 + x 4y 37. (ð i h c 2002 d b 5) Gi s a, b, c, d là 4 s nguyên thay ñ i tho mãn 1 ≤ a < b < c < d ≤ 50. a c b2 + b + 50 a c Ch ng minh b t ñ ng th c: + ≥ và tìm giá tr nh nh t c a bi u th c: S = + . b d 50b b d 13
  14. Tuy n t p B t ñ ng th c Nguy n ð c Th y 38. (ð i h c 2002 d b 6) 3 Cho tam giác ABC có di n tích b ng . G i a, b, c l n lư t là ñ dài các c nh BC, CA, AB và ha, hb, hc tương ng là 2 ñ dài các ñư ng cao k t các ñ nh A, B, C. Ch ng minh r ng:  1 1 1 1 1 1  a + b + c  h + h + h  ≥ 3   a b c  39. (ð i h c kh i A 2003) Cho x, y, z là 3 s dương và x + y + z ≤ 1. Ch ng minh r ng: 1 1 1 x2 + 2 + y2 + 2 + z2 + ≥ 82 x y z2 40. (ð i h c kh i A 2003 d b 1) 5 Tìm giá tr l n nh t và giá tr nh nh t c a hàm s : y = sin x + 3 cosx 41. (ð i h c kh i A 2003 d b 2) Tính các góc c a tam giác ABC, bi t r ng:  4p(p − a) ≤ bc (1 )   A B C 2 3 −3 sin sin sin = (2)  2 2 2 8 a+b+c trong ñó BC = a, CA = b, AB = c, p = . 2 42. (ð i h c kh i A 2005) 1 1 1 Cho x, y, z là các s dương tho mãn : + + = 4 . x y z 1 1 1 Ch ng minh r ng: + + ≤1 2x+y+z x + 2y + z x + y + 2z 43. (ð i h c kh i B 2005) Ch ng minh r ng v i m i x ∈ R, ta có: x x x  12   15   20  x x x  5  + 4  + 3  ≥ 3 +4 +5       Khi nào ñ ng th c x y ra? 44. (ð i h c kh i D 2005) Cho các s dương x, y, z tho mãn xyz = 1. Ch ng minh r ng: 1+ x 3 + y 3 1+ y3 + z3 1+ z3 + x3 + + ≥3 3 xy yz zx Khi nào ñ ng th c x y ra? 45. (ð i h c kh i A 2005 d b 1) Cho 3 s x, y, z tho x + y + z = 0. CMR: 3 + 4x + 3 + 4y + 3 + 4z ≥ 6 46. (ð i h c kh i A 2005 d b 2) 2  y  9  Ch ng minh r ng v i m i x, y > 0 ta có: (1+ x )  1+   1+  ≥ 256   x   y ð ng th c x y ra khi nào? 47. (ð i h c kh i B 2005 d b 1) 3 Cho 3 s dương a, b, c tho mãn: a + b + c = . Ch ng minh r ng: 4 3 a + 3b + 3 b + 3c + 3 c + 3a ≤ 3 Khi nào ñ ng th c x y ra? 48. (ð i h c kh i B 2005 d b 2) 1 Ch ng minh r ng n u 0 ≤ y ≤ x ≤ 1 thì x y − y x ≤ . 4 ð ng th c x y ra khi nào? 49. (ð i h c kh i D 2005 d b 2) x2 y2 z2 3 Cho x, y, z là 3 s dương và xyz = 1. CMR: + + ≥ 1 + y 1+ z 1+ x 2 50. (ð i h c kh i A 2006) Cho 2 s th c x ≠ 0, y ≠ 0 thay ñ i và tho mãn ñi u ki n: (x + y)xy = x2 + y2 – xy. 14
  15. Nguy n ð c Th y Tuy n t p B t ñ ng th c 1 1 Tìm giá tr l n nh t c a bi u th c: A= + . x3 y3 51. (ð i h c kh i B 2006) Cho x, y là các s th c thay ñ i. Tìm giá tr nh nh t c a bi u th c: A= ( x − 1)2 + y2 + ( x + 1)2 + y2 + y−2 L I GI I 1. (CðGT II 2003 d b ) Trong m t ph ng to ñ Oxy, xét các ñi m:  y 3   3 3  y z  Ax + ;  2 y + 2 z z  , B  0; , C  − ;0   2 2    2 2     2 2  y  3  2 2 Ta có: AB =  x + 2  +  2 y  = x + xy + y       2 2  z  3  2 2 AC =  x + 2  +  2 z  = x + xz + z       2 2 y z  3  BC = 2 2−  + (y + z)  = y 2 + yz+z2    2    V i 3 ñi m A, B, C ta luôn có: AB + AC ≥ BC ⇒ x2 + xy + y2 + x2 + xz+z2 ≥ y2 + yz+z2 2. (CðBC Hoa Sen kh i A 2006) x + y + z ≥ 3 3 x3 y3z3 ⇒ 2(x + y + z ) ≥ 6 3 3 3 3 3 3 3 x + 1 + 1 ≥ 3 x3 ⇒ x + 2 ≥ 3x(1) 3 3 Tương t : y + 1 + 1 ≥ 3 3 y3 ⇒ y + 2 ≥ 3y(2) 3 3 3 z + 1 + 1 ≥ 3 z3 ⇒ z + 2 ≥ 3z 3 3 (3) C ng (1), (2), (3) v theo v suy ra b t ñ ng th c c n ch ng minh. 3. (CðKTKT C n Thơ kh i A 2006) • Cách 1: Theo BðT Côsi: 1 ≥ x + y + z ≥ 3 3 xyz > 0 1 1 1 3 + + ≥ x y z 3 xyz 3 T ñó: A ≥ 3 3 xyz + 3 xyz 3 1 ð t: t = xyz , ñi u ki n: 0 < t ≤ 3 3 1 Xét hàm s f(t) = 3t + v i0
  16. Tuy n t p B t ñ ng th c Nguy n ð c Th y 1 Theo BðT Côsi: 1 ≥ x + y + z ≥ 3 3 xyz > 0 ⇔ ≥3 3 xyz 1 2 1 2 1 2 x+ ≥ , y+ ≥ , z+ ≥ 9x 3 9y 3 9z 3  1  1  1  8  1 1 1 8 3 T ñó: A=  x +  +  y + 9y  +  z + 9z  + 9  x + y + z  ≥ 2 + 9 3 ≥ 10  9x        xyz 1 1 D u "=" x y ra khi x = y = z = .V y Amin = 10 ñ t ñư c khi x = y = z = 3 3 4. (CðSPHCM kh i ABT 2006) 5 Ta có: x + y = ⇔ 4x + 4y – 5 = 0 4 4 1 4 1 4 1 A= + = + 4x+ + 4y − 5 ⇒ A ≥ 2 .4x + 2 .4y – 5 x 4y x 4y x 4y ⇒A≥5 4  x = 4x   1 = 4y x = 1   D u "=" x y ra ⇔  4y ⇔  1. V y Amin = 5.  5 y = 4  x + y =  4  x,y > 0  5. (CðKTKT C n Thơ kh i B 2006) Vì a, b, c, d > 0 nên ta luôn có: a c a c + < + =1 a + b+ c c + d+ a a + c a + c b d b d + < + =1 b+ c + d d+ a +b b+ d b+ d C ng v theo v các BðT trên ta ñư c ñpcm. 6. (CðKT Cao Th ng kh i A 2006) 2  1 2  1  2 + + 1 ≥ 16 (1) ⇔ (x + 1)2  + 1 ≥ 16 Ta có: (x + 1)  x2 x  x  1  2 2 ⇔ (x + 1)  + 1 ≥ 4 (do x > 0) ⇔ (x + 1) ≥ 4x ⇔ (x – 1) ≥ 0 (2) x  (2) luôn ñúng nên (1) ñư c ch ng minh. 7. (CðKTKTCN1 kh i A 2006) b c a c a b Xét v trái c a BðT ñã cho: VT = 1+ + + + 1+ + + + 1 a a b b c c  b a  c a  c b = 3 +  + + + + +  a b a c b c Do a, b, c > 0 nên theo BðT Côsi ta có: b a b a b c b c c a c a + ≥ 2 . = 2; + ≥ 2 . = 2; + ≥2 . =2 a b a b c b c b a c a c Khi ñó: VT ≥ 3 + 2 + 2 + 2 = 9 (ñpcm). 8. (CðKTYT 1 2006) y ≤ 0, x2 + x = y + 12 ⇒ x2 + x – 12 ≤ 0 ⇒ – 4 ≤ x ≤ 3 y = x2 + x – 12 ⇒ A = x3 + 3x2 – 9x – 7 ð t f(x) = A = x3 + 3x2 – 9x – 7 v i – 4 ≤ x ≤ 3 2 f′(x) = 3x + 6x – 9 ; f′(x) = 0 ⇔ x = 1 ho c x = – 3 f(–4) = 13, f(–3) = 20, f(1) = –12, f(3) = 20 V y maxA = 20 (x = 3, y = 0), minA = –12 (x = 1, y = –10). 9. (CðBC Hoa Sen kh i D 2006) Ta có: x + y + z ≥ 3 3 xyz ⇔ xyz ≥ 3 3 xyz ⇔ (xyz)2 ≥ 27 ⇔ xyz ≥ 3 3 D u "=" x y ra ⇔ x = y = z = 3. V y minA = 3 3 . 10. (H c vi n BCVT 2001) 16
  17. Nguy n ð c Th y Tuy n t p B t ñ ng th c 1 Ta có hàm s f(x) = là hàm ngh ch bi n nên: 3x  1 1 (a – b)  a − b  ≤ 0, ∀a, b. 3 3  a b b a ⇒ + ≤ + , ∀a, b. (1) 3a 3b 3a 3b b c b c Tương t : b + c ≤ c + b (2) 3 3 3 3 c a a c c + a ≤ c+ a (3) 3 3 3 3 a b c a b c M t khác: a + b+ c = a + b+ c (4) 3 3 3 3 3 3 C ng (1), (2), (3), (4) v theo v ta ñư c:  a b c   1 1 1 3  a + b + c  ≤ (a + b + c)  a + b + c  3 3 3  3 3 3   a b c  1 1 1 Hay 3 a + b + c  ≤ a + b + c (vì a + b + c = 1) 3 3 3  3 3 3 1 D u “=” x y ra ⇔ a = b = c = . 3 11. (ðH ðà N ng kh i A 2001 ñ t 2) 2 2 2 a a a2 Do a + b + c = 1 nên = = (1) b2 + c2 1− a 2 a(1− a2 ) 3 3  2a2 + (1− a2 ) + (1− a2 )   2 Mà 2a2.(1 – a2)2 ≤   =   3   3   4 2 ⇒ a2.(1 – a2)2 ≤ ⇒ a(1 – a2) ≤ (2) 27 3 3 a 3 3 2 T (1), (2) suy ra: 2 2 ≥ a b +c 2 a b c 3 3 2 3 3 Do ñó: + + ≥ (a + b2 + c 2 ) = b2 + c2 c2 + a2 a2 + b2 2 2  2a = 1− a 2 2   1 D u “=” x y ra ⇔  2b2 = 1− b2 ⇔ a = b = c = .  2 2 3  2c = 1− c  12. (ðH Ki n trúc HN 2001) a2 + b2 + c2 = 2  (a + b)2 − 2ab = 2 − c2  Ta có:  ⇔  ab + bc + ca = 1  c(a + b) + ab = 1  a + b = S 2 Ta xem ñây là h phương trình c a a, b và ñ t  (S – 4P ≥ 0) ab = P S2 − 2P = 2 − c2 (1)  Ta ñư c h :  cS+P =1  (2) T (2) ⇒ P = 1 – cS, thay vào (1) ta ñư c: S = −c − 2 S2 – 2(1 – cS) = 2 – c2 ⇔ S2 + 2cS + c2 – 4 = 0 ⇔  S = −c + 2 2 • V i S = – c – 2 ⇒ P = 1 + c(c + 2) = c + 2c + 1 2 2 2 BðT: S – 4P ≥ 0 ⇔ (–c – 2) – 4(c + 2c + 1) ≥ 0 4 ⇔ –3c2 – 4c ≥ 0 ⇔ − ≤ c ≤ 0 (3) 3 2 • V i S = –c + 2 ⇒ P = 1 – c(–c + 2) = c – 2c + 1 2 2 2 BðT: S – 4P ≥ 0 ⇔ (–c + 2) – 4(c – 2c + 1) ≥ 0 2 4 ⇔ –3c + 4c ≥ 0 ⇔ 0≤c≤ (4) 3 17
  18. Tuy n t p B t ñ ng th c Nguy n ð c Th y 4 4 T (3), (4) ta ñư c: ≤c≤ − 3 3 4 4 Tương t ta ch ng minh ñư c: − ≤ a,b,c ≤ 3 3 13. (H c vi n NH TPHCM kh i A 2001) Trư c h t, ta d dàng ch ng minh ñư c n u x, y > 0 thì: 1 1 4 + ≥ (1) x y x+y D u “=” x y ra ⇔ x = y. 1 1 4 4 Áp d ng (1) ta ñư c: + ≥ = p−a p−b p−a + p−b c 1 1 4 4 + ≥ = p−b p−c p−b+p−c a 1 1 4 4 + ≥ = p−c p−a p−c+p−a b C ng 3 BðT trên v theo v , ta ñư c:  1 1 1   1 1 1 2 + +  ≥ 4  + +  ⇔ ñpcm p−a p−b p− c a b c D u “=” x y ra ⇔ a = b = c. 14. (ðH Nông nghi p I HN kh i A 2001) 3 2 Áp d ng BðT Côsi cho 2 s dương x , y ta có: 2 x 2 x 1 x + y ≥ 2 x3 y2 = 2xy x ⇒ 3 2 ≤ = x3 + y 2 2xy x xy 1 1 Áp d ng BðT Côsi cho 2 s dương 2 , ta có: x y2 1 1 1 1 2 x 1 1 1 ≤  +  ⇒ 3 ≤  2 + 2 xy 2  x 2 y2    x +y 2 2 x   y  Tương t ta cũng có: 2 y 1 1 1 2 z 1 1 1 ≤  2 + 2 ; 3 ≤ + 3 y +z 2 2 y  z + x 2 2  z2 x 2  z     2 x 2 y 2 z 1 1 1 Suy ra: 3 2 + 3 2 + 3 2 ≤ 2 + 2 + x +y y +z z +x x y z2  x3 = y 2   y 3 = z2  z3 = x2  D u “=” x y ra ⇔  vaø  vaø  ⇔ x=y=z=1 x = y  y = z  z = x  15. (ðH PCCC kh i A 2001) Trư c h t chú ý r ng n u a > 1, x > 1 thì hàm s y = loga x là ñ ng bi n và dương. 1 Do ñó hàm s y = logxa = là ngh ch bi n. loga x Vì vai trò c a a, b, c là như nhau, nên ta có th gi thi t a ≥ b ≥ c. Ta ñư c: VT= logb+ c a + logc + a b + loga +b c ≥ loga +b a + loga +b b + loga +b c = loga +b abc Vì a, b, c ≥ 2 nên abc ≥ 2ab = ab + ab > a + b Do ñó VT ≥ loga+babc > loga+b(a + b) = 1. 16. (ðH Qu c gia HN kh i D 2001) • Xét f(x) = xα – αx + α – 1 (x ≥ 0) f′(x) = α(xα – 1); –1 f′(x) = 0 ⇔ x = 1 V y v i ∀x ≥ 0 và α > 1 thì f(x) ≥ 0 hay xα + α – 1 ≥ αx. • BðT c n ch ng minh: 18
  19. Nguy n ð c Th y Tuy n t p B t ñ ng th c 3 3 3  a 2  b 2  c 2 a b c  b + c +  a ≥ b + c + a       3 Áp d ng BðT ñã ch ng minh v i α = , ta có: 2 3 3 3  a 2 1 3 a  b 2 1 3 b  c 2 1 3 c  b  + 2 ≥ 2.b ;  c  + 2 ≥ 2.c ;  a  + 2 ≥ 2.a       M t khác, theo BðT Côsi ta có:  3 3 3 1  a  2  b  2  c  2  3  +c +a  ≥ 2 2  b           C ng 4 BðT trên, v theo v , ta có:  3 3 3 3  a  2  b  2  c  2  3 3  a b c  3  +  c  +  a   + 2 ≥ 2 b + c + a + 2 2  b             3 3 3  a 2  b 2  c 2 a b c Suy ra:   +   +   ≥ + +  b c a b c a 17. (ðH Thái Nguyên kh i D 2001) a b−1 b a −1 1 1 1 1 BðT (*) ⇔ + ≤1⇔ 1−  +  1−  ≤ 1 (1) ab ab b b  a a 1  1 + 1−  1 1 b  b  1  Theo BðT Côsi ta có: 1−  ≤ = b b  2 2 1  1 +  1−  1 1 a  a  1 1−  ≤ = a a  2 2 C ng 2 BðT l i ta ñư c BðT c n ch ng minh. 1 1 1  b = 1− b = 2  D u “=” x y ra ⇔  ⇔ a = b = 2.  1 = 1− 1 = 1 a  a 2 18. (ðH Vinh kh i A, B 2001) Ta có: 3 – 2a = a + b + c – 2a = b + c – a > 0. Do ñó theo BðT Côsi ta có: 3  3 − 2a + 3 − 2b + 3 − 2c  (3 – 2a)(3 – 2b)(3 – 2c) ≤   =1  3  ⇒ 27 – 9(2a + 2b + 2c) + 3(4ab + 4bc + 4ca) – 8abc ≤ 1 ⇔ 27 – 54 + 12(ab + bc + ca) – 8abc ≤ 1 ⇔ 4abc ≥ 6(ab + bc + ca) – 14 ⇔ 3(a2 + b2 + c2) + 4abc ≥ 3(a2 + b2 + c2) + 6(ab + bc + ca) – 14 = 3(a + b +c)2 – 14 = 13 ð ng th c x y ra ⇔ 3 – 2a = 3 – 2b = 3 – 2c ⇔ a = b = c = 1. 19. (ðH Y Thái Bình kh i A 2001) 2 2 a b a b  a 3  b 3 a b T gi thi t ta có: + = 1 ⇒ 0 < , < 1 ⇒   +  > + = 1 c c c c c c c c 2 2 2 T ñó suy ra: a 3 + b 3 > c 3 20. (ðHQG HN kh i A 2000) ð t x = 2a, y = 2b, z = 2c thì x, y, z > 0. ð.ki n a + b + c = 0 ⇔ xyz = 2a+b+c = 1, do ñó theo BðT Côsi: x + y + z ≥ 3 3 3 M t khác: x + 1 + 1 ≥ 3x ⇒ x ≥ 3x – 2 3 3 Tương t : y ≥ 3y – 2; z ≥ 3z – 2 ⇒ x3 + y3 + z3 ≥ 3(x + y + z) – 6 = (x + y + z) + 2(x + y + z – 3) ≥ x + y + z a b c a b c ⇒8 +8 +8 ≥2 +2 +2 21. (ðHQG HN kh i D 2000) 19
  20. Tuy n t p B t ñ ng th c Nguy n ð c Th y b2 + 2a2 b2 + 2a2 1 1 Ta có: = = + 2. 2 ab a2b2 a2 b 1 1 1 ð t x= ;y= ; z= thì a b c a,b,c > 0  x,y,z > 0 gi thi t  ⇔  ab + bc + ca = abc x + y + z = 1 và ñpcm ⇔ x2 + 2y 2 + y 2 + 2z2 + z2 + 2x2 ≥ 3 Theo BðT Bunhiacopxki ta có: 2 2 2 2 2 2 3(x + 2y ) = 3(x + y + y ) ≥ (x + y + y) 1 ⇒ x2 + 2y 2 ≥ (x + 2y) 3 Vi t 2 BðT tương t , r i c ng l i, ta có: 1 x2 + 2y 2 + y 2 + 2z2 + z2 + 2x2 ≥ (3x + 3y + 3z) = 3 3 1 ð ng th c x y ra ⇔ x = y = z = ⇔a=b=c=3 3 22. (ðH Bách khoa HN kh i A 2000) 3 a3 + b3  a + b  3 3 3 Ta có: ≥  ⇔ 4(a + b ) ≥ (a + b) 2  2  ⇔ (a + b) [4(a2 + b2 – ab) – (a2 + b2 + 2ab)] ≥ 0 ⇔ (a + b)(3a2 + 3b2 – 6ab) ≥ 0 ⇔ (a + b)(a – b)2 ≥ 0 BðT cu i cùng này ñúng, nên BðT c n ch ng minh là ñúng. ð ng th c x y ra ⇔ a = ± b. 23. (ðHSP TP HCM kh i DE 2000) 2 2 2 2 2 2 a) a + b ≥ 2ab; b + c ≥ 2bc; c + a ≥ 2ca 2 2 2 ⇒ a + b + c ≥ ab + bc + ca. ð ng th c x y ra ⇔ a = b = c 2 2 2 2 b) (ab + bc + ca) = (ab) + (bc) + (ca) + 2(abbc + bcca + caab) ≥ ≥ abbc + bcca + caab + 2abc(a + b + c) = 3abc(a + b + c) 24. (ðH Nông nghi p I kh i A 2000) 1 bc bc 1 2 Ta có: 2 = 2 = = a a b + a c a (b + c) a2  1 + 1  1 + 1 2 b c b c   1 1 1 ð t x= ;y= ; z= thì a b c a, b, c > 0  x,y,z > 0 x2 y2 z2 gi thi t  ⇔  và P = + + abc = 1  xyz=1 y+z z+x x+y Theo BðT Bunhiacopxki ta có: 2  x y z  (y + z + z + x + x + y).P ≥  y + z. + z + x. + x + y.   y+z z+x  x+y   2 1 1 1 ⇒ 2(x + y + z).P ≥ (x + y + z) ⇒ P ≥ (x + y + z) ≥ .33 xyz = .3 2 2 2 3 ⇒P≥ 2 3 N uP= thì x = y = z = 1 ⇒ a = b = c = 1 2 3 3 ð o l i, n u a = b = c = 1 thì P = . V y minP = 2 2 25. (ðH Thu l i II 2000) (a + 1).(b + 1).(c + 1) = 1 + a + b + c + ab + bc + ca + abc ≥ ( ) 3 3 ≥ 1 + 3 3 abc + 3 a2b2c2 + abc = 1+ 3 abc ð ng th c x y ra ⇔ a = b = c > 0. 26. (ðH Y HN 2000) 20
ADSENSE

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

THÔNG TIN
TRỢ GIÚP
HỖ TRỢ KHÁCH HÀNG
Theo dõi chúng tôi

Chịu trách nhiệm nội dung:

Nguyễn Công Hà - Giám đốc Công ty TNHH TÀI LIỆU TRỰC TUYẾN VI NA

LIÊN HỆ

Địa chỉ: P402, 54A Nơ Trang Long, Phường 14, Q.Bình Thạnh, TP.HCM

Hotline: 093 303 0098

Email: support@tailieu.vn

Giấy phép Mạng Xã Hội số: 670/GP-BTTTT cấp ngày 30/11/2015 Copyright © 2022-2032 TaiLieu.VN. All rights reserved.

 

Đồng bộ tài khoản
2=>2