Nguyn ðc Thy Tuyn tp Bt ñng thc
1
PHN I: LUYN TP CĂN BN
I. Chng minh BðT da vào ñ!nh nghĩa và tính ch&t cơ b)n:
1. Cho a, b > 0 chng minh:
+ +
≥
2. Chng minh:
+ +
≤
3. Cho a + b ≥ 0 chng minh: + +
≥
4. Cho a, b > 0 . Chng minh:
+ ≥ +
5. Chng minh: Vi a ≥ b ≥ 1:
+ ≥ +
+ +

6. Chng minh:
( )
+ + + ≥ + +
; a , b , c ∈ R
7. Chng minh:
( )
+ + + + ≥ + + +

8. Chng minh:
+ + ≥ + +
  
9. a. Chng minh:
+ + + +
≥ ≥
  

b. Chng minh: + + + +
≥

10. Chng minh:
+ + ≥ − +
  
11. Chng minh:
+ + ≥ + +

12. Chng minh:
+ + ≥ − +
  
13. Chng minh:
+ + + ≥ − + +

14. Chng minh: Nu a + b ≥ 1 thì:
+ ≥
15. Cho a, b, c là s ño ñ" dài 3 c%nh c&a 1 tam giác. Chng minh:
a. ab + bc + ca ≤ a
2
+ b
2
+ c
2
< 2(ab + bc + ca).
b. abc ≥ (a + b – c)(a + c – b)(b + c – a)
c. 2a
2
b
2
+ 2b
2
c
2
+ 2c
2
a
2
– a
4
– b
4
– c
4
> 0
II. Chng minh BðT da vào BðT CÔSI:
1. Chng minh:
+ + + ≥ ≥
     
2. Chng minh:
+ + + + ≥ ≥
   
3. Chng minh:
( )( )( )
( )
+ + + ≥ +

vi a , b , c ≥ 0
4. Cho a, b > 0. Chng minh:
+
+ + + ≥
, vi m ∈ Z
+
5. Chng minh:
+ + ≥ + + ≥
 

6. Chng minh:
+
≥ − ≥
 
7. Chng minh:
+ ≥ −
+

.
8. Chng minh:
( )
> −


, a > 0
9. Chng minh:
(
)
(
)
(
)
+ + + + + ≥

.
Tuyn tp Bt ñng thc Nguyn ðc Thy
2
10. Cho a , b > 0. Chng minh:
+ + ≤ + +
+ + +
11. Cho a , b ≥ 1 , chng minh:
≥ − + −

.
12. Cho x, y, z > 1 và x + y + z = 4. Chng minh: xyz ≥ 64(x – 1)(y – 1)(z – 1)
13. Cho a > b > c, Chng minh:
( )( )
≥ − −
.
14. Cho: a , b , c > 0 và a + b + c = 1. Chng minh:
a) b + c ≥ 16abc.
b) (1 – a)(1 – b)(1 – c) ≥ 8abc
c)
+ + + ≥

15. Cho x > y > 0 . Chng minh:
( )
+ ≥
−
16. Chng minh:
a)
+
≥
+
,∀x ∈ R b)
+
≥
−
, ∀x > 1 c)
+
≥
+
17. Chng minh:
+ +
+ + ≤ >
+ + +
  
18. Chng minh:
+ ≤
+ +
 
, ∀x , y ∈ R
19. Chng minh:
+ + ≥
+++
; a , b , c > 0
20. Cho a , b , c > 0. C/m:
+ + ≤
+ + + + + +

  
21. Áp d9ng BðT Côsi cho hai s chng minh:
a. + + + ≥

vi a , b , c , d ≥ 0 (Côsi 4 s)
b. + + ≥

vi a , b , c ≥ 0 , (Côsi 3 s )
22. Chng minh: + + ≥ + +
  
; a , b , c > 0
23. Chng minh: + + ≥

24. Cho
= +

, x > 0. ð>nh x ñ? y ñ%t GTNN.
25. Cho
= + >
−
. ð>nh x ñ? y ñ%t GTNN.
26. Cho
= + > −
+

. ð>nh x ñ? y ñ%t GTNN.
27. Cho
= + >
−

. ð>nh x ñ? y ñ%t GTNN.
28. Cho
= +
−
, 0 < x < 1 . ð>nh x ñ? y ñ%t GTNN.
29. Cho
+
=
, x > 0 . ð>nh x ñ? y ñ%t GTNN.
30. Tìm GTNN c&a
+ +
=


, x > 0.
31. Tìm GTNN c&a
= +

, x > 0.
32. Tìm GTLN c&a f(x) = (2x – 1)(3 – 5x)
33. Cho y = x(6 – x) , 0 ≤ x ≤ 6 . ð>nh x ñ? y ñ%t GTLN.
34. Cho y = (x + 3)(5 – 2x) , –3 ≤ x ≤
. ð>nh x ñ? y ñ%t GTLN
35. Cho y = (2x + 5)(5 – x) ,
− ≤ ≤
. ð>nh x ñ? y ñ%t GTLN
36. Cho y = (6x + 3)(5 – 2x) ,
−
≤
x
≤
. ð>nh x ñ? y ñ%t GTLN
37. Cho
=
+
. ð>nh x ñ? y ñ%t GTLN
Nguyn ðc Thy Tuyn tp Bt ñng thc
3
38. Cho
( )
=
+
. ð>nh x ñ? y ñ%t GTLN
III. Chng minh BðT da vào BðT Bunhiacôpxki
1. Chng minh: (ab + cd)
2
≤
(a
2
+ c
2
)(b
2
+ d
2
) BðT Bunhiacopxki
2. Chng minh:
+ ≤
 
3. Cho 3a – 4b = 7. Chng minh: 3a
2
+ 4b
2
≥
7.
4. Cho 2a – 3b = 7. Chng minh: 3a
2
+ 5b
2
≥


.
5. Cho 3a – 5b = 8. Chng minh: 7a
2
+ 11b
2
≥


.
6. Cho a + b = 2. Chng minh: a
4
+ b
4
≥
2.
7. Cho a + b
≥
1 Chng minh:
+ ≥
L<i gi)i
:
I. Chng minh BðT da vào ñ!nh nghĩa và tính ch&t cơ b)n:
1. Cho a, b > 0 chng minh:
+ +
≥
(*)
(*)
⇔
+ +
− ≥
⇔
( )( )
+ − ≥
. ðPCM.
2. Chng minh:
+ +
≤
()
a + b
≤
0 , () luôn ñúng.
a + b > 0 , ()
⇔
+ + +
− ≤

⇔
( )
−
≥
, ñúng.
VIy:
+ +
≤
.
3. Cho a + b
≥
0 chng minh:
+ +
≥
⇔
( )
+ +
≤
⇔
( )
(
)
− − ≤
⇔
( ) ( )
− − + ≤
, ðPCM.
4. Cho a, b > 0 . Chng minh:
+ ≥ +
()
()
⇔
+ ≥ +
⇔
( ) ( )
− − − ≥
⇔
( )
(
)
− − ≥
⇔
( ) ( )
− + ≥
, ðPCM.
5. Chng minh: Vi a
≥
b
≥
1:
+ ≥ +
+ +

()
⇔
+ − − ≥
+ +
+ +
 
⇔
( )
( )
( )
( )
− −
+ ≥
+ + + +
 
 
⇔
(
)
( )
( )
(
)
( )
( )
− −
+ ≥
+ + + +
 
⇔
−
− ≥
++ +

⇔
( )( )
− + − −
≥
++ +
 

⇔
( ) ( )
( )
( )( )
− −
≥
+ + +


, ðPCM.
Vì : a
≥
b
≥
1
⇒
ab
≥
1
⇔
ab – 1
≥
0.
6. Chng minh:
( )
+ + + ≥ + +
; a , b , c
∈
R
⇔
( ) ( ) ( )
− + − + − ≥

. ðPCM.
7. Chng minh:
( )
+ + + + ≥ + + +

⇔
− + + − + + − + + − + ≥
   
Tuyn tp Bt ñng thc Nguyn ðc Thy
4
⇔
− + − + − + − ≥
. ðPCM
8. Chng minh:
+ + ≥ + +
  
⇔
+ + − − − ≥
    
⇔
( )
( )
( )
− + − + − ≥
9. a. Chng minh:
+ + + +
≥ ≥
  

+ + ≥ + +
 
+ + + + + + + + +
= ≥
     
⇔
+ + + +
≥
  
b. Chng minh:
+ + + +
≥

(
)
(
)
+ + = + + + + +
( ) ( )
≥ + + + + + = + +
 
⇒
+ + + +
≥

10. Chng minh:
+ + ≥ − +
  
⇔
( )
− − + + − ≥

⇔
( )
− − ≥
.
11. Chng minh:
+ + ≥ + +

⇔
+ + − − − ≥

⇔
− + + + + + + + ≥

⇔
( ) ( ) ( )
− + − + − ≥
.
12. Chng minh:
+ + ≥ − +
  
⇔
+ + − + − ≥
  
⇔ (x – y + z)
2
≥ 0.
13. Chng minh:
+ + + ≥ − + +

⇔
+ + + − + − − ≥
  
⇔
( )
( ) ( )
− + − + − ≥
.
14. Chng minh: Nu a + b ≥ 1 thì:
+ ≥
° a + b ≥ 1 ⇒ b ≥ 1 – a ⇒ b
3
= (1 – a)
3
= 1 – a + a
2
– a
3
⇒ a
3
+ b
3
=
− + ≥
.
15. Cho a, b, c là s ño ñ" dài 3 c%nh c&a 1 tam giác. Chng minh:
a. ab + bc + ca ≤ a
2
+ b
2
+ c
2
< 2(ab + bc + ca).
ab + bc + ca ≤ a
2
+ b
2
+ c
2
⇔ (a – b)
2
+ (a – c)
2
+ (b – c)
2
> − > − > −
⇒
> − +

,
> − +

,
> − +

⇒ a
2
+ b
2
+ c
2
< 2(ab + bc + ca).
b. abc ≥ (a + b – c)(a + c – b)(b + c – a)
( )
> − −
⇒
( )( )
> + − + −
( )
> − −
⇒
( )( )
> + − + −
( )
> − −
⇒
( )( )
> + − + −
⇒
( ) ( ) ( )
> + − + − + −


⇔
(
)
(
)
(
)
> + − + − + −

c. 2a
2
b
2
+ 2b
2
c
2
+ 2c
2
a
2
– a
4
– b
4
– c
4
> 0
Nguyn ðc Thy Tuyn tp Bt ñng thc
5
⇔ 4a
2
b
2
+ 2c
2
(b
2
+ a
2
) – a
4
– b
4
– 2a
2
b
2
– c
4
> 0
⇔ 4a
2
b
2
+ 2c
2
(b
2
+ a
2
) – (a
2
+ b
2
)
2
– c
4
> 0
⇔ (2ab)
2
– [(a
2
+ b
2
) – c
2
]
2
> 0 ⇔ [c
2
– (a – b)
2
][(a + b)
2
– c
2
] > 0
⇔ (c – a + b)(c + a – b)(a + b – c)(a + b + c) > 0 . ñúng
° Vì a , b , c là ba c%nh c&a tam giác
⇒ c – a + b > 0 , c + a – b > 0 , a + b – c > 0 , a + b + c > 0.
II. Chng minh BðT da vào BðT CÔSI:
1. Chng minh:
+ + + ≥ ≥
     
Áp d9ng bLt ñMng thc Côsi cho hai s không âm:
⇒
+ ≥

,
+ ≥

,
+ ≥

⇒
( )( )( )
+ + + ≥ =


.
2. Chng minh:
+ + + + ≥ ≥
   
Áp d9ng bLt ñMng thc Côsi cho ba s không âm:
⇒ + + ≥

,
+ + ≥
⇒
( )
(
)
+ + + + ≥ =

.
3. Chng minh:
( )( )( )
( )
+ + + ≥ +

, vi a , b , c ≥ 0.
(
)
(
)
(
)
+ + + = + + + + + + +
   
+ + ≥

,
+ + ≥

  
( )( )( )
( )
+ + + ≥ + + + = +

  
4. Cho a, b > 0. Chng minh:
+
+ + + ≥
, vi m ∈ Z
+
+
+ + + ≥ + + = + +
≥ =
5. Chng minh:
+ + ≥ + + >
 

Áp d9ng BðT Côsi cho hai s không âm:
+ ≥ =
  
 , + ≥ =
  
 , + ≥ =
  

⇒
+ + ≥ + +
 
.
6. Chng minh:
+
≥ − ≥
  
()
() ⇔
+ + ≥
 
⇔
( )
( )
+ + ≥

Áp d9ng BðT Côsi cho ba s không âm:
( )
( )
+ + ≥ =
 
.
7. Chng minh:
+ ≥ −
+

()
() ⇔
+ + + + ≥
+

.
Áp d9ng BðT Côsi cho 4 s không âm:
++
( )
+ + + + ≥ + =
+ +

8. Chng minh:
( )
> −


() , a > 0
() ⇔ > − ⇔ + >
 
   
+ > + = + + + + ≥ =

   
 
    