Vấn đề 1: Thể tích đa diện

Chia sẻ: Võ Thanh Hùng | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:28

Thêm vào BST

Báo xấu

200
lượt xem 27
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Vấn đề 1: Thể tích đa diện có nội dung trình bày một số kiến thức thườn sử dụng như các điểm đặc biệt trong tam giác, tam giác vuông, công thức đặc biệt, thể tích đa diện, khối tròn xoay, các khối chóp, tỷ số thể tích, thể tích lăng trụ,... Mỗi vấn đề đề có bài tập ứng dụng giúp các em học sinh củng cố lại kiến thức và rèn luyện kỹ năng làm bài tập tốt hơn.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Vấn đề 1: Thể tích đa diện

VẤN ĐỀ 1: THỂ TÍCH ĐA DIỆN 1. Một số kiến thức thường sử dụng: 1.1. Các điểm đặc biệt trong tam giác: A A ha b b c c G H hc hb B a M C B a C Trọng tâm G của tam giác là giao điểm ba Trực tâm H của tam giác ABC là giao 2 đường trung tuyến, và AG  AM . điểm ba đường cao. 3 A A b c O I R r B C C B a Tâm O đường tròn ngoại tiếp tam giác là Tâm I của đường tròn nội tiếp tam giác giao điểm ba đường trung trực. là giao điểm ba đường phân giác trong. 1.2. Tam giác vuông ABC vuông tại A: A  Hệ thức lượng: AC sin = (đối chia huyền) BC  AB B C cos = (kề chia huyền) BC  Định lí Pitago: BC2 = AB2 + AC2 AC 1 tan = (đối chia kề)  Diện tích: S = AB.AC AB 2 AB  Định lí đảo Pitago: nếu tam giác ABC có cot = (kề chia đối) 2 2 2 BC = AB + AC thì tam giácABC vuông tại A AC A  Độ dài đường trung tuyến: 1 AM = BC 2  Công thức khác: B C H M AB.AC = AH.BC  Nghịch đảo đường cao bình phương: 1 1 1 BA2 = BH.BC   AH 2 AB 2 AC 2 CA2 = CH.CB Trang 1
1.3. Các công thức đặc biệt: 3  Diện tích tam giác đều: S = (cạnh)2  4 3  Chiều cao tam giác đều: h = cạnh  2  Độ dài đường chéo hình vuông: l = cạnh  2 1.4. Hệ thức lượng trong tam giác:  Định lí Côsin: a2 = b2 + c2 - 2bccosA b2 = a2 + c2 - 2accosB c2 = a2 + b2 - 2abcosC a b c  Định lí sin:    2R sin A sin B sin C 1.5. Các công thức tính diện tích tam giác ABC: Cho tam giác ABC có độ dài các cạnh tương ứng là a, b, c; chiều cao tương ứng với các góc A, B, C là ha, hb, hc; r, R lần lượt là bán kính đường tròn nội tiếp, ngoại tiếp ABC; Gọi S là diện tích ABC: 1 1 1  S = aha  bhb  chc (1/2 cạnh đáy nhân chiều cao) 2 2 2 1 1 1  S = bc sin A  ac sin B  ab sin C (1/2 tích hai cạnh nhân sin góc xen giữa) 2 2 2 abc S= 4R abc  S = pr (p = là nửa chua vi) 2  S = p( p  a)( p  b)( p  c) (Công thức Hê-rông) 1.6. Diện tích các hình đặc biệt khác:  Hình vuông: S = cạnh  cạnh 1  Hình thoi: S = (chéo dài  chéo ngắn) 2  Hình chữ nhật: S = dài  rộng 1  Hình thang: S = (đáy lớn + đáy bé)  chiều cao 2  Hình tròn: S = R2  Hình bình hành: S = đáy  chiều cao Trang 2
1.7. Hai tam giác đồng dạng và định lí Talet: B  ABC đồng dạng MNP nếu chúng có N hai góc tương ứng bằng nhau.  Nếu ABC đồng dạng MNPthì : AB MN  A C AC MP M P Định lí Talet: A Định lí Talet đảo: Đường thẳng song song với Đường thẳng cắt hai cạnh đáy cắt hai cạnh bên của M N cạnh bên của tam giác tạo tam giác tạo thành những đoạn thành những đoạn thẳng thẳng tương ứng tỉ lệ. tương ứng tỉ lệ thì song AM AN MN song với cạnh đáy. MN // BC    B C AM AN AB AC BC   MN // BC AB AC 2. Thể tích đa diện 2.1. Thể tích khối chóp: S S  Đường cao là đường thẳng đi qua đỉnh và vuông góc với mặt đáy.  Chiều cao là khoảng cách từ đỉnh đến mặt đáy h h = d(S,mp(ABC...)) h A C  Thể tích: Sñ 1 V= S đ .h Sñ 3 B 2.2. Thể tích khối lăng trụ: Đường cao là đường thẳng đi qua đỉnh (bất kì) và vuông góc với mặt đáy đối diện.  Chiều cao là khoảng cách từ một đỉnh bất kì đến mặt đáy đối diện. h = d(S,mp(ABC...)) h  Thể tích: V = S đ .h Sđ Trang 3
3. Khối tròn xoay: Khối nón Khối trụ Khối cầu S O' l h l h O r r O O r 1 Sxq = πrl V = πr2h V = πr2h 3 Sxq = 2πrl 4 S = 4πr2 V = πr3 l: độ dài đường sinh l: độ dài đường sinh 3 r: bán kính đường tròn đáy r: bán kính đường tròn đáy r: bán kính mặt cầu h: chiều cao h: chiều cao 4. Mặt cầu ngoại đa diện: 4.1. Mặt cầu ngoại tiếp đa diện: S Mặt cầu ngoại tiếp hình đa diện nếu tất cả các đỉnh của hình đa diện đều nằm trên mặt cầu. Còn nói hình đa diện nội tiếp mặt cầu. O Mặt cầu S(O, r) ngoại tiếp hình chóp S.ABCD A B khi và chỉ khi OA = OB = OC = OD = OS = r D C 4.2. Các bước xác định tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp: Bước 1: Dựng  là trục đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy. Bước 2: Dựng mp() là mặt phẳng trung trực cạnh bên, () cắt  tại I. I là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp. * Chú ý: Trục đường tròn ngoại tiếp đa giác là tập hợp những điểm cách đều các đỉnh của đa giác đó. Trục đường tròn ngoại tiếp đa giác là đường thẳng đi qua tâm đường tròn ngoại tiếp đa giác và vuông góc với mặt phẳng chứa đa giác đó. Hình Tâm đường tròn ngoại tiếp Vuông, chữ nhật giao điểm hai đường chéo Tam giác đều trọng tâm Tam giác vuông trung điểm cạnh huyền Trang 4
BÀI TẬP A. THỂ TÍCH KHỐI CHÓP Dạng 1: Khối chóp có cạnh bên vuông góc với đáy. 1. Bài tập rèn luyện: Bài 1: Cho hình chóp S.ABC có SA = a và vuông góc với mặt đáy, ABC là tam giác đều cạnh 2a. Tính thể tích khối chóp. Bài 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh 2a, SA vuông góc với mặt đáy và SAB cân tại A. Tính thể tích khối chóp. Bài 3: Cho hình chóp S.ABC có SA = h và vuông góc với mặt đáy, ABC là tam giác vuông tại B, cạnh BC = 3a và cạnh AC = 5a. Tính thể tích khối chóp. Bài 4: Cho tứ diện vuông OABC vuông tại O, cạnh OA = a, cạnh AB = AC = a 3 . Tính thể tích tứ diện OABC. Bài 5: Cho hình chóp S.ABC có SB = SC = BC = CA = a. Hai mặt (ABC) và (ASC) cùng vuông góc với (SBC). Tính thể tích hình chóp S.ABC. Bài 6: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B với AC = a biết SA vuông góc với đáy ABC và SB hợp với đáy một góc 60o. Tính thể tích hình chóp. Bài 7: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a biết SA vuông góc với đáy ABC và (SBC) hợp với đáy (ABC) một góc 60o. Tính thể tích hình chóp. Bài 8: Cho hình chóp S.ABC có SA = BC = a và SA vuông góc với mặt đáy. Mặt phẳng SBC tạo với mặt đáy một góc 600 và ABC cân tại A. Tính thể tích khối chóp. Bài 9: Cho khối chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông biết SA  (ABCD), SC = a và SC hợp với đáy một góc 60o. Tính thể tích khối chóp. Bài 10: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông có cạnh a và SA vuông góc đáy ABCD và mặt bên (SCD) hợp với đáy một góc 60o. a) Tính thể tích hình chóp S.ABCD; b) Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SCD). 2. Bài tập tự luyện: Bài 1: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B với BA = BC = a biết SA vuông góc với đáy ABC và SB hợp với (SAB) một góc 30o. Tính thể tích hình a3 2 chóp. (V = ) 6 Bài 2: Cho hình chóp S.ABC có SA vuông góc với đáy (ABC) và SA = h, biết rằng tam giác ABC đều và mặt (SBC) hợp với đáy ABC một góc 30o. Tính thể tích khối chóp h3 3 SABC. (V = ) 3 Trang 5
Bài 4: Cho tứ diện ABCD có cạnh AD  (ABC) biết AC = AD = 4 cm, AB = 3 cm và BC = 5 cm. a) Tính thể tích ABCD. (V = 8 cm3) 12 b) Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (BCD). (d = ) 34 Bài 5: Cho khối chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác cân tại A với BC = 2a, góc BAC = 1200, biết SA vuông góc (ABC) và mp(SBC) hợp với đáy một góc 45o. Tính thể a3 tích khối chóp SABC. (V = ) 9 Bài 6: Cho khối chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật biết rằng cạnh SA vuông góc mp(ABCD), cạnh SC hợp với đáy một góc 45o và AB = 3a, BC = 4a. Tính thể tích khối chóp. (V = 20a3) Bài 7: Cho khối chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a, góc nhọn A bằng 60 và cạnh SA  (ABCD), khoảng cách từ điểm A đến cạnh SC = a. Tính thể tích khối o a3 2 chóp S.ABCD. (V = ) 4 Bài 8: Cho khối chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B biết AB = BC = a, AD = 2a , SA  (ABCD) và (SCD) hợp với đáy một góc 60o. Tính thể a3 6 thích khối chóp SABCD. (V = ) 2 Dạng 2: Khối chóp đều 1. Bài tập rèn luyện: Bài 1: Cho hình chóp đều S.ABC có đáy là một tam giác đều cạnh a, khoảng cách từ đỉnh đến mặt đáy là bằng h. Tính thể tích hình chóp. Bài 2: Cho hình chóp đều S.ABC, cạnh bên bằng a, đáy là tam giác đều chiều cao 2a. Tính thể tích hình chóp. Bài 3: Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh bên bằng a hợp với đáy ABC một góc 60o. Tính thể tích hình chóp. Bài 4: Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy b và mặt bên hợp với đáy một góc 60o. Tính thể tích hình chóp SABC. Bài 5: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh bên bằng a hợp với đáy một góc o 60 . Tính thề tích hình chóp. Bài 6: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD cạnh 2a có mặt bên hợp với đáy một góc 0 45 . Tính thề tích hình chóp. Bài 7: Cho khối chóp tứ giác S.ABCD có độ dài tất cả các cạnh bằng a. a) Chứng minh rằng S.ABCD là chóp tứ giác đều; b) Tính thể tích khối chóp S.ABCD. Bài 8: Cho khối tứ diện đều ABCD cạnh bằng a, M là trung điểm DC. Trang 6
a) Tính thể tích khối tứ diện đều ABCD. b) Tính khoảng cách từ M đến mp(ABC). Suy ra thể tích hình chóp M.ABC. 2. Bài tập tự luyện: Bài 1: Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh bên a, góc giữa mặt bên và mặt đáy là 45o. a a) Tính độ dài chiều cao SH của chóp SABC. (SH = ) 3 a3 b) Tính thể tích hình chóp S.ABC. (V = ) 6 Bài 2: Cho chóp tam giác đều S.ABC có chiều cao h và đường cao hợp với một mặt h3 3 bên một góc 30o. Tính thể tích hình chóp. (V = ) 3 Bài 5: Cho hình chóp tam giác đều có đường cao h và mặt bên có góc ở đỉnh bằng h3 3 60o. Tính thể tích hình chóp. (V = ) 8 Bài 6: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy a và góc ASB bằng 600. a2 3 a) Tính tổng diện tích các mặt bên của hình chóp đều. (S = ) 3 a3 2 b) Tính thể tích hình chóp. (V = ) 6 Bài 7: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có chiều cao h, góc ở đỉnh của mặt bên 2h 3 bằng 60o. Tính thể tích hình chóp. (V = ) 3 Bài 8: Cho hình chóp tứ giác đều có mặt bên hợp với đáy một góc 45o và khoảng cách 8a 3 3 từ chân đường cao của chóp đến mặt bên bằng a. Tính thể tích hình chóp. (V = ) 3 Bài 9: Cho hình chóp tam giác S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh a. Tất cả các cạnh bên đều bằng nhau và bằng 2a. a) Chứng minh hình chóp S.ABC là hình chóp đều. b) Tính thể tích khối chóp. Dạng 3: Khối chóp có một mặt bên vuông góc với đáy 1. Bài tập rèn luyện: Bài 1: Cho hình chóp tam giác S.ABC có mặt bên SAB và măt đáy ABC là hai tam giác đều cạnh a nằm trong hai mặt phẳng vuông góc. a) Chứng minh chân đường cao hình chóp là trung điểm AB. b) Tính thể tích khối chóp. Trang 7
Bài 2: Cho hình chóp tam giác S.ABC có mặt bên SAB là tam giác cân tại S và măt đáy ABC là tam cân tại C nằm trong hai mặt phẳng vuông góc nhau. Cạnh AB = 2a, cạnh SC = a và tạo với mặt đáy một góc 600. Tính thể tích khối chóp. Bài 3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông có cạnh a. Mặt bên SAB là tam giác đều nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt đáy ABCD. Tính thể tích khối chóp S.ABCD. Bài 4: Cho tứ diện ABCD có ABC là tam giác đều, BCD là tam giác vuông cân tại D, (ABC)  (BCD) và AD hợp với (BCD) một góc 60o. Tính thể tích tứ diện ABCD. Bài 5: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B, có BC = a. Mặt bên SAC vuông góc với đáy, các mặt bên còn lại đều tạo với mặt đáy một góc 450. Tính thể tích khối chóp S.ABC. 2. Bài tập tự luyện: Bài 1: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC đều cạnh a, tam giác SBC cân tại S và nằm a3 3 trong mặt phẳng vuông góc với (ABC). Tính thể tích khối chóp SABC. (V = ) 24 Bài 2: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC vuông cân tại A với AB = AC = a, biết tam giác SAB cân tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với (ABC), mặt phẳng (SAC) hợp o a3 với (ABC) một góc 45 . Tính thể tích của S.ABC. (V = ) 12 Bài 3: Cho hình chóp S.ABC có góc BAC bằng 900, góc ABC bằng 300, SBC là tam a2 2 giác đều cạnh a và (SAB)  (ABC). Tính thể tích khối chóp SABC. (V = ) 24 Bài 4: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều, SBC có chiều cao SH = h và (SBC)  (ABC). Cho biết SB hợp với mặt phẳng (ABC) một góc 30o. Tính thể tích 4h 3 3 hình chóp S.ABC. (V = ) 9 Bài 5: Tứ diện ABCD có ABC và BCD là hai tam giác đều lần lượt nằm trong hai a3 6 mặt phẳng vuông góc với nhau biết AD = a. Tính thể tích tứ diện. (V = ) 36 Bài 6: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông. Mặt bên SAB là tam giác đều có chiều cao SH = h, nằm trong mặt phẳng vuông góc với (ABCD). Tính thể 4h 3 tích khối chóp. (V = ) 9 Bài 7: Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình chữ nhật, tam giác SAB đều cạnh a nằm trong mặt phẳng vuông góc với mp(ABCD) biết mp(SAC) hợp với mp(ABCD) một a3 3 góc 30o. Tính thể tích hình chóp S.ABCD. (V = ) 4 Trang 8
Bài 8: Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình chữ nhật có AB = 2a, BC = 4a, mp(SAB)  mp(ABCD), hai mặt bên (SBC) và (SAD) cùng hợp với mặt đáy ABCD một 8a 3 3 góc 30o. Tính thể tích hình chóp S.ABCD. (V = ). 9 Bài 9: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi với AC = 2BD = 2a và SAD vuông cân tại S nằm trong mặt phẳng vuông góc với mp(ABCD). Tính thể tích a3 5 hình chóp. (V = ) 12 Dạng 4: Tỷ số thể tích và ứng dụng 1. Bài tập rèn luyện: Bài 1: Cho tứ diên ABCD. Gọi B' và C' lần lượt là trung điểm của AB và AC. Tính tỉ số thể tích của khối tứ diện AB'C'D và khối tứ diên ABCD. Bài 2: Cho khối chóp tứ giác đều SABCD. Một mp ( ) qua A, B và trung điểm M của SC . Tính tỉ số thể tích của hai phần khối chóp bị phân chia bởi mặt phẳng đó. Bài 3: Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng a và chiều cao bằng h. Đường thẳng đi qua trọng tâm G của tam giác ABC cắt AB tại M, cắt AC tại N. a) Tính thể tích khối chóp S.ABC. b)Tính tỉ số thể tích giữa hai khối chóp S.AMn và S.ABC. c) Tính thể tích khối chóp S.MNCB. Bài 4: Cho tứ diện ABCD có thể tích 12 m3. Gọi M, P là trung điểm của AB và CD và lấy N trên AD sao cho DA = 3NA. Tính thể tích tứ diên BMNP. (V = 1 m3) Bài 5: Cho hình chóp S.ABC có đáy là ABC vuông cân ở B, AC = a 2 , SA = a và vuông góc với đáy. a) Tính thể tích của khối chóp S.ABC. b) Gọi G là trọng tâm tam giác ABC, mặt phẳng () qua AG và song song với BC cắt SC, SB lần lượt tại M, N. Tính thể tích của khối chóp S.AMN. Bài 6: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD, đáy là hình vuông cạnh a, cạnh bên tạo với đáy góc 600. Gọi M là trung điểm SC. Mặt phẳng đi qua AM và song song với BD cắt SB tại E, cắt SD tại F. a) Hãy xác định mp(AEMF). b) Tính thể tích khối chóp S.ABCD. c) Tính thể tích khối chóp S.AEMF. 2. Bài tập tự luyện: Bài 1: Cho tứ diên ABCD có thể tích 9m3, trên cạnh AB, AC, AD lần lượt lấy các điểm B', C', D' sao cho AB = 2AB'; 2AC = 3AD'; AD = 3AD'. Tính tể tích tứ diện AB'C'D'. (V = 2 m3) Trang 9
Bài 2: Cho tứ diện đều ABCD có cạnh a. Lần lượt lấy các điểm B', C' trên AB và AC a 2a a3 2 sao cho AB = , AC = . Tính thể tích tứ diên AB'C'D. (V = ) 2 3 36 Bài 3: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là  đều cạnh a 3 , đường cao SA = a. Một mặt phẳng đi qua điểm A và vuông góc với SB tại H và cắt SC tại K. Tính thể tích a3 3 hình chóp S.AHK. (V = ) 40 Bài 4: Cho hình chóp S.ABCD có thể tích bằng 27m3. Lấy A'trên SA sao cho SA = 3SA'. Mặt phẳng qua A' và song song với đáy hình chóp cắt SB, SC, SD lần lượt tại B', C', D'. Tính thể tích hình chóp S.A'B'C'D'. (V = 1 m3) Bài 5: Cho hình chóp S.ABCD có thể tích bằng 9m3, ABCD là hình bình hành , lấy M trên SA sao cho 2SA = 3SM. Mặt phẳng (MBC) cắt SD tại N.Tính thể tích khối đa diện ABCDMN. (V = 4 m3) Bài 6: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, chiều cao SA = h. Gọi N là trung điểm cạnh SC. Mặt phẳng chứa AN và song song với BD lần lượt cắt SB, SD tại a2h M và P. Tính thể tích khối chóp S.AMNP. (V = ) 9 Bài 7: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành và I là trung điểm của SC. Mặt phẳng qua AI và song song với BD chia hình chóp thành 2 phần. Tính tỉ số thể 1 tích 2 phần này. (k = ) 2 B. THỂ TÍCH LĂNG TRỤ Dạng 1: Khối lăng trụ đứng có chiều cao hay cạnh đáy 1. Bài tập rèn luyện: Bài 1: Đáy của lăng trụ đứng tam giác ABC.A’B’C’ là tam giác ABC vuông cân tại A có cạnh BC = a a 2 và biết A'B = 3a. Tính thể tích khối lăng trụ. Bài 2: Cho lăng trụ tứ giác đều ABCD.A’B’C’D' có cạnh bên bằng 4a và đường chéo 5a. Tính thể tích khối lăng trụ này. Bài 3: Đáy của lăng trụ đứng tam giác ABC.A’B’C’ là tam giác đều cạnh a = 4 và biết diện tích tam giác A’BC bằng 8. Tính thể tích khối lăng trụ. Bài 4: Một tấm bìa hình vuông có cạnh 44 cm, người ta cắt bỏ đi ở mỗi góc tấm bìa một hình vuông cạnh 12 cm rồi gấp lại thành một cái hộp chữ nhật không có nắp. Tính thể tích cái hộp này. Bài 5: Cho hình hộp đứng có đáy là hình thoi cạnh a và có góc nhọn bằng 600. Đường chéo lớn của đáy bằng đường chéo nhỏ của lăng trụ. Tính thể tích hình hộp . Trang 10
2. Bài tập tự luyện: Bài 1: Cho lăng trụ đứng có đáy là tam giác đều biết rằng tất cả các cạnh của lăng trụ a3 3 bằng a. Tính thể tích và tổng diện tích các mặt bên của lăng trụ. ( V  ; S = 3a2 ) 4 Bài 2: Cho lăng trụ đứng ABCD.A'B'C'D' có đáy là tứ giác đều cạnh a biết rằng BD'  a 6 . Tính thể tích của lăng trụ. (V = 2a3) Bài 3: Cho lăng trụ đứng tứ giác có đáy là hình thoi mà các đường chéo là 6 và 8 biết rằng chu vi đáy bằng 2 lần chiều cao lăng trụ.Tính thể tích và tổng diện tích các mặt của lăng trụ. (V = 240 và S = 248) Bài 4: Cho lăng trụ đứng tam giác có độ dài các cạnh đáy là 37cm ; 13cm ;30cm và biết tổng diện tích các mặt bên là 480 cm2. Tính thể tích lăng trụ. (V = 1080 cm3) Bài 5: Cho lăng trụ đứng tam giác ABC A'B'C' có đáy ABC là tam giác vuông cân tại A, biết rằng chiều cao lăng trụ là 3a và mặt bên AA'B'B có đường chéo là 5a. Tính thể tích lăng trụ. (V = 24a3) Bài 6: Cho lăng trụ đứng tứ giác đều có tất cả các cạnh bằng nhau và biết tổng diện tích các mặt của lăng trụ bằng 96 cm2 .Tính thể tích lăng trụ. (V = 64 cm3) Bài 7: Cho lăng trụ đứng tam giác có các cạnh đáy là 19, 20, 37 và chiều cao của khối lăng trụ bằng trung bình cộng các cạnh đáy. Tính thể tích của lăng trụ. (V = 2888) Bài 8: Cho khối lập phương có tổng diện tích các mặt bằng 24. Tính thể tích khối lập phương (V = 8) Bài 9: Cho hình hộp chữ nhật có 3 kích thước tỉ lệ thuận với 3, 4, 5 biết rằng độ dài một đường chéo của hình hộp là 1 m.Tính thể tích khối hộp chữ nhật. (V = 0,4 m3) Bài 10: Cho hình hộp chữ nhật biết rằng các đường chéo của các mặt lần lượt là 5, 10 , 13 . Tính thể tích khối hộp này. (V = 6) Dạng 2: Lăng trụ đứng có góc giữa đường thẳng và mặt phẳng 1. Bài tập rèn luyện: Bài 1: Cho lăng trụ đứng tam giác ABC A'B'C' có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B với BA = BC = a ,biết A'B hợp với đáy ABC một góc 600. Tính thể tích lăng trụ. Bài 2: Cho lăng trụ đứng tam giác ABC A'B'C' có đáy ABC là tam giác vuông tại A với AC = a , góc ACB = 60o biết BC' hợp với (AA'C'C) một góc 300. Tính AC' và thể tích lăng trụ. Bài 3: Cho lăng trụ đứng ABCD A'B'C'D' có đáy ABCD là hình vuông cạnh a và đường chéo BD' của lăng trụ hợp với đáy ABCD một góc 300. Tính thể tích và tổng diên tích của các mặt bên của lăng trụ. Bài 4: Cho hình hộp đứng ABCD A'B'C'D' có đáy ABCD là hình thoi cạnh a và góc BAD = 60o biết AB' hợp với đáy (ABCD) một góc 30o .Tính thể tích của hình hộp. Trang 11
2. Bài tập tự luyện: Bài 1: Cho lăng trụ đứng ABC A'B'C' có đáy ABC vuông cân tại B biết A'C = a và A'C a3 2 hợp với mặt bên (AA'B'B) một góc 30o. Tính thể tích lăng trụ. ( V  ) 16 Bài 2: Cho lăng trụ đứng ABC A'B'C' có đáy ABC vuông tại B biết BB' = AB = a và a3 3 B'C hợp với đáy (ABC) một góc 30o . Tính thể tích lăng trụ. ( V  ) 2 Bài 3: Cho lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có đáy ABC là tam giác đều cạnh a biết rằng cạnh AB' hợp với mặt bên (BCC'B') một góc 30o. Tính độ dài cạnh AB' và thể tích khối lăng a3 3 trụ. (AB' = a 3 ; V  ) 2 Bài 4: Cho lăng trụ đứng ABC A'B'C' có đáy ABC là tam giác vuông tại A biết AC = a và góc ACB = 600, cạnh BC' hợp với mặt bên (AA'C'C) một góc 30o. Tính thể tích lăng 3a 2 3 trụ và diện tích tam giác ABC'. ( V  a 3 6 , S = ) 2 Bài 5: Cho lăng trụ tam giác đều ABC.A'B'C' có khoảng cách từ A đến mặt phẳng 32 a 3 (A'BC) bằng a và AA' hợp với mp(A'BC) góc 300. Tính thể tích lăng trụ. ( V  ) 9 Bài 6: Cho hình hộp chữ nhật ABCD A'B'C'D' có đường chéo A'C = a và biết rằng A'C hợp với (ABCD) một góc 30o và hợp với (ABB'A') một góc 45o. Tính thể tích của khối a3 2 hộp chữ nhật. ( V  ) 8 Bài 7: Cho hình hộp đứng ABCD.A'B'C'D' có đáy ABCD là hình vuông tâm O và OA' = a .Tính thể tích của khối hộp khi: 2a 3 6 1) ABCD A'B'C'D' là khối lập phương. ( V  ) 9 a3 3 2) OA' hợp với đáy ABCD một góc 60 . ( V  o ) 4 4a 3 3 3) A'B hợp với (AA'CC') một góc 30o. ( V  ) 9 Bài 8: Cho lăng trụ đứng ABCD A'B'C'D' có đáy ABCD là hình vuông và BD' = a . Tính thể tích lăng trụ trong các trường hợp sau đây: a3 3 1) BD' hợp với đáy ABCD một góc 60o. ( V  ) 16 a3 2 2) BD' hợp với mặt bên (AA'D'D) một góc 30 . ( V  o ) 8 Trang 12
Bài 9: Chiều cao của lăng trụ tứ giác đều bằng a và góc của 2 đường chéo phát xuất từ một đỉnh của 2 mặt bên kề nhau là 60o. Tính thể tích lăng trụ và tổng diện tích các mặt của lăng trụ . ( V = a3 ; S = 6a2) Dạng 3: Lăng trụ đứng có góc giữa hai mặt phẳng 1. Bài tập rèn luyện: Bài 1: Cho lăng trụ đứng tam giác ABC.A'B'C' có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B với BA = BC = a ,biết (A'BC) hợp với đáy (ABC) một góc 600 .Tính thể tích lăng trụ. Bài 2: Đáy của lăng trụ đứng tam giác ABC.A’B’C’ là tam giác đều. Mặt (A’BC) tạo với đáy một góc 300 và diện tích tam giác A’BC bằng 8. Tính thể tích khối lăng trụ. Bài 3: Cho lăng trụ tứ giác đều ABCD.A'B'C'D' có cạnh đáy a và mặt phẳng (BDC') hợp với đáy (ABCD) một góc 60o.Tính thể tích khối hộp chữ nhật. Bài 4: Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A'B'C'D' có AA' = 2a ; mặt phẳng (A'BC) hợp với đáy (ABCD) một góc 60o và A'C hợp với đáy (ABCD) một góc 30o .Tính thể tích khối hộp chữ nhật. 2. Bài tập tự luyện: Bài 1: Cho hộp chữ nhật ABCD.A'B'C'D' có AA' = a biết đường chéo A'C hợp với đáy ABCD một góc 30o và mặt (A'BC) hợp với đáy ABCD một góc 600 . Tính thể tích hộp 2a 3 2 chữ nhật. ( V  ) 3 Bài 2: Cho lăng trụ đứng ABCD.A'B'C'D' có đáy ABCD là hình vuông và cạnh bên bằng a biết rằng mp(ABC'D') hợp với đáy một góc 30o.Tính thể tích khối lăng trụ. (V = 3a3) Bài 3: Cho lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có đáy ABC là  vuông cân tại B và AC = 2a biết rằng (A'BC) hợp với đáy ABC một góc 45o. Tính thể tích lăng trụ. ( V  a 3 2 ) Bài 4: Cho lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có đáy ABC là tam giác cân tại A với AB = AC = a và góc BAC bằng 1200, biết rằng (A'BC) hợp với đáy ABC một góc 45o. Tính thể tích a3 3 lăng trụ. ( V  ) 8 Bài 5: Cho lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có đáy ABC là  vuông tại B và BB' = AB = h h3 2 biết rằng (B'AC) hợp với đáy ABC một góc 60o. Tính thể tích lăng trụ. ( V  ) 4 Bài 6: Cho lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có đáy ABC đều biết cạnh bên AA' = a. Tính thể tích lăng trụ trong các trường hợp sau đây: 1) Mặt phẳng (A'BC) hợp với đáy ABC một góc 60o. ( V  a 3 3 ) a3 3 2) A'B hợp với đáy ABC một góc 45 . ( V  o ) 4 Trang 13
3) Chiều cao kẻ từ A' của A'BC bằng độ dài cạnh đáy của lăng trụ. ( V  a 3 3 ) Bài 7: Cho lăng trụ tứ giác đều ABCD A'B'C'D' có cạnh bên AA' = 2a .Tính thể tích lăng trụ trong các trường hợp sau đây: 1) Mặt (ACD') hợp với đáy ABCD một góc 45o. ( V  16a 3 ) 2) BD' hợp với đáy ABCD một góc 600. ( V  12a 3 ) 16 a 3 3) Khoảng cách từ D đến mặt (ACD') bằng a. ( V  ) 3 Bài 8: Cho lăng trụ đứng ABCD A'B'C'D' có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. Tính thể tích lăng trụ trong các trường hợp sau đây: a3 6 1) Mặt phẳng (BDC') hợp với đáy ABCD một góc 60 . ( V  o ) 2 2) Tam giác BDC' là tam giác đều. (V = a3) 3) AC' hợp với đáy ABCD một góc 450 . ( V  a 3 2 ) Bài 9: Cho lăng trụ đứng ABCD A'B'C'D' có đáy ABCD là hình thoi cạnh a và góc nhọn A = 600.Tính thể tích lăng trụ trong các trường hợp sau đây: 3a 3 3 1) Mặt phẳng (BDC') hợp với đáy ABCD một góc 60o. ( V  ) 4 a 3a 3 2 2) Khoảng cách từ C đến (BDC') bằng . ( V  ) 2 8 3a 3 3) AC' hợp với đáy ABCD một góc 450 . ( V  ) 2 Bài 10: Cho hình hộp chữ nhật ABCD A'B'C'D' có BD' = 5a, BD = 3a. Tính thể tích khối hộp trong các trường hợp sau đây: 1) AB = a. ( V  8a 3 2 ) 2) BD' hợp với AA'D'D một góc 30o. ( V  5a 3 11 ) 3) (ABD') hợp với đáy ABCD một góc 300. ( V  16a 3 ) Dạng 4: Khối lăng trụ xiên 1. Bài tập rèn luyện: Bài 1: Cho lăng trụ xiên tam giác ABC.A'B'C' có đáy ABC là tam giác đều cạnh a , biết cạnh bên là a 3 và hợp với đáy ABC một góc 60o.Tính thể tích lăng trụ. Bài 2: Cho lăng trụ xiên tam giác ABC.A'B'C' có đáy ABC là tam giác đều cạnh a . Hình chiếu của A' xuống (ABC) là tâm O đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC biết AA' hợp với đáy ABC một góc 600. 1) Chứng minh rằng BB'C'C là hình chữ nhật. 2) Tính thể tích lăng trụ . Trang 14
Bài 3: Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ có đáy là hình chữ nhật với cạnh AB = 3 , AD = 7 . Hai mặt bên (ABB’A’) và (ADD’A’) lần lượt tạo với đáy những góc 450 và 600 . Tính thể tích khối hộp nếu biết cạnh bên bằng 1. 2. Bài tập tự luyện: Bài 1: Cho lăng trụ ABCD.A'B'C'D'có đáy ABCD là hình vuông cạnh a và biết cạnh bên bằng 8 hợp với đáy ABC một góc 30o.Tính thể tích lăng trụ. (V = 336) Bài 2: Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D'có AB = a; AD = b; AA' = c, góc BAD bằng 300 và abc 3 cạnh bên AA' hợp với đáy ABC một góc 60o.Tính thể tích lăng trụ. (V = ) 4 Bài 3: Cho lăng trụ tam giác ABC.A'B'C' có đáy ABC là tam giác đều cạnh a và điểm A' 2a 3 a3 3 cách đều A, B, C biết AA' = . Tính thể tích lăng trụ. (V = ) 3 4 Bài 4: Cho lăng trụ ABC.A'B'C' có đáy ABC là tam giác đều cạnh a , đỉnh A' có hình chiếu trên (ABC) nằm trên đường cao AH của tam giác ABC biết mặt bên (BB'C'C) hợp với đáy (ABC) một góc 60o . 1) Chứng minh rằng BB'C'C là hình chữ nhật. 3a 3 3 2) Tính thể tích lăng trụ. (V = ) 8 Bài 5: Cho lăng trụ ABC.A'B'C' có đáy ABC là tam giác đều cạnh a biết chân đường vuông góc hạ từ A' trên ABC trùng với trung điểm của BC và AA' = a. 1) Tìm góc hợp bởi cạnh bên với đáy lăng trụ. (300) a3 3 2) Tính thể tích lăng trụ. (V = ) 8 Bài 6: Cho lăng trụ xiên ABC.A'B'C' có đáy ABC là tam giác đều với tâm O. Hình chiếu của C' trên (ABC) là O.Tính thể tích của lăng trụ biết rằng khoảng cách từ O đến CC' là a o 27 a 3 và 2 mặt bên (AA'C'C) và (BB'C'C) hợp với nhau một góc 90 . (V = ) 4 2 Bài 7: Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D' có 6 mặt là hình thoi cạnh a, hình chiếu vuông góc của A' trên(ABCD) nằm trong hình thoi,các cạnh xuất phát từ A của hộp đôi một tạo với nhau một góc 60o . 1) Chứng minh rằng H nằm trên đường chéo AC của ABCD. 2) Tính diện tích các mặt chéo ACC'A' và BDD'B'. ( SACC'A'  a 2 2;SBDD'B'  a 2 ) a3 2 3) Tính thể tích của hộp. (V = ) 2 Trang 15
VẤN ĐỀ 2: PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN 1. Hệ tọa độ Oxyz: 1.1. Tọa độ vectơ và tọa độ điểm trong hệ trục Oxyz:     M(x; y; z)  OM = (x; y; z)  OM  xi  yj  xk .       a  (a1 , a2 , a3 )  a  a1i  a2 j  a3 k      0  (0; 0; 0) , O(0; 0; 0), i  (1; 0; 0) , j  (0; 1; 0) , k  (0; 0; 1) . 1.2. Các công thức cơ bản:   a) Trong không gian Oxyz cho hai vectơ a  (a1 ; a2 ; a3 ) , b  (b1 ; b2 ; b3 ) . Ta có:    a  b  (a1  b1 ; a2  b2 ; a3  b3 ) ,    a  b  (a1  b1 ; a2  b2 ; a3  b3 ) ,   ka  (ka1 ; ka2 ; ka3 ) , k  R.  a1  b1      a  b  a 2  b2 . a  b  3 3  a  kb      1 1   Với b  0 thì a cùng phương b  k  R sao cho a2  kb2 .  a  kb  3 3   a.b  a1.b1  a2 .b2  a3 .b3 .   a  a12  a2  a3 . 2 2    Gọi  là góc giữa hai vectơ a, b , ta có:   a1b1  a2 b2  a3b3 cos = cos(a, b )  . a12  a2  a3 . b12  b2  b3 2 2 2 2    * Chú ý: a  b  a.b  0  a1b1  a2b2  a3b3  0 b) Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A(xA; yA; zA), B(xB; yB; zB), ta có:  AB  ( xB  x A ; y B  y A ; z B  z A ) . x A  xB y A  y B z A  z B  Tọa độ trung điểm M của AB là M( ; ; ). 2 2 2 AB = AB  ( x B  x A ) 2  ( y B  y A ) 2  ( z B  x A ) 2 Trang 16
1.3. Tích có hướng của hai vectơ và ứng dụng: a) Tích có hướng của hai vectơ:   Trong không gian Oxyz, cho hai vectơ a  (a1; a2 ; a3 ), b  (b1; b2 ; b3 ), khi đó:   a2 a3 a3 a1 a1 a2  n = b ; ;  = (a2b3 - b2a3; a3b1 - b3a1; a1b2 - b1a2)  2 b3 b3 b1 b1 b2           là một vectơ vuông góc với cả hai vectơ a và b . Kí hiệu n  a  b hoặc n  [a, b ] gọi là   tích có hướng của hai vectơ a, b . b) Ứng dụng:      c  a  Cho hai vectơ không cùng phương a , b và c thỏa mãn   c  b      c cùng phương với n  a  b .       Vectơ a cùng phương b  a  b  0 .        Ba vectơ a , b , c đồng phẳng  [a, b ].c = 0.  Diện tích hình bình hành ABCD: S ABCD  AB  AC 1  Diện tích tam giác ABC: S ABC  AB  AC 2  Ba điểm A, B, C thẳng hàng  AB, AC cùng phương   AB  AC  0  Bốn điểm A, B, C, D đồng phẳng  AB, AC, AD đồng phẳng  [ AB, AC ]. AD  0 BÀI TẬP    Bài 1: Trong không gian Oxyz cho ba vectơ a = (2; -1; 2), b = (3; 0; 1), c = (-4; 1; -1).   Tìm tọa độ và độ dài của các vectơ m và n biết rằng:         a) m = 3 a - 2 b + c . b) n = 2 a + b + 4 c .    Bài 2: Cho ba vectơ a = ( 2;1 ; 0 ), b = ( 1; -1; 2) , c = (2 ; 2; -1 ).     a) Tìm tọa độ của vectơ: u  4a  2b  3c .     b) Hãy biểu diễn vectơ w = (3; 7; -7) theo ba vectơ a, b , c . Trang 17
  Bài 3: Tính tích vô hướng của hai vectơ a , b trong không gian với các tọa độ đã cho là:     a) a = (1; -5; 2), b = (4; 3; -5); b) a = (0; 2 , 3 ), b  (1; 3; 2 ) . Bài 4: Tính khoảng cách giữa hai điểm A, B trong mỗi trường hợp sau: a) A(4; -1; 1), B(2; 1; 0); b) A(2; 3; 4), B(6; 0; 4). Bài 5: Cho hai bộ ba điểm: A(1; 3; 1), B(0; 1; 2), C(0; 0; 1) và M(1; 1; 1), N(-4; 3; 1), P(-9; 5; 1). Hỏi bộ ba điểm nào lập thành một tam giác. Bài 6: Cho tam giác ABC có A(1; 2; -1), B(2; -1; 2), C(-4; 7; 5). a) Tìm tọa độ trọng tâm tam giác ABC. b) Tìm tọa độ đỉnh D của hình bình hành ABCD. Bài 7: Trong không gian Oxyz, cho ba điểm A(2; -1; 3), B(4; 0; 1), C(-10; 5; 3). a) Chứng minh rằng: A, B, C là ba đỉnh của một tam giác. b) Tìm tọa độ đỉnh D để tứ giác ABDC là hình bình hành. c) Tìm m và n để điểm M(2m - 1; 2; n + 2) thẳng hàng với A và C. d) Tìm độ dài đường cao của tam giác ABC hạ từ đỉnh A. 2. Mặt cầu: 2.1. Mặt cầu: Tập hợp những điểm M trong M không gian cách điểm O cố định một khoảng không đổi bằng r (r > 0) được gọi r là mặt cầu tâm O bán kính r. O  Mặt cầu tâm O, bán kính r được kí hiệu: S(O; r) hay viết tắt là (S).  Ta có: S(O; r) = {M  OM = r} Hình biểu diễn của mặt cầu daây cung  Nếu hai điểm CD nằm trên mặt cầu S(O; r) thì đoạn thẳng CD được gọi là dây cung của mặt cầu đó. C D  Dây cung AB đi qua tâm O được O B r gọi là một đường kính của mặt cầu. Khi A đó độ dài đường kính bằng 2r. ñöôøng kính 2.2. Giao của mặt cầu và mặt phẳng: Cho mặt cầu (S) tâm O, bán kính r và mặt phẳng (P). Ta có: Trang 18
Mặt cầu (S) và mp(P) không có điểm chung Mặt cầu (S) và mp(P) có 1 điểm chung (mặt phẳng (P) tiếp xúc với mặt cầu (S)) O O r r H H P P (P)  S(O; r) = {H}  d(O, (P)) = r (P)S(O; r) =   d(O, (P)) > r Khi đó: (P) gọi là tiếp diện của mặt cầu (S), H gọi tiếp điểm Mặt phẳng (P) cắt mặt cầu (S) theo giao Mặt phẳng (P) đi qua tâm O của mặt cầu tuyến là đường tròn (C) tâm H, bán kính r' ñöôøng troøn lôùn O O r r C(O; r) P M r' H P Khi đó giao tuyến của mp(P) và S(O; r) là (P)  S(O; r) = C(H, r')  d(O, (P)) < r đường tròn C(O; r) gọi là đường tròn lớn.  Tâm H là hình chiếu của O trên mp(P)  Bán kính r' = r 2  [d (O, ( P))] 2 2.3. Giao của mặt cầu và đường thẳng, tiếp tuyến của mặt cầu: Cho mặt cầu (S) tâm O, bán kính r và đường thẳng . Ta có: Đường thẳng  không cắt mặt cầu (S) Đường thẳng  cắt mặt cầu (S) tại 2 điểm  O r O H H  N M P P   S(O; r) =   d(O, )) > r   S(O; r) = {M; N}  d(O, )) < r Trang 19
Đường thẳng  tiếp xúc mặt cầu (S) tại H O r  H P Khi đó:  gọi là tiếp tuyến của mặt cầu (S), H gọi là tiếp điểm. 2.4. Phương trình mặt cầu: Trong không gian Oxyz, mặt cầu (S) tâm I(a; b; c) bán kính r có phương trình là: (x - a)2 + (y - b)2 + (z - c)2 = r2 * Nhận xét: Phương trình dạng x2 + y2 + z2 + 2Ax + 2By + 2Cz + D = 0 là phương trình mặt cầu khi thỏa A2 + B2 + C2 - D > 0, lúc đó mặt cầu có tâm I(-A; -B; -C) và bán kính r = A2  B 2  C 2  D . BÀI TẬP Bài 1: Xác định tọa độ của tâm và bán kính của các mặt cầu có phương trình sau đây: 2 2 2 a) x  y  z  4x  8y  2z  4  0 ; b)  x 2  y 2  z 2  4x  2y  5z  7  0 ; c) 3x2  3y2  3z2  6x  3y  9z  3  0 . Bài 2: Viết phương trình mặt cầu: a) Tâm I(2; 1; -1), bán kính R = 4; b) Đi qua điểm A(2; 1; -3) và tâm I(3; -2; -1); c) Đường kính AB với A(-1; 2; 3), B(3; 2; -7); d) Đi qua điểm bốn điểm O, A(2; 2; 3), B(1; 2; -4), C(1; -3; -1); e) Đi qua điểm A(1; 3; 0) ,B(1; 1; 0) và tâm I thuộc 0x; f) Tâm I(2; 1; 3) và tiếp xúc với mp(P): 2x - 2y + z - 16 = 0; g) Qua 3 điểm A(1; 2; 4), B(1; 3; 1), C(2; 2; 3) và có tâm thuộc mp(Oxy). 3. Phương trình mặt phẳng: 2.1. Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng:   Cho mặt phẳng (). Nếu vectơ n khác 0 và  có giá vuông góc với mặt phẳng () thì n được gọi n là vectơ pháp tuyến của mp(). * Chú ý:  i) Nếu n là một vectơ pháp tuyến của    mp() thì n1  kn, (k  0) cũng là một vectơ pháp tuyến của mp(). Trang 20