XÁC SUẤT THỐNG KÊ - ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN, VECTO NGẪU NHIÊN

Chia sẻ: Nguyễn Hoàng Thiện | Ngày: | Loại File: PPT | Số trang:43

Thêm vào BST

Báo xấu

432
lượt xem 81
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Khái niệm: Đại lượng ngẫu nhiên là đại lượng có thể ngẫu nhiên nhận một số giá trị với xác suất tương ứng xác định. Đại lượng ngẫu nhiên là rời rạc nếu số các giá trị của nó là hữu hạn hoặc vô hạn đếm được Đại lượng ngẫu nhiên là liên tục nếu tập hợp tất cả các giá trị có thể có của nó lấp đầy ít nhất 1 khoảng trên trục số.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: XÁC SUẤT THỐNG KÊ - ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN, VECTO NGẪU NHIÊN

Chương 2: Đại lượng ngẫu nhiên, vectơ ngẫu nhiên §1: Đại lượng ngẫu nhiên • Khái niệm: Đại lượng ngẫu nhiên là đại lượng có thể ngẫu nhiên nhận một số giá trị với xác suất tương ứng xác định. • Đại lượng ngẫu nhiên là rời rạc nếu số các giá trị của nó là hữu hạn hoặc vô hạn đếm được • Đại lượng ngẫu nhiên là liên tục nếu tập hợp tất cả các giá trị có thể có của nó lấp đầy ít nhất 1 khoảng trên trục số. Khoa Khoa Học và Máy Tính Xác Suất Thống Kê. Chương 2 1 @Copyright 2010
§2: Các phương pháp mô tả đại lượng ngẫu nhiên 1. Bảng phân phối xác suất (chỉ dùng cho rời rạc) Ρ ( Χ = xi ) = pi , i = 1, 2,3,...k Định nghĩa 2.1: (…) vô hạn ( ...) x1 x2 ... xk Χ ⇔ ( ...) Ρx p1 p2 ... pk ∑p =1 Chú ý: i i • Ví dụ 2.1: 1 người bắn lần lượt từng viên đạn vào bia với xác suất trúng đích của mỗi viên là p, cho đến khi trúng thì dừng. Hãy lập bảng phân phối xác suất của số đạn đã bắn ra cho đến khi dừng lại Χ 1 2 3 ... k ... ... q k −1 p... Ρx p qp q 2 p Khoa Khoa Học và Máy Tính Xác Suất Thống Kê. Chương 2 2 @Copyright 2010
Ví dụ 2.2: đề bài giống bài trên điều kiện ngừng là bắn trúng thì ngừng hoặc bắn hết 20 viên thì ngừng Χ 1 2 3. . . 19 20 Ρx pq 2 .. . pq18 q19 p pq 2. Hàm phân phối xác suất(rời rạc và liên tục): • Định nghĩa 2.2: hàm phân phối xác suất của đại lượng ngẫu FX ( x ) = F ( x ) = Ρ ( X < x ) nhiên X là: Tính chất: 1.F(x) là hàm không giảm các t/c đặc trưng 2. F ( − ∞ ) = 0, F ( + ∞ ) = 1 3. Ρ( a ≤ X < b ) = FX ( b ) − FX ( a ) ( x) Hệ quả 1: Nếu X là đại lượng ngẫu nhiên liên tục thì FX liên tục trên toàn trục số Khoa Khoa Học và Máy Tính Xác Suất Thống Kê. Chương 2 3 @Copyright 2010
Ρ( X = x0 ) = 0, ∀x0 • Hệ quả 2: Nếu X liên tục thì Chú ý: Trong trường hợp liên tục sự thay đổi tại 1 điểm không có ý nghĩa Hệ quả 3: Giả sử X rời rạc và có bảng phân phối xác suất như trên.Khi ấy FX ( x ) = ∑ pi xi < x Χ 2x57 • Ví dụ 2.3: Ρ 0,1 0,5 0, 4 x≤ 2 0 nếu  0,1 2< x≤ 5  nếu ⇒ FX ( x ) =  5< x≤ 7  0,6 nếu 1 7< x nếu  Khoa Khoa Học và Máy Tính Xác Suất Thống Kê. Chương 2 4 @Copyright 2010
Chú ý: Hàm phân phối FX ( x ) = 0 bên trái miền giá trị của X và FX ( x ) = 1 bên phải miền giá trị của X. • 3.Hàm mật độ xác suất(chỉ dùng cho đại lượng ngẫu nhiên liên tục) • Định nghĩa 2.3: Hàm mật độ xác suất của đại lượng ngẫu nhiên X liên tục là: f X ( x ) = f ( x ) =  FX ( x )  x /   x • Định lý 2.1: FX ( x ) = ∫ f X ( t ) dt −∞ ( 1) f ( x) ≥ 0  • Tính chất:  +∞  t/c đặc trưng ( 2 ) ∫ f ( x) dx = 1  −∞ b (3) P ( a < X < b) = ∫ f X ( x ).dx a Khoa Khoa Học và Máy Tính Xác Suất Thống Kê. Chương 2 5 @Copyright 2010
Chú ý: Hàm mật độ f X ( x ) = 0 bên ngoài mi ền giá tr ị của X.  a cos 2 x, x ∈ [ 0, π / 2] • Ví dụ 2.4:  X : f ( x) =  x ∉ [ 0, π / 2]  0,  • 1.Xác định a • π /2 π /2 +∞ a ∫ ( 1 + cos2x ) d x 1 = ∫ f (x )d x = ∫ a cos xd x = 2 → 2 −∞ 0 0 a sin2x  π /2 a π 4 = x + = . ⇒a= ÷ π 2 2 0 22 Khoa Khoa Học và Máy Tính Xác Suất Thống Kê. Chương 2 6 @Copyright 2010
2. Hãy tìm hàm phân phối FX ( x )  0 , neá x < 0 u x 2 sin 2x  x π 4 2 () () FX x = ∫ f t d t =  ∫ cos td t =  x + ÷ , neá 0 ≤ x ≤ u 0π π 2 2 −∞  1 , neá x > π / 2 u  3. Hãy tính xác suất để X nhận giá trị trong khoảng: ( −π / 4, π / 4 ) Ρ ( −π / 4 < X < π / 4 ) = F ( π / 4 ) − F ( −π / 4 ) π /4 π /4 Ρ ( −π / 4 < X < π / 4 ) = f ( x ) dx = ∫ ∫ (4 / π ) cos 2 xdx − π /4 0 Khoa Khoa Học và Máy Tính Xác Suất Thống Kê. Chương 2 7 @Copyright 2010
• Ví dụ 2.5: Hai cầu thủ bóng rổ lần lượt ném bóng vào rổ cho đến chừng nào 1 người ném lọt rổ thì thôi. Lập dãy phân phối của số lần ném của mỗi người và tổng số bóng của cả 2 người nếu xác suất lọt rổ của người thứ nhất, thứ hai là p1, p2 . • Giải: Gọi q1 , q2 là xác suất ném trượt bóng của người 1,2 • X là số bóng của người thứ 1 • Y là số bóng của người thứ 2 • Z là tông số bong cua cả 2 người ̉ ́ ̉ Khoa Khoa Học và Máy Tính Xác Suất Thống Kê. Chương 2 8 @Copyright 2010
1 2 ... k .. . X q1q2 ( p1 + q1 p2 ) ..... q1k −1q2 −1 ( p1 + q1 p2 ) p1 + q1 p2 k ... Ρ X Y 0 1 2 ... k ... q1q2  q1 ( p2 + q2 p1 )  . . . q1k −1q2 −1 [ ....] . . . q1 ( p2 + q2 p1 ) k ΡY p1   2k − 1 2k Z q1k −1q2 −1 p1 q1k q2 −1 p2 k = 1, 2,... k k , Ρ Z Xác Suất Thống Kê. Chương 2 Khoa Khoa Học và Máy Tính 9 @Copyright 2010
§3: Véc tơ ngẫu nhiên I. Vectơ ngẫu nhiên Giả sử X 1 , X 2 ,..., X n là các đ ại l ượng ng ẫu nhiên đ ược xác định bởi kết quả của cùng 1 phép thử. Khi ấyX = ( X 1 , X 2 ,..., X n ) được gọi là một vectơ ngẫu nhiên n chiều II. Véctơ ngẫu nhiên rời rạc 2 chiều(X,Y). 1. Bảng phân phối xác suất đồng thời: Ρ ( Χ = xi , Y = y j ) = pij , i = 1, k ; j = 1, h Khoa Khoa Học và Máy Tính Xác Suất Thống Kê. Chương 2 10 @Copyright 2010
y Y y1 y2 … yh Px X x1 P11 P12 P1h P1 x2 P21 P22 P2h P2 x … xk Pk1 Pk2 Pkh Pk PY q1 q2 qh 1 Khoa Khoa Học và Máy Tính Xác Suất Thống Kê. Chương 2 11 @Copyright 2010
2. Bảng phân phối xác suất lề của X và Y h pi =Ρ( Χ= xi ) =∑ ij , i =1, k p j=1 k q j =Ρ( Y = y j ) =∑ ij , j =1, h p i=1 3. Điều kiện độc lập của X và Y Định lý 3.1: X,Y độc lập ⇔ ∀i, j : pij = pi .q j 4. Các bảng phân phối xác suất có điều kiện. pij ΡX = i / Y = j ) = ,i = k ( x y 1, qj pij Ρ =j / X = i) = ,j= h (Y y x 1, pi Khoa Khoa Học và Máy Tính Xác Suất Thống Kê. Chương 2 12 @Copyright 2010
5.Hàm phân phối xác suất đồng thời(rời rạc và liên tục) F ( x, y ) = Ρ ( X < x , Y < y ) Định nghĩa 3.1: Tính chất: (1) F ( x, y ) là một hàm không giảm theo t ừng bi ến (2) F (−∞ , −∞ ) = 0, F (+∞ , +∞ ) = 1 (3) Ρ (a ≤ X < b, c ≤ Y < d ) = F (a, c) + F (b, d ) − F (a, d ) − F (b, c ) Hệ quả:(1)Nếu X,Y liên tục thì F(x,y) liên tục trên toàn b ộ mặt phẳng. (2)Giả sử X,Y rời rạc và có bảng phân phôi xác suất nh ư ́ F ( x, y ) = ∑ ij trên, khi ấy ta có: p xi
Ví dụ 3.1: Giả sử x,y có bảng phân phối xác suất sau: y Y 3 5 ΡX X x 0 0,1 0,2 0,3 2 0,3 0,4 0,7 0,4 0.6 1 Ρ Y Khoa Khoa Học và Máy Tính Xác Suất Thống Kê. Chương 2 14 @Copyright 2010
. X 02 (1)Tim bang phân phôi xac suât lề cua X: ̀ ̉ ́ ́ ́ ̉ P X 0,3 0,7 (2) Hãy kiểm tra tính độc lập của X và Y 0,1 ≠ 0,3.0, 4 ⇒ X , Y là phụ thuộc X 0 2 ̀ ̉ ́ ̉ (3)Tim bang phân phôi cua X khi Y=5: 0.2 0.4 ̀ ̀ ́ (4)Tim ham phân phôi: P X / Y =5 0.6 0.6 x ≤ 0∨ y ≤ 3 0, 0.1, 0 < x ≤ 2,3 < y ≤ 5   F ( x, y ) = 0.1 + 0.2, 0 < x ≤ 2,5 < y 0.1 + 0.3, 2 < x,3 < y ≤ 5  1,  2 < x,5 < y Khoa Khoa Học và Máy Tính Xác Suất Thống Kê. Chương 2 15 @Copyright 2010
III. Véc tơ ngẫu nhiên liên tục 2 chiều (X,Y) 1.Hàm phân phối xác suất đồng thời F(x,y) 2.Hàm mật độ xác suất đồng thời: Định nghĩa 3.2: ∂ F ( x, y ) 2 f ( x, y ) = ∂∂ xy Định lý 3.2: x y F ( x, y ) = ∫ ∫ f ( u , v ) dudv 1 2 −∞ 44 3 −∞ Dxy Khoa Khoa Học và Máy Tính Xác Suất Thống Kê. Chương 2 16 @Copyright 2010
HÌNH 3.1 Khoa Khoa Học và Máy Tính Xác Suất Thống Kê. Chương 2 17 @Copyright 2010
Tính chất: (1) f ( x, y ) ≥0   TCDT (2) ∫ f ( x, y ) dxdy =1 ∫   R2 (3) Ρ ( ( x, y ) ∈ D ) = ∫∫ f ( x, y ) dxdy D 3. Các hàm mật độ xác suất lề. +∞ ( x ) =∫ ∞ ( x, y ) dy fX f − +∞ ( y ) =∫ ∞ ( x, y ) dx fY f − Khoa Khoa Học và Máy Tính Xác Suất Thống Kê. Chương 2 18 @Copyright 2010
.Chú ý : Các hàm phân phối xác suất lề: ( x ) = ( x, + ) ∞ FX F ( y ) = (+ , y ) ∞ F F Y 4.Điều kiện độc lập của X và Y X,Y độc lập ⇔ f ( x, y ) = f X ( x ) . fY ( y ) ⇔ F ( x, y ) = FX ( x ) .FY ( y ) 5.Các hàm mật độ xác suất có điều kiện: ( x , y0 ) f f X /Y = 0 ( x ) = f Y ( y0 ) y f ( x0 , y ) ( y) = fY / X = 0 f X ( x0 ) x Khoa Khoa Học và Máy Tính Xác Suất Thống Kê. Chương 2 19 @Copyright 2010
Ví dụ 3.2: Cho  6 44 7 4 48 Ω a .e −x −y , neá 0 ≤ < ∞ f ( x, y ) =  u ≤x y + 0 , neá traù laï . u i i  1.Xác định tham số a. +∞ +∞ ( x, y ) dxdy = a ∫ 1 = ∫∫ f dx ∫ −x −y e dy 0 x 2 R a +∞ =a ∫ −x dx = ⇒a = 2 2 e 2 0 Khoa Khoa Học và Máy Tính Xác Suất Thống Kê. Chương 2 20 @Copyright 2010