1
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
HẢI DƯƠNG
KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH
LỚP 12 THPT NĂM HỌC 2012 – 2013
MÔN THI: TOÁN
Thời gian làm bài: 180 phút
Ngày thi: 29 tháng 10 năm 2012
(Đề thi gồm 01 trang)
Câu I ( 2,0 điểm).
1) Cho hàm số 3 2
3 2
y x x mx
. Tìm
m
để hàm số đồng biến trên
(2; )

.
2) Cho hàm số 3 4
y sinx cosx mx
. Tìm m để hàm số đạt cực tiểu tại
2
x
.
Câu II (2,0 điểm).
1) Tìm tọa độ giao điểm của đồ thị hàm số 2 2 2
3 3
1
4 4
x x
y cos x sin cosx sin với trục hoành.
2) Giải hệ phương trình
3 3
3 ( 1) 9( 1)
1 1 1
x x y y
x y
.
Câu III (2,0 điểm).
1) Rút gọn biểu thức
1 2 2 2 3 3 4 2010 2011 2011 2012
2012 2012 2012 2012 2012 2012
3 4 ... .
2 .2 .2 2011.2 2012.2A C C C C C C
2) Chứng
minh bất đẳng thức
3
2
sinx
cos x
x
với mọi
0;
2
x
.
Câu IV ( 3,0 điểm).
Cho hình chóp đều S.ABC có SA=a. Gọi D, E lần lượt là trung điểm của SA, SC.
1) Tính thể tích khối chóp S.ABC theo a, biết BD vuông góc với AE.
2) Gọi G là trọng tâm tam giác SBC, mặt phẳng (P) đi qua AG cắt các cạnh SB, SC lần lượt tại M, N.
Gọi V1, V lần lượt là thể tích khối chóp S.AMN và S.ABC. Tìm giá trị lớn nhất của
1
V
V
.
Câu V (1,0 điểm).
Cho
; ;
abc
là các số thực dương thay đổi. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
2 2 2
2 2 2
( ) ( ) ( )
Pa b c
a b b c c a
.
……………………Hết………………….
Họ và tên thí sinh:……….............………………….Số báo danh:…………….........
Chữ ký của giám thị 1:………………….Chữ ký của giám thị 2:……………………
ĐỀ CHÍNH THỨC
2
HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN TOÁN
Câu Nội dung điểm
I1: (1,0) 1) Cho hàm số 3 2
y = x - 3x + mx + 2
. Tìm m để hàm số đồng biến trên (2;+
).
TXĐ:D=
฀
y’=3x2-6x+m
0,25
y”=6x-6; y”=0<=>x=1
bảng biến thiên
m
+ ++
+
2
y'
y"
x
0,25
Từ bảng biến thiên =>nếu hàm số đông biến trên (2;+
) =>y’
0 2 0
x m
0,25
ngược lại ta thấy
0
m
' 0 2
y x
hàm số đồng biến trên (2;+
)
KL:
0
m
0,25
I2:(1,0) 2) Cho hàm số
3sin 4 .
y x cosx mx
Tìm m để hàm số đạt cực tiểu tại x=
2
.
TXĐ:D=
฀
y’= 3cosx+4sinx+m(
x
)
0,25
Nếu hàm số đạt cực tiểu tại x =
2
=> y’(
2
) = 0<=>m=-4 0,25
Ngược lại: nếu m = - 4 => y’ = 3cosx + 4sinx – 4; y’(
2
) = 0;y’’= -3sinx + 4cosx 0,25
=>y’’(
2
)=-3<0 nên hàm số đạt cực đại tại x=
2
=> m=-4 loại
0,25
II1:(1,0) 3) Tìm tọa độ giao điểm của đồ thị hàm số 2 2 2
3 3
. 1
4 4
x x
y cos x sin cosx sin v
ới trục
hoành.
Hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số 2 2 2
3 3
. 1
4 4
x x
y cos x sin cosx sin v
ới trục
hoành là nghiệm phương trình 2 2 2
3 3
. 1 0
4 4
x x
cos x sin cosx sin
2 2 2
3 3
os x-1-sin (1 ) 0 (1 )( osx-1-sin ) 0
4 4
x x
c cosx cosx c
0,25
TH1:
cos -1 2 ( )
x x k k Z
0,25
TH2: 2
3
osx=1+sin
4
x
c Do 2 2
1 1
(2)
3 3
1 sin 1 1 sin 1
4 4
cosx x cosx
x x
x
2
osx=1
3
sin 0
4
c
x
0,25
3
2
4
4
3
x k
x m
l
x
(m
฀
) . KL:
( 2 ;0), ( 4 ;0) ( , )
k m
A k B m k m
฀
0,25
II2:(1,0)
4) Giải hệ phương trình
3 3
3 ( 1) 9( 1) (1)
1 1 1 (2)
x x y y
x y
.
Điều kiện :
, 1
x y
;Từ (2)
1 1 0 2
y y
0, 25
3 3
(1) 3 ( 1) 3. 1 (3)
x x y y
Xét hàm số f(x)=3x2-3
0 1; ( ) 0 1 [1;+ )
x f x x
=> f(x) đồng biến trên
[1;+ )
mà
0,25
(3) có
( ) ( 1)
, 1 [1;+ )
f x f y
x y
nên
(3) 1
x y
0,25
Với
1
x y
thay vào (2) giải được x=1và x=2
1 2
,
2 5
x x
y y
0,25
III1:(1,0) 1) Rút gọn biểu thức
1 2 2 2 3 3 4 2010 2011 2011 2012
2012 2012 2012 2012 2012 2012
2 3.2 4.2 ... 2011.2 2012.2A C C C C C C .
2012 0 1 2 2 2012 2012
2012 2012 2012 2012 2012
1 ... .... (1)
k k
x C xC x C x C x C
( )
x
0,25
Đạo hàm 2 vế của (1) ta có
2011 1 2 1 2011 2012
2012 2012 2012 2012
2012 1 2 ... .... 2012 (2)
k k
x C xC kx C x C
( )
x
0,25
Chọn x=-2 thay vào (2)
2011 1 2 1 2011 2012
2012 2012 2012 2012
2012 1 2 2( 2) ... ( 2) .... 2012( 2) (2)
k k
C C k C C
0,25
1 2 2 2 3 3 4 2010 2011 2011 2012
2012 2012 2012 2012 2012 2012
2012 2 3.2 4.2 ... 2011.2 2012.2 2012
C C C C C C A 0,25
III2:(1,0)
Chứng minh bất đẳng thức:
3
2
sinx
os
x
c x
với mọi
0;
2
x
.
2
(0; ) 0 1
2
x cosx cosx cos x
.Ta chứng minh
3
sinx
os (0; ) (1)
x 2
c x x
0,25
3 1 3 3 1 3
(1) sin . (0; ) sin . 0 (0; )
2 2
x cos x x x x cos x x x
Xét 3 1 3
( ) sin . ( [0; ))
2
f x x cos x x x
;
2 2 4 2
'( ) 3sin sin 3
f x x cos x x x
3 5 1 3
2 4 6 2 4
''( ) 3sin 2 2 sin 4 sin 6
'''( ) 6sin 6 sin 14 sin 0 ; '''( ) 0 0 [0; )
2
f x x cos x x cos x x x
f x x cos x x cos x x x f x x
0,25
=>f’’(x) đồng biến trên [0;
2
) nên
[0; )
2
x
ta có
''( ) ''(0) 0
f x f
=>f’(x) đồng biến trên [0;
2
) nên
[0; )
2
x
ta có
'( ) '(0) 0
f x f
0,25
=>f(x) đồng biến trên [0;
2
) nên
(0; )
2
x
ta có
( ) (0) 0
f x f
3 1 3
sin . 0 (0; )
2
x cos x x x
0,25
4
IV1:(1,5) Gọi I là trung điểm SE => DI là đường trung bình của tam
giác SAE =>DI//AE và DI=AE/2. do BD
AE nên BD
DI
0,25
Đăt x=AB theo công thức đường trung tuyến trong tam giác SAB ta
có
2 2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 1
( )
2 4 2 4 4 2 4
SB AB SA x a x a
BD AE BE DI
Tương tự
2 2
29
16 4
a x
BI
0,25
Do BD
DI => tam giác BDI vuông tại D 2 2 2
6
3
a
BI BD DI x
0,25
Gọi H là tâm tam giác ABC, do S.ABC là tam giác đều nên SH
(ABC)=>SH là đường cao của
hình chóp; diện tích tam giác ABC là
2 2
0
1 3 3
. .sin 60
2 4 6
ABC
x a
S AB AC
0,25
2 2
0
2 7
2
sin 60 3 3
3
BC x a a
AH AH SH SA AH 
Thể tích khối chóp S.ABC là
3
1 21
.
3 54
SABC ABC
a
V SH S
0,25
IV2:(1,5) 2)Gọi J là giao điểm của SG và BC => J là trung điểm
BC=>
1
2
ABJ ACJ ABC
S S S
. . CJ .
1
2 2
S ABJ S A S ABC
V
V V V
0,25
x
a
H
I
E
D
C
B
A
S
M
G
N
J
C
B
A
S
5
Đặt
, ( , (0;1])
SM SN
x y x y
SB SC
.
.
.
2 2
. .
3 2 3
S AMG
S AMG
S ABJ
V
SA SM SG x V x
V
V SA SB SJ
0,25
Tương tự . 1 . .
2
( )
3 2 3
S AGN S AMG S AGN
y V V
V V V V y x
(1) 0,25
1
1
. . (2)
V SA SM SN
xy V Vxy
V SA SB SC
Từ (1) và (2)=>x+y=3xy (*) 0,25
Theo bất đẳng thức giữa trung bình cộng và trung bình nhân ta có 2
x y xy
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi x=y
0,25
Từ (*) ta có
4
3 2
9
xy xy xy
; Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi x=y=
2
3
0,25
1
1 9
4
V
V xy
dấu “=” xảy ra x=y=
2
3
=> giá trị lớn nhất của
1
V
V
bằng
9
4
0,25
V:(1,0 ) Cho a, b, c là các số thực dương. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
222
2 2 2
( ) ( ) ( )
a b c
P
a b b c c a
2 2 2
111
(1 ) (1 ) (1 )
P
b c a
a b c
đặt
, , 0
, , yz=1
x y z
b c a
x y z x
a b c
2 2 2
111
(1 ) (1 ) (1 )
P
x y z
0,25
Giả sử x=max{x;y;z} 3
1 1
xyz x x
Ta chứng minh
2 2
2 2 2
2 2 2
2 2 2 2 2
2 2
1 1 1 , 0
(1 ) (1 ) 1
(1 )(2 2 2 ) (1 )
2( )(1 ) 2 2 (1 )( ) 2 (1 ) (1 ) 2( )(1 ) ( )
(1 )( ) 2 4 2 (1 ) ( ) 4 0
( ) (1 ) 0
y z
y z yz
zy z y z y zy z y
z y zy zy zy y z zy yz zy z y zy z y
zy y z yz y z yz y z yz
yz y z yz
dấu “=” xẩy ra khi z=y=1
0,25
2
2 2 2 2 2 2
1 1 1 1 1 1 1 1
1
(1 ) (1 ) (1 ) (1 ) 1 (1 ) (1 )
1
x x
P
x y z x zy x x
x
Xét
2 2
2 4
1 x 1
( ) ( [1;+ )); f'(x)= 0 1; '( ) 0 1 [1;+ )
(1 ) ( 1)
x x
f x x x f x x
x x
=>f(x)
đồng biến trên [1;+
)3
( ) (1) 1
4
f x f x
0,25
=>
3
( )
4
P f x
khi a=b=c thì P=
3
4
nên GTNN của P bằng
3
4
0,25