Bài giảng Dạng vi phân và công thức Stokes - Huỳnh Quang Vũ

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:86

Thêm vào BST

Báo xấu

27
lượt xem 6
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Bài giảng Dạng vi phân và công thức Stokes được biên soạn gồm các nội dung chính sau: Dạng vi phân trong không gian Euclid; Dạng vi phân và tích phân trên đa tạp. Mời các bạn cùng tham khảo!

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Bài giảng Dạng vi phân và công thức Stokes - Huỳnh Quang Vũ

Bài giảng về dạng vi phân và công thức Stokes Huỳnh Quang Vũ Bản ngày 23 tháng 12 năm 2020 ∫ ∫ 𝑑𝜔 = 𝜔 𝑀 𝜕𝑀
2 Đây khởi đầu là bài giảng cho môn cao học “Giải tích trên đa tạp” dựa trên bài giảng của R. Sjamaar [Sja15]. Tham gia đánh máy một phần bản đầu trong các năm 2015, 2016 có Phan Đình Hiếu (học viên cao học Toán Giải tích khóa 2014), Lê Chiêu Hoàng Nguyên (sinh viên ngành Toán khóa 2012), Phan Văn Phương (học viên cao học Toán Giải tích khóa 2012). Hiện bài giảng được xây dựng để phục vụ cho sinh viên đại học năm cuối và học viên cao học, nhằm trình bày dạng vi phân một cách tương đối đơn giản, ngắn gọn, đi kèm với ứng dụng. Bài giảng đã được dùng cho các lớp cao học Giải tích, Hình học Tôpô; và khóa học ngắn cho sinh viên đại học. Với các lớp cao học Hình học Tôpô thì một số đề tài được bổ sung. Huỳnh Quang Vũ Địa chỉ: Khoa Toán - Tin học, Trường Đại học Khoa học Tự nhiên - Đại học Quốc gia Thành phố Hồ Chí Minh, email: hqvu@hcmus.edu.vn Tài liệu này cùng mã nguồn có ở https://sites.google.com/view/hqvu/teaching. This work is releashed to Public Domain (CC0) wherever applicable, see http://creativecommons.org/publicdomain/zero/1.0/, otherwise it is licensed under the Creative Commons Attribution 4.0 International License, see http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/.
Mục lục Mở đầu 5 1 Dạng vi phân trong không gian Euclid 7 1.1 Định nghĩa dạng vi phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.1.1 Không gian Euclid và đạo hàm trong không gian Euclid . . . . . . 7 1.1.2 Những dạng vi phân cơ sở . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.1.3 Dạng vi phân tổng quát . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.2 Tính chất và phép toán cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.2.1 Tính đan dấu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.2.2 Phép nhân của dạng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 1.2.3 Đạo hàm của dạng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 1.2.4 Đổi biến trên dạng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 1.2.5 Tích phân của dạng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 1.2.6 Mối quan hệ giữa thể tích và định thức . . . . . . . . . . . . . . . . 23 2 Dạng vi phân và tích phân trên đa tạp 29 2.1 Đa tạp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 2.1.1 Không gian tiếp xúc và đạo hàm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 2.1.2 Định hướng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 2.1.3 Đa tạp có biên . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 2.2 Dạng vi phân trên đa tạp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 2.2.1 Phiếm hàm đa tuyến tính trên không gian vectơ . . . . . . . . . . . 38 2.2.2 Định thức trên không gian vectơ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 2.2.3 Dạng vi phân trên đa tạp và tính chất . . . . . . . . . . . . . . . . 42 2.2.4 Dạng thể tích của đa tạp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 2.3 Tích phân trên đa tạp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 2.3.1 Định nghĩa địa phương . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 2.3.2 Định nghĩa toàn cục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 2.4 Công thức Stokes cho đa tạp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 2.4.1 Chứng minh công thức Stokes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 3
4 MỤC LỤC 3 Ứng dụng 63 3.1 Ứng dụng trong Giải tích . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 3.1.1 Công thức Stokes cho miền với biên trơn . . . . . . . . . . . . . . 63 3.1.2 Ứng dụng trong phương trình đạo hàm riêng . . . . . . . . . . . . 67 3.2 Định lý điểm bất động Brouwer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68 3.3 Dạng khớp và dạng đóng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69 3.4 Đối đồng điều de Rham . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73 Đề tài đọc thêm 81 Tài liệu tham khảo 81 Chỉ mục 85
Mở đầu Khái niệm “vi phân” đã xuất hiện trong chương trình toán trung học phổ thông. Sách giáo khoa [SGKGT11, tr. 213] viết công thức 𝑑𝑓 (𝑥 0 ) = 𝑓 0 (𝑥 0 )Δ𝑥 và 𝑑𝑓 (𝑥) = 𝑓 0 (𝑥)𝑑𝑥. Vi phân này được dùng trong phương pháp đổi biến để tính tích phân, như trong [SGKGT12, 159], ở đó có những tính toán như: Đặt 𝑥 = sin 𝑡 thì 𝑑𝑥 = 𝑑 (sin 𝑡) = cos 𝑡𝑑𝑡. Đối với nhiều người các tính toán này tuy hiệu quả nhưng các khái niệm chưa rõ nghĩa. Trong phép tính vi tích phân hàm nhiều biến ở bậc đại học ta xét những tích phân như ∬ ∬ 𝑥 2 𝑦 3 𝑑𝑥𝑑𝑦 hay 𝑥 2 𝑦𝑑𝐴. Ở đó 𝑑𝑥𝑑𝑦 hay 𝑑𝐴 được gọi là “phần tử diện tích”. Chúng ta 𝐷 𝐷 ∫ ∫ cũng thấy những biểu thức như 𝛾 𝑥𝑑𝑦 + 𝑦𝑑𝑥 hay 𝛾 𝑑𝑠, với 𝑑𝑠 là “phần tử chiều dài”, hay ∬ 𝑆 𝑑𝑆, với 𝑑𝑆 là “phần tử diện tích mặt”. Các đối tượng 𝑑𝑥, 𝑑𝑥𝑑𝑦, 𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧, 𝑑𝐴, 𝑑𝑉, 𝑑𝑠, 𝑑𝑆 không tách rời các tích phân, chúng chỉ loại tích phân có thể lấy. Tuy vậy các đối tượng này chưa được định nghĩa rõ ràng, và cũng chưa rõ có thể làm những tính toán gì với chúng. Lý thuyết dạng vi phân nhằm đưa ra một cách hiểu và các cách làm việc thống nhất và tổng quát cao trên các đối tượng này. Các công thức Newton–Leibniz, Green, Stokes, Gauss–Ostrogradsky trong phép tính vi tích phân hàm nhiều biến được xây dựng cho không gian 1, 2, hay 3 chiều, gồm đường và mặt. Môn học này tập trung thảo luận việc tổng quát hóa các công thức này lên không gian nhiều chiều để được một công thức Stokes tổng quát. Chúng ta sẽ khảo sát dạng vi phân, các đa tạp – tổng quát hóa của đường và mặt, và các tích phân trên đó. Chúng ta sẽ thảo luận vài ứng dụng trong Giải tích và Tôpô. 5
6 MỤC LỤC
Chương 1 Dạng vi phân trong không gian Euclid 1.1 Định nghĩa dạng vi phân 1.1.1 Không gian Euclid và đạo hàm trong không gian Eu- clid Người đọc có thể xem lại nội dung này trong môn Vi tích phân hàm nhiều biến, hoặc [Lan97]. Trong môn này khi nói đến không gian R𝑛 , 𝑛 ∈ Z+ , thì ta dùng cấu trúc tuyến tính, chuẩn, khoảng cách, và tích trong Euclid, cụ thể nếu 𝑥 = (𝑥 1 , 𝑥 2 , . . . , 𝑥 𝑛 ) ∈ R𝑛 thì chuẩn (tức chiều dài) của 𝑥 là k𝑥k = (𝑥 12 + 𝑥 22 + · · · + 𝑥 𝑛2 ) 1/2 , khoảng cách giữa 𝑥 và 𝑦 = (𝑦 1 , 𝑦 2 , . . . , 𝑦 𝑛 ) ∈ R𝑛 là 1/2 k𝑥 − 𝑦k = (𝑥 1 − 𝑦 1 ) 2 + (𝑥 2 − 𝑦 2 ) 2 + · · · + (𝑥 𝑛 − 𝑦 𝑛 ) 2 , và tích trong giữa 𝑥 và 𝑦 là h𝑥, 𝑦i = 𝑥 1 𝑦 1 + 𝑥2 𝑦 2 + · · · + 𝑥 𝑛 𝑦 𝑛 . Cho 𝐷 là một tập con của R𝑛 , 𝑥 là một điểm trong của 𝐷. Nhắc lại kí hiệu 𝑒 1 = (1, 0, 0, . . . , 0), 𝑒 2 = (0, 1, 0, . . . , 0), . . . , 𝑒 𝑛 = (0, . . . , 0, 1) là các vectơ tạo thành cơ sở tuyến tính chuẩn tắc của R𝑛 . Đạo hàm riêng của 𝑓 : 𝐷 → R theo biến thứ 𝑖 tại 𝑥 được định nghĩa là số thực 𝜕𝑓 𝑓 (𝑥 + ℎ𝑒 𝑖 ) − 𝑓 (𝑥) (𝑥) = lim . 𝜕𝑥 𝑖 ℎ→0 ℎ Đây chính là đạo hàm một biến của hàm 𝑓 khi xem 𝑓 chỉ là hàm theo biến 𝑥 𝑖 , là tỉ lệ, hay tốc độ thay đổi của giá trị của hàm so với giá trị của biến thứ 𝑖 tại điểm đang xét. Yêu cầu 𝑥 là một điểm trong của miền xác định là một điều kiện đủ để xét giới hạn khi ℎ → 0. Ta có thể lấy đạo hàm riêng của đạo hàm riêng. Trong môn này ta thường lấy tới đạo hàm riêng 𝜕2 𝑓 cấp hai, như 𝜕𝑥𝑖 𝜕𝑥 𝑗 . 7
8 CHƯƠNG 1. DẠNG VI PHÂN TRONG KHÔNG GIAN EUCLID Tổng quát hơn ta xét hàm 𝑓 : 𝐷 → R𝑚 . Nếu 𝑓 liên tục và tất cả các đạo hàm riêng mọi cấp của các hàm thành phần của 𝑓 tồn tại và liên tục tại 𝑥 thì ta nói 𝑓 khả vi liên tục (continuously differentiable) hay trơn (smooth) tại 𝑥. Ma trận các đạo hàm riêng của 𝑓 tại 𝑥 𝜕 𝑓𝑖 được gọi là ma trận Jacobi của 𝑓 tại 𝑥, kí hiệu là 𝐽 𝑓 (𝑥) = 𝜕𝑥 𝑗 (𝑥) . 1≤𝑖 ≤𝑚, 1≤ 𝑗 ≤𝑛 Ví dụ 1.1.1. Khi 𝑚 = 1 ma trận Jacobi 𝐽 𝑓 (𝑥) chính là vectơ gradient 𝜕𝑓 𝜕𝑓 ∇ 𝑓 (𝑥) = (𝑥), . . . , (𝑥) . 𝜕𝑥1 𝜕𝑥 𝑛 Nếu có một hàm tuyến tính 𝑓 0 (𝑥) : R𝑛 → R𝑚 sao cho có một quả cầu 𝐵(𝑥, 𝜖) ⊂ 𝐷 và một hàm 𝑟 : 𝐵(𝑥, 𝜖) → R𝑚 thỏa mãn: 𝑓 (𝑥 + ℎ) = 𝑓 (𝑥) + 𝑓 0 (𝑥) (ℎ) + 𝑟 (ℎ), ∀ℎ ∈ 𝐵(𝑥, 𝜖) và limℎ→0 𝑟|ℎ(ℎ)| = 0, thì công thức (1.1.3)ánh xạ 𝑓 0 (𝑥) (còn được kí hiệu là 𝑑𝑓 (𝑥)) được gọi là đạo hàm (derivative - dẫn xuất) của 𝑓 tại 𝑥. Vậy đạo hàm cho một xấp xỉ tuyến tính của hàm: 𝑓 (𝑥 + ℎ) ≈ 𝑓 (𝑥) + 𝑓 0 (𝑥) (ℎ). Rõ ràng nếu hàm có đạo hàm (khả vi) thì nó liên tục. Nếu 𝑓 khả vi liên tục tại 𝑥 thì 𝑓 có đạo hàm tại 𝑥, và ánh xạ tuyến tính 𝑓 0 (𝑥) có thể biểu diễn trong cơ sở tuyến tính chuẩn tắc của R𝑛 bởi ma trận Jacobi 𝐽 𝑓 (𝑥), tức là 𝑓 0 (𝑥) (ℎ) = 𝐽 𝑓 (𝑥) · ℎ trong đó phép nhân bên vế phải là phép nhân ma trận. Cần nhấn mạnh rằng theo quan điểm tổng quát thì đạo hàm tại một điểm là một ánh xạ tuyến tính chứ không phải là một số thực hay một ma trận. Nếu ℎ là một vectơ đơn vị (tức vectơ có chiều dài bằng 1) thì ta suy ra ngay 𝑓 (𝑥 + 𝑡ℎ) − 𝑓 (𝑥) 𝑓 0 (𝑥) (ℎ) = lim . 𝑡→0 𝑡 Vậy 𝑓 0 (𝑥) (ℎ) là đạo hàm theo hướng của 𝑓 tại 𝑥 theo hướng ℎ, đo tỉ lệ thay đổi của 𝑓 theo hướng ℎ tại 𝑥. Đặc biệt đạo hàm của 𝑓 theo hướng 𝑒 𝑖 là 𝜕𝑓 𝑓 0 (𝑥) (𝑒 𝑖 ) = 𝐽 𝑓 (𝑥) · 𝑒 𝑖 = , 𝜕𝑥 𝑖 chính là đạo hàm riêng của 𝑓 theo biến thứ 𝑖. Cho 𝑈, 𝑉, 𝑊 là tập mở của R 𝑘 , R𝑙 , R 𝑝 theo thứ tự đó, cho 𝑓 : 𝑈 → 𝑉 and 𝑔 : 𝑉 → 𝑊 có đạo hàm khi đó ta có công thức đạo hàm hàm hợp (𝑔 ◦ 𝑓 ) 0 (𝑥) = 𝑔 0 ( 𝑓 (𝑥)) ◦ 𝑓 0 (𝑥).
1.1. ĐỊNH NGHĨA DẠNG VI PHÂN 9 Nếu viết theo ma trận biểu diễn thì công thức này cho 𝐽𝑔◦ 𝑓 (𝑥) = 𝐽𝑔 ( 𝑓 (𝑥)) · 𝐽 𝑓 (𝑥). 1.1.2 Những dạng vi phân cơ sở Dạng vi phân gắn bó chặt chẽ với đạo hàm và tích phân. Các tính chất của dạng vi phân và sự quan trọng của nó là từ điều này. Với hàm thực 𝑓 : R𝑛 → R thì một đại diện cho dạng vi phân là 𝑑𝑓 phải liên quan khắng khít với đạo hàm của 𝑓 . Nhắc lại tại mỗi điểm 𝑥 ∈ R𝑛 thì đạo hàm của 𝑓 tại 𝑥 được kí hiệu là 𝑑𝑓 (𝑥) là một ánh xạ tuyến tính từ R𝑛 vào R: 𝑑𝑓 (𝑥) : R𝑛 → R 𝑣 ↦→ 𝑑𝑓 (𝑥) (𝑣) = ∇ 𝑓 (𝑥) · 𝑣. 𝑑𝑥 là gì? Trên R xét ánh xạ đồng nhất. Nếu gọi 𝑥 là tên biến thì đây là ánh xạ 𝑥 ↦→ 𝑥. Nếu đặt luôn tên hàm này là 𝑥 thì 𝑑𝑥 chính là ánh xạ đạo hàm của hàm này. Ở đây 𝑑 chính là toán tử đạo hàm. Vì đạo hàm của ánh xạ đồng nhất tại mỗi điểm là ánh xạ đồng nhất, nên tại mỗi 𝑥 ∈ R thì (𝑑𝑥) (𝑥) : R → R 𝑣 ↦→ 𝑣. Vì lẽ đó với bất kì tên biến nào khác như 𝑦, 𝑢, 𝑡, thì 𝑑𝑦, 𝑑𝑢, 𝑑𝑡 là cùng một ánh xạ: mang mỗi số thực thành ánh xạ đồng nhất trên tập hợp các số thực. 𝑑𝑥𝑖 là gì? Trên R𝑛 , lấy tên biến là 𝑥 = (𝑥 1 , 𝑥 2 , . . . , 𝑥 𝑛 ), và gọi luôn 𝑥 𝑖 là ánh xạ tương ứng mỗi điểm 𝑥 với thành phần thứ 𝑖, tức là 𝑥 𝑖 : R𝑛 → R (𝑥 1 , 𝑥 2 , . . . , 𝑥 𝑛) ↦→ 𝑥 𝑖 thì 𝑑𝑥 𝑖 là đạo hàm của ánh xạ này, như đã xét trong đạo hàm của hàm nhiều biến. Vì ∇𝑥 𝑖 = 𝑒 𝑖 nên 𝑑𝑥 𝑖 là ánh xạ từ R𝑛 vào (R𝑛 ) ∗ sao cho với mỗi 𝑥 ∈ R𝑛 thì 𝑑𝑥𝑖 (𝑥) = 𝑒 ∗𝑖 trong đó 𝑒 ∗𝑖 là ánh xạ tuyến tính từ R𝑛 vào R được biễu diễn bởi 𝑒 𝑖 , tức là với 𝑣 = (𝑣 1 , 𝑣 2 , . . . , 𝑣 𝑛 ) thì 𝑒 ∗𝑖 ((𝑣 1 , 𝑣 2 , . . . , 𝑣 𝑛 )) = 𝑒 𝑖 · 𝑣 = 𝑣 𝑖 . Tóm lại với mỗi 𝑥 ∈ R𝑛 : 𝑑𝑥 𝑖 (𝑥) : R𝑛 → R 𝑣 = (𝑣 1 , 𝑣 2 , . . . , 𝑣 𝑛 ) ↦→ 𝑑𝑥 𝑖 (𝑥) (𝑣) = (∇𝑥 𝑖 ) (𝑥) · 𝑣 = 𝑒 𝑖 · 𝑣 = 𝑒 ∗𝑖 (𝑣) = 𝑣 𝑖 .
10 CHƯƠNG 1. DẠNG VI PHÂN TRONG KHÔNG GIAN EUCLID Như vậy 𝑑𝑥𝑖 là một ánh xạ cho tương ứng mỗi điểm với một hàm thực tuyến tính. Người ta thường gọi hàm thực là phiếm hàm (functional). 𝑑𝑥𝑖1 𝑑𝑥𝑖2 · · · 𝑑𝑥𝑖 𝑘 là gì? Định nghĩa 1.1.2. Trên R𝑛 thì 𝑑𝑥𝑖1 𝑑𝑥𝑖2 · · · 𝑑𝑥 𝑖𝑘 , 1 ≤ 𝑖1 , 𝑖 2 , . . . , 𝑖 𝑘 ≤ 𝑛, là ánh xạ cho tương ứng 𝑥 ∈ R𝑛 với phiếm hàm 𝑑𝑥𝑖1 𝑑𝑥𝑖2 · · · 𝑑𝑥𝑖𝑘 (𝑥) xác định trên (R𝑛 ) 𝑘 bởi © 𝑣 𝑖1 ,1 𝑣 𝑖1 ,2 . . . 𝑣 𝑖1 ,𝑘 ª ® 𝑣 𝑖2 ,1 𝑣 𝑖2 ,2 . . . 𝑣 𝑖2 ,𝑘 ® 𝑑𝑥 𝑖1 𝑑𝑥 𝑖2 · · · 𝑑𝑥 𝑖𝑘 (𝑥) (𝑣 1 , 𝑣 2 , . . . , 𝑣 𝑘 ) = det . .. .. .. ®® . (1.1.3) .. . . . ® ® 𝑣 𝑣 ... 𝑣 𝑖𝑘 ,𝑘 « 𝑖𝑘 ,1 𝑖𝑘 ,2 ¬ Í𝑛 Ở đây mỗi vectơ 𝑣 𝑖 được viết trong cơ sở như 𝑣 𝑖 = 𝑗=1 𝑣 𝑗,𝑖 𝑒 𝑗 . Viết cách khác: 𝑑𝑥 𝑖1 𝑑𝑥 𝑖2 · · · 𝑑𝑥 𝑖𝑘 (𝑥) (𝑣 1 , 𝑣 2 , . . . , 𝑣 𝑘 ) = det 𝑣 𝑖 𝑗 ,𝑙 1≤ 𝑗 ≤𝑘,1≤𝑙 ≤𝑘 = det 𝑑𝑥 𝑖 𝑗 (𝑥) (𝑣 𝑙 ) = det 𝑒 ∗𝑖 𝑗 (𝑣 𝑙 ) . 1≤ 𝑗 ≤𝑘,1≤𝑙 ≤𝑘 1≤ 𝑗 ≤𝑘,1≤𝑙 ≤𝑘 Ghi chú 1.1.4. Vì giá trị của dạng 𝑑𝑥 𝑖1 𝑑𝑥 𝑖2 · · · 𝑑𝑥 𝑖𝑘 không phụ thuộc vào điểm 𝑥 nên theo truyền thống để đơn giản hơn đôi khi ta bỏ qua điểm 𝑥 trong kí hiệu. Ví dụ 1.1.5. Trong R2 thì 𝑑𝑥𝑑𝑦 là ánh xạ cho tương ứng mỗi (𝑥 0 , 𝑦 0 ) ∈ R2 với ánh xạ 𝑑𝑥𝑑𝑦(𝑥 0 , 𝑦 0 ) : R2 × R2 → R ! 𝑑𝑥(𝑥 0 , 𝑦 0 ) (𝑣) 𝑑𝑥(𝑥 0 , 𝑦 0 ) (𝑤) (𝑣, 𝑤) ↦→ 𝑑𝑥𝑑𝑦(𝑥 0 , 𝑦 0 ) (𝑣, 𝑤) = det 𝑑𝑦(𝑥 0 , 𝑦 0 ) (𝑣) 𝑑𝑦(𝑥 0 , 𝑦 0 ) (𝑤) ! 𝑣1 𝑤1 = det = det(𝑣, 𝑤), 𝑣2 𝑤2 ở đây 𝑣 = (𝑣 1 , 𝑣 2 ), 𝑤 = (𝑤 1 , 𝑤 2 ). Ngắn gọn hơn: ∀(𝑥, 𝑦) ∈ R2 , 𝑑𝑥𝑑𝑦(𝑥, 𝑦) = det . Hay gọn hơn nữa: 𝑑𝑥𝑑𝑦 = det . Ví dụ 1.1.6. Tương tự, trong R𝑛 thì 𝑑𝑥 1 𝑑𝑥 2 · · · 𝑑𝑥 𝑛 (𝑥) (𝑣 1 , 𝑣 2 , . . . , 𝑣 𝑛 ) = det(𝑣 1 , 𝑣 2 , . . . , 𝑣 𝑛 ). Ngắn gọn hơn: 𝑑𝑥 1 𝑑𝑥 2 · · · 𝑑𝑥 𝑛 = det .
1.1. ĐỊNH NGHĨA DẠNG VI PHÂN 11 Ví dụ 1.1.7. Trong R3 thì ! 𝑑𝑥(𝑥, 𝑦, 𝑧) (𝑣) 𝑑𝑥(𝑥, 𝑦, 𝑧) (𝑤) 𝑑𝑥𝑑𝑧(𝑥, 𝑦, 𝑧) (𝑣, 𝑤) = det 𝑑𝑧(𝑥, 𝑦, 𝑧) (𝑣) 𝑑𝑧(𝑥, 𝑦, 𝑧) (𝑤) ! 𝑣1 𝑤1 = det , 𝑣3 𝑤3 ở đây 𝑣 = (𝑣 1 , 𝑣 2 , 𝑣 3 ), 𝑤 = (𝑤 1 , 𝑤 2 , 𝑤 3 ). 1.1.3 Dạng vi phân tổng quát Định nghĩa 1.1.8. Cho 𝑈 là một tập mở trong R𝑛 , viết 𝑥 = (𝑥 1 , ..., 𝑥 𝑛 ) ∈ R𝑛 , với 𝑘 ∈ Z+ , thì một ánh xạ cho bởi công thức ∑︁ 𝑥 ↦→ 𝑓 (𝑖1 ,𝑖2 ,...,𝑖𝑘 ) (𝑥)𝑑𝑥𝑖1 𝑑𝑥𝑖2 · · · 𝑑𝑥 𝑖𝑘 (𝑥) 1≤𝑖1 ,𝑖2 ,...,𝑖𝑘 ≤𝑛 trong đó 𝑓 (𝑖1 ,𝑖2 ,...,𝑖𝑘 ) (𝑥) là một số thực và 𝑓 (𝑖1 ,𝑖2 ,...,𝑖𝑘 ) là một hàm thực trên 𝑈, được gọi là một dạng bậc 𝑘 trên 𝑈. Dạng bậc không (0-dạng) là một hàm thực 𝑓 : 𝑈 ⊂ R𝑛 → R. Ta nói dạng trên là một dạng vi phân hay một dạng trơn nếu mỗi hàm 𝑓 là một hàm trơn. Như vậy tại mỗi điểm 𝑥 thì giá trị của một dạng bậc 𝑘 là một tổ hợp tuyến tính của các phiếm hàm 𝑑𝑥𝑖1 𝑑𝑥𝑖2 · · · 𝑑𝑥 𝑖𝑘 (𝑥), và do đó là một phiếm hàm 𝑘-tuyến tính. Ta có thể viết tắt một dạng bậc 𝑘 bất kì bằng công thức ∑︁ 𝑓 𝑑𝑥𝑖1 𝑑𝑥 𝑖2 · · · 𝑑𝑥 𝑖𝑘 , ở đây để kí hiệu đơn giản hơn ta ngầm hiểu tổng được lấy trên mọi bộ (𝑖1 , 𝑖 2 , . . . , 𝑖 𝑘 ) ∈ {1, 2, . . . , 𝑛} 𝑘 , với hàm thực 𝑓 phụ thuộc vào bộ này có thể là hàm 0, và với quy ước khi 𝑘 = 0 các số hạng với chỉ số 𝑘 không xuất hiện. Tập hợp tất cả các dạng vi phân bậc 𝑘 trên 𝑈 với 𝑘 ∈ N được kí hiệu là Ω 𝑘 (𝑈). Vì ta sẽ chỉ làm việc với dạng trơn nên về sau ta có thể chỉ gọi tắt là dạng. Ví dụ 1.1.9. Trong R thì hàm cos là một dạng bậc 0, còn 𝑥 2 𝑑𝑥, sin 𝑥 3 𝑑𝑥 là các dạng bậc 1. Ví dụ 1.1.10. Trong R2 thì 𝑦𝑑𝑥 + 𝑥 2 𝑑𝑦 là một dạng bậc 1, còn 𝑦 3 𝑑𝑥𝑑𝑦 + 𝑥 4 𝑑𝑦𝑑𝑥 là một dạng bậc 2. Ví dụ 1.1.11. Trong R3 thì 𝑥𝑑𝑥𝑑𝑦 + (𝑥𝑦 + 1)𝑑𝑥𝑑𝑧 là một dạng bậc 2. Ví dụ 1.1.12. Trong R𝑛 thì 𝑑𝑥1 , 𝑑𝑥 2 , . . . , 𝑑𝑥 𝑛 , 2𝑑𝑥1 + 3𝑑𝑥2 , 𝑥 12 𝑥 2 𝑑𝑥1 + 𝑥 3 𝑑𝑥 4 là các dạng bậc 1.
12 CHƯƠNG 1. DẠNG VI PHÂN TRONG KHÔNG GIAN EUCLID Ví dụ 1.1.13. Với mỗi bậc 𝑘 ≥ 0 có một dạng 0 là dạng mà giá trị tại mỗi điểm là hàm hằng bằng số thực 0. Ta có thể cộng dạng và nhân số thực với dạng như các phép toán quen thuộc trên hàm thực. Cụ thể hơn nếu 𝜔1 và 𝜔2 là hai dạng cùng bậc xác định trên cùng một tập con của R𝑛 và 𝑐 là một số thực thì ta định nghĩa các phép toán tại từng điểm theo công thức (𝜔1 + 𝜔2 ) (𝑥) = 𝜔1 (𝑥) + 𝜔2 (𝑥), (𝑐𝜔) (𝑥) = 𝑐(𝜔(𝑥)). Ta thấy ngay với hai phép toán trên thì với mỗi 𝑘 ≥ 0 tập hợp Ω 𝑘 (𝑈) tất cả các dạng vi phân bậc 𝑘 trên 𝑈 là một không gian vectơ trên trường số thực. Ghi chú 1.1.14. Ta không thể cộng trừ hai dạng khác bậc, vì tại mỗi điểm chúng là những hàm có miền xác định khác nhau. Chẳng hạn ta không thể xét một biểu thức như 𝑧𝑑𝑥 + 𝑥𝑑𝑦 + 𝑦𝑑𝑥𝑑𝑦 vì nó không có nghĩa. 1.2 Tính chất và phép toán cơ bản 1.2.1 Tính đan dấu Từ công thức (1.1.3) do tính chất của định thức ta thấy ngay nếu đổi chổ hai thành phần 𝑑𝑥𝑖𝑟 và 𝑑𝑥 𝑖𝑠 bất kì thì 𝑑𝑥 𝑖1 · · · 𝑑𝑥 𝑖𝑟 · · · 𝑑𝑥 𝑖𝑠 · · · 𝑑𝑥 𝑖𝑘 = −𝑑𝑥 𝑖1 · · · 𝑑𝑥 𝑖𝑠 · · · 𝑑𝑥 𝑖𝑟 · · · 𝑑𝑥 𝑖𝑘 . Người ta gọi đây là tính chất đan dấu, phản đối xứng, hay phản giao hoán (alternating, skew-symmetric, anti-commutative), thể hiện tóm tắt bởi công thức 𝑑𝑥𝑑𝑦 = −𝑑𝑦𝑑𝑥. Ví dụ 1.2.1. Trong R2 thì 𝑑𝑥𝑑𝑦 = −𝑑𝑦𝑑𝑥. Một hệ quả là 𝑑𝑥𝑑𝑥 = −𝑑𝑥𝑑𝑥, nên (hay trực tiếp từ công thức (1.1.3)) 𝑑𝑥𝑑𝑥 = 0. Ví dụ 1.2.2. Trong R3 : 𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 = −𝑑𝑥𝑑𝑧𝑑𝑦 = 𝑑𝑦𝑑𝑧𝑑𝑥, 𝑑𝑥𝑑𝑧𝑑𝑥 = −𝑑𝑥𝑑𝑥𝑑𝑧 = 0. Một hệ quả đơn giản của tính đan dấu là mọi 𝑘-dạng với 𝑘 > 𝑛 đều bằng dạng 0. Vì vậy ta chỉ quan tâm tới dạng bậc 𝑘 ≤ 𝑛.
1.2. TÍNH CHẤT VÀ PHÉP TOÁN CƠ BẢN 13 1.2.2 Phép nhân của dạng Người ta định nghĩa được một phép nhân trên các dạng vi phân được gọi là phép nhân ngoài, thường được kí hiệu bởi ∧ (wedge - chèn, nêm), nhưng ở đây ta bỏ qua kí hiệu đó cho đơn giản hơn. Í Í Định nghĩa 1.2.3. Cho 𝛼 = 𝑓 𝑑𝑥𝑖1 𝑑𝑥 𝑖2 · · · 𝑑𝑥 𝑖𝑘 là một 𝑘-dạng và 𝛽 = 𝑔𝑑𝑥 𝑗1 𝑑𝑥 𝑗2 · · · 𝑑𝑥 𝑗𝑙 là một 𝑙-dạng xác định trên 𝑈 ⊂ R𝑛 . Ta định nghĩa tích dạng của 𝛼 với 𝛽, kí hiệu 𝛼𝛽, là (𝑘 + 𝑙)-dạng: ∑︁ ∑︁ ∑︁ 𝑓 𝑑𝑥 𝑖1 𝑑𝑥 𝑖2 · · · 𝑑𝑥𝑖𝑘 𝑔𝑑𝑥 𝑗1 𝑑𝑥 𝑗2 · · · 𝑑𝑥 𝑗𝑙 = 𝑓 𝑔𝑑𝑥 𝑖1 𝑑𝑥 𝑖2 · · · 𝑑𝑥 𝑖𝑘 𝑑𝑥 𝑗1 𝑑𝑥 𝑗2 · · · 𝑑𝑥 𝑗𝑙 . Ví dụ 1.2.4. Giờ ta có thể hiểu 𝑑𝑥𝑑𝑦 = (𝑑𝑥) (𝑑𝑦). Ví dụ 1.2.5. Trong R3 , 𝜔1 = 𝑑𝑥 là một 1-dạng, 𝜔2 = 𝑑𝑦𝑑𝑧 là một 2-dạng, và 𝜔1 𝜔2 = (𝑑𝑥)(𝑑𝑦𝑑𝑧) = 𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 là một 3-dạng. Ví dụ 1.2.6. Một ví dụ khác, trong R3 , (𝑥𝑑𝑦 − 𝑦 2 𝑧 3 𝑑𝑧) (4𝑑𝑥𝑑𝑦 + (𝑒 𝑥 − cos 𝑦)𝑑𝑦𝑑𝑧) = 4𝑥𝑑𝑦𝑑𝑥𝑑𝑦 + 𝑥(𝑒 𝑥 − cos 𝑦)𝑑𝑦𝑑𝑦𝑑𝑧− − 4𝑦 2 𝑧 3 𝑑𝑧𝑑𝑥𝑑𝑦 − 𝑦 2 𝑧 3 (𝑒 𝑥 − cos 𝑦)𝑑𝑧𝑑𝑦𝑑𝑧. Từ định nghĩa ta có ngay: Mệnh đề 1.2.7. Phép nhân của dạng có những tính chất: (a) Tính kết hợp: (𝜔1 𝜔2 )𝜔3 = 𝜔1 (𝜔2 𝜔3 ) = 𝜔1 𝜔2 𝜔3 . (b) Với dạng 0 thì 𝜔0 = 0𝜔 = 0. (c) Tính phân phối: (𝜔1 + 𝜔2 )𝜔3 = 𝜔1 𝜔3 + 𝜔2 𝜔3 . Ví dụ 1.2.8. 𝑑𝑥(𝑑𝑦 + 𝑑𝑧) = 𝑑𝑥𝑑𝑦 + 𝑑𝑥𝑑𝑧. Mệnh đề 1.2.9. Nếu 𝜔1 là một 𝑘-dạng và 𝜔2 là một 𝑙-dạng thì 𝜔1 𝜔2 = (−1) 𝑘𝑙 𝜔2 𝜔1 . Chứng minh. Với ∑︁ 𝜔1 = 𝑓 𝑑𝑥 𝑖1 𝑑𝑥 𝑖2 · · · 𝑑𝑥𝑖𝑘 và ∑︁ 𝜔2 = 𝑔𝑑𝑥 𝑗1 𝑑𝑥 𝑗2 · · · 𝑑𝑥 𝑗𝑙
14 CHƯƠNG 1. DẠNG VI PHÂN TRONG KHÔNG GIAN EUCLID thì ∑︁ 𝜔1 𝜔2 = 𝑓 𝑔(𝑑𝑥 𝑖1 𝑑𝑥 𝑖2 · · · 𝑑𝑥 𝑖𝑘 )𝑑𝑥 𝑗1 𝑑𝑥 𝑗2 · · · 𝑑𝑥 𝑗𝑙 ∑︁ = 𝑓 𝑔(−1) 𝑘 𝑑𝑥 𝑗1 (𝑑𝑥 𝑖1 𝑑𝑥 𝑖2 · · · 𝑑𝑥 𝑖𝑘 ) (𝑑𝑥 𝑗2 · · · 𝑑𝑥 𝑗𝑙 ) ∑︁ = 𝑓 𝑔(−1) 2𝑘 𝑑𝑥 𝑗1 𝑑𝑥 𝑗2 (𝑑𝑥 𝑖1 𝑑𝑥 𝑖2 · · · 𝑑𝑥 𝑖𝑘 ) (𝑑𝑥 𝑗3 · · · 𝑑𝑥 𝑗𝑙 ) ∑︁ = 𝑓 𝑔(−1) 𝑘𝑙 (𝑑𝑥 𝑗1 𝑑𝑥 𝑗2 · · · 𝑑𝑥 𝑗𝑙 ) (𝑑𝑥 𝑖1 𝑑𝑥 𝑖2 · · · 𝑑𝑥 𝑖𝑘 ) = (−1) 𝑘𝑙 𝜔2 𝜔1 . 1.2.3 Đạo hàm của dạng Trước hết ta định nghĩa đạo hàm của dạng bậc 0. Định nghĩa 1.2.10. Cho 𝑈 ⊂ R𝑛 mở và 𝑓 là một dạng trơn bậc 0 trên 𝑈, tức 𝑓 : 𝑈 → R là một hàm trơn. Đạo hàm của dạng bậc 0 này được định nghĩa là 𝑛 ∑︁ 𝜕𝑓 𝑑𝑓 = 𝑑𝑥 𝑖 . (1.2.11) 𝑖=1 𝜕𝑥 𝑖 Như vậy đạo hàm của một dạng bậc 0 là một dạng bậc 1. Ta thấy 𝑑𝑓 không gì khác hơn là đạo hàm của ánh xạ 𝑓 trong phép tính vi phân hàm nhiều biến. Cụ thể hơn, với 𝑥 ∈ 𝑈 và 𝑣 ∈ R𝑛 , theo công thức (1.2.11) thì 𝑛 𝑛 ∑︁ 𝜕𝑓 ∑︁ 𝜕𝑓 𝑑𝑓 (𝑥) (𝑣) = (𝑥)𝑑𝑥 𝑖 (𝑥) (𝑣) = (𝑥)𝑣 𝑖 = ∇ 𝑓 (𝑥) · 𝑣. 𝑖=1 𝜕𝑥𝑖 𝑖=1 𝜕𝑥 𝑖 Như vậy ngay trong trường hợp đầu tiên này đạo hàm của dạng vi phân đã chứa phép tính vi phân hàm nhiều biến, thể hiện ý nghĩa và tiềm năng trong ứng dụng. Ví dụ 1.2.12. Với hàm 𝑥 𝑖 , cho tọa độ thứ 𝑖 của 𝑥, thì 𝑑𝑥𝑖 = 𝑑𝑥 𝑖 , nghĩa là định nghĩa và kí hiệu mới tương thích với định nghĩa và kí hiệu trước. Ví dụ 1.2.13. Trên R, nếu 𝑓 là hàm của biến 𝑥 thì 𝑑𝑓 = 𝑓 0 𝑑𝑥. Như thế với mỗi số thực 𝑥 thì 𝑑𝑓 (𝑥) là ánh xạ từ R vào R cho bởi công thức với mỗi số thực Δ𝑥 thì 𝑑𝑓 (𝑥) (Δ𝑥) = 𝑓 0 (𝑥)Δ𝑥. Chẳng hạn với hàm sin viết theo biến 𝑡 thì 𝑑 sin = (cos)𝑑𝑡,
1.2. TÍNH CHẤT VÀ PHÉP TOÁN CƠ BẢN 15 và với mỗi số thực 𝑡 thì (𝑑 sin) (𝑡) là ánh xạ cho bởi công thức 𝑑 (sin) (𝑡) (Δ𝑡) = (cos 𝑡)Δ𝑡. Với hàm 𝑢(𝑥) = 𝑥 2 thì 𝑑𝑢 = 2𝑥𝑑𝑥. Chú ý là ta viết 2𝑥 để chỉ hàm mang mỗi số thực thành hai lần số thực đó, chứ không phải để chỉ một số thực nào. Cách lạm dụng kí hiệu này trước nay ta vẫn hay làm, chẳng hạn khi viết tắt “hàm 𝑢(𝑥) = 𝑥 2 ” thay vì viết “hàm 𝑢 xác định bởi qui tắc 𝑢(𝑥) = 𝑥 2 ”. Đây là một cách hiểu và viết chính xác cho khái niệm “vi phân” xuất hiện trong một số tài liệu về phép tính vi phân hàm một biến như sách giáo khoa trung học phổ thông [SGKGT11, tr. 213] mà ta đã nhắc tới ở phần Mở đầu. Ví dụ 1.2.14. Cho 𝑈 ⊂ R𝑛 mở và 𝑓 là một hàm hằng trên 𝑈 thì 𝑑𝑓 là dạng 0. Ví dụ 1.2.15. Với 𝑓 : R2 → R (𝑥, 𝑦) ↦→ 𝑓 (𝑥, 𝑦) thì 𝜕𝑓 𝜕𝑓 𝑑𝑓 = 𝑑𝑥 + 𝑑𝑦. 𝜕𝑥 𝜕𝑦 Đây là một cách hiểu và viết chính xác cho khái niệm “vi phân toàn phần” xuất hiện trong một số tài liệu về phép tính vi phân hàm nhiều biến. Trên là đạo hàm của 0-dạng, bây giờ ta nói về đạo hàm của 𝑘-dạng với 𝑘 > 0. Định nghĩa 1.2.16. Ta định nghĩa đạo hàm dạng của một dạng bậc 𝑘 > 0 là dạng bậc (𝑘 + 1) cho bởi ∑︁ ∑︁ 𝑑 𝑓 𝑑𝑥𝑖1 · · · 𝑑𝑥 𝑖𝑘 = (𝑑𝑓 )𝑑𝑥 𝑖1 · · · 𝑑𝑥 𝑖𝑘 . Nhiều tài liệu gọi đây là đạo hàm ngoài (exterior derivative). Ví dụ 1.2.17. Trên R2 , với dạng 𝑃𝑑𝑥 + 𝑄𝑑𝑦 thì 𝜕𝑃 𝜕𝑃 𝜕𝑄 𝜕𝑄 𝑑 (𝑃𝑑𝑥 + 𝑄𝑑𝑦) = (𝑑𝑃)𝑑𝑥 + (𝑑𝑄)𝑑𝑦 = 𝑑𝑥 + 𝑑𝑦 𝑑𝑥 + 𝑑𝑥 + 𝑑𝑦 𝑑𝑦 𝜕𝑥 𝜕𝑦 𝜕𝑥 𝜕𝑦 𝜕𝑃 𝜕𝑄 𝜕𝑄 𝜕𝑃 = 𝑑𝑦𝑑𝑥 + 𝑑𝑥𝑑𝑦 = − 𝑑𝑥𝑑𝑦. 𝜕𝑦 𝜕𝑥 𝜕𝑥 𝜕𝑦
16 CHƯƠNG 1. DẠNG VI PHÂN TRONG KHÔNG GIAN EUCLID Ví dụ 1.2.18. Trên R3 , với dạng 𝑃𝑑𝑦𝑑𝑧 + 𝑄𝑑𝑧𝑑𝑥 + 𝑅𝑑𝑥𝑑𝑦 thì 𝑑 (𝑃𝑑𝑦𝑑𝑧 + 𝑄𝑑𝑧𝑑𝑥 + 𝑅𝑑𝑥𝑑𝑦) = (𝑑𝑃)𝑑𝑦𝑑𝑧 + (𝑑𝑄)𝑑𝑧𝑑𝑥 + (𝑑𝑅)𝑑𝑥𝑑𝑦 𝜕𝑃 𝜕𝑃 𝜕𝑃 𝜕𝑄 𝜕𝑄 𝜕𝑄 = 𝑑𝑥 + 𝑑𝑦 + 𝑑𝑧 𝑑𝑦𝑑𝑧 + 𝑑𝑥 + 𝑑𝑦 + 𝑑𝑧 𝑑𝑧𝑑𝑥+ 𝜕𝑥 𝜕𝑦 𝜕𝑧 𝜕𝑥 𝜕𝑦 𝜕𝑧 𝜕𝑅 𝜕𝑅 𝜕𝑅 + 𝑑𝑥 + 𝑑𝑦 + 𝑑𝑧 𝑑𝑥𝑑𝑦 𝜕𝑥 𝜕𝑦 𝜕𝑧 𝜕𝑃 𝜕𝑄 𝜕𝑅 = + + 𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧. 𝜕𝑥 𝜕𝑦 𝜕𝑧 Trong Vi tích phân hàm nhiều biến, với trường 𝐹 = (𝑃, 𝑄, 𝑅) thì hàm 𝜕𝑃 𝜕𝑄 𝜕𝑅 + + 𝜕𝑥 𝜕𝑦 𝜕𝑧 được gọi là div 𝐹 (divergence). Từ đây trở đi nhiều vấn đề mà chúng ta thảo luận liên quan và gần gũi với những gì đã có trong môn Vi tích phân hàm nhiều biến. Người đọc nên đồng thời tra cứu một tài liệu môn này, chẳng hạn như [Vugt3], để dễ theo dõi hơn. Ví dụ 1.2.19. Trên R3 , với dạng 𝑃𝑑𝑥 + 𝑄𝑑𝑦 + 𝑅𝑑𝑧 thì 𝑑 (𝑃𝑑𝑥 + 𝑄𝑑𝑦 + 𝑅𝑑𝑧) = (𝑑𝑃)𝑑𝑥 + (𝑑𝑄)𝑑𝑦 + (𝑑𝑅)𝑑𝑧 𝜕𝑃 𝜕𝑃 𝜕𝑃 𝜕𝑄 𝜕𝑄 𝜕𝑄 𝜕𝑅 𝜕𝑅 𝜕𝑅 = 𝑑𝑥 + 𝑑𝑦 + 𝑑𝑧 𝑑𝑥 + 𝑑𝑥 + 𝑑𝑦 + 𝑑𝑧 𝑑𝑦 + 𝑑𝑥 + 𝑑𝑦 + 𝑑𝑧 𝑑𝑧 𝜕𝑥 𝜕𝑦 𝜕𝑧 𝜕𝑥 𝜕𝑦 𝜕𝑧 𝜕𝑥 𝜕𝑦 𝜕𝑧 𝜕𝑄 𝜕𝑃 𝜕𝑅 𝜕𝑄 𝜕𝑃 𝜕𝑅 = − 𝑑𝑥𝑑𝑦 + − 𝑑𝑦𝑑𝑧 + − 𝑑𝑧𝑑𝑥. 𝜕𝑥 𝜕𝑦 𝜕𝑦 𝜕𝑧 𝜕𝑧 𝜕𝑥 Trong Vi tích phân hàm nhiều biến, với trường 𝐹 = (𝑃, 𝑄, 𝑅) thì trường 𝜕𝑄 𝜕𝑃 𝜕𝑅 𝜕𝑄 𝜕𝑃 𝜕𝑅 − , − , − 𝜕𝑥 𝜕𝑦 𝜕𝑦 𝜕𝑧 𝜕𝑧 𝜕𝑥 được gọi là curl 𝐹 hay rot𝐹. Ví dụ 1.2.20. Một dạng bậc 1 trên R phải là 𝑓 𝑑𝑥. Đạo hàm của dạng này là 𝑑 ( 𝑓 𝑑𝑥) = (𝑑𝑓 )𝑑𝑥 = ( 𝑓 0 𝑑𝑥)𝑑𝑥 = 𝑓 0 𝑑𝑥𝑑𝑥 = 0. Tổng quát hơn, đạo hàm của một dạng bậc 𝑛 trên R𝑛 là một dạng bậc (𝑛 + 1) trên R𝑛 , nên bằng 0. Mệnh đề 1.2.21. Đạo hàm dạng có những tính chất sau: (a) Tính tuyến tính: 𝑑 (𝑎𝛼 + 𝑏𝛽) = 𝑎𝑑𝛼 + 𝑏𝑑𝛽 với 𝑎 và 𝑏 là số thực và 𝛼 và 𝛽 là dạng cùng bậc.
1.2. TÍNH CHẤT VÀ PHÉP TOÁN CƠ BẢN 17 (b) Đạo hàm của tích: 𝑑 (𝛼𝛽) = (𝑑𝛼) 𝛽 + (−1) 𝑘 𝛼𝑑𝛽 (1.2.22) trong đó 𝑘 là bậc của 𝛼. Í Í Chứng minh. Viết 𝛼 = 𝑓 𝑑𝑥 𝑖1 𝑑𝑥 𝑖2 · · · 𝑑𝑥𝑖𝑘 và 𝛽 = 𝑔𝑑𝑥 𝑗1 𝑑𝑥 𝑗2 · · · 𝑑𝑥 𝑗𝑙 thì ∑︁ 𝛼𝛽 = 𝑓 𝑔𝑑𝑥𝑖1 𝑑𝑥 𝑖2 · · · 𝑑𝑥 𝑖𝑘 𝑑𝑥 𝑗1 𝑑𝑥 𝑗2 · · · 𝑑𝑥 𝑗𝑙 . Ta có ∑︁ 𝑑 (𝛼𝛽) = 𝑑 ( 𝑓 𝑔)𝑑𝑥 𝑖1 𝑑𝑥 𝑖2 · · · 𝑑𝑥 𝑖𝑘 𝑑𝑥 𝑗1 𝑑𝑥 𝑗2 · · · 𝑑𝑥 𝑗𝑙 ! ∑︁ ∑︁ 𝜕 𝑓 𝜕𝑔 = 𝑔+ 𝑓 𝑑𝑥 𝑠 𝑑𝑥 𝑖1 𝑑𝑥 𝑖2 · · · 𝑑𝑥𝑖𝑘 𝑑𝑥 𝑗1 𝑑𝑥 𝑗2 · · · 𝑑𝑥 𝑗𝑙 𝑠 𝜕𝑥 𝑠 𝜕𝑥 𝑠 " ! ∑︁ ∑︁ 𝜕 𝑓 = 𝑑𝑥 𝑠 𝑑𝑥𝑖1 𝑑𝑥𝑖2 · · · 𝑑𝑥 𝑖𝑘 𝑔𝑑𝑥 𝑗1 𝑑𝑥 𝑗2 · · · 𝑑𝑥 𝑗𝑙 + 𝑠 𝜕𝑥 𝑠 ! # ∑︁ 𝜕𝑔 +(−1) 𝑘 𝑓 𝑑𝑥𝑖1 𝑑𝑥𝑖2 · · · 𝑑𝑥 𝑖𝑘 𝑑𝑥 𝑠 𝑑𝑥 𝑗1 𝑑𝑥 𝑗2 · · · 𝑑𝑥 𝑗𝑙 𝑠 𝜕𝑥 𝑠 = (𝑑𝛼) 𝛽 + (−1) 𝑘 𝛼𝑑𝛽. Ví dụ 1.2.23. Với dạng bậc 0 thì công thức đạo hàm của tích trở thành 𝑑 ( 𝑓 𝑔) = (𝑑𝑓 )𝑔 + 𝑔(𝑑𝑓 ), chính là công thức Leibniz cho đạo hàm của tích của hàm thực. Mặt khác trong chứng minh trên ta cũng đã dùng công thức Leibniz. Mệnh đề 1.2.24. Đạo hàm của đạo hàm của một dạng trơn cấp hai bất kì bằng 0, nghĩa là với dạng 𝜔 trơn cấp hai bất kì thì 𝑑 (𝑑𝜔) = 0, hay ngắn gọn hơn: 𝑑 2 = 0. (1.2.25) Chứng minh. Lấy 𝜔 = 𝑓 𝑑𝑥𝑖1 · · · 𝑑𝑥 𝑖𝑘 , ta có ! ! ∑︁ 𝜕 𝑓 𝑑 (𝑑𝜔) = 𝑑 (𝑑𝑓 )𝑑𝑥𝑖1 · · · 𝑑𝑥𝑖𝑘 = 𝑑 𝑑𝑥𝑖 𝑑𝑥𝑖1 · · · 𝑑𝑥 𝑖𝑘 𝑖 𝜕𝑥 𝑖 ! ! ∑︁ 𝜕 𝑓 ∑︁ ∑︁ 𝜕 𝜕 𝑓 = 𝑑 𝑑𝑥𝑖 𝑑𝑥𝑖1 · · · 𝑑𝑥 𝑖𝑘 = 𝑑𝑥 𝑗 𝑑𝑥 𝑖 𝑑𝑥 𝑖1 · · · 𝑑𝑥𝑖𝑘 𝑖 𝜕𝑥 𝑖 𝑖 𝑗 𝜕𝑥 𝑗 𝜕𝑥 𝑖 ! ∑︁ 𝜕 2 𝑓 = 𝑑𝑥 𝑗 𝑑𝑥 𝑖 𝑑𝑥 𝑖1 · · · 𝑑𝑥𝑖𝑘 𝑖, 𝑗 𝜕𝑥 𝑗 𝜕𝑥 𝑖 ! ! ∑︁ 𝜕 2 𝑓 ∑︁ 𝜕 2 𝑓 𝜕2 𝑓 = 𝑑𝑥 𝑖 𝑑𝑥 𝑖 𝑑𝑥 𝑖1 · · · 𝑑𝑥 𝑖𝑘 + − 𝑑𝑥 𝑗 𝑑𝑥𝑖 𝑑𝑥𝑖1 · · · 𝑑𝑥 𝑖𝑘 = 0. 𝑖 𝜕𝑥 𝑖 𝜕𝑥 𝑖 𝑖< 𝑗 𝜕𝑥 𝑗 𝜕𝑥 𝑖 𝜕𝑥 𝑖 𝜕𝑥 𝑗
18 CHƯƠNG 1. DẠNG VI PHÂN TRONG KHÔNG GIAN EUCLID 𝜕2 𝑓 𝜕2 𝑓 Ở bước cuối ta đã dùng tính chất 𝑑𝑥 𝑖 𝑑𝑥 𝑗 = −𝑑𝑥 𝑗 𝑑𝑥 𝑖 và 𝜕𝑥 𝑗 𝜕𝑥𝑖 = 𝜕𝑥𝑖 𝜕𝑥 𝑗 cho các hàm trơn cấp hai. Ví dụ 1.2.26. 𝑑 (𝑑𝑥) = 0. Ta có thể giải thích 𝑑 (𝑑𝑥) = 𝑑 (1 · 𝑑𝑥) = 𝑑 (1)𝑑𝑥 = 0𝑑𝑥 = 0. 𝜕𝑓 𝜕𝑓 Ví dụ 1.2.27. Trong R2 cho 𝛼 = 𝑓 , một dạng bậc 0. Ta có 𝑑𝑓 = 𝑑𝑥 + 𝑑𝑦, và 𝜕𝑥 𝜕𝑦 𝜕2 𝑓 𝜕2 𝑓 𝑑 (𝑑𝑓 ) = − 𝑑𝑥𝑑𝑦 = 0. 𝜕𝑥𝜕𝑦 𝜕𝑦𝜕𝑥 Ví dụ 1.2.28. Trong R3 cho 𝛼 = 𝑃𝑑𝑥 + 𝑄𝑑𝑦 + 𝑅𝑑𝑧. Như trên 𝜕𝑄 𝜕𝑃 𝜕𝑅 𝜕𝑄 𝜕𝑃 𝜕𝑅 𝑑𝛼 = − 𝑑𝑥𝑑𝑦 + − 𝑑𝑦𝑑𝑧 + − 𝑑𝑧𝑑𝑥. 𝜕𝑥 𝜕𝑦 𝜕𝑦 𝜕𝑧 𝜕𝑧 𝜕𝑥 Do đó 𝜕𝑄 𝜕𝑃 𝜕𝑅 𝜕𝑄 𝜕𝑃 𝜕𝑅 𝑑 (𝑑𝛼) = 𝑑 − 𝑑𝑥𝑑𝑦 + − 𝑑𝑦𝑑𝑧 + − 𝑑𝑧𝑑𝑥 𝜕𝑥 𝜕𝑦 𝜕𝑦 𝜕𝑧 𝜕𝑧 𝜕𝑥 𝜕𝑄 𝜕𝑃 𝜕𝑅 𝜕𝑄 𝜕𝑃 𝜕𝑅 =𝑑 − 𝑑𝑥𝑑𝑦 + 𝑑 − 𝑑𝑦𝑑𝑧 + 𝑑 − 𝑑𝑧𝑑𝑥 𝜕𝑥 𝜕𝑦 𝜕𝑦 𝜕𝑧 𝜕𝑧 𝜕𝑥 2 𝜕 2𝑄 𝜕 2𝑄 𝜕2 𝑃 𝜕2 𝑃 𝜕2 𝑃 𝜕 𝑄 = 𝑑𝑥 + 𝑑𝑦 + 𝑑𝑧 − 𝑑𝑥 − 2 𝑑𝑦 − 𝑑𝑧 𝑑𝑥𝑑𝑦+ 𝜕𝑥 2 𝜕𝑥𝜕𝑦 𝜕𝑥𝜕𝑧 𝜕𝑦𝜕𝑥 𝜕𝑦 𝜕𝑦𝜕𝑧 2 𝜕2 𝑅 𝜕2 𝑅 𝜕 2𝑄 𝜕 2𝑄 𝜕 2𝑄 𝜕 𝑅 + 𝑑𝑥 + 2 𝑑𝑦 + 𝑑𝑧 − 𝑑𝑥 − 𝑑𝑦 − 2 𝑑𝑧 𝑑𝑦𝑑𝑧+ 𝜕𝑦𝜕𝑥 𝜕𝑦 𝜕𝑦𝜕𝑧 𝜕𝑧𝜕𝑥 𝜕𝑧𝜕𝑦 𝜕𝑧 2 2 2 2 2 𝜕2 𝑅 𝜕 𝑃 𝜕 𝑃 𝜕 𝑃 𝜕 𝑅 𝜕 𝑅 + 𝑑𝑥 + 𝑑𝑦 + 2 𝑑𝑧 − 2 𝑑𝑥 − 𝑑𝑦 − 𝑑𝑧 𝑑𝑧𝑑𝑥. 𝜕𝑧𝜕𝑥 𝜕𝑧𝜕𝑦 𝜕𝑧 𝜕𝑥 𝜕𝑥𝜕𝑦 𝜕𝑥𝜕𝑧 𝜕 2𝑄 𝜕2 𝑃 𝜕2 𝑅 𝜕 2𝑄 𝜕2 𝑃 𝜕2 𝑅 = 𝑑𝑧𝑑𝑥𝑑𝑦 − 𝑑𝑧𝑑𝑥𝑑𝑦 + 𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 − 𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 + 𝑑𝑦𝑑𝑧𝑑𝑥 − 𝑑𝑦𝑑𝑧𝑑𝑥 𝜕𝑥𝜕𝑧 𝜕𝑦𝜕𝑧 𝜕𝑦𝜕𝑥 𝜕𝑧𝜕𝑥 𝜕𝑧𝜕𝑦 𝜕𝑥𝜕𝑦 = 0. 1.2.4 Đổi biến trên dạng ∫ Trên R ta thường đổi biến trong tích phân như sau. Xét tích phân 𝑓 (𝑢)𝑑𝑢. Đặt 𝑢 = 𝑢(𝑥), khi đó 𝑑𝑢 = 𝑢 0 (𝑥)𝑑𝑥, 𝑓 (𝑢)𝑑𝑢 = 𝑓 (𝑢(𝑥))𝑢 0 (𝑥)𝑑𝑥, và ∫ 𝑏 ∫ 𝜑 (𝑏) 𝑓 (𝑢(𝑥))𝑢 0 (𝑥)𝑑𝑥 = 𝑓 (𝑢)𝑑𝑢. 𝑎 𝜑 (𝑎) ∫ 𝜋/2 Ví dụ 1.2.29. Tính sin2 𝑡 cos 𝑡𝑑𝑡. Đổi biến 𝑢 = sin 𝑡 thì 𝑑𝑢 = cos 𝑡𝑑𝑡, do đó 0 1
1 𝑢 3