Bài giảng Đạo hàm và vi phân: Phần 2

Chia sẻ: Sung Sung | Ngày: | Loại File: PPT | Số trang:44

Thêm vào BST

Báo xấu

194
lượt xem 27
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Bài giảng Đạo hàm và vi phân: Phần 2 được biên soạn nhằm giúp cho các bạn hiểu rõ hơn về đạo hàm và vi phân hàm hợp; đạo hàm và vi phân hàm ẩn. Đây là bài giảng hữu ích đối với các bạn chuyên ngành Toán học và những ngành có liên quan.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Bài giảng Đạo hàm và vi phân: Phần 2

ĐẠO HÀM VÀ VI PHÂN Phần 2
Nội dung 1. Đạo hàm và vi phân hàm hợp. 2. Đạo hàm và vi phân hàm ẩn.
ĐẠO HÀM VÀ VI PHÂN CỦA HÀM HỢP Trường hợp cơ bản: hợp của hàm 2 biến và hàm 2 biến Cho z = f(x, y) và x = x(u, v), y = y(u, v). Nếu z, x, y khả vi: zu = fx .xu + fy .y u , zv = fx .xv + fy .yv dz = zu du + zv dv dz = fx dx + fy dy = fx ( xu du + xv dv ) + fy ( y u du + y v dv )
Trường hợp riêng 1 Cho z = f(x) và x = x(u, v) (hợp của 1 biến và 2 biến) zu = f ( x ) xu , zv = f ( x ) xv dz = zu du + zv dv dz = f ( x )dx = f ( x )( xudu + xv dv )
Trường hợp riêng 2: z = f(x, y), x = x(t), y = y(t) (hợp 2 biến và 1 biến) z (t ) = fx .x (t ) + fy .y (t ) dz = z (t )dt dz = fx dx + fy dy = fx .x (t )dt + fy .y (t )dt
Trường hợp riêng 3: z = f(x, y), y = y(x) (hợp 2 biến và 1 biến) z ( x ) = fx + fy .y ( x ) dz = z ( x )dx Lưu ý: khi tính đạo hàm hàm hợp, luôn bắt đầu từ đạo hàm của f theo biến chính. Sau đó, tùy thuộc vào yêu cầu, nhân thêm đạo hàm của biến chính vào cạnh đạo hàm của f.
VÍ DỤ xy 2 1/ Cho: z = f ( x , y ) = e , x = u , y = u + v tìm z’u, z’v , dz tại (u, v)= (1, 1). z’u = f’x. x’u + f’y.y’u z’v = f’x. x’v + f’y.y’v (u, v)= (1, 1) (x, y) = (1, 2) xy zu = ye .2u + xe xy .1 xy xy zv = ye .0 + xe .1
zu (1,1) = 2.e 2 .2 + 1.e 2 .1 = 5e 2 2 zv (1,1) = e 2 2 dz (1,1) = zu (1,1)du + zv (1,1)dv = 5e du + e dv
2 u� � 2/ Cho:z = f ( x ) = sin( x + x ), x = arctan � � v� � Tính z’u, z’v tại (0, 1) z’u = f’(x). x’u z’v = f’(x). x’v x(0, 1) = 0 2 1 1 zu = (1 + 2 x )cos( x + x ) 2 v u 1+ 2 zu (0,1) = 1 v 2 −u 1 zv (0,1) = 0 zv = (1 + 2 x )cos( x + x ) 2 2 v u 1+ 2 v
3/ Cho: z = f ( x , y ) = sin( xy ), x = arctan ( t ) , y = et Tính dz(t) tại t = 0 Cách 1: dz = z’(t)dt, với z’(t) = f’x. x’(t) + f’y.y’(t), 1 z (t ) = y cos( xy ) 2 + x cos( xy ) e t 1+ t t = 0 � x = 0, y = 1 � dz (0) = dt
z = f ( x , y ) = sin( xy ), x = arctan ( t ) , y = et Cách 2: dz = fx dx + fy dy = fx .x (t )dt + fy .y (t )dt dz = y cos( xy )dx + x cos( xy )dy dt t = y cos( xy ) 2 + x cos( xy )e dt 1+ t � dz (0) = dt
2 ln( y + 1) 4/ Cho: z = f (x, y ) = . x2 a/ Tính z’x tại (1,0). b/ Nếu y = ex, tính z’(x) tại x = 1 2 z ln( y + 1) ln(1) a / zx = = f x = −2 3 � zx (1,0) = −2 =0 x x 1 b/ z’(x) = f’x + f’y.y’(x) 2 ln( y + 1) 2y x = −2 3 + 2 2 e x ( y + 1) x
2 ln(y + 1) 2y x z '( x ) = −2 3 + 2 2 e x ( y + 1) x x =1� y = e 2 2 2e � z (0) = −2ln(e + 1) + 2 e +1
5/ Cho: z = f ( x − y , xy ), với f là hàm khả vi Tính z’x, z’y Đặt: u = x – y , v = xy z = f(u, v) (u, v là biến chính của f) zx = fu .u x + fv .v x = fu .1 + fv y zy = fu .uy + fv .v y = fu .(−1) + fv x
�x � 6/ Cho: z = xf � 2 � với f là hàm khả vi �y � Chứng minh đẳng thức: 2 xzx + yzy = 2z x Đặt : u= 2 z = x.f(u) y zx = f (u ) + x.[ f (u ) ] x 1 = f (u ) + x.f (u ).u x = f (u ) + x.f (u ). 2 y
�x � zy = x.[ f (u ) ] y z = xf � 2 � �y � −2 x = xf (u ).uy = x.f (u ). 3 y � 1 � −2 x 2 xzx + yzy = 2 x �f (u ) + x.f (u ). 2 �+ yx.f (u ). 3 � y � y = 2 xf (u ) = 2z
7/ Cho: z = f x(2 − y , xy 2 ) với f là hàm khả vi Tính dz theo dx, dy. Đặt: u = x2 – y , v = xy2 z = f(u, v) •Cách 1: dz = z’xdx + z’ydy với zx = fu .u x + fv .v x = fu .2 x + fv .y 2 zy = fu .uy + fv .v y = fu .(−1) + fv .2 xy ( dz = fu .2 x + fv .y 2 ) dx + ( −f u + fv .2 xy ) dy
• Cách khác: dz = f’udu + f’vdv = f’u( u’xdx + u’ydy) + f’v ( v’xdx + v’ydy) = f’u(2xdx – dy) + f’v(y2dx + 2xydy) = (2xf’u + y2f’v)dx + (2xyf’v – f’u)dy
Đạo hàm và vi phân cấp cao của hàm hợp Xét trường hợp cơ bản, các trường hợp khác tương tự. Cho z = f(x, y) và x = x(u, v), y = y(u, v) ( zuu = fx .xu + fy .y u )u � � � � ￻ � = ( fx ) u .xu + fx .xuu + �fy( ) u � .y u + fy .y uu � ￻ ( zuv = fx .xu + fy .y u )v � � � � ￻ � = ( fx ) v .xu + fx .xuv + �fy( ) v � .y u + fy .y uv � ￻
( zvv = fx .xv + fy .yv )v � � � � ￻ � = ( fx ) v .xu + fx .xuv + �fy ( ) v � .y u + fy .yvv � ￻ Các đhàm (f’x)’u, (f’x)’v, (f’y)’u, (f’y)’v phải tính theo hàm hợp. Vi phân cấp hai của hàm hợp: (u, v là biến độc lập) Để đơn giản, viết d2z theo du, dv 2 2 2 d z = zuu du + 2zuv dudv + zvv dv