Bài giảng Chương 1: Đạo hàm và vi phân hàm nhiều biến (Phần 1)

Chia sẻ: Sung Sung | Ngày: | Loại File: PPT | Số trang:38

Thêm vào BST

Báo xấu

369
lượt xem 35
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Bài giảng Chương 1: Đạo hàm và vi phân hàm nhiều biến (Phần 1) cung cấp cho các bạn những kiến thức về đạo hàm riêng cấp 1 của z = f(x,y); đạo hàm riêng cấp cao của z = f(x,y); sự khả vi và vi phân.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Bài giảng Chương 1: Đạo hàm và vi phân hàm nhiều biến (Phần 1)

Chương 1: ĐẠO HÀM VÀ VI PHÂN HÀM NHIỀU BIẾN Phần 1
Nội dung 1. Đạo hàm riêng cấp 1 của z = f(x,y) 2. Đạo hàm riêng cấp cao của z = f(x,y) 3. Sự khả vi và vi phân.
ĐẠO HÀM RIÊNG CẤP 1 Đạo hàm riêng cấp 1 của f(x, y) theo biến x tại (x0, y0) f f ( x0 + ∆x , y 0 ) − f ( x0 , y 0 ) fx ( x0 , y 0 ) = ( x0 , y 0 ) = lim x ∆x 0 ∆x (Cố định y0, biểu thức là hàm 1 biến theo x, tính đạo hàm của hàm này tại x0) Đạo hàm riêng cấp 1 của f theo biến y tại (x0, y0) f f ( x0 , y 0 + ∆y ) − f ( x0 , y 0 ) fy ( x0 , y 0 ) = ( x0 , y 0 ) = lim y ∆y 0 ∆y
Ý nghĩa của đhr cấp 1 Cho mặt cong S: z = f(x, y), xét f’x(a, b), với c = f(a, b) Xem phần mặt cong S gần P(a, b, c) Mphẳng y = b cắt S theo gt C1 đi qua P. (C1) : z = g(x) = f(x,b) g’(a) = f’x(a, b)
f’x(a, b) = g’(a) là hệ số góc tiếp tuyến T1 của C1 tại x = a. f’y(a, b) là hệ số góc tiếp tuyến T2 của C2 ( là phần giao của S với mp x = a) tại y = b
Các ví dụ về cách tính. 1/ Cho f(x,y) = 3x2y + xy2 Tính fx (1,2), fy (1,2) fx (1,2) : cố định y0 = 2, ta có hàm 1 biến 2 f ( x , 2) = 6 x + 4 x 2 � fx (1,2) = (6 x + 4 x ) |x =1 = 12 x + 4 |x =1 = 16
f(x,y) = 3x2y + xy2 fy (1,2) cố định x0 = 1, ta có hàm 1 biến 2 f (1, y ) = 3y + y 2 � fy (1, 2) = (3y + y ) |y = 2 = (3 + 2 y ) |y = 2 = 7
2/ f(x,y) = 3x2y + xy2 Tính fx ( x , y ), fy ( x , y ) với mọi (x, y) R2 fx ( x , y ) Xem y là hằng, tính đạo hàm f(x, y) theo x 2 fx ( x , y ) = 6 xy + y , ∀( x , y ) Áp dụng tính: fx (1,2) = (6 xy + y 2 ) | x =1, y = 2 = 16 (Đây là cách thường dùng để tính đạo hàm tại 1 điểm)
f(x,y) = 3x2y + xy2 fy ( x , y ) Xem x là hằng, tính đạo hàm f(x, y) theo y 2 fy ( x , y ) = 3x + x 2 y , ∀( x , y ) Áp dụng tính: 2 fx (1,2) = (3x + 2 xy ) |x =1,y =2 = 7
2/ Tính fx (1,1), fy (1,1) với f(x, y) = xy y −1 fx ( x , y ) = yx , ∀x > 0 1−1 � fx (1,1) = 1 �1 = 1; y fy ( x , y ) = x ln x , ∀x > 0 1 � fy (1,1) = 1 ln1 = 0
xy ,( x , y ) (0,0) 3/ Cho f (x, y ) = x 2 + y 2 0, ( x , y ) = (0,0) a/ Tính fx (0,1) b/ Tính fx (0,0)
xy 2 2 ,( x , y ) (0,0) f (x, y ) = x + y 0, ( x , y ) = (0,0) a/ Tính fx (0,1) (0,1) không phải là điểm phân chia biểu thức. 2 2 2 y (x + y ) − 2x y fx ( x , y ) = 2 2 2 , ∀( x , y ) (0,0) (x + y ) � fx (0,1) = 1
xy 2 2 ,( x , y ) (0,0) f (x, y ) = x + y 0, ( x , y ) = (0,0) b/ Tính fx (0,0) (0,0) là điểm phân chia biểu thức Tính bằng định nghĩa f ( x0 + ∆x , y 0 ) − f ( x0 , y 0 ) fx ( x0 , y 0 ) = lim ∆x 0 ∆x f (0 + ∆x ,0) − f (0,0) fx (0,0) = lim = lim 0 = 0 ∆x 0 ∆x ∆x 0
4/ Cho f ( x , y ) = e − x2 +y 2 tính fx ( x , y ) Hàm f xác định tại, mọi (x,y) x − x2 +y 2 fx ( x , y ) = − e , ∀( x , y ) (0,0) 2 2 x +y Công thức trên không đúng cho (x, y) = (0, 0)
− x2 +y 2 f (x, y ) = e • Tại (0, 0): tính bằng định nghĩa f (0 + ∆x ,0) − f (0,0) − ∆x 2 e −1 = ∆x ∆x − ∆x 2 e −1 � lim = m1 ∆x 0 ∆x f không có đạo hàm theo x tại (0, 0) (f’x(0,0) không tồn tại) .
Ví dụ cho hàm 3 biến (Tương tự hàm 2 biến) xz Cho f ( x , y , z ) = x + ye Tính fx , fy , fz tại (0, −1,2) xz fx = 1 + yze � fx (0, −1,2) = 1 − 2 = −1 xz fy = e xz fz = xye
ĐẠO HÀM RIÊNG CẤP CAO Xét hàm 2 biến f(x,y) f’x, f’y cũng là các hàm 2 biến Đạo hàm riêng cấp 2 của f là các đhr cấp 1( nếu có) của f’x, f’y 2 2 f � f� f � f� fxx = f = 2 = � � fxy = = x2 x x �x � x y y x 2 2 f f � � f �f � fyx = = fyy = f 2 = = � � y x x y y y y y y
VÍ DỤ f ( x , y ) = x 2 + xy + cos( y − x ) Tính các đạo hàm riêng cấp 2 của f fx = 2 x + y + sin( y − x ) fy = x − sin( y − x ) fxx = ( fx ) x = ( 2 x + y + sin( y − x ) ) x = 2 − cos( y − x ) fxy = ( fx ) y = 1 + cos( y − x )
fy = x − sin( y − x ) fyx = ( fy ) = 1 + cos( y − x ) x fyy = ( fy ) = − cos( y − x ) y fyx (0, π ) = 0, fyy (0, π ) = 1 fxx (0, π ) = 3, fxy (0, π ) = 0
Tổng quát thì các đạo hàm hỗn hợp không bằng nhau fxy fyx Định lý Schwartz: nếu f(x, y) và các đạo hàm riêng fx , fy , fxy , fyx liên tục trong miền mở chứa (x0, y0) thì fxy ( x0 , y 0 ) = fyx ( x0 , y 0 ) (VD 2.28 trang 53, Toán 3, Đỗ Công Khanh) •Đối với các hàm sơ cấp thường gặp, định lý Schwartz luôn đúng tại các điểm đạo hàm tồn tại. •Định lý Schwartz cũng đúng cho đạo hàm cấp 3 trở lên. fxxy = fxyx = fyxx