Bài giảng Toán 2: Chương 1 - ThS. Huỳnh Văn Kha

Chia sẻ: Ngocnga Ngocnga | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:77

Thêm vào BST

Báo xấu

91
lượt xem 5
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Bài giảng chương 1 trang bị cho sinh viên những kiên thức về toán đạo hàm riêng. Các nội dung cần nắm bắt trong chương gồm có: Hàm nhiều biến, giới hạn và liên tục của hàm nhiều biến, đạo hàm riêng, đạo hàm theo hướng, véc-tơ gradient, cực trị. Mời các bạn cùng tham khảo.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Bài giảng Toán 2: Chương 1 - ThS. Huỳnh Văn Kha

CHƯƠNG 1 ĐẠO HÀM RIÊNG ThS. Huỳnh Văn Kha Email: huynhvankha@tdt.edu.vn https://sites.google.com/site/khahuynhtdt/bai -giang-toan2
NỘI DUNG CHÍNH 1. Hàm nhiều biến 2. Giới hạn và liên tục của hàm nhiều biến 3. Đạo hàm riêng 4. Đạo hàm theo hướng, véc-tơ gradient 5. Cực trị 31/12/2015 Toán 2 - Chương 1 2
1. HÀM NHIỀU BIẾN • Thể tích của khối trụ là 𝑉 = 𝜋𝑟 2 ℎ • Thể tích 𝑉 = 𝑉 𝑟, ℎ là hàm số theo 2 biến 𝑟 và ℎ. Định nghĩa 1. Hàm nhiều biến – function of several variables Cho 𝐷 là tập hợp các bộ 𝑛 con số có dạng 𝑥1 , 𝑥2 , … , 𝑥𝑛 . Một hàm số (function) 𝑓 trên 𝐷 là một quy tắc mà ứng với mỗi phần tử của 𝐷 cho tương ứng duy nhất một con số thực 𝑤 = 𝑓 𝑥1 , 𝑥2 , … , 𝑥𝑛 . Miền 𝐷 được gọi là tập xác định (domain) của 𝑓. Tập các giá trị có thể của 𝑓 gọi là miền giá trị (range). 31/12/2015 Toán 2 - Chương 1 3
31/12/2015 Toán 2 - Chương 1 4
Ví dụ hàm hai biến 31/12/2015 Toán 2 - Chương 1 5
Ví dụ hàm ba biến 31/12/2015 Toán 2 - Chương 1 6
Đồ thị hàm hai biến • Tập hợp các điểm 𝑥, 𝑦, 𝑓 𝑥, 𝑦 với 𝑥, 𝑦 thuộc tập xác định của 𝑓 được gọi là đồ thị (graph) của 𝑓. 31/12/2015 Toán 2 - Chương 1 7
31/12/2015 Toán 2 - Chương 1 8
31/12/2015 Toán 2 - Chương 1 9
2. GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC • Nếu giá trị của 𝑓 𝑥, 𝑦 có thể gần 𝐿 tùy ý với mọi 𝑥, 𝑦 đủ gần 𝑥0 , 𝑦0 thì ta nói 𝑓 có giới hạn bằng 𝐿 khi 𝑥, 𝑦 tiến về 𝑥0 , 𝑦0 . Định nghĩa 2. Giới hạn - limit Ta nói 𝑓 𝑥, 𝑦 có giới hạn bằng 𝐿 khi 𝑥, 𝑦 tiến về 𝑥0 , 𝑦0 và viết lim 𝑓 𝑥, 𝑦 = 𝐿 𝑥,𝑦 → 𝑥0 ,𝑦0 nếu với mọi 𝜀 > 0 đều tồn tại 𝛿 > 0 sao cho với mọi 𝑥, 𝑦 thuộc miền xác định của 𝑓 0 < 𝑥 − 𝑥0 2 + 𝑦 − 𝑦0 2 < 𝛿 ⇒ 𝑓 𝑥, 𝑦 − 𝐿 < 𝜀 31/12/2015 Toán 2 - Chương 1 10
31/12/2015 Toán 2 - Chương 1 11
Sự liên tục của hàm hai biến Định nghĩa 3. Liên tục – continuous Ta nói 𝑓 𝑥, 𝑦 liên tục tại điểm 𝑥0 , 𝑦0 nếu 1. 𝑓 xác định tại 𝑥0 , 𝑦0 , 2. lim 𝑓 𝑥, 𝑦 tồn tại, 𝑥,𝑦 → 𝑥0 ,𝑦0 3. lim 𝑓 𝑥, 𝑦 = 𝑓 𝑥0 , 𝑦0 . 𝑥,𝑦 → 𝑥0 ,𝑦0 Một hàm số được nói là liên tục nếu nó liên tục tại mọi điểm thuộc tập xác định của nó. 31/12/2015 Toán 2 - Chương 1 12
3. ĐẠO HÀM RIÊNG • Cho hàm hai biến 𝑓 𝑥, 𝑦 . Cố định 𝑦 = 𝑦0 ta được hàm một biến 𝑔 𝑥 = 𝑓 𝑥, 𝑦0 . • Đạo hàm của hàm số này tại 𝑥0 gọi là đạo hàm riêng (viết tắt là ĐHR) theo biến 𝑥 của 𝑓 tại điểm (𝑥0 , 𝑦0 ). Định nghĩa 4. Đạo hàm riêng – partial derivative Đạo hàm riêng theo biến 𝑥 của hàm số 𝑓 𝑥, 𝑦 tại điểm 𝑥0 , 𝑦0 được định nghĩa là 𝜕𝑓 𝑓 𝑥0 + ℎ, 𝑦0 − 𝑓 𝑥0 , 𝑦0 = lim 𝜕𝑥 𝑥 ,𝑦 ℎ→0 ℎ 0 0 31/12/2015 Toán 2 - Chương 1 13
31/12/2015 Toán 2 - Chương 1 14
• Một cách tương đương, ta có thể định nghĩa 𝜕𝑓 𝑑 = 𝑓 𝑥, 𝑦0 𝜕𝑥 𝑥 ,𝑦 𝑑𝑥 𝑥 0 0 0 • ĐHR theo biến 𝑥 của 𝑧 = 𝑓 𝑥, 𝑦 tại điểm 𝑥0 , 𝑦0 được ký hiệu theo nhiều cách 𝜕𝑓 𝜕𝑧 , 𝑓𝑥 𝑥0 , 𝑦0 , hoặc , 𝑧𝑥 𝑥0 , 𝑦0 𝜕𝑥 𝑥 ,𝑦 𝜕𝑥 𝑥 ,𝑦 0 0 0 0 • ĐHR theo biến 𝑥 của 𝑧 = 𝑓 𝑥, 𝑦 cũng là hàm số hai biến và được ký hiệu 𝜕𝑓 𝜕𝑧 𝑓𝑥 hoặc 𝑧𝑥 𝜕𝑥 𝜕𝑥 31/12/2015 Toán 2 - Chương 1 15
• Tương tự ta có định nghĩa 𝜕𝑓 𝑑 𝑓 𝑥0 , 𝑦0 + ℎ − 𝑓 𝑥0 , 𝑦0 = 𝑓 𝑥0 , 𝑦 = lim 𝜕𝑦 𝑥0 ,𝑦0 𝑑𝑦 𝑦0 ℎ→0 ℎ • Đạo hàm riêng theo biến 𝑦 của 𝑧 = 𝑓 𝑥, 𝑦 tại điểm 𝑥0 , 𝑦0 được ký hiệu theo nhiều cách 𝜕𝑓 𝜕𝑧 , 𝑓𝑦 𝑥0 , 𝑦0 , hoặc , 𝑧𝑦 𝑥0 , 𝑦0 𝜕𝑦 𝑥 ,𝑦 𝜕𝑦 𝑥 ,𝑦 0 0 0 0 • ĐHR theo biến 𝑦 của 𝑧 = 𝑓 𝑥, 𝑦 cũng là hàm số hai biến và được ký hiệu 𝜕𝑓 𝜕𝑧 𝑓𝑦 hoặc 𝑧𝑦 𝜕𝑦 𝜕𝑦 31/12/2015 Toán 2 - Chương 1 16
31/12/2015 Toán 2 - Chương 1 17
Véc-tơ gradient – Tính ĐHR • Để tính ĐHR theo 𝑥, ta coi 𝑦 là hằng số. • Để tính ĐHR theo 𝑦, ta coi 𝑥 là hằng số. Ví dụ 1. 𝜕𝑓 𝜕𝑓 a) Tính , tại điểm 4, −5 biết 𝜕𝑥 𝜕𝑦 𝑓 𝑥, 𝑦 = 𝑥 2 + 3𝑥𝑦 + 𝑦 − 1 𝜕𝑓 𝜕𝑓 b) Tính , trong các trường hợp sau 𝜕𝑥 𝜕𝑦 𝑦 𝑓 𝑥, 𝑦 = 𝑦 sin 𝑥𝑦 , 𝑓 𝑥, 𝑦 = 2𝑦 + cos 𝑥 31/12/2015 Toán 2 - Chương 1 18
ĐHR hàm nhiều biến hơn • Định nghĩa ĐHR cho hàm nhiều biến hơn hoàn toàn tương tự. • Véc-tơ gradient là véc-tơ mà thành phần thứ 𝑖 là đạo hàm riêng theo biến thứ 𝑖 𝛻𝑓 = 𝑓𝑥1 , 𝑓𝑥2 , … , 𝑓𝑥𝑛 • Để tính ĐHR theo một biến, ta coi tất cả các biến còn lại là hằng số. Ví dụ 2. Tính 𝑓𝑥 , 𝑓𝑦 , 𝑓𝑧 biết 𝑓 𝑥, 𝑦, 𝑧 = 𝑥 sin 𝑦 + 3𝑧 31/12/2015 Toán 2 - Chương 1 19
ĐHR cấp cao • Các ĐHR 𝑓𝑥 và 𝑓𝑦 của hàm hai biến 𝑓 𝑥, 𝑦 cũng là những hàm hai biến. • Các ĐHR của 𝑓𝑥 và 𝑓𝑦 được gọi là các ĐHR cấp hai của 𝑓. Chúng được ký hiệu lần lượt là 𝜕 𝜕𝑓 𝜕2𝑓 𝜕 𝜕𝑓 𝜕2𝑓 𝑓𝑥𝑥 = = 2, 𝑓𝑥𝑦 = = 𝜕𝑥 𝜕𝑥 𝜕𝑥 𝜕𝑦 𝜕𝑥 𝜕𝑦𝜕𝑥 𝜕 𝜕𝑓 𝜕2𝑓 𝜕 𝜕𝑓 𝜕2𝑓 𝑓𝑦𝑥 = = , 𝑓𝑦𝑦 = = 2 𝜕𝑥 𝜕𝑦 𝜕𝑥𝜕𝑦 𝜕𝑦 𝜕𝑦 𝜕𝑦 • Các ĐHR cấp cao hơn thì tương tự. 31/12/2015 Toán 2 - Chương 1 20