Bài giảng môn Giải tích 1 - Chương 3: Đạo hàm và vi phân

Chia sẻ: Sơn Tùng | Ngày: | Loại File: PPT | Số trang:116

Thêm vào BST

Báo xấu

110
lượt xem 12
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Bài giảng môn "Giải tích 1 - Chương 3: Đạo hàm và vi phân" cung cấp cho người học các kiến thức: Đạo hàm, đạo hàm cấp cao, vi phân, quy tắc L’Hospital, công thức Taylor - Maclaurint, khảo sát hàm y=f(x),... Mời các bạn cùng tham khảo nội dung chi tiết.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Bài giảng môn Giải tích 1 - Chương 3: Đạo hàm và vi phân

CHƯƠNG 3: ĐẠO HÀM VÀ VI PHÂN
Đạo hàm Bài toán mở đầu 1: Xét đường cong y=f(x). Một điểm P cố định trên đường cong và cát tuyến PQ. Cho điểm Q chạy trên đường cong tới điểm P. Nếu cát tuyến PQ dần đến vị trí giới hạn Pt thì đường thẳng Pt được gọi là tiếp tuyến của đường cong tại P Bài toán đặt ra là khi nào hàm có tiếp tuyến tại P và hệ số t góc là bao nhiêu? Q P
Đạo hàm Bài toán mở đầu 2: Xét một vật chuyển động trên đường thẳng. Tại thời điểm t0 nó ở vị trí M0 với hoành độ s0 = s(t0) Tại thời điểm t1 nó ở vị trí M1 với hoành độ s1 = s(t1) Nếu vật chuyển động M0 M1 đều thì ta có ngay vận tốc của vật. t0 t1 Nếu vật chuyển động không đều thì ta chỉ tính được quãng đường Δs = s1 – s0 trong khoảng thời gian Δt = t1 – t0. Từ đó, ta có vận tốc trung bình là tỉ số Δs/ Δt. Khoảng thời gian Δt càng nhỏ thì vận tốc đó càng gần vận tốc thật
Đạo hàm Cả hai bài toán trên đều dẫn ta đến việc tính giới hạn của tỉ số Δf/ Δx khi Δx→0. Tức là dẫn đến việc lập hàm f(x) và tính đạo hàm của nó Định nghĩa: Cho hàm f(x) xác định trong lân cận của x0, đạo hàm tại x0 của hàm f(x) là f ( x) − f ( x0 ) f ( x0 + ∆x) − f ( x0 ) f ( x0 ) = lim = lim x x0 x − x0 ∆x 0 ∆x Nếu giới hạn trên là hữu hạn Các quy tắc tính đạo hàm ( f + g) = f + g �f � f g − g f �g �= ( f .g ) = f g + g f � � g 2
Đạo hàm Bảng đạo hàm các hàm cơ bản 1/ a( ) = a ln a ( e ) x x x =e x 9 / ( arccos x ) = −1 2 − 2 / ( x ) = a.x a a −1 1 x 1 1 1 10 / ( arctan x ) = 3 / ( log a x ) = ( ln x ) = 1 + x2 x ln a x −1 4 / ( sin x ) = cos x 11 / ( arccot x ) = 1 + x2 5 / ( cos x ) = − sin x 12 / ( shx ) = chx 1 6 / ( tan x ) = 2 = 1 + tan 2 x 13 / ( chx ) = shx cos x 1 1 14 / ( thx ) = 2 7 / ( cot x ) = − 2 = −(1 + cot x) 2 ch x sin x 1 1 15 / ( cthx ) = − 2 8 / ( arcsin x ) = sh x 1 − x2
Đạo hàm Đạo hàm 1 phía: f (∆x + x0 ) − f ( x0 ) Đạo hàm trái: f − ( x0 ) = lim − ∆x 0 ∆x f (∆x + x0 ) − f ( x0 ) Đạo hàm phải: f + ( x0 ) = lim + ∆x 0 ∆x Định lý: Hàm f(x) có đạo hàm tại x0 khi và chỉ khi nó có đạo hàm trái, đạo hàm phải tại x0 và 2 đạo hàm đó bằng nhau f (∆x + x0 ) − f ( x0 ) Đạo hàm vô cùng: Nếu lim = ∆x 0 ∆x Thì ta nói hàm f có đạo hàm ở vô cực
Đạo hàm Ví dụ: Tính đạo hàm của hàm f ( x) = 3 x − 1 Áp dụng các quy tắc và bảng đạo hàm ta có 1 f ( x) = 3 3 ( x − 1) 2 Như vậy, tại x=1 không thể thay x=1 vào f ’ để tính mà phải dùng định nghĩa f (∆x + 1) − f (1) 3 ∆x f (1) = lim = lim =+ ∆x 0 ∆x ∆x 0 ∆x Vậy: 1 ,x 1 f ( x) = 3 3 ( x − 1) 2 ,x =1
Đạo hàm sin x ,x 0 Ví dụ: Tính đạo hàm của f ( x) = x 1, x = 0 Khi x≠0, ta tính bình thường. Khi x=0, ta dùng đ/n f (∆x + 0) − f (0) 1 �sin ∆x � f (0) = lim = lim � − 1�= 0 ∆x 0 ∆x ∆x 0 ∆x � ∆x � Vậy: x cos x − sin x ,x 0 f ( x) = x 2 0, x = 0
Đạo hàm Đạo hàm hàm hợp h = f o g � h = f .g Tức là y = g ( x), h( x) = f ( y ) � h ( x) = f ( y ).g ( x) Ví dụ: Tính đạo hàm các hàm : a. f(x) = tan (x3+x) b. g(x) = esinx 3 2 ( x + x) 3x + 1 f ( x) = = cos ( x + x) cos 2 ( x3 + x) 2 3 g ( x) = esin x .(sin x) = cos x.esin x
Đạo hàm Đạo hàm của các hàm hợp cơ bản f ( x) ( 1/ e f ( x) ) =e . f ( x) f ( x) 8 / ( arcsin f ( x) ) = 1 − f 2 ( x) 1 2 / ( ln f ( x) ) = . f ( x) − f ( x) f ( x) 9 / ( arccos f ( x) ) = ( 3 / f ( x) a ) = a. f ( x) a −1 . f ( x) 1 − f 2 ( x) f ( x) 4 / ( sin f ( x) ) = cos f ( x ). f ( x) 10 / ( arctan f ( x) ) = 1 + f 2 ( x) 5 / ( cos f ( x) ) = − sin f ( x). f ( x ) − f ( x) f ( x) 11 / ( arccot f ( x) ) = 6 / ( tan f ( x) ) = 1 + f 2 ( x) cos 2 ( f ( x)) − f ( x) 7 / ( cot f ( x) ) = sin 2 f ( x)
Đạo hàm x� 2� Ví dụ: Tính đạo hàm của hàm y = cos � sin � � 3� � x � � x �1 x −1 x x y = −2cos � sin � .sin � sin � . cos = .cos .sin(2sin ) � 3 � � 3 �3 3 3 3 3 Ví dụ: Tính đạo hàm của y = 3 shx + 1 Đặt: u = shx Thì: y = 3 u + 1 1 ( shx) Suy ra: y ( x) = y (u ).u ( x ) = . 3 3 (u + 1) 2 2 shx chx = 6 3 ( shx + 1) 2 shx
Đạo hàm Đạo hàm hàm ngược Giả sử hàm 1-1: y = f(x) có hàm ngược là x = g(y). Tại x = x0 hàm f(x) có đạo hàm hữu hạn khác 0 thì hàm g(y) sẽ có đạo hàm tại y0 = f(x0) và 1 1 g ( y0 ) = Hay ta còn viết x ( y) = f ( x0 ) y ( x)
Đạo hàm 3 Ví dụ: Tìm đạo hàm hàm ngược của hàm y = 2 x − 1 3 2 Do y = 2 x − 1 � y = 6 x �0∀x �0 Nên theo CT tính đạo hàm hàm ngược ta được 1 1 1 x ( y) = = 2 , ∀x 0 x ( y) = y ( x) 6 x y +1 2 6 ( 3 ) 2 Ví dụ: Tìm đạo hàm hàm ngược của hàm y = chx 1 1 1 1 y = shx � x = = = = y shx ch 2 x − 1 y2 −1
Đạo hàm Đạo hàm của hàm cho bởi phương trình tham số x = x(t ) Cho hàm y=f(x) được cho bởi pt tham số y = y (t ) y (t ) Đạo hàm của hàm y được tính bởi y ( x) = x (t ) Ví dụ: Tính y’(x) biết x(t) = etcost, y(t) = etsint y (t ) (et cos t ) et (cos t − sin t ) y ( x) = = t = t x (t ) (e sin t ) e (sin t + cos t ) cos t − sin t y ( x) = sin t + cos t
Đạo hàm Đạo hàm dạng u(x)v(x): Ta viết lại dạng uv thành u ( x)v ( x ) = ev ( x ) ln u ( x ) ( ) ( Suy ra : u ( x)v ( x ) = ev ( x ) ln u ( x ) ) v ( x ) ln u ( x ) � u ( x) � =e v ( x)ln u ( x) + v( x) .� � � u ( x) � ( u ( x) ) v( x) = u ( x) v( x) � v ( x)ln u ( x) + v( x) � � u ( x) � � u ( x) �
Đạo hàm x Ví dụ: Tính đạo hàm y= 2 ln x � x � � x ln 2 � x ln 2 � ln x − 1 � y =� e ln x �= e ln x � 2 ln x �= � ln 2. 2 � � � � � � ln x � � � � � x (ln x) Ví dụ: Tính đạo hàm y = ln x x Lấy ln 2 vế hàm đã cho ln y = ln((ln x) x ) − ln( x ln x ) Lấy đạo hàm 2 vế: y y ( ) ( = ln((ln x) x ) − ln( x ln x ) ) Vậy: ( ) x (ln x) x (ln x ) � 1 2ln x � y = ln x ( ( x ln(ln x) ) − (ln x) = xln x � 2 ln ln x + � ln x − x � � x
Đạo hàm cấp cao Cho hàm y = f(x) có đạo hàm z = f ’(x). Lấy đạo hàm của hàm z, ta được đạo hàm cấp 2 của hàm f(x) – kí hiệu là f ( x) Tiếp tục quá trình đó, ta gọi đạo hàm của đạo hàm cấp (n-1) là đạo hàm cấp n (n) ( n −1) f ( x) = ( f ( x)) Ví dụ: Tính đạo hàm cấp 1, 2 của hàm y = tan(x2+1) 2 2 2x 2cos( x + 1) + 2.2 x.2 x.sin( x + 1) y = 2 2 �y = cos ( x + 1) cos3 ( x 2 + 1)
Đạo hàm cấp cao Đạo hàm cấp cao của hàm cho bởi pt tham số Cho hàm y = y(x) xác định bởi x = x(t), y = y(t) y (t ) Đạo hàm cấp 1: y ( x) = x (t ) Tức là đạo hàm cấp 1 cũng là hàm cho bởi pt tham số y (t ) x = x(t ), y = = g (t ) x (t ) g (t ) y (t ) x (t ) − y (t ) x (t ) Đạo hàm cấp 2: y ( x) = = x (t ) ( x (t ))3 Tương tự, đạo hàm cấp (n-1) vẫn là hàm cho bởi pt tham y (n) ( x) = ( y ( n −1) ( x) ) t số nên đạo hàm cấp n được x (t ) tính theo cách trên
Đạo hàm cấp cao Ví dụ: Tính y’, y’’ biết x = e2t sht, y = e2tcht 2t y (t ) e (2cht + sht ) 2cht + sht y ( x) = = 2t = x (t ) e (2 sht + cht ) 2 sht + cht 2 2 �2cht + sht � (2 sht + cht ) − (2 cht + sht ) � � (2 sht + cht ) 2 �2 sht + cht � = y ( x) = 2t x (t ) e (2 sht + cht ) 2 2 3( sh t + ch t ) = 2t e (2 sht + cht )3
Đạo hàm cấp cao Đạo hàm cấp cao của hàm hợp – CT Leibnitz Cho hàm hợp h = f o g Đh cấp 1: h = f .g Suy ra đh cấp 2: h ( x) = ( f (u ).g ( x)).g ( x) + f (u ).g ( x) Đạo hàm của tích Bằng QUY NẠP, ta chứng minh được n CT Leibnitz: ( f . g ) (n) = Cnk . f ( k ) .g ( n − k ) k =0 Trong đó, ta quy ước f(0) = f (đh hàm cấp 0 bằng chính nó)