Bài giảng Giải tích 1: Chương 1 - TS. Đặng Văn Vinh (P2)

Chia sẻ: Thanh Hoa | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:31

Thêm vào BST

Báo xấu

100
lượt xem 16
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Bài giảng "Giải tích 1 - Chương 1: Giới hạn và liên tục (tt)" cung cấp cho người học các kiến thức: Định nghĩa, quy tắc ngắt bỏ VCL, liên tục của hàm số, tính chất của hàm số liên tục,... Mời các bạn cùng tham khảo nội dung chi tiết.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Bài giảng Giải tích 1: Chương 1 - TS. Đặng Văn Vinh (P2)

Trường Đại học Bách khoa tp. Hồ Chí Minh Bộ môn Toán Ứng dụng ------------------------------------------------------------------------------------- Giải tích 1 Chương 1: Giới hạn và liên tục (tiếp theo) • Giảng viên Ts. Đặng Văn Vinh (9/2008) dangvvinh@hcmut.edu.vn
Định nghĩa (vô cùng lớn) Hàm số y = f(x) được gọi là vô cùng lớn (VCL) khi x  x0 nếu lim f ( x)  . x  x0 Ví dụ f ( x )  2 x 2  3cos x là một vô cùng lớn khi x  , vì lim 2 x 2  3cos x  . x 
Định nghĩa Cho f(x) và g(x) là hai vô cùng lớn khi x  x0 . f ( x) Giả sử xlim  k.  x0 g ( x ) 1) Nếu k   , thì f(x) gọi là VCL bậc cao hơn g(x). f ( x)  ( g ( x)) 2) Nếu k hữu hạn, khác không, thì f(x) và g(x) là hai VCL cùng cấp. 3) Nếu k  1 , thì f(x) và g(x) là hai VCL tương đương. f ( x)  g ( x)
Qui tắc ngắt bỏ VCL Toå ng höõ u haï n caù c VCL lim xx 0 Toå ng höõ u haï n caù c VCL VCL baä c cao nhaá t cuû a töû  lim xx0 VCL baä c cao nhaá t cuû a maã u
Ví dụ 2 x  4  2x  3 x I  lim x  x2  4  x x  2 Tử là tổng của ba VCL: x  4  2x  3 x 3x x  2 Mẫu là tổng của hai VCL: x 4  x 2x 3x 3 I  lim  x  2 x 2
3. Liên tục của hàm số Định nghĩa Hàm y  f ( x) được gọi là liên tục tại x0 , nếu xác định tại điểm này và lim f ( x)  f ( x0 ). x  x0 Định nghĩa Nếu hàm không liên tục tại x0, ta nói hàm gián đoạn tại điểm này.
thì f(x) tiến đến f(a). Khi x tiến đến a. đồ thị liền nét (không đứt đoạn) tại điểm (a, f(a)).
Định nghĩa Cho x0 là điểm gián đoạn của đồ thị hàm số y  f ( x) 1) Điểm gián đoạn loại một: giới hạn trái f(x0-) và phải f(x0+) tồn tại và hữu hạn. x0 là điểm khử được: f(x0-) = f(x0+) x0 là điểm nhảy: f ( x0  )  f ( x0  ) bước nhảy: h  f ( x0  )  f ( x0  ) 2) Điểm gián đoạn loại hai: không phải là loại một. Một trong hai giới hạn (trái hoặc phải) không tồn tại hoặc tồn tại nhưng bằng vô cùng.
x = 2 là điểm gián đoạn loại một khử được.
f ( x)   x  x = 2 là điểm nhảy: gián đoạn không khử được.
x = 0 là điểm gián đoạn loại hai.
Tính chất của hàm số liên tục Cho y  f ( x ), y  g ( x ) là hai hàm liên tục tại x0 , khi đó 1)  f ( x ); f ( x )  g ( x ); f ( x)  g ( x ) liên tục tại x0. f ( x) 2) Nếu g ( x0 )  0 , thì liên tục tại x0. g ( x) Định lý Nếu hàm f(x) liên tục tại x0 và f ( x0 )  0, thì tồn tại một ân cận của x0, sao cho f(x) > 0 với mọi x thuộc lân cận này.
Định lý (Bozano- Côsi) Nếu y  f ( x) liên tục trên đoạn [a,b] và f(a) = A, f(b) = B hì C  [ A, B ] tồn tại x0   a, b  sao cho f ( x0 )  C. ệ quả ếu hàm f(x) liên tục trên đoạn [a,b] và f(a).f(b) < 0, thì ồn tại ít nhất một x0 thuộc [a,b] sao cho f(x0) = 0.
Định nghĩa Các hàm sau đây được gọi là hàm sơ cấp cơ bản:  1/ hàm hằng 2/ hàm lũy thừa y  x x 3/ hàm mũ y  a ; a  0, a  1 4/ hàm logarit y  log a x; (a  0, a  1) 5/ hàm lượng giác 6/ hàm lượng giác ngược 7/ hàm hyperbolic
Định nghĩa Hàm sơ cấp là hàm thu được từ các hàm sơ cấp cơ bản bằng cách sử dụng hữu hạn các phép toán: cộng, trừ, nhân, chia, khai căn và phép hợp. Định lý Hàm sơ cấp liên tục trên miền xác định của nó.  1  y  sin 3 x  ln   là hàm sơ cấp 2 x Vậy nó liên tục trên toàn miền xác định: x > -2.
í dụ Khảo sát tính liên tục  sin x  , x0 f ( x)   x  1, x0 sin x x  0, f ( x)  là hàm sơ cấp nên liên tục trên MXĐ x sin x sin x Tại x = 0: lim  1  lim  f (0) x 0  x x 0  x Hàm liên tục tại x = 0. Vậy hàm liên tục trên R.
í dụ Khảo sát tính liên tục  sin x  , x0 f ( x)   x  1, x0  sin x x  0, f ( x)  là hàm sơ cấp nên liên tục trên MXĐ x sin x sin x Tại x = 0: lim 1 lim  1 x 0 x x 0  x x = 0 là điểm nhảy. Bước nhảy: h  f 0    f  0   1  (1)  2.  
í dụ Khảo sát điểm gián đoạn 1 f ( x)  arctan x Tập xác định: D f  R \ 0 1  1  Tại x = 0: lim arctan  lim arctan   x 0  x 2 x 0  x 2 x = 0 là điểm nhảy.   Bước nhảy: h  f 0    f  0   2  ( 2 )   .  
í dụ Khảo sát điểm gián đoạn 1 f ( x)  x arctan x Tập xác định: D f  R \ 0 1 1 Tại x = 0: lim x arctan  0 lim x arctan  0 x 0  x x 0  x x = 0 là điểm gián đoạn khử được.
í dụ Tìm a, b để hàm liên tục trên   / 2;3 / 2  x cos( x / 2)  sin x , x    / 2,3 / 2  , x  0, x    f ( x)   a, x0  b, x    x cos( x / 2) im f ( x)  lim 1  a  1. 0 x 0 sin x x cos( x / 2)   lim f ( x)  lim  b . x  x  sin x 2 2