intTypePromotion=1
zunia.vn Tuyển sinh 2024 dành cho Gen-Z zunia.vn zunia.vn
ADSENSE
 » 
 » 

Bài giảng Giải tích 1: Phần 1 - PGS. TS. Nguyễn Xuân Thảo

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:61

Thêm vào BST
Báo xấu
11
lượt xem 6
download
 
  Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Bài giảng "Giải tích 1: Phần 1 - PGS. TS. Nguyễn Xuân Thảo" cung cấp tới người học các nội dung kiến thức trọng tâm về: Đại cương về chuỗi số; Chuỗi số với số hạng có dấu bất kì; Chuỗi hàm số; Chuỗi luỹ thừa; Chuỗi Fourier; Phương trình vi phân;... Mời các bạn cùng tham khảo!

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Bài giảng Giải tích 1: Phần 1 - PGS. TS. Nguyễn Xuân Thảo

  1. PGS. TS. Nguyễn Xuân Thảo thao.nguyenxuan@hust.edu.vn MỤC LỤC CHƯƠNG 1. LÝ THUYẾT CHUỖI Bài 1. Chuỗi số, chuỗi số dương......................................................................1 Bài 2. Chuỗi với số hạng có dấu bất kì .........................................................12 Bài 3. Chuỗi hàm số .....................................................................................17 Bài 4. Chuỗi luỹ thừa ....................................................................................22 Bài 5. Chuỗi luỹ thừa, chuỗi Fourier ..............................................................31 CHƯƠNG 2. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN Bài 6. Chuỗi Fourier, phương trình vi phân cấp một .....................................38 Bài 7. Phương trình vi phân cấp một ............................................................49 Bài 8. Phương trình vi phân cấp hai khuyết ..................................................61 Bài 9. Phương trình vi phân cấp hai với hệ số biến đổi .................................68 Bài 10. Phương trình vi phân cấp hai với hệ số hằng số ...............................72 Bài 11. Phương trình Euler, hệ phương trình vi phân ...................................77 CHƯƠNG 3. PHƯƠNG PHÁP TOÁN TỬ LAPLACE Bài 12. Phép biến đổi Laplace và phép biến đổi ngược ................................83 Bài 13. Phép biến đổi của bài toán giá trị ban đầu ........................................90 Bài 14. Phép tịnh tiến và phân thức đơn giản ...............................................97 Bài 15. Đạo hàm, tích phân và tích các phép biến đổi ................................103 Tài liệu tham khảo ....................................................................................113 Đề thi giữa kỳ và cuối kỳ …………………………………… 114
  2. PGS. TS. Nguyễn Xuân Thảo Email: thao.nguyenxuan@hust.edu.vn PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN VÀ LÍ THUYẾT CHUỖI BÀI 1. CHƯƠNG I. LÝ THUYẾT CHUỖI § 1. Đại cương về chuỗi số  Định nghĩa  Điều kiện cần để chuỗi hội tụ  Các tính chất cơ bản 1 1 1 1 Đặt vấn đề: 1       n    2 2 4 8 2  Có phải là cứ cộng mãi các số hạng của vế trái thì thành vế phải?  1 + (– 1)+1 + (– 1) + .... = ? 1. Chuỗi số: Định nghĩa: Với mỗi số tự nhiên n, cho tương ứng với một số thực an, ta có dãy số kí hiệu là an  . Định nghĩa:  Cho dãy số {an}, ta gọi tổng vô hạn a1  a2  a3   là chuỗi số, ký hiệu là  an , n 1 an là số hạng tổng quát. Sn = a1 + a2 + a3 + ... + an là tổng riêng thứ n. Nếu lim Sn  S thì ta bảo chuỗi n   hội tụ, có tổng S và viết:  an  S . n 1  Khi dãy {Sn} phân kỳ thì ta bảo chuỗi  an phân kỳ. n 1  Ví dụ 1. Xét sự hội tụ và tính  qn n 0 n 1 1 q Sn  1  q  q 2    q n  , q 1 1 q 1 lim Sn  , q 1 n  1 q Phân kỳ khi q  1  1  qn  1 q , q  1. n 0  1 Ví dụ 2. Xét sự hội tụ và tính  n  n  1 n 1 1
  3. PGS. TS. Nguyễn Xuân Thảo Email: thao.nguyenxuan@hust.edu.vn 1 1 1 1 1  1 1 1 1  1 Sn                 1  1.2 2.3 n  n  1  1 2   2 3   n n  1 n 1  1  lim Sn  lim  1  1 n  n   n  1   1  n  n  1  1 n 1  1 1 1 1 Ví dụ 3. Xét sự hội tụ, phân kỳ  n (Chuỗi điều hoà) Sn  1  2  3    n n 1 Lấy n  2m 1 có 1 1 1  1  1 1  1 1  1 1  Sn  1      m 1   1                 m    m 1  2 3 2  2 3 4 5 8  2 1 2  1 1 1 1 1   2.  4.    2m. m 1   m  1 2 4 8 2 2 Do đó Sn có thể lớn bao nhiêu tuỳ ý, nên có lim Sn   n  Chuỗi đã cho phân kỳ  1 Ví dụ 4. Chuỗi nghịch đảo bình phương:  n2 n 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 Sn  1     1    1   22 32 n2 2.2 3.3 n.n 1.2 2.3  n  1 n 1 1  1 1  1 1   1 1 1  1                   2  2 1 2   2 3   3 4   n 1 n  n Sn tăng và dương  lim Sn  S n   1  n2  S n 1 Nhận xét:    an hội tụ thì nlim  an  0 (Điều kiện cần để chuỗi hội tụ) n 1 Chứng minh: Có an  Sn  Sn 1 ; lim an  lim  Sn  Sn 1   0 n  n    Nếu lim an  0 hoặc không tồn tại thì chuỗi n   an phân kỳ. n 1  Thay đổi một số hữu hạn số hạng đầu không làm thay đổi tính hội tụ hay phân kỳ của chuỗi. 2
  4. PGS. TS. Nguyễn Xuân Thảo Email: thao.nguyenxuan@hust.edu.vn  n Ví dụ 5.  n 1 n 1 n lim  1 0 n  n  1  n  n  1 phân kỳ n 1  n Ví dụ 6.   1  1   1  1   1   n 1 n 1 n =2k,k   Có lim  1   n   1 n =2k+1. n Không tồn tại lim  1 n   n   1 phân kỳ. n 1 3 5 2n  1 Ví dụ 7. Tìm tổng (nếu có) của chuỗi số sau   2  (ĐS: 4 36 n 2  n  1 1)  n  n  n  1  n  Ví dụ 8. a (K50)    n  1   (PK) . b (K60)    n  3   (PK) n 1 n 1   2. Tính chất. Giả sử  an  S1,  bn  S2, n 1 n 1      ( an   bn )    an    bn   S1   S2 n 1 n 1 n 1 §2. Chuỗi số dương  Định nghĩa  Các định lí so sánh  Các tiêu chuẩn hội tụ  1. Định nghĩa:  an , an  0 n 1  Nhận xét.  an hội tụ khi và chỉ khi S n bị chặn. n 1 Trong bài này ta giả thiết chỉ xét các chuỗi số dương 2. Các định lí so sánh. 3
  5. PGS. TS. Nguyễn Xuân Thảo Email: thao.nguyenxuan@hust.edu.vn Định lí 1. Cho hai chuỗi số dương, an  bn , n tuỳ ý hoặc từ một lúc nào đó trở đi    bn hội tụ   an hội tụ n 1 n 1    an phân kỳ   bn phân kỳ n 1 n 1 Chứng minh. a1  a2    an  b1  b2    bn 0  Sn  Tn Rút ra các khẳng định.   1 1 Ví dụ 1.  3n  1 Ví dụ 2.  ln n n 1 n 2 Chuỗi dương Chuỗi dương ln n  n 3n  1  3 n 1 1 1 1 0   n ln n 3n  1 3n   1 1  3n  1 hội tụ  n phân kỳ 1 n 2 n 1 1  3 1  Chuỗi đã cho hội tụ  ln n phân kỳ n 2   a Định lí 2. Cho hai chuỗi số dương, lim n  k  0   an và  bn cùng hội tụ n  bn n 1 n 1 hoặc cùng phân kì.   Nhận xét. Đối với các chuỗi số dương  an và  bn : n 1 n 1   an 1/ Nếu lim n  bn  0 và  bn hội tụ   an hội tụ n 1 n 1   a 2/ Nếu lim n   và n  bn  bn phân kì   an phân kì n 1 n 1  n2 Ví dụ 4.  2n3  3 n 1 Chuỗi dương 4
  6. PGS. TS. Nguyễn Xuân Thảo Email: thao.nguyenxuan@hust.edu.vn 2 2 n2 n 1  1  . n  1 . n 3 3 3 2 2n  3 2n 1  2n 1  3 2n 3 2n 3 n2 1  lim  : 2  1 n   2n 3 2n   1  2n 2 hội tụ n 1  n2  2n3  3 hội tụ n 1  1 Ví dụ 5.  np , p0 n 1   1 p 1 1 1 Khi 0  p  1 có 0  n  n  p  , do n n  n phân kỳ nên  np phân kỳ. n 1 n 1 Khi p  1, n tuỳ ý, chọn m sao cho n  2m , có  1 1   1 1   1 1  Sn  S m  1  p  p    p    p      p  p 2 1 2 3  4 7   2  m 1   2 m 1   2 4 2m 1 1 1 1  1 p  p  p  1 p 1  2  m 1 2 4  2m 1  2  2p 1   2p 1  1  am 1 1   , 0  a  p 1  1 1 a 1 a 2  1 Dãy Sn bị chặn trên   np hội tụ. n 1 KL: Chuỗi hội tụ với p > 1 và phân kì với 0 < p  1.  1 Ví dụ 6.  n3  3 n 1 Chuỗi dương 1 1 1 an   ; bn  3/2 n 3  3 n 3/2 1  3 n 3 n a lim n  1 n  bn 5
  7. PGS. TS. Nguyễn Xuân Thảo Email: thao.nguyenxuan@hust.edu.vn   bn hội tụ n 1  1  3 hội tụ n 1 n  3 Ví dụ 7   a(K49) 1)  ln 1  n2  n  1 (PK) 2)  sin  n  1  n  1 (PK) n 2 n 2 b(50) 1)   n sin 2  (PK); 2)   1 2  1 n 1  (HT) n 1 2 n n 1 n   n  cos n n  sin n c(K51) 1)  5 n 1 (HT) 2)  n 13 (PK) n 1 n 1 2)  n  e    1 d(K52) 1)  n  2  n  1 (PK) n 1 (PK) n 2 n 2  n 1 3)  sin 3 n7  2n3  3 (HT) n 1 e(K54) Xét sự hội tụ   ln n 1 1)  4 n5 (HT) 2)  1 (PK) n 1 n 1 arcsin  ln n n     3)  n ln 1  arctan2 2  n3  (HT) n 1 f(K56) Xét sự hội tụ   1 ln  n  1 1)  n  1  ln n (PK) 2)  4 n 5 (HT) n 1 n 1   1 1  3)   n  sin n  (HT) n 1  ln  n  1 g(K58) Xét sự hội tụ : 1)  ( n  1)3 (HT) n 1 h(K60) Xét sự hội tụ   n3 1)  ln n2 (PK) 2)  ( n e  1) (PK) n 1 n 1 6
  8. PGS. TS. Nguyễn Xuân Thảo Email: thao.nguyenxuan@hust.edu.vn 3) Các tiêu chuẩn hội tụ a) Tiêu chuẩn D’Alembert a lim n 1  l n  an  Khi l  1   an hội tụ n 1  Khi l  1   an phân kỳ. n 1 Chứng minh an 1 a  l < 1: Từ lim  l , chọn  > 0 đủ bé để l +  < 1  n 1 < l + ,  n  n0. n  an an a a an 1 n n  Mặt khác có an  n . n 1  0 .an0   l    0 an  0, n   an 1 an  2 an0 0 Do đó lim an  l n  an 1 a  l > 1: Từ lim  l , chọn  đủ bé để l   > 1  n 1  l    1  an + 1 > an n  an an  phân kì Nhận xét. Khi l = 1 không có kết luận gì  1 Ví dụ 1.  n! n 1 1 an  0 n! a 1 1 n! 1 lim n 1  lim :  lim  lim 0 1 n  an n   n  1 ! n ! n   n  1 ! n  n  1  1  n ! hội tụ n 1  3n Ví dụ 2.  n! n 1 3n an  0 n! an 1 3n 1 3n 3  :  an  n  1! n ! n  1 7
  9. PGS. TS. Nguyễn Xuân Thảo Email: thao.nguyenxuan@hust.edu.vn an 1 lim 01 n  an Chuỗi đã cho hội tụ 1 1.3 1.3.5 1.3.5 2n  1 Ví dụ 3. Xét sự hội tụ, phân kỳ của chuỗi    2 2.5 2.5.8 2.5.8  3n  1 1.3.5 2n  1 an  0 2.5.8  3n  1 an 1 1.3.5 2n  1 2n  1 1.3.5 2n  1 2n  1  :  an 2.5.8  3n  1 3n  2  2.5.8  3n  1 3n  2 an 1 2 lim  1 n  an 3 Chuỗi đã cho hội tụ Ví dụ 4   n !3n n !2n a(K49) 1)  n n (PK) 2)  n n (HT) n 1 n 1  2 7n  n !  3)  n 2n (HT) n 1   32n 1 22n 1 b(K51) 1) n   (PK) 2)  n   (HT) n 1 4 ln n  1 n 1 5 ln n  1    2n  1!!  2n !! 3)  nn (HT) 4)  nn (HT) n 1 n 1  3n 2  2n  1 c(K52)  2n  3n  2 (HT) n 1   n !3n n ! n d(K54) 1)  nn (PK) 2)  nn (PK) n 1 n 1  ( n !)2 e(K60)   2n  ! (HT) n 1 b) Tiêu chuẩn Cauchy Giả sử lim n an  l n   Nếu l  1   an hội tụ n 1 8
  10. PGS. TS. Nguyễn Xuân Thảo Email: thao.nguyenxuan@hust.edu.vn  Nếu l  1  an phân kỳ n 1 Nhận xét. Nếu l = 1, không có kết luận gì  n  2n  1  Ví dụ 5.   3n  2  n 1    2n  1  na 2n  1 an   3 n  2   0, n  3n  2   2 lim n an   1 n  3 Chuỗi đã cho hội tụ  n2  n  1 Ví dụ 6. Xét sự hội tụ, phân kì   n    (PK) n 1 Ví dụ 7.  2n ln n  3 n ln n  3n 2  n  1   2n 2  n  1  a(K49) 1)   4  n 2  cos n   (HT) 2)    3 n 2  sin n   (HT) n 1 n 1  2 n n 5n 3)  n n2 (HT) n 1 2 n  1  nn 4  nn 4 n  2 n3 b(K52) 1)   n   3   (HT) 2)    n  2   (PK) n 1 n 1  2 n n 5n c(K54 )  n n2 (HT) n 1 3 n  1  n2  n2  n   n 1 d(K60) 1)  n 2 (HT) 2)  2n   (HT) n 1   n 1 n 2 c) Tiêu chuẩn tích phân Có mối liên hệ hay không giữa:  b  f ( x ) dx  blim   f ( x ) dx a a  k và  an  klim   an n 1 n 1 n n Hình 14.4  f ( x ) dx  a1  a2    an  a1   f ( x ) dx , 1 1 9
  11. PGS. TS. Nguyễn Xuân Thảo Email: thao.nguyenxuan@hust.edu.vn Nếu f(x) là hàm liên tục, dương giảm với mọi x  1 và lim f ( x )  0 , f(n) = an, khi đó x     an và  f ( x ) dx cùng hội tụ hoặc cùng phân kỳ. n 1 1  1 Ví dụ 8.  n ln n n 2 1 f (x)  dương, giảm với x  2 và có lim f ( x )  0 x ln x x   b d  ln x  b   lim ln ln x   lim  ln ln b   ln  ln2     b   f ( x ) dx  lim ln x b  2 n  2 2   f ( x ) dx phân kỳ 1  1  n ln n phân kỳ n 2  1 Tổng quát có thể xét  n ln n  p hội tụ chỉ khi p > 1. n 2 1 1 1 Ví dụ 9. Chứng minh rằng: 1       ln2 2 3 4 1 1 1 1 1  1 1  1 1 1  S2n  1      1           2 3 4 2n  1 2n  3 2n  1   2 4 2n   1 1 1  1 1 1   1 1 1   1 1 1  1        2       1        1        2 3 2n  2 4 2n   2 3 2n   2 3 n  1 1   ln2n    o(1)  ln n    o(1), voi   lim  1      ln n  n   2 n   ln2  o(1)  ln 2 khi n   Mặt khác ta có 1 S2n 1  S2n  , lim S  lim S2n  ln 2 2n  1 n  2n 1   1n 1  ln2   n n 1 1 1 1 1 1 3 Ví dụ 10. Tương tự nhận được 1         ln2. 3 2 5 7 4 2 Ví dụ 11. Xét sự hội tụ phân kì của chuỗi số sau 10
  12. PGS. TS. Nguyễn Xuân Thảo Email: thao.nguyenxuan@hust.edu.vn 1  ln  ln 1  n  n a(K51) 1)  2 (HT); 2)   n  3 2 (HT) n 1  n  2  n 1  ln n b (K52)  3n 2 (HT) n 2   1 1 c(K60) 1)  n ln n (PK); 2)  n ln2 n (HT) n 2 n 2 HAVE A GOOD UNDERSTANDING! 11
  13. PGS. TS. Nguyễn Xuân Thảo thao.nguyenxuan@hust.edu.vn PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN VÀ LÍ THUYẾT CHUỖI BÀI 2 § 3. Chuỗi số với số hạng có dấu bất kì  Chuỗi với số hạng có dấu bất kì  Chuỗi đan dấu  Tính chất của chuỗi hội tụ tuyệt đối 1. Đặt vấn đề. 2. Chuỗi với số hạng có dấu bất kì    Định nghĩa:  an được gọi là hội tụ tuyệt đối   an hội tụ. Chuỗi  an được n 1 n 1 n 1   gọi là bán hội tụ   an phân kì và  an hội tụ. n 1 n 1   Định lý.  an hội tụ   an hội tụ. n 1 n 1 Ví dụ 1. Xét sự hội tụ tuyệt đối của chuỗi số sau  n 2 n  n a)   1 2 2 n ; b)  sin n2 n 1 n 1    sin   2   n sin n c) 3 (HTTĐ) d)  (HTTĐ) 3 n 1 n 1 n   sin n n e (K60) 1)  (1)n n 2 (HTTĐ) 2)  (1)n 2 2n  1 (PK) n 1 n 2   1 sin( n5  1) 3)  ( 1)n c os (PK) 4)  n (HTTĐ) n 2 n n 2 n 15  cos( n3  1) 5)  3 n 1 (HTTĐ) n 2 Hướng dẫn.  n 2 n  n n a)   1 2 2 n +)  2n hội tụ n 1 n 1   n2  n n n +) Xét  2n +)  ( 1) 2 2n hội tụ n 1 n 1 a 1  +) lim n 1   1 n  an 2 b)  sin n2 n 1 12
  14. PGS. TS. Nguyễn Xuân Thảo thao.nguyenxuan@hust.edu.vn 2  lim sin(2n  1)  0  lim sin(2n  3)  0 +) sin n   n  n  +) Không có lim sin n 2  0  lim cos(2n  1)  0 n  n  Thật vậy, phản chứng có  lim  sin2 (2n  1)  cos2 (2n  1)   0 (vô lí) lim sin n 2  0 n  n   +)  sin n2 phân kì. n 1 Nhận xét.   1/ Nếu  an phân kì theo tiêu chuẩn D’Alembert hoặc Cauchy   an phân n 1 n 1 kì   2/  an phân kì   an phân kì (đúng hay sai?) n 1 n 1 3. Chuỗi đan dấu  n 1 Định nghĩa.   1 an , an  0 được gọi là chuỗi đan dấu n 1  n Chú ý.   1 an , an  0 cũng được gọi là chuỗi đan dấu. n 1 Định lí Leibnitz  n 1 Dãy an  giảm, an  0 , lim an  0 n     1 an hội tụ và có n 1  n 1   1 an  a1 n 1 Chứng minh: +) n  2m :  Có S2m   a1  a2    a3  a4      a2m 1  a2m   S2m  tăng  S2m  a1   a2  a3    a4  a5      a2m  2  a2m 1   a2m  a1  Từ đó  lim S2m  S và có S  a1 m  +) n  2m  1:  S2m 1  S2m  a2m 1  Do lim a2m 1  0  lim S2m 1  S . m  m  Định lí được chứng minh. Ví dụ 2. Xét sự hội tụ tuyệt đối và bán hội tụ của các chuỗi số sau 13
  15. PGS. TS. Nguyễn Xuân Thảo thao.nguyenxuan@hust.edu.vn   1n 1   1n 1 a)  2n  1 (Bán HT) b)  n (Bán HT) n 1 n 1 n 1   1   1n 1 n c)   2n  13 (HTTĐ) d)  6n  5 (PK) n 1 n 1     e)   1n 1 3.5.7  2n  1 (HTTĐ) g)   1n 1 tan 1 (HTTĐ) n 1 2.5.8  3n  1 n 1 n n    n  1 sin  2n  n 1 1.4.7 3n  2  f)   1 7.9.11 2n  5  (PK) k(K52) 1)  3 7 n  2n  3 3 ,   n 1 n 1  n2 (HTTĐ) h)   1n 1 2 (PK)   1 n n! n 1 2)  n  ln n (Bán HT)  n 1 n n i (K50) 1)   1 2 2n  1 (PK) l (K 55) Xét sự hội tụ  n 1  n 1)   1n 1 ln  1  ln n  (HT) 2)   1n  n  1  (PK) n 1  n  n 1 n  2     2)   1n 1 ln  1  ln n  (HT) n 1 2n 1  n  3)   1 ln n (HTTĐ) n 1  n n 1    n 1 1   3)     1  2n 2  1 2 1 (HT) 4)   1n 1 ln n (Bán HT) 1)  n(  11) n  n     n  (PK) 2) n   n 1 n n 1     n2  n 1   1   4)   1    1  4   1 (HT)  n    n2 n 1 n  2 m (K57) 1)  (1)n  n  (PK) n 1  n 1 1.3.5...(2n  1) 2)  (1) n 1 3.5.8...(3n  1) n (K60)   n n 1 1)  (1) ( n  1  n ) (HT) 2)  (1) ln(1  ) (HT) n 2 n2 n  n 1 3)  (1) n2 ln(1  n ) (HT) Hướng dẫn. 14
  16. PGS. TS. Nguyễn Xuân Thảo thao.nguyenxuan@hust.edu.vn   1n 1  1n 1 n  b) +)  n là chuỗi đan dấu d) +)  6 n  5 là chuỗi đan dấu n 1 n 1   1  1 n 1 n +)   n  giảm và có lim n  n 0 +) lim n  6n  5   6  6n  5 phân kì n 1 +) Hội tụ theo Leibnitz n 1 n  +)  lim  1 1 n  6n  5 +)  n phân kì  bán hội tụ  n n n 1 +)   1 6n  5 phân kì. n 1 4. Tính chất của chuỗi hội tụ tuyệt đối  a)  an  S  chuỗi số nhận được từ chuỗi này bằng cách đổi thứ tự các số n 1 hạng và nhóm tuỳ ý các số hạng cũng hội tụ tuyệt đối và có tổng S   b) Cho  an  S ,  an phân kì  có thể thay đổi thứ tự các số hạng của nó n 1 n 1 để chuỗi thu được hội tụ và có tổng là một số bất kì cho trước hoặc trở nên phân kì.   Định nghĩa. Cho  an ,  bn , khi đó ta định nghĩa phép nhân chuỗi: n 1 n 1       n   an  bn       cn , ở đó cn  ak bn 1k   n 1  n 1  n 1 k 1        c)  an  S1,    bn  S2   an  bn   S1 S2    n 1 n 1  n 1  n 1    1 1 Ví dụ 3. a) Xét sự hội tụ của tích các chuỗi số sau: n n và   2n 1 . n 1 n 1  n k 1  1 n2k  b) Xét sự hội tụ của chuỗi số   1 tan  .ln2   k k n  1  k  n 1  k 1   n    k cos(k ) ( 1)n1k , c (K57) Xét sự hội tụ của chuỗi số    k  k  1 (n  1  k ) 2  ln(n  1  k )  3 7 4 3 n 1 k 1   15
  17. PGS. TS. Nguyễn Xuân Thảo thao.nguyenxuan@hust.edu.vn Hướng dẫn.  1 a) +) n n hội tụ tuyệt đối n 1  1 +)  2n 1 hội tụ tuyệt đối n 1   1   1  +)    n n .  2   hội tụ n 1   n 1   n 1  HAVE A GOOD UNDERSTANDING! 16
  18. PGS. TS. Nguyễn Xuân Thảo thao.nguyenxuan@hust.edu.vn PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN VÀ LÍ THUYẾT CHUỖI BÀI 3 § 4. Chuỗi hàm số  Đặt vấn đề. 1. Chuỗi hàm số hội tụ Định nghĩa: Cho dãy hàm số un  x  xác định trên X , ta định nghĩa chuỗi hàm số  u1  x   u2  x      un  x  (1) n 1    un  x  hội tụ tại x0  chuỗi số  un  x0  hội tụ n 1 n 1    un  x  phân kì tại x0  chuỗi số  un  x0  phân kì n 1 n 1 Tập các điểm hội tụ của (1) gọi là tập hội tụ của nó. Tổng của chuỗi hàm số là hàm số xác định trong tập hội tụ của nó. Ví dụ 1. Tìm tập hội tụ của các chuỗi hàm số sau     n 1 cos nx 1 xn a)  x b)  n2  x2 c)  nx ( x  1) d)  n! ( ) n 1 n 1 n 1 n 1 sin  2n 2  4  x   n 1  n cos x   e)   3n  1 2 ( ) f)   1 e ( 2  k 2  x   k 2 ) 2 n 1 n 1 n 1   1 1  n n ! 2 g)  n 5n  x  3 n ( x 3  ) h (K56)   1  x  12n 1 ( 1  x  3 ) 5  2n  ! n 1 n 0 Hướng dẫn.  a)  x n 1 n 1  +) Xét chuỗi số  x0n 1 (2) n 1 +) (2) hội tụ với x0  1 +) Tại x0  1, (2) phân kì +) Tập hội tụ: x  1  cos nx b)  n2  x2 n 1  cos nx0 cos nx0 1 +) Xét chuỗi số  n2  x02 (2) +) n  2 x02  n2  (2) hội tụ với mọi x0 n 1 +) Tập hội tụ  17
  19. PGS. TS. Nguyễn Xuân Thảo thao.nguyenxuan@hust.edu.vn Ví dụ 2. Tìm tập hội tụ của các chuỗi hàm số sau   1n 1 x 2n 3  1 a(K50) 1) 3  2n  2n  3  ( 3  x  3 ) d (K55) 1)  1   tan x n n 1 n 1  1   (  k  x   k  , k   ) 2)  n  1  x  1 n ( x  0  x  2 ) 4 2 n 1  1 3)  1  3 n  1  x  2 n ( x  1  x  3 ) 2)  1  cot x n n 1 n 1   3 n ( k  x   k , k   ) n  4x  3   3  4 b(K51)1)    x2  (  ; 1 )  5   n 1 n  1 2 1 1    1 n n 3)  1  ln x n (  \  ; e ) e   1 x  n 1 2)  2 n 1   1  x   ( 0 ;    )  1 n 2 n 4)  1  enx ( x  0)   x 2  x  1 n 1 c (K52)   n  1 n2 ( 0  x  1) n 0 2. Chuỗi hàm số hội tụ đều  Định nghĩa.  un  x  hội tụ đều đến S  x  trên tập X     0 bé tuỳ ý n 1  n0      :  n  n0   , ta có Sn  x   S  x    ,  x  X . Ý nghĩa hình học. Với n đủ lớn, Sn  x  thuộc dải  S  x    ; S  x     .  Tiêu chuẩn Cauchy.  un  x  hội tụ đều trên tập X       0 bé tuỳ ý n 1  n0      :  p  q  n0    , ta có Sp  x   Sq  x    ,  x  X .  Tiêu chuẩn Weierstrass. Nếu có un  x   an , n ,  x  X và  an hội tụ n 1    un  x  hội tụ tuyệt đối và đều trên X . n 1 Tiêu chuẩn Dirichlet. n un  v n .w n , Vn đơn điệu không tăng và  0,  wk  c,  n  Hội tụ đều. k 1   1n 1 Ví dụ 3. Xét sự hội tụ đều của chuỗi hàm  x 2  n2 n 1 18
  20. PGS. TS. Nguyễn Xuân Thảo thao.nguyenxuan@hust.edu.vn  1n 1 1  1 +) x 2  n2 n  2 ,x hội tụ +)  n2 n 1 +) Chuỗi đã cho hội tụ tuyệt đối và đều trên  Ví dụ 4. Xét sự hội tụ đều của chuỗi hàm   sin nx xn a)  n2  x 2 , x (HTĐ) b)  2n n 3 n , x   2 ; 2 (HTĐ) n 1 n 1   2n cos nx  1n 1 x , x   1; 1 c)  , x (HTĐ) d)  (HTĐ) n 1 3n n 1 n   nx xn e)  1  n5 x 2 , x   (HTĐ) f)  n ! , x 0 n 1 n 1 Hướng dẫn.  xn 1 1 b) +) 2n n 3 n  n 4/3 , x 2 +)  n 4/3 hội tụ n 1 +) Chuỗi đã cho hội tụ đều và hội tụ tuyệt đối trên  2 ; 2 . Ví dụ 5. Xét sự hội tụ đều của chuỗi hàm 1  1   n xdx   n xdx   a (K49) 1)     sin nx, x   (HTĐ) 2   2)   2  cos nx, x   (HTĐ)  n 1 0 1  x  n 1 0 1  x   n n  1 2x  1 b (K50) 1) 3  n   x  2  , x   1; 1 (HTĐ)  n 1  n2 n  n 1  2x  1  2)    n  2     x 2   , x   1; 1 (HTĐ) n 1  c (K51) Chứng minh rằng chuỗi hàm  x2enx hội tụ đều với x  0 . n 1   1n d (K52) 1) Chứng minh rằng chuỗi  x 2  n  1 hội tụ đều trên  . n 0  n  1 2) Chứng minh rằng chuỗi  x 2  n  2 hội tụ đều trên  . n 0 1  n 3 t e (K58)  (  4 2 dt ) cos nx (HTKĐ) n 1 0 1  sin t 19
ADSENSE

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

THÔNG TIN
TRỢ GIÚP
HỖ TRỢ KHÁCH HÀNG
Theo dõi chúng tôi

Chịu trách nhiệm nội dung:

Nguyễn Công Hà - Giám đốc Công ty TNHH TÀI LIỆU TRỰC TUYẾN VI NA

LIÊN HỆ

Địa chỉ: P402, 54A Nơ Trang Long, Phường 14, Q.Bình Thạnh, TP.HCM

Hotline: 093 303 0098

Email: support@tailieu.vn

Giấy phép Mạng Xã Hội số: 670/GP-BTTTT cấp ngày 30/11/2015 Copyright © 2022-2032 TaiLieu.VN. All rights reserved.

 

Đồng bộ tài khoản
2=>2