Bài giảng Giải tích: Chương 1 - Phan Trung Hiếu (2019)

Chia sẻ: Minh Hoa | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:17

Thêm vào BST

Báo xấu

44
lượt xem 6
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Bài giảng "Giải tích - Chương 1: Giới hạn" do Phan Trung Hiếu biên soạn cung cấp cho người học các kiến thức: Giới hạn của dãy số, giới hạn của hàm số, phương pháp tính giới hạn của hàm số. Mời các bạn cùng tham khảo nội dung chi tiết.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Bài giảng Giải tích: Chương 1 - Phan Trung Hiếu (2019)

9/4/2019 Kiểm tra, đánh giá kết quả: -Điểm chuyên cần (hệ số 0.1): Dự lớp đầy đủ: 10 điểm. GIẢI TÍCH Vắng 1 ngày hoặc đi trễ 2 ngày: trừ 1 điểm. GV. Phan Trung Hiếu Chỉ được vắng 1 ngày có phép. 60 tiết -Bài kiểm tra giữa kì (hệ số 0.3): Tự luận, không được sử dụng tài liệu. -Bài kiểm tra cuối kì (hệ số 0.6): LOG Tự luận, không được sử dụng tài liệu. O 2 Điểm cộng, trừ giờ bài tập: Điểm cộng, trừ giờ bài tập: -Điểm cộng vào bài kiểm giữa kỳ: -Điểm trừ vào bài kiểm giữa kỳ: 1 lần xung phong lên bảng làm đúng 1 Khi SV đã được +2 điểm mà vẫn tự ý lên làm bài: -0,5 điểm/lần. câu:+0,5 điểm (nếu làm sai thì không Khi không có SV xung phong lên làm thì GV trừ điểm). sẽ gọi 1 SV lên làm theo danh sách thứ tự từ Chỉ được cộng tối đa 2 điểm. trên xuống: -Nếu SV làm đúng thì +0,5 điểm/lần, -Nếu làm sai hoặc không biết làm thì -0,5 điểm/lần. 3 4 Tải bài giảng và xem thông tin môn học: Nội dung: Chương 1: Giới hạn. Chương 2: Hàm liên tục. sites.google.com/site/sgupth Chương 3: Hàm khả vi. Chương 4: Tích phân. Chương 5: Ứng dụng của tích phân. Chương 6: Tích phân suy rộng. Chương 7: Lý thuyết chuỗi. 5 6 1
9/4/2019 Tài liệu học tập: Dụng cụ hỗ trợ học tập: [1] Bài giảng trên lớp. Máy tính FX 500MS, FX 570MS, [2] Nguyễn Đình Trí, Toán cao cấp tập 2 FX 570ES, FX 570ES Plus. Phép tính giải tích hàm một biến, NXB Giáo dục. [3] Nguyễn Đình Trí, Bài tập Toán cao cấp (tập 2), NXB Giáo dục. Các tài liệu tham khảo khác. 7 8 Chương 1: Giới hạn §1. Giới hạn của dãy số GV. Phan Trung Hiếu §1. Giới hạn của dãy số §2. Giới hạn của hàm số §3. Phương pháp tính giới hạn của hàm số LOG O 10 1 I. Các định nghĩa về dãy số thực: Ví dụ 1.1: Dãy số {xn }, với xn  . Định nghĩa 1.1. Dãy số thực (dãy số) là ánh xạ n 1 Khi đó f : *   1 1 1 n  f (n)  xn . x1  , x2  , x3  ,... 2 3 4 Kí hiệu: {xn }  {x1 , x2 ,..., xn ,...}, trong đó: 1 Ví dụ 1.2: Dãy số {xn }, với xn  . x1 , x2 ,..., xn ,... là các số hạng, n! n Khi đó xn là số hạng tổng quát của dãy số. 1 1 1 x3  , x4  , x5  ,... Nhận xét 1.2. Dãy số hoàn toàn xác định khi 3 20 115 biết số hạng tổng quát của nó. 11 12 2
9/4/2019 Ví dụ 1.3: Dãy số {xn }, với Ví dụ 1.4: Dãy số {xn }, với xn  1  2  3  ...  n.  1  1  1  xn  1  2 1  2  ... 1  2  Tính x1 , x2 , x3.  2  3   n  Giải Tính x3. Giải x1  1,  1  1 2 x2  1  2  3, x3  1  2 1  2   .  2  3  3 x3  1  2  3  6,... 13 14 Ví dụ 1.5: Dãy số {xn }, với Chú ý: Một dãy số có thể được minh họa bằng cách vẽ các số hạng của nó trên một trục số, hoặc  x1  1 vẽ đồ thị của nó.  n  x2  1 ,n  3 (Dãy Fibonacci) Ví dụ, xét dãy số {xn}, với xn  x  x  x n 1  n n 1 n 2 Khi đó x3  x2  x1  2, x4  x3  x2  2  1  3, x5  x4  x3  3  2  5, x6  x5  x4  5  3  8,... {xn }  1,1, 2,3,5,8,13,21,... 15 16 Định nghĩa 1.6 Số a   được gọi là giới hạn của dãy số {xn} nếu   0, n0   : xn  a   , n  n0 . n Ký hiệu lim xn  a hay xn   a. n 17 18 3
9/4/2019 Chú ý 1.7: Một số kết quả giới hạn cần nhớ: -Nếu a là một con số hữu hạn thì ta nói dãy {xn} 1) lim k  k ( k  ). n hội tụ đến a. 1 1 -Nếu a không tồn tại hoặc a   thì ta nói dãy 2) lim   0,   0; lim n  0,   1. n  n n  {xn} phân kỳ. pn 3) lim  0, (p  0); n  n! n lim n  0, (  , p  1). n p 0 khi a  1, 4) lim a n   19 n  khi 20 a  1. 5) lim n a  1, a  0. II. Các phép toán về giới hạn của dãy số: n 6) lim n n  1. Định lý 2.1 n  n ▪Nếu một dãy số có giới hạn thì giới hạn đó là  a 7) lim 1    ea (a  ). duy nhất. n   n ▪Nếu một dãy số hội tụ thì nó bị chặn. 8) lim xn  a  lim( xn  a)  0. ▪Nếu một dãy số tăng và bị chặn trên thì nó hội n  n tụ. 9) lim xn  0  lim xn  0. ▪ Nếu một dãy số giảm và bị chặn dưới thì nó hội n  n  tụ. 10) lim xn  lim xn , xn  0. n  n 21 22 Định lý 2.2. Nếu các dãy số {xn} và {yn} đều Định lý 2.3 (Định lý kẹp): có giới hạn thì Cho 3 dãy số {xn}, {yn}, {zn}. Nếu i) lim( xn  yn )  lim xn  lim yn  yn  xn  zn , n  * , n  n n  lim y  lim z  a n n n n ii) lim( xn . yn )  lim xn .lim yn n  n n  thì lim xn xn n iii) lim  (lim yn  0). lim xn  a. n  n  yn lim yn n n  23 24 4
9/4/2019 Chú ý 2.4: Một vài quy tắc với  :  ()  ( )  , ( ).()  ().()  , a  ( )  ( )  a  , ()  ()  , a  (  )  (  )  a  , ().( )  ( ).( )  .  , a  0,  n  * , ta có ( ) n  , a.( )  ( ).a    , a  0,  neáu n chaün, () n    , a  0,  neáu n leû. a.( )  ( ).a   a  , a  0.   0.   25 26 a   : 0 a > 0 và mẫu > 0  , a < 0 và mẫu < 0  , a > 0 và mẫu < 0  , a < 0 và mẫu > 0  . §2. Giới hạn của hàm số 27 28 G  ( x, f ( x)) x  D : Đồ thị của hàm số f. I. Hàm số: 1.1. Định nghĩa: Một hàm số f xác định trên một tập hợp D   là một quy tắc đặt tương ứng mỗi số x  D với một số thực y xác định duy nhất f : D   x  y  f ( x) D: tập xác định (TXĐ) của hàm số f. x: biến độc lập (biến số). y: biến phụ thuộc (hàm). f(x): giá trị của hàm số f tại x. f ( D )  { y   y  f ( x ), x  D}: Tập giá trị (TGT) của hàm số f. 29 30 5
9/4/2019 Ví dụ 2.1: Đồ thị dưới đây cho thấy mức tiêu thụ điện 1.2. Các phương pháp biểu diễn hàm số: trong một ngày vào tháng 9 ở San Francisco (P được tính bằng MW, t được tính bằng giờ, bắt đầu vào lúc nửa  Biểu diễn hàm số bằng biểu thức: đêm). Ví dụ 2.2: Diện tích S của một hình tròn phụ a) Mức tiêu thụ điện thuộc vào bán kính R của hình tròn đó. Ta có vào lúc 6h sáng và S   R 2 ( R  0). 6h tối là bao nhiêu? Biểu diễn hàm số dưới dạng bảng số liệu: b) Hãy cho biết tập xác định và tập giá Ví dụ 2.3: Dân số thế giới P phụ thuộc vào trị của hàm số P(t). thời gian t c) Mức tiêu thụ điện khi nào là thấp nhất? Cao nhất? Thời gian đó có hợp lý không? 31 32 Biểu diễn hàm số bằng lời, bằng đồ thị: Ví dụ 2.4: Khi bật bình đun nước nóng lên, nhiệt độ a) Tìm dân số thế giới nước (T) trong bình phụ thuộc vào thời gian đun (t). vào năm 1950? Ta có đồ thị nhiệt độ nước trong bình như sau P(1950) = 2560 (triệu) b) Tìm t sao cho P(t) = 4450? Đồ thị cho biết: Nhiệt độ ban đầu của nước gần với nhiệt độ trong phòng. Khi ta bật công tắc điện, nhiệt độ bình tăng lên nhanh chóng. Khi ta ngắt công tắc điện, nhiệt độ bình giảm không đáng kể. Khi ta tháo nước ra khỏi bình, nhiệt độ nước lại giảm nhanh đến nhiệt độ 33 của nước ban đầu. 34 Hàm số xác định từng khúc: Ví dụ 2.5: Một hãng cho thuê xe ô tô với giá Hàm số trong ví dụ sau được xác định bởi các 3ngàn/km nếu quãng đường chạy xe không quá 100 công thức khác nhau trong từng khúc khác km. Nếu quãng đường chạy xe vượt quá 100 km thì nhau của tập xác định của nó. ngoài số tiền phải trả cho 100 km đầu còn phải trả thêm 1,5 ngàn/km. Gọi x là số km xe thuê đã chạy và C(x) là chi phí thuê xe. Viết hàm số C(x). 35 36 6
9/4/2019 Chú ý: II. Các hàm số cơ bản:  sin(arcsin x )  x (1  x  1). 2.1. Các hàm số sơ cấp cơ bản:    arcsin(sin x)  x   x  .  2 2 Hàm hằng: y  C .  cos(arccos x)  x ( 1  x  1). Hàm lũy thừa: y  x (   ).  x arccos(cos x)  x (0  x   ). Hàm mũ: y  a (0  a  1).  tan(arctan x )  x ( x  ). Hàm logarit: y  log a x (0  a  1).    Hàm lượng giác: arctan(tan x )  x   x  .  2 2 y  sin x, y  cos x, y  tan x, y  cot x.  cot(arc cot x)  x ( x   ). Hàm lượng giác ngược: arccot(cot x)  x (0  x   ). y  arcsin x, y  arccos x, y  arctan x, y  arccot x 37 38 2.2. Các hàm số sơ cấp: là những hàm số được tạo Định nghĩa 2.3: thành bởi một số hữu hạn các phép toán cộng, trừ, ▪Hàm số y=f(x) được gọi là hàm chẵn nếu nhân, chia các hàm số sơ cấp cơ bản. f ( x)  f ( x), x  D. Ví dụ 2.6: Ta thường gặp các dạng hàm số sơ cấp ▪Hàm số y=f(x) được gọi là hàm lẻ nếu sau f ( x)   f ( x), x  D. Hàm đa thức (hàm nguyên): y  an x n  an1 x n1  ...  a0 . Hàm phân thức (hàm hữu tỷ): P ( x) y Q ( x) P(x) và Q(x) là các đa thức. 39 40 Định nghĩa 2.4. Giả sử y=f(u) là hàm số của biến số u, đồng thời u=g(x) là hàm số của biến III. Định nghĩa về giới hạn của hàm số: số x. Khi đó, y=f(u)=f(g(x)) là hàm số hợp của Ví dụ 2.8: Xét hàm số f ( x)  x 2  x  2 khi các giá trị biến số x thông qua biến số trung gian u. Ký của x gần 2. Bảng dưới đây, cho thấy giá trị của hàm f(x) hiệu khi x tiến dần về 2 nhưng không bằng 2 ( f  g )( x)  f  g ( x)  . Ví dụ 2.7: Cho hàm số f ( x)  x 2 , g ( x)  x  3. Tìm f  g và g  f . 41 42 7
9/4/2019 Định nghĩa 3.1. Cho hàm số f(x) xác định trên tập Định nghĩa 3.2 (Giới hạn một phía): D và x0  D hoặc x0  D. Ta nói hàm số f(x) có ▪ Nếu f(x) có giới hạn là L khi x  x0 và x  x0 giới hạn là L khi x  x0 ký hiệu là thì ta nói f(x) có giới hạn bên phải tại x0. Ký lim f ( x )  L hiệu x  x0 lim f ( x)  L. x  x0 Với điều kiện ta có thể làm cho các giá trị của f(x) ▪ Nếu f(x) có giới hạn là L khi x  x0 và x  x0 gần L, và giữ chúng nằm gần đó, bằng cách lấy x đủ thì ta nói f(x) có giới hạn bên trái tại x0. Ký gần x0 nhưng không được bằng x0 . Ngoài ra, ta còn có thể ký hiệu hiệu lim f ( x)  L. f ( x)  L khi x  x0 x x0 đọc là f(x) tiến dần về L khi x tiến dần về x0 . Định lý 3.3: Giới hạn hàm số (nếu có) là duy nhất. Ví dụ 2.9: Dự đoán giá trị của a) lim x 1 x 1 x2  1 . b) lim 43 x   x8  x 4  x 4  2 . 44 Chú ý:  x  x0  x  x0 . Ví dụ 2.10: Một bệnh nhân cứ mỗi 4 giờ đồng  x  x0  x  x0 và x  x0 . hồ phải tiêm một mũi thuốc 150 mg. Đồ thị cho  x  x0  x  x0 và x  x0 . thấy lượng thuốc f(t) trong máu bệnh nhân sau t  giờ. Tìm tlim 12 f (t ) và lim f (t ) và giải thích ý  t 12 nghĩa của các giới hạn đó. lim f ( x )  L  lim f ( x )  lim f ( x )  L. x x0 x x0 x x0  lim f ( x )  L1  x  x0  lim f ( x)  L2   lim f ( x) không tồn tại. x  x0  x  x0 L1  L2  45 46 Định nghĩa 3.4 (Giới hạn vô cùng): Định nghĩa 3.5 (Giới hạn tại vô cùng): ▪ Nếu f(x) tăng mà không bị chặn khi x  x0 ▪ Nếu f(x) có giới hạn là L khi x tăng không bị thì lim f ( x)  . chặn với các giá trị dương thì lim f ( x)  L. xx 0 x  ▪ Nếu f(x) giảm mà không bị chặn khi x  x0 thì lim f ( x)  . ▪ Nếu f(x) có giới hạn là L khi x giảm không bị x x Ví dụ 2.11: 0 chặn với các giá trị âm thì lim f ( x)  L. x  Ví dụ 2.12: 1 lim  . lim f ( x)  3. x 0 x2 x lim f ( x )  7. x  47 48 8
9/4/2019 ▪ Nếu f(x) tăng mà không bị chặn khi x tăng ▪ Nếu f(x) giảm mà không bị chặn khi x tăng không bị chặn với các giá trị dương thì không bị chặn với các giá trị dương thì lim f ( x)  . lim f ( x)  . x  x  ▪ Nếu f(x) giảm mà không bị chặn khi x giảm ▪ Nếu f(x) tăng mà không bị chặn khi x giảm không bị chặn với các giá trị âm thì không bị chặn với các giá trị âm thì lim f ( x)  . lim f ( x )  . x x  Ví dụ 2.13: Ví dụ 2.14: n lẻ: n chẵn: n lim x  . lim x n  . x  x  lim x n  . lim x n  . x  x  49 50 Ví dụ 2.15: Sử dụng đồ thị f đã cho để tìm một IV. Định nghĩa chính xác về giới hạn: số  sao cho nếu x  1   thì f ( x)  1  0,2. Định nghĩa 4.1. Cho hàm số f(x) xác định trên tập D và x0  D hoặc x0  D. Ta nói hàm số f(x) có giới hạn là L khi x  x0 (L, x0 hữu hạn), ký hiệu là lim f ( x )  L x  x0    0,   0 : x  D, 0  x  x0    f ( x)  L   . 51 52 Ví dụ 2.17: Cho V. Giới hạn của các hàm số sơ cấp cơ bản: 5.1. Giới hạn tại một điểm thuộc TXĐ: 1  x 2 khi x  1, f ( x)   Giới hạn của hàm số sơ cấp tại một điểm x0 thuộc  2, khi x  1. TXĐ của nó được tính theo công thức Tìm lim f ( x ), lim f ( x), lim f ( x ). lim f ( x )  f ( x0 ). x 1 x 1 x 1 x  x0 Ví dụ 2.16: Tính các giới hạn sau Ví dụ 2.18: Tìm m để hàm số sau có giới hạn a ) lim( x 2  x  2). khi x  2 x 1 2 b) lim sin x  3 .  x  mx  1 khi x  2 x 0 cos x f ( x)   2 .  2 x  x  1 khi x  2 c) lim x  2. x2 53 54 9
9/4/2019 5.2. Một số kết quả giới hạn của các hàm sơ cấp V. Một số kết quả giới hạn cần nhớ: cơ bản: VI. Một số định lý về giới hạn hàm số: ĐL 6.1: lim k  k (k  ). x x0 ĐL 6.2: Giả sử lim f ( x)  A, lim g ( x)  B. x x 0 x x 0 Khi đó: Xem Bảng 1. i ) lim  k . f ( x)   k. lim f ( x) (k  ). x  x0 x x0 ii ) lim  f ( x)  g ( x)   A  B. x  x0 iii ) lim  f ( x).g ( x)   A.B. x  x0  f ( x)  A iv) lim   ( B  0). x  x0 g ( x )    B g ( x) v) lim  f ( x)   A B (0  A  1). x  x0 55 56 ĐL 6.3: Chú ý 6.4: Trong tính toán về giới hạn hàm i ) lim f ( x )  0  lim f ( x)  0. số, có khi ta gặp các dạng sau đây gọi là dạng x  x0 x x0 vô định: ii ) Nếu 0   g ( x)  f ( x)  h( x ), x  ( x0   , x0   ), , , 0.,   , 00 ,  0 ,1. 0   lim g ( x )  lim h( x )  L Khi đó, ta không thể dùng định lý 6.2, mà phải  x x0 x  x0 dùng các phép biến đổi để khử các dạng vô thì lim f ( x)  L. định đó. x  x0 57 58 Định lý 7.2. VII. Vô cùng bé (VCB): lim f ( x)  L   ( x )  f ( x)  L là một VCB khi Định nghĩa 7.1. Hàm số f(x) được gọi vô cùng x  x0 x  x0 . bé khi x  x0 (x0 có thể là vô cùng) nếu Tính chất 7.3 lim f ( x )  0. x  x0 1) Tổng, hiệu, tích của hai VCB là một VCB. Ví dụ 2.19: 2) Tích của một VCB và một hàm bị chặn là a ) sin x, tan x, 1  cos x là VCB khi x  0. một VCB. b) x 3  3sin 2 x là VCB khi x  0. 3) Thương của hai VCB chưa chắc là một  VCB. c) cos x, cot x là VCB khi x  . x 1 2 d) 2 là VCB khi x  . x 2 59 60 10
9/4/2019 Định nghĩa 7.4 (So sánh các VCB): Cho f(x) và g(x) là hai VCB khi x  x0 . VIII. Vô cùng lớn (VCL): Xét f ( x) lim  k. Định nghĩa 8.1. Hàm số f(x) được gọi vô cùng x  x0 g ( x ) lớn khi x  x0 (x0 có thể là vô cùng) nếu -Nếu k  0 thì ta nói f(x) là VCB bậc cao hơn g(x). Ký hiệu:f ( x )  o  g ( x ) , nghĩa là f ( x)  0 nhanh hơn g(x). lim f ( x)  . x  x0 -Nếu k   thì ta nói f(x) là VCB bậc thấp hơn g(x). Ví dụ 2.20: -Nếu k  0, k   thì ta nói f(x) và g(x) là hai VCB cùng 1 1 bậc. Ký hiệu: f ( x )  O  g ( x ) . a) , , cot x là VCL khi x  0. -Đặc biệt, nếu k  1 thì ta nói f(x) và g(x) là hai VCB tương x sin x đương. Ký hiệu: f ( x)  g ( x). Một số vô cùng bé tương đương thường gặp b) x 2 , 2 x  1 là VCL khi x  . (Xem Bảng 1). 61 62 Định nghĩa 8.2 (So sánh các VCL): Cho f(x) và g(x) Tính chất 8.3: Quan hệ ~ trong VI và VII là là hai VCL khi x  x0 . Xét quan hệ tương đương, nó có 3 tính chất sau f ( x) lim  k. 1) f ( x )  f ( x ). x  x0 g ( x ) -Nếu k  0 thì ta nói f(x) là VCL bậc thấp hơn g(x). Ký hiệu:f ( x )  o  g ( x ) , nghĩa là f ( x)   chậm hơn g(x). 2) f ( x )  g ( x )  g ( x )  f ( x ). -Nếu k   thì ta nói f(x) là VCL bậc cao hơn g(x).  f ( x )  g ( x) -Nếu k  0, k   thì ta nói f(x) và g(x) là hai VCL cùng 3)   f ( x)  h( x). bậc. Ký hiệu: f ( x )  O  g ( x ) .  g ( x )  h ( x) -Đặc biệt, nếu k  1 thì ta nói f(x) và g(x) là hai VCL tương đương. Ký hiệu: f ( x)  g ( x). 63 64 Phương pháp tính xlim f ( x) :  x0 Thế x0 vào f(x) §3. Phương pháp tính con số cụ thể  vô định biện luận giới hạn của hàm số xem ? 0  , , 0., , 00, 0,1. 0  khử 65 66 11
9/4/2019 3.1. Khử dạng 0 và  : 0  Chú ý 3.2: Giả sử f ( x), f1 ( x), g ( x), g1 ( x) là các VCB (hoặc VCL) khi x  x0. Khi đó  f ( x)  f1 ( x)  f ( x )  g ( x )  f1 ( x)  g1 ( x )    f (x)  g(x) 1)   lim f (x)  lim g(x).  g ( x)  g1 ( x)  f ( x )  g ( x)  f1 ( x)  g1 ( x) lim g(x) ton à taiï xx0 xx0 xx0  f ( x).g(x)  f1( x).g1(x)  f (x)  f1(x)  2)    f (x) f1(x) . g(x)  g1(x)  g(x)  g (x)  1  f ( x)  g ( x) k k 3)    f ( x)    g ( x )  .  g ( x )  0 1 4) Trong 3) : khi k   n f ( x)  n g ( x). n 67 68 Ví dụ 3.1: Cho f ( x)  x 2  5 và g ( x)   x 2  3. sin 2 x x2 Tính: e) lim . f ) lim . x 0 x x 0 arcsin 3x f ( x) 7x a) lim . b) lim  f ( x )  g ( x ). 1  cos3 x arctan x g ( x) x g ) lim . h) lim 2 x 4 . x 0 x2 x 0 e 1 Ví dụ 3.2: Tính các giới hạn sau x2  2x 1 2x 1 ln(1  2 x) x2  2x  3 i ) lim . j ) lim . a) lim . b) lim x 0 tan 3x x 0 1  e3 x x0 x3  3 x x  2 x 3  x  1 ( x  2)( x 2  5 x  1) 2x 2  3x  5 ln(cos x) 1  cos x c) lim . d ) lim . k ) lim . l ) lim . x  x( x 2  2) x 0 x2 x  ( x   ) 2 x  5x  1 69 70 Chú ý 3.3 (Quy tắc ngắt bỏ VCB cấp cao): Hệ quả: Cho f(x) và g(x) là hai VCB khi Nếu  ( x),  ( x) đều là tổng của các VCB khác x  0 sao cho  ( x) f ( x)  ax m , g ( x)  bx n cấp thì giới hạn của tỉ số khi x  x0 bằng Khi đó:  ( x) axm neáu m  n giới hạn của tỉ số hai VCB cấp bé nhất trong  n f (x)  g(x)  bx neáu m  n  ( x),  ( x). (a  b)xm neáu m  n, a  b  0  Nếu m  n, a  b  0 thì ta không thể viết f ( x)  g ( x)  0. 71 72 12
9/4/2019 Ví dụ 3.3: Chú ý 3.4 (Quy tắc ngắt bỏ VCL cấp a) f ( x)  2x2 , g( x)  4x4  f ( x)  g(x)  2x2. thấp): Nếu  ( x),  ( x)đều là tổng của các VCL khác b) f ( x)  2x4 , g( x)  4x4  f (x)  g(x)  2x4.  ( x) Ví dụ 3.4: Tính cấp thì giới hạn của tỉ số khi x  x0 bằng  ( x) x  3sin 2 x  4sin 3 x a) lim . giới hạn của tỉ số hai VCL cấp lớn nhất trong x0 5 x  x3  x8 tan x  sin x  ( x),  ( x). e3 x  e5 x c ) lim . b) lim . x 0 x x 0 x3 73 74 Hệ quả: Cho f(x) và g(x) là hai VCL khi Ví dụ 3.5: Tính x   sao cho x2  4  2 x  3 x lim . f ( x)  ax m , g ( x)  bx n x  x2  4  x Khi đó: 3.2. Khử dạng    : ax m Phương pháp: Quy đồng hoặc nhân và chia với lượng neáu m  n  n liên hợp để đưa về dạng f (x)  g(x)  bx neáu m  n 0 hoặc  . (a  b)xm neáu m  n, a  b  0 0   Ví dụ 3.6: Tính các giới hạn sau  x3 x2  Nếu m  n, a  b  0 thì ta không thể viết a) lim  2 x 3 x  4    . b) xlim 3x  2     x2  x  1  x . f ( x)  g ( x)  0. 75 76 0 3.3. Dạng 0 . : biến đổi đưa về dạng hoặc  . 3.5. Định lý: Nếu lim f ( x )  L và f ( n )  x n thì 0  x   Ví dụ 3.7: Tính các giới hạn sau lim x n  L. n  Ví dụ 3.9: Tính 2x 1  x 1  x a) lim ( x  1) 3 . b) limsin   tan . (3 n  1)(2 n  2)( n  1) x  x  x2 x1 2 2 a ) lim .   n  (2  n )(2 n 2  n  1) 0 0  g ( x) 3.4. Dạng 0 ,  ,1 : Giới hạn có dạng lim  f ( x) x  x0 3n 2  1  2 n 2  1 g ( x) g (x) b ) lim . Đặt a  lim  f ( x)   ln a  lim ln  f ( x) n  4n  3 x  x0 x  x0 5 n 1  4 n  1  1 3n  c ) lim . e ) lim  cos n 3  .  ln a  lim g ( x ) ln f ( x )  b n   2.5 n  6 n n  2 n  6n  1  x  x0  a  eb .  12 n  2  1 x d ) lim ln  .  3 n   9  4n  Ví dụ 3.8: Tính a) lim(1  x) . x b) lim 1   . x 0 77 x   x 78 13
Bài tập Giải tích Chương 1 Một số kết quả giới hạn thường gặp , a 1 lim a x   , n chaün x  0, 0  a 1  lim x n   ; lim x n    x  x  , n leû 0, a 1 lim a x   x  , 0  a 1  lim ln x  ; lim ln x    lim tan x  , lim  tan x    x  x 0   x x 2 2   lim cot x  , lim cot x    lim arctan x   x 0 x  x  2 ln x x  lim arc cot x  0, lim arc cot x    Nếu   1,   1 thì lim   lim x  0 x  x  x  x x   u ( x) 1  1   x  x0  lim 1  u ( x)  u ( x )  e u ( x)  0   lim  1   e  u ( x)    x  x0 x  x0 x  x0  u( x)  Bảng 1: Một số hàm tương đương thường gặp STT Hàm tương đương Với m  n, an  0, am  0 : 1 ▪ Khi x  0 : an x n  an 1 x n 1  ...  am x m  am x m ▪ Khi x   : an x n  an 1 x n 1  ...  am x m  an x n 2  sin u ( x)  u ( x ) u ( x)  x  x0 0  3  arcsin u ( x)  u ( x ) u ( x )  x  x0 0  4  tan u ( x)  u ( x ) u ( x )  x  x0 0  5  arc tan u ( x )  u ( x) u ( x)  x  x0  0 6 ln 1  u ( x)  u ( x )  u ( x)   0 x  x0 u ( x) 7 log a 1  u ( x )   ln a  x  x0 u ( x )  0  8  eu ( x )  1  u ( x ) u ( x )  x  x0 0  9  au ( x )  1  u ( x ).ln a u ( x)  x  x0 0  10 1  u( x)  1   u ( x)  u( x)  x x  0 0 2  u ( x)  11 cos u ( x )  1  2  u( x)  0 x  x0 14
Bài tập Giải tích Chương 1 Bài 1: Ở một tiểu bang, vận tốc tối đa cho phép trên đường cao tốc là 65 dặm/h và tối thiểu là 40 dặm/h. Tiền phạt nếu vi phạm quy định này là 15 USD cho 1 dặm/h vượt mức tối đa hoặc 1 dặm/h thấp hơn mức tối thiểu. Biểu diễn số tiền phạt F dưới dạng hàm số của vận tốc x và đồ thị F(x) với 0  x  100. Bài 2: Số lượng con gấu y (con) trong một khu vực theo thời gian t (tháng) được biểu diễn bằng đồ thị như hình bên. a) Tìm lim y(t ), lim y(t), lim y(t ). t  0.6 t  0.6 t  0.6 b) Tìm lim y(t), lim y(t ), lim y(t). t  0.8 t  0.8 t  0.8 Bài 3: Sử dụng đồ thị f đã cho để tìm một số  sao cho nếu 0  x  3   thì f (x )  2  0, 5. Bài 4: Sử dụng đồ thị của hàm số f ( x )  x đã cho để tìm một số  sao cho nếu x  4   thì x  2  0, 4. Bài 5: Tính các giới hạn sau 7 4 x 10  3x 5  2 x x2  x  1 2x 3  8 1) lim 1 2 1 . 2) lim . 3) lim . x0 x  2 x 2  5 x  x 2  1 x 3  4x 3  2 x 5 x sin 2 x2  3 3. arcsin 2 x 4) lim . 5) lim 2 6) lim . x  3 x3  1 x 0 3x x 0 x t an5x 1  cos 4 x esin x  1 6) lim . 7) lim . 8) lim . x 0 s in3x x 0 s in4x x 0 x 15
Bài tập Giải tích Chương 1 2 ln(1  3x ) 1 x 1 sin(sin x ) 9) lim . 10) lim 4 . 11) lim . x 0 sin 2 (3x ) x 0 1 x 1 x 0 sin x 1  cos 2 x 5 (1  x  x 2 )3  1 12) lim . 13) lim . x 0 tan 2 x x 0 sin 2 x sin x  cos x e x 1  1 14) lim . 15) lim . x   x 1 ln x 4 x 4 Bài 6: Tính các giới hạn sau (x 2  1)(1  2 x )5 sin( 3 x )ln(1  3x ) 1) lim . 2) lim . x7  x  3 3 x  x 0 (arctan x )2 ( e 5 x  1) (1  1  x )(1  cos 2 x ) (1  e 4 x )(1  cos x ) 3) lim . 4) lim . x 0 ln(1  x )arcsin 2 x x 0 x 3  sin 4 x 1  cos 2 x ln(1  2 x sin 2 x ) 5) lim . 6) lim . x 0 x s in3x x 0 s in(x 2 ) tan x 2 x 2  x  3 1  8x 3 e x  cos x 7) lim . 8) lim . x  4 1  x4 x 0 x2 s in2x  arcsin 2 x  arctan 2 x 9) lim . x 0 3x  4 x 3 1  cos x  2 sin x  sin 3 x  x 2  3x 4 x2 10) lim . 11) lim . x 0 tan 3 x  6 sin 2 x  x  5x 3 x 0 1  x sin x  cos x x cos  x  sin arctan(2  x )  2 sin( x  2) 2 . 12) lim . 13) lim x2 x2  4 x 1 ( x  1)2 2 2 2 x  3x cos x  3 cos x 14) lim x . 15) lim . x 0 (2  3 x )2 x 0 sin 2 x Bài 7: Tính các giới hạn sau  2   2x x  1) lim   cot x  . 2) lim   . x 0 s in2x x  x  1 x 1    2) lim x   1  x  x2  1  x  x2 . 3) lim x   x2  2x  2 x 2  x  x .   1  sin x  x   4) lim x x  x 2  1 .  5) lim  x   cos 2 x   tan x . 2 x  6) lim (1  x ) tan . 7) lim 2 x.sin . x 1 2 x  x 8  x2 x2 x2 x2   x  8) lim  1  cos  cos  cos .cos . 9) lim x   arctan . x0 x3  2 4 2 4  x  4 x1 16
Bài tập Giải tích Chương 1 3x  1  2x  1  cot 2 x 10) lim   . 11) lim  1  x 2  . x  2 x  3 x 0   1 1  1  tan x  sin x 12) lim 1  sin( x 2  x ) . x 13) lim   . x 0 x0  1  sin x  x  sin x 14) lim . 2 x  7  5 sin x x  Bài 8: Một cái bể chứa 5000 lít nước tinh khiết. Người ta bơm nước muối có chứa 30 gam muối trên mỗi lít nước vào bể với tốc độ 25 lít/phút. a) Tìm nồng độ muối trong bể sau t phút (tính bằng gam/lít). b) Nồng độ muối trong bể sẽ như thế nào khi t   ? Bài 9: Tính các giới hạn sau 3  3n 2  n  2  2.7 n  2  4 n 3  1 1) lim  2  . 2) lim . n  4 n  2 n  7   n  7 n  3.5n 2 n2  1  n 3 2 n2  n3  n 3) lim . 4) lim . n  4 n3  n  n n  n2  n  n ( 1)n 2 n.sin n 5) lim . n  n1 17