Bài giảng Kinh tế lượng: Chương 2 - Trần Anh Tuấn

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:19

Thêm vào BST

Báo xấu

2
lượt xem 0
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Bài giảng Kinh tế lượng - Chương 2: Mô hình hồi quy hai biến, trình bày các nội dung chính sau: Phương pháp bình phương nhỏ nhất; Các giả thiết cơ bản của mô hình hồi quy hai biến; Khoảng tin cậy và kiểm định giả thuyết về các hệ số hồi quy. Mời các bạn cùng tham khảo!

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Bài giảng Kinh tế lượng: Chương 2 - Trần Anh Tuấn

Phương pháp bình phương nhỏ nhất Các giả thiết Ước lượng và kiểm định BÀI GIẢNG Kinh tế lượng Trần Anh Tuấn, email: anhtuanvcu@gmail.com Bộ môn Kinh tế lượng - Đại học Thương mại Trần Anh Tuấn Kinh tế lượng
Phương pháp bình phương nhỏ nhất Các giả thiết Ước lượng và kiểm định Chương 2. MÔ HÌNH HỒI QUY HAI BIẾN 1 Phương pháp bình phương nhỏ nhất Mô hình hồi quy tuyến tính hai biến Phương pháp bình phương nhỏ nhất (OLS) Các tính chất của ước lượng OLS 2 Các giả thiết cơ bản của mô hình hồi quy hai biến Các giả thiết cơ bản của phương pháp OLS Các đặc trưng của hệ số ước lượng Giải thiết về phân phối xác suất của Ui 3 Khoảng tin cậy và kiểm định giả thuyết về các hệ số hồi quy Khoảng tin cậy của các hệ số hồi quy Kiểm định giả thuyết về các hệ số hồi quy Trần Anh Tuấn Kinh tế lượng
Phương pháp bình phương nhỏ nhất Các giả thiết Ước lượng và kiểm định §1. Phương pháp bình phương nhỏ nhất Trần Anh Tuấn Kinh tế lượng
Phương pháp bình phương nhỏ nhất Các giả thiết Ước lượng và kiểm định 1.1 Mô hình hồi quy tuyến tính hai biến Yi = β1 + β2 Xi + Ui . (2.1) Trong đó : Yi là giá trị của biến phụ thuộc Y . β1 là hệ số chặn. β2 là hệ số góc của biến giải thích. Ui là sai số ngẫu nhiên. Mô hình hồi quy mẫu xây dựng dựa trên mẫu ngẫu nhiên kích thước n : (Yi , Xi ), i = 1, n . ˆ ˆ ˆ Yi = β1 + β2 Xi (2.2) Trong đó ˆ Yi là ước lượng của Yi hoặc E(Y /Xi ), i = 1, n. ˆ βj là ước lượng của các hệ số hồi quy tổng thể (j = 1, 2). Trần Anh Tuấn Kinh tế lượng
Phương pháp bình phương nhỏ nhất Các giả thiết Ước lượng và kiểm định 1.2 Phương pháp bình phương nhỏ nhất (OLS) ˆ Kí hiệu ei = Yi − Yi là phần dư của hàm hồi quy mẫu. Phương pháp OLS đòi hỏi các hệ số hồi quy được xác định sao cho n n 2 e2 = ˆ ˆ Yi − β1 − β2 Xi ˆ ˆ = f (β1 , β2 ) −→ min (2.3) i i=1 i=1 ˆ ˆ Các hệ số β1 , β2 thỏa mãn (2.3) gọi là ước lượng bình phương nhỏ nhất của β1 , β2 . ˆ ˆ ˆ ˆ Ta có f (β1 , β2 ) nhỏ nhất khi β1 , β2 là nghiệm hệ phương trình   ∂f = 0   ˆ ∂ β1 (2.4)  ∂f = 0   ˆ ∂ β2 Trần Anh Tuấn Kinh tế lượng
Phương pháp bình phương nhỏ nhất Các giả thiết Ước lượng và kiểm định   ˆ ˆ 2 Yi − β1 − β2 Xi (−1) = 0 (2.4) ⇔  ˆ ˆ 2 Yi − β1 − β2 Xi (−Xi ) = 0 ˆ ˆ nβ1 + ( Xi ) β2 = Yi ⇔ ˆ1 + 2 ˆ (2.5) ( Xi ) β Xi β2 = Xi Yi . n Xi 2 2 Ta có, định thức ∆ = =n Xi − ( Xi ) = 0. 2 Xi Xi 1 1 Đặt Y = Yi ; X = Xi và xi = Xi − X; yi = Yi − Y , thì hệ n n (2.5) có nghiệm ˆ n Yi Xi − ( Yi )( Xi ) yi xi β2 = 2 = (2.6) 2 n Xi − ( Xi ) x2i ˆ ˆ β1 = Y − β2 X. (2.7) Trần Anh Tuấn Kinh tế lượng
Phương pháp bình phương nhỏ nhất Các giả thiết Ước lượng và kiểm định Ví dụ 2.1 Theo dõi thu nhập hàng tháng và mức chi về hàng thực phẩm của 8 gia đình có số thành viên như nhau, ta có số liệu sau (đơn vị: triệu đồng) Xi 1.2 3.1 5.3 7.4 9.6 11.8 14.5 18.7 Yi 0.9 1.2 1.8 2.2 2.6 2.9 3.3 3.8 Trong đó: Xi : thu nhập hàng tháng của gia đình thứ i Yi : mức chi cho hàng thực phẩm của gia đình thứ i. Dựa vào bảng số liệu trên và phương pháp OLS hãy xây dựng hàm hồi qui mẫu: ˆ ˆ ˆ Yi = β1 + β2 Xi . Trần Anh Tuấn Kinh tế lượng
Phương pháp bình phương nhỏ nhất Các giả thiết Ước lượng và kiểm định Bảng kết quả i Xi Yi xi x2 i yi 2 yi xi yi 1 1.20 0.90 -7.75 60.06 -1.44 2.07 11.14 2 3.10 1.20 -5.85 34.22 -1.14 1.29 6.65 3 5.30 1.80 -3.65 13.32 -0.54 0.29 1.96 4 7.40 2.20 -1.55 2.40 -0.14 0.02 0.21 5 9.60 2.60 0.65 0.42 0.26 0.07 0.17 6 11.80 2.90 2.85 8.12 0.56 0.32 1.60 7 14.50 3.30 5.55 30.80 0.96 0.93 5.34 8 18.70 3.80 9.75 95.06 1.46 2.14 14.26 71.60 18.70 0.00 244.42 0.00 7.12 41.35 Trần Anh Tuấn Kinh tế lượng
Phương pháp bình phương nhỏ nhất Các giả thiết Ước lượng và kiểm định Từ đó X = 8.95 và Y = 2.34, khi đó ˆ yi xi 41.35 β2 = = = 0.169 x2i 244.42 ˆ ˆ β1 = Y − β2 X = 2.34 − 0.169 ∗ 8.95 = 0.827 Khi đó, hàm hồi quy mẫu ˆ Y = 0.827 + 0.169Xi Ý nghĩa hệ số hồi quy: ˆ β2 = 0.169 phản ánh là khi thu nhập của gia đình tăng thêm 1 triệu đồng thì mức chi trung bình hàng tháng cho hanhg thực phẩm tăng lên 169 ngàn đồng. Trần Anh Tuấn Kinh tế lượng
Phương pháp bình phương nhỏ nhất Các giả thiết Ước lượng và kiểm định 1.3 Các tính chất của ước lượng OLS 1 Đường hồi quy mẫu đi qua điểm trung bình (X, Y ), tức là ˆ ˆ Y = β1 + β2 X 2 ˆ Giá trị trung bình của các giá trị Y được xác định theo hàm hồi quy mẫu bằng giá trị trung bình của biến phụ thuộc, tức là ˆ 1 ˆ Y = Yi = Y n 3 Tổng các phần dư của hàm hồi quy mẫu bằng 0, tức là ei = 0 4 Các phần dư ei không tương quan với Xi , tức là ei Xi = 0 5 ˆ Các phần dư ei không tương quan với Yi , tức là ˆ ei Yi = 0 Trần Anh Tuấn Kinh tế lượng
Phương pháp bình phương nhỏ nhất Các giả thiết Ước lượng và kiểm định §2. Các giả thiết cơ bản của mô hình hồi quy hai biến Trần Anh Tuấn Kinh tế lượng
Phương pháp bình phương nhỏ nhất Các giả thiết Ước lượng và kiểm định 2.1 Các giả thiết cơ bản của phương pháp OLS Giả thiết 1 Biến giải thích X là phi ngẫu nhiên, giá trị của nó là xác định. Giả thiết 2 Kì vọng toán của các sai số ngẫu nhiên Ui bằng 0, tức là E(Ui ) = E(Ui /Xi ) = 0 Giả thiết 3 Phương sai của các sai số Ui là không đổi (phương sai thuần nhất) V ar(Ui ) = V ar(Ui /Xi ) = σ 2 , ∀i Từ giả thiết 3, ta cũng được V ar(Yi /Xi ) = σ 2 , ∀i Trần Anh Tuấn Kinh tế lượng
Phương pháp bình phương nhỏ nhất Các giả thiết Ước lượng và kiểm định Giả thiết 4 Các sai số Ui không tương quan với nhau Cov(Ui , Uj ) = 0, ∀i = j. Giả thiết 5 Các sai số Ui và Xi không tương quan với nhau Cov(Ui , Xi ) = 0, ∀i Trần Anh Tuấn Kinh tế lượng
Phương pháp bình phương nhỏ nhất Các giả thiết Ước lượng và kiểm định 2.2 Các đặc trưng của hệ số ước lượng Với các giả thiết 1-5 thỏa mãn, ta có ˆ σ2 V ar(β2 ) = (2.8) x2 i 2 2 ˆ σ Xi V ar(β1 ) = (2.9) n x2 i Các độ lệch chuẩn của các hệ số hồi quy mẫu ˆ σ2 σ se(β2 ) = = (2.10) x2i x2 i ˆ σ2 Xi 2 2 Xi se(β1 ) = 2 =σ . (2.11) n xi n x2 i Do V ar(Ui ) = σ 2 chưa biết, ta thường lấy ước lượng không chệch của nó là e2 i σ2 ≈ σ2 = ˆ (2.12) n−2 Trần Anh Tuấn Kinh tế lượng
Phương pháp bình phương nhỏ nhất Các giả thiết Ước lượng và kiểm định Định lí Gauss - Markov Với các giả thiết của phương pháp OLS thì các ước lượng OLS βj làˆ các ước lượng tuyến tính, không chệch và có phương sai nhỏ nhất trong lớp các ước lượng tuyến tính, không chệch của βj (j = 1, 2). n ˆ Cụ thể, ta có β2 = ˆ ki Yi , ki = const và E β2 = β2 . i=1 ∗ Với β2 là ước lượng tuyến tính, không chệch bất kì của β2 , ta có ˆ σ2 ∗ V ar(β2 ) = ≤ V ar(β2 ) x2i Trần Anh Tuấn Kinh tế lượng
Phương pháp bình phương nhỏ nhất Các giả thiết Ước lượng và kiểm định 2.3 Giải thiết về phân phối xác suất của Ui Giả thiết 6 Sai số ngẫu nhiên Ui có phân phối chuẩn, tức là Ui ∼ N (0; σ 2 ) Với các giả thiết 1-6 mô hình hồi quy hai biến (2.1) được gọi là mô hình hồi quy hai biến cổ điển. ˆ ˆ 1. β1 ∼ N β1 , V ar(β1 ) ˆ ˆ 2. β2 ∼ N β2 , V ar(β2 ) 2 (n − 2)ˆ σ 3. χ2 = ∼ χ2(n−2) 4. Yi ∼ N (β1 + β2 Xi , σ 2 ) σ2 ˆ ˆ 5. Các ước lượng OLS β1 , β2 của β1 , β2 là các ước lượng hiệu quả. Trần Anh Tuấn Kinh tế lượng
Phương pháp bình phương nhỏ nhất Các giả thiết Ước lượng và kiểm định §3. Khoảng tin cậy và kiểm định giả thuyết về các hệ số hồi quy Trần Anh Tuấn Kinh tế lượng
Phương pháp bình phương nhỏ nhất Các giả thiết Ước lượng và kiểm định 3.1 Khoảng tin cậy của các hệ số hồi quy ˆ ˆ Từ giả thiết 6, ta có βj ∼ N βj , V ar(βj ) , nên ˆ βj − βj T = ∼ T (n−2) , ∀j = 1, 2. se(βˆj ) Từ đó, ta có ˆ βj − βj (n−2) P < tα = 1 − α. ˆ se(βj ) 2 ˆ (n−2) ˆ ˆ (n−2) ˆ P βj − t α .se(βj ) < βj < βj + t α .se(βj ) = 1 − α = γ 2 2 Khoảng tin cậy của hệ số hồi quy βj là ˆ (n−2) ˆ ˆ (n−2) ˆ βj − t α .se(βj ); βj + t α .se(βj ) 2 2 Trần Anh Tuấn Kinh tế lượng
Phương pháp bình phương nhỏ nhất Các giả thiết Ước lượng và kiểm định 3.2 Kiểm định giả thuyết về các hệ số hồi quy Với mức ý nghĩa α cho trước cần kiểm định giả thuyết ∗ H0 : βj = βj ∗ ∗ ∗ H1 : βj = βj (βj > βj , βj < βj ) Ta xây dựng TCKĐ ˆ βj − βj ∗ T = ˆ se(βj ) Nếu H0 đúng thì T ∼ T (n−2) . Trần Anh Tuấn Kinh tế lượng