Bài giảng Lý thuyết xác suất và thống kê toán: Bài 3 - ThS. Hoàng Thị Thanh Tâm

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:46

Thêm vào BST

Báo xấu

48
lượt xem 4
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Mời các bạn cùng tham khảo "Bài giảng Lý thuyết xác suất và thống kê toán - Bài 3: Biến ngẫu nhiên rời rạc" để nắm chi tiết các nội dung khái niệm và phân loại biến ngẫu nhiên; bảng phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên rời rạc; các tham số đặc trưng: kỳ vọng, phương sai, độ lệch chuẩn; biến ngẫu nhiên phân phối không – một; biến ngẫu nhiên phân phối nhị thức; khái niệm và các tham số của biến ngẫu nhiên hai chiều rời rạc.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Bài giảng Lý thuyết xác suất và thống kê toán: Bài 3 - ThS. Hoàng Thị Thanh Tâm

BÀI 3 BIẾN NGẪU NHIÊN RỜI RẠC ThS. Hoàng Thị Thanh Tâm ThS. Mai Cẩm Tú Trường Đại học Kinh tế Quốc dân v1.0014109216 1
TÌNH HUỐNG KHỞI ĐỘNG Lựa chọn vị trí làm việc Một người có thể lựa chọn giữa hai vị trí làm việc. Vị trí thứ nhất là tại một văn phòng và nhận một mức lương tháng cố định là 6 triệu đồng. Vị trí thứ hai là tại một đơn vị kinh doanh và nhận lương tháng theo số hợp đồng ký được. Mỗi hợp đồng ký được sẽ được nhận 5 triệu đồng. Biết rằng, số hợp đồng ký được trong tháng có thể là 0, 1, 2 hoặc 3 hợp đồng với khả năng xảy ra tương ứng là 10%, 30%, 40% và 20%. Làm thế nào để có thể so sánh, đánh giá về mức lương trong hai vị trí trên để từ đó đưa ra lựa chọn? v1.0014109216 2
MỤC TIÊU • Hiểu khái niệm biến ngẫu nhiên và phân biệt được hai loại biến ngẫu nhiên. • Lập được bảng phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên rời rạc. • Tính các tham số: kỳ vọng toán, phương sai, độ lệch chuẩn và áp dụng trong phân tích kinh tế. • Biết sử dụng quy luật Không – Một và quy luật Nhị thức để tính xác suất và các tham số đặc trưng. • Hiểu khái niệm biến ngẫu nhiên 2 chiều rời rạc và tính được một số tham số đặc trưng. v1.0014109216 3
HƯỚNG DẪN HỌC • Học đúng lịch trình của môn học theo tuần, làm các bài tập của buổi học trước. • Đọc tài liệu: Giáo trình Lý thuyết xác suất và thống kê toán của NXB Đại học KTQD. • Theo dõi chi tiết các ví dụ, tự tính các kết quả để kiểm tra. • Sinh viên làm việc theo nhóm và trao đổi với giảng viên. • Tham khảo các thông tin từ trang Web của môn học. v1.0014109216 4
NỘI DUNG Khái niệm và phân loại biến ngẫu nhiên Bảng phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên rời rạc Các tham số đặc trưng: kỳ vọng, phương sai, độ lệch chuẩn Biến ngẫu nhiên phân phối Không – một Biến ngẫu nhiên phân phối Nhị thức Khái niệm và các tham số của biến ngẫu nhiên hai chiều rời rạc v1.0014109216 5
1. KHÁI NIỆM BIẾN NGẪU NHIÊN 1.1. Khái niệm 1.2. Phân loại biến ngẫu nhiên 1.3. Biến ngẫu nhiên và biến cố v1.0014109216 6
1.1. KHÁI NIỆM • Định nghĩa: Biến ngẫu nhiên là một biến số mà trong kết quả của phép thử nó sẽ nhận một và chỉ một trong các giá trị có thể có của nó tùy thuộc vào sự tác động của các nhân tố ngẫu nhiên. Ký hiệu biến ngẫu nhiên: X, Y, Z... hoặc có thể đặt tên theo ý nghĩa của biến. • Ví dụ 1: Đặt Y là số chấm xuất hiện khi gieo con xúc sắc 1 lần thì:  Y là biến số, có thể nhận các giá trị là 1, 2, 3, 4, 5, 6.  Sau khi gieo con xúc sắc thì Y nhận đúng 1 trong 6 giá trị trên. Vậy Y là 1 biến ngẫu nhiên, có thể viết là Y = {1; 2; 3; 4; 5; 6}. • Ví dụ 2: Đặt T là thời gian hành khách phải chờ xe buýt tại 1 bến, biết rằng cứ 15 phút lại có một chuyến xe.  T là biến số, có thể nhận giá trị bất kỳ thuộc nửa đoạn [0;15) phút.  Với mỗi hành khách đến bến thì T nhận đúng một giá trị trong khoảng trên.  Vậy: T là biến ngẫu nhiên, có thể viết là T  [0;15). v1.0014109216 7
1.2. PHÂN LOẠI BIẾN NGẪU NHIÊN • Biến ngẫu nhiên rời rạc: là biến ngẫu nhiên mà giá trị có thể có của nó lập thành một tập hợp hữu hạn hoặc đếm được. Nói cách khác, ta có thể liệt kê tất cả các giá trị của biến ngẫu nhiên đó.  Biến ngẫu nhiên trong Ví dụ 1 thuộc loại rời rạc.  Nếu biến rời rạc X có n giá trị có thể có là x1, x2,…, xn, khi đó ta viết: X = {x1, x2,…, xn} • Biến ngẫu nhiên liên tục: là biến ngẫu nhiên mà tập các giá trị có thể có của nó lấp đầy một khoảng trên trục số. Biến ngẫu nhiên trong ví dụ 2 thuộc loại liên tục. v1.0014109216 8
1.3. BIẾN NGẪU NHIÊN VÀ BIẾN CỐ • Với X = {x1, x2,…, xn} thì:  Việc (X = xi) với i = 1,2,…, n là các biến cố ngẫu nhiên.  Các quan hệ của X với các con số đều tạo thành biến cố. • Ví dụ: Biến ngẫu nhiên X là số chấm xuất hiện khi gieo con xúc sắc 1 lần thì X = {1; 2; 3; 4; 5; 6}  (X = 2) là biến cố “được mặt có 2 chấm” là biến cố ngẫu nhiên  (X = 2,5) là biến cố không thể có  (X > 0) là biến cố chắc chắn  Biến cố (X  2) bằng tổng hai biến cố (X = 1) + (X = 2) v1.0014109216 9
2. BẢNG PHÂN PHỐI XÁC SUẤT 2.1. Lập bảng phân phối xác suất 2.2. Tính chất của bảng phân phối xác suất v1.0014109216 10
2.1. LẬP BẢNG PHÂN PHỐI XÁC SUẤT • Xét X = {x1, x2,…, xn}:  (X = xi) là các biến cố ngẫu nhiên.  Ký hiệu pi = P(X = xi) là các xác suất tương ứng .  Khi đó, sự tương ứng giữa xi và pi được thể hiện qua một bảng gọi bảng phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên X. • Bảng phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên X: X x1 x2 … xn P p1 p2 … pn v1.0014109216 11
VÍ DỤ LẬP BẢNG PHÂN PHỐI XÁC SUẤT • Ví dụ 1: Tung một con xúc sắc cân đối, đồng chất trên mặt phẳng cứng 1 lần. Đặt X là số chấm xuất hiện. Hãy lập bảng phân phối xác suất của X. • Giải:  X = {1; 2; 3; 4; 5; 6}  pi = P(X = xi) = 1/6 với i = 1,2,…,6.  Ta có bảng phân phối xác suất của X: X 1 2 3 4 5 6 1 1 1 1 1 1 P 6 6 6 6 6 6 v1.0014109216 12
VÍ DỤ LẬP BẢNG PHÂN PHỐI XÁC SUẤT • Ví dụ 2: Một hộp có 10 sản phẩm gồm 8 chính phẩm và 2 phế phẩm. Lấy đồng thời hai sản phẩm từ hộp. Đặt Y là số chính phẩm lấy được. Lập bảng phân phối xác suất của Y. • Giải:  Y là số chính phẩm lấy được trong số 2 sản phẩm => Y = {0; 1; 2}  Ta tính các xác suất tương ứng: C22 1 P(Y  0)  2   0,022 C10 45 C12 .C18 16 P(Y  1)    0,356 C102 45 C82 28 P(Y  2)  2   0,622 C10 45  Ta có bảng phân phối xác suất của Y: Y 0 1 2 P 0,022 0,356 0,622 v1.0014109216 13
2.2. TÍNH CHẤT CỦA BẢNG PHÂN PHỐI XÁC SUẤT • Tính chất: 0 ≤ pi ≤ 1 n  p  p  p  ...  p  1 i1 i 1 2 n • Các bảng phân phối xác suất đều phải thỏa mãn hai tính chất này, nếu không thỏa mãn thì đó không phải là bảng phân phối xác suất. v1.0014109216 14
3. CÁC THAM SỐ ĐẶC TRƯNG 3.1. Kỳ vọng toán 3.2. Phương sai và Độ lệch chuẩn v1.0014109216 15
3.1. KỲ VỌNG TOÁN • Định nghĩa: Kỳ vọng toán của biến ngẫu nhiên rời rạc X, ký hiệu là E(X), là tổng của các tích giữa các giá trị có thể có của biến ngẫu nhiên với xác suất tương ứng. • Nếu biến ngẫu nhiên rời rạc X nhận một trong các giá trị có thể có x1, x2,…, xn với xác suất tương ứng p1, p2,…, pn thì: n E(X)  x1p1  x 2p2  ...  xnpn   x ipi i1 • Ví dụ 1: Lợi nhuận (tỷ đồng) của hai dự án A và B, ký hiệu XA và XB có bảng phân phối xác suất như sau, hãy tính và so sánh hai kỳ vọng toán của lợi nhuận hai dự án. XA –2 3 10 XB 1 4 9 P 0,2 0,6 0,2 P 0,4 0,4 0,2 • Giải: E(XA) = –2  0,2 + 3  0,6 + 10  0,2 = 3,4 ( tỷ đồng) E(XB) = 1  0,4 + 4  0,4 + 9  0,2 = 3,3 ( tỷ đồng) Như vậy về kỳ vọng, lợi nhuận dự án A lớn hơn lợi nhuận dự án B. v1.0014109216 16
Ý NGHĨA VÀ ỨNG DỤNG CỦA KỲ VỌNG TOÁN • Kỳ vọng toán là giá trị trung bình theo xác suất của các giá trị của biến ngẫu nhiên. Nó thể hiện xu thế trung tâm của biến ngẫu nhiên ấy. • Trong kinh tế, kỳ vọng toán đặc trưng cho năng suất trung bình của một phương án sản suất, lợi nhuận trung bình của một danh mục đầu tư, trọng lượng trung bình hoặc tuổi thọ trung bình của một loại sản phẩm,... Do đó trong kinh tế, kỳ vọng toán là một tiêu chuẩn để ra quyết định khi có nhiều phương án lựa chọn khác nhau. • Kỳ vọng toán có đơn vị là đơn vị của biến ngẫu nhiên. v1.0014109216 17
TÍNH CHẤT CỦA KỲ VỌNG TOÁN Với c là hằng số, X và Y là các biến ngẫu nhiên • Tính chất:  E(c) = c.  E(cX) = c.E(X).  E(X + Y) = E(X) + E(Y).  E(XY) = E(X).E(Y) nếu X, Y là độc lập • Từ các tính chất suy ra:  E(c + X) = c + E(X)  E( X – Y) = E(X) – E(Y)  E(aX + bY) = aE(X) + bE(Y). v1.0014109216 18
3.2. PHƯƠNG SAI VÀ ĐỘ LỆCH CHUẨN • Định nghĩa – Phương sai: Phương sai của biến ngẫu nhiên X, ký hiệu là V(X), là kỳ vọng toán của bình phương sai lệch của biến ngẫu nhiên so với kỳ vọng toán của nó. V(X)  E  X  E(X)  2 • Khi tính toán ta thường dùng công thức: V(X)  E(X2 )  E(X)  2 n • Trong đó E(X2 )   x i 2pi (nếu X là rời rạc) i1 v1.0014109216 19
Ý NGHĨA CỦA PHƯƠNG SAI • Phương sai phản ánh mức độ phân tán của các giá trị của biến ngẫu nhiên xung quanh giá trị trung bình của nó là kỳ vọng toán. • Tùy từng nội dung của biến ngẫu nhiên, phương sai đặc trưng cho: độ phân tán, độ biến động, độ rủi ro, độ ổn định, độ đồng đều, độ chính xác,… Do đó trong kinh tế, phương sai là một tiêu chuẩn để ra quyết định trong trường hợp có nhiều phương án lựa chọn khác nhau. • Lưu ý:  Phương sai càng lớn thì ta nói biến ngẫu nhiên càng biến động, càng dao động, càng phân tán…  Phương sai càng nhỏ thì ta nói biến ngẫu nhiên càng ổn định, càng tập trung, càng đồng đều…  Đơn vị của phương sai là bình phương đơn vị của biến ngẫu nhiên, chẳng hạn nếu X đơn vị là mét thì V(X) có đơn vị là mét2. v1.0014109216 20