Bài giảng môn Đại số tuyến tính

Chia sẻ: Nguyễn Quốc Thắng | Ngày: | Loại File: DOC | Số trang:15

Thêm vào BST

Báo xấu

280
lượt xem 93
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Tài liệu tham khảo dành cho giáo viên, sinh viên cao đẳng, đại học chuyên môn toán cao cấp - Giáo trình đại số tuyến tính.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Bài giảng môn Đại số tuyến tính

TrÇn v¨n minh §¹i sè tuyÕn tÝnh Tµi liÖu to¸n A1 dïng cho c¸n bé, sinh viªn c¸c ngµnh kü thuËt vµ kinh tÕ in lÇn thó ba nhµ xuÊt b¶n giao th«ng vËn t¶i hµ néi- 2004 §¹i sè tuyÕn tÝnh lµ m«n to¸n c¬ së cã cÊu tróc chÆt chÏ vµ cã nhiÒu øng dông cho c¸c ngµnh kü thuËt vµ kinh tÕ. Tuy nhiªn do tÝnh trõu tîng cña nã khi häc m«n nµy sinh viªn c¸c ngµnh kü thuËt vµ kinh tÕ cßn gÆp nhiÒu khã kh¨n. §Ó phï hîp cho viÖc häc tËp cña sinh viªn c¸c ngµnh kü thuËt vµ kinh tÕ, trong tµi liÖu nµy chóng t«i tr×nh bµy víi nh÷ng híng c¬ b¶n sau: 1. Gi÷ ®îc cÊu tróc ®¹i sè chÆt chÏ cña m«n ®¹i sè tuyÕn tÝnh. 2. C¸c kh¸i niÖm ®îc n©ng dÇn tõ trùc quan ®Ó b¹n ®äc dÔ dµng tiÕp cËn víi tÝnh trõu tîng cña m«n häc. C¸c vÝ dô minh ho¹ ®îc ®a nhiÒu díi d¹ng tÝnh to¸n ®Ó gióp c¸c b¹n dÔ hiÓu. 3. §Ó cã thÓ gióp b¹n ®äc cã thÓ lËp tr×nh cho c¸c bµi to¸n tÝnh to¸n trong ®¹i sè tuyÕn tÝnh, khi chøng minh c¸c ®Þnh lý chóng t«i lu«n cè g¾ng ®a vµo c¸c tÝnh to¸n ®¹i sè vµ tr×nh bµy díi d¹ng thuËt to¸n c¸c chøng minh ®ã. 1
Ngoµi ra chóng t«i ®a vµo mét phô lôc tæng hîp mét sè ®Ò kiÓm tra hÕt m«n häc trong nh÷ng n¨m gÇn ®©y cña trêng §¹i häc Giao Th«ng VËn T¶i Hµ Néi ®Ó c¸c b¹n tham kh¶o, trªn c¬ së ®ã gióp c¸c b¹n hiÓu ®îc néi dung m«n häc vµ dÔ dµng lµm c¸c bµi tËp. Chóng t«i xin ch©n thµnh c¸m ¬n c¸c sinh viªn cña trêng ®¹i häc Giao Th«ng VËn T¶i Hµ Néi ®· cã nh÷ng ®ãng gãp quý b¸u cho lÇn t¸i b¶n nµy ®îc tèt h¬n. Cuèn s¸ch ch¾c kh«ng tr¸nh khái cßn nh÷ng thiÕu sãt. Chóng t«i mong nhËn ® îc nh÷ng ý kiÕn ®ãng gãp quý b¸u cña b¹n ®äc ®Ó lÇn xuÊt b¶n sau ®îc hoµn thiÖn h¬n. Th gãp ý xin göi vÒ Bé M«n To¸n Trêng §¹i Häc Giao Th«ng VËn T¶i Hµ Néi T¸c gi¶ Ch¬ng 1 Më ®Çu vÒ mét sè cÊu tróc ®¹i sè 1.1 TËp hîp 1. Kh¸i niÖm vÒ tËp hîp Còng nh c¸c kh¸i niÖm vÒ ®iÓm vµ ®êng th¼ng trong h×nh häc, tËp hîp lµ mét kh¸i niÖm to¸n häc c¬ b¶n kh«ng ®Þnh nghÜa. Ta hiÓu tËp hîp lµ c¸c vËt hay c¸c ®èi t îng cã thÓ liÖt kª ra ®îc hoÆc cã cïng mét tÝnh chÊt chung nµo ®ã. C¸c ®èi tîng lËp nªn mét tËp gäi lµ phÇn tö cña tËp hîp. Mét tËp hîp thêng ®îc ký hiÖu b»ng c¸c ch÷ c¸i in hoa: A,B,C...Cßn c¸c phÇn tö cña tËp hîp thêng ®îc ký hiÖu b»ng c¸c ch÷ in thêng: a,b,..,x,y,z....NÕu x lµ phÇn tö thuéc tËp X ta ký hiÖu x∈X, cßn x kh«ng lµ phÇn tö thuéc tËp X ta ký hiÖu x∉X. TËp A gåm c¸c phÇn tö x cã tÝnh chÊt p ký hiÖu A={x| p(x)} hay A={x:p(x)} VÝ dô 1.1: a. Gäi A lµ tËp c¸c ch÷ sè ¶rËp: A ={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}. b. N lµ tËp c¸c sè tù nhiªn: N={0,1,2,...,n,...}. c. Z lµ tËp c¸c sè nguyªn: Z={0,+1,-1,+2,-2,...}. p d. Q lµ tËp c¸c sè h÷u tØ: Q={ | p,q ∈Z;q≠ 0}. q VÝ dô 1.2: a. Pn(t)={x(t)=a0+a1t+...+antn| ai∈R} lµ tËp c¸c ®a thøc bËc kh«ng lín h¬n n víi c¸c hÖ sè thùc. b. C[a,b]={x(t)| x(t) liªn tôc trªn [a,b]}. 2. TËp con cña mét tËp hîp NÕu mäi phÇn tö cña tËp A ®Òu lµ phÇn tö cña tËp X th× ta nãi A lµ tËp con cña X vµ ký hiÖu: A⊂X. Hai tËp X, Y ®îc gäi lµ b»ng nhau nÕu X⊂Y vµ Y⊂X, ký hiÖu X=Y. Mét tËp hîp kh«ng cã phÇn tö nµo gäi lµ tËp hîp rçng, ký hiÖu ∅. Ta thÊy: A ⊂ N ⊂ Z ⊂ Q vµ Pn(t) ⊂ C[a,b]. VÝ dô 1.3: A={x| x2+1=0,x∈R}=∅. 3. C¸c phÐp to¸n trªn tËp hîp a. PhÐp hîp 2
Ta gäi hîp cña hai tËp A,B lµ tËp hîp, ký hiÖu A∪B, gåm c¸c phÇn tö thuéc Ýt nhÊt mét trong hai tËp A hoÆc B. A∪B ={x| x∈A hoÆc x∈B} (1_1) b. PhÐp giao Giao cña hai tËp A,B lµ tËp hîp, ký hiÖu A∩B, gåm c¸c phÇn tö thuéc ®ång thêi c¶ A vµ B. A∩B ={x| x∈A vµ x∈B} (1_2) c. HiÖu cña hai tËp hîp HiÖu cña A vµ B lµ tËp hîp, ký hiÖu A\B, gåm c¸c phÇn tö thuéc A nhng kh«ng thuéc B. A\B={x| x∈A, x∉B} (1_3) d. PhÇn bï NÕu A⊂X th× X\A gäi lµ phÇn bï cña A trong X, ký hiÖu CxA. Chó ý: C¸c phÐp to¸n hîp vµ giao cã thÓ suy cho mét sè tuú ý c¸c tËp hîp. e. C¸c tÝnh chÊt C¸c phÐp to¸n cña tËp hîp cã c¸c tÝnh chÊt sau: 1. Giao ho¸n A∪B = B∪A , A∩B= B∩A 2. KÕt hîp (A∪B)∪C= A∪(B∪C) (A∩B)∩C=A∩(B∩C) 3. Ph©n phèi A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C) A∪(B∩C)=(A∪B)∩(A∪C) 4. C«ng thøc De Morgan X\ (A∪B)=(X\A) ∩(X\B) X\ (A∩B)=(X\A)∪(X\B) c«ng thøc De Morgan ®óng cho mét hä tuú ý c¸c tËp hîp. Hîp Giao HiÖu PhÇn bï f. TÝch §Ò c¸c cña c¸c tËp hîp §Þnh nghÜa 1.1: Cho hai tËp X,Y ta gäi tÝch §Ò c¸c cña X vµ Y lµ tËp hîp, ký hiÖu X× Y gåm c¸c phÇn tö s¾p thø tù (x,y) sao cho x∈X, y∈Y. Nh vËy: X× Y ={(x,y) | x∈X, y∈Y} (1_4) Më réng cho tÝch §Ò c¸c cña n tËp hîp ta cã: X1× X2× ...× Xn ={(x1,x2,...,xn) | xi∈Xi (i= 1, n )} Khi X1= X2=...= Xn= X ký hiÖu: Xn= X× X× ...× X (TÝch n lÇn X) 3
Hai phÇn tö b»ng nhau: Cho (x1,x2,...,xn), (x’1,x’2,...,x’n)∈ X1× X2× ...× Xn Ta ®Þnh nghÜa: (x1,x2,...,xn)= (x’1,x’2,...,x’n)⇔ xi=x’i (i= 1, n ) VÝ dô 1.4: a. Cho X={0,1}, khi ®ã: X2=X× X={(0,0),(0,1),(1,0),(1,1)} b. Rn={(x1,x2,...,xn)| xi∈R (i= 1, n ) } 1.2 ¸nh x¹ 1. C¸c ®Þnh nghÜa §Þnh nghÜa 1.2: Cho hai tËp X,Y, mét ¸nh x¹ f tõ X vµo Y lµ mét quy luËt cho øng mçi phÇn tö x∈X víi mét phÇn tö y=f(x) ∈Y x¸c ®Þnh trªn Y. Ký hiÖu: f: X→Y (1_5) y=f(x) gäi lµ ¶nh cña phÇn tö x qua ¸nh x¹ f. X gäi lµ tËp nguån hay miÒn x¸c ®Þnh cña f. Víi A⊂X tËp: f(A)={f(x)∈Y| x∈A} gäi lµ ¶nh cña tËp A qua ¸nh x¹ f. Khi ®ã tËp f(X) gäi lµ miÒn gi¸ trÞ cña f. Víi B⊂Y tËp: f -1(B)={x∈X| f(x)∈B} gäi lµ nghÞch ¶nh cña tËp B. TËp {(x,f(x)| x∈X}⊂ X× Y gäi lµ ®å thÞ cña f. 2. §¬n ¸nh, Toµn ¸nh, Song ¸nh §Þnh nghÜa 1.3: ¸nh x¹ f: X→Y - Gäi lµ ®¬n ¸nh nÕu tõ f(x1)=f(x2) suy ra x1=x2. - Gäi lµ toµn ¸nh nÕu f(X)=Y. - Gäi lµ song ¸nh nÕu f võa lµ ®¬n ¸nh võa lµ toµn ¸nh. VÝ dô 1.5: (i) f: N→N : f(n)=2n+1 lµ mét ®¬n ¸nh. (ii) f: R→R+ : f(x)=x2 lµ toµn ¸nh nhng kh«ng lµ ®¬n ¸nh. (iii) Ix: X→X, Ix(x)=x lµ mét song ¸nh trªn X vµ gäi lµ ¸nh x¹ ®ång nhÊt. 3. TÝch c¸c ¸nh x¹ §Þnh nghÜa 1.4: Cho f: X→Y vµ g: Y→Z lµ hai ¸nh x¹, khi ®ã h: X→Z ®îc x¸c ®Þnh bëi h(x)=g(f(x)) ®îc gäi lµ tÝch cña hai ¸nh x¹ f vµ g vµ viÕt h=gof. §Þnh lý 1: Cho hai ¸nh x¹: f: X→Y vµ g: Y→Z, khi ®ã: a. NÕu h=gof lµ ®¬n ¸nh th× f lµ ®¬n ¸nh. b. NÕu h=gof lµ toµn ¸nh th× g lµ toµn ¸nh. Chøng minh: a. f(x1)=f(x2)⇒ g(f(x1))=g(f(x2)) ⇒h(x1)=h(x2), nhng do h lµ ®¬n ¸nh nªn x1=x2 , do ®ã f lµ ®¬n ¸nh. b. Ta cã f(X)⊆Y, do h lµ toµn ¸nh nªn: Z=h(X)=g(f(X)) ⊆g(Y) ⊆Z VËy g(Y)=Z hay g lµ toµn ¸nh. 4. ¸nh x¹ ngîc vµ ®iÒu kiÖn tån t¹i §Þnh lý 2: NÕu f: X→Y lµ mét song ¸nh th× tån t¹i duy nhÊt mét ¸nh x¹ g: Y →X sao -1 cho gof =Ix vµ fog= Iy. Khi ®ã g ®îc gäi lµ ¸nh x¹ ngîc cña f, ký hiÖu g=f vµ ngîc l¹i f lµ ¸nh x¹ ngîc cña g. 4
Chøng minh: V× f lµ toµn ¸nh nªn víi mçi y∈Y tån t¹i x∈X sao cho y=f(x), do f lµ ®¬n ¸nh nªn mçi x øng víi mçi y trªn lµ duy nhÊt. Do vËy ta x¸c ®Þnh ®îc duy nhÊt ¸nh x¹ g: Y→X mµ g(y)=x sao cho f(x)=y. HiÓn nhiªn f(g(y))=f(x)=y= Iy Vµ g(f(x))=g(y)=x= Ix 1.3 S¬ lîc vÒ logic mÖnh ®Ò 1. MÖnh ®Ò MÖnh ®Ò lµ mét c©u ph¶n ¸nh mét ®iÒu ®óng hoÆc sai, nhng kh«ng ®ång thêi võa ®óng võa sai. Ta thêng dïng c¸c ch÷ c¸i a,b,c,… ®Ó chØ c¸c mÖnh ®Ò. VÝ dô 1.6: a= C¸c ®iÓm trªn ®êng trßn c¸ch ®Òu t©m. b= C¸c ®iÓm trªn Elip c¸ch ®Òu gèc to¹ ®é. Ta thÊy a lµ mÖnh ®Ò ®óng, cßn b lµ mÖnh ®Ò sai. NÕu p lµ mÖnh ®Ò ®óng ta nãi p cã gi¸ trÞ ®óng, nÕu q lµ mÖnh ®Ò sai ta nãi q cã gi¸ trÞ sai. Thay cho ®óng vµ sai ta quy íc gi¸ trÞ cña mÖnh ®Ò ®óng b»ng 1, gi¸ trÞ cña mÖnh ®Ò sai b»ng 0. MÖnh ®Ò cã gi¸ trÞ thay ®æi gäi lµ c¸c biÕn mÖnh ®Ò. Nh vËy mét biÕn mÖnh ®Ò chØ nhËn mét trong hai gi¸ trÞ hoÆc 1 hoÆc 0. VÝ dô 1.7: p= Tam gi¸c ABC cã hai gãc b»ng nhau. Khi ®ã: 1 ABC la tam giac can P=  0 ABC khong la tam giac can 2. C¸c phÐp to¸n logic a. PhÐp phñ ®Þnh Phñ ®Þnh cña mÖnh ®Ò p lµ mÖnh ®Ò, ký hiÖu ┐p, víi: 1 khi p = 0 ┐p=  0 khi p = 1 c. PhÐp tuyÓn TuyÓn cña hai mÖnh ®Ò p,q lµ mÖnh ®Ò, ký hiÖu p ∨ q, víi: 0 khi p = 0 va q = 0 p∨ q 1 cac truong hop con lai c. PhÐp héi Héi cña hai mÖnh ®Ò p,q lµ mÖnh ®Ò, ký hiÖu p∧ víi: q, 1 khi p = 1 va q = 1 p ∧ = q 0 cac truong hop con lai d. PhÐp kÐo theo MÖnh ®Ò “p kÐo theo q” lµ mÖnh ®Ò, ký hiÖu p⇒ q, víi: 0 khi p = 1 va q = 0 p⇒q=  1 cac truong hop con lai e. PhÐp t¬ng ®¬ng MÖnh ®Ò “p t¬ng ®¬ng q”, ký hiÖu p⇔q, cã nghÜa: p⇒q ∧q⇒p 3. C¸c lîng tõ víi mäi vµ tån t¹i a. Hµm mÖnh ®Ò 5
Cho mét tËp X, mét ¸nh x¹ P:X→{0,1} ®îc gäi lµ mét hµm mÖnh ®Ò x¸c ®Þnh trªn tËp X. Ký hiÖu p=p(x). Nh vËy øng víi mçi x∈X x¸c ®Þnh mét mÖnh ®Ò p(x). VÝ dô 1.8: P(x):R →{0,1}: x2-2x+1=0 . Khi ®ã: 1 khi x = 1 p=  0 khi x ≠ 1 VÝ dô 1.9: C¸c phÐp to¸n l«gÝc lµ c¸c hµm mÖnh ®Ò sau: PhÐp phñ ®Þnh lµ hµm: P:{0,1}→{0,1} víi P(0)=1, P(1)=0. C¸c phÐp tuyÓn, héi, kÐo theo, t¬ng ®¬ng, t¬ng øng lµ c¸c ¸nh x¹ tõ X 2={0,1}2→{0,1} ®îc cho bëi b¶ng sau: x y x∨y x∧y x⇒y x⇔y 0 0 0 0 1 1 0 1 1 0 1 0 1 0 1 0 0 0 1 1 1 1 1 1 b. MiÒn ®óng cña hµm mÖnh ®Ò Ta gäi tËp Ep(x)={x∈X| p(x)=1} lµ miÒn ®óng cña hµm mÖnh ®Ò p(x). Hai hµm mÖnh ®Ò p(x) vµ q(x) cïng x¸c ®Þnh trªn X ®îc gäi lµ t¬ng ®¬ng nÕu Ep(x)=Eq(x) , ký hiÖu: p(x)≡ q(x). VÝ dô 1.10: P(x)= x2-3x+2≤ 0, khi ®ã Ep(x)=[1,2]. c. Lîng tõ Cho T(x) lµ mét hµm mÖnh ®Ò x¸c ®Þnh trªn tËp X. Khi ®ã: (i) MÖnh ®Ò (∀x∈X) T(x) (®äc lµ víi mäi x thuéc X, T(x)) lµ mét mÖnh ®Ò chØ ®óng nÕu ET(x)=X vµ ®îc gäi lµ lîng tõ phæ biÕn. (ii) MÖnh ®Ò (∃ x∈X) T(x) (®äc lµ tån t¹i x thuéc X, T(x)) lµ mét mÖnh ®Ò chØ ®óng nÕu ET(x)≠∅ vµ gäi lµ lîng tõ tån t¹i. VÝ dô 1.11: a=(∀x∈[1,2] ): x2- 3x+2≤ 0. b=(∃ x∈ R): x2- 3x+2≥ 0. lµ c¸c mÖnh ®Ò ®óng. d. Phñ ®Þnh cña c¸c lîng tõ ┐(∀x∈X) T(x)= (∃ x∈X) ┐T(x) ┐(∃ x∈X) T(x)=(∀x∈X) ┐T(x) 1.4 Quan hÖ 1. Quan hÖ §Þnh nghÜa 1.5: Cho tËp X, ta nãi R lµ mét quan hÖ hai ng«i trªn X nÕu R⊂ X× X. Víi x,y∈X ta nãi x cã quan hÖ víi y nÕu (x,y)∈R vµ viÕt xRy. §Þnh nghÜa 1.6: Ta nãi quan hÖ hai ng«i R trªn X: (i) Cã tÝnh ph¶n x¹ nÕu ∀x∈X, ta ®Òu cã xRx. (ii) Cã tÝnh ®èi xøng nÕu x,y∈X mµ xRy th× yRx. (iii) Cã tÝnh b¾c cÇu nÕu xRy vµ yRz th× xRz. (iv) Cã tÝnh ph¶n ®èi xøng nÕu víi x,y mµ ®ång thêi cã xRy vµ yRx th× x=y 6
VÝ dô 1.12: Trªn tËp c¸c sè nguyªn d¬ng Z+, xÐt quan hÖ R nh sau: xRy ⇔x y (x chia hÕt cho y). Ta thÊy R lµ quan hÖ cã c¸c tÝnh chÊt: ph¶n x¹, b¾c cÇu vµ ph¶n xøng nhng kh«ng cã tÝnh ®èi xøng. 2. Quan hÖ t¬ng ®¬ng §Þnh nghÜa 1.7: Mét quan hÖ hai ng«i R trªn X ®îc gäi lµ quan hÖ t¬ng ®¬ng nÕu R cã tÝnh ph¶n x¹ ,®èi xøng vµ b¾c cÇu. NÕu R lµ quan hÖ t¬ng ®¬ng vµ xRy th× ký hiÖu x∼ y. Nh vËy mét quan hÖ lµ t¬ng ®¬ng th×: + x∼ x ∀x∈X + x∼ y ⇔ y∼ x + x∼ y, y∼ z ⇒x∼ z VÝ dô 1.13: Trªn tËp Z c¸c sè nguyªn, n lµ mét sè nguyªn d¬ng xÐt quan hÖ: xRy⇔x-y chia hÕt cho n. Ta thÊy quan hÖ nµy lµ quan hÖ t¬ng ®¬ng vµ gäi lµ quan hÖ ®ång d modulo n trªn Z. NÕu x∼ y ta ký hiÖu x≡ y(mod n). 3. Quan hÖ thø tù §Þnh nghÜa 1.8: Mét quan hÖ hai ng«i trªn X ®îc gäi lµ quan hÖ thø tù nÕu R cã tÝnh ph¶n x¹, ph¶n ®èi xøng vµ b¾c cÇu. NÕu R lµ quan hÖ thø tù vµ xRy th× ký hiÖu x≤ y, nh vËy mét quan hÖ lµ quan hÖ thø tù th×: + x≤ x ∀x∈X + NÕu x≤ y, y≤ x th× x=y + x≤ y, y≤ z ⇒ x≤ z NÕu quan hÖ thø tù tho¶ m·n ®iÒu kiÖn: ∀x,y∈X hoÆc x≤ y hoÆc y≤ x th× ta gäi nã lµ quan hÖ thø tù toµn phÇn hay X lµ tËp ®îc s¾p thø tù toµn phÇn. VÝ dô 1.14: C¸c tËp N, Z,vµ tËp Q c¸c sè h÷u tû víi quan hÖ ≤ lµ c¸c tËp ®îc s¾p thø tù toµn phÇn. 1.5 Trêng sè phøc 1. Trêng sè h÷u tû Q vµ trêng sè thùc R TËp sè thùc R vµ tËp c¸c sè h÷u tû Q víi phÐp céng vµ phÐp nh©n hai sè cã tÝnh chÊt sau, gäi lµ tÝnh chÊt trêng: TÝnh chÊt trêng: Víi bÊt kú hai sè a, b cã duy nhÊt sè a+b gäi lµ tæng cña chóng, vµ cã duy nhÊt sè ab gäi lµ tÝch cña chóng. H¬n n÷a c¸c mÖnh ®Ò sau ®©y lµ ®óng: (i) LuËt giao ho¸n: a+b=b+a, ab=ba (ii) LuËt kÕt hîp (a+b)+c=a+(b+c), (ab)c=a(bc) (iii) LuËt ph©n bè a(b+c)=ab+ac (iv) Tån t¹i phÇn tö kh«ng: Tån t¹i duy nhÊt sè 0 cã tÝnh chÊt, víi mäi sè x: x+0=0+x=x Ta gäi sè 0 lµ phÇn tö trung hßa cña phÐp céng. (v) Tån t¹i phÇn tö ®¬n vÞ: Tån t¹i duy nhÊt sè 1 cã tÝnh chÊt, víi mäi sè x: 1.x=x Ta gäi sè 1 lµ phÇn tö trung hßa cña phÐp nh©n. (vi) Tån t¹i sè ®èi: Víi mçi sè x, cã duy nhÊt sè –x, víi tÝnh chÊt: x+(-x)=0 7
1 (vii) Tån t¹i sè nghÞch ®¶o: Víi mçi sè x kh¸c 0, cã duy nhÊt sè , gäi lµ nghÞch ®¶o x cña x, cã tÝnh chÊt: 1 x   =1  x Do tÝnh chÊt trêng, ta nãi tËp sè thùc R vµ tËp c¸c sè h÷u tû Q víi phÐp céng (+) vµ nh©n (× ) t¹o thµnh mét trêng, gäi lµ trêng sè thùc R vµ trêng sè h÷u tû Q, ký hiÖu R(+,× ) vµ (Q,+,× ) . V× Q,R lµ c¸c tËp ®îc s¾p thø tù toµn phÇn nªn ta còng nãi trêng h÷u tû (Q,+,× ) vµ tr- êng sè thùc R(+,× ) lµ trêng s¾p thø tù. 2. Sè phøc Ph¬ng tr×nh: x2+1=0 hay x2=-1 (1_6) Kh«ng cã nghiÖm trong trêng sè thùc (R,+ ,× ) v× vËy cÇn më réng trêng sè thùc thµnh mét trêng réng h¬n ®Ó ph¬ng tr×nh trªn cã nghiÖm, hay trªn trêng ®ã cã thÓ lÊy c¨n bËc ch½n mét sè ©m. Theo gîi ý cña phÐp khai c¨n, ngêi ta ®a vµo mét ký hiÖu míi i, ®Ó trong trêng ®îc më réng i2=-1. Ký hiÖu míi i lµ mét sè míi, gäi lµ ®¬n vÞ ¶o (cßn sè 1 gäi lµ ®¬n vÞ thùc), khi ®ã ph¬ng tr×nh (1_6) cã hai nghiÖm: x=i vµ x=-i NÕu xÐt ph¬ng tr×nh (x-a) 2 +b2=0 hay (x-a) 2 =-b2 khi ®ã nghiÖm cña ph¬ng tr×nh trªn trêng míi cã d¹ng: x=a+bi vµ x=a-bi C¸c sè d¹ng z=a+ib trong ®ã a,b lµ c¸c sè thùc, gäi lµ c¸c sè phøc d¹ng chuÈn t¾c, a gäi lµ phÇn thùc, ký hiÖu a=Rez, b gäi lµ phÇn ¶o, ký hiÖu b=Imz. Ký hiÖu C lµ tËp c¸c sè phøc: C={z=a+ib a,b∈R} (1_7) 3. C¸c phÐp to¸n trªn tËp sè phøc a. Tæng vµ tÝch hai sè phøc §Þnh nghÜa 1.12: Víi z=a+ib, w=c+id∈C ta gäi: (i) Tæng: z+w= (a+b)+i(c+d) (1_8) (ii) TÝch: z.w=(a+ib).(c+id)=(ac-bd)+i(ad+bc) (1_9) DÔ dµng kiÓm tra phÐp céng, vµ nh©n c¸c sè phøc cã tÝnh giao ho¸n, kÕt hîp, vµ phÐp nh©n ph©n phèi víi phÐp céng. Chó ý: 1. Mçi phÇn tö a∈R ®îc xem lµ phÇn tö a+i.0∈C nªn R lµ mét tËp con cña C. Do ®ã phÇn tö 0=0+0i còng lµ phÇn tö kh«ng cña C. 2. Hai sè phøc b»ng nhau a+ib=c+id ⇔ a=c vµ b=d. 3. §¬n vÞ ¶o i=0+i, sè thuÇn ¶o ib=0+ib 4. HiÓn nhiªn ta cã i2=(0+i)(0+i)=-1. 5. Víi mäi sè thùc λ vµ z=a+ib th× λz=λa+i λb Do ®ã víi mçi sè phøc z=a+ib th× 1.z=1(a+ib)=z, hay sè 1 còng lµ phÇn tö ®¬n vÞ cña phÐp nh©n. 6. HiÖu hai sè phøc Ta ®Þnh nghÜa: z-w=z+(-1).w=(a-c)+i(b-d) 8
Do ®ã víi mçi sè phøc z=a+ib th× phÇn tö ®èi –z=-a-ib. c. Sè phøc liªn hîp NÕu z=a+ib th× sè phøc z =a-ib gäi lµ sè phøc liªn hîp cña z. HiÓn nhiªn ta cã: + z+w= z+w + z. w = z. w + z. z =(a+ib).(a-ib)= a2+b2 (1_10) lµ mét sè thùc d¬ng. + z+ z =(a+ib)+(a-ib)=2a=2Rez + z - z =(a+ib)-(a-ib)=2ib=2i Imz d. PhÐp chia sè phøc Cho z=a+ib, w=c+id víi (a,b)≠ (0,0), khi ®ã ta cã: 1 1 z a − ib a b = = = 2 = 2 −i 2 z a + ib z.z a + b 2 a +b 2 a + b2 Do ®ã: w w.z (c + id )(a − ib) ac + bd ad − bc = = = 2 +i 2 (1_11) z z. z a +b 2 2 a +b 2 a + b2 VÝ dô 1.5: TÝnh: (2 − 3i )(1 + 2i ) 8+i (8 + i )(−1 − 2i ) 6 17 = = =− − i − 1 + 2i − 1 + 2i 5 5 5 §Þnh lý 3: TËp C c¸c sè phøc víi phÐp céng (1_8) vµ phÐp nh©n (1_9) lµ mét tr êng, gäi lµ trêng sè phøc. Chøng minh: ThËt vËy theo trªn ta cã: + PhÐp céng, vµ nh©n c¸c sè phøc cã tÝnh giao ho¸n, kÕt hîp, vµ phÐp nh©n ph©n phèi víi phÐp céng. + PhÐp céng cã phÇn tö kh«ng lµ sè 0, phÇn tö ®èi cña z=a+ib lµ -z=-a-ib. + PhÐp nh©n co phÇn tö ®¬n vÞ lµ sè 1 vµ z=a+ib≠ 0 th× phÇn tö nghÞch ®¶o lµ: 1 a b = 2 −i 2 z a +b 2 a + b2 VËy (C,+,.) lµ mét trêng. Chó ý: Ta thÊy viÖc thùc hiÖn c¸c phÐp to¸n c¬ b¶n trªn trêng sè phøc còng gièng nh thùc hiÖn c¸c biÓu thøc sè häc víi chó ý: i2=-1. 4. BiÓu diÔn h×nh häc cña sè phøc Ta thÊy gi÷a sè phøc z=a+ib vµ cÆp sè thùc (a,b) cã t¬ng øng mét-mét, nªn ta cã thÓ biÓu diÔn tËp C c¸c sè phøc bëi: C={z=(a,b) a,b∈R} (1_12) Z=(a,b) gäi lµ d¹ng ®¹i sè cña z=a+ib. XÐt hÖ to¹ ®é §Ò c¸c vu«ng gãc Oxy trong mÆt ph¼ng. Theo (1_12), mçi sè phøc z=(a,b) ®îc biÓu diÔn t¬ng øng bëi mét ®iÓm M(a,b), hay biÓu diÔn cña tËp c¸c sè phøc chÝnh lµ mÆt ph¼ng täa ®é nªn ta gäi mÆt ph¼ng täa ®é lµ mÆt ph¼ng phøc. C¸c sè thùc a=(a,0) ®îc biÓu diÔn trªn trôc thùc Ox. C¸c sè ¶o ib=(0,b) ®îc biÓu diÔn trªn trôc ¶o Oy. Nh vËy a,b ®îc xem nh to¹ ®é cña sè phøc (a,b) trªn c¸c trôc to¹ ®é. Khi ®ã ®iÓm gèc to¹ ®é O biÓu diÔn sè phøc (0,0). Hai sè phøc z(a,b) vµ z (a,-b) ®èi xøng qua Ox. Gi¶ sö cho z=(a,b) t¬ng øng víi M(a,b), w=(c,d) t¬ng øng víi N(c,d). LËp c¸c vÐc t¬ →  →  OM =(a,b) vµ ON =(c,d) khi ®ã ta cã:  →  →  →  z+w= OQ = OM + ON 9
Vµ víi sè thùc λ ta cã:  →  λz= λ(a,b)= λ OM Nh vËy céng c¸c sè phøc t¬ng øng víi céng c¸c vÐc t¬ víi ®iÓm gèc O vµ ®iÓm ngän lµ ®iÓm biÓu diÔn cña sè phøc trªn mÆt ph¼ng, nh©n mét sè thùc víi mét sè phøc lµ nh©n sè thùc ®ã víi vÐc t¬ biÓu diÔn sè phøc. y b z=(a,b) r ϕ x O a z =(a,-b) H×nh 1 5. D¹ng lîng gi¸c cña sè phøc a. M«dun vµ acgumen cña sè phøc Gi¶ sö z=a+ib vµ M(a,b) lµ ®iÓm biÓu diÔn cña nã trªn mÆt ph¼ng. NÕu (a,b) ≠ (0,0)  →  khi ®ã vÐc t¬ OM =(a,b) ®îc x¸c ®Þnh bëi c¸c yÕu tè sau: (i) §é dµi: →  r= | OM | = a 2 + b 2 (1_13) §ã lµ mét sè thùc d¬ng. §é dµi r ®îc gäi lµ m«dun cña sè phøc z vµ ®îc ký hiÖu bëi | z | (ii) Gãc ®Þnh híng →  ϕ=(Ox, OM ) (1_14) →  t¹o bëi tia Ox vµ OM . Gãc ϕ ®îc x¸c ®Þnh sai kÐm nhau mét béi nguyªn cña 2π vµ ®îc gäi lµ acgumen cña sè phøc z, ký hiÖu bëi Arg(z). NÕu 0 ≤ ϕ ≤ 2 π ta ký hiÖu ϕ=arg(z) vµ gäi lµ phÇn chÝnh cña acgumen. HiÓn nhiªn | z | cã c¸c tÝnh chÊt: (i) | z | ≥ 0 ∀z∈C vµ | z | =0 ⇔z=(0,0) (ii) | z+w | ≤ | z | + | w | (∀z,w∈C) (iii) | k.z | = | k | | z | (∀k∈R,z∈C) (iv) | | z | - | w | | ≤ | z - w| (∀z,w∈C) (v) | z | = | z | (∀z∈C) VÝ dô 1.16: Víi z=x+iy, t×m biÓu diÔn h×nh häc cña tËp c¸c sè phøc: | z - 1| 2- 2 2z +4xyi=5 Ta cã | z - 1| 2-2z2+4xyi=| (x-1)+yi| 2-2(x+yi)2+4xyi=5 (x-1)2+y2-2(x2+2xyi-y2)+4xyi=3y2-x2-2x-1+2=5 3y2-(x+1)2=3 Hay: ( x + 1) 2 y2 - =1 3 §ã lµ ph¬ng tr×nh cña mét hypebol. b. D¹ng lîng gi¸c cña sè phøc Cho z=a+ib víi (a,b) ≠ (0,0) ta cã: a b cosϕ = 2 , sinϕ = (1_15) a +b 2 a + b2 2 Khi ®ã cã thÓ viÕt: 10
 a b  z =(a+ib)= a + b  2 +i  2 2  2   a +b a +b  2 2 = a 2 + b 2 (cosϕ+i sinϕ) (1_16) = | z | (cosϕ+isinϕ) (1_17) gäi lµ d¹ng lîng gi¸c cña sè phøc. b Chó ý: Tõ (1_15) ta cã tgϕ = víi sinϕ cïng dÊu víi b. a VÝ dô 1.17: 1 3 z=1+i 3 = 2 + i  =2 (cos π +i sin π ) 2 2  3 3   6. Luü thõa bËc n cña sè phøc Gi¶ sö díi d¹ng lîng gi¸c ta cã: z = | z | (cosϕ +i sinϕ), y= | y | (cosψ +i sinψ) Khi ®ã: z.y= | z | .( cosϕ +i sinϕ). | y | (cosψ+i sinψ) = | z | | y | [(cosϕ cosψ-sinϕ sinψ)+i(sinϕcosψ+cosϕ sinψ)] = | z | | y | [ cos(ϕ+ψ) + i sin(ϕ +ψ)] (1_18) z z = [ cos(ϕ-ψ) + i sin(ϕ -ψ)] (1_19) y y Trong (1_18) thay y bëi z ta cã: z.z=z2= | z | 2 [ cos(2ϕ) + i sin(2ϕ)] Do ®ã ta cã c«ng thøc tÝnh luü thõa bËc n cña sè phøc: zn =( | z | [ cosϕ + i sinϕ])n= | z | n[ cosnϕ + i. sinnϕ] (1-20) Tõ (1_20) ta cã: (i) () n z = zn (1_21) (ii) (cosϕ + i sinϕ)n =cosnϕ + i sinnϕ (1_22) víi n nguyªn d¬ng tuú ý, vµ do phÐp chia (1_19) nã còng ®óng víi n nguyªn tuú ý. C«ng thøc (1_22) gäi lµ c«ng thøc Moivrie. ϕ Ký hiÖu: ei = cosϕ + i sinϕ c«ng thøc Moivrie trë thµnh: ϕ ϕ (ei )n= ein (n∈Z) (1_23) Khi ®ã víi y≠0 ta cã: ϕ ψ z= | z | ei vµ y=| y | ei z z zn= | z | n ein , y = ϕ ϕ ψ ei( -- ) y VÝ dô 1.18: TÝnh z=(1+i 3 )7+(1-i 3 )7 §Æt 7  1  3 w=(1+i 3 ) = 2 + i 7   2  2  π π  7π 7π  =27 (cos +i sin )7=27  cos + i sin  3 3  3 3  7π 7π  v= w =(1 - i 3 ) 7 =27  cos − i sin   3 3 Khi ®ã: 7π 7 π z=w+v=27.2 cos =2 2cos(2π+ )= 27 3 3 11
VÝ dô 1.19: Khai triÓn cos3x vµ sin3x theo c¸c luü thõa cña cosx vµ sinx. Ta cã: cos3x+i sin3x=(cosx+i sinx)3 =cos3x+3cosx i2 sin2x+3cos2x.i.sinx+i3sin3x = cos3x-3cosx sin2x+3i.cos2xsinx-i sin3x Cho phÇn thùc b»ng phÇn thùc, phÇn ¶o b»ng phÇn ¶o ta ®îc: cos3x= cos3x-3cosx sin2x, sin3x=3cos2xsinx-sin3x 7. C¨n bËc n cña sè phøc Cho sè phøc z, c¨n bËc n cña z lµ mét sè phøc y mµ y n=z. + NÕu z=0 khi ®ã y=0. + NÕu z ≠ 0 vµ z= | z | (cosϕ+i sinϕ) Gi¶ sö y=| y| (cosψ +i sinψ), khi ®ã theo c«ng thøc Moivrie: | y |n = | z | , cosnψ = cosϕ, sinnψ= sinϕ Tõ ®ã + | y |=n z (1_24) ϕ + 2kπ + nψ =ϕ+2kπ hay ψ= (k=0,...,n-1) (1-25) n Nh vËy cã n gi¸ trÞ ph©n biÖt y sao cho yn=z. C¸c sè y ®îc biÓu diÔn bëi c¸c ®iÓm lµ ®Ønh cña ®a gi¸c ®Òu néi tiÕp t©m O b¸n kÝnh r= n z VÝ dô 1.20: TÝnh 3 1 trªn C. Ta cã : 1=cos0+i sin0 Hay r=1, ϕ =0, nªn 3 gi¸ trÞ cña 3 1 lµ: 2π 2π 4π 4π x0=1, x1=cos + i sin , x2= cos + i sin 3 3 3 3 VÝ dô 1.21: TÝnh 5 − 12i C¸ch1: §Æt 5 − 12i =x+iy , b×nh ph¬ng hai vÕ ®îc: 5-12i=x2+2ixy-y2 Cho phÇn thùc b»ng phÇn thùc, phÇn ¶o b»ng phÇn ¶o ®îc hÖ: x 2 − y 2 = 5   xy = −6 HÖ cho nghiÖm: x = 3  x = −3  vµ   y = −2 y = 2 VËy 5 − 12i =± (3-2i) C¸ch 2: Ta biÕn ®æi 5 − 12i = 9 − 12i − 4 = (3 − 2i ) 2 = ± (3 − 2i ) 8. NghiÖm cña ®a thøc trªn trêng sè phøc Ngêi ta ®· chøng minh ®îc mÖnh ®Ò sau MÖnh ®Ò: §a thøc Pn(x)=xn+a1xn-1+a2xn-2+...+an (1_26) Trong ®ã a1,a2,...,an lµ c¸c sè thùc hoÆc phøc lu«n cã n nghiÖm trªn trêng sè phøc C, kÓ c¶ nghiÖm béi. HÖ qu¶ 2: Mäi ®a thøc bËc n Pn(x)= a0xn+a1xn-1+a2xn-2+...+an lu«n ph©n tÝch ®îc thµnh tÝch cña c¸c nhÞ thøc Pn(x)=a0(x-x1)(x-x2)...(x-xn) 12
Trong ®ã xi lµ c¸c sè phøc cã thÓ trïng nhau vµ lµ nghiÖm cña ph¬ng tr×nh Pn(x)=0. HÖ qu¶ 3: NÕu Pn(x)= a0xn+a1xn-1+a2xn-2+...+an lµ ®a thøc víi c¸c hÖ sè thùc (a0,a1,...,an ∈R) khi ®ã: (i) NÕu sè phøc z lµ nghiÖm cña ®a thøc th× z còng lµ nghiÖm cña ®a thøc. (ii) Pn(x) lu«n ph©n tÝch ®îc thµnh tÝch cña c¸c nhÞ thøc bËc nhÊt vµ tam thøc bËc hai Pn(x)=a0(x2+b1x+c1)...(x2+bmx+cm)(x-x1)...(x-xn-2m) Trong ®ã a0,a1,...,an, b1,...,bm,c1,...,cm,x1,...,xn-2m lµ c¸c sè thùc. VÝ dô 1.22: T×m nghiÖm cña ph¬ng tr×nh x3-i=0. π π Gi¶i: Do i= cos + i sin nªn ph¬ng tr×nh x3=i cã c¸c nghiÖm: 2 2 π π + 2 kπ + 2 kπ xk= 2 2 (k=0,1,2) cos + i sin 3 3 VËy c¸c nghiÖm lµ π π x0= cos + i sin 6 6 5π 5π x1= cos + i sin x2 x1 x 6 6 3π 3π x2= cos + i sin 2 2 Ta thÊy c¸c nghiÖm cña ph¬ng tr×nh H×nh 3 kh«ng lµ liªn hîp cña nhau. VÝ dô 1.23: Ph©n tÝch ®a thøc: P(x)=x4-6x3+9x2+100 thµnh tÝch cña c¸c nhÞ thøc vµ tam thøc bËc hai víi c¸c hÖ sè thùc. Ta cã: x4-6x3+9x2=-100 Hay: (x2-3x)2=-100 x2-3x± 10i=0 Ph¬ng tr×nh: x2-3x+10i=0 cã ∆=9-40i=(5-4i)2 nªn cã c¸c nghiÖm: 3 + 5 − 4i 3 − 5 + 4i x1 = = 4 − 2i ; x2 = = −1 + 2i 2 2 Do vÕ ph¶i lµ ®a thøc víi c¸c hÖ sè thùc nªn c¸c liªn hîp còng lµ nghiÖm, vËy c¸c nghiÖm cßn l¹i lµ: x3 = x1 = 4 + 2i , x 4 = x 2 = −1 − 2i Víi z=a+ib, dÔ dµng kiÓm tra ®îc: (x-z)(x- z )=x2-2Rez.x+z z =x2-2ax+a2+b2 Nªn ta cã: x4-6x3+9x2+100=(x2-8x+20)(x2+2x+5) Bµi tËp ch¬ng 1 1. Chøng minh r»ng a. A\B=∅⇔ A⊂B b. NÕu A⊂B ,C⊂D th× A∩C⊂B∩D 2. Cho A,B,C lµ c¸c tËp tuú ý, chøng minh c¸c ®¼ng thøc sau: 13
a. A\(A\B)= A∩B b. A∩(B\C)= (A∩B)\( A∩C) c. A∪(B\A)= A∪B 3. T×m mèi liªn hÖ gi÷a c¸c tËp sau: A={ x∈R: x2+2x >1} vµ B={ x∈R: x> 2 - 1} 4. Chøng tá r»ng c¸c ¸nh x¹ sau lµ ®¬n ¸nh nhng kh«ng lµ toµn ¸nh 3x + 2 2x − 1 a. f(x)= b. f(x)= x+2 x−2 5. Chøng tá c¸c ¸nh x¹ sau lµ toµn ¸nh nhng kh«ng lµ ®¬n ¸nh. x3 + 1 2 x 2 − 3x − 3 a. f(x)= 2 b. f(x)= x +1 x−2 6. Chøng tá c¸c ¸nh x¹ sau lµ song ¸nh x3 + 4x + 1 a. f(x)= 2x+1 b. f(x)= x2 + 1 7. Cho f:X→Y,A,B⊂X, chøng minh r»ng: a. f(A∪B)= f(A)∪f(B) b. f(A∩B)⊆f(A)∩f(B) 8. Chøng minh r»ng tÝch ®Ò c¸c cña tËp hîp cã tÝnh ph©n phèi víi phÐp hîp vµ giao hai tËp hîp a. Ax(B∪C)=(AxB)∪(AxC) b.Ax(B∩C)=(AxB)∩(AxC) 9. Cho mÖnh ®Ò P(x)= x2-5x+6>0 a. T×m Ep(x). b. T×m tËp X ®Ó mÖnh ®Ò (∀x∈X, P(x)) lµ mÖnh ®Ò sai. c. T×m tËp X ®Ó mÖnh ®Ò (∃ x∈X,P(x)) lµ mÖnh ®Ò ®óng. 10. Cho E={0,1}, t×m tËp E3. 11. Cho f:R→R x¸c ®Þnh bëi biÓu thøc: f(x)= x2+4x-5 ∀ x∈R. H·y t×m f(1), f(A), f -1(A) víi A={ x∈R: -2≤ x≤ 2} 12. Cho Z lµ tËp c¸c sè nguyªn vµ a,b,c,d∈Z mµ ad-bc=1. XÐt ¸nh x¹ f: Z2→Z2 víi f(x,y)=(ax+by,cx+dy). Chøng tá f lµ mét song ¸nh, h·y viÕt c«ng thøc cña f -1. 13. Thùc hiÖn c¸c phÐp tÝnh (3 + 5i )(2 − i ) (3 − 2i )(3 + i ) (1 + 3i )(2 − i ) a. b. c. 1 + 2i 2 − 3i 4−i 1+ i d. e. 5 − 12i f. 1 + 3 i 1− i g. 3 (3 + 3i ) 3 h. 4 (3 + 3i ) 4 i. 4 (5 + 3i ) 4 k. 8 (5 + 5i ) 8 14. §a c¸c sè phøc vÒ d¹ng lîng gi¸c a. 3+3i b. 2-2i c. -cos30 o +i.sin30o 1 d. e. 4+4i 1+ i 15. TÝnh (1 + i ) n (cosϕ + i sin ϕ ) n a. b. c. (1+cosϕ + i sinϕ)n (1 − i ) n (cosϕ − i sin ϕ ) n 16. Gi¶i c¸c ph¬ng tr×nh a. z2+5z+8=0 b. z2-2(-2+3i)z+4-12i=0 4 2 c. z -z -2=0 d. (z2+1) 2+5(z2+1)+6=0 17. BiÓu diÔn qua sinx vµ cosx a. cos5x b. cos8x c. sin6x d. sin7x 14
18. Cho z=x+yi biÓu diÔn h×nh häc cña tËp c¸c sè phøc sau 2 a. z z + z 2 − 2 xyi = 1 b. z − 1 − z z + 2 z − 2 yi = 2 2 2 c. z − 1 − z 2 + 2 xyi = 2 d. z − 1 + z 2 − xyi = 1 19. Ph©n tÝch ®a thøc x5-1 ra thõa sè lµ c¸c ®a thøc bËc nhÊt, bËc hai víi thõa sè thùc. 20. Ph©n tÝch c¸c ®a thøc sau thµnh tÝch cña c¸c nhÞ thøc vµ tam thøc a. x3-2x+1 b. x4+1 c. x4-2x2+2 d. x5+1 21. Chøng minh r»ng nÕu sè phøc z=a+ib lµ nghiÖm cña ®a thøc víi c¸c hÖ sè thùc Pn(x)= a0xn+a1xn-1+a2xn-2+...+an=0 th× sè phøc liªn hîp z =a-bi còng lµ nghiÖm cña Pn(x). 22. T×m c¸c sè thùc a,b,c biÕt ph¬ng tr×nh: x3+a x2+b x+c=0 a. Cã c¸c nghiÖm lµ x=1 vµ x=1+i b. Cã c¸c nghiÖm lµ x=2 vµ x=1+2i. 23.a. Chøng minh r»ng ®a thøc Pn(z) chia cho z-z0 cã sè d b»ng Pn(z0). b. BiÕt ®a thøc Pn(z) chia cho z-i cã sè d lµ i, chia cho z+i cã sè d lµ 1+i. T×m sè d cña Pn(z) chia cho z2+1. 24.Trong c¸c sè phøc z tho¶ m·n ®iÒu kiÖn z + 3 − i 3 = 3 h·y t×m sè phøc z0 cã acgumen d¬ng nhá nhÊt. 25. Chøng minh r»ng c«ng thøc Viet vÒ nghiÖm cña tam thøc bËc hai vÉn ®óng trªn tr - êng sè phøc C. 26. T×m nghiÖm cña ph¬ng tr×nh x4+3x3+11x2+11x+14=0 1 7 biÕt x= − + i lµ nghiÖm. 2 2 1 11 27. Chøng tá x= − + i lµ nghiÖm cña ph¬ng tr×nh 2 2 x4+3x3+10x2+11x+15=0 T×m tÊt c¶ c¸c nghiÖm cña ph¬ng tr×nh. 28. T×m c¸c sè thùc a,b,c ®Ó ph¬ng tr×nh sau nhËn ±1, ±2 lµ nghiÖm: (1+i.a)x4+(2a+i.b)x3-(5+i.c)x2+(b+i.c)x+4+i.a=0 15