Bài giảng Toán 1: Bài 4 - Vcbé – Vclớn liên tục (sinh viên) - Nguyễn Quốc Lân

Chia sẻ: Thị Huyền | Ngày: | Loại File: PPT | Số trang:16

Thêm vào BST

Báo xấu

75
lượt xem 5
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Bài giảng Bài 4: Vcbé – Vclớn liên tục (sinh viên) của Nguyễn Quốc Lân cho phép chúng ta biến đổi các hàm tương đương với nhau đưa những biểu thức lấy giới hạn phức tạp về những biểu thức đơn giản hơn. Cùng tìm hiểu bài giảng để nắm bắt thêm thông tin tài liệu.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Bài giảng Toán 1: Bài 4 - Vcbé – Vclớn liên tục (sinh viên) - Nguyễn Quốc Lân

BỘ MÔN TOÁN ỨNG DỤNG ĐHBK TOÁN 1 HK1 0708 • BÀI 4: VCBÉ – VCLỚN. LIÊN TỤC (SINH VIÊN) • TS. NGUYỄN QUỐC LÂN (11/2007)
VÔ CÙNG BÉ Đại lượng (x) – vô cùng bé (VCB) khi x x0: lim x 0 x x0 VCB cơ bản (x 0): Lượng giác x sin x , 1 cos x , tgx x Mũ, ln: e 1, ln 1 x Lũy thừa: 1 x 1. VD : 1 3 x 1 1 x0: Không quan trọng. VCB x : VCB x 1: sin(x–1) … x (x), (x) – VCB khi x x0 (x) VCB, C(x) bị chặn (x) (x) , (x) (x): VCB C(x) (x): VCB VD: a / lim sin b / lim x sin c / lim x sin x x 0 x 0 x x x BT: lim x sin x 1 sin x
SO SÁNH VÔ CÙNG BÉ x (x), (x) – VCB, x x0 và lim c So sánh được x x0 x 1/ c = 0 : (x) – VCB cấp cao so với (x): (x) = o( (x)) Cách nói khác: (x) – VCB cấp thấp hơn 2/ c = : Ngược lại trường hợp c = 0 (x) = o( (x)) 3/ c 0, c : vô cùng bé cùng cấp VCB cấp thấp: Chứa ít “thừa số 0” hơn. VD: sin2x, x3 Aùp dụng: So sánh 2 vô cùng bé xm , xn (m, n > 0) khi x 0 VD: So sánh VCB: sin x, 1 cos x, tgx
VÔ CÙNG BÉ TƯƠNG ĐƯƠNG – (QUAN TRỌNG) x (x), (x) – VCB tương đương khi x x0 lim 1 x x0 x x2 VCB lượng giác: sin x ~ x , tgx ~ x, 1 cos x ~ , x 0 2 x VCB mũ, ln: e 1 ~ x, ln 1 x ~ x, x 0 2x VCB lũy thừa (căn): 1 x 1 ~ x, x 0 VD: 1 2 x ~ 3 3 VCB tương đương: Được phép thay thừa số tương đương vào tích & thương (nhưng không thay vào tổng & hiệu!) VD: Tìm hằng số C và để: tgx sin x ~ Cx , x 0
DÙNG VÔ CÙNG BÉ TÍNH GIỚI HẠN Aùp dụng: Dùng vô cùng bé tương đương tính giới hạn x x x ~ x , ~ lim lim 1 1 1 x x0 x x0 x x0 x x x0 1 x Tìm lim: Có thể thay VCB tđương vào TÍCH (THƯƠNG) Nhưng không thay tùy tiện VCB tđương vào TỔNG (HIỆU) ln 1 2 tg 2 x ln cos 3 x VD: Tìm 1/ lim 2 / lim 2 x x 0 x sin x x 0 e 1 sin x 2 x x 2x 3 x có thể x0 bất kỳ. VD: Tìm lim x x2 x 1 sin x tgx ~ & 1 ~ 1 khi x x0 1 ~ 1 VD : lim x 0 x3
QUY TẮC NGẮT BỎ VÔ CÙNG BÉ , – VCB khác cấp + tương đương VCB cấp thấp hơn Quy tắc ngắt bỏ VCB cấp cao: (x), (x) – tổng VCB khác cấp lim / = lim (tỷ số hai VCB cấp thấp 1 của tử & mẫu) ln cosx 2 x 3 sin x 2 2 x2 3tg 2 x VD: lim lim x 0 ln 1 x 2 x 0 sin 3 x 2 x Thay VCB tương đương vào tổng: VCB dạng luỹ thừa & 0 f ~ x ,x a f g~ x x iff g~ x ,x a & 0 sin x x 1 ln 1 x 1 / lim 2 / lim x x x x lim x 0 x x x 0 x 1 x x2
VÔ CÙNG LỚN – SO SÁNH VCL NGẮT BỎ VCL Hàm y = f(x) – vô cùng lớn (VCL) khi x x0 : lim f x x x0 So sánh VCL: f(x), g(x) – VCL khi x x0 và giới hạn f/g c 0, : f(x), g(x) – VCL cùng cấp f ( x) lim c c = 1: f, g – VCL tương đương : f ~ g x x0 g ( x) c = : f – VCL cấp cao hơn g. Viết: f >> g VD: 3 x 2 4 x 1 ~ 3x 2 ax x log x a 1, 0 x x x  Tổng vô cùng lớn khác cấp tương đương VCL cấp cao nhất  Thay VCL tương đương vào TÍCH (THƯƠNG) khi tính lim
KẾT LUẬN Với giới hạn chứa Vô Cùng Bé (chẳng hạn dạng 0/0 …):  Dạng tích (thương) Thay các THỪA SỐ bằng biểu thức tương đương & đơn giản hơn f x g x f1 x g1 x lim lim với f(x) ~ f1(x), g(x) ~ g1(x) … x x0 h x x x0 h1 x  Dạng tổng VCB khác cấp Thay bằng VCB cấp thấp 1  Dạng tổng VCB tổng quát fi(x) Thay mỗi fi(x) bằng f VCB tương đương dạng luỹ thừa: i x ~ Ci x i & Ci x i 0 Giới hạn chứa Vô Cùng Bé (dạng / …): 1/ Thay tương đương vào tích (thương) khi tìm lim 2/ Tổng VCL ~ VCL cấp
HÀM LIÊN TỤC Hàm f(x) liên tục tại x0: Hàm liên tục/[a, b] (C): đường liền  f(x) xác định tại x0 Gián  xlimx f x f x0 đoạn! 0 Hàm sơ cấp (định nghĩa qua 1 biểu thức) liên tục xác định VD: Khảo sát tính liên tục của các hàm số: tgx x2 1 sin x x, x 1 : Không a/ y b/ y c / f ( x) x2 1 x 1 x, x 1 sơ cấp! sin x , x 0 VD: Tìm a để hàm liên tục tại x = 0: y x a , x 0
LIÊN TỤC MỘT PHÍA Tương tự giới hạn 1 phía: Hàm ghép, chứa trị tuyệt … Khảo sát f(x) liên tục trái tại x0 khi xác định tại x0 và lim f x f x0 x x0  f x0 f(x) liên tục phải tại x0 khi xác định tại x0 và xlim x0 f x f x0     f x0 Hàm f(x) liên tục tại x0 Liên tục trái & liên tục phải tại x0 1 1 ,x 1 x VD: Khảo sát tính liên tục: f ( x) 1 e x 1 Chú ý: lim a ? x 1, x 1
PHÂN LOẠI ĐIỂM GIÁN ĐOẠN Hàm f xác định & gián đoạn tại x0 Không có xlimx f x f x0 0 Hoặc lim f f(x0), hoặc lim– lim+, hoặc lim f: 3 trường hợp! Loại 1:  Điểm khử xlimx f x f x0 0 đư  Điợểc:m nhảy: lim f x lim f x x x0 x x0 f(x) gián Bước lim f x lim f x x x0 x x0 đoạn tại nhảy: x0 Loại 2: lim f x hoaëc lim f x x x0 x x0 (Hoặc không tồn tại cả 2 ghạn 1 phía)
VÍ DỤ Điểm x0 = 0 có phải điểm gián đoạn? Hãy phân loại sin x , x 0 f x x a , x 0
VÍ DỤ Điểm x0 = 0 có phải điểm gián đoạn? Hãy phân loại sin x , x 0 f x x 1 , x 0
VÍ DỤ Biện luận tính chất điểm gián đoạn của hàm số sau theo a 1 sin , x 0 f x x f 0 a a , x 0 f 0 a
TÍNH CHẤT HÀM LIÊN TỤC TRÊN MỘT ĐOẠN f bị chặn trên [a, b]: m, M f đạt GTLN, BN trên [a, b]: & m f(x) M x [a, x0, x1 [a, b]: f(x0) = m, … b] Chú ý: Không Hàm y = f(x) liên thể thay đoạn tục trên đoạn [a, b] bằng khoảng! f nhận mọi giá trị trung gian: (Hay sử dụng) Định lý giá k & GTBN k GTLN trị hai đầu trái dấu: f(a).f(b) c [a, b]: f(c) = k
VÍ DỤ 1/ Tìm a, b để hàm số x 12 , x 0 f liên tục f x ax b , 0 x 1 sau liên tục trên R tại 0 & 1 x , x 1 2/ Chứng minh phương trình sau có ít nhất 1 nghiệm âm x5 1 x f(x) liên tục trên (0, 3). Để pt f(x) = 0 có nghiệm trên (a, b): a/ f(2)f(3)