zunia.vn

Tuyển sinh 2024 dành cho Gen-Z

zunia.vn

» Khoa Học Tự Nhiên

Bài giảng Toán cao cấp 1 - Chương 3: Không gian vector

Chia sẻ: Minh Vũ | Ngày: | Loại File: PPTX | Số trang:65

Báo xấu

497
lượt xem 39
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Bài giảng "Toán cao cấp 1 - Chương 3: Không gian vector" trình bày các nội dung: Khái niệm không gian vector, sự độc lập tuyến tính và phụ thuộc tuyến tính; cơ sở - số chiều của không gian vector - Tọa độ của vector, không gian sinh bởi hệ vector, không gian Euclide. Mời các bạn cùng tham khảo nội dung chi tiết.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Bài giảng Toán cao cấp 1 - Chương 3: Không gian vector

Ø Chương 3. Không gian vector §1. Khái niệm không gian vector §2. Sự độc lập tuyến tính và phụ thuộc tuyến tính §3. Cơ sở, số chiều của kgvt – Tọa độ của vector §4. Không gian sinh bởi hệ vector §5. Không gian Euclide ……………………………………………………………… §1. KHÁI NIỆM KHÔNG GIAN VECTOR (Vector space) 1.1. Định nghĩa • Cho tập V khác rỗng, mỗi phần tử thuộc V được gọi là một vector. Xét hai phép toán sau: V V  V ¡ V  V (x , y ) a x  y ; ( , x ) 1a  x .
Ø Chương 3. Không gian vector • Ta nói V cùng với hai phép toán trên là một không gian vector (viết tắt là kgvt) trên ¡ , hay ¡ – không gian vector, nếu thỏa 8 tính chất sau: 1) (x  y )  z  x  (y  z ),  x , y , z  V ; 2)    V : x      x  x ,  x  V ; 3)  x  V ,  ( x )  V : ( x )  x  x  ( x )   ; 4) x  y  y  x ,  x , y  V ; 5)  (x  y )   x   y ,  x , y  V ,    ¡ ; 6) (   )x   x   x ,  x  V ,   ,   ¡ ; 7) (  )x   ( x ),  x  V ,   ,   ¡ ; 8) 1.x  x ,  x  V . Trong đó,   V được gọi là vector không. 2
Ø Chương 3. Không gian vector VD 1. • Tập ¡ n   (x , x ,..., x ) x 1 2 n i   ¡ , i  1, n các bộ số thực là một không gian vector. • Tập nghiệm V của hệ phương trình tuyến tính thuần nhất là một không gian vector. • Tập V  M m ,n (¡ ) với hai phép toán cộng ma trận và nhân vô hướng là một không gian vector. • Tập Pn [x ] các đa thức có bậc không quá n : {p(x )  an x n  ...  a1x  a 0, a i  ¡ , i  0,..., n } với phép cộng đa thức và nhân số thực với đa thức là một không gian vector. 3
Ø Chương 3. Không gian vector 1.2. Không gian vector con (Vectorial subspace)  Định nghĩa Cho kgvt V , tập W  V được gọi là không gian vector con của V nếu W cũng là một kgvt.  Định lý Cho kgvt V , tập W  V là kgvt con của V nếu:  x , y  W ,    ¡ thì (x   y )  W . VD 2. • Tập W  { } là kgvt con của mọi kgvt V . • Tập W   ( ,0,...,0)   n  ¡ là kgvt con của ¡ . ……………………………………………………4
Ø Chương 3. Không gian vector §2. SỰ ĐỘC LẬP TUYẾN TÍNH PHỤ THUỘC TUYẾN TÍNH 2.1. Định nghĩa Trong kgvt V , xét n vector u i (i  1,..., n ). Khi đó: n • Tổng  1u 1   2u 2  ...   n u n    i u i ,  i  ¡ , i 1 được gọi là một tổ hợp tuyến tính của n vector u i . • Hệ gồm n vector {u 1, u 2,..., u n } được gọi là độc lập tuyến tính (viết tắt là đltt) nếu: n i 1  i u i   thì  i  0,  i  1,..., n . 5
Ø Chương 3. Không gian vector • Hệ {u 1, u 2,..., u n } không là độc lập tuyến tính thì được gọi là phụ thuộc tuyến tính (viết tắt là pttt). VD 1. Trong ¡ 2, xét sự đltt hay pttt của hệ 2 vector: A  {u 1  (1; 1), u 2  (2; 3)}. Giải. Ta có:  1u 1   2u 2     1(1; 1)   2(2; 3)  (0; 0)    2  0    0    1 2    1 .    1  3 2  0   2  0 Vậy hệ A là độc lập tuyến tính. 6
Ø Chương 3. Không gian vector 3 VD 2. Trong ¡ , xét sự đltt hay pttt của hệ 3 vector: B  {u 1  ( 1; 3; 2), u 2  (2; 0; 1), u 3  (0; 6; 5)}. Giải. Ta có:     2  0 3  1 2  3 i  1 i i  u     1  6 3  0 (I).  2 1   2  5 3  0  1 2 0   Hệ(I) có ma tr ận hệ số A   3  0 6 .    2 1 5 7
Ø Chương 3. Không gian vector  1 2 0  1 2 0         Do A   0 6 6   0 1 1  r (A )  3,      0 5 5  0 0 0 nên hệ phương trình (I) có nghiệm không tầm thường. Vậy hệ B là phụ thuộc tuyến tính. 8
Ø Chương 3. Không gian vector VD 3. Trong M 2,3(¡ ), xét sự đltt hay pttt của hệ:  1 2 0 2 3 0 0 1 0  A           , B    ,C    .   3 0 1  4 0 1 2 0 1   Giải. Ta có: aA  bB  cC  (0)2 3 (a,b,c  ¡ )  a  2b  0   2a  3b  c  0   (II).  3a  4b  2c  0   a  b  c  0 9
Ø Chương 3. Không gian vector Hệ(II) có nghi ệm không tầm thường. Vậy hệ vector đã cho là phụ thuộc tuyến tính. Cách khác Do 2A  B  C  O 2,3 nên hệđã cho pttt. 10
Ø Chương 3. Không gian vector VD 4. Trong Pn [x ], xét sự đltt hay pttt của hệ: {u 1  1, u 2  x , u 3  x 2,..., u n  x n  1, u n  1  x n }. n 1 Giải. Ta có:   i u i   i 1   1   2x   3x 2  ...   n x n  1   n  1x n  0   1   2   3  ...   n   n  1  0. Vậy hệ vector đã cho là độc lập tuyến tính. 11
Ø Chương 3. Không gian vector 2.2. Định lý Hệ gồm n vector là pttt khi và chỉ khi tồn tại một vector là tổ hợp tuyến tính của n  1 vector còn lại. Nghĩa là: u j   1u 1  ...   j  1u j  1   j  1u j  1  ...   n u n .  Hệ quả • Hệ có vector không thì phụ thuộc tuyến tính. • Nếu có một bộ phận của hệpttt thì h ệpttt. 2 2 3 4 VD 5. Hệ {v1  x , v 2   3x , v 3  (x  1) , v 4  x } là pttt vì bộ phận {v1  x 2, v 2  123x 2} pttt.
Ø Chương 3. Không gian vector 2.3. Hệ vector trong ¡ n n Xét m vector u i  (a i 1,a i 2,...,ain ), i  1, m trong ¡ . Ma trận A   aij  được gọi là ma trận dòng của hệ m n m vector {u 1, u 2,..., u m }. VD 6. Hệ {u 1  (1; 1; 2), u 2  (4; 2; 3)}  1  1  2   có ma trận dòng là A    .  4 2  3 13
Ø Chương 3. Không gian vector  Định lý Trong ¡ n , cho hệ gồm m vector {u 1, u 2,..., u m } có ma trận dòng là A . Khi đó: • Hệđ ộc lập tuyến tính khi và chỉ khi r (A )  m . • Hệ phụ thuộc tuyến tính khi và chỉ khi r (A )  m .  Hệ quả • Trong ¡ n , hệ có nhiều hơn n vector thì pttt. n vector đltt  det A  0. • Trong ¡ , hện 14
Ø Chương 3. Không gian vector VD 7. Xét sự đltt hay pttt của các hệvector: a) B 1  {( 1; 2; 0), (2; 1; 1)}; b) B 2  {( 1; 2; 0), (1; 5; 3), (2; 3; 3)}. Giải a) Ta có:  1 2 0  1 2 0     A    2 1 1    0 5 1  r (A )  2.   Vậy hệ B 1 độc lập tuyến tính. 15
Ø Chương 3. Không gian vector b) Ta có:  1 2 0  1 2 0        0 7 3  r (A )  2  3. A   1 5 3       2 3 3  0 7 3   Vậy hệ B 2 phụ thuộc tuyến tính. 16
Ø Chương 3. Không gian vector VD 8. Trong ¡ 3, tìm điều kiện m để hệsau là pttt: {( m ; 1; 1), (1 4m ; 3; m  2)}.  m 1 1   Giải. Ta có: A    . 1 4m 3 m  2 1  m 1  1  m 1      A      0 1 m  .  3 1 4m m 2  m 1 Vậy hệpttt  r (A )  2  m  1. 17
Ø Chương 3. Không gian vector VD 9. Trong ¡ 3, tìm điều kiện m để hệsau là đltt: {(m ; 1; 1), (1; m ; 1), (1; 1; m )}. m 1 1      Giải. Ta có: A   1 m 1 .    1 1 m  Hệđltt  det A  0 m 1 1 m   2  1 m 1  0   .  m  1 1 1 m 18
Ø Chương 3. Không gian vector VD 10. Trong ¡ 4, cho 4 vector: u 1  (1; 1; 0; 1), u 2  (m ; m ; 1; 2) , u 3  (0; 2; 0; m ), u 4  (2; 2; m ; 4) . Điều kiện m để u 1 là tổ hợp tuyến tính của u 2, u 3, u 4? Giải. Do u 1 là tổ hợp tuyến tính của u 2, u 3, u 4 nên  a,b,c  ¡ không đồng thời bằng 0 thỏa: u 1  au 2  bu 3  cu 4. 19
Ø Chương 3. Không gian vector Suy ra hệ:  ma  2c  1   ma  2b  2c   1  có nghiệm không tầm thường.   a  mc  0  2a  mb  4c  1  20

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

THÔNG TIN

TRỢ GIÚP

HỖ TRỢ KHÁCH HÀNG

Theo dõi chúng tôi

Chịu trách nhiệm nội dung:

Nguyễn Công Hà - Giám đốc Công ty TNHH TÀI LIỆU TRỰC TUYẾN VI NA

LIÊN HỆ

Địa chỉ: P402, 54A Nơ Trang Long, Phường 14, Q.Bình Thạnh, TP.HCM

Hotline: 093 303 0098

Email: support@tailieu.vn

Giấy phép Mạng Xã Hội số: 670/GP-BTTTT cấp ngày 30/11/2015 Copyright © 2022-2032 TaiLieu.VN. All rights reserved.