zunia.vn

Tuyển sinh 2024 dành cho Gen-Z

zunia.vn

» Khoa Học Tự Nhiên

Bài giảng Toán cao cấp 2: Phần 2 - ThS. Đàm Thanh Phương, ThS. Ngô Mạnh Tưởng

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:43

Báo xấu

8
lượt xem 2
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Tiếp nội dung phần 1, Bài giảng Toán cao cấp 2: Phần 2 cung cấp cho người đọc những kiến thức như: Lý thuyết chuỗi; Phương trình vi phân. Mời các bạn cùng tham khảo!

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Bài giảng Toán cao cấp 2: Phần 2 - ThS. Đàm Thanh Phương, ThS. Ngô Mạnh Tưởng

Chương 4 Lý thuyết chuỗi Mục đích yêu cầu - Trong chương trình bày các khái niệm cơ bản về chuỗi số và chuỗi hàm; chuỗi hội tụ, phân kỳ, hội tụ tuyệt đối, bán hội tụ, các tiêu chuẩn khảo sát sự hội tụ của chuỗi, ứng dụng của chuỗi vào tính gần đúng, bán kính hội tụ, miền hội tụ của chuỗi hàm, khai triển một hàm số thành chuỗi lũy thừa, chuỗi Fourier và các ứng dụng - Sinh viên cần hiểu rõ các khái niệm trên, nắm vững các kết quả cơ bản để xét sự hội tụ, tính tổng của chuỗi số, tìm miền hội tụ và tính tổng của chuỗi hàm số, tìm khai triển Taylor, Mac Laurin, Fourier của hàm số và vận dụng các kết quả vào tính gần đúng. 4.1 Đại cương về chuỗi số 4.1.1 Định nghĩa. Cho dãy số thực vô hạn u1 , u2 , ..., un , .... Biểu thức ∞ u1 + u2 + ... + un + ... = un n=1 được gọi là chuỗi số. Các số u1 , u2 , ..., un , ... được gọi là số hạng của chuỗi số, un được gọi là số hạng tổng quát thứ n của chuỗi. Tổng n hữu hạn số hạng đầu của chuỗi gọi là tổng riêng thứ n của chuỗi n Sn = u1 + u2 + ... + un = uk k=1 ∞ Nếu lim Sn = S hữu hạn thì ta nói chuỗi số hội tụ và có tổng là S. Ta viết S = un . n→∞ n=1 Rn = S − Sn được gọi là phần dư thứ n của chuỗi số. Nếu lim Sn = ±∞ hoặc không tồn tại thì ta nói chuỗi số phân kỳ. n→∞ ∞ Ví dụ. Xét chuỗi qn. n=0
Bộ môn Khoa học Cơ Bản Bài giảng TOÁN CAO CẤP 2 Đó là tổng của cấp số nhân vô hạn có công bội q. Với q = 1 ta có 1 − qn Sn = 1 + q + ... + q n−1 = 1−q 1 - Nếu |q| < 1 thì lim |q n | → 0 hay S = lim Sn = , do đó chuỗi hội tụ và có n→∞ n→∞ 1−q 1 tổng S = . 1−q - Nếu |q| > 1 thì S = lim Sn = ∞, vậy chuỗi phân kỳ. n→∞ - Nếu q = 1 thì Sn = n, khi đó S = lim Sn = ∞ chuối phân kỳ. n→∞ - Nếu q = −1 chuỗi số có dạng 1 − 1 + 1 − 1 + .... Khi đó Sn = 0 khi n chẵn, Sn = 1 khi n lẻ, do đó Sn không dần tới một giới hạn xác định khi n → ∞, vậy chuối phân kỳ. ∞ Tóm lại, chuỗi số q n hội tụ khi |q| < 1, phân kỳ khi |q| 1. n=0 ∞ Định lý 1. (Điều kiện cần để chuỗi số hội tụ). Nếu chuỗi số un hội tụ thì số hạng n=1 tổng quát un dần tới 0 khi n → ∞ Chứng minh. Thật vậy, un = Sn − Sn−1 , mặt khác do chuỗi hội tụ nên lim Sn = lim Sn−1 = S ⇒ lim un = lim (Sn − Sn−1 ) = 0 n→∞ n→∞ n→∞ n→∞ do đó lim un = 0. n→∞ Chú ý. Điều kiện lim un = 0 chỉ là điều kiện cần chứ không phải điều kiện đủ để n→∞ ∞ chuỗi un hội tụ. n=1 ∞ 1 1 Ví dụ. Chuỗi điều hòa có số hạng tổng quát un = → 0 khi n → ∞, nhưng chuỗi n=1 n n phân kỳ. Thật vậy, xét 1 1 1 1 1 1 n 1 S2n − Sn = + + ... + > + + ... + = = , ∀n 1 n+1 n+1 2n 2n 2n 2n 2n 2 Nếu chuỗi hội tụ thì Sn , S2n cùng dần tới một giới hạn khi n → ∞, tức là lim (S2n − Sn ) = n→∞ 1 0 điều này mâu thuẫn với S2n − Sn . 2 ∞ Từ định lý trên suy ra nếu un không dần tới 0 khi n → ∞ thì chuỗi số un phân kỳ. n=1 4.1.2 Tiêu chuẩn Cauchy. ∞ Định lý 2. Chuỗi số un hội tụ khi và chỉ khi với mọi ε > 0 cho trước, tìm được số n=1 p nguyên dương n0 sao cho khi p > q ≥ n0 ta có |Sp − Sq | = un < ε. n=q+1 Đàm Thanh Phương - Ngô Mạnh Tưởng 46
Bộ môn Khoa học Cơ Bản Bài giảng TOÁN CAO CẤP 2 Chứng minh. Thật vậy, chuỗi số hội tụ khi và chỉ khi dãy các tổng riêng Sn hội tụ. Theo tiêu chuẩn Cauchy về dãy số hội tụ, dãy Sn hội tụ khi và chỉ khi với mọi ε > 0 cho trước, p tìm được số nguyên dương n0 sao cho khi p > q ≥ n0 ta có |Sp − Sq | = un < ε. n=q+1 4.1.3 Tính chất của chuỗi số hội tụ. ∞ ∞ a) Nếu chuỗi un hội tụ và có tổng là S thì chuỗi αun , trong đó α là một hằng n=1 n=1 số, cũng hội tụ và có tổng là αS. ∞ ∞ ∞ b) Nếu các chuỗi un , vn hội tụ và có tổng là S và S thì chuỗi (un + vn ) cũng n=1 n=1 n=1 hội tụ và có tổng là S + S . c) Tính hội tụ hay phân kỳ của một chuỗi số không thay đổi khi ta thêm hoặc bớt đi một số hữu hạn số hạng đầu tiên. 4.2 Chuỗi số dương 4.2.1 Định nghĩa. ∞ Chuỗi số un được gọi là chuỗi số dương nếu un > 0 với mọi n = 1, 2, 3, ... n=1 Ta có Sn+1 = Sn + un+1 , un+1 > 0 suy ra Sn+1 > Sn . Vậy {Sn } là một dãy tăng. Do đó nếu dãy số {Sn } bị chặn trên thì tồn tại lim Sn , khi đó chuỗi hội tụ. Nếu dãy n→∞ số {Sn } không bị chặn thì lim Sn = ∞, chuỗi phân kỳ. n→∞ 4.2.2 Các định lý so sánh. Định lý 3. (Quy tắc so sánh). ∞ ∞ Cho hai chuỗi số dương un và vn . Giả sử un vn , ∀n n0 ∈ N. Khi đó n=1 n=1 ∞ ∞ a, Nếu chuỗi số vn hội tụ thì chuỗi số un cũng hội tụ. n=1 n=1 ∞ ∞ b, Nếu un phân kỳ thì chuỗi số vn phân kỳ. n=1 n=1 Chứng minh. Theo tính chất c của chuỗi số ở mục (3.1.4), ta có thể xem n0 = 1. Đặt n n Sn = uk , Sn = vk . Do uk ≤ vk với mọi k ≥ 1 suy ra Sn ≤ Sn . k=1 k=1 ∞ a, Nếu chuỗi số vn hội tụ và có tổng là S thì Sn ≤ S suy ra Sn ≤ S nên tổng n=1 ∞ riêng Sn bị chặn trên, do đó chuỗi un hội tụ. n=1 ∞ b, Nếu chuỗi số un phân kỳ thì lim Sn = +∞ suy ra lim Sn = +∞, do đó chuỗi n=1 n→∞ n→∞ ∞ số vn phân kỳ. n=1 Đàm Thanh Phương - Ngô Mạnh Tưởng 47
Bộ môn Khoa học Cơ Bản Bài giảng TOÁN CAO CẤP 2 Ví dụ. Xét sự hội tụ của các chuỗi số. ∞ ∞ 1 1 a, √ ; b, n 3 n √ n=1 3 n=1 3 n ∞ ∞ n 1 1 1 1 Giải. a, Chuỗi số √ n hội tụ, vì √ n với mọi n ≥ 1, mà chuỗi n=1 3 n.3 3 n.3 3n n=1 3 hội tụ. ∞ 1 1 1 ∞ 1 b, Chuỗi số √ phân kỳ, vì √ với mọi n ≥ 1 và chuỗi số phân kỳ. n=1 3 n 3 n n n=1 n ∞ ∞ Định lý 4. (Quy tắc tương đương). Cho hai chuỗi số dương un và vn . Nếu tồn n=1 n=1 un tại giới hạn hữu hạn lim = k > 0 thì hai chuỗi số ấy đồng thời hội tụ hoặc đồng thời n→∞ vn phân kỳ un Chứng minh. Do lim = k > 0 nên bắt đầu từ một số hạng nào đó trở đi ta có n→∞ vn k un 3k < < 2 vn 2 ∞ ∞ 3k ∞ Nếu chuỗi vn hội tụ thì chuỗi un cũng hội tụ vì un < vn . Còn nếu un hội tụ n=1 n=1 2 n=1 ∞ k thì vn hội tụ vì un > vn . n=1 2 Ví dụ. Xét sự hội tụ của các chuỗi số. ∞ ∞ 1 π a, ln 1 + ; b, sin n n=1 n n=1 2 1 1 Giải. a, Ta có ln 1 + ∼ suy ra n n 1 ln 1 + n lim =1 n→∞ 1 n 1∞ ∞ 1 mà chuỗi phân kỳ. Theo tiêu chuẩn tương đương chuỗi ln 1 + phân kỳ . n=1 n n=1 n b, Ta có π sin n lim π2 = 1 n→∞ 2n ∞ π ∞ π chuỗi n hội tụ, suy ra chuỗi sin n hội tụ. n=1 2 n=1 2 Đàm Thanh Phương - Ngô Mạnh Tưởng 48
Bộ môn Khoa học Cơ Bản Bài giảng TOÁN CAO CẤP 2 4.2.3 Các quy tắc khảo sát sự hội tụ của chuỗi số. ∞ Định lý 5. (Quy tắc D’Alembert.) Cho chuỗi số dương un . Nếu n=1 un+1 lim =r (4.1) n→∞ un ∞ thì chuỗi số un hội tụ khi r < 1, phân kỳ khi r > 1 n=1 un+1 Chứng minh. Thật vậy, giả sử r < 1. Chọn ε đủ bé để r + ε < 1. Vì lim = r nên n→∞ un un+1 tồn tại số nguyên dương n0 sao cho với n > n0 thì = r + ε. Có thể xem n0 = 1. Khi un đó un un−1 u2 un = ... u1 < (r + ε)n−1 .u1 un−1 un−2 u1 Vì r + ε < 1 nên chuỗi có số hạng tổng quát (r + ε)n−1 .u hội tụ. Theo định lý so ∞ un+1 sánh, chuỗi un hội tụ. Nếu r > 1, thì từ một số hạng nào đó trở đi, > 1, do n=1 un đó un+1 > un , tức là số hạng tổng quát không dần tới 0 khi n → ∞, vậy chuỗi số phân kỳ. ∞ (n!)α Ví dụ. Xét sự hội tụ của chuỗi số n , α ∈ R. n=1 n Thật vậy, ta có −n un+1 [(n + 1)!]α nn α−1 1 1 lim = lim . α = = lim (n + 1) 1+ = lim (n + 1)α−1 n→∞ un n→∞ (n + 1)n+1 (n!) n→∞ n e n→∞ un+1 Nếu α > 1, lim = +∞, chuỗi phân kỳ. n→∞ un un+1 Nếu α < 1, lim = 0, chuỗi hội tụ. n→∞ un un+1 1 Nếu α = 1, lim = < 1, chuỗi hội tụ. n→∞ un e ∞ Định lý 6. (Quy tắc Cauchy). Cho chuỗi số dương un . Nếu n=1 √ lim n un = r (4.2) n→∞ thì chuỗi số hội tụ khi r < 1, phân kỳ khi r > 1 ∞2n π π Ví dụ. Xét sự hội tụ của chuỗi 2 sin2n α, với − < α < . n=1 n 2 2 n √ 2 2 Ta có lim n un = lim n 2 sin2n α = lim √ sin2 α = 2 sin2 α. n n→∞ n→∞ n n→∞ n2 1 π π Nếu sin2 α < , tức là − < α < chuỗi hội tụ. 2 4 4 2 1 π π π π Nếu sin α > , tức là − < α < − , < α < chuỗi phân kỳ. 2 2∞ 4 4 2 π 1 Nếu α = ± , ta có chuỗi 2 , nó hội tụ. 4 n=1 n Đàm Thanh Phương - Ngô Mạnh Tưởng 49
Bộ môn Khoa học Cơ Bản Bài giảng TOÁN CAO CẤP 2 Định lý 7. (Quy tắc so sánh với tích phân). Giả sử hàm số f (x) liên tục, dương, giảm +∞ trên khoảng [1, +∞) và dần tới 0 khi x → ∞. Khi đó tích phân suy rộng f (x) dx và 1 ∞ chuỗi số un , trong đó un = f (n), cùng hội tụ hoặc cùng phân kỳ n=1 ∞ 1 Ví dụ. Xét sự hội tụ của chuỗi số α , α là hằng số (Chuỗi Riemann). n=1 n 1 Đặt f (x) = , ta có f (x) liên tục, dương, đơn điệu giảm trên [1, +∞) và un = f (n), xα ∞ 1 do đó chuỗi Riemann và tích phân suy rộng α dx cùng hội tụ hoặc cùng phân kỳ. Ta 1 x ∞ 1 đã biết tích phân α dx hội tụ khi α > 1, phân kỳ khi α ≤ 1, nên chuỗi Riemann hội 1 x tụ khi α > 1 và phân kỳ khi α ≤ 1. 4.3 Chuỗi số có số hạng với dấu bất kỳ 4.3.1 Hội tụ tuyệt đối. Bán hội tụ. ∞ Xét chuỗi số un với các số hạng un bất kỳ. n=1 ∞ ∞ Định lý 8. Nếu chuỗi |un | hội tụ thì chuỗi un cũng hội tụ n=1 n=1 ∞ Chứng minh. Thật vậy, vì chuỗi |un | hội tụ nên theo tiêu chuẩn Cauchy, với mọi ε > 0 n=1 p cho trước, tìm được n0 ∈ N∗ sao cho khi p > q ≥ n0 ta có |un | < ε. Do đó n=q+1 p p un |un | < ε n=q+1 n=q+1 ∞ Vậy chuỗi un hội tụ. n=1 ∞ cos n Ví dụ. Xét sự hội tụ của chuỗi số 2 . n=1 n Xét chuỗi ∞ ∞ cos n |cos n| = n=1 n2 n=1 n2 |cos n| 1 ∞ 1 ∞ cos n Vì < 2 và chuỗi (Chuỗi Riemann với α = 2) hội tụ, nên chuỗi n2 n n=1 n 2 n=1 n2 ∞ cos n hội tụ, do đó chuỗi 2 hội tụ. n=1 n ∞ ∞ Chú ý. Chuỗi |un | hội tụ chỉ là điều kiện đủ để chuỗi un hội tụ, chứ không phải là n=1 n=1 điều kiện cần. Đàm Thanh Phương - Ngô Mạnh Tưởng 50
Bộ môn Khoa học Cơ Bản Bài giảng TOÁN CAO CẤP 2 Định nghĩa. ∞ ∞ Chuỗi un được gọi là hội tụ tuyệt đối nếu chuỗi |un | hội tụ, là bán hội tụ n=1 n=1 ∞ ∞ nếu chuỗi un hội tụ nhưng chuỗi |un | phân kỳ. n=1 n=1 ∞ Chú ý. Nếu dùng quy tắc D’Alembert hay quy tắc Cauchy mà biết được chuỗi |un | n=1 ∞ phân kỳ thì chuỗi un phân kỳ. Thật vậy, khi đó |un | không dần tới 0 khi n → ∞, do n=1 đó un cũng không dàn tới 0, vậy chuỗi số phân kỳ. 4.3.2 Chuỗi số đan dấu. Chuỗi số đan dấu là chuỗi số có dạng ± (u1 − u2 + u3 − u4 ...), trong đó u1 , u2 , u3 , ... là những số dương. Rõ ràng ta chỉ cần xét chuỗi số đan dấu với số hạng đầu tiên dương: u1 − u2 + u3 − u4 ... Định lý 9. (Leibniz). Nếu dãy số dương u1 , u2 , u3 , ..., un , ... giảm và dần tới 0 khi n → ∞ thì chuỗi số đan dấu u1 − u2 + u3 − u4 ... hội tụ và có tổng bé thua u1 Chứng minh. Với n số chẵn, n = 2m, ta có S2m = (u1 − u2 ) + (u3 − u4 ) + ... + (u2m−1 − u2m ) Do un giảm nên S2m tăng khi m tăng. Mặt khác S2m = u1 − (u2 − u3 ) − (u4 − u5 ) − ... − (u2m−2 − u2m−1 ) − u2m do đó S2m = u1 . Vậy dãy số S2m tăng và bị chặn trên, nên tồn tại giới hạn lim S2m = S, n→∞ với S u1 . Nếu n lẻ, n = 2m + 1, ta có S2m+1 = S2m + u2m+1 . Vì u2m+1 → 0 khi n → ∞ nên lim S2m+1 = lim S2m = S. Vậy chuỗi số đan dấu hội tụ và có tổng bé thua u1 . n→∞ n→∞ ∞ 1 Ví dụ. Xét chuỗi đan dấu (−1)n−1 . Ta có các số hạng của chuỗi đơn điệu giảm n=1 n và dần tới 0, do đó nó thỏa mãn các điều kiện của định lý Liebniz, nên nó hội tụ. Mặt ∞ 1 ∞ 1 khác ta có (−1)n−1 = phân kỳ (chuỗi điều hòa). Vậy chuỗi đang xét bán hội n=1 n n=1 n tụ. 4.3.3 Các tính chất của chuỗi số hội tụ tuyệt đối. Ta biết rằng tổng của một số hữu hạn số hạng có tính chất giao hoán và tính kết hợp: nó không thay đổi khi ta thay đổi thứu tự của các số hạng của nó hay khi nhóm một số hạng lại một cách tùy ý trước khi cộng. Nhưng điều đó không còn đúng đối với tổng của Đàm Thanh Phương - Ngô Mạnh Tưởng 51
Bộ môn Khoa học Cơ Bản Bài giảng TOÁN CAO CẤP 2 một chuỗi các số hạng có dấu bất kỳ. ∞ 1 Ví dụ. Xét chuỗi (−1)n−1 . n=1 n Ta có 1 1 1 1 1 S =1− + − + − + ... (1) 2 3 4 5 6 ∞ 1 Khi đó chuỗi (−1)n−1 cũng hội tụ và có tổng là n=1 2n S 1 1 1 1 1 1 = − + − + − + ... (2) 2 2 4 6 8 5 6 +∞ (−1)n−1 (−1)n−1 Nên chuỗi + cũng hội tụ và có tổng là n=1 n 2n 3S 1 1 1 1 1 = 1 + − + + − + ... (3) 2 3 2 5 7 4 Nhưng chuỗi số (3) lại suy ra từ chuỗi số (1) bằng cách thay đổi thứ tự của các số hạng. Vậy khi ta thay đổi thứ tự của các số hạng của nó, tổng của nó đã thay đổi. Tuy nhiên tính chất giao hoán và tính chất kết hợp vẫn đúng với các chuỗi số hội tụ tuyệt dối. Người ta chứng minh được các tính chất sau: Tính chất 1. Với chuỗi hội tụ tuyệt đối, tính hội tụ và tổng của nó không thay đổi khi ta thay đổi thứ tự các số hạng và nhóm tùy ý một số số hạng. Với chuỗi số bán hội tụ, ta có thể thay đổi thứ tự của các số hạng của nó để nhận được chuỗi số hội tụ và có tổng bằng một số bất kỳ cho trước, hoặc trở nên phân kỳ. Định nghĩa. ∞ ∞ ∞ Cho hai chuỗi số un và vn , người ta gọi tích của chúng là chuỗi số wn , trong n=1 n=0 n=0 n đó wn = uk vn−k . k=0 Tính chất 2. ∞ ∞ Nếu hai chuỗi un và vn hội tụ tuyệt đối và có tổng là U và V thì tích của chúng n=1 n=0 hội tụ tuyệt đối và có tổng là U.V . Đàm Thanh Phương - Ngô Mạnh Tưởng 52
Bộ môn Khoa học Cơ Bản Bài giảng TOÁN CAO CẤP 2 4.4 Chuỗi hàm số 4.4.1 Hội tụ và hội tụ đều. Tổng vô hạn ∞ un (x) (4.3) n=1 trong đó un (x) là các hàm số xác định trên tập hợp X ⊂ R, được gọi là chuỗi hàm số. n Sn (x) = uk (x) được gọi là tổng riêng thứ n của chuỗi hàm. k=1 Định nghĩa 1. Chuỗi hàm số (4.3) được gọi hội tụ tại điểm x0 ∈ X nếu dãy hàm số {Sn (x)} hội tụ tại điểm x0 và được gọi là hội tụ trên tập X nếu nó hội tụ tại mọi điểm thuộc X. Giới hạn S của {Sn (x)} gọi là tổng của chuỗi. Ví dụ 1. Xét chuỗi hàm số x + x2 + x3 + x4 + ... + xn + ... x là cấp số nhân vô hạn công bội x, nó hội tụ và có tổng là S (x) = nếu |x| < 1. Do 1−x đó x S (x) = = x + x2 + x3 + x4 + ... + xn + ... với − 1 < x < 1 1−x ∞ sin nx Ví dụ 2. Xét chuỗi hàm số 2 2 . Ta có n=1 x + n sin nx |sin nx| 1 2 + n2 = 2 , ∀x ∈ R x x + n2 n2 ∞ 1 Mà chuỗi 2 hội tụ, nên chuỗi đã cho hội tụ tuyệt đối. n=1 n ∞ xn Ví dụ 3. Xét chuỗi hàm số . n=1 n! Với x = 0 chuỗi hội tụ. ∞ |x|n Với x = 0 áp dụng quy tắc D’Alembert cho chuỗi ta được n=1 n! un+1 |x|n+1 n! 1 lim = lim n = |x| lim =0 n→∞ un n→∞ |x| (n + 1)! n→∞ 1 + n Vậy chuỗi hàm số hội tụ tuyệt đối với mọi x ∈ R. Định nghĩa 2. Chuỗi hàm số (4.3) được gọi là hội tụ đều trên X đến hàm S(x) nếu dãy hàm số {Sn (x)} hội tụ đều tới S(x) trên X, nghĩa là với mọi ε > 0, tồn tại số n0 ∈ N sao cho Đàm Thanh Phương - Ngô Mạnh Tưởng 53
Bộ môn Khoa học Cơ Bản Bài giảng TOÁN CAO CẤP 2 với mọi n ≥ n0 thì |S (x) − Sn (x)| < ε, ∀x ∈ X. ∞ (−1)n−1 Ví dụ. Xét chuỗi hàm số 2 , đó là chuỗi đan dấu thỏa mãn điều kiện của định n=1 x + n lý Leibniz, do đó nó hội tụ với mọi x ∈ X. Phần dư thứ n của chuỗi cũng là chuỗi đan dấu thỏa mãn điều kiện của định lý Leibniz nên có tổng nhỏ thua trị tuyệt đối của số hạng đầu tiên, ta có 1 1 |S (x) − Sn (x)| < < x2 +n+1 n+1 1 1 Nếu < ε ⇒ n > − 1 thì |S (x) − Sn (x)| < ε. n+1 ε 1 1 Chọn n0 = E − 1 , phần nguyên của − 1, rõ ràng n0 không phụ thuộc vào ε ε x ∈ R. Vậy chuỗi hàm số trên hội tụ đều trên R. 4.4.2 Tiêu chuẩn hội tụ đều của chuỗi hàm số. ∞ Định lý 10. (Tiêu chuẩn Cauchy). Chuỗi hàm số un (x) hội tụ đều trên tập X khi và n=1 chỉ khi với mọi ε > 0, tìm được số nguyên n0 sao cho khi p > q > n0 ta có |Sp (x) − Sq (x)| < ε, ∀x ∈ X ∞ Định lý 11. (Tiêu chuẩn Weierstrass). Cho chuỗi hàm số un (x) thỏa mãn |un (x)| n=1 ∞ an , ∀n ∈ N, ∀x ∈ X và chuỗi số an hội tụ. Khi đó chuỗi hàm đã cho hội tụ tuyệt đối n=1 và đều trên tập X ∞ ∞ Chứng minh. Áp dụng định lý so sách cho hai chuỗi số dương |un (x)|, an suy ra n=1 n=1 ∞ ∞ chuỗi hàm số un (x) hội tụ tuyệt đối trên X. Mặt khác ta có chuỗi số an hội tụ, theo n=1 n=1 p định lý Cauchy, với mọi ε > 0, tìm được số n0 sao cho khi p > q > n0 ta có an < ε. n=q+1 Do đó |Sp (x) − Sq (x)| = |uq+1 (x) + ... + up (x)| |uq+1 (x)| + ... + |up (x)| aq+1 + ... + ap < ε Vậy chuỗi hàm số đã cho hội tụ đều trên X. ∞ sin nx Ví dụ. Xét sự hội tụ của chuỗi hàm: 2 2 n=1 n + x Ta có: sin nx 1 , ∀n, ∀x ∈ R n2 + x2 n2 ∞ 1 mà chuỗi số 2 hội tụ nên chuỗi đã cho hội tụ tuyệt đối và đều trên R (theo tiêu n=1 n chuẩn Weierstrass). Đàm Thanh Phương - Ngô Mạnh Tưởng 54
Bộ môn Khoa học Cơ Bản Bài giảng TOÁN CAO CẤP 2 4.4.3 Tính chất của chuỗi hàm số hội tụ đều. Ta biết rằng tổng của một số hữu hạn các hàm số liên tục là một hàm số liên tục, đạo hàm (tích phân) của tổng của một số hữu hạn hàm số bằng tổng đạo hàm (tích phân) của mỗi số hạng. Đối với các chuỗi hàm số, các tính chất ấy nõi chung không còn đúng nữa, nhưng các tính chất ấy vẫn đúng đối với các chuỗi hàm số hội tụ đều. ∞ Định lý 12. Cho chuỗi hàm số un . Nếu các số hạng un đều liên tục trên khoảng I, n=1 chuỗi hàm số hội tụ đều trên I thì tổng của nó cũng liên tục trên I. Từ định lý ta có: Nếu chuỗi hàm số có các số hạng liên tục mà hội tụ tới một hàm số gián đoạn trên X thì chuỗi hàm số ấy hội tụ không đều trên X. ∞ Định lý 13. Cho chuỗi hàm số un . Nếu các số hạng un đều liên tục trên [a, b], chuỗi n=1 hàm số hội tụ đều trên đoạn đó tới S(x) thì b b ∞ ∞ b S (x)dx = un (x) dx = un (x)dx a a n=1 n=1 a ∞ Định lý 14. Cho chuỗi hàm số un hội tụ đều trên (a, b) tới S, các số hạng un liên n=1 ∞ tục cùng với đạo hàm của chúng trên (a, b). Khi đó nếu chuỗi hàm số un hội tụ đều n=1 trên (a, b) thì tổng S khả vi trên (a, b) và ta có ∞ ∞ S (x) = un (x) = un (x) n=1 n=1 ∞ sin nx sin nx 1 Ví dụ. Xét chuỗi hàm số 3 . Ta có un (x) = và |un (x)| , ∀x ∈ R, ∀n n=1 n n3 n3 1∞ mà chuỗi số 3 hội tụ nên chuỗi hàm số đã cho hội tụ tuyệt đối và đều trên R do đó n=1 n S(x) là tổng của một chuỗi hàm số hội tụ đều với các số hạng đều liên tục trên R nên nó là một hàm số liên tục. Suy ra π π ∞ ∞ π ∞ sin nx 1 1 − (−1)n S (x)dx = dx = sin nxdx = n=1 n3 n=1 n3 n=1 n4 0 0 0 cos nx ∞ cos nx Vì un (x) = mà chuỗi hàm số hội tụ đều trên R, nên ta có n2 n=1 n2 ∞ ∞cos nx Sn (x) = un (x) = n=1 n=1 n2 Đàm Thanh Phương - Ngô Mạnh Tưởng 55
Bộ môn Khoa học Cơ Bản Bài giảng TOÁN CAO CẤP 2 4.5 Chuỗi lũy thừa 4.5.1 Định nghĩa. Chuỗi lũy thừa là chuỗi hàm số có dạng ∞ an xn = a0 + a1 x + a2 x2 + ... + an xn + ... (4.4) n=0 trong đó an là các hằng số và gọi là hệ số của chuỗi lũy thừa. Định lý 15. (Abel). ∞ a, Nếu chuỗi lũy thừa an xn hội tụ tại điểm x = x0 = 0 thì nó hội tụ tuyệt đối tại n=0 mọi x với |x| < |x0 |. b, Nếu nó phân kỳ tại x = x1 thì nó phân kỳ tại mọi x với |x| > |x1 |. ∞ ∞ Chứng minh. a, Nếu chuỗi an xn hội tụ tại x0 , chuỗi số an xn hội tụ, do đó số 0 n=0 n=1 hạng tổng quát an xn dần tới 0 khi n → ∞, vì vậy dãy số {an xn } bị chặn, tức là tồn tại 0 0 mọt số dương M sao cho |an xn | 0 M, ∀n 0. Ta viết n n n x x x n |an x | = an x n 0 = |an xn | . 0 M x0 , ∀n 0. x0 x0 ∞ n ∞ x x Chuỗi M hội tụ nếu < 1, tức là |x| < |x0 |. Do đó chuỗi |an xn | hội tụ, n=0 x0 x0 n=1 ∞ vậy chuỗi an xn hội tụ tuyệt đối tại mọi x thỏa mãn |x| < |x0 |. n=0 ∞ b, Giả sử an xn phân kỳ tại x1 . Nếu nó hội tụ tại x2 với |x2 | > |x1 | theo ý a, nó hội n=0 ∞ tụ tại mọi x thỏa mãn |x| < |x2 |, đặc biệt tại x1 , điều này trái với giả thiết, vậy an x n n=0 phân kỳ tại mọi x thỏa mãn |x| > |x1 |. ∞ Rõ ràng chuỗi lũy thừa an xn hội tụ tại x = 0 .Từ định lý Abel suy ra tồn n=0 ∞ tại số 0 ≤ R ≤ ∞ sao cho chuỗi an xn hội tụ trong khoảng (−R, R), phân kỳ trong n=0 các khoảng (−∞, −R) và (R, +∞). Số R được gọi là bán kính hội tụ của chuỗi lũy thừa, khoảng (−R, R) gọi là khoảng hội tụ của chuỗi lũy thừa. Tại x = −R và x = R chuỗi có thể hội tụ hoặc phân kỳ. 4.5.2 Quy tắc tìm bán kính hội tụ của chuỗi lũy thừa. |an+1 | √ Định lý 16. Nếu lim = p (hoặc lim n an = p) thì bán kính hội tụ R của chuỗi n→∞ |an | n→∞ ∞ lũy thừa an xn được cho bởi công thức n=0 Đàm Thanh Phương - Ngô Mạnh Tưởng 56
Bộ môn Khoa học Cơ Bản Bài giảng TOÁN CAO CẤP 2 1  nếu 0 < p < +∞  p  R = 0 nếu p = +∞     +∞ nếu p = 0 ∞ Chứng minh. Áp dụng quy tắc D’Alambert cho chuỗi số dương |an xn |, ta có n=0 |an+1 xn | |an+1 | lim n| = lim |x| = p |x| n→∞ |an x n→∞ |an | ∞ ∞ Nếu 0 < p < +∞. Chuỗi |an xn | hội tụ nếu p |x| < 1, khi đó chuỗi an xn hội n=0 n=0 1 1 ∞ tụ tuyệt đối, suy ra |x| < . Nếu p |x| > 1, tức là |x| > , chuỗi |an xn | phân kỳ, do p p n=0 ∞ 1 ∞ n n đó chuỗi an x phân kỳ. Vậy R = (Vì |an x | phân kỳ, do đó số hạng tổng quát n=0 p n=0 lim |an xn | không dần tới 0 khi n → ∞, suy ra lim an xn không dần tới 0 khi n → ∞). n→∞ n→∞ |an+1 xn | ∞ Nếu p = +∞ thì lim = +∞, ∀x = 0, khi đó an xn phân kỳ tại mọi x = 0. n→∞ |an xn | n=0 Vậy R = 0. |an+1 xn | ∞ Nếu p = 0 thì lim = 0 < 1, ∀x ∈ R, khi đó an xn hội tụ tuyệt đối tại mọi n→∞ |an xn | n=0 x ∈ R. Vậy R = +∞. √ Trường hợp lim n an = p chứng minh tương tự. n→∞ Chú ý. Để tìm miền hội tụ của chuỗi lũy thừa, ta tìm bán kính hội tụ R để xác định khoảng hội tụ (−R, R) của nó, rồi xét sự hội tụ của chuỗi tại hai điểm đầu mút x = ±R. ∞ xn Ví dụ 1. Xét chuỗi lũy thừa n . n=0 n 2 Ta có |an+1 | n.2n 1 lim = lim = n→∞ |an | n→∞ (n + 1) .2n+1 2 suy ra R = 2. Vậy chuỗi hội tụ trong khoảng (−2, 2). Tại x = −2, ta có chuỗi số ∞ ∞ (−2)n (−1)n = n=0 n 2n n=0 n là chuỗi đan dấu, nó hội tụ theo Leibniz. ∞ 1 Tại x = 2, ta có chuỗi số , là chuỗi điều hòa, nó phân kỳ. n=0 n Vậy miền hội tụ của chuỗi lũy thừa đã cho là [−2, 1). ∞ xn Ví dụ 2. Xét chuỗi lũy thừa . n=0 n! Ta có |an+1 | n! lim = lim =0 n→∞ |an | n→∞ (n + 1)! Đàm Thanh Phương - Ngô Mạnh Tưởng 57
Bộ môn Khoa học Cơ Bản Bài giảng TOÁN CAO CẤP 2 Do đó R = +∞. Vậy chuỗi đã cho hội tụ trên toàn R. ∞ n n Ví dụ 3. Xét chuỗi lũy thừa (x + 3)n . n=1 n+1 ∞ n n Đặt x + 3 = X, ta được chuỗi lũy thừa X n . Ta có n=1 n+1 √ n lim n an = lim =1 n→∞ n→∞ n + 1 ∞ n n suy ra R = 1. Khoảng hội tụ của chuỗi X n là (−1, 1), do đó chuỗi lũy thừa n=1 n+1 đã cho hội tụ trong khoảng (−4, −2). ∞ n n Tại x = −2, ta có chuỗi , do n=1 n+1 n n 1 1 lim = lim n = n→∞ n+1 n→∞ 1 e 1+ n nên chuỗi phân kỳ. ∞ n n n Tại x = −4 ta có chuỗi (−1) , số hạng tổng quát không dần tới 0 khi n=1 n+1 n → ∞, do đó chuỗi phân kỳ. Vậy miền hội tụ của chuỗi đã cho là (−4, −2). 4.5.3 Tính chất của chuỗi lũy thừa. ∞ Tính chất 1. Chuỗi lũy thừa an xn hội tụ đều trên mọi đoạn [a, b] nằm trong khoảng n=0 hội tụ của nó. ∞ Tính chất 2. Tổng của chuỗi lũy thừa an xn là một hàm số liên tục trong khoảng n=0 hội tụ của nó. ∞ Tính chất 3. Có thể lấy tích phân từng số hạng của chuỗi lũy thừa an xn trên mọi n=0 đoạn [a, b] nằm trong khoảng hội tụ của nó b ∞ ∞ b an xn dx = an xn dx a n=0 n=0 a ∞ Tính chất 4. Có thể lấy đạo hàm từng số hạng của chuỗi lũy thừa an xn tại mọi n=0 điểm nằm trong khoảng hội tụ của nó ∞ an x n = a1 + 2a2 x + 3a3 x2 + ... + nan xn−1 + ... n=0 chuỗi này cũng là chuỗi lũy thừa có khoảng hội tụ là (−R, R). Đàm Thanh Phương - Ngô Mạnh Tưởng 58
Bộ môn Khoa học Cơ Bản Bài giảng TOÁN CAO CẤP 2 4.5.4 Khai triển một hàm số thành chuỗi lũy thừa. Giả sử hàm số f (x) có đạo hàm mọi cấp trong một lân cận của điểm x0 và có thể biểu diễn dưới dạng tổng của một chuỗi lũy thừa trong lân cận ấy, tức là f (x) = a0 + a1 (x − x0 ) + a2 (x − x0 )2 + ... + an (x − x0 )n + ... (4.5) trong đó a0 , a1 , ..., an , ... là những hằng số. Theo tính chất 4 của chuỗi lũy thừa, ta có  n−1 f (x) = a1 + 2a2 (x − x0 ) + ... + nan (x − x0 ) + ... f (x) = 2a2 + 3.2a3 (x − x0 ) + ... + n (n − 1) an (x − x0 )n−2 + ...    ... (4.6)  (n) f (x) = n!an + ...   ...  Thế x = x0 vào đẳng thức trên, ta được f (x0 ) f (x0 ) f (n) (x0 ) a0 = f (x0 ) , a1 = , a2 = , ..., an = , ... 1! 2! n! Vậy f (x0 ) f (x0 ) f (n) (x0 ) f (x) = f (x0 ) + (x − x0 ) + (x − x0 )2 + ... + (x − x0 )n + ... (4.7) 1! 2! n! Chuỗi lũy thừa (4.7) được gọi là chuỗi Taylor của hàm số f (x) ở lân cận điểm x0 . Nếu x0 = 0, ta có f (x0 ) f (x0 ) 2 f (n) (x0 ) n f (x) = f (x0 ) + x+ x + ... + x + ... (4.8) 1! 2! n! Chuỗi lũy thừa (4.8) được gọi là chuỗi Mac Laurin của hàm số f (x). Như vậy, nếu hàm số f (x) có đạo hàm mọi cấp và có thể biểu diễn được dưới dạng tổng của một chuỗi lũy thừa trong một lân cận nào đó của điểm x0 thì chuỗi lũy thừa đó phải là chuỗi Taylor của hàm số f (x) trong lân cận ấy. Vấn đề đặt ra; nếu hàm số f (x) có đạo hàm mọi cấp trong một lân cận của điểm x0 , thì điều kiện nào chuỗi Taylor của hàm số f (x) hội tụ và có tổng bằng f (x). Khi đó ta nói rằng hàm số f (x) đã được khai triển thành chuỗi Taylor. Vậy ta cần tìm điều kiện để có thể khai triển hàm số f (x) thành chuỗi Taylor. Theo công thức Taylor(Chương VIII, Phép tính vi phân hàm số một biến), hàm số f (x) có đạo hàm mọi cấp ở lân cận x0 có thể khai triển thành f (x0 ) f (x0 ) f (n) (x0 ) f (x) = f (x0 ) + (x − x0 ) + (x − x0 )2 + ... + (x − x0 )n + Rn (x) 1! 2! n! trong đó f (n+1) (ξ) Rn (x) = (x − x0 )n+1 (4.9) (n + 1)! Đàm Thanh Phương - Ngô Mạnh Tưởng 59
Bộ môn Khoa học Cơ Bản Bài giảng TOÁN CAO CẤP 2 trong đó ξ là một điểm nào đó giữa x và x0 . Do đó nếu lim Rn (x) = 0 (4.10) n→∞ thì f (x0 ) f (x0 ) 2 f (n) (x0 ) n f (x) = f (x0 ) + x+ x + ... + x + ... 1! 2! n! tức là hàm số f (x) khai triển được thành chuỗi Taylor ở lân cận x0 . Định lý 17. Nếu trong một lân cận nào đó của x0 , hàm số f (x) có đạo hàm mọi cấp và trong lân cận ấy f (n) (x) M, ∀n 0 (4.11) M là một số dương nào đó, thì hàm số f (x) có thể khai triển được thành chuỗi TayLor trong lân cận ấy. Chứng minh. Từ (4.11), ta có f (n+1) (ξ) M |Rn (x)| = |x − x0 |n+1 |x − x0 |n+1 . (n + 1)! (n + 1)! ∞ xn |x|n Chuỗi lũy thừa hội tụ tuyệt đối trên R, nên → 0 khi n → ∞, do đó n=0 n! n! |x − x0 |n+1 → 0 khi n → ∞. Vậy lim Rn (x) = 0. Theo nhận xét trên, f (x) có thể (n + 1)! n→∞ khai triển được thành chuỗi Taylor. 4.5.5 Khai triển một số hàm số sơ cấp thành chuỗi lũy thừa. Hàm số f (x) = ex Hàm số ex có đạo hàm mọi cấp và các đạo hàm ấy đều bằng ex với mọi x ∈ R, do đó f (0) = f (0) = ... = f (n) (0) = ... = 1. Vậy chuỗi Mac Laurin của hàm số f (x) = ex có dạng x2 xn 1+x+ + ... + + ... 2! n! Giả sử A là một số dương bất kỳ. Ta có ∀n ∈ N, ∀x ∈ (−∞, ∞) f (n) (x) = ex < eA = M Do đó theo định lý 17 hàm số f (x) = ex khai triển được thành chuỗi Mac Laurin trong lân cận (−A, A) của điểm x0 = 0. Vì A là số bất kỳ, nên hàm số ex có thể khai triển được thành chuỗi Mac Laurin ∀x ∈ R là ∞ x x2 xn xn e =1+x+ + ... + + ... = (4.12) 2! n! n=0 n! Đàm Thanh Phương - Ngô Mạnh Tưởng 60
Bộ môn Khoa học Cơ Bản Bài giảng TOÁN CAO CẤP 2 Hàm số f (x) = sinx Ta có π π f (n) (x) = sin x + n và f (n) (x) = sin x + n 1, ∀x ∈ R, ∀n ∈ N 2 2 do đó có thể khai triển sinx thành chuỗi Mac Laurin với mọi x. Vì f (0) = 0, f (0) = 1, f (0) = 0, f (0) = 1, f (4) (0) = 0, f (5) (0) = 1, ..., ta có x3 x5 x2n−1 sin x = x − + − ... + (−1)n−1 + ... (4.13) 3! 5! (2n − 1)! Hàm số f (x) = cosx Tương tự như trên ta có x2 x4 n x 2n cos x = 1 − + − ... + (−1) + ... (4.14) 2! 4! (2n)! Hàm số f (x) = (1 + x)α ,α là một số thực bất kỳ Ta có, với mọi n, f (n) (x) = α (α − 1) (α − 2) ... (α − n + 1) (1 + x)α−n do đó f (n) (0) = α (α − 1) (α − 2) ... (α − n + 1). Vậy chuỗi Mac Laurin của hàm số là α α (α − 1) 2 α (α − 1) ... (α − n + 1) n (1 + x)α = 1 + x+ x + ... + x + ... (4.15) 1! 2! n! Ta tìm miền hội tụ của chuỗi lũy thừa (4.15). |an+1 | |α (α − 1) ... (α − n) .n!| |α − n| lim = lim = lim =1 n→∞ |an | n→∞ |α (α − 1) ... (α − n + 1) (n + 1)!| n→∞ n + 1 Vậy chuỗi lũy thừa (4.15) hội tụ khi |x| < 1. Hàm số f (x) = ln(1 + x) Ta có f (x) = (1 + x)−1 , ta lấy tích phần từng số hạng của chuỗi (4.15) với α = −1, ta được x dx x x x x ln (1 + x) = ln (1 + x)|x = 0 = dx − xdx + x2 dx + ... + (−1)n xn dx + ... 0 1+x 0 0 0 0 hay x2 x3 n x n+1 ln (1 + x) = x − + − .... + (−1) + ..., −1 < x < 1. (4.16) 2 3 n+1 Đàm Thanh Phương - Ngô Mạnh Tưởng 61
Bộ môn Khoa học Cơ Bản Bài giảng TOÁN CAO CẤP 2 Hàm số f (x) = arctanx 1 Vì (arctan x) = , nên trong (4.15) thay x = x2 và α = −1, ta được 1 + x2 1 (arctan x) = = 1 − x2 + x4 − x6 + ... + (−1)n x2n + ... 1 + x2 Ta có x3 x5 x7 x2n+1 arctan x = x − + − + ... + (−1)n + ..., −1 < x < 1. (4.17) 3 5 7 2n + 1 4.5.6 Công thức Euler Ta mở rộng định nghĩa hàm số mũ ex với biến số độc lập là số phức: z2 zn ez = 1 + z + + ... + + ... 2! n! Chuỗi này hội tụ tại mọi z ∈ C. Với z = ix, x ∈ R ta có ix x2 ix x4 ix5 ix2n−1 ix2n eix = 1 +− − + + + ... + (−1)n + (−1)n + ... = 1! 2! 3! 4! 5! (2n − 1)! (2n)! x2 x4 x2n x x 3 x5 x2n−1 = 1− + − ... (−1)n + ... + i − + − ... + (−1)n + ... 2! 4! (2n)! 1! 3! 5! (2n − 1)! Vậy eix = cos x + i sin x (4.18) e−ix = cos x − i sin x (4.19) Do đó eix + e−ix cos x = (4.20) 2 eix − e−ix sin x = (4.21) 2i Các công thức (4.18), (4.19), (4.20), (4.21) gọi là công thức Euler. 4.5.7 Ứng dụng chuỗi lũy thừa để tính gần đúng Tính gần đúng giá trị của hàm số tại một điểm Sử dụng công thức (4.7) để tính gần đúng f (x) trong miền hội tụ của chuỗi. Sai số mắc phải là Rn (x) theo công thức (4.9). Ví dụ. Tính số e với độ chính xác 10−5 . Trong (4.7) cho x = 1 và x0 = 0, ta có 1 1 e≈1+1+ + ... + 2! n! Đàm Thanh Phương - Ngô Mạnh Tưởng 62
Bộ môn Khoa học Cơ Bản Bài giảng TOÁN CAO CẤP 2 eξ sai số là |Rn (1)| = , với 0 < ξ < 1. (n + 1)! 3 3 Do đó |Rn (1)| = . Để đạt độ chính xác 10−5 , chỉ tìm n sao cho < 10−5 . (n + 1)! (n + 1)! Thử trực tiếp ta thấy rằng, chỉ cần lấy n = 8. Vậy 1 1 e≈1+1+ + ... + = 2, 718278 2! 8! Tính gần đúng tích phân 2 Ví dụ. Xét hàm số f (x) = e−x . Ta có ∀x ∈ R x2 x4 x 6 x2n + ... + (−1)n 2 e−x = 1 − + − + ... 1! 2! 3! n! Do đó x 2 x3 x5 x7 x2n+1 e−x dx = x − + − + ... + (−1)n + ... 1!3 2!5 3!7 n! (2n + 1) 0 suy ra 1/2 2 1 1 1 1 e−x dx = − 3 + 5 − + ... 2 1!3.2 2!5.2 3!7.27 0 Theo Leibniz, nếu lấy 3 số hạng đầu thì sai số bé thua trị tuyệt đối của số hạng thức 4 là 1 1 = < 10−3 3!7.27 5370 Vậy 1/2 2 1 1 1 e−x dx ≈ − 3 + = 0, 4644 2 1!3.2 2!5.25 0 Độ chính xác 10−3 . 4.6 Chuỗi Fourier Trong cơ học, vật lý kỹ thuật điện,... ta thường gặp những hiện tượng được mô tả bởi những hàm tuần hoàn. Những hàm số tuần hoàn đơn giản nhất là An sin (nωt + φn ) , n = 2π 1, 2, ... chúng biểu diễn những dao động điều hòa với biên độ An , chu kỳ T = . nω 2π Nếu cho một hàm số g(t) tuần hoàn với chu kỳ T = có thể khai triển nó dưới dạng nω ∞ g (t) = A0 + An sin (nωt + φn ) n=1 Đàm Thanh Phương - Ngô Mạnh Tưởng 63
Bộ môn Khoa học Cơ Bản Bài giảng TOÁN CAO CẤP 2 x được không?. Đặt ωt = x, ta có g (t) = g := f (x) khi đó f (x) là một hàm tuần hoàn ω chu kỳ 2π, khai triển trên có dạng a0 ∞ + (an cos nx + bn sin nx), 2 n=1 trong đó a0 = 2A0 , an = An sin φn , bn = Bn cos φn . 4.6.1 Chuỗi lượng giác Chuỗi lượng giác là chuỗi hàm số có dạng ∞ a0 + (an cos nx + bn sin nx) (4.22) n=1 trong đó a0 , ..., an , bn , ... là những hằng số. Số hạng tổng quát un (x) = an cos nx+bn sin nx 2π là một hàm số tuần hoàn chu kỳ , liên tục và khả vi mọi cấp. Nếu chuỗi (4.22) hội tụ n thì tổng của nó là một hàm số tuần hoàn với chu kỳ 2π. ∞ ∞ Ta có |un (x)| |an | + |bn | , ∀n ∈ N, ∀x ∈ R. Nếu các chuỗi số |an |, |bn | hội tụ n=1 n=1 thì theo định lý Weierstrass, chuỗi (4.22) hội tụ tuyệt đối và đều trên R. Tuy nhiên điều kiện trên không phải là điều kiện ắt có để chuỗi (4.22) hội tụ. Có thể chứng minh rằng nếu các dãy {an } , {bn } đơn điệu giảm tới 0 khi n → ∞ thì chuỗi (4.22) hội tụ tại x = 2kπ. 4.6.2 Chuỗi Fourier Với mọi số nguyên p và k, ta có hệ thức π π π sin kxdx = 0, cos kxdx = 0 với k = 0, cos kx sin pxdx = 0 −π −π −π π π 0, nếu k = p cos px cos kxdx = sin px sin kxdx = −π −π π, nếu k = p = 0 Giả sử hàm số f (x) tuần hoàn chu kỳ 2π, khả tích trên [−π, π] có thể khai triển ∞ a0 f (x) = + (an cos nx + bn sin nx) (4.23) 2 n=1 Để tính a0 , lấy tích phân hai vế trên [−π, π] của chuỗi hàm (4.23) và áp dụng các hệ thức trên, ta có π π π a0 1 f (x) dx = dx = πa0 ⇒ a0 = f (x) dx (4.24) 2 π −π −π −π Đàm Thanh Phương - Ngô Mạnh Tưởng 64

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

THÔNG TIN

TRỢ GIÚP

HỖ TRỢ KHÁCH HÀNG

Theo dõi chúng tôi

Chịu trách nhiệm nội dung:

Nguyễn Công Hà - Giám đốc Công ty TNHH TÀI LIỆU TRỰC TUYẾN VI NA

LIÊN HỆ

Địa chỉ: P402, 54A Nơ Trang Long, Phường 14, Q.Bình Thạnh, TP.HCM

Hotline: 093 303 0098

Email: support@tailieu.vn

Giấy phép Mạng Xã Hội số: 670/GP-BTTTT cấp ngày 30/11/2015 Copyright © 2022-2032 TaiLieu.VN. All rights reserved.