Bài giảng Toán cao cấp B: Phần 1 - Trường ĐH Võ Trường Toản

Chia sẻ: Lôi Vô Kiệt | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:51

Thêm vào BST

Báo xấu

12
lượt xem 5
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Bài giảng Toán cao cấp B kết cấu gồm 6 chương và được chia thành 2 phần, phần 1 gồm 3 chương đầu, cung cấp cho sinh viên những nội dung, kiến thức về: ma trận, định thức và hệ phương trình tuyến tính; hàm số và giới hạn; đạo hàm và vi phân;... Mời các bạn cùng tham khảo chi tiết nội dung bài giảng!

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Bài giảng Toán cao cấp B: Phần 1 - Trường ĐH Võ Trường Toản

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VÕ TRƯỜNG TOẢN KHOA KHOA HỌC CƠ BẢN ================= Bài giảng môn học TOÁN CAO CẤP B Biên soạn: Th.s Phạm Thanh Dược Hậu Giang, 2011
Mục lục 1 MA TRẬN, ĐỊNH THỨC VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH 1 1.1 Ma trận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.1.1 Định nghĩa ma trận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.1.2 Các ma trận thường gặp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1.1.3 Các phép toán trên ma trận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.1.4 Các tính chất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.1.5 Ma trận bậc thang . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.1.6 Ma trận nghịch đảo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.2 Định thức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.2.1 Các khái niệm cơ bản về định thức . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.2.2 Các tính chất của định thức: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.3 Hệ phương trình tuyến tính . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 1.3.1 Các định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 1.3.2 Phương pháp giải hệ phương trình tuyến tính . . . . . . . . . . 14 1.4 Bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 2 HÀM SỐ VÀ GIỚI HẠN 19 2.1 Khái niệm hàm số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 2.2 Giới hạn hàm số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 2.2.1 Giới hạn hữu hạn của hàm số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 2.2.2 Các tính chất của giới hạn hàm số . . . . . . . . . . . . . . . . 20 2.2.3 Các dạng vô định và cách khử dạng vô định . . . . . . . . . . . 21 2.3 Tính liên tục của hàm số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 2.4 Bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
ii Mục lục 3 ĐẠO HÀM VÀ VI PHÂN 27 3.1 Đạo hàm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 3.1.1 Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 3.1.2 Đạo hàm của các hàm sơ cấp cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . 28 3.1.3 Các quy tắc tính đạo hàm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 3.1.4 Đạo hàm cấp cao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 3.1.5 Bài toán mối liên hệ giữa các tốc độ biến thiên . . . . . . . . . 30 3.1.6 Vi phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 3.1.7 Cực trị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 3.2 Các định lý cơ bản của phép tính vi phân và ứng dụng . . . . . . . . . 35 3.2.1 Một số kết quả liên hệ giữa tính đơn điệu của hàm số và dấu của đạo hàm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 3.2.2 Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 3.2.3 Các quy tắc L’Hospital . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 3.2.4 Công thức Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 3.2.5 Bài toán tối ưu trong thực tế . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 3.2.6 Khảo sát tổng quát một hàm số . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 3.3 Bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 4 TÍCH PHÂN HÀM MỘT BIẾN 47 4.1 Tích phân bất định . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 4.1.1 Nguyên hàm, tích phân bất định . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 4.1.2 Tính chất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 4.1.3 Bảng nguyên hàm các hàm sơ cấp cơ bản . . . . . . . . . . . . . 48 4.1.4 Các phương pháp tính tích phân bất định . . . . . . . . . . . . 49 4.1.5 Tích phân các hàm hữu tỷ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 4.1.6 Tích phân các hàm lượng giác . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 4.1.7 Tích phân một số hàm vô tỷ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
Mục lục iii 4.2 Tích phân xác định . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 4.2.1 Bài toán diện tích hình thang cong . . . . . . . . . . . . . . . . 55 4.2.2 Định nghĩa tích phân xác định . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 4.2.3 Các định lí về hàm khả tích . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 4.2.4 Các tính chất của tích phân xác định . . . . . . . . . . . . . . . 57 4.2.5 Các phương pháp tính tích phân xác định . . . . . . . . . . . . 57 4.2.6 Ứng dụng của tích phân xác định . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 4.3 Tích phân suy rộng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 4.3.1 Tích phân suy rộng cận vô tận . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 4.3.2 Tích phân suy rộng của hàm không bị chặn . . . . . . . . . . . 64 5 HÀM NHIỀU BIẾN 69 5.1 Định nghĩa hàm số hai biến . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69 5.2 Giới hạn hàm số và tính liên tục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70 5.3 Đạo hàm riêng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71 5.3.1 Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71 5.3.2 Dùng đạo hàm riêng để tính gần đúng . . . . . . . . . . . . . . 72 5.3.3 Đạo hàm riêng cấp cao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72 5.3.4 Vi phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73 5.4 Cực trị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74 5.4.1 Cực trị tự do . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74 5.4.2 Cực trị có điều kiện . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77 5.4.3 Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78 5.4.4 Phương pháp bình phương nhỏ nhất . . . . . . . . . . . . . . . 79 5.5 Bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80 5.5.1 Tự luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80 5.5.2 Trắc nghiệm khách quan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
iv Mục lục 6 PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN 85 6.1 Các khái niệm cơ bản của phương trình vi phân . . . . . . . . . . . . . 85 6.1.1 Định nghĩa 1 (Khái niệm và phân loại) . . . . . . . . . . . . . . 85 6.1.2 Định nghĩa 2 (phân nhóm ptvp): . . . . . . . . . . . . . . . . . 85 6.1.3 Định nghĩa 3: (Nghiệm của ptvp): . . . . . . . . . . . . . . . . . 86 6.2 Phương trình tách biến, phương trình đẳng cấp cấp 1 . . . . . . . . . . 87 6.2.1 Bài toán cauchy (Bài toán điều kiện đầu) . . . . . . . . . . . . . 88 6.2.2 Định lý Peano – Cauchy – Picard (định lý tồn tại và duy nhất nghiệm) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88 6.2.3 Nghiệm tổng quát . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88 6.2.4 Phương trình phân ly biến số (tách biến) . . . . . . . . . . . . . 88 6.2.5 Phương trình đẳng cấp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90 6.2.6 Phương trình đưa về phương trình đẳng cấp . . . . . . . . . . . 92 6.3 Phương trình vi phân tuyến tính cấp 1, Bernoulli, Ricatti . . . . . . . . 97 6.3.1 Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97 6.3.2 Cách giải . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97 6.3.3 Các ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101 6.3.4 Phương trình Bernoulli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102 6.3.5 Phương trình Ricatti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103 6.4 Phương trình vi phân tuyến tính cấp hai với hệ số hằng . . . . . . . . . 104 6.4.1 Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104 6.4.2 Phương pháp giải phương trình thuần nhất . . . . . . . . . . . . 105 6.4.3 Một số phương trình vi phân cấp 2 đặc biệt . . . . . . . . . . . 106 Tài liệu tham khảo 115
Chương 1 MA TRẬN, ĐỊNH THỨC VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH 1.1 Ma trận 1.1.1 Định nghĩa ma trận Định nghĩa 1.1. Một ma trận A cấp m × n trên trường số thực hoặc số phức là một bảng các số gồm m hàng và n cột  a11 a12 a13 ··· a1n  a21 a22 a23 ··· a2n  a. 31 a32 a33 ··· a3n  A= . . .. . . . . . . . . . . am1 am2 am3 ··· amn aij là phần tử ở vị trí dòng i, cột j của A. Đôi khi A được viết ngắn gọn là A = (aij )m×n hay (A)m×n . Các ma trận thường được ký hiệu bởi A, B, C và tập hợp tất cả các ma trận loại m × n trên trường K được ký hiệu bởi Mm×n (K) . Ví dụ 1.2. A = 0 −1 1 là ma trận cấp 2 × 3. 1 2 3 −2 1 B= 1 2 là ma trận cấp 3 × 2. 0 3 Ví dụ 1.3. Viết ma trận cấp 4 × 4 biết: aij = i2 − j 2 , ∀i, j = 1, ..., 4 Định nghĩa 1.4. Hai ma trận A và B được gọi là bằng nhau nếu chúng có cùng cở và mọi phần tử đứng ở vị trí tương ứng đều bằng nhau. Kí hiệu A = B. 1
2Chương 1. MA TRẬN, ĐỊNH THỨC VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH Định nghĩa 1.5. (Hai ma trận bằng nhau). Cho A = (aij ), B = (bij ) ∈ Mmxn (K). Ta nói A = B khi và chỉ khi: aij = bij , ∀i, j . Ví dụ 1.6. Với A = 1 2 3 ;B = d e f . a b c 4 5 6 Thì A = B khi và chỉ khi a = 4, b = 5, c = 6, d = 1, e = 2, f = 3 Hai ma trận A = 1 2 ; 3 4 B= 14 2 3 5 6 không thể bằng nhau do không cùng cấp. 1.1.2 Các ma trận thường gặp • Ma trận không là ma trận có các phần tử đều bằng 0 • Ma trận cột là ma trận chỉ có một cột • Ma trận hàng là ma trận chỉ có một hàng • Ma trận có số hàng bằng số cột được gọi là ma trận vuông. Nếu A là ma trận vuông cấp n, thì đường chứa các phần tử a11 , a22 , a33 , . . . , ann được gọi là đường chéo chính của A. • Ma trận đơn vị cấp n là một ma trận vuông có các phần tử trên đường chéo chính bằng 1, các phần tử còn lại bằng 0. Kí hiệu là  1 0 ... 0  0 1 ... 0 In =  . . . . . . .  . . . . . 0 ... 0 1 • Ma trận vuông cấp n được gọi là ma trận tam giác nếu mọi phần tử đứng ở một phía của đường chéo đều bằng 0. 1 3 4 −1 Ví dụ 1.7. A = 0 6 −3 0 là ma trận tam giác trên; 0 0 7 2 0 0 0 0 −1 0 0 0 B= 0 4 0 0 là ma trận tam giác dưới; −2 5 6 0 1 3 4 9
1.1. Ma trận 3 1.1.3 Các phép toán trên ma trận a) Phép cộng ma trận Cho hai ma trận Am×n , Bm×n .Ta gọi ma trận tổng của A và B, kí hiệu A + B là một ma trận Cm×n = (cij ) được xác định bởi: cij = aij + bij Tổng của A + (-B) được ký hiệu bởi A – B và gọi là hiệu của ma trận A và B. Ví dụ 1.8. Cho A = 2 1 −1 ; 0 1 3 B= 2 1 0 3 2 2 Ta có A + B = 4 2 −1 3 3 5 b) Phép nhân ma trận với một số thực Cho ma trận Am×n . Khi đó, tích của số thực α với ma trận A là một ma trận C với α.Am×n = Cm×n với cij = αaij Nếu a = -1 thì ta ký hiệu (-1).A bởi -A và gọi là ma trận đối của A. Ví dụ 1.9. Cho A = 2 1 −1 ; B= 2 1 0 . Tính 2A + 3B. 0 1 3 3 2 2 Giải. Ta có 2A = 4 2 −2 ; 0 2 6 3B = 6 3 0 9 6 6 Vậy 2A + 3B = 10 5 −2 9 8 12 c) Phép nhân hai ma trận Cho hai ma trận Am×n , Bn×p . Khi đó , n Am×n × Bn×p = Cm×p , với cij = aik .bkj k=1 Chú ý i) Tích của hai ma trận không có tính giao hoán. ii) A.I = I.A = A (I là ma trận đơn vị cùng cấp với A)
4Chương 1. MA TRẬN, ĐỊNH THỨC VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH 1 Ví dụ 1.10. Cho A = ( 4 5 6 ) ; B = 2 . Tính AB và BA. 3 Ta có 1 AB = ( 4 5 6 ) 2 = 4.1 + 5.2 + 6.3 = 32 3 1 4 5 6 BA = 2 ( 4 5 6 )= 8 10 12 3 12 15 18 d) Phép chuyển vị Cho ma trận Am×n khi đó ma trận thu được bằng cách lấy hàng tương ứng của A làm cột gọi là ma trận chuyển vị của A, kí hiệu AT . Ví dụ 1.11. 1 3 5 1 2 A= 2 4 6 ⇒ AT = 3 4 5 6 1.1.4 Các tính chất 1. A + B = B + A; A + 0 = A + 0 = A; 2. (A + B) + C = A + (B + C); 3. (AB)C = A(BC); 4. A(B + C) = AB + BC; 5. (λA)B = λ(AB); 6. (AT )T = A; 7. AT = B T ⇔ A = B. 1.1.5 Ma trận bậc thang a) Phép biến đổi sơ cấp hàng • Nhân tất cả các phần tử của một dòng với cùng 1 số khác 0, ký hiệu: di → a.di .
1.1. Ma trận 5 • Cộng các phần tử của một dòng đã nhân cho cùng 1 số vào các phần tử tương ứng của 1 dòng khác. (Biến dòng i thành dòng i cộng a dòng j), ký hiệu: di → di +a.dj . • Đổi vị trí hai hàng. (hoán vị dòng i và dòng j với nhau), ký hiệu: di ↔ dj . b) Ma trận bậc thang Định nghĩa 1.12. . i) Hàng có chứa ít nhất 1 phần tử khác 0 được gọi là hàng khác 0, hàng chứa tất cả các phần tử đều bằng 0 được gọi là hàng 0. ii) Phần tử khác 0 đầu tiên (tính từ trái qua phải của một hàng gọi là phần tử chính của hàng đó). Định nghĩa 1.13. Ma trận A được gọi là ma trận bậc thang nếu A thỏa mãn hai tính chất i) Hàng 0 (nếu có) ở phía dưới hàng khác 0; ii) Phần tử chính của dòng dưới luôn nằm ở cột bên phải cột chứa phần tử chính của dòng trên. 1 1 −2 4 Ví dụ 1.14. Ma trận A = 0 2 −1 −1 là ma trận bậc thang; 0 0 3 5 1 1 −2 4 Ma trận B = 0 0 0 −1 chưa có dạng bậc thang. 0 0 1 3 Định nghĩa 1.15. Ma trận bậc thang có thêm hai tính chất sau gọi là ma trận bậc thang rút gọn (hay ma trận dạng rút gọn) a) Mọi phần tử chính đều bằng 1; b) Trong cột có chứa phần tử chính (bằng 1) thì 1 là phần tử khác không duy nhất 1 1 0 4 Ví dụ 1.16. Ma trận A = 0 0 1 −1 có dạng rút gọn; 0 0 0 0 1 1 0 4 Ma trận B = 0 0 1 −1 chưa có dạng rút gọn. 0 0 0 3 Định lý 1.17. Mọi ma trận có thể đưa về dạng bậc thang nhờ các phép biến đổi sơ cấp đối với hàng (cột).
6Chương 1. MA TRẬN, ĐỊNH THỨC VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH c) Thuật toán tìm ma trận bậc thang Bước 1. Dùng phép biến đổi hàng (nếu cần) để có phần tử ở đỉnh của cột khác 0 đầu tiên (tính từ trái sang phải) của ma trận là phần tử khác 0. Phần tử này gọi là phần tử cơ sở thứ nhất của ma trận; Bước 2. Dùng phép toán hàng để biến tất cả các phần tử, đứng ở phía dưới phần tử cơ sở thứ nhất (trong cùng một cột) thành phần tử 0. Bước 3. Lặp lại hai bước trên đối với ma trận con thu được từ ma trận ban đầu bằng cách bỏ đi hàng và cột chứa phần tử cơ sở thứ nhất, và tiếp tục như vậy cho đến phần tử cơ sở cuối cùng. Ví dụ 1.18. Áp dụng thuật toán rút gọn hàng để đưa ma trận sau về dạng bậc thang 0 4 1 10 3 A= 4 8 7 18 35 10 18 17 40 83 1 7 3 17 9 Bước 1: Phần tử a11 = 0, ai1 = 0, (i = 2, 3, 4) . Tuy nhiên, a41 = 1 nên ta hoán đổi vị trí dòng 1 và dòng 4. Ta có: 1 7 3 17 9 1 7 3 17 9 A−− d1 d4 4 8 7 18 35 −2− − −1 − → 10 18 17 40 83 d →d2 −4d − − −→ 0 0 −20 −5 −50 −1 d3 →d3 −10d1 −52 −13 −130 −7 0 4 1 10 3 0 4 1 10 3 1 7 3 17 9 1 7 3 17 9 − → 0 −52 −13 −130 −7 4 1 10 3 0 4 1 10 3 d2 d4 d →d4 +5d −− 0 −4− − −2 − − −→ 0 0 0 0 32 d3 →d3 +13d2 0 −20 −5 −50 −1 0 0 0 0 14 1 1 7 3 17 9 1 7 3 17 9 d4 → 14 d4 0 4 1 10 3 −− −→ 0 4 1 10 3 d4 →d4 −d3 − − 1− − −→ 0 0 0 0 1 −−− 0 0 0 0 1 d3 → 32 d3 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 Vậy ta đã có dạng bậc thang. 1.1.6 Ma trận nghịch đảo. a) Khái niệm ma trận nghịch đảo (matrix inversion): Định nghĩa 1.19. Ma trận vuông I cấp n được gọi là ma trận đơn vị nếu A.I = I.A = A, với mọi ma trận vuông A cấp n.
1.1. Ma trận 7 Định nghĩa 1.20. Cho A là một ma trận vuông cấp n trên K. Ta bảo A là ma trận khả nghịch, nếu tồn tại một ma trận B vuông cấp n trên K sao cho: A.B = B.A = In . Khi đó, B được gọi là ma trận nghịch đảo của ma trận A, ký hiệu A−1 . Như vậy: A.A−1 = A−1 .A = In . Nhận xét Ma trận nghịch đảo là duy nhất, vì giả sử tồn tại ma trận C vuông cấp n cũng là ma trận nghịch đảo của A. Ta có: A.C = C.A = In , thì: B = B.In = B(A.C) = (B.A).C = In .C = C. Hiển nhiên: (A−1 )−1 = A, nghĩa là A lại là ma trận nghịch đảo của A−1 . Trong giáo trình này, ta chỉ xét sự khả nghịch của ma trận vuông. Tuy nhiên, hiện tại có nhiều giáo trình nước ngoài đã đề cập đến khái niệm khả nghịch của ma trận bất kỳ. Thật vậy, cho A là ma trận cấp m × n trên trường số K. Khi đó, ta bảo A là khả nghịch trái nếu tồn tại ma trận L cấp n x m sao cho: L.A = In .; A là khả nghịch phải nếu tồn tại ma trận R cấp n × m sao cho: A.R = In . Và khi đó, dĩ nhiên A khả nghịch nếu A khả nghịch trái và khả nghịch phải. Ma trận đơn vị là khả nghịch, Ma trận không không khả nghịch. Tập hợp các ma trận vuông cấp n trên K khả nghịch, được ký hiệu là GLn(K). b) Tính chất Nếu A, B là khả nghịch thì ma trận tích AB là khả nghịch và (AB)−1 = B −1 .A−1 . Nếu A khả nghịch thì AT khả nghịch và (AT )−1 = (A−1 )T . c) Mối quan hệ giữa ma trận khả nghịch và ma trận sơ cấp: Ma trận sơ cấp: Ma trận E vuông cấp n trên K (n ≥ 2) được gọi là ma trận sơ cấp dòng (cột) nếu E thu được từ ma trận đơn vị In bởi đúng 1 phép biến đổi sơ cấp dòng (cột). Các ma trận sơ cấp dòng hay cột gọi chung là ma trận sơ cấp. Tính chất: Mọi ma trận sơ cấp dòng (hay cột) đều khả nghịch và nghịch đảo của nó lại là một ma trận sơ cấp dòng.
8Chương 1. MA TRẬN, ĐỊNH THỨC VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH Ta có thể kiểm tra trực tiếp kết quả trên bằng thực nghiệm: Ma trận sơ cấp dạng 1: nhân 1 dòng của ma trận đơn vị với α = 0. dang1-eps-converted-to.pdf Ma trận sơ cấp dạng 2: cộng hàng i đã nhân với λ vào dòng j Ma trận sơ cấp dạng 3: Đổi chỗ dòng i và dòng j Định lý 1.21. Cho A là ma trận vuông cấp n trên K (n ≥ 2). Khi đó, các khẳng định sau đây là tương đương: 1. A khả nghịch 2. In nhận được từ A bởi một số hữu hạn các phép biến đổi sơ cấp dòng (cột) 3. A là tích của một số hữu hạn các ma trận sơ cấp Hệ quả 1.22. Cho A là ma trận vuông cấp n trên K (n ≥ 2). Khi đó, các khẳng định sau đây là tương đương: 1. A khả nghịch khi và chỉ khi dạng chính tắc của A là In
1.2. Định thức 9 2. Nếu A khả nghịch thì In nhận được từ A bởi một số hữu hạn các phép biến đổi sơ cấp dòng (cột); đồng thời, chính dãy các phép biến đổi sơ cấp dòng (cột) đó sẽ biến In thành nghịch đảo của ma trận A. Thuật toán Gauss – Jordan tìm ma trận nghịch đảo bằng phép biến đổi sơ cấp Ta sử dụng thuật toán Gauss – Jordan để tìm nghịch đảo (nếu có) của ma trận A vuông cấp n trên K. Thuật toán này được xây dựng dựa vào kết quả thứ 2 của Hệ quả 1.22. Ta thực hiện các bước sau đây: Bước 1: Lập ma trận gồm hai khối (A|In ) Bước 2: Dùng các phép biến đổi sơ cấp dòng để đưa [ A|I ] về dạng [ A’ | B ], trong đó A’ là một ma trận bậc thang chính tắc. - Nếu A = In thì A khả nghịch và A−1 = B - Nếu A = In thì A không khả nghịch (Nghĩa là, trong quá trình biến đổi nếu A’ xuất hiện ít nhất 1 dòng không thì lập tức kết luận A không khả nghịch). Ví dụ 1.23. Sử dụng thuật toán Gauss – Jordan để tìm ma trận nghịch đảo của: 0 1 −1 4 −3 4 3 −3 4 Từ đó suy ra A2008 Giải: Ta có: A khả nghịch và: 0 1 −1 A−1 = 4 −3 4 =A 3 −3 4 Từ A−1 = A ta có: A2 = I3 . Do đó: A2008 = (A2 )1004 = I3 = I3 . 1004 1.2 Định thức 1.2.1 Các khái niệm cơ bản về định thức Định nghĩa 1.24. Cho A = (aij ) ∈ Mn (K). Định thức ma trận A (ký hiệu detA hay |A|) là 1 giá trị được tính bởi công thức : det(A) = |A| = a11 A11 + a12 .A12 + ... + a1n .A1n
10Chương 1. MA TRẬN, ĐỊNH THỨC VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH trong đó: Aik = (−1)i+k .det(Mik ), Mik là ma trận vuông cấp (n – 1) nhận được từ ma trận A bằng cách bỏ đi dòng thứ i và cột thứ k. Đại lượng Aik được gọi là phần bù đại số của aik . Nhận xét - A = (a11 ) ⇒ detA = a11 . - A ∈ M2 (K) : detA = a b = a.(−1)1+1 .d + b.(−1)1+2 .c = ad − bc c d - A ∈ M3 (K) : a b c detA = d e f = a.(−1)1+1 h f + b.(−1)1+2 d f + c(−1)1+3 d h e i g i g e g h i = a(ei − hf ) − b(di − f g) + c(dh − eg) = (aei + bf g + cdh) − (ahf + bdi + ceg) 1 3 0 2 Ví dụ 1.25. Cho ma trận A = 4 1 2 −1 , tính detA. 3 1 0 2 2 3 3 5 1 3 0 2 1 2 −1 4 2 −1 detA = 4 1 2 −1 = 1.(−1)1+1 1 0 2 + 3.(−1)1+2 3 0 2 3 1 0 2 3 3 5 2 3 5 2 3 3 5 4 1 −1 4 1 2 +0.(−1)1+3 3 1 2 + 2.(−1)1+4 3 1 0 2 3 5 2 3 3 Chú ý - Từ kết quả trên ta có quy tắc Sarrus để tính định thức cấp 3 như sau: img0-eps-converted-to.pdf Quy tắc Sarrus
1.2. Định thức 11 - Từ quy tắc Sarrus, chúng ta còn có 1 quy tắc khác để tính nhanh định thức cấp 3: img1-eps-converted-to.pdf Ghép thêm cột thứ nhất và cột thứ hai vào bên phải định thức rồi nhân các phần tử trên các đường chéo như quy tắc thể hiện trên hình. - A ∈ M4 (K) : không có quy tắc tính như định thức cấp 2 và định thức cấp 3, mà phải dùng định nghĩa để tính trực tiếp. 2 3 1 Ví dụ 1.26. Cho ma trận A = 3 1 4 , tìm detA 1 2 2 Giải 2 3 1 detA = 3 1 4 = 2.1.2 + 3.2.1 + 3.4.1 − 1.1.1 − 2.4.2 − 3.3.2 = −13 1 2 2 Định lý 1.27. Với ma trận vuông cấp n (n > 2) ta có thể khai triển định thức của nó theo 1 dòng bất kỳ hoặc 1 cột bất kỳ theo các công thức sau: - Theo dòng i: det(A) = |A| = ai1 Ai1 + ai2 .Ai2 + ... + ain .Ain . - Theo cột j: det(A) = |A| = a1j A1j + a2j .A2j + ... + anj .Anj . Với Aij là phần bù đại số của phần tử aij được xác định như trên. 2 2 3 4 Ví dụ 1.28. Cho A = 2 0 1 0 . Tính detA. 4 0 3 2 4 1 2 5 Giải 2 2 3 4 detA = 2 0 1 0 4 0 3 2 4 1 2 5
12Chương 1. MA TRẬN, ĐỊNH THỨC VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH Nhận thấy dòng 2 có nhiều phần tử bằng 0 nhất nến ta khai triển theo dòng 2. Ta có: 2 3 4 2 2 4 detA = 2.(−1)2+1 0 3 2 + 1.(−1)2+3 4 0 2 1 2 5 4 1 5 Vậy: detA = -2(30+6-12-8) - (16+16-40-4) =-20. Ngoài ra, ta cũng nhận thấy cột 2 có nhiều phần tử bằng 0 nhất nên ta cũng có thể khai triển theo dòng 2. Ta có: 2 3 4 2 2 4 detA = 2.(−1)2+1 0 3 2 + 1.(−1)2+3 4 0 2 1 2 5 4 1 5 Vậy: detA = -2(30+8-8-20)+(4+24-16-12)=-20 Nhận xét: Giá trị của định thức của ma trận A là duy nhất. 1.2.2 Các tính chất của định thức: a) det(A) = det(AT ) . b) Nếu A là ma trận tam giác trên (dưới) thì định thức của nó bằng tích các số hạng nằm trên đường chéo chính. c) Khi nhân một số a vào một dòng (cột) nào đó thì định thức sẽ tăng lên a lần. Nghĩa là: có thể rút nhân tử chung của một dòng (cột) ra ngoài định thức. d) Nếu ma trận A có một dòng không (cột không) thì detA = 0. e) Nếu các phần tử của dòng i của ma trận A có dạng thì (với B, C là ma trận có được từ A bằng cách thay dòng i của A bởi các giá trị bi và cj tương ứng). Nghĩa là: a11 a12 ... a1n a11 a12 ... a a11 a12 ... a1n a21 a22 ... a2n a21 a22 ... a1n2n a21 a22 ... a2n ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... b1 + c 1 b2 + c 2 ... bn + cn = b1 b2 ... bn + c1 c2 ... cn ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... an1 an2 ... ann an1 an2 ... ann an1 an2 ... ann f) Nếu ma trận có hai dòng (cột) bằng nhau hoặc tỉ lệ nhau thì định thức bằng 0. g) Nếu đổi chỗ hai dòng (cột) bất kỳ thì định thức đổi dấu. h) Định thức không đổi nếu ta cộng vào một dòng (cột) nào đó m lần dòng (cột) khác. (Tính chất này được suy ra trực tiếp từ tính chất 4 và tính chất 5).
1.3. Hệ phương trình tuyến tính 13 1 a b+c 1 a+b+c b+c Ví dụ 1.29. a) A= 1 b c+a = 1 b+c+a c+a =0 1 c a+b 1 c+a+b a+b a 1 1 1 (do cột 1 và cột 2 tỉ lệ nhau) 1 a 1 1 . b) B = 1 1 a 1 1 1 1 a a+3 a+3 a+3 a+3 Cộng tất cả các dòng 2, 3, 4 vào dòng 1 ta có: B = 1 a 1 1 . 1 1 a 1 1 1 1 a 1 1 1 1 Rút nhân tử chung (a+3) ở dòng 1 ra ta được: B= (a + 3) 1 a a 1 . 1 1 1 1 1 1 1 a Sử dụng các phép biến đổi sơ cấp, chuyển ma trận về dạng bậc thang bằng cách di = di − d1 (i = 2, 3, 4) . 1 1 1 1 Ta có: B= (a + 3) 0 0 a−1 0 0 = (a − 3)(a − 1)3 0 a−1 0 0 0 0 a−1 1.3 Hệ phương trình tuyến tính 1.3.1 Các định nghĩa Định nghĩa 1.30. Một hệ gồm m phương trình của n ẩn số x1 , x2 , x3 , ..., xn có dạng: a11 x1 + a12 x2 + . . . + a1n xn = b1 a21 x1 + a22 x2 + . . . + a2n xn = b2 (1.1) (1.1) ...... am1 x1 + am2 x2 + . . . + amn xn = bm trong đó: aij , bi (i = 1, m; j = 1, n) ∈ R(C); aij –hệ số (của ẩn) ; bi – hệ số tự do. Nhận xét.   a11 a12 . . . a1n x1 b1 a21 a22 . . . a2n  b2  x2 Ta đặt: A = (aij )mxn = . . . . ;X =. . ; B =  . . . . . . ... . . xn . . am1 am2 . . . amn bm Khi đó, theo công thức của phép nhân ma trận ta có: Amxn .Xnx1 = Bmx1 . Hay hệ phương trình (1.1) có thể viết thành phương trình ma trận: AX = B (1.2) và được gọi là dạng ma trận của hệ phương trình. Trong đó: A – ma trận hệ số của (1.1) ; X – ma trận ẩn số (cột ẩn số) ; B – ma trận tự do. ¯ Ma trận A = [A|B] được gọi là ma trận mở rộng (ma trận bổ sung).
14Chương 1. MA TRẬN, ĐỊNH THỨC VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH Định nghĩa 1.31. Hai hệ phương trình tuyến tính cùng ẩn số được gọi là tương đương nếu chúng có cùng tập hợp nghiệm. x1 + x2 = 1 2x1 + x2 = 2 Ví dụ 1.32. Hai hệ phương trình x1 − x2 = 1 & x1 − 2x2 = 1 là hai hệ tương 3x1 + 4x2 = 3 đương vì chúng có cùng tập nghiệm là: x1 = 1; x2 = 0 Định nghĩa 1.33. Hệ tuyến tính có mọi hệ số vế phải đều bằng 0 được gọi là hệ tuyến tính thuần nhất, hay đơn giản là hệ thuần nhất. a11 x1 + a12 x2 + . . . + a1n xn = 0 a21 x1 + a22 x2 + . . . + a2n xn = 0 (1.3) ... am1 x1 + am2 x2 + . . . + amn xn = 0 1.3.2 Phương pháp giải hệ phương trình tuyến tính a) Hệ Cramer Định nghĩa 1.34. Hệ phương trình tuyến tính (tổng quát) gồm n phương trình và n ẩn được gọi là hệ Cramer, nếu ma trận của nó không suy biến. ( Cho A ∈ Mn (K), Bnx1 ∈ Mnx1 (K) thì AX = B gọi là hệ Cramer nếu detA = 0)) Định lý 1.35. ( Định lý Cramer). Mọi hệ Cramer n phương trình, n ẩn số đều có duy Dj nhất một nghiệm cho bởi công thức: xj = D ;j = 1; n (1.5). Trong đó D là định thức của ma trận hệ số A của hệ (1.1); Dj là định thức nhận được từ D bằng cách thay cột thứ j của D bằng cột hệ số tự do . b) Giải hệ phương trình Cramer bằng phương pháp dùng ma trận nghịch đảo. Hệ Cramer được viết dưới dạng ma trận AX = B, A không suy biến. Khi đó X = A−1 B (A−1 là ma trận nghịch đảo của A). x − 2y + z = 0 Ví dụ 1.36. Giải hệ phương trình: −2x + 3y + z = 3 . 3x + y − 4z = −7 1 −2 1 1 Ta có: A = −2 3 1 ;B = 3 . 3 1 −4 −7 1 −2 1 Khi đó: D = −2 3 1 = −14. 3 1 −4
1.4. Bài tập 15 Vậy hệ có nghiệm duy nhất. Cách 1: Dùng thuật toán Cramer Ta lại có: 0 −2 1 1 0 1 1 −2 0 Dx = 3 3 1 = 14; Dy = −2 3 1 = 0; Dz = −2 3 3 = −14. −7 1 −4 3 −7 −4 3 1 −7 Dx 14 Dy 0 Dz −14 Nên: x = D = −14 = −1; y = D = −14 = 0; z = D = −14 = 1. Cách 2: Dùng ma trận nghịch đảo  13 1 5  14 2 14 5 1 3 Ta có: A−1 =  14 2 14 . 11 1 1 14 2 14  13 1 5  x 14 5 2 1 14 3 0 −1 Vậy: X = y = . 3 = 0 . z 14 11 2 1 14 1 −7 1 14 2 14 c) Giải hệ phương trình bằng phương pháp Gauss Phương pháp Gauss: Cho hệ phương trình tuyến tính n ẩn, n phương trình a11 x1 + a12 x2 + . . . + a1n xn = 0 a21 x1 + a22 x2 + . . . + a2n xn = 0 ... am1 x1 + am2 x2 + . . . + amn xn = 0 Hệ này được viết dưới dạng ma trận AX = B. Khi đó ta dùng phép biến đổi sơ cấp trên những hàng của ma trận bổ sung (A|B), để nhận được ma trận bậc thang rút gọn hàng. 1.4 Bài tập 7 3 4 1 Bài 1.37. Tính định thức ∆ = 0 2 1 2 2 7 0 0 0 4 4 0 0 1 2 0 Bài 1.38. Tính định thức ∆ = 7 1 3 2 4 7 1 0 0 4 4 0 0 0 1 2 Bài 1.39. Tính định thức ∆ = 7 1 1 0 3 2 4 7 0 0 4 4 7 1 3 4 Bài 1.40. Tính định thức ∆ = 0 1 0 0 1 2 2 7 0 0 4 4