Bài giảng Toán cao cấp: Không gian véc tơ - Nguyễn Văn Phong

KHÔNG GIAN VÉC TƠ

Nguyễn Văn Phong

Nguyễn Văn Phong (BMT - TK)

ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH

Toán cao cấp - MS: MAT1006

1 / 17

Toán cao cấp - MS: MAT1006

Nội dung

1 KHÁI NIỆM CƠ BẢN

2 CƠ SỞ VÀ SỐ CHIỀU CỦA KHÔNG GIAN VÉC TƠ

3 HẠNG CỦA HỆ VÉC TƠ

Nguyễn Văn Phong (BMT - TK)

ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH

Toán cao cấp - MS: MAT1006

1 / 17

Không gian véc tơ

Định nghĩa Cho V (cid:54)= ∅ trên đó ta định nghĩa hai phép toán

+ : V × V → V

(u, v ) (cid:55)→ u + v · : R × V → V (k, u) (cid:55)→ ku

A1) u + v = v + u

M1) α (β) = (αβ) u

A2) (u + v ) + w = u + (v + w )

M2) α (u + v ) = αu + αv

A3) ∃!0 ∈ V : u + 0 = u

M3) (α + β) u = αu + βu

A4) ∃ − u ∈ V : u + (−u) = 0

M4) 1.u = u

Nguyễn Văn Phong (BMT - TK)

ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH

Toán cao cấp - MS: MAT1006

2 / 17

Với u, v , w ∈ V và α, β ∈ R, ta có một số tính chất sau:

Không gian véc tơ

Định nghĩa Cho V (cid:54)= ∅, với hai phép toán (+, ·). Khi đó, V được gọi là không gian vec tơ trên R nếu các phép toán trên V thoả mãn các tính chất A1 → A4 và M1 → M4.

Ví dụ. (cid:27) (cid:19) |a, b, c, d ∈ R với 1) Cho V = M2 (R) =

Nguyễn Văn Phong (BMT - TK)

ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH

Toán cao cấp - MS: MAT1006

3 / 17

(cid:26)(cid:18) a b c d hai phép toán cộng và nhân môt số với một ma trận lập thành một không gian véc tơ.

Không gian véc tơ

Định nghĩa Cho V (cid:54)= ∅, với hai phép toán (+, ·). Khi đó, V được gọi là không gian vec tơ trên R nếu các phép toán trên V thoả mãn các tính chất A1 → A4 và M1 → M4.

Ví dụ. 2) Cho V = Rn = {(x1, x2, ..., xn) |xi ∈ R}, với hai

phép toán

i) (x1, x2, ..., xn) + (y1, y2, ..., yn)

= (x1 + y1, x2 + y2, ..., xn + yn)

ii) k (x1, x2, ..., xn) = (kx1, kx2, ..., kxn)

Nguyễn Văn Phong (BMT - TK)

ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH

Toán cao cấp - MS: MAT1006

4 / 17

Cũng là một không gian véc tơ.

Tổ hợp tuyến tính

Định nghĩa Cho (V , +, ·) là không gian véc tơ. Khi đó,

i) Với u1, u2, ..., un ∈ V và k1, k2, ..., kn ∈ R, ta gọi

k1u1 + k2u2 + ... + knun

Là một tổ hợp tuyến tính các véc tơ u1, u2, ..., un ii) Với v ∈ V , ta nói v là tổ hợp tuyến tính của các véc tơ u1, u2, ..., un nếu ∃ k1, k2, . . . , kn ∈ R, sao cho

Nguyễn Văn Phong (BMT - TK)

ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH

Toán cao cấp - MS: MAT1006

5 / 17

v = k1u1 + k2u2 + ... + knun

Không gian con

Định nghĩa Cho (V , +, ·) là không gian véc tơ và W ⊂ V , W (cid:54)= ∅. Khi đó,

Nếu ∀u, v ∈ W và k ∈ R mà u + v , ku ∈ W thì ta

nói W là không gian con của V , ký hiệu W (cid:54) V

Ví dụ. Cho V = R2 = {(x1, x2) |x1, x2 ∈ R} và

a) W1 = {(x1, 0) |x1 ∈ R} b) W2 = {(x1, 1) |x1 ∈ R}

Nguyễn Văn Phong (BMT - TK)

ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH

Toán cao cấp - MS: MAT1006

6 / 17

Thì W1 (cid:54) V và W2 không là không gian con của V .

Không gian con

Hệ quả Tập hợp tất cả các nghiệm của hệ thuần nhất theo n ẩn số là một không gian con của Rn

Ví dụ. Cho hệ phương trình

 

 x1 + 2x2 + 4x3 − 3x4 = 0 3x1 + 5x2 + 6x3 − 4x4 = 0 4x1 + 5x2 − 2x3 + 3x4 = 0 3x1 + 8x2 + 24x3 − 19x4 = 0

Giải hệ trên ta nhận được tập nghiệm

W = {(8m − 7n, −6m + 5n, m, n) /m, n ∈ R}

Nguyễn Văn Phong (BMT - TK)

ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH

Toán cao cấp - MS: MAT1006

7 / 17

= (cid:104)(8, −6, 1, 0) , (−7, 5, 0, 1)(cid:105)

Không gian con

Định lý Cho V là không gian véc tơ và S = {u1, u2, ..., un} ⊂ V . Nếu

W = {k1u1 + k2u2 + ... + knun/k1, k2, ..., kn ∈ R}

thì

W (cid:54) V .

Khi đó ta nói S sinh ra W , ký hiệu W = (cid:104)S(cid:105)

Ví dụ. Cho W = {(x1 + x2, x1 − x2, x2) |x1, x2 ∈ R} Ta biểu diễn W dưới dạng

W = {x1 (1, 1, 0) + x2 (1, −1, 1) |x1, x2 ∈ R}

Nguyễn Văn Phong (BMT - TK)

ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH

Toán cao cấp - MS: MAT1006

8 / 17

Khi đó áp dụng kết quả trên, ta có W (cid:54) R3

Tập sinh

Định nghĩa Cho V là không gian véc tơ và S = {u1, u2, ..., un} ⊂ V . Khi đó

(cid:104)S(cid:105) = V ⇔ ∀v ∈ V , ∃k1, k2, ..., kn ∈ R sao cho

v = k1u1 + k2u2 + ... + knun

Ví dụ. Cho V = R3, và

a) S1 = {u1 = (1, 0, 0), u2 = (0, 1, 0), u3 = (0, 0, 1)} b) S2 = {u1 = (1, 2, 3), u2 = (4, 5, 6), u3 = (7, 8, 9)} c) S3 = {u1 = (1, 0, 0), u2 = (1, 1, 0), u3 = (1, 1, 1)}

Nguyễn Văn Phong (BMT - TK)

ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH

Toán cao cấp - MS: MAT1006

9 / 17

Các tập S1, S2, S3 có sinh ra V không ?

Độc lập tuyến tính

Định nghĩa Cho V là không gian véc tơ và S = {u1, u2, ..., un} ⊂ V . Khi đó, ta nói hệ S là độc lập tuyến tính Nếu

∀k1, k2, ..., kn ∈ R, k1u1 + k2u2 + ... + knun = 0

thì

k1 = k2 = ... = kn = 0

Nguyễn Văn Phong (BMT - TK)

ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH

Toán cao cấp - MS: MAT1006

10 / 17

Ngược lại, nếu S không độc lập tuyến tính ta nói S là phụ thuộc tuyến tính Ví dụ. Xét lại ví dụ trên, thì S1, S2, S3 là ĐLTT hay PTTT.

Cơ sở của không gian véc tơ

Định nghĩa Cho V là không gian véc tơ và B = {e1, e2, ..., en} ⊂ V . Ta nói B là một cơ sở của V nếu

i) (cid:104)B(cid:105) = V , ii) B độc lập tuyến tính.

Khi đó, ta nói V là hữu hạn chiều và số véc tơ độc lập tuyến là số chiều của V , ký hiệu dim V = n.

Ví dụ. Chứng minh rằng

B = {e1 = (1, 0, 0), e2 = (1, 1, 0), e3 = (1, 1, 1)}

Nguyễn Văn Phong (BMT - TK)

ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH

Toán cao cấp - MS: MAT1006

11 / 17

là một cơ sở của R3

Toạ độ của một véc tơ

Định nghĩa Cho B = {e1, e2, ..., en} là một cơ sở của V . Khi đó,

∀v ∈ V , ∃x1, x2, ..., xn ∈ R : v = x1e1 + x2e2 + ... + xnen

Ta gọi x1, x2, . . . , xn là toạ độ v trong cơ sở B, ký hiệu

 

[v ]B =        

Nguyễn Văn Phong (BMT - TK)

ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH

Toán cao cấp - MS: MAT1006

12 / 17

x1 x2 ... xn

Toạ độ của một véc tơ

Ví dụ. Tìm toạ độ của v = (1, 2, 3) trong

Nguyễn Văn Phong (BMT - TK)

ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH

Toán cao cấp - MS: MAT1006

13 / 17

a) B = {e1 = (1, 0, 0), e2 = (0, 1, 0), e3 = (0, 0, 1)} b) B(cid:48) = {e1 = (1, 0, 0), e2 = (1, 1, 0), e3 = (1, 1, 1)}

Ma trận chuyển cơ sở

Định nghĩa Cho B = {e1, e2, ..., en} và B(cid:48) = {f1, f2, ..., fn} là hai cơ sở của V . Ta định nghĩa ma trận

A = ([f1]B, [f2]B, ..., [fn]B)

là ma trận chuyển cơ sở từ B sang B(cid:48), ký hiệu PB→B(cid:48)

Ví dụ. Tìm ma trận chuyển cơ sở từ từ B sang B(cid:48), với

Nguyễn Văn Phong (BMT - TK)

ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH

Toán cao cấp - MS: MAT1006

14 / 17

B = {e1 = (1, 0, 0), e2 = (0, 1, 0), e3 = (0, 0, 1)} và B(cid:48) = {f1 = (1, 0, 0), f2 = (1, 1, 0), f3 = (1, 1, 1)}

Ma trận chuyển cơ sở

Định lý Cho B và B(cid:48) là hai cơ sở của V . Khi đó với mọi v ∈ V , ta có

Nguyễn Văn Phong (BMT - TK)

ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH

Toán cao cấp - MS: MAT1006

15 / 17

i) [v ]B = PB→B(cid:48)[v ]B(cid:48) ii) [v ]B(cid:48) = PB(cid:48)→B[v ]B iii) PB(cid:48)→B = (PB→B(cid:48))−1

Hạng của hệ véc tơ

Định nghĩa Cho V là một không gian véc tơ và S = {u1, u2, . . . , un}. Khi đó, số chiều của không gian con sinh bởi S được gọi là hạng của hệ véc tơ S. Ký hiệu dim W = r (S).

Lưu ý: Để tìm hạng của một hệ véc tơ, ta lập ma trận

 

A =      

[u1]T B [u2]T B ... [un]T B

Nguyễn Văn Phong (BMT - TK)

ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH

Toán cao cấp - MS: MAT1006

16 / 17

trong đó, B là cơ sở chính tắc. Khi đó, r (S) = r (A).

Hạng của hệ véc tơ Ví dụ. Cho hệ S = {u1, u2, u3, u4} ⊂ R3. Tìm r (S), với u1 = (1, 3, 0), u2 = (0, 2, 4), u3 = (2, 8, 4), u4 = (3, 13, 8). Lập

     

→ → A =                   1 3 0 0 2 4 0 2 4 0 4 8 1 3 0 0 2 4 0 0 0 0 0 0 1 3 0 0 2 4 2 8 4 3 13 8

Vậy r (S) = 2, nghĩa là ta tìm được một không gian con

Nguyễn Văn Phong (BMT - TK)

ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH

Toán cao cấp - MS: MAT1006

17 / 17

W = (cid:104)(1, 3, 0), (0, 2, 4)(cid:105) (cid:54) R3