intTypePromotion=1
zunia.vn Tuyển sinh 2024 dành cho Gen-Z zunia.vn zunia.vn
ADSENSE
 » 
 » 

Bài giảng Toán cao cấp (Phần đại số tuyến tính): Chương 10 - Ngô Thái Hưng

Chia sẻ: Sơn Tùng | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:32

Thêm vào BST
Báo xấu
183
lượt xem 12
download
 
  Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Bài giảng "Toán cao cấp (Phần Đại số tuyến tính) - Chương 10: Không gian vectơ" trình bày các nội dung: Định nghĩa không gian vectơ, không gian con – hệ sinh, độc lập tuyến tính – phụ thuộc tuyến tính, cơ sở - số chiều của KGVT,... Mời các bạn cùng tham khảo.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Bài giảng Toán cao cấp (Phần đại số tuyến tính): Chương 10 - Ngô Thái Hưng

  1. TRƯỜNG ðẠI HỌC TÀI CHÍNH – MARKETING BỘ MÔN KHOA HỌC CƠ BẢN -------- TOÁN CAO CẤP Ngô Thái Hưng Năm học 2009 1
  2. ðẠI SỐ TUYẾN TÍNH (Linear Algebra) CHƯƠNG IX Không Gian Vectơ (Vector Space) GV: Ngô Thái Hưng 2
  3. NỘI DUNG • ðỊNH NGHĨA KHÔNG GIAN VECTƠ • KHÔNG GIAN CON – HỆ SINH • ðỘC LẬP TUYẾN TÍNH – PHỤ THUỘC TUYẾN TÍNH • CƠ SỞ - SỐ CHIỀU CỦA KGVT • CƠ SỞ - SỐ CHIỀU CỦA KG CON SINH BỞI MỘT HỆ VECTƠ • TỌA ðỘ CỦA MỘT VECTƠ 3
  4. §1. Các khái niệm cơ bản 1. Không gian vectơ Cho tập hợp V ≠∅, trên V có hai phép toán : +:V×V → V i : ℝ×V → V ( u, v ) ֏ u + v ( k, u ) ֏ ku Phép toán trong Phép toán ngoài gọi là phép cộng gọi là phép nhân với số thực 4
  5. §1. Các khái niệm cơ bản 1. Không gian vectơ V ở trên ñược gọi là một không gian vectơ trên ℜ, ký hiệu nếu hai phép toán trên V thỏa các tính chất: ( V, +,i ) i. u+v = v+u v. h(k.u) = (h.k)u ii. (u+v)+w = u+(v+w) vi. h(u+v) = h.u + h.v iii. ∃! 0 ∈ V : u+0 = u vii. (h+k)u = h.u + k.u iv. ∃ −u ∈ V : u+(−u) = 0 viii. 1.u = u 5 0 ñược gọi là phần tử trung hòa của phép cộng.
  6. §1. Các khái niệm cơ bản 1. Không gian vectơ Ví dụ 1  a b   V = M2 ( ℝ ) =   / a, b, c, d ∈ ℝ   c d   V có hai phép toán: Cộng hai ma trận Nhân ma trận với một số thực ⇒ V là một không gian vectơ 6
  7. §1. Các khái niệm cơ bản 1. Không gian vectơ Ví dụ 2 Xét ℝ 3 = {( x, y, z) / x, y, z ∈ ℝ} , với hai phép toán: ( x1 , x2 , x3 ) + ( y1 , y2 , y3 ) = ( x1 + y1 , x2 + y 2 , x3 + y3 ) k ( x1 , x2 , x3 ) = ( kx1 , kx2 , kx3 ) ⇒ R3 là một không gian vectơ ⇒ Rn là một không gian vectơ 7
  8. §1. Các khái niệm cơ bản 2. Tổ hợp tuyến tính Cho ( V, +,i ) là một không gian vectơ. Với u1, u2, …, un ∈ V và k1, k2, …, kn ∈ ℜ, ta gọi k1u1 + k2u2 + … + knun là một tổ hợp tuyến tính các vectơ u1, u2, …, un Nếu u ∈ V và u = k1u1 + k2u2 + … + knun , u ñược gọi là biểu thị tuyến tính qua các vectơ u1, u2, …, un Nhận xét : một tổ hợp tuyến tính các vectơ trong V thì 8 cũng thuộc V
  9. §1. Các khái niệm cơ bản 2. Tổ hợp tuyến tính Ví dụ Cho V = ℜ3, u1=(1,1,0), u2=(0,1,1), u3=(1,0,1) ∈ V Với k1, k2, k3 ∈ ℜ, ta có các tổ hợp tuyến tính của u1, u2, u3 là : k 1 u1 + k 2 u 2 + k 3 u 3 = ( k 1 + k 3 , k 1 + k 2 , k 2 + k 3 ) ∈ ℝ 9
  10. §1. Các khái niệm cơ bản 3. Không gian vectơ con Cho V là một không gian vectơ, W là một tập con khác rỗng của V. Nếu ∀ u, v ∈ W, k ∈ ℜ, ta có u+v, k.u ∈ W Thì ta nói W là một không gian vectơ con của V (gọi tắt là không gian con), ký hiệu W ≤ V 10
  11. §1. Các khái niệm cơ bản 3. Không gian vectơ con Ví dụ Cho V = ℜ2 Xét W1={(x,0) | x ∈ ℜ}, nhận thấy rằng W1≠∅ và W1 ≤ V. Xét W2={(m,2m) | m ∈ ℜ}, nhận thấy rằng W2≠∅ và W2 ≤ V. 11
  12. §1. Các khái niệm cơ bản 4. Không gian sinh bởi tập hợp Cho V là một không gian vectơ, S = {u1, u2, …, un} ⊂ V, W là tập tất cả các tổ hợp tuyến tính các vectơ trong S ⇒ W ≤ V. Ta nói W sinh bởi S hay S sinh ra W. Ký hiệu W = = < u1, u2, …, un > hay W = SpanS. 12
  13. §1. Các khái niệm cơ bản 4. Không gian sinh bởi tập hợp Ví dụ Xét ℜ3 và W ≤ ℜ3, với W = {( m + n, m − n, n ) m, n ∈ ℝ} = {( m, m, 0 ) + ( n, −n, n ) m, n ∈ ℝ} = {m (1,1, 0 ) + n (1, −1,1) m, n ∈ ℝ} Vậy W= (1,1, 0) , (1, −1,1) 13
  14. §1. Các khái niệm cơ bản 4. Không gian sinh bởi tập hợp Hệ quả: Tập hợp tất cả các nghiệm của một HPT thuần nhất theo n ẩn là một không gian vectơ con của ℜn. Ví dụ  x1 + 2x 2 + 4x 3 − 3x 4 = 0  3x + 5x 2 + 6x 3 − 4x 4 = 0 ( I ) =  1  4x1 + 5x 2 − 2x 3 + 3x 4 = 0  3x1 + 8x 2 + 24x 3 − 19x 4 = 0 (I) có nghiệm ( 8m − 7n, −6m + 5n, m, n ) , m, n ∈ ℝ ⇒ Tập hợp nghiệm của hệ : 14 W = {( 8m − 7n, −6m + 5n, m, n ) / m, n ∈ ℝ} = ( 8, −6,1, 0) , ( −7, 5, 0,1)
  15. §1. Các khái niệm cơ bản 4. Không gian sinh bởi tập hợp Lưu ý: Khi = V, ta nói S sinh ra V. Khi ñó với mọi vectơ v thuộc V, v là một tổ hợp tuyến tính các phần tử trong S, nghĩa là: ∀v ∈ V, ∃k1 , k 2 ,..., k n ∈ ℝ : v = k1u1 + k 2u 2 + ... + k n u n 15
  16. §1. Các khái niệm cơ bản 4. Không gian sinh bởi tập hợp Ví dụ : chứng minh = V Xét V = ℜ3, S = {e1,e2,e3} ⊂ ℜ3, với e1=(1,1,0), e2=(1,0,1), e3=(0,1,1) Lấy v = (a,b,c) bất kỳ thuộc ℜ3, chứng minh = ℜ3 nghĩa là chứng minh v ∈ . v ∈ ⇔ ∃ k1,k2,k3∈ℜ : v = k1e1+k2e2+k3e3 ⇔ k1(1,1,0) + k2(1,0,1) + k3(0,1,1) = (a,b,c) 16
  17. §1. Các khái niệm cơ bản 5. Hệ vectơ ñộc lập tuyến tính Cho V là một không gian vectơ, S = {e1, e2, …, en} ⊂ V. S ñược gọi là ñộc lập tuyến tính nếu k1 , k 2 ,..., k n ∈ ℝ, k1e1 + k 2e2 + ... + k n en = 0 k1 = k 2 = ... = k n = 0 Ngược lại, S không ñộc lập tuyến tính và S ñược gọi là phụ thuộc tuyến tính, nghĩa là ∃k i ≠ 0, k1e1 + k 2e2 + ... + k n en = 0 17
  18. §1. Các khái niệm cơ bản 5. Hệ vectơ ñộc lập tuyến tính Ví dụ 1: chứng minh hệ vectơ ñộc lập tuyến tính Xét V = ℜ3, S = {e1,e2,e3} ⊂ ℜ3, với e1=(1,1,0), e2=(1,0,1), e3=(0,1,1) Xét k1e1 + k2e2 + k3e3 = 0, ⇔ k1(1,1,0) + k2(1,0,1) + k3(0,1,1) = (0,0,0) k1 = k2 = k3 =0 Hệ là hệ Cramer 18 thuần nhất
  19. §1. Các khái niệm cơ bản 5. Hệ vectơ ñộc lập tuyến tính Ví dụ 2: chứng minh hệ vectơ ñộc lập tuyến tính Xét V = ℜ3, S = {u1,u2,u3} ⊂ ℜ3, với u1=(1,-2,1), u2=(2,1,-1), u3=(7,-4,1) Xét k1u1 + k2u2 + k3u3 = 0, ⇔ k1(1,-2,1) + k2(2,1,-1) + k3(7,-4,1) = (0,0,0) 19
  20. §2. Cơ sở và số chiều của KGVT 1. ðịnh nghĩa Cho V là một KGVT, S = {e1,e2,…,en} ⊂ V. Ta nói S là một cơ sở của V nếu i. = V hay S sinh ra V ii. S ñộc lập tuyến tính Khi ñó, số chiều của V, ký hiệu dimV = n. Ta nói rằng V là KGVT hữu hạn chiều, và mọi cơ sở khác của V cũng ñều có ñúng n vectơ. 20
ADSENSE

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

THÔNG TIN
TRỢ GIÚP
HỖ TRỢ KHÁCH HÀNG
Theo dõi chúng tôi

Chịu trách nhiệm nội dung:

Nguyễn Công Hà - Giám đốc Công ty TNHH TÀI LIỆU TRỰC TUYẾN VI NA

LIÊN HỆ

Địa chỉ: P402, 54A Nơ Trang Long, Phường 14, Q.Bình Thạnh, TP.HCM

Hotline: 093 303 0098

Email: support@tailieu.vn

Giấy phép Mạng Xã Hội số: 670/GP-BTTTT cấp ngày 30/11/2015 Copyright © 2022-2032 TaiLieu.VN. All rights reserved.

 

Đồng bộ tài khoản
2=>2