intTypePromotion=1
zunia.vn Tuyển sinh 2024 dành cho Gen-Z zunia.vn zunia.vn
ADSENSE
 » 
 » 

Bài giảng Toán kinh tế - Chương 3: Tìm hiểu hàm nhiều biến

Chia sẻ: Phuc Nguyen | Ngày: | Loại File: PPT | Số trang:18

Thêm vào BST
Báo xấu
82
lượt xem 9
download
 
  Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Bài giảng cung cấp cho người học các kiến thức: Hàm nhiều biến, giới hạn và tính liên tục của hàm số, đạo hàm riêng,... Hi vọng đây sẽ là một tài liệu hữu ích dành cho các bạn sinh viên đang theo học môn dùng làm tài liệu học tập và nghiên cứu. Mời các bạn cùng tham khảo chi tiết nội dung tài liệu.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Bài giảng Toán kinh tế - Chương 3: Tìm hiểu hàm nhiều biến

  1. C3. HÀM NHIỀU BIẾN 1. MỘT SỐ KHÁI NIỆM CƠ BẢN Định nghĩa: Một bộ gồm n số thực được sắp xếp thứ tự, ký hiện (x1, x2,… xn) (xi R, i = 1,.. n) được gọi là một điểm n - chiều. Tập hợp các điểm n - chiều được ký hiệu là Rn. Rn = {x = (x1, x2,… xn): xi R, i = 1,.. n} Trong đó xi là toạ độ thứ i của điểm x. Định nghĩa: Khoảng các giữa 2 điểm x = (x1,x2,… xn), y = (y1,y2,… yn) Rn: n d ( x , y) (x i yi ) 2 i 1 05/31/18 Hàm số và giới hạn hàm số 1
  2. C3. HÀM NHIỀU BIẾN Một số tính chất của d: a) d(x,y) 0; d(x,y) = 0  xi = yi, I  x = y b) d(x,y) = d(y,x) c) d(x,y) d(x,z) + d (z,y) Lân cận: Cho x0 Rn và số r > 0. Tập S(x0, r) = {x Rn: d(x,x0) < r} được gọi là một lân cận của x0. Điểm trong: Điểm x0 Rn được gọi là điểm trong của D Rn nếu D chứa một lân cận của x0. Điểm biên, tập đóng: Điểm x0 Rn được gọi là điểm biên của D Rn nếu mọi lân cận của x0 đều chứa ít nhất các điểm x, y: x D, y D. Tập hợp mọi điểm biên của D được gọi là biên của D. Nếu biên của D thuộc D thì D được gọi là tập đóng. 05/31/18 Hàm số và giới hạn hàm số 2
  3. C3. HÀM NHIỀU BIẾN Điểm giới hạn: Điểm x0 Rn được gọi là điểm giới hạn của D Rn nếu mọi lân cận của x0 chứa ít nhất một điểm x: x D, x≠x0. Đặc biệt, nếu điểm x0 D không phải là điểm giới hạn thì nó được gọi là điểm cô lập của D. Hàm nhiều: D Rn. Một ánh xạ f: D R, tức là một qui tắc (x1, x2,… xn) D một số thực z được gọi là hàm số n biến. Ký hiệu: f : ( x1, x 2 ,...x n )  z f ( x1, x 2 ,...x n ) D: miền xác định f(D) = {z D z = f(x1, x2,… xn), (x1, x2,… xn) D} gọi là miền giá trị 05/31/18 Hàm số và giới hạn hàm số 3
  4. C3. HÀM NHIỀU BIẾN Hàm 2 biến: D R2. Một ánh xạ f: D R, tức là một qui tắc (x,y) D một số thực z được gọi là hàm số 2 biến. Ký hiệu: f : ( x , y)  z f ( x , y) D: miền xác định f(D) = {z D z = f(x,y), (x,y) D} gọi là miền giá trị Ví dụ: Tìm miền xác định: z = 2x – 3y +5 z = ln(x + y -1) z 1 x 2 y2 05/31/18 Hàm số và giới hạn hàm số 4
  5. C3. HÀM NHIỀU BIẾN 2. GIỚI HẠN VÀ TÍNH LIÊN TỤC CỦA HÀM SỐ Định nghĩa: Cho hàm số f(x,y) xác định trên D R2 và M0(x0,y0) là điểm giới hạn của D . Số thực L được gọi là giới hạn của f khi M(x,y) tiến dần đến M0(x0,y0), nếu: > 0, > 0: d(M,M , 0) < => f(M) – L < d(M, M 0 ) (x ­, x 0 ) 2 (y ­ y 0 ) 2 lim f (M ) L lim f ( x , y) L lim f ( x , y) L M M0 ( x , y) ( x 0 , y0 ) x x0 y y0 05/31/18 Hàm số và giới hạn hàm số 5
  6. C3. HÀM NHIỀU BIẾN • Khái niệm vô hạn cũng được định nghĩa tương tự như đối với hàm số một biến. • Các định lý về giới hạn của tổng, tích, thương đối với hàm số một biến cũng đúng cho hàm số nhiều biến. Ví dụ: xy lim ( x , y ) ( 0, 0 ) x2 y2 sin( x 2 y2 ) lim ( x , y ) ( 0, 0 ) x2 y2 05/31/18 Hàm số và giới hạn hàm số 6
  7. C3. HÀM NHIỀU BIẾN Định nghĩa: Nếu lim f ( x , y) f (x 0 , y0 ) ( x ,y) ( x 0 , y0 ) Thì f được gọi là liên tục tại (x0,y0) • Các định lý về giới hạn của tổng, tích, thương đối với hàm số một biến cũng đúng cho hàm số nhiều biến. Định lý: Nếu f(x,y) liên tục trên một tập đóng và bị chặn trên D R2 thì f đạt giá trị lớn nhất và nhỏ nhất trên D. 05/31/18 Hàm số và giới hạn hàm số 7
  8. C3. HÀM NHIỀU BIẾN 3. ĐẠO HÀM RIÊNG Định nghĩa: z = f(x,y) là một hàm số xác định trong miền D, M0(x0,y0) D. Nếu cho y = y0, y0 là hằng số, hàm số một biến f(x,y0) có đạo hàm tại x = x0, thì đạo hàm đó được gọi là đạo hàm riêng của f đối với x tại M0. Ký hiệu: f z f x' ( x 0 , y 0 ),   ( x 0 , y 0 ),   ( x 0 , y 0 ) x x Đặt x f = f(x0 + x, y0) - f(x0,y0): Số gia riêng của f tại M0. f xf   (x 0 , y0 ) lim , f x' x x 0 x 05/31/18 Hàm số và giới hạn hàm số 8
  9. C3. HÀM NHIỀU BIẾN Tương tự ta cũng có định nghĩa đạo hàm riêng của f theo biến y. f yf   ( x 0 , y 0 ) lim , f y' y y 0 y Tương tự ta cũng có đạo hàm riêng đối với hàm n biến số (n 3). Ví dụ: Tính các đạo hàm riêng: z x 4 5x 3 y 2 2y4 u xy 05/31/18 Hàm số và giới hạn hàm số 9
  10. C3. HÀM NHIỀU BIẾN Đạo hàm riêng cấp cao: Định nghĩa: Cho hàm số f(x,y). Các đạo hàm riêng f’x, f’y được gọi là những đạo hàm riêng cấp 1. Các đạo hàm riêng của đạo hàm riêng cấp 1 nếu tồn tại được gọi là đạo hàm riêng cấp 2. Ta có 4 đạo hàm riêng: 2 2 f f f f '' f '' 2 ( x , y) f yx ( x , y) x x x2 x y x y x 2 2 f f '' f f f xy ( x , y) f '' 2 ( x , y) x y x y y y y y y Tương tự, ta có thể định nghĩa các đạo hàm riêng cấp 3,… 05/31/18 Hàm số và giới hạn hàm số 10
  11. C3. HÀM NHIỀU BIẾN Định lý (Schwarz): Nếu trong lân cận nào đó của M0 hàm số f(x,y) tồn tại các đạo hàm riêng và liên tục tại M0 thì fxy = fyx tại M0. Định lý này cũng đúng cho các đạo hàm riêng cấp cao hơn của n biến số (n 3) Đạo hàm của hàm số hợp: Nếu hàm số z = f(u,v) là các hàm số khả vi của u,v và các hàm số u = u(x,y), v = v(x,y) có các đạo hàm riêng ux, uy, vx, vy thì tồn tại các đạo hàm riêng: z f u f v z f u f v x u x v x y u y v y Ví dụ: Tính z = eucosv, u = xy, v = x/y 05/31/18 Hàm số và giới hạn hàm số 11
  12. C3. HÀM NHIỀU BIẾN 3. ĐẠO HÀM HÀM ẨN Định nghĩa hàm số ẩn 1 biến: Cho phương trình F(x,y) = 0 Nếu tồn tại hàm số y = f(x) sao cho F(x,f(x)) = 0, x (A,B) thì f được gọi là hàm số ẩn từ phương trình F(x,y) = 0. * Chú ý rằng mọi hàm số ẩn đều biểu diễn được dưới dạng y = f(x). Ví dụ: xy – ex + ey = 0 05/31/18 Hàm số và giới hạn hàm số 12
  13. C3. HÀM NHIỀU BIẾN Đạo hàm của hàm số ẩn 1 biến: Fx y' Fy Ví dụ: Tính y’ nếu: F(x,y) = x3 + y3 – 3axy = 0 F(x,y) = xy – ex + ey = 0 05/31/18 Hàm số và giới hạn hàm số 13
  14. C3. HÀM NHIỀU BIẾN Định nghĩa hàm số ẩn 2 biến: Cho phương trình F(x,y,z) = 0. Nếu tồn tại hàm số hai biến z = f(x,y) sao cho F(x,y,z) = 0, với mọi x, y thuộc miền xác định của f, thì f được gọi là hàm số ẩn từ phương trình F(x,y,z) = 0. Đạo hàm của hàm số ẩn 2 biến: z Fx z Fy x Fz y Fz Ví dụ: tính zx, zy nếu xyz = cos(x+y+z) 05/31/18 Hàm số và giới hạn hàm số 14
  15. C3. HÀM NHIỀU BIẾN 4. CỰC TRỊ Cực trị tự do: Định nghĩa: Hàm số f(x,y) đạt cực đại (cực tiểu) tại điểm M0(x0,y0) nếu tồn tại một lân cận của M0 sao cho f(M) f(M0), M (f(M) f(M0), M ). F(M0) gọi chung là cực trị. Ví dụ: Tìm cực trị của hàm số z = x2 + y2 Điều kiện cần để có cực trị: Nếu f(x0,y0) là cực trị của f và f có đạo hàm riêng tại (x0,y0) thì: f’x(x0,y0) = 0, f’y(x0,y0) = 0 Ta có khái niệm điểm dừng như trong trường hợp hàm một biến: Nếu tại (x0,y0) các đạo hàm riêng không tồn tại hoặc bằng 0 được gọi là điểm dừng của f. 05/31/18 Hàm số và giới hạn hàm số 15
  16. C3. HÀM NHIỀU BIẾN Điều kiện đủ của cực trị: Giả sử M0(x0,y0) là một điểm dừng của hàm số f(x,y) có đạo hàm riêng cấp 2 ở lân cận của M0. Đặt: r = fxx(M0) , s = fxy(M0) , t = fyy(M0) 1) Nếu s2 – rt < 0: thì f đạt cực trị tại M0. Nếu r > 0 (r < 0) thì f đạt cực tiểu (cực đại) 2) Nếu s2 – rt > 0: f không đạt cực trị tại M0. 3) Nếu s2 – rt = 0: Chưa kết luận được (trường hợp nghi ngờ) Ví dụ: tìm cực trị hàm số z = x2 + y2 + 4x – 2y + 8, z = x3 + y 3 05/31/18 Hàm số và giới hạn hàm số 16
  17. C3. HÀM NHIỀU BIẾN Cực trị có điều kiện: Định nghĩa: Người ta gọi cực trị của hàm số z = f(x,y) trong đó các biến x,y bị ràng buộc bởi hệ thức g(x,y) = 0 là cực trị có điều kiện. Điều kiện cần (Phương pháp nhân tử Lagrange): Nếu f(x,y) đạt cực trị có điều kiện g(x,y) = 0 tại điểm M0 thì tồn tại sao cho: f x (M 0 ) g x (M 0 ) 0 f y (M 0 ) g y (M 0 ) 0 Ví dụ: Tìm cực trị của hàm số z = x2 + y2 với điều kiện x + y + 2 = 0. 05/31/18 Hàm số và giới hạn hàm số 17
  18. C3. HÀM NHIỀU BIẾN Phương pháp nhân tử Lagrange có thể mở rộng cho hàm số n biến (n 3): Giả sử M0(x0,y0,z0) là cực trị có điều kiện của hàm số u = f(x,y,z) với điều kiện g(x,y,z) = 0 thì: f x (M 0 ) g x (M 0 ) 0 f y (M 0 ) g y (M 0 ) 0 f z (M 0 ) g z (M 0 ) 0 Ví dụ: Tìm cực trị hàm số u = x – 2y + 2z với điều kiện x2 + y2 + z2 – 1 = 0 05/31/18 Hàm số và giới hạn hàm số 18
ADSENSE

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

THÔNG TIN
TRỢ GIÚP
HỖ TRỢ KHÁCH HÀNG
Theo dõi chúng tôi

Chịu trách nhiệm nội dung:

Nguyễn Công Hà - Giám đốc Công ty TNHH TÀI LIỆU TRỰC TUYẾN VI NA

LIÊN HỆ

Địa chỉ: P402, 54A Nơ Trang Long, Phường 14, Q.Bình Thạnh, TP.HCM

Hotline: 093 303 0098

Email: support@tailieu.vn

Giấy phép Mạng Xã Hội số: 670/GP-BTTTT cấp ngày 30/11/2015 Copyright © 2022-2032 TaiLieu.VN. All rights reserved.

 

Đồng bộ tài khoản
5=>2