intTypePromotion=1
zunia.vn Tuyển sinh 2024 dành cho Gen-Z zunia.vn zunia.vn
ADSENSE
 » 
 » 

Bài giảng Toán kinh tế: Chương 4 - Nguyễn Ngọc Lam

Chia sẻ: Vdgv Vdgv | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:34

Thêm vào BST
Báo xấu
248
lượt xem 35
download
 
  Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Sau khi học xong chương 4 Đạo hàm – vi phân nằm trong bài giảng toán kinh tế nhằm trình bày về các nội dung chính như sau: định nghĩa đạo hàm một biến, đạo hàm một phía, đạo hàm trên khoảng, đoạn, đạo hàm của tổng thương tích của hai hàm số.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Bài giảng Toán kinh tế: Chương 4 - Nguyễn Ngọc Lam

  1. C4. ĐẠO HÀM – VI PHÂN 1. ĐẠO HÀM HÀM SỐ MỘT BIẾN Định nghĩa: Cho y = f(x) xác định trong (a,b), x0  (a,b). Đạo hàm của f tại x0 được định nghĩa và ký hiệu: f (x )  f ( x 0 ) f ' ( x 0 )  lim x  x0 x  x0 Gọi x = x – x0: Số gia của x tại x0 y = f(x0 + x) – f(x0): Số gia của y tại x0 y dy df y '  lim , x  0  x dx dx 87
  2. C4. ĐẠO HÀM – VI PHÂN Đạo hàm một phía:  f (x 0 ) - Đạo hàm bên phải: f ' (x 0 )  lim x  0   x  f (x 0 ) - Đạo hàm bên trái: f ' ( x 0 )  lim x 0  x Định lý: f’(x0) tồn tại f’(x0+) = f’(x0-) Định lý: Nếu f có đạo hàm tại x0 thì f liên tục tại x0. Ví dụ: Xét đạo hàm và tính liên tục của f = |x| tại x0 = 0 88
  3. C4. ĐẠO HÀM – VI PHÂN Đạo hàm trên khoảng, đoạn: - f(x) có đạo hàm trên khoảng (a,b) nếu nó có đạo hàm tại mọi điểm trong khoảng đó, - f(x) có đạo hàm trên đoạn [a,b] nếu nó có đạo hàm tại mọi điểm trong khoảng (a,b), có đạo hàm phải tại a và đạo hàm trái tại b Ví dụ: Tìm đạo hàm của y = x2, y = sinx Ý nghĩa của đạo hàm: • Hệ số góc của tiếp tuyến tại x0 • Đường cong liên tục • Sự biến động của y khi x tăng lên 1 đơn vị 89
  4. C4. ĐẠO HÀM – VI PHÂN Đạo hàm của tổng thương tích của hai hàm số: • (u + v)’ = u’ + v’ • (u.v)’ = u’v + v’u u ' u' v  v' u •     (v  0) => (ku)’ = ku’ (k hằng số) v v2 Ví dụ, tìm đạo hàm: y = x2 + sinx, y = x2sinx Đạo hàm của hàm số hợp: Cho u = u(x) có đạo hàm tại x0, hàm y = f(u) có đạo hàm tại u thì hàm hợp f(u) có đạo hàm tại x0 và y’x = y’u.u’x Ví dụ, Tìm đạo hàm y = sin2x 90
  5. C4. ĐẠO HÀM – VI PHÂN Đạo hàm của hàm số ngược: Cho y = f(x) có đạo hàm tại x, f’(x) ≠ 0 và có hàm số ngược -1(y) thì: (f 1)'  1 x=f y ' fx Ví dụ, tìm đạo hàm của y = arcsinx 91
  6. C4. ĐẠO HÀM – VI PHÂN (c)’ = 0 1 Đạo hàm (log a x )'  các hàm số (x )’ = x-1 x ln a 1 sơ cấp cơ (ax)’ = axlna (ln x )'  x bản: (ex)’ = ex 1 (arcsin x )'  (sinx)’ = cosx 1  x2 (cosx)’ = -sinx 1 (arccos x )'   ( tgx )'  1 1 x2 cos 2 x 1 ( arctgx )'  1 1  x2 (cot gx )'   1 sin 2 x ( arc cot gx )'   1  x2 Ví dụ, tính đạo hàm y = u(x)v(x) 92
  7. C4. ĐẠO HÀM – VI PHÂN Đạo hàm cấp cao : Nếu hàm số y = f(x) có đạo hàm thì y’ = f’(x) gọi là đạo hàm cấp 1. Đạo hàm, nếu có, của đạo hàm cấp 1 gọi là đạo hàm cấp 2. Ký hiệu: y’’(x), f’’(x) d2 y d2 f 2 , dx dx 2 Tương tự, đạo hàm của đạo hàm cấp (n-1) là đạo hàm cấp n. Ký hiệu: f(n)(x), y(n)(x). dny dnf n , dx dxn 93
  8. C4. ĐẠO HÀM – VI PHÂN Ví dụ: Tìm đạo hàm cấp n: 1. y = ex 2. y = ax 3. y = lnx 4. y = x Một vài công thức: (n)  y  sin x  y  sin( x  n ) 2 (n)  y  cos x  y  cos( x  n ) 2 94
  9. C4. ĐẠO HÀM – VI PHÂN Công thức Leibniz: Giả sử hàm số u, v có đạo hàm liên tiếp đến n. Khi đó ta có: (u + v)(n) = u(n) + v(n) n (uv )(n )   Ck u(n  k ) .v (k ) trong đó u(0) = u, v(0) = v n k 0 95
  10. C4. ĐẠO HÀM – VI PHÂN 2. VI PHÂN Định nghĩa: Hàm số y = f(x) được gọi là khả vi tại x 0 nếu tồn tại A sao cho f = A.x + 0(x). Biểu thức df = A.x được gọi là vi phân của f tại x0. Định lý: f(x) khả vi tại x0  f có đạo hàm và f’(x0) = A. Vi phân của tổng, tích, thương: d(u + v) = du + dv d(u.v) = vdu + udv  u  vdu  udv d   v v2 96
  11. C4. ĐẠO HÀM – VI PHÂN Công thức tính xấp xỉ: Nếu f(x) khả vi tại x và khi |x| gần 0 ta có: f(x+x) – f(x)  f’(x)x hay f(x+x)  f(x) + f’(x)x Ví dụ: Tính gần đúng (15,8)1/4 Định nghĩa: Cho hàm số y = f(x) và f(n-1) khả vi, ta ký hiệu dny = y(n)dxn được gọi là vi phân cấp n của hàm số f. 97
  12. C4. ĐẠO HÀM – VI PHÂN 3. CÁC ĐỊNH LÝ VỀ ĐẠO HÀM Định lý Rolle: Nếu f là hàm số liên tục trên [a,b], khả vi trong (a,b) và f(a) = f(b) thì tồn tại c  (a,b) sao cho f’(c) = 0. Định lý Lagrange: Nếu f là hàm số liên tục trên [a,b], khả vi trong (a,b) thì tồn tại c  (a,b) sao cho f (b )  f (a )  f ' (c ) ba Nhận xét: Định lý Rolle là một trường hợp đặc biệt của định lý Lagrange trong trường hợp f(b) = f(a). 98
  13. C4. ĐẠO HÀM – VI PHÂN Định lý Cauchy: Nếu f , g cùng liên tục trên [a,b], khả vi trong khoảng (a,b) và g’(x) ≠ 0, x  (a,b) thì tồn tại c  (a,b) sao cho f (b)  f (a ) f ' (c )  g(b)  g(a) g' (c) Nhận xét: Định lý Lagrange là một trường hợp đặc biệt của định lý Cauchy trong trường hợp g(x) = x. 99
  14. C4. ĐẠO HÀM – VI PHÂN Định lý Taylor: Nếu hàm số f khả vi đến cấp (n+1) trong lân cận D của x0 thì x  D, x ≠ x0 thì tồn tại c nằm giữa x và x0 sao cho: f ' (x 0 ) f " ( x0 ) f (x )  f (x 0 )  (x  x0 )  (x  x 0 )2  ... 1! 2! f (n) ( x0 ) f (n1) (c ) ...  (x  x 0 )n  (x  x0 )n 1 n! (n  1)! Số hạng cuối cùng được gọi là phần dư Lagrange f (n1) (c ) n 1 Rn (x )  (x  x 0 ) (n  1)! 100
  15. C4. ĐẠO HÀM – VI PHÂN • Đa thức Taylor: n f (k ) ( x 0 ) k Pn( x )   (x  x0 ) k 0 k! Khi x0=0 thì công thức Taylor trở thành công thức Maclaurin f ' (0) f " ( 0) 2 f (n) (0) n f (n 1) (c ) n1 f ( x )  f ( 0)  x x  ...  x  x 1 ! 2! n! (n  1)! 101
  16. C4. ĐẠO HÀM – VI PHÂN L’Hospital khử dựng vô định khi tìm giới hạn Định lý: Giả sử f, g khả vi trong (a,b), g’(x) ≠ 0 với mọi x  (a,b) f (x ) f ' (x ) lim f ( x )  lim g( x )  0 lim  lim L x a x a x  a g( x ) x  a g' ( x ) Nhận xét: Qui tắc L’Hospital vẫn đúng nếu: lim f ( x )  lim g( x )  0 lim f ( x )  lim g( x )   x  x  x a x a lim f ( x )  lim g( x )   x  x • Qui tắc L’Hospital có thể áp dụng nhiều lần. 102
  17. C4. ĐẠO HÀM – VI PHÂN 1. Dạng 0/0, / Ví dụ: Tìm các giới hạn sau (dạng 0/0)  x  sin x tgx  x  arctgx lim lim lim 2 x 0 x3 x  0 x  sin x x 1 x Ví dụ: Tìm giới hạn sau (dạng /) n ln x ln x x lim lim lim x  0  cot gx x   x n x   e x 103
  18. C4. ĐẠO HÀM – VI PHÂN 2. Dạng 0.,  - : Chuyển chúng về dạng 0/0, /. Ví dụ: 5 2 1 lim x ln x lim ( 4  x ) tg(  x / 4 ) lim (  tgx ) x 0 x 2 x   / 2 cos x 3. Dạng vô định: 00, 1 ,  0: Ta xét limfg = elimg.lnf (f > 0) Ví dụ: 2 1 x2 lim x lim x 1 x lim (cot gx )ln x x 0 x1 x 0 104
  19. C4. ĐẠO HÀM – VI PHÂN CỰC TRỊ Định nghĩa: Hàm số f được gọi là đạt cực đại (cực tiểu) tại x0 nếu tồn tại một lân cận của x0 sao cho f(x)  f(x0) (f(x)  f(x0)). Chiều biến thiên của hàm số: Định lý: Cho f khả vi trong (a,b): 1. Nếu f’(x) > 0 với mọi x  (a,b) thì f tăng. 2. Nếu f’(x) < 0 với mọi x  (a,b) thì f giảm. 105
  20. C4. ĐẠO HÀM – VI PHÂN Điều kiện cần của cực trị: Định lý Fermat: Nếu hàm số đạt cực trị tại điểm x0 và có đạo hàm tại điểm đó thì f’(x0) = 0. Ví dụ: Xét đạo hàm tại x = 0: y = x3 , y = |x| Định nghĩa: Các điểm thoả một trong các điều kiện sau thì được gọi chung là điểm tới hạn của f: a) Không tồn tại f’(x) b) f’(x) = 0 Định nghĩa: Các điểm thoả điều kiện sau f’(x) = 0 được gọi là điểm dừng của f. 106
ADSENSE

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

THÔNG TIN
TRỢ GIÚP
HỖ TRỢ KHÁCH HÀNG
Theo dõi chúng tôi

Chịu trách nhiệm nội dung:

Nguyễn Công Hà - Giám đốc Công ty TNHH TÀI LIỆU TRỰC TUYẾN VI NA

LIÊN HỆ

Địa chỉ: P402, 54A Nơ Trang Long, Phường 14, Q.Bình Thạnh, TP.HCM

Hotline: 093 303 0098

Email: support@tailieu.vn

Giấy phép Mạng Xã Hội số: 670/GP-BTTTT cấp ngày 30/11/2015 Copyright © 2022-2032 TaiLieu.VN. All rights reserved.

 

Đồng bộ tài khoản
2=>2