Bài giảng Toán thống kê cho khoa học xã hội - ĐH Lâm Nghiệp

Chia sẻ: Ermintrudetran Ermintrudetran | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:96

Thêm vào BST

Báo xấu

61
lượt xem 5
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Nội dung gồm các bài tập được trình bày theo các chương: Đại cương về lý thuyết xác suất; Thống kê mô tả; Ước lượng tham số; Kiểm định giả thiết thống kê; Bài toán so sánh; Sơ lược về lý thuyết tương quan và hồi quy tuyến tính. Mời các bạn cùng tham khảo!

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Bài giảng Toán thống kê cho khoa học xã hội - ĐH Lâm Nghiệp

ThS. NGUYỄN THỊ VÂN HÒA (Chủ biên) ThS. ĐẶNG THỊ NGỌC ÁNH, ThS. VŨ THỊ KHUYÊN ThS. NGUYỄN THỊ THU TO¸N THèNG K£ CHO KHOA HäC X· HéI TRƯỜNG ĐẠI HỌC LÂM NGHIỆP - 2019
ThS. NGUYỄN THỊ VÂN HÒA (Chủ biên) ThS. ĐẶNG THỊ NGỌC ÁNH, ThS. VŨ THỊ KHUYÊN ThS. NGUYỄN THỊ THU BÀI GIẢNG TOÁN THỐNG KÊ CHO KHOA HỌC XÃ HỘI TRƢỜNG ĐẠI HỌC LÂM NGHIỆP - 2019
MỤC LỤC MỤC LỤC .............................................................................................................. i LỜI NÓI ĐẦU ...................................................................................................... 1 Chƣơng 1. ĐẠI CƢƠNG VỀ LÝ THUYẾT XÁC SUẤT ................................ 3 1.1. Biến cố ngẫu nhiên và xác suất .................................................................. 3 1.1.1. Ý nghĩa của xác suất............................................................................. 3 1.1.2. Phép thử và biến cố .............................................................................. 3 1.1.3. Quan hệ giữa các biến cố ..................................................................... 4 1.2. Định nghĩa xác suất cổ điển ....................................................................... 4 1.2.1. Phương pháp liệt kê các phần tử.......................................................... 5 1.2.2. Phương pháp dùng các quy tắc đếm .................................................... 6 1.3. Các công thức tính xác suất ....................................................................... 8 1.3.1. Công thức cộng xác suất ...................................................................... 8 1.3.2. Công thức nhân xác suất .................................................................... 10 1.4. Công thức Bernoulli ................................................................................. 12 1.4.1. Dãy phép thử Bernoulli ...................................................................... 12 1.4.2. Công thức Bernoulli ........................................................................... 13 1.5. Biến ngẫu nhiên rời rạc ............................................................................ 15 1.5.1. Khái niệm biến ngẫu nhiên rời rạc .................................................... 15 1.5.2. Bảng phân phối xác suất .................................................................... 16 1.5.3. Các số đặc trưng của biến ngẫu nhiên rời rạc .................................. 18 1.5.4. Phân phối nhị thức ............................................................................. 21 1.6. Biến ngẫu nhiên liên tục ........................................................................... 21 1.6.1. Khái niệm biến ngẫu nhiên liên tục.................................................... 21 1.6.2. Phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên liên tục .............................. 21 1.6.3. Các số đặc trưng của biến ngẫu nhiên liên tục .................................. 24 1.6.4. Phân phối chuẩn................................................................................. 25 BÀI TẬP.............................................................................................................. 28 Chƣơng 2. MẪU THỐNG KÊ VÀ ƢỚC LƢỢNG THAM SỐ..................... 34 2.1. Giới thiệu bài toán .................................................................................... 34 2.2. Lý thuyết mẫu .......................................................................................... 34 2.3. Mẫu ngẫu nhiên ........................................................................................ 35 2.4. Cách thu gọn và biểu diễn số liệu ............................................................ 36 2.5. Các số đặc trưng mẫu ............................................................................... 41 i
2.5.1. Kỳ vọng mẫu, phương sai mẫu ........................................................... 41 2.5.2. Cách tính giá trị cụ thể của trung bình mẫu và phương sai mẫu ...... 42 2.5.3. Các đặc trưng khác ............................................................................ 43 2.5.4. Phân phối của kỳ vọng mẫu và phương sai mẫu ................................ 45 BÀI TẬP .............................................................................................................. 46 Chƣơng 3. ƢỚC LƢỢNG THAM SỐ ............................................................. 47 3.1. Ước lượng điểm........................................................................................ 47 3.2. Ước lượng khoảng .................................................................................... 48 3.2.1. Khoảng tin cậy cho kỳ vọng của biến ngẫu nhiên X có phân phối chuẩn ............................................................................................................ 49 3.2.2. Khoảng tin cậy cho xác suất............................................................... 51 3.2.3. Bài toán xác định cỡ mẫu ................................................................... 52 BÀI TẬP .............................................................................................................. 54 Chƣơng 4. KIỂM ĐỊNH GIẢ THIẾT THỐNG KÊ ...................................... 57 4.1. Đặt vấn đề ................................................................................................. 57 4.2. Bài toán và phương pháp chung giải quyết kiểm định giả thiết .............. 58 4.3. Các bài toán kiểm định giả thiết thường gặp ........................................... 60 4.3.1. Bài toán kiểm định giả thiết cho kì vọng ............................................ 60 4.3.2. Kiểm định cho xác suất hay tỉ lệ......................................................... 65 BÀI TẬP .............................................................................................................. 67 Chƣơng 5. BÀI TOÁN SO SÁNH .................................................................... 69 5.1. So sánh hai giá trị trung bình ................................................................... 69 5.2. Bài toán so sánh hai tỉ lệ (xác suất) .......................................................... 72 5.3. Kiểm định tính độc lập của hai biến ngẫu nhiên (hai dấu hiệu) .............. 74 BÀI TẬP .............................................................................................................. 77 Chƣơng 6. SƠ LƢỢC VỀ LÝ THUYẾT TƢƠNG QUAN VÀ HỒI QUY TUYẾN TÍNH .................................................................................................... 79 6.1. Phân tích tương quan tuyến tính............................................................... 79 6.1.1. Hệ số tương quan ............................................................................... 79 6.1.2. Hệ số tương quan mẫu ....................................................................... 80 6.2. Phân tích hồi quy tuyến tính ..................................................................... 81 6.2.1. Mô hình ............................................................................................... 81 6.2.2. Ước lượng bình phương cực tiểu ....................................................... 82 BÀI TẬP .............................................................................................................. 85 TÀI LIỆU THAM KHẢO ................................................................................... 87 PHỤ LỤC ii
LỜI NÓI ĐẦU Xác suất thống kê là một chuyên ngành khó của Toán học nhưng lại có nhiều ứng dụng trong rất nhiều ngành nghề, từ khoa học tự nhiên đến khoa học xã hội, kinh tế, nông nghiệp, lâm nghiệp… Để đáp ứng nhu cầu học tập môn học này cho những người học khối xã hội và đặc biệt là cho sinh viên chuyên ngành Công tác xã hội của Trường Đại học Lâm nghiệp, nhóm giảng viên bộ môn Toán đã biên soạn cuốn Bài giảng Toán Thống kê cho khoa học xã hội dựa trên đề cương môn học này. Trong bài giảng nhóm tác giả đã chọn cách diễn giải, trình bày các vấn đề lý thuyết một cách đơn giản, dễ hiểu tránh các vấn đề toán học phức tạp. Kèm theo đó là các ví dụ có giải thích cặn kẽ để người đọc dễ theo dõi, áp dụng. Nội dung gồm các bài tập được trình bày theo các chương: - Chương 1: Đại cương về lý thuyết xác suất; - Chương 2: Thống kê mô tả; - Chương 3: Ước lượng tham số; - Chương 4: Kiểm định giả thiết thống kê; - Chương 5: Bài toán so sánh; - Chương 6: Sơ lược về lý thuyết tương quan và hồi quy tuyến tính. Mặc dù rất cẩn thận nhưng trong quá trình biên soạn và chế bản chắc chắn không tránh khỏi các sai sót. Rất mong nhận được những ý kiến đóng góp quý báu của sinh viên và đồng nghiệp. Nhóm tác giả 1
2
Chƣơng 1 ĐẠI CƢƠNG VỀ LÝ THUYẾT XÁC SUẤT 1.1. Biến cố ngẫu nhiên và xác suất 1.1.1. Ý nghĩa của xác suất Vì khái niệm xác suất giữ vai trò quan trọng trong lý thuyết và ứng dụng của thống kê nên chúng ta phải trang bị những hiểu biết đầy đủ về xác suất trước khi nghiên cứu những chi tiết có tính kỹ thuật của thống kê. Các trò chơi có tính may rủi như quay số, rút bài, tung đồng xu... cho chúng ta khái niệm về “phép thử”, khi một phép thử được thực hiện có thể dẫn đến nhiều kết cục khác nhau, nhưng thông thường ta không thể nào tiên đoán được chính xác kết quả nào sẽ xảy ra trước khi thực hiện phép thử. Chẳng hạn trong phép thử gieo một con xúc sắc, chúng ta biết được các khả năng xuất hiện là xúc sắc sẽ ra 1 chấm, 2 chấm... 6 chấm. Tuy nhiên, trong một lần cụ thể ta sẽ không thể biết được xúc sắc ra kết quả nào. Nhưng nếu tiếp tục thực hiện phép thử n lần (với n là một số đủ lớn) và gọi m là số lần mà có kết quả thành công như là xuất hiện mặt 3 chấm ngửa lên, khi đó thực nghiệm cho thấy rằng tỷ số f = m/n sẽ tiến tới một giới hạn ổn định nếu như số lần tung xúc sắc n ngày càng lớn. Tính ổn định trên chính là nền tảng của lý thuyết xác suất. 1.1.2. Phép thử và biến cố Phép thử ngẫu nhiên (hay gọi tắt là phép thử) là một hành động hay một thí nghiệm hoặc một quan sát mà kết quả của nó không thể dự báo trước được. Tập hợp các kết quả có thể xảy ra khi thực hiện phép thử được gọi là không gian mẫu của phép thử đó. Biến cố sơ cấp là một kết cục sơ đẳng nhất của phép thử. Biến cố cũng là kết cục của phép thử nhưng nó là một tập hợp các biến cố sơ cấp có chung một đặc tính. Như vậy, một biến cố có thể là một tập hợp của nhiều biến cố sơ cấp, cũng có thể chỉ bao gồm một biến cố sơ cấp duy nhất, cũng có khi biến cố là một tập hợp rỗng (biến cố không thể) hay là toàn bộ không gian mẫu (biến cố chắc chắn). Chẳng hạn, xét một phép thử tung con xúc sắc cân đối và đồng chất trên một mặt phẳng: - Biến cố sơ cấp là biến cố xuất mặt 2 chấm, hoặc biến cố xuất hiện mặt 3 chấm... Ta có 6 biến cố sơ cấp; 3
- Biến cố xuất hiện mặt có số chấm chẵn là biến cố C gồm các kết quả xuất hiện mặt 2 chấm, 4 chấm và 6 chấm. Lúc này C không phải là biến cố sơ cấp; - Biến cố xuất hiện mặt có số chấm bằng 7 là biến cố không thể vì nó không thể xảy ra. 1.1.3. Quan hệ giữa các biến cố Trong lý thuyết xác suất, người ta xét các quan hệ sau đây của các biến cố: - Quan hệ kéo theo: Biến cố A gọi là kéo theo biến cố B nếu khi A xảy ra thì B cũng xảy ra. Kí hiệu A  B ; - Quan hệ tương đương: Hai biến cố A và B được gọi là tương đương nếu A  B và B  A . Kí hiệu A = B; - Phép hợp: Hợp của 2 biến cố A và B là một biến cố xảy ra nếu ít nhất một trong hai biến cố trên xảy ra. Kí hiệu là A  B . Hợp của một dãy hữu hạn n biến cố A1, A2 ,..., An  , kí hiệu là biến cố n Ai . i 1 Biến cố này xảy ra khi có ít nhất một trong các biến cố Ai xảy ra. - Phép giao: Giao của hai biến cố A và B là một biến cố xảy ra khi cả hai biến cố trên xảy ra. Kí hiệu: A  B hay AB. Giao của một dãy hữu hạn n biến cố A1,A2 ,...,An  , kí hiệu là biến cố n Ai . i 1 Biến cố này xảy ra khi tất cả các biến cố Ai cùng xảy ra. - Quan hệ đối lập: Biến cố đối của biến cố A là biến cố xảy ra khi và chỉ khi A không xảy ra. Kí hiệu là A ; - Quan hệ xung khắc: Hai biến cố A và B được gọi là xung khắc với nhau nếu chúng không đồng thời xảy ra trong một phép thử. Kí hiệu AB   ; - Hiệu của hai biến cố: Hiệu của biến cố A và biến cố B là một biến cố xảy ra khi A xảy ra nhưng B không xảy ra. Kí hiệu A\B; - Biến cố độc lập: Hai biến cố A và B được gọi là độc lập với nhau nếu việc xảy ra hay không xảy ra của biến cố này không làm thay đổi khả năng xảy ra của biến cố kia và ngược lại. 1.2. Định nghĩa xác suất cổ điển Xác suất của một biến cố là một con số đặc trưng cho khả năng xảy ra của biến cố đó khi thực hiện phép thử, ví dụ theo trực giác ta luôn tin rằng khả năng xuất hiện mặt số khi tung một đồng xu là 50%, như vậy có thể nói “xác suất của biến cố xuất hiện mặt số khi tung đồng xu là 0,5”. 4
Xét một phép thử. Giả sử không gian mẫu của phép thử đó gồm n (hữu hạn) trường hợp đồng khả năng. Nếu biến cố A liên quan đến phép thử gồm có m m trường hợp thuận lợi thì tỷ số để biểu thị khả năng xảy ra biến cố A được n gọi là xác suất của biến cố A. m Kí hiệu: P(A) = . n Tính chất của xác suất: 1. Nếu A là biến cố bất kỳ thì 0  P( A)  1; 2. Xác suất của biến cố chắc chắn là P()  1; 3. Xác suất của biến cố không thể là P()  0 ; 4. Nếu A là biến cố đối của biến cố A thì P( A)  1  P( A). 5. Nếu A  B thì P( A)  P(B) ; 6. Nếu A và B là hai biến cố bất kỳ thì P(A\ B)  P(A)  P(AB). Ưu điểm: - Để tìm xác suất của biến cố ta không phải thực hiện phép thử (phép thử chỉ cần giả định); - Xác suất của biến cố tìm được chính xác. Nhược điểm: - Các kết quả của phép thử phải đồng khả năng; - Số trường hợp đồng khả năng phải hữu hạn. Các bước để tính xác suất của một biến cố theo định nghĩa cổ điển nếu xem biến cố A như là tập con của không gian mẫu  thì: + Xác định không gian mẫu  , rồi tính số phần tử n(  ) của  ; + Xác định các trường hợp thuận lợi của biến cố A, rồi tính số trường hợp thuận lợi để xảy ra biến cố A là n(A); + Tính P(A) theo công thức P(A)  n( A) . n() Phương pháp tính số phần tử của không gian mẫu và số trường hợp thuận lợi của biến cố A. 1.2.1. Phương pháp liệt kê các phần tử Ví dụ 1. Gieo một con xúc xắc cân đối và đồng chất. Tìm xác suất để: a) Mặt trên của con xúc xắc xuất hiện một chấm? b) Mặt trên của con xúc xắc có số chấm chẵn? 5
c) Mặt trên của con xúc xắc có số chấm nhỏ hơn 7? d) Mặt trên của con xúc xắc xuất hiện 7 chấm? Giải: a) Gọi A là biến cố mặt trên của con xúc xắc có một chấm. Khi đó: - Không gian mẫu  gồm 6 trường hợp => Số phần tử của không gian mẫu  là n(  ) = 6; - Các kết quả thuận lợi của biến cố A có một trường hợp. 1  P(A)= 6 b) Gọi B là biến cố mặt trên của con xúc xắc có số chấm chẵn. Khi đó: - Không gian mẫu  gồm 6 trường hợp; - Các kết quả thuận lợi của biến cố B là 3 trường hợp {2,4,6}. 3  P(A)= 6 c) Gọi C là biến cố mặt trên của con xúc xắc xuất hiện số chấm nhỏ hơn 7. Khi đó: - Không gian mẫu  gồm 6 trường hợp; - Các kết quả thuận lợi của biến cố C là 6 trường hợp (bằng số trường hợp thuận lợi của không gian mẫu). 6  P(A)=  1 6 d) Gọi D là biến cố mặt trên của con xúc xắc xuất hiện 7 chấm. Khi đó: - Không gian mẫu  gồm 6 trường hợp; - Các kết quả thuận lợi của biến cố D là 0 (không có mặt 7 chấm). 0  P(A)=  0 6 1.2.2. Phương pháp dùng các quy tắc đếm Nhắc lại: Số cách lấy k phần tử từ n phần tử không quan tâm đến thứ tự là Cnk . a) Quy tắc cộng Giả sử để thực hiện một công việc A ta có k phương án thực hiện: 6
- Phương án 1 có n1 cách hoàn thành; - Phương án 2 có n2 cách hoàn thành; … - Phương án k có nk cách hoàn thành. Khi đó số cách thực hiện công việc A là n1 + n2 +…+ nk. b) Quy tắc nhân Giả sử để thực hiện một công việc A ta phải thực hiện qua k giai đoạn khác nhau: - Giai đoạn 1 có n1 cách hoàn thành; - Giai đoạn 2 có n2 cách hoàn thành; … - Giai đoạn k có nk cách hoàn thành. Khi đó số cách thực hiện công việc A là n1.n2…nk. * Nhận xét: - Điều quan trọng ở đây là làm sao khi đọc đề bài chúng ta biết được phải sử dụng quy tắc cộng hay quy tắc nhân. Thông thường, nếu một bài toán mà công việc có thể giải quyết theo nhiều phương án hay có nhiều trường hợp xảy ra thì ta thường dung quy tắc cộng, còn nếu bài toán mà công việc được thực hiện bằng những công việc nhỏ liên tiếp, nhiều công đoạn hay là trường hợp nhỏ này liên kết với trường hợp nhỏ kia thì ta thường dung quy tắc nhân; - Trong nhiều trường hợp chúng ta cần kết hợp cả hai quy tắc để giải bài toán. Ví dụ 2. Một đoàn đại biểu Quốc hội của tính nọ gồm 10 người, trong đó có 3 đại biểu là người dân tộc ít người. Chọn ngẫu nhiên trong đoàn ra 3 người, tìm khả năng xảy ra các tình huống sau: a) Chọn được cả 3 đại biểu đều là người dân tộc ít người. b) Chọn được đúng 2 đại biểu là người dân tộc ít người. c) Không chọn được đại biểu nào thuộc dân tộc ít người. Giải: Số cách chọn ra 3 người bất kỳ từ trong một nhóm 10 người là: n  C103 . a) Gọi A là biến cố chọn được cả 3 đại biểu đều là người dân tộc ít người. nA  C33  1 nA 1 Xác suất của biến cố A là: P( A)   3 n C10 7
b) Gọi B là biến cố chọn được đúng 2 đại biểu đều là người dân tộc ít người. nB  C32C71 nB C32C31 Xác suất của biến cố B là: P(B)   3 . n C10 c) Gọi C là biến cố không chọn được đại biểu là người dân tộc ít người. nC  C30C73 nC C30C73 Xác suất của biến cố C là: P(C)   3 . n C10 1.3. Các công thức tính xác suất 1.3.1. Công thức cộng xác suất a) Công thức cộng xác suất cho 2 biến cố Cho A và B là hai biến cố bất kỳ, khi đó: P(A  B)  P(A)  P(B)  P(AB) - Nếu A và B là hai biến cố xung khắc ( AB   ) thì: P( A  B)  P( A)  P( B) - Nếu B  A ta có 1  P(A  A)  P(A)  P(A) . Ví dụ 3. Hai vận động viên A và B của một địa phương cùng tham gia giải bóng bàn toàn quốc. Khả năng vận động viên A lọt vào chung kết là 80%, khả năng vận động viên B lọt vào chung kết là 60% và khả năng cả hai cùng vào chung kết là 48%. Tính xác suất để: a) Có ít nhất một vận động viên vào chung kết? b) Không có vận động viên nào vào đến chung kết? Giải: Với bài toán này chúng ta sẽ không sử dụng công thức xác suất cổ điển mà phải sử dụng công thức cộng xác suất. Gọi A là biến cố vận động viên A lọt vào chung kết, P(A) = 0,8. A là biến cố vận động viên A không lọt vào chung kết. Gọi B là biến cố vận động viên B lọt vào chung kết, P(B) = 0,6. B là biến cố vận động viên B không lọt vào chung kết. Khi đó AB là biến cố cả hai vận động viên đều lọt vào chung kết, P(AB) = 0,48. 8
a) Biến cố có ít nhất một vận động viên vào chung kết là C  A  B P(C)  P(A  B)  P(A)  P(B)  P(AB)  0,8  0,6  0,48  0,92 b) Biến cố không có vận động viên nào vào chung kết là D  A B => Biến cố đối của biến cố D là biến cố C. P(D)  1  P(C)  1  0,92  0,08 b) Mở rộng công thức cộng xác suất Cho A, B, C là 3 biến cố bất kỳ, khi đó: P(A B C)  P(A)  P(B)  P(C)  P(AB)  P(BC)  P(AC)  P(ABC) * Nếu 3 biến A, B, C là đôi một xung khắc thì ta có: P(A B C)  P(A)  P(B)  P(C) * Nếu có n biến cố Ai ( i = 1, 2..., n) là đôi một xung khắc thì: P( A1  A2  ...  An )  P( A1 )  P( A2 )  ...  P( An ) Ví dụ 4. Khảo sát về mức độ quan tâm của người dân trong một khu phố đối với 3 tờ báo A, B, C, người ta thu được số liệu sau: Có 20% người dân xem báo A; 15% người dân xem báo B; 10% người dân xem báo C; Có 5% người dân xem A và B; 3% người dân xem B và C; 4% người dân xem A và C; Có 2% người dân xem cả A, B và C. a) Tính xác suất để người dân xem ít nhất một tờ báo nào đó? b) Tính xác suất để người dân không xem bất kỳ tờ báo nào? Giải: Gọi A, B, C lần lượt là các biến cố người dân xem báo A, B, C. Từ đó ta có: P(A) = 0,2; P(B) = 0,15; P(C) = 0,1; P(AB) = 0,05; P(BC) = 0,03; P(AC) = 0,04; P(ABC) = 0,02. a) Gọi D là biến cố “người dân xem ít nhất một tờ báo” => D = A  B  C P(D)  P( A  B  C )  P( A)  P( B)  P(C )  P( AB)  P( BC )  P( AC )  P( ABC )  0,2  0,15  0,1  0,05  0,03  0,04  0,02  0,35  35% b) Gọi E là biến cố “người dân không xem tờ báo nào” => E  ABC . Từ giả thiết bài toán ta không thể trực tiếp được E, vì vậy ta phải sử dụng biến cố đối của E chính là biến cố D. 9
P(E)  1  P(D)  1  0,35  0,65  65% Mở rộng công thức cho n biến cố A1, A2, …, An n n P( Ai )   P(Ai )   P(Ai A j )   P(A A A )  ...  (1) i j k n 1 P(A1A 2 ...A n ) i 1 i 1 i j i  j k 1.3.2. Công thức nhân xác suất a) Khái niệm về xác suất có điều kiện Cho A và B là hai biến cố bất kỳ thỏa mãn P(A) > 0. Xác suất có điều kiện của biến cố B với điều kiện biến cố A đã xảy ra (gọi là xác suất của B với điều kiện A), kí hiệu là P(B|A) được định nghĩa như sau: P(AB) P(B | A)  P(A) Tương tự nếu P(B) > 0, ta có xác suất của A với điều kiện B: P(AB) P(A | B)  P(B) * Nhận xét: P( B | A)  1  P(B | A) . b) Công thức nhân xác suất cho 2 biến cố Từ công thức xác suất có điều kiện ta suy ra công thức nhân xác suất của hai biến cố là: P(AB)  P(A | B) P(B)  P(B | A) P(A) Ví dụ 5. Trong một hộp kín có 20 nắp bia Tiger, trong đó có 2 nắp ghi “Chúc mừng bạn đã trúng thưởng xe BMW”. Bạn được chọn lên rút thăm lần lượt hai nắp bia (rút không hoàn lại), tính xác suất để cả hai nắp đều trúng thưởng. Giải: Gọi A là biến cố “nắp bia rút được lần đầu là nắp có thưởng”. Gọi B là biến cố “nắp bia rút được lần hai là nắp có thưởng”. Ta cần tính P(AB): 2 1 Ta có: P(A) = và P(B|A) = 20 19 2 1 1 Áp dụng công thức nhân: P(AB) = P(A)P(B|A) = .   0,0053 . 20 19 190 Ví dụ 6. Một người chuẩn bị tham dự lấy phiếu tín nhiệm vào một chức vụ, bắt buộc phải qua hai vùng, ở vùng I khả năng đủ tín nhiệm là 60%. Nếu đủ ở 10
vùng I thì khả năng đủ tín nhiệm ở vùng II là 85%, nếu không đủ ở vùng I thì khả năng đủ tín nhiệm ở vùng II là 30%. Tìm khả năng của người đó: a) Đủ tín nhiệm ở cả hai vùng? b) Chỉ đủ tín nhiệm ở một vùng? Giải: a) Gọi A là biến cố người đó đủ tín nhiệm ở vùng I. B là biến cố người đó đủ tín nhiệm ở vùng II. Theo giả thiết: P(A) = 0,6; P(B|A) = 0,85; P(B A) = 0,3. Khả năng người đó đủ tín nhiệm ở cả hai vùng là: P(AB) = P(A)P(B|A)=0,6.0,85 = 0,51 b) Khả năng người đó chỉ đủ tín nhiệm ở một vùng là: P( AB  AB)  P( A).P( B A)  P(A).P( B A) = 0,4.0,3 + 0,6.0,15 = 0,21  Khái niệm sự độc lập của hai biến cố Hai biến cố A và B được gọi là độc lập với nhau trong một phép thử nếu biến cố A có xảy ra hay không cũng không ảnh hưởng đến khả năng xảy ra của biến cố B và ngược lại. Các phát biểu sau là tương đương: i) Hai biến cố A và B là độc lập với nhau  P(AB)=P(A)P(B); ii) Hai biến cố A và B là độc lập với nhau  P(A|B) = P(A) hoặc P(B|A) = P(B); Ví dụ 7. Trong bình có 4 quả cầu trắng và 5 quả cầu xanh. Lấy ngẫu nhiên từ trong bình ra 1 quả cầu. Gọi A là biến cố “lấy được quả cầu xanh”. Hiển nhiên P(A) = 5/9. Quả cầu lấy ra được bỏ lại vào bình và tiếp tục lấy 1 quả cầu. Gọi B là biến cố “lần thứ 2 lấy được quả cầu xanh”, khi đó P(B) = 5/9. Rõ ràng xác suất của biến cố B không thay đổi khi biến cố A xảy ra hay không xảy ra và ngược lại. Vậy hai biến cố A và B độc lập nhau. * Chú ý: Nếu A và B độc lập với nhau thì A và B, A và B , A và B cũng độc lập với nhau. * Mở rộng công thức nhân xác suất cho nhiều biến cố Cho 3 biến cố A, B, C, khi đó: P(ABC)  P(A) P(B | A) P(C | AB) 11
 Khái niệm về một dãy biến cố độc lập Một dãy n biến cố A1, A2, …, An được gọi là độc lập với nhau (hay độc lập trong toàn bộ) nếu mỗi biến cố độc lập với tích bất kỳ của các biến cố còn lại. Khi đó: P(A1A2 ...An )  P(A1 ) P(A2 )...P(An ) Ví dụ 8. Một xí nghiệp có 3 ô tô hoạt động độc lập. Xác suất để trong một ngày các ô tô bị hỏng lần lượt là 0,1; 0,15 và 0,2. Tìm xác suất để trong một ngày có: a) Cả 3 ô tô bị hỏng? b) Có ít nhất một ô tô bị hỏng? Giải: Gọi A, B, C lần lượt là các biến cố trong một ngày ô tô thứ nhất, thứ hai và thứ ba bị hỏng. P(A) = 0,1; P(B) = 0,15; P(C) = 0,2 a) Gọi D là biến cố có đúng một ô tô bị hỏng, ta sẽ biểu diễn biến cố D thông qua các biến cố A, B, C như sau: D  ABC . Vì các biến cố A, B, C độc lập nên áp dụng công thức nhân xác suất ta được: P( D)  P( A) P( B) P(C)  0,1.0,15.0, 2  0,003 b) Gọi E là biến cố có ít nhất một ô tô bị hỏng trong ngày, ta sẽ biểu diễn biến cố E thông qua các biến cố A, B, C: E  A  B  C Khi đó E  A B C Cách 1: Vì các biến cố A, B, C độc lập, áp dụng công thức nhân xác suất: P( E)  1  P( E)  1  P(A) P(B) P(C)  1  0,9.0,85.0,8  0,388 Cách 2: Tính trực tiếp bằng công thức cộng xác suất cho 3 biến cố: P(E)  P( A  B  C )  P( A)  P( B)  P(C )  P( AB)  P( BC )  P( AC )  P( ABC )  0,388 * Các biến cố A, B, C độc lập nhưng không xung khắc với nhau (Vì P(AB) ≠ 0) nên không thể tính P( E)  P( A)  P( B)  P(C) . 1.4. Công thức Bernoulli 1.4.1. Dãy phép thử Bernoulli Xét một dãy các phép thử độc lập. Các phép thử này được gọi là dãy phép thử Bernoulli nếu thỏa mãn: - Mỗi phép thử chỉ có hai kết quả: A và A ; - Xác suất P(A) = p, (0 < p < 1), không đổi cho mọi phép thử. Giá trị p được gọi là xác suất thành công trong mỗi lần thử. 12
Chú ý: Dãy phép thử độc lập là dãy các phép thử mà kết quả của phép thử này không làm ảnh hưởng tới kết quả của phép thử khác. Công thức này mang tên nhà toán học người Thụy Sĩ Jacob Bernoulli (còn được biết đến với tên James hoặc Jacques) (1654 - 1705). Ví dụ 9. Gieo một đồng xu cân đối và đồng chất 5 lần => Đó là dãy 5 phép thử Bernoulli. Ở mỗi phép thử (tức là mỗi lần gieo) có hai kết quả. A là biến cố gieo được mặt sấp hoặc ngược lại. Ví dụ 10. Một người bắn độc lập lần lượt 10 viên đạn vào bia => Đó là dãy 10 phép thử Bernoulli. Ở mỗi phép thử (tức là mỗi lần bắn) có hai kết quả A là biến cố bắn trúng hoặc ngược lại. Việc gọi A là biến cố nào tùy thuộc vào từng bài toán cụ thể. 1.4.2. Công thức Bernoulli Xác suất để trong n lần thực hiện phép thử, biến cố A xảy ra đúng k lần (0  k  n) với xác suất mỗi lần A xảy ra là p (0< p
b) Có 8 người không hiểu biết về luật giao thông? c) Có ít nhất 1 người hiểu về luật giao thông? Mở rộng bài toán: Tính xác suất để trong n lần thực hiện phép thử: i) Biến cố A xảy ra từ k1 đến k2 lần; ii) A xảy ra ít nhất 1 lần; iii) Tìm số lần biến cố A xảy ra có khả năng nhất. Giải quyết bài toán: Sử dụng công thức Bernoulli đã xây dựng ở trên và các quy tắc đếm, ta dễ dàng chứng minh được các công thức sau: i) Xác suất để biến cố A xảy ra từ k1 đến k2 lần là: Pn (k1  k  k2 )  Pn (k1 )  Pn (k1  1)  ....  Pn (k2 ) ii) Xác suất để biến cố A xảy ra ít nhất một lần là: Pn (1  k  n)  1  Pn (0)  1  (1  p)n iii) Số lần A xảy ra có khả năng nhất là số nguyên k0 thỏa mãn: (n  1) p  1  k0  (n  1) p  k0  (n  1) p  Số nguyên k0 ở trên được gọi là giá trị chắc chắn nhất của số thành công hay giá trị có khả năng xảy ra lớn nhất. Pn(k0,p) là số hạng trung tâm của phân bố nhị thức mà ta sẽ học ở chương sau. Ví dụ 12. Theo con số thống kê công bố năm 1997, ở Việt Nam tỷ lệ các cặp vợ chồng vô sinh là 1/8. Từ số đăng ký kết hôn ở một phường cách đây 10 năm cho thấy có 1.240 cặp vợ chồng. a) Tính xác suất để trong đó có 100 cặp vô sinh? b) Hãy viết công thức tính xác suất để có không quá 2 cặp vợ chồng vô sinh? c) Tìm số cặp vô sinh có khả năng nhất? d) Tính xác suất có ít nhất 1 cặp vô sinh? Giải: a) Đây là một dãy 1.240 phép thử Bernoulli, để tính xác suất trong đó có 100 cặp vô sinh ta áp dụng công thức: 100 1240100 1  1 P(k  100)  C   1   100 1240 8  8 b) Xác suất để số cặp vợ chồng vô sinh không quá 2 là: 14
0 1240 1 1239 2 1238 1  1 1  1 2 1  1 P(0  k  2)  C   1    C1240 0 1240 1   1    C1240   1   8  8 8  8 8  8 c) Số cặp vô sinh có khả năng nhất là k0 thỏa mãn: 1 1 (1240  1)  1  k0  (1240  1)  154,125  k0  155,125 8 8 Vậy k0 = 155. 1240  1 d) Xác suất có ít nhất 1 cặp vô sinh là: 1  1    8 Ví dụ 13. Tín hiệu thông tin được phát đi 3 lần độc lập nhau. Xác suất thu được tín hiệu ở mỗi lần là 0,4. a) Tìm xác suất để nguồn thu nhận được thông tin đúng 2 lần? b) Tìm xác suất để nguồn thu nhận được thông tin đó? c) Nếu muốn xác suất thu được tin  0,9 thì phải phát đi ít nhất bao nhiêu lần? Giải: Có thể xem mỗi lần phát tin là một phép thử Bernoulli với mục đích thành công của phép thử là nguồn thu nhận được tin. Theo giả thiết xác suất thành công p của mỗi lần thử là 0,4. Xác suất để nguồn thu nhận được thông tin đúng 2 lần là: P3 (2,0, 4)  C32 (0, 4)2 (0,6)  0, 288 Xác suất để nguồn thu nhận được thông tin là xác suất để có ít nhất 1 lần nguồn thu nhận được thông tin: P3 (1  k  3)  1  P3 (0)  1  (1  p)3  1  (0,6)3  0,784 Xác suất để nguồn thu nhận được thông tin khi phát đi n lần là: Pn (1  k  n)  1  Pn (0)  1  (1  p)n  1  (0,6) n log(0,1) Để: Pn (1  k  n)  0,9  1   0,6 n  0,9   0,6 n  0,1  n   4,504 log(0,6) Vì n nguyên dương nên ta chọn n = 5. 1.5. Biến ngẫu nhiên rời rạc 1.5.1. Khái niệm biến ngẫu nhiên rời rạc Khi tiến hành một phép thử ngẫu nhiên, các kết quả của phép thử thường là các đặc trưng định tính (biến cố ngẫu nhiên). Tuy nhiên, trong nhiều phép thử mỗi một kết quả của phép thử thường được gán tương ứng với một giá trị định lượng nào đó. 15