zunia.vn

Tuyển sinh 2024 dành cho Gen-Z

zunia.vn

» Khoa Học Tự Nhiên

Bài giảng Xác suất thống kê: Chương 1 - Trường ĐH Hoa Sen

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:21

Báo xấu

26
lượt xem 3
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Bài giảng Xác suất thống kê: Chương 1 Biến cố ngẫu nhiên và xác suất của biến cố, cung cấp cho người học những kiến thức như: Ôn tập đại số tổ hợp; Phép thử ngẫu nhiên và các loại biến cố; Xác suất của biến cố; Các định lý và công thức xác suất. Mời các bạn cùng tham khảo!

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Bài giảng Xác suất thống kê: Chương 1 - Trường ĐH Hoa Sen

www.hoasen.edu.vn Chương 1: biến cố ngẫu nhiên Faculty of Science and Technology và xác suất của biến cố Thời lượng: 12 tiết uu Probability and Statistics 1 www.hoasen.edu.vn Nội dung 1.  Ôn tập đại số tổ hợp 2.  Phép thử ngẫu nhiên và các loại biến cố Faculty of Science and Technology 3.  Xác suất của biến cố 4.  Các định lý và công thức xác suất uu Probability and Statistics 2 Faculty of Science and Technology Probability and Statistics 1
www.hoasen.edu.vn 1. Ôn tập đại số tổ hợp – QT cộng Để làm một công việc A có hai khả năng: khả năng thứ nhất có m cách thực hiện; khả năng thứ hai có n cách thực hiện. Hỏi có bao nhiêu cách để thực hiện công việc A? Faculty of Science and Technology Có m + n cách thực hiện công việc A. Ví dụ Có 12 nữ sinh và 4 nam sinh. Chọn một sinh viên bất kỳ. Có bao nhiêu cách chọn? Qui tắc này cũng đúng cho trường hợp công việc có nhiều hơn 2 giai đoạn. uu Probability and Statistics 3 www.hoasen.edu.vn 1. Ôn tập đại số tổ hợp – QT nhân Để thực hiện một công việc có hai giai đoạn A và B: giai đoạn A có m cách thực hiện; giai đoạn B có n cách thực hiện. Hỏi có bao nhiêu cách để thực hiện công việc? Faculty of Science and Technology Ứng với mỗi cách của giai đoạn A, ta có n cách thực hiện ở giai đoạn B. uu Probability and Statistics 4 2
www.hoasen.edu.vn 1. Ôn tập đại số tổ hợp – QT nhân Ví dụ Nhóm nhảy có 5 nam và 4 nữ. Chọn 1 đôi nhảy (1 nam và 1 nữ). Hỏi đó Faculty of Science and Technology có bao nhiêu cách chọn? Qui tắc này cũng đúng cho trường hợp công việc có nhiều hơn 2 giai đoạn. uu Probability and Statistics 5 www.hoasen.edu.vn 1. Ôn tập đại số tổ hợp – chỉnh hợp Ví dụ Có 3 bức tranh khác nhau cần treo lên 5 cái móc trên tường. Có bao Faculty of Science and Technology nhiêu cách treo (mỗi móc chỉ treo tối đa một bức tranh)? Một chỉnh hợp chập k của n phần tử (chỉnh hợp n chập k) là một cách lấy k phần tử khác nhau (có kể thứ tự, trật tự sắp xếp,...) từ n phần tử khác nhau. Số chỉnh hợp: uu Probability and Statistics 6 3
www.hoasen.edu.vn 1. Ôn tập đại số tổ hợp – tổ hợp Một tổ hợp chập k của n phần tử (tổ hợp n chập k) là một cách lấy k phần tử khác nhau (không kể thứ tự, trật tự sắp xếp,...) từ n phần tử khác nhau. Faculty of Science and Technology Số tổ hợp: Ví dụ Một lớp học có 60 sinh viên. Có bao nhiêu cách chọn ra một ban cán sự: a. Gồm 4 người ? b. Một lớp trưởng, một lớp phó, một thư ký và một thủ quỹ? uu Probability and Statistics 7 www.hoasen.edu.vn 1. Ôn tập đại số tổ hợp – hoán vị Một hoán vị của n phần tử khác nhau là một cách sắp xếp n phần tử đó theo một thứ tự xác định. Hoán vị là trường hợp đặc biệt của chỉnh hợp với …... Faculty of Science and Technology Số hoán vị: Ví dụ Có bao nhiêu cách sắp 7 người ngồi vào: a. Một bàn dài ? b. Một bàn tròn ? c. Một bàn tròn có đánh số thứ tự ? uu Probability and Statistics 8 4
www.hoasen.edu.vn 1. Ôn tập đại số tổ hợp TH1: không kể đến thứ tự => TH2: có kể thứ tự: 2.1. k = n => Faculty of Science and Technology 2.2. k < n => Bài tập Một mã số sinh viên (MSSV) có 4 số. Ví dụ: 0000,0001,0112,... a.  Có bao nhiêu MSSV có thể được tạo ra? b.  Có bao nhiêu MSSV gồm 4 chữ số khác nhau? c.  Có bao nhiêu MSSV gồm 4 chữ số giống nhau? uu Probability and Statistics 9 www.hoasen.edu.vn 2. Phép thử ngẫu nhiên và các loại biến cố Phép thử ngẫu nhiên (phép thử): là việc thực hiện một thí nghiệm, thực nghiệm hay quan sát một hiện tượng nào đó trong tự nhiên với một số điều kiện nhất định. Hiện tượng ……… hay ……… xảy ra trong một Faculty of Science and Technology phép thử được gọi là …… ngẫu nhiên. Nó có thể dẫn đến kết cục này hoặc kết cục khác (ít nhất là 2 kết cục). Và việc làm này có thể thực hiện bao nhiêu lần cũng được. Ví dụ Trong xã hội, hiện tượng bà mẹ sinh con là một thí nghiệm ngẫu nhiên? uu Probability and Statistics 10 Faculty of Science and Technology Probability and Statistics 5
www.hoasen.edu.vn 2. Phép thử ngẫu nhiên và các loại biến cố (tt) Không gian mẫu: Ví dụ Faculty of Science and Technology Giới tính của một đứa trẻ Kết quả của một cuộc đua của 7 con ngựa Kết quả của việc tung một con xúc xắc Biến cố: là …………của không gian mẫu (các kết cục của phép thử ngẫu nhiên) uu Probability and Statistics 11 Faculty of Science and Technology Probability and Statistics www.hoasen.edu.vn 2. Phép thử ngẫu nhiên và các loại biến cố (tt) Có 3 loại biến cố: biến cố ngẫu nhiên, biến cố chắc chắn và biến cố không thể có. Biến cố ngẫu nhiên (random event): Faculty of Science and Technology Biến cố chắc chắn (sure event/certain event): Biến cố không thể có (null event/imposible event): Ví dụ Gieo một con xúc sắc đồng chất, cân đối, có các mặt được đánh số là: 1,2,3,4,5,6. Gọi A = “xuất hiện mặt có số nhỏ hơn 7” B = “xuất hiện mặt có số lớn hơn 6” C = “xuất hiện mặt có số là số lẻ” ……………… uu Probability and Statistics 12 Faculty of Science and Technology Probability and Statistics 6
www.hoasen.edu.vn 2. Phép thử ngẫu nhiên và các loại biến cố (tt) Biến cố tổng (hội, union): biến cố C được gọi là tổng (hội) của 2 biến cố E và F, nếu ………….. biến cố E …… F xảy ra thì C xảy ra khi thực hiện phép thử. Kí hiệu ………. hay Faculty of Science and Technology E và F đồng thời xảy ra khi thực hiện phép thử được không? Ví dụ Một lớp học có 40 sinh viên. Trong đó có 20 sv giỏi Tiếng Anh, 8 sv giỏi Tiếng Hoa và 5 sinh viên giỏi cả 2 môn trên. Chọn ngẫu nhiên ra một sv. A = “sv này giỏi môn TA” B = “sv này giỏi môn TH” C = “sv này giỏi cả 2 môn ” D = “sv này giỏi ít nhất 1 môn” Hỏi: C = A + B? D = B + C? Hãy suy ra biến cố tổng của n biến cố? Dấu “+” mang ý nghĩa gì? uu Probability and Statistics 13 Faculty of Science and Technology Probability and Statistics www.hoasen.edu.vn 2. Phép thử ngẫu nhiên và các loại biến cố (tt) Biến cố tích (giao, intersection): biến cố C được gọi là tích của 2 biến cố A và B, nếu cả 2 biến cố A và B ………..xảy ra thì C xảy ra khi thực hiện phép thử. Kí hiệu hay Faculty of Science and Technology Ví dụ Từ một bộ bài tây có 52 lá. Chọn ngẫu nhiên ra một lá bài. A = “lấy được lá đầm” B = “lấy được lá bích” C = “lấy được lá đầm bích” Hỏi: C = A.B? Hãy suy ra biến cố tích của n biến cố? Dấu “.” mang ý nghĩa gì? uu Probability and Statistics 14 Faculty of Science and Technology Probability and Statistics 7
www.hoasen.edu.vn 2. Phép thử ngẫu nhiên và các loại biến cố (tt) Biến cố xung khắc (mutually exclusive): Ví dụ Faculty of Science and Technology Lớp học có 40 sv, trong đó có 10 sv có tóc 3 màu (đen, vàng, nâu), 3 sinh viên có tóc màu nâu, còn lại có tóc màu đen. Chọn ngẫu nhiên 1 sv. A = “chọn được sv có tóc màu nâu” B = “chọn được sv có tóc màu đen” Hỏi: A và B có xung khắc? Nhóm biến cố xung khắc từng đôi: nhóm biến cố {Ai}, (i=1,2,…,n) được gọi là nhóm …………………………….nếu 2 biến cố ………..trong nhóm là xung khắc nhau (tức là ) uu Probability and Statistics 15 Faculty of Science and Technology Probability and Statistics www.hoasen.edu.vn 2. Phép thử ngẫu nhiên và các loại biến cố (tt) Biến cố đối lập (complementary): Nhận xét: A và Ac đối lập khi Faculty of Science and Technology Nếu tất cả các kết cục trong A cũng là kết cục trong B thì ta nói A chứa trong B hay B chứa A, kí hiệu Khi và thì ta nói A và B bằng nhau, viết là Ví dụ Tung một con xúc sắc. Gọi A = “mặt chẵn xuất hiện”, B = “mặt lẻ xuất hiện”. A và B có xung khắc? Tìm biến cố bằng biến cố B. uu Probability and Statistics 16 Faculty of Science and Technology Probability and Statistics 8
www.hoasen.edu.vn 2. Phép thử ngẫu nhiên và các loại biến cố (tt) Nhóm biến cố đầy đủ: Faculty of Science and Technology Ví dụ uu Probability and Statistics 17 Faculty of Science and Technology Probability and Statistics www.hoasen.edu.vn 2. Phép thử ngẫu nhiên và các loại biến cố (tt) Biến cố sơ cấp (elementary event): là biến cố …………………………………………. thành các biến cố khác (là kết cục tối giản của phép thử ngẫu nhiên). Faculty of Science and Technology Tập mọi biến cố sơ cấp là không gian các biến cố sơ cấp, hay không gian mẫu Ví dụ Tung một con xúc sắc. A = “mặt lẻ xuất hiện” B = “mặt 1 xuất hiện” C = “mặt 3 xuất hiện” D = “mặt 5 xuất hiện” B,C,D có là các biến cố sơ cấp? Mối liên hệ giữa A , B, C và D? Luật DeMorgan: uu Probability and Statistics 18 Faculty of Science and Technology Probability and Statistics 9
www.hoasen.edu.vn 2. Phép thử ngẫu nhiên và các loại biến cố (tt) Ví dụ Hai sv đi thi. Faculty of Science and Technology A =“sv thứ nhất thi đậu” B = “sv thứ 2 thi đậu” Hãy biểu diễn các biến cố sau: a. Cả 2 sv thi đậu b. Cả 2 sv thi rớt c. Có ít nhất 1 sv thi đậu d. Chỉ có một sv thi đậu e. Chỉ có sv 1 thi đậu f.Có nhiều nhất 1 sv thi đậu g. Có sv thi đậu h. Sv 1 thi đậu uu Probability and Statistics 19 Faculty of Science and Technology Probability and Statistic www.hoasen.edu.vn 3. Xác suất của biến cố Khái niệm: Cho phép thử ngẫu nhiên với S là không gian mẫu và E là các biến cố. Số thực P(E) được gọi là xác suất của E nếu 3 điều kiện sau Faculty of Science and Technology đây thỏa mãn: Với Ei (i=1,2,…) là nhóm biến cố xung khắc từng đôi. Tính chất: uu Probability and Statistics 20 Faculty of Science and Technology Probability and Statistics 10
www.hoasen.edu.vn 3. Xác suất của biến cố (tt) Ví dụ Giả sử một kết quả khảo sát cho thấy có 58% đàn ông Việt Nam hút thuốc lá, 7% hút xì gà (trong đó 5% hút cả thuốc lá và xì gà). Hỏi có Faculty of Science and Technology bao nhiêu phần trăm không hút thuốc lá cũng không hút xì gà? uu Probability and Statistics 21 Faculty of Science and Technology Probability and Statistics www.hoasen.edu.vn 3. Xác suất của biến cố (tt) Định nghĩa cổ điển: Thực hiện một phép thử ngẫu nhiên. Giả sử có n kết cục tối giản (biến cố sơ cấp) xảy ra. Các kết cục này gọi là …………………. xảy ra nếu không có kết cục nào ưu tiên xảy ra hơn Faculty of Science and Technology kết cục nào (các kết cục có khả năng xảy ra như nhau khi thực hiện phép thử). Kết cục mà khi nó xảy ra thì kéo theo biến cố A xảy ra được gọi là ……………………………. cho A. uu Probability and Statistics 22 Faculty of Science and Technology Probability and Statistics 11
www.hoasen.edu.vn 3. Xác suất của biến cố (tt) Ví dụ 1. Tung một con xúc sắc. Quan sát xem mặt nào xuất hiện. Ai = “xuất hiện mặt có i chấm” , i = 1,2,…,6 Faculty of Science and Technology B = “xuất hiện mặt có số chấm chẵn” C = “xuất hiện mặt có số chấm là 3 hoặc 4” D = “xuất hiện mặt có số chấm là 4 hoặc 6” E = “xuất hiện mặt có số chấm lẻ” Tính xác suất của các biến cố trên. uu Probability and Statistics 23 Faculty of Science and Technology Probability and Statistics www.hoasen.edu.vn 3. Xác suất của biến cố (tt) 2. Một hộp có 10 bi đỏ và 7 bi xanh có kích thước như nhau, rút ngẫu nhiên 1 bi. A = “rút được bi xanh” => P(A) = ? Faculty of Science and Technology B = “rút được bi đỏ” => P(B) = ? 3. Một hộp có 13 bi đỏ và 7 bi xanh có kích thước như nhau, rút ngẫu nhiên 2 bi. Tìm xác suất của các biến cố sau: A = “rút được 2 bi xanh” B = “rút được 2 bi đỏ” C = “rút được 1 bi xanh và một bi đỏ” D = “rút được ít nhất một bi đỏ” uu Probability and Statistics 24 Faculty of Science and Technology Probability and Statistics 12
www.hoasen.edu.vn 3. Xác suất của biến cố (tt) Định nghĩa thống kê: Tần suất: nếu lặp lại phép thử n lần, trong đó xảy ra biến cố A m lần thì tần suất của A trong dãy n phép thử là Faculty of Science and Technology Người ta chứng minh được rằng khi n đủ lớn thì f(A) xấp xĩ bằng một số p nào đó . Định nghĩa: xác suất của biến cố A , kí hiệu P(A): uu Probability and Statistics 25 Faculty of Science and Technology Probability and Statistics www.hoasen.edu.vn 4. Các định lý và công thức xác suất Xác suất có điều kiện: F là biến cố ngẫu nhiên có xác suất là P(F). Đại lượng ……………………được gọi là…………. Faculty of Science and Technology Ví dụ 1. Một hộp có 5 bi đỏ, 7 bi trắng. Lấy lần lượt không hoàn lại 2 bi. Biết lần thứ nhất lấy được bi trắng. Tính xác suất để lần thứ 2 cũng lấy được bi trắng uu Probability and Statistics 26 Faculty of Science and Technology Probability and Statistics 13
www.hoasen.edu.vn 4. Các định lý và công thức xác suất (L) 2.Điều tra 500 người (240 nam và 260 nữ) về sở thích đi shopping. Kết quả được cho trong bảng: Thích Không thích Faculty of Science and Technology Nam 126 114 Nữ 240 20 a. Giả sử chọn được người nam. Tính xác suất người đó không thích shopping. b. Giả sử chọn được người thích shopping. Tính xác suất người đó là nữ. uu Probability and Statistics 27 Faculty of Science and Technology Probability and Statistic www.hoasen.edu.vn 4. Các định lý và công thức xác suất (L) Công thức nhân: A, B là các biến cố ngẫu nhiên, xác suất tương ứng là P(A), P(B). Khi đó xác suất để A và B đồng thời xảy ra là………………….. Công thức này Faculty of Science and Technology được gọi là công thức nhân xác suất. Ví dụ Lan Anh cho rằng có 30% khả năng công ty cô đang làm việc sẽ mở chi nhánh mới tại Phú Quốc. Khi đó khả năng cô được làm giám đốc của công ty mới là 60%. Hỏi Xác suất để Lan Anh trở thành giám đốc công ty tại Phú Quốc là bao nhiêu? uu Probability and Statistics 28 Faculty of Science and Technology Probability and Statistics 14
www.hoasen.edu.vn 4. Các định lý và công thức xác suất (L) Một hộp có 9 bi, trong đó có 3 bi đỏ, được chia ngẫu nhiên thành 3 phần sao cho mỗi phần có 3 bi. Tính xác suất mỗi phần đều có bi đỏ. Faculty of Science and Technology uu Probability and Statistics 29 Faculty of Science and Technology Probability and Statistics www.hoasen.edu.vn 4. Các định lý và công thức xác suất (L) Công thức xác suất đầy đủ: xét phép thử T, A1, A2,…, An là nhóm biến cố đầy đủ. B là biến cố mà khi nó xảy ra thì một trong các biến cố A1, A2,…, An cũng xảy ra. Cho biết các xác suất P (A i) và P(B|A i). Hãy tính P(B). Faculty of Science and Technology Công thức Bayes: giả thiết như trên. Xác suất của biến cố Ai với điều kiện B đã xảy ra: uu Probability and Statistics 30 Faculty of Science and Technology Probability and Statistics 15
www.hoasen.edu.vn 4. Các định lý và công thức xác suất (L) Ví dụ 1. Có 2 máy cùng sản xuất một loại sản phẩm.Tỉ lệ làm ra chính phẩm của máy 1 là 0,85 và máy 2 là 0,9. Từ một kho chứa 1/3 sản phẩm của máy 1 Faculty of Science and Technology và 2/3 sản phẩm của máy 2, lấy ra một sản phẩm. a. Tính xác suất lấy được phế phẩm. b. Nếu sản phẩm lấy ra không là phế phẩm. Tính xác suất sản phẩm đó là do máy 2 làm ra. uu Probability and Statistics 31 Faculty of Science and Technology Probability and Statistics www.hoasen.edu.vn 4. Các định lý và công thức xác suất (L) 2.Một thiết bị gồm 3 linh kiện loại 1, 2 và 3. Chúng chiếm tương ứng là 35%, 25% và 40% tổng số linh kiện trong thiết bị. Tỉ lệ 3 loại linh kiện bị hỏng tương ứng là 15%, 25% và 5%. Thiết bị đang hoạt động thì bị hỏng. Faculty of Science and Technology Linh kiện nào có nhiều khả năng bị hỏng nhất (giả sử các linh kiện không bị hỏng đồng thời)? uu Probability and Statistics 32 Faculty of Science and Technology Probability and Statistics 16
www.hoasen.edu.vn 4. Các định lý và công thức xác suất (L) 3. Có 2 hộp đựng bi. Hộp 1: 8 trắng, 2 đen; hộp 2: 7 trắng, 3 đen. Lấy ngẫu nhiên 2 bi từ hộp 1 bỏ sang hộp 2, sau đó rút ngẫu nhiên 3 bi từ hộp 2. Tìm Faculty of Science and Technology xác suất có 2 bi trắng trong 3 bi rút từ hộp 2. uu Probability and Statistics 33 Faculty of Science and Technology Probability and Statistics www.hoasen.edu.vn 4. Các định lý và công thức xác suất (L) Faculty of Science and Technology uu Probability and Statistics 34 Faculty of Science and Technology Probability and Statistics 17
www.hoasen.edu.vn 4. Các định lý và công thức xác suất (L) Công thức Bernoulli: Dãy n phép thử Bernoulli: là dãy n phép thử thỏa mãn 3 điều kiện sau: •  1 Faculty of Science and Technology •  2 •  3 Xác suất xuất hiện x lần biến cố A trong n phép thử Bernoulli: uu Probability and Statistics 35 Faculty of Science and Technology Probability and Statistics www.hoasen.edu.vn 4. Các định lý và công thức xác suất (L) Ví dụ Một nhà máy sản xuất lần lượt từng sản phẩm. Xác suất tạo ra phế phẩm của nhà máy là 0,01. Faculty of Science and Technology a. Cho nhà máy sx 10 sản phẩm. Tính xác suất có 2 phế phẩm b. Nhà máy cần sản xuất ít nhất bao nhiêu sản phẩm để xác suất có ít nhất một chính phẩm trên 0,99? uu Probability and Statistics 36 Faculty of Science and Technology Probability and Statistics 18
www.hoasen.edu.vn Biến cố độc lập (independent events) Hai biến cố A và B được gọi là độc lập nếu …………. Ngược lại ta nói A và B là 2 biến cố phụ thuộc (dependent events). Nếu A và B độc lập thì …………………. và …………………..)? Faculty of Science and Technology Hãy mở rộng cho trường hợp có nhiều hơn 2 biến cố? Hai biến cố A và B độc lập thì Ac và Bc cũng độc lập. Ví dụ Một văn phòng có 2 máy tính hoạt động độc lập. Trong một ngày làm việc, xác suất để 2 máy này bị hỏng tương ứng là 0,1; 0,05. Tính xác suất trong một ngày làm việc văn phòng đó có: a. Máy hỏng b. Một máy hỏng uu Probability and Statistics 37 Faculty of Science and Technology Probability and Statistics www.hoasen.edu.vn Bài tập 1. Một xưởng có 3 máy hoạt động. Gọi Ai = “máy thứ i bị hỏng”, i = 1,2,3. Hãy biểu diễn các biến cố: a. Chỉ có máy 2 bị hỏng b. Máy 1 và 2 hỏng, máy 3 không hỏng c. Có ít nhất 2 máy hỏng d. Không quá 2 máy hỏng Faculty of Science and Technology 2. Một hộp có 10 sản phẩm, trong đó có 5 phế phẩm. Lấy 4 sản phẩm từ hộp để kiểm tra. Gọi A = “có không quá 2 phế phẩm” B = “có hơn 3 phế phẩm” c c Hãy mô tả A , B , A ∪ B uu Probability and Statistics 38 Faculty of Science and Technology Probability and Statistics 19
www.hoasen.edu.vn Bài tập (L) 3. Một hộp có 8 bi đỏ và 4 bi trắng. Lấy ngẫu nhiên 3 bi. Tìm xác suất lấy được 3 bi trắng trong 3 cách lấy sau: a. Lấy ngẫu nhiên cùng lúc 3 bi. b. Lấy lần lượt 3 bi không hoàn lại. Faculty of Science and Technology c. Lấy lần lượt 3 bi có hoàn lại. uu Probability and Statistics 39 Faculty of Science and Technology Probability and Statistics www.hoasen.edu.vn Bài tập (L) 4. Một lớp có 50 sinh viên (30 nam và 20 nữ). Chọn ngẫu nhiên một nhóm 4 sinh viên. Tìm xác suất trong số 4 sinh viên được chọn: a. Có 2 nam. b. Có ít nhất một nam. Faculty of Science and Technology c. Có nhiều nhất 2 nam. d. Toàn là nữ. uu Probability and Statistics 40 Faculty of Science and Technology Probability and Statistics 20

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

THÔNG TIN

TRỢ GIÚP

HỖ TRỢ KHÁCH HÀNG

Theo dõi chúng tôi

Chịu trách nhiệm nội dung:

Nguyễn Công Hà - Giám đốc Công ty TNHH TÀI LIỆU TRỰC TUYẾN VI NA

LIÊN HỆ

Địa chỉ: P402, 54A Nơ Trang Long, Phường 14, Q.Bình Thạnh, TP.HCM

Hotline: 093 303 0098

Email: support@tailieu.vn

Giấy phép Mạng Xã Hội số: 670/GP-BTTTT cấp ngày 30/11/2015 Copyright © 2022-2032 TaiLieu.VN. All rights reserved.