Bài tập Đại số tuyến tính: Tổng hợp bài tập môn Đại số tuyến tính

I/ ÑÒNH THÖÙC:

0 0 2 -1 3

1. Cho A = 4 1

1 3 0 1 0 1 ⎛ ⎜ −⎜ ⎜ 2 ⎝ ⎞ ⎟ 3 1 0 , B = 0 ⎟ ⎟ ⎠ ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠

Tính : det(3AB) a/ 162 b/ 18 c/ 6 d/ 20

1 2 -1 3

0 1 0 1 2. Tính A = 0 2 0 4

3 1 5 7

c/ 32 d/ -32. a/ -16 b/ 16

− 1 1 3 2

0 2 1 3. Tính A = 0 − 3 1 1

0 − 0 1 1

− 0 a / 30 b/ 30 c/ 15 d/ CCKÑS.

0 0 1

-1 T 0 . Tính det[(3A) ]

4. Cho A = 2 1

⎛ ⎜ ⎜ ⎜ 3 -1 2 ⎝ a/ 6 b/ 54 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ c/ 1/54 d/ 1/6

1 0 m

5. Cho ñònh thöùc B = 2 1 2m - 2

1 0 2

Tìm taát caû m ñe å B > 0 a/ m < 2 b/ m > 0 c/ m < 1 d/ m > 2

6. Cho 2 ñònh thöùc

2d 1 2 -3 4 2a 2b

2c - − 2 3 1 4 a b -c d ∆ . Kñnñ , = = ∆ 1 − 12 16 6 8 3 6 -8 4

∆ 12 17 ∆ ∆ ∆ 4 8 -12 17 = 4 b/ − = -2 c/ a/ = -4 d/ = - ∆ 1 4 ∆ 1 ∆ 1 ∆ 1

1 2 -1 3

0 1 0 4 7. Tính A = 0 2 0 1

3 1 a b

a / A = 7a + 21 b/ A = 7a + 21b c/ A = 7a - 2b d/ - 7a - 21

2 1 1 1

1 3 1 1 8. Tính A = 1 1 4 1

1 1 1 b

a / A = 17b -11 b/ A = 17b + 11 c/ A = 7b -10 d/ CCKÑS.

]

[ 2 d/ CCKÑS.

∈ = =

9. Cho A 2, B 3, vaø A, B M R . Tính det(2AB) a/ 16 b/ 8 c/ 32

− 1 1 1 1

2 2 5 1 10. Cho A = . Tính detA 4 0 2

1 1 3 0 ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ 3 ⎜ −⎝ ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ a/ - 53 b/ 63 c/ - 63 d/ CCKÑS.

1 x 2x x

1 4 = 11. Caùc gia ù trò naøo sau ñaây laø nghieäm cuûa PT 0 2 − 4 − 1 1 2

1 − 2 3 1 1

a / x = 2, x = -1 b/ x = 2, x = 3 c/ x = 3, x = -1 d/ CCKÑS.

det(3A) = 41 c/ det(3A) = 30 d/ det(3A) = 27 12. Cho ma traän vuoâng A caáp 2 co ùcaùc phaàn töû laø 2 hoaëc - 2 . Kñ naøo sau ñaây ñuùng a/ det(3A) = -72 b/

1+ i 3 + 2i = − 13.Tính A = vôùi i 1 1- 2i 4 - i

a/ A = -2 + 7i b/ A = 2 + 7i c/ A = 7 - 2i d/ A = -7 + 2i

2 0 0 6

6 1 0 3 14. Cho A = . Bieát raèng caùc soá 2006, 6103, 5525 chia heát cho 17 vaø 0 ≤ ≤ a ∈ 9 (a Z).

9 0 a 4 5 5 2 5

Vôùi gia ù trò naøo cuûa a thì detA chia heát cho 17 . a/ a = 4 b/ a = 3 c/ a = 2 d/ a = 7

x 1 1 1

1 x 1 1 15. Tính I = 1 1 x 1

3 b/ I = (x - 3)(x + 1) c/ I = (x + 3)(x -1) d/ I = (x - 3)(x - a)

1 1 1 x

a / I = 0

1 x x x

3 a

2 c

3 c

1 a a = 16. Giaûi PT trong R : 0 1 b b b

1 c Bieát a, b,c laø 3 soá thöïc khaùc nhau töøng ñoâi moät. a/ PTVN b/ PT co ù3 nghieäm a, b, c c/ PT co ù3 nghieäm a + b, b + c, a + c d/ PT co ù1 nghieäm x = a

2 -1 x 1

4 2 x 17. Cho f(x) = . Kñn ñuùng 3 −

1 3 − 1 2 2 1

ëc baèng 2 d/CCKÑS 2x 1 a/ f co ù baäc 3 b/ f co ù baäc 4 c/baäc cuûa f nhoû hôn hoa

1 x -1 -1

1 x -1 -1 = 18. Tìm soá nghieäm phaân bieät k cuûa PT 0

0 0 1 2 1 0 1 2

a / k = 1 b/ k = 2 c/ k = 3 d/ k = 4

− 1 2 x 1

− 1 2 x 1 = 19. Giaûi PT : 0

2 − 2 3 2 1 1 0 4

= 0 b/ x = 0, x = 1 c/ x = 1, x = 2 d/ CCKÑS. a / x

1 2 2 1 0 x − 1 3 = 20. Giaûi PT 0 2 2x x

1 − 2 1 3 1

a/ x = 0, x = 1 b/ x = 0, x = 2 c/ x = 0 d/x = 0, x = 1, x = 2

1 -1 2 1 3

3 -1 1 0

2 1

− 0 0 0 0

2 21. Tính 1 − 2 2 1 0 0 0 0 0

a / 6 b/ - 6 c/ 2 d/ CCKÑS.

4 0 1 2

22. Tính 8 6 0 3 4 1 1 2

14 1 3 5

a / 1 b/ - 2 c/ 2 d/ 4

1 23. Tính I = a 1 b 1 c

b + c c + a a + b

a/ I = 0 b/ I = abc c/ I = (a + b + c)abc d/ (a + b)(b + c)(a + c)

x +1 x 1 1

1 1 24.Tính I =

2 1 x x 0 0 x 1 1 x

2 1) d/ I = (x -1) (x +1)

− a / I = 0 b/ I = (x -1)(x +1) c/ I = x(x

−

1 1 25. Tính I = 1 2 − 2 3 − 3 0 − 2 2 4 6

3 2 1 5

a / I = 5 b/ I = -2 c/ I = 3 d/I = 0

1 1 1 1 L L L 1 2 2

1 1 3 L L L 3 2 3 26. Tính I = 1 1 1 L L 4 4 4 L

L L L L L L L n 1 1 1 1 L L

a/ I = 0 b/ I = (n -1)! c/ I = n! d/ I = n(n -1) 2

27. Tính A = 0 2 3 1 2 0

1 2 3 1 2 3 ⎞ ⎛ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ 0 0 3 1 0 0 ⎠ ⎝ ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ = − ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ 36 b/detA = 12 c/det a / det A A = 36 d/ detA = 18

1 2 1 2 3 -1

28. Cho A = 0 2 -1 , B = 0 3 1 . Tính det(A + B)

0 0 3 0 0 -1 ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠

a/ 0 b/ 30 c/ -36 d/ CCKÑS.

1 x

0. Tìm a bieát PT treân co ù3 nghieäm 0, 1

29. Cho 1 1

2 1

a − 1

∀

a/ a = -2 b/ a = -2 a = -1 c/ a d/ CCKÑS

∨ 1 0

1 1

-1 0 30. Tính -1 -1

1 2

-1 -1 -1 2 0

-1 -2 0 0

a / 24 b/ 1 c/ 2 d/ 3 II/ MA TRAÄN:

1. Cho 2 ma traän A =

1 0 0 0

⎞ ⎟ ⎠

⎛ ⎜ ⎝

0 1 , B = 0 2 . Kñnñ 0 3

⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠

⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ a/ AB = BA b/ AB xaùc ñònh nhöng BA khoâng xaùc ñònh

0 0

c/ BA = 0 0 d/AB =

0 0 0 0

⎛ ⎜ ⎝

⎞ ⎟ ⎠

0 0

⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝

⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠

2. Ma traän

1 1 2

2 3

1 -2

-2 1

1 2 0

0 2

2 d/ 4 2

0 -3

2 3 -1 1 4

naøo sau ñaây khaû nghòch 1 ⎛ ⎜ a/ 2 2 4 b/ -3 0 0 c/ -2 0 ⎜ ⎜ 1 ⎝

⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝

⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠

⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝

⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠

−

1 4

1 2

⎛ − ⎜ 3 ⎝

⎛ 3. Tìm ma traän nghòch ñaûo cuûa ma traän ⎜ ⎝

⎞ ⎟ ⎠

− −

2 3 4 7

1 6 -2 14

6 7 1 3 − 2 7

1 − 2

3 7

1 13

10 14 1 13

⎞ ⎟ ⎠ 1 13

⎛ ⎜ ⎝

⎞ b/ ⎟ ⎠

⎛ ⎜ ⎝

⎞ c/ ⎟ ⎠

⎛ ⎜ ⎝

⎞ d/ ⎟ ⎠

⎛ ⎜ ⎝

⎞ ⎟ ⎠

4. Cho A =

1 1 2 3 − 1 1 2 2

⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝

⎞ ⎟ ⎟ vôùi gia ù trò naøo cuûa m thì A khaû nghòch ? ⎟ ⎟ ⎠

≠

∀

≠

b/ m =

c/ m

d/ m

a/ m

1 1 − 4 1 0 2 3 m 12 7

12 7

2 7

∈

5. Cho A M [R] , A = 3. Hoûi co ù the å duøng pheùp BÑSC naøo sau ñaây ñöa A ve à ma traän B co ùdet B = 0 a/ CCKÑS b/ Nhaân 1 haøng cuûa A vôùi 1 soá 0. c/ Coäng töông öùng 1 haøng cuûa A vôùi haøng khaùc ña õñöôïc nhaân vôùi 0. d/ Nhaân ma traän A vôùi soá 0.

4x5

å duøng pheùp BÑSC naøo sau ñaây ñe å ñöa A ve à ma traän B sao cho r(B) = 2 ?

theå duøng höõu haïn caùc pheùp BÑSC ñoái vôùi haøng vaø coät.

∈ 6. Cho A M [R], bieát haïng A baèng 4. Hoûi co ù the a/ Nhaân 2 haøng cuûa A vôùi 1 soá = 0. b/ Coäng 1 haøng cuûa A vôùi 1 haøng töông öùng ña õñöôïc nhaân vôùi soá = 1/2. c/ Coù d/ CCKÑS.

−

7. Cho f(x) = x

2x 3, A =

. Tính f(A)

⎛ ⎜ ⎝

1 1 -1 1

1 1 -1 2

⎛ a/ ⎜ ⎝

⎛ ⎞ b/ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠

⎞ d/ CCKÑS. ⎟ ⎠

1 1 ⎞ ⎟ -1 2 ⎠ 2 1 ⎛ ⎞ c/ ⎜ ⎟ -1 3 ⎝ ⎠

1 -1 1 2 4

2 2 3 5 7 8. Tính haïng cuûa ma traän A = 3 -4 5 2 10

5 -6 7 6 18 ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ a/ r(A) = 4 b/ r(A) = 2 c/ r(A) = 3 d/ r(A) = 1

− 1 1 1 2

+ ì r(A) = 3 9. Cho A = 2 2 m 5 m 1 . Vôùi gia ùtrò naøo cuûa m th

− − + − m 1 1 1 2 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ∧ ≠ ≠ ≠ ≠ a/ m 2 b/ m -2 c/ m -1 m 2 d/ Khoâng toàn taïi m

-1

2 0 0

10. Cho A = 2 3 0 . Goïi M laø taäp taát caû caùc phaàn töû cuûa A . Kñ naøo sau ñaây ñuùng ?

⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ 3 1 1 ∈ ∈ ∈ ∈ a/ -1, -1/6, 1/3 M b/ 6, 3,2 M c/ -1, 1/6, 1/3 M d/ 1/2, 1, 1/3 M

0 0 1 3

3 0 2 4 ≥ 11. Cho A = -2 5 4

∀ ≠ -1 k +1 4 k 5 c/ k / k ⎞ ⎟ ⎟ vôùi gia ùtrò naøo cuûa k thì r(A) 3 ⎟ 6 ⎟ ⎟+ 2 ⎠ ≠ -1 d/ Khoâng toàn taïi k ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ a/ k b

− 1 1 a 0 a 0 12. Cho A = 0 3 0 1 0 1 0 b 0 b ⎛ ⎜ ⎝ 1 1 2 0 ⎞ ⎛ ⎟ ⎜ ⎠ ⎝ ⎞ ⎛ ⎟ ⎜ ⎠ ⎝ ⎞ ⎟ ⎠ ⎛ . Bieát ⎜ ⎝ ⎞ ⎟ ⎠ ⎛ = ⎜ ⎜ ⎝ ⎞ ⎟ ⎟ ⎠

3 3

− + 0 2 2 2 2 2 1

3 3

0 0 0 0 ⎛ ⎜ ⎜ ⎝ ⎞ ⎛ d/ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎞ ⎟ ⎟ ⎠ Tính A ⎛ 2 a/ ⎜ ⎜ ⎝ ⎞ ⎛ b/ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎞ c/ ⎟ ⎟ ⎠

− 1 2 1 1 1 2

13. Cho A = 2 4 2 2 3

3 -1 4 3 ⎞ ⎛ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎠ ⎝ ⎞ ⎟ m . Tìm m ñe å A khaû nghòch ⎟ ⎟+ 0 m 1 ⎠ ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ∀ ≠ a/ Khoâng toàn taïi m b/ m c/ m = 5 d/ m 5

1 1 1 1

2 3 4 1 o A = 14. Ch 3 4 6 6

4 4 m + 4 m + 7 ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎞ ⎟ ⎟ . Vôùi gia ùtrò naøo cuûa m r(A) = 3 ⎟ ⎟ ⎠ ∀ a / m = 1 b/ m 1 c/ m = 3 d/ m

15. Cho A = ≠ ⎞ . Tìm A ⎟ ⎠

= = a/ A − − 2 -1 3 -2 ⎛ ⎜ ⎝ 1 0 0 1 2 1 3 2 2 -1 3 -2 ⎞ b/ A ⎟ ⎠ ⎛ ⎜ ⎝ ⎛ ⎜ ⎝ ⎞ c/ A = ⎟ ⎠ ⎛ ⎜ ⎝ ⎞ d/ CCKÑS. ⎟ ⎠

100

100 2

16. Cho A = . Tính A ⎞ ⎟ ⎠

100 2

100 3

100.2

100 2

0 0 0 ⎛ a/ ⎜ ⎜ ⎝ 2 1 ⎛ ⎜ 0 2 ⎝ 100 ⎛ ⎞ 3.2 b/ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎞ c/ ⎟ ⎟ ⎠ ⎛ ⎜ ⎜ ⎝ ⎞ d/ CCKÑS. ⎟ ⎟ ⎠

-1

≠ 0. Giaûi PT ma traän AX = B ∈ -1 17. Cho A M [R],det(A) a/ X = BA b/ X = B/A c/ X = A B d/ CCKÑS

18. Cho A = , B = 1 1 -1 1 1 0 1 1 2 1 ⎛ ⎜ ⎝ ⎞ ⎟ ⎠ ⎛ ⎜ ⎝ ⎞ ⎟ ⎠ Tìm taát caû ma traän X sao cho AX = B

a/ X = 1 -2 1 3 2 3 1 -1 ⎛ ⎜ ⎝ ⎞ b/ X = ⎟ ⎠ ⎛ ⎜ ⎝ 1 -1 ⎞ c/ X = 1 4 ⎟ ⎠ 1 2 ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎞ ⎟ d/CCKÑS ⎟ ⎟ ⎠

−

-1

1 T

k 1 1 19. Vôùi gia ù trò naøo cuûa k thì r(A) = 1 vôùi A = 1 k 1 1 1 k ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ a/ k = 1 b/ k = 1, k = 1/2 c/ k = 1, k = -2 d/ CCKÑS

T B A b/ (A )

-1

Kñnaøo sau ñaây SAI = = 20. Cho A, B laø ma traän khaû nghòch. − 1 a/ (AB) (A )

− 1 A

= α = α α ≠ c/ det(AB) d/ ( A) 0 1 det(AB)

-1

B khaû nghòch. Kñnñ

∈ 21. Cho A, B M [R]. A, a/ r(2AB) = 4 b/ r(AB) < 4 c/ r(AB) < r(2AB) d/CCKÑS

5x5

∈ ∈ ≠ 22. Cho A M [R] , B M [R] bieát det(B) 3x5 a/ r(AB) = 5 b/ r(AB) = 4 0 vaø r(A) = 3. Kñnñ c/ r(AB) = 3 d/ CCKÑS

23. Cho 2 ma traän A = 1 -1 3 -2 -1 1 -3 0 1 -7 ⎛ ⎜ ⎝ ⎞ vaø B = ⎟ ⎠ ⎛ ⎜ ⎝ ⎞ . Trong caùc ma traän X sau, ma traän naøo thoûa AX = B ⎟ ⎠ 2 3

c/ X = -1 -2 d/ Khoâng co ùma traän a/ X = 2 -1 1 3 -2 -2 2 -1 -1 2 3 -2 ⎛ ⎜ ⎝ ⎞ b/ X = ⎟ ⎠ ⎛ ⎜ ⎝ ⎞ ⎟ ⎠ -1 2 ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠

1 1

1 24. Cho ma traän A = -1 -2 -3 . Kñ naøo sau ñaây ñuùng 1 0 2 ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ d/ CCKÑS ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ a/ A co ù haïng baèng 3 b/ A co ù haïng baèng 1 c/ det(A) = 0

−

= = = c/ P 4 A .A 25. Cho A, B laø ma traän khaû nghòch caáp 3, P laø ma traän phuï hôïp cuûa A. Kñ naøo sau ñaây SAI a/ P khaû nghòch b/ pr(P ) AB P .P d/ P A B

−

-1

26. Tìm ma tra än nghòch ñaûo cuûa A = 1 0 2 0 1 0 ⎛ ⎜ ⎝ 1 0 1 1 0 1 ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎠ ⎜ ⎝ ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠

-1

= = a/ A 1 0 2 0 1 0 -1 2 -1 1 ⎛ ⎜ ⎝ ⎞ b/ A ⎟ ⎠ ⎛ ⎜ ⎝ ⎞ ⎟ ⎠

oàn taïi A c / A 1 0 1 1 0 1 1 -2 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ -1 1 ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = ⎜ ⎝ ⎞ d/ Khoâng t ⎟ ⎠

-1

-1 2 1 1 − 27. Tìm ma traän nghòch ñaûo cuûa ma traän A = 1 ⎞ ⎟ ⎠ ⎛ ⎜ ⎝ 1 2 1 0 ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 1 0 = = = a / A 0 1 -2 1 2 1 ⎛ ⎜ ⎝ ⎞ b/ A ⎟ ⎠ ⎛ ⎜ ⎝ ⎞ c/ A ⎟ ⎠ -1 ⎛ ⎜ ⎝ -3 1 ⎞ d/ Khoâng toàn taïi A ⎟ ⎠

1 - 2 3 1 -1 1

28. Cho ma traän A = 1 -1 1 vaø B = 1 -1 -1 . Tính ma traän tích BA

1 -1 1 ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ 2 -2 6 2 -2 6

4 1 a/ BA = 1 -1 3 b/ BA = 1 -1 3 c/ BA = -1 1 0 0 2 0 0 -2 3 0 -2 3 1 1 d/ BA = -1 1 -2 3 0 1 -2 4 ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ 1 -1 1 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠

∈

29. Cho A M [R] . Bieát r(A) = 3 . Kñn sau ñaây ñuùng a/ det(A) = 3 b/ det(A) = 0 c/ det(2A) = 6 d/ det(2A) = 2 .3

= − I

∈ = ⇒ = = ⇒ = 30. Cho A M [R] . Kñ naøo sau ñaây LUOÂN ñuùng a / A c / A A 0 b/ A I A I d/ 2A = 0 0 A = ⇒ = ∨ A I A A = 0

⇒

III/ KHOÂNG GIAN VECTÔ (ÑLTT , THTT, PTTT, CS, CHIEÀU, TAÄP SINH) (1) Cho V laø kgvt coù chieàu baèng 5. Khaúng ñònh naøo laø ñuû ?

a. Caùc caâu khaùc ñeàu sai b. Moïi taäp coù 1 phaàn töû laø ÑLTT c. Moïi taäp coù 5 phaàn töû laø taäp sinh d. Moïi taäp coù 6 phaàn töû laø taäp sinh

(2) Tìm toaï ñoä cuûa vectô P(x) = x2 + 2x – 2 trong cô sôû E = { x2 + x + 1 , x , 1}

a. ( 1,1,-3 )

b. ( 1,1,3 ) c. (-3,1,1 ) d. Caùc caâu khaùc ñeàu sai

Trong R2 cho 2 cô sôû E = { (1,1) , (2,3)} vaø F = {(1,-1) , (1,0)}. Bieát raèng toaï ñoä cuûa

(3) x trong cô sôû E laø (-1,2) . Tìm toaï ñoä cuûa x trong cô sôû F

a. (-5,8) b. ( 8, -5) c. (-2,1) d. ( 1,2)

Cho M = { (1,1,1,1) , (-1,0,2,-3), (3,3,1,0) }

(4) N = { (-2,4,1,1), (0,0,0,0), (3,1,7,3) } P = { (1,1,1,1) , (2,2,2,2) , (3,2,0,1)} Coù theå boå sung vaøo heä naøo ñeå ñöôïc cô sôû cuûa R4

a. Chæ coù heä M b. Caû 3 heä M, N, P c. Caû 2 heä M vaø N d. Caû 2 heä M vaø P

Khaúng ñònh naøo sau ñaây ñuùng: (5)

a. Dim ( M2x3[R]) = 6 vaø dim (C2[C])=2 b. Dim (M2x3 [R])= 4 vaø dim (P3[x])=4 c. Dim P3(x)=3 vaø dim (C2 [R])=4 d. Caùc caâu khaùc ñeàu sai

Cho A thuoäc M5x6 [R]. Goïi M laø hoï vectô haøng cuûa A, N laø hoï vectô coät cuûa A. Bieát

(6) haïng cuûa A baèng 5. Khaúng ñònh naøo laø ñuùng: a. M ÑLTT, N PTTT b. M vaø N ñeàu ÑLTT c. M vaø N ñeàu PTTT d. Caùc caâu khaùc ñeàu sai

Cho P(x) =x2 +x+1 ; P2(x)=x2+2x+3 ; P3(x)=2x2+3x+4 ; P4(x)=2x+m. Vôùi giaù trò naøo

(7) cuûa m thì { P1, P2, P3, P4} khoâng sinh ra P2[x]?

a. m=2 b. m khaùc 2 c. vôùi moïi m d. m=4

Cho M= < (1,1,1,1) , (2,3,2,3), (3,4,1,m) >. Vôùi giaù trò naøo cuûa m thì M coù chieàu lôùn

(8) nhaát ?

a. vôùi moïi m b. m=4 c. m khaùc 4

d. caùc caâu khaùc ñeàu sai

(9) Cho M={ x1,x2,x3,x4,x5} laø taäp sinh cuûa KGVT 3 chieàu. Khaúng ñònh naøo luoân ñuùng?

a. M chöùa 1 taäp con goàm 3 vectô ÑLTT b. M chöùa 1 taäp con goàm 4 vecto ÑLTT c. Moïi taäp ÑLTT cuûa M ñeàu goàm 3 vectô d. Caùc caâu khaùc ñeàu sai

(10) Trong R3 cho V=< (1,1,1) ; (2,3,2) >; E={(1,0,0) , (2,2,m). Vôùi giaù trò naøo cuûa m thì E laø cô sôû cuûa V

a. Khoâng toàn taïi m b. m=2 c. m=0 d. Caùc caâu treân ñeàu sai

(11) Cho M laø taäp hôïp goàm 5 vectô x1,x2,x3,x4,x5 haïng cuûa M=3, x1,x2 ÑLTS , x3 khoâng laø THTT cuûa x1,x2. Khaúng ñònh naøo luoân ñuùng?

a. x1,x2,x3 ÑLTT b. x1,x2,x3,x4 ÑLTT c. Caùc caâu khaùc ñeàu sai d. X1,x2,x3 PTTT

(12) Trong R4 cho 4 vectô x,y,z,t PTTT . Khaúng ñònh naøo sau ñaây luoân ñuùng :

a. Caùc caâu khaùc ñeàu sai b. {x,y,z,t} sinh ra R3 c. x laø THTT cuûa y,z ,t d. haïng cuûa x,y,z,t luoân nhoû hôn 3

(13) Cho V = <(1,1,1), (0,0,0),(2,3,2)>, bieát E = {(1,1,1),(0,1,0)}laø cô sôû cuûa V vaø x=(1,2,1) thuoäc V. Tìm toaï ñoä cuûa x trong E

a. Caùc caâu khaùc ñeàu sai b. (2,1,0) c. (1,1,0) d. (1,1,2)

(14) Cho kgvt V = <(1,1,1),(2,3,1),(3,5,m)>. Vôùi giaù trò naøo cuûa m thì V coù chieàu laø 2

a. m = 1 b. m ≠ 2 c. m = 4 d. ∀ m

(15) Trong kg R3 cho cô sôû: B= {(1,2,3),(3,4,5),(2,1,4)}. Tìm toaï ñoä cuûa vectô (1,0,2) trong cô sôû B

1 8

3 4

, ) ,- a. (-

1 8

1 8 3 1 8 4 c. (1,1,6) d. Caùc caâu khaùc ñeàu sai

, , ) b. (

(16) Trong kgvt P2[x] cho caùc ña thöùc P1(x) = x2+x+1, P2(x)= 2x+1, P3(x)= 3x2+2x+m . Vôùi giaù trò naøo cuûa m thì P1,P2,P3 sinh ra P2[x]

a. m=

5 2 5 2 c. m=0 d. ∀m

b. m≠

(17) Cho vectô x coù toaï ñoä trong cô sôû {(1,2,3),(3,4,5),(2,1,4)} laø (1,2,-1). Tìm toaï ñoä cuûa x trong cô sôû {(1,1,1),(1,1,0),(1,0,0)} a. (1,5,-4) b. (-4,5,1) c. (1,5,2) d. (9,0,-4)

(18) Cho kgvt coù chieàu laø 3. Khaúng ñònh naøo luoân ñuùng

a. ∀ taäp sinh phaûi coù nhieàu hôn 3 phaàn töû b. ∀ taäp ÑLTT phaûi coù hôn 3 phaàn töû c. ∀ taäp sinh coù 3 phaàn töû laø taäp cô sôû d. Caùc caâu khaùc ñeàu sai

(19) Cho hoï B= {(1,1,1,1),(3,2,1,5),(2,3,0,m-11)}. Vôùi giaù trò naøo cuûa m thì B PTTT

a. m ≠2 b. m = -1 c. m ≠-2 d. Khoâng ∃ m

(20) Cho V=, v1,v2,v3 laø taäp ÑLTT cöïc ñaïi. Khaúng ñònh naøo ñuùng

a. V coù chieàu laø 5 b. v 4 laø THTT cuûa v1,v2,v3,v5 c. v1,v2,v3,v4,v5 khoâng sinh ra V d. Caùc caâu khaùc ñeàu sai

(21) Trong R3 cho V= , dim(V)=2, x,y ÑLTT. Khaúng ñònh naøo luoân ñuùng

a. Dim V=2 b. x ,y,z sinh ra V c. haïng cuûa x,y,z <= 3 d. caùc caâu khaùc ñeàu ñuùng.

(22) Trong kg 5 chieàu cho taäp M coù 4 vectô ÑLTT vaø taäp N coù 2 vectô ÑLTT. Khaúng ñònh naøo luoân ñuùng

a. Dim (M ∪ N)=2 b. Dim (M ∪ N)=3 c. Dim (M ∪ N)=6 d. Caùc caâu khaùc ñeàu sai

(23) Cho M={(a,a+b,b-a)∈R3 \ a,b∈ R}.Khaúng ñònh naøo luoân ñuùng

a. 3 caâu kia ñeàu sai b. {(1,0,0),(0,1,-1),(0,1,1)} laø taäp sinh cuûa M c. {(1,0,0),(0,1,-1),(0,1,1)} laø cô sôû cuûa M d. {(1,1,-1),(0,1,1)} laø cô sôû cuûa M

(24) Cho {x,y,z} laø cô sôû cuûa kgvt V. Khaúng ñònh naøo luoân ñuùng

a. {x,y,z,x+2y} laø cô sôû cuûa V b. {x,y,z,x+2y-z} laø taäp sinh cuûa V c. 3 caâu kia ñeàu sai d. x laø THTT cuûa y,z

(25) Cho M = {(0,i),(1,0),(0,1)}. Khaúng ñònh naøo laø ñuùng

a. M sinh ra C2[R] b. M PTTT trong C2[R] c. M ÑLTT trongC2[C] d. M ÑLTT trongC2[R]

(26) Cho {x,y,z} laø cô sôû cuûa kgvt V. Khaúng ñònh naøo luoân ñuùng

a. {x,y,z, x-2y} laø cô sôû cuûa V b. {2x,y,z} laø cô sôû cuûa V c. x+y – 2z ∉ V d. {x,y,z, x+y+z} ÑLTT

(27) Cho kgvt V coù chieàu laø 3. Khaúng ñònh naøo luoân ñuùng a. Moïi taäp sinh ra V coù 3 vectô laø cô sôû b. Moïi taäp sinh ra V coù ñuùng 3 vectô c. 3 caâu kia ñeàu sai d. Moïi taäp sinh coù 1 vectô ÑLTT

(28) Cho M= {3,x2+x-2, x+2, 2x+m , x2+2x}. Tìm taát caû m ñeå M sinh ra kg coù chieàu lôùn I

a. 3 caâu kia ñeàu sai

b. ∀m c. m ≠12 d. m=6

(29) Trong kgvt V cho hoï M={x,y,z, x+2y}. Khaúng ñònh naøo luoân ñuùng

a. M PTTT b. haïng cuûa M =4 c. M sinh ra kg 3 chieàu d. M ÑLTT

(30) Cho A ∈ M5x6[R]. Ñaët M,N laø hoï vectô haøng , coät töông öùng cuûa A, bieát M ÑLTT . Khaúng ñònh naøo luoân ñuùng

a. N ÑLTT b. N sinh ra kg 3 chieàu c. haïng cuûa A = 4 d. N sinh ra kg 5 chieàu

(31) Trong R3 cho: V= <(1,-1,1), (2,1,3),(3,3,5)> vaø x=(3,2,m). Tìm m ñeå x ∈V

14 3

a. m =

c. m≠ b. khoâng ∃ m 14 3

d. ∀m

(32) Trong R3 cho: U={(x,y,z): x+y+z=0, x-2y+3z=0}. Khaúng ñònh naøo luoân ñuùng

a. Dim U=2 b. (2,1,-3) ∈U c. dim U=1 d. (0,0,0) ∉U

(33) Cho P(x) coù toïa ñoä trong cô sôû E={x2+x+1, 7x-2,2} laø (2,1,-3). Tìm toaï ñoä cuûa P(x) trong cô sôû F={x2,3x,3}

a. (-2,3,2) b. (2,3,-2) c. (2,-2,3) d. (1,-1,4)

(34) Trong kgvt P2[x] cho caùc ña thöùc P1(x)= x2+x+2, P2(x)= x+1, P3(x)=2x2+2x+m. Vôùi giaù trò naøo cuûa m thì P3(x) laø THTT cuûa P1(x) vaø P2(x)

a. m= 4 b. m ≠4 c. m≠ 0 d. ∀m

(35) Trong kgvt R4 cho taäp B={(1,1,1,1), (1,2,3,4), (0,0,0,0),(2,3,4,5)}. Khaúng ñònh naøo luoân ñuùng

a. Haïng cuûa B laø 2 b. B laø cô sôû cuûa R4 c. Haïng cuûa B laø 3 d. B sinh ra R4

(36) Trong kg C2[C] . Khaúng ñònh naøo luoân ñuùng

a. {(1,1),(1,2)} laø cô sôû b. {(1,1),(1,2),(i,0)} ÑLTT c. {(1,0),(0,1),(i,0)} laø cô sôû d. 3 caâu kia ñeàu sai

(37) Tìm taát caû m ñeå M={x2+x+1,2x+1,x2+x+m} laø cô sôû cuûa P2[x]. kg caùc ña thöùc coù baäc nhoø hôn hoaëc baèng 2

a. m ≠

3 2 3 2 c. m≠ 3 d. m≠ 1

Rcba ,

b. m=

∈ cba

=++

⎛ ⎜⎜ ⎝

⎞ ⎟⎟ ⎠

}. Goïi E laø cô sôû cuûa F. Khaúng ñònh naøo (38) Cho kgvt F={ ∈M2[R]

ñuùng

−

⎞ ⎟⎟ 1 ⎠ 00

a. E= { }

⎛ ⎞ ⎜⎜ ⎟⎟ , 1 1 ⎝ ⎠ 10 ⎛ ⎜⎜ ⎝

⎞ ⎟⎟ , ⎠

⎛ ⎜⎜ ⎝

⎞ ⎟⎟ ⎠

⎛ ⎜⎜ 0 − ⎝ 01 ⎛ ⎜⎜ ⎝ c. F laø kg 3 chieàu d. 3 caâu kia ñeàu sai

} b. E= {

(39) Trong kgvt V cho hoï M ={x,y,5y,2x}, bieát x,y ÑLTT. Khaúng ñònh naøo luoân ñuùng

a. M sinh ra kg 2 chieàu b. 5x,2y PTTT c. haïng M laø 4 d. Haïng M laø 4

(40) Cho kgvt M = {(a+b,2a-b,b)∈ R3 \ a,b∈ R}. Khaúng ñònh naøo luoân ñuùng

a. {(1,2,0),(1,-1,1)} laø taäp sinh cuûa M b. 3 caâu kia ñeàu sai c. {(1,0,0), (0,2,0), (1,-1,1)}laø cô sôû cuûa M d. dim M = 3

(41) Cho A laø ma traän vuoâng caáp 3, det(A) =0. Ñaët M,N laø hoï vecto haøng, coät töông öùng cuûa A

a. M sinh ra kg 3 chieàu b. Haïng cuûa hoï N baèng 2

c. N sinh ra kg coù chieàu nhoû hôn 3 d. Caùc caâu khaùc ñeàu sai

(42) Cho {x,y,z} laø cô sôû cuûa kgvt V. Khaúng ñònh naøo luoân ñuùng

a. haïng cuûa {x,y,2x+3y} laø 2 b. 2x+3y ∉ V c. z laø THTT cuûa x,y d. 3 caâu kia ñeàu sai

(43) Cho V= <(1,1,1),(1,2,1)> , E= <(1,1,1),(1,-1,m)>. Tìm m ñeå E laø cô sôû cuûa V

a. m= 1 b. ∀m c. khoâng ∃ m d. caùc caâu khaùc ñeàu sai

(44) Trong kgvt V treân R cho hoï vectô W={x,y,z} ÑLTT. Tìm m ∈ R ñeå {x+y+z, x+y, x+2y+mz} ÑLTT

a. ∀m b. m≠ 1 c. m = 1 d. khoâng ∃ m

(45) Cho kgvt V = Khaúng ñònh naøo luoân ñuùng

a. 3 caâu kia ñeàu sai b. dim V=3 c. dim V = 2 d. {x,y,x+y-z} PTTT

(46) Trong kgvt 2 chieàu cho x,y ÑLTT. Tìm toaï ñoä cuûa vectô 2x+4y trong cô sôû E={x+y, x-y}

a. (3,-1) b. (-1,3) c. (-2,1) d. (1,-2)

(47) Trong kg caùc ña thöùc coù baäc <= 1, cho P(x) coù toaï ñoä trong cô sôû E= {x+2, 3} laø (2,4). Tìm toaï ñoä cuûa P(x) trong cô sôû F={x+1,x-1}

a. (9,-7) b. (-7,9) c. (-2,1) d. 3 caâu kia ñeàu sai

(48) Cho M= {(1,0),(0,1), (i,0)}. Khaúng ñònh naøo luoân ñuùng

a. M laø taäp sinh cuûa C2[R} b. M laø cô sôû cuûa C2[R} c. M ÑLTT trong C2[R} d. Caùc caâu khaùc ñeàu sai

(49) Cho M = {(i,0), (0,i), (1,0), (2-i,3i)}. Khaúng ñònh naøo ñuùng

a. M sinh ra C2[R] b. M sinh ra C2[C] c. M ÑLTT trong C2[R] d. Caùc caâu khaùc ñeàu sai

(50) Cho M= {1, x2+x-2, x+m, x2+x-1}. Tìm taát caû m ñeå M sinh ra kg coù chieàu nhoû nhaát

a. m= -1 b. ∀m c. m≠ 0 d. 3 caâu kia ñeàu sai

(51) Cho {u+v+w, u+v, u} ÑLTT. khaúng ñònh naøo ñuùng

a. {u,v,2w} ÑLTT b. {u,v,w} PTTT c. {u,u+v,w}coù haïng =2 d. caùc caâu khaùc ñeàu sai

(52) Trong kgvt V cho 3 vectô {u,v,w}. Khaúng ñònh naøo luoân ñuùng

a. u+v laø THTT cuûa u,v,w b. {u,v,u+w} PTTT c. caùc caâu khaùc ñeàu sai d.

(53) Trong kgvt P2[x] cho caùc ña thöùc P1(x)= x2+x+2, P2(x)= x+1, P3(x)= 2x2+2x+m. Vôùi giaù trò naøo cuûa m thì P3(x) laø THTT cuûa P1(x) vaø P2(x)

a. m=4 b. m≠ 4 c. m≠0 d. ∀m

(54) Cho kgvt V sinh ra bôûi a vectô v1,v2,v3,v4 . Giaû söû v5 ∈ V vaø khaùc vôùiv1,v2,v3,v4 . Khaúng ñònh naøo luoân ñuùng

a. V= b. Moïi taäp sinh ra V phaûi coù ít nhaát 4phaàn töû c. v1,v2,v3,v4 laø cô sôû cuûa V d. Caùc caâu khaùc ñeàu sai

(55) Trong kg caùc ña thöùc coù baäc <=1 , cho P(x) coù taïo ñoä trong cô sôû E= {2x+1,x-1} laø (2,1). Tìm toaï ñoä cuûa P(x) trong cô sôû F={x,2x-1}

a. (5,-1) b. (-1,5) c. (1,4) d. (7,-1)

(56) Cho {x,y} laø cô sôû cuûa kgvt V. Khaúng ñònh naøo sau ñaây ñuùng

a. 2x+3y ∉ V b. {x,y,2x} laø cô sôû cuûa V c. {x,y,x-y} ÑLTT d. {2x,y,x+y} laø taäp sinh cuûa V

(57) Cho kgvt coù chieàu laø 3, M={x,y} laø ÑLTT trong V. Khaúng ñònh naøo luoân ñuùng

a. V= b. V= c. Taäp {x,y,0} ÑLTT trong V d. 3 caâu kia ñeàu sai

32 01

21 m1

−

⎛ ⎜⎜ ⎝

⎞ ⎟⎟ , ⎠

⎛ ⎜⎜ ⎝

⎞ ⎟⎟ ⎠

1 1 ⎞ ⎟⎟ , 11 ⎠

⎫ ⎬ ⎭

⎧ ⎛ ⎜⎜ ⎨ ⎝ ⎩ a. m= -1 b. m ≠ -1 c. ∀ m d. khoâng ∃ m

(58) Cho M= m= ? thì M ÑLTT

(59) Xem C2[R] laø kgvt caùc caëp soá phöùc treân R. khaúng ñònh naøo luoân ñuùng

a. Caùc caâu khaùc ñeàu sai b. Vectô (i,0)= i(1,0) + (0,1) neân vectô (i,1) laø THTT cuûa 2 vectô (1,0) vaø (0,1) c. Dim C2[R] = 2 d. {(1,0), (0,1)} sinh ra C2[R] e.

(60) Vectô x coù toaï ñoä trong cô sôû {u,v,w} laø (1,2,-1). Tìm toaï ñoä cuûa vectô x trong cô sôû u, u+v, u+v+w

a. (-1,3,-1) b. (3,-1,-1) c. (1,3,1) d. (3,1,1)

IV/ KHOÂNG GIAN CON :

−

}

{

−

1. Trong R cho khoâng gian con F = < (1, 1, 1), (2, 3, 1), (5, 1, 2) > Tìm moät cô sôû E vaø dim(F) } a/ dim F = 2, E = (1,1,1),(0,1, 1) b/ dim F = 2, E = (1,1,1),(0, 0,1)

} 1),(2,3,1),(5, 1,2) d/ CCKÑS.

{ {

∈

−

c/ dim F = 2, E = (1,1,

x x 0

}

{

} , 1 , 0 ), (1, 0, 1)

{ {

} c/ dim F = 2, E = (1, 1, 2), (2, 2, 4) d/ dim F = 3, E = (1, 0, 0),(0, 1, 0), (0, 0, 1)

− =

∈

2. Trong R cho khoâng gian con F = (x ,x ,x ) R x 1 Goïi E laø cô sôû cuûa F. Kñnñ } a/ dim F = 1, E = 1, 1, -1) b/ dim F = 2, E = (-1 }

} 0

{

−

}

{

−

0, p( 1)

c/ dim F = 1, E = x 1 d/ dim F = 1, E = (x 1) (x 1) 3. Trong P [x] cho khoâng gian con F = p(x) P [x] p(1) E laø moät cô sôû cu ûa F. Kñnñ { } − 1 b/ dim F = 2, E = x 1, x 1 a/ dim F = 1, E = x } {

∈

{

}

∈

1) > . Kñnñ

∈

+ +

4. Trong R cho khoâng gian con F = < (1, 1, 1), (2, 3, a/ E = (1, 1, 1), (0, 0, 1) laø cô sôû cuûa F b/ x = (0, 1, 2) F c/ x = (0, -1, 1) F d/ CCKÑS.

{ = p(x) P [x] p(1) 2

} 0 vaø f(x) = x

∈

∀

x m

∈

5. Trong P [x] cho khoâng gian conF m baèng bao nhieâu thì f(x) F a/ m = 2 b/ m = -2 c/ m d/ Khoâng toàn taïi m

+ + x 2 + 3x

+ x 3 − x

⎧ ⎨ ⎩

⎫ ⎬ ⎭

6. Trong R cho khoâng gian con F = (x ,x , x ,x ) R 0 = x 4 + x 0 x 1 2x 1

{

Goïi E laø 1 cô sôû cuûa F . Kñnñ } a/ dim F = 2, E = (-4, 3, 1, 0), (-2, 1, 0, 1) b/ dim F = 2, E = (1, 1, 1, 1), (2, 3, -1, 1)

{ { c/ dim F = 1, E = (-4, 3, 1, 6), (-2,

} }

1, 0, 9) d/ CCKÑS

∈

+ + − = + 0

⎞ ⎟ ⎠

⎧ ⎛ ⎨ ⎜ ⎝ ⎩

⎫ ⎬ ⎭

a b 0 7. Trong M [R] cho khoâng gian con F = M [R] 2 a b c d + = 2a 3b c c d

−

Goïi E laø cô cuûa F. Kñnñ

⎞ ⎛ , ⎟ ⎜ ⎠ ⎝

⎞ ⎟ ⎠

⎧ ⎛ ⎨ ⎜ ⎝ ⎩

⎫ ⎬ ⎭

b/ dim F = 2, E = a/ dim F = 2, E = 1 1 1 -1 2 3 1 0 2 1 0 1 3 0 2 1

⎧ ⎛ ⎨ ⎜ ⎝ ⎩ ⎧ −⎛ 2 1 ⎨ ⎜ 0 1 ⎝ ⎩

⎞ ⎛ , ⎟ ⎜ ⎠ ⎝ ⎫ ⎞ d/ CCKÑS ⎬ ⎟ ⎠ ⎭

c/ dim F = 1, E =

≠

∀

8. Trong R cho U = < (1, 1, 1), (0, 1, -1) > V = < (2, 2, 2), (1, 2, m) > m baèng bao nhieâu thì U = V a/ m 0 b/ m = 0 c/ m 1 d/ m = 1

9. Trong R cho U = < (1, 1, 1), (0, 1, -1) > V = < (2, 2, 1), (1, 1, m) > m baèng bao nhieâu thì U = V a/ Khoâng toàn taïi m b/ m c/ m = 1 d/ m = 2

} } b/ dim (F + G) = 3, E = (1, 1, 1), (0,1, 0) , (0, 0, 1)

}

{ { {

10. Cho F = < (1, 1, 1) , (1, 2, 1) > G = < (2, 3, 2), (4, 7, 4) > Tìm chieàu vaø moät cô sôû E cuûa F + G a/ dim (F + G) = 2, E = (1, 1, 1), (0, 1, 0)

c/ dim (F + G) = 4, E = (1, 1, 1), (1, 2, 1), (2, 3, 2), (4, 7, 4) d/

≠ −

≠

nhaát

b/ m = a/ m c/ m 4 d/ m = 4 11. Cho F = < (1, 1, 1, 1), (2, 3, 1, 4) > G = < (1, -1, 1, 0), (-2, 1, 0, m) > Tìm m ñe å F + G co ùchieàu lôùn 13 2 13 2

x + y + z + t = 0

− + =

12. Tìm cô sôû , chieàu cuûa khoâng gian nghieäm E cuûa he äthuaàn nhaát : 2x + 3y + 4z - t = 0

⎧ ⎪ ⎨ ⎪ ⎩

-x + y z t 0

{

} , E = (2, 1, - 2, -1) b/dim E = 3, E = (1, 1, 1, 1), (0, 1, 2, - 3), (0, 0, - 4, 2) 0

a/ dim E = 1

{ { 1, E = (-2 ,

} } α α α α ∀α , 2 , )

+ + x y 2z +

c/ dim E d/ CCKÑS.

− = 0 t + + = 0 co ùchieàu lôùn nhaát t = x y z mt 0

∀

≠

⎧ ⎪ hieäm cuûa he ä 2x 2y z ⎨ ⎪− + + + ⎩ ≠

13. Vôùi gia ùtrò naøo cuûa m thì khoâng gian ng

a/ m b/ m 7 c/ m = 7 d/ m 5

= 0 = 0

− x 2 + x

+ x 3 − x

x x 14. Trong R cho F = (x ,x ,x ) x 1

x 1 2x 1

{ ⎧ G = (x ,x ,x ) ⎨ 3 ⎩

} 0 ⎫ ⎬ ⎭

∩

∩ ∩

} d/ dim (F G) = 3, E = (1, 1, 1), (0, 1, 0), (0, 0, 1)

{ {

Tìm chieàu vaø 1 cô sôû E cuûa F G } a/ dim (F G) = 0, khoâng toàn taïi cô sôû b/ dim (F G) = 0, E = (0, 0, 0)

c/ dim (F G) = 1, E = (1, 1, 1)

x x 15. Trong R cho F = (x , x ,x ) x 1

} 0

− x 2 + x

= + x 3 + 3x

⎫ ⎬ ⎭

G = (x ,x ,x ) 3 0 = 0 x 1 3x 1

{ ⎧ ⎨ ⎩

∩

{

∩

{ {

} d/ dim (F G) = 2, E = (1, 1, 1), (1, -1, 1)

} G) =, E = (1, 1, 1), (0, 1, 0) {

∈

c/ dim (F G) = 1, E = ( , 0, - Tìm chieàu vaø 1 cô sôû E cuûa F G } a/ dim (F G) = 1, E = (1, 0, -1) b/ dim (F } α ∀α )

∈

{ { G = p(x) P [x] p(2)

} 0 } 0

∩

16. Trong P [x] cho 2 khoâng gian con F = p(x) P [x] p(1)

∩

−

{

Tìm chieàu vaø 1 cô sôû E cuûa F G

}

∩

−

{ a/ dim (F G) = 1, E = x {

} − 2x 3 b/ dim (F G) = 2, E = x 1,x 2 } c/ dim (F G) = 1, E = x 1 d/ CCKÑS

−

1 x x 7. Trong R cho 2 khoâng gian con F = (x ,x ,x ) x 1

x x G = (x , x , x ) x 1

} 0 } 0

{ {

{

} , 0), (0, 0, 1) b/ dim (F + G) = 2, E = (1, 1, 1), (1, 1, -1)

}

{

Tìm chieàu vaø 1 cô sôû cuûa F + G a/ dim (F + G) = 3, E = (1, 0, 0), (0, 1 c/ dim (F + G) = 0, khoâng co ùcô sôû d/ CCKÑS

+ x 2 + 3x

= x

⎫ ⎬ ⎭

18. Trong R cho 2 khoâng gian con F = (x ,x , x ) 3 x 3 − 0 =

3 =

2 −

⎧ ⎨ ⎩ {

x 1 2x 1 + 2x 2x G = (x , x , x ) x 1 0 } 0

∀

≠

Tìm chieàu cuûa F + G a/ dim (F + G) = 2 b/ dim (F + G) = 3 c/ dim (F + G) = 1 d/ dim (F + G) = 4

∩

⊕

19. Trong R cho2 khoâng gian con F = < (1, 1, 1), (2, 1, -1) > G = < (1, 2, m) > m baèng bao nhieâu thì G laø khoâng gian con cuûa F a/ m = 4 b/ m c/ m 4 d/ Khoâng toàn taïi m

{ }

∩

20. Cho U, W laø 2 khoâng gian con cuûa khoâng gian V. Kñ naøo sau ñaây ñuùng a/ CCKÑS b/ Neáu U W = 0 thì V = U W

{ }

∩

c/ Neáu U W = 0 thì dim U + dim W = dim V d/ dim (U + V) = dim U + dimW + dim(U W)

∩

−

n ñuùng 3 b/ dim(F G) = dim F

∈

21. Cho F laø khoâng gian con cuûa R . Kñ naøo luoâ = a/ dim (F + G) = dim R c/ dim(F + G) = dim F + dim G dim(F G) d/ CCKÑ ñuùng

} 0

{ 22. Cho khoâng gian F = (x ,x ,x ) R x mx 1 m ñeå dimF = 2

∀

≠

Tìm taát caû a/ m b/ m = 0 c/ m 0 d/ m = 1

R . Tìm taát caû m ñeå U = R

{

}

∈ ∀

≠

23. Cho khoâng gian F = x ,mx ,x a/ m 0 b/ m = 0 c/ m d/ m = 1

∈

≠

{

}

∀

≠

24. Cho khoâng gian F = ((m + 1)x ,x ,(m 2)x ) R . Tìm taát caû m ñeå U R ∨ a/

+ m -1 vaø m = -2 b/ m -1 m -2 c/ m d/ CCKÑS

⊕

25. Trong khoâng gian R cho 2 khoâng gian con U = < (1, 1, 2), (3, 5, 7) > 3 V = < (m, 6, 9), (2, 2, 4) > Vôùi gia ùtrò naøo cuûa m thì U + V = U V

a/ Khoâng co ùgia ùtrò naøo cuûa m. b/ m = 4 c/ m = 0 d/ m =

1 4

∈

∉

6. Giaû söû F laø khoâng gian con cuûa R , dim F = 2 vaø x R , x F. Khaúng ñònh naøo sau ñaây ñuùng

⊕

≠

∩

≠

{ } 0 d/ F < x > 0

2 a/ F < x > = R b/ F, < x > laø khoâng gian con cuûa R vaø F + < x > R ∩ c/ F + < x > = R vaø F < x > 3

a b

∈

27. Trong M [R] cho khoâng gian con F =

0 0

⎫ ⎬ ⎭

a / E =

{

}

1 0 0 0

0 2 0 0

⎞ a, b R . Tìm 1 cô sôû E cuûa F ⎟ ⎠ 2 2 0 0

⎞ ⎛ , ⎟ ⎜ ⎠ ⎝

⎞ ⎟ ⎠

⎧ ⎛ ⎨ ⎜ ⎝ ⎩ 1 1 ⎞ ⎛ , ⎟ ⎜ 0 0 ⎠ ⎝

⎧ ⎛ ⎨ ⎜ ⎝ ⎩

⎫ ⎧ ⎛ b/ ⎬ ⎨ ⎜ ⎝ ⎭ ⎩

⎫⎞ c/ (1, 0), (0, 1) d/ CCKÑS ⎬ ⎟ ⎠ ⎭

Tìm chieàu cuûa F

28. Trong C [R] - khoâng gian caùc caëp soá phöùc treân tröôøng soá thöïc, cho F = < (1, 0), (i, 1), (2i + 1, 2), (2 + i, 1) > a/ dim F = 2 b/ dim F = 3 c/ dim F = 4 d/ dim F = 1

∩

2 b/ dim (F + R

)

= 2 c/ dim (F R ) 3 d/ dim (F R ) 1

29. Trong R cho khoâng gian con F = < (1, 1, 1), (2, 3, 1) > . Kñnñ ∩ a/ dim (F R ) 3

∩ =

= F d/ F + G = R

30. Trong R cho 2 khoâng gian con F, G. Bieát F laø khoâng gian con cuûa G. Kñn ñuùng a/ F + G = F b/ F G G c/ F + G V/ HEÄ PHÖÔNG TRÌNH TUYEÁN TÍNH :

1. Tìm taát caû m ñe å he ä pt sau co ùnghieäm duy nhaát 2x 5y 3z 5 =

⎧ + + = x 2y z 1 ⎪ = + + ⎨ ⎪ 2 + + 3x 7y m z 6 ⎩

≠ ±

a/ m = 2 b/ m

2 c/ m = 2 d/ m = -2

+ = − 3y z − + +

−

⎧ + x 1 ⎪ − − 2. Tìm taát caû m ñe å he äsau co ùvo âsoá nghieäm ⎨ ⎪ + 4x 12y (3 m )z m 3 ⎩

= 2x 6y (m 1)z 4 = ± a/ m = 3 b/ m = 1 c/ Khoâng toàn taïi m d/ m = 1

+ +

α = β

, y = , z − α =

R α ∈

= α

+ + = x y z 0 ⎧ ⎪ − = 3. Giaûi he äPT : 2x 3y z 1 ⎨ ⎪ = + 3x 4y 3z 1 ⎩ α − β b/ x = - a / x = -1, y = 1, z = 0 c / x = d/ x = 1

,y 1,z

α β ∈ ,

∀

+ + = mx 2y 3z ⎧ ⎪ + − = 0 4. Tìm m ñe å he äsau co ùnghieäm khoâng taàm thöôøng 2x y z ⎨ ⎪ − + = 3mx y 2z ⎩ ≠ Khoâng toàn taïi m b/ m c/ m = -1 d/ m -1

∀

≠

⎧ + + = − 0 x y 3z 2t ⎪ + − + = 0 5. Tìm m ñe å he äsau co ù vo âsoá nghieäm 2x y z 3t ⎨ ⎪ 2 = − + 0 3mx y m z ⎩ -1 d/ m -1

a/ m b/ Khoâng toàn taïi m c/ m =

ñònh thöùc A =

x + 2y + z + 4t = 0 ⎧ ⎪ 3x + y + 4z + 2t = 0 6. Cho he äPT ⎨ 7x + 3y + 4t = 0 ⎪ 9x + 7y - 2z +12t = 0 ⎩

4 1 2 -1 2 4 3 1 7 3 4 0 9 7 -2 12

Tính A bieát HPT treân co ùnghieäm khoâng taàm thöôøng a/ A = 4

b/ A = 3 c/ A = 34 d/ A = 0

x + 2y + z = 0

7. Vôùi gia ùtrò naøo cuûa m thì he äPTsau co ùnghieäm khoâng taàm thöôøng 2x + y + 3z = 0

⎧ ⎪ ⎨ ⎪⎩ 3x + 2y + mz = 0

≠ a / m = 4 b/ m 4 c/ m = 3

d/ m =

13 3

8. Tìm taát caû m ñe å he ä 2x 2y (m 6)z

co ùvo âsoá nghieäm

+ +

−

⎧ + + x y 2z 1 ⎪ + − ⎨ ⎪− 2 − 3x 3y (m 10)z m 1 ⎩

a/ m = 6 b/ m = 2 c/ m = -2 d/ Khoâng toàn taïi m

mx + y + z = 0

9. Tìm taát caû m ñeå he ä x + my + z = 0 nghieäm duy nhaát baèng 0

x + y + mz = 0

⎧ ⎪ ⎨ ⎪⎩

≠

a/ m -2 & m -1 b/ m 1 c/ m -2 d/ m = -1

10. Tìm taát caû m ñe å he äPTsau vo ângh

4 =

−

⎧ + + = − 1 x 3y z ⎪ − + − − ieäm 2x 6y (m 1)z ⎨ ⎪ 2 + + 4x 12y (3 m )z m 3 ⎩

a/ m = -1 b/ m = 1 c/ m = 1 d/ Khoâng toàn taïi m

−

⎧ ⎪ 11. Tìm taát caû m ñeå he äPT sau co ùnghieäm duy nhaát - ⎨ ⎪ ⎩

5x + 3y + 6z + 7t = 1 − 2x - 6y + (m 1)z + 4t = 4 2 = 4x + 12y + (3 + m )z mt m 3 ∀

a/ m = 31 b/ Khoâng toàn taïi m c/ m = 1 d/ m

. Vôùi gia ùtrò naøo cuûa m thì he äco ù nghieäm duy nhaát .

0 0 =

+ + + = 0 x y z t ⎧ ⎪ − = + + t 2x 3y 4z 12. Cho he äPT : ⎨ + = + + 3x y 2z 5t ⎪ + + + 4x 6y 3t mt ⎩ ≠

a/ m = 14/3 b/ m 14/3 c/ m = 4 d/ m = -12

. Vôùi gia ù trò naøo cuûa m thì he äco ùnghieäm duy nhaát

x y z t 1 + 13. 2x 3y z 2t + + +

+ + − = − + 2 2 − mx y (m 1)z

⎧ ⎪ ⎨ ⎪ ⎩

2t m 1 ≠

a/ m = 0 b/ m 2 c/ Khoâng toàn taïi m d/ CCKÑS

14. Tìm taát caû m ñe å he äP

⎧ + + = x y z 1 ⎪ − = + T sau vo ânghieäm : 2x 3y z 4 ⎨ ⎪ + + + 3x 3y (m 4)z m 2 ⎩ ∀

a / m = -1 b/ m = 1 c/ m d/ Khoâng toàn taïi m

x 1 15. Giaûi he ä PT 2x 1 x 1

+ + x ⎧ 2 ⎪ + 3x ⎨ ⎪ + 3x 3 ⎩ α α α α α α α α

= − x x 4 3 = + 0 x 3 + + x 2x 3 α α α α α ∈ R b/ x = (5 , - 2 , 4 , ) a/ x = (-5 , 2 , 4 , ) c/ x = (-5 , 3 , 2 , ) d/ CCKÑS

16. Tìm taát caû m ñe å he äPT sau co ùvo â

= + +

⎧ + x y - z 1 ⎪ − + soá nghieäm 2x 2y (m 1)z ⎨ ⎪ 2 − + 3x 3y (m 4)z m 4 ⎩

4 = ± a/ Khoâng toàn taïi m b/ m = 1 c/ m = 1 d/ m = -1

∈

6x1

ân co ùnghieäm khoâng taàm thöôøng

17. Cho A M [R] , X M [R]. Kñ naøo luoân ñuùng 5x6 a/ He äAX = 0 luo b/ He äAX = 0 co ù nghieäm duy nhaát c/ He äAX = 0 vo ânghieäm d/ CCKÑS

∈

d/ Ax = B vo ânghieäm

18. Cho A M [R], x = (x , x , x , x ) . B = (1, 2, -1, 0) . Bieát A khaû nghòch . Kñ naøo LUOÂN ñuùng 3 a/ Ax = B co ù vo âsoá nghieäm b/ Ax = B co ù nghieäm duy nhaát c/ r(A) = 3

19. Giaûi he ä 2

1 -1 1 1 3

x 1 x

⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝

⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠

⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝

−

a/ (-

,1) b/ (-

,1) c/ PTVN d/ (6, - 2, 7)

7 2 , 5 5

1 ⎞ ⎛ ⎟ ⎜ = − 1 ⎟ ⎜ ⎜ ⎟ 2 ⎝ ⎠ 7 2 ,- 5 5