Bài tập thể tích khối đa diện khối cầu, khối trụ, khối nón - phần 3

Chia sẻ: Nguyễn Ngân | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:11

Thêm vào BST

Báo xấu

120
lượt xem 29
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Tham khảo tài liệu 'bài tập thể tích khối đa diện khối cầu, khối trụ, khối nón - phần 3', tài liệu phổ thông, ôn thi đh-cđ phục vụ nhu cầu học tập, nghiên cứu và làm việc hiệu quả

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Bài tập thể tích khối đa diện khối cầu, khối trụ, khối nón - phần 3

MỘT SỐ BÀI TẬP CÓ THỂ GIẢI BẰNG PP TOẠ ĐỘ VỚI VIỆC CHỌN HỆ TOẠ ĐỘ DỄ DÀNG Bài 1: Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình thoi, AC = 4, BD = 2, AC cắt BD tại O SO  (ABCD), SA = 2 2 . Gọi M là trung điểm SC, (ABM) cắt SD tại N. Tính thể tích khối chóp S.ABMN GIẢI Cách 1: S N M A D O B C Ta có AB // CD (gt) (ABM) (SCD) = MN ⇒MN // CD ⇒ N là trung điểm SD 4.2.2 2  8 2 1 1 1 VSABCD = SABCD.SO = AC.BD.SO = 2 2 2 SSABD = 2 . 2 = 2 2 182 VSABN   1 SN 1 ⇒ VSABN = 2 VSABD SD 2 182 SSBCD = 4 . 2  . SN  1 . 1  VSBMN 1 SM 1 ⇒ VSBMN = =2 4 VSBCD SC SD 22 4 ⇒VSABMN = VSABN + VSBMN = 3 2 Cách 2: Sử dụng phương pháp toạ độ http://ebook.here.vn Thư viện Bài giảng, Đề thi trắc nghiệm trực tuyến
z S M N D C O B A y x Chọn hệ toạ độ xyz có tia OX ≡ tia OA, tia oy ≡ OB, tia oz ≡ OS Dễ thấy A(2; 0; 0), B(0; 1; 0), S(0; 0; 2 2 ), C(-2; 0; 0), D(0; -1; 0), M(-1; 0; 2 ) Do (ABM) ∩ (SCD) = MN AB // CD ⇒MN//CD ⇒N là trung điểm SD 1 ⇒N(0; - 2 ; 2 ) 1 SA = (2; 0; -2 2 ); SM = (-1; 0; - 2 ); SB = (0; 1; -2 2 ); SN = (0; - 2 ; - 2 ) [ SA , SM ] = (0; 4 2 ; 0) 1 22 VSABM = [ SA , SM ].SB = 6 3 1 2 VSAMN = 6 [ SA , SM ].SN = 3 VSABMN = VSABM + VSAMN = 2 Bài 2: Cho hình hộp chữ nhật ABCDA’B’C’D’ có AB = a, AD = b , AA ’= c a)Tính thể tích A’C’BD b)Gọi M là trung điểm CC’Tính thể tích MA’BD. GIẢI http://ebook.here.vn Thư viện Bài giảng, Đề thi trắc nghiệm trực tuyến
A' B' D' C' c a M A B b x C D y a) Cách 1: Thể tích của khối hộp ABCDA’B’C’D’ là V = abc 1 11 1 1 VC’CDB = CC '.S BCD  c. ab  abc  V 3 32 6 6 1 Tương tự ta có: VAA’BD = VBA’B’ C’ = VD’A’DC’ = V 6 1 1 1 ⇒VA’C’DB = V - 4. V = V= abc 6 3 3 Cách 2: dùng phương pháp toạ độ Chọn hệ toạ độ Axyz như hình vẽ Ta có: A(0; 0; 0), B(a; 0; 0) D( 0; b; 0), C(a; b; c), A’(0; 0; 0) DB = (a; -b; 0); DC ' = (a; 0; c); DA' = (0; -b;c); [ DB , DC ' ] = (-bc; -ac; ab) 1 1 VA’C’DB = |[ DB , DC ' ]. DA' | = abc 6 3 b) Chọn hệ toạ độ như hình vẽ.ta có A(0;0;0) , B(a;0;0) , D(0;B;0) , A’(0;0;c) , C(a;b;0) , C’(a;b;c) c M là trung điểm CC’ nên M(a;b; ) 2 c , , BA '  (a;0; c) BD  (a; b;0) BM (0; b; ) 2 bc ac [ BD, BM ]= ( ; ; ab) 22 1 13 1 VBDA’M = |[ BD , BM ]. BA' | = abc  abc 6 62 4 2) Về thể tích khối lăng trụ Ta thường áp dụng công thức tính thể tích đã biết hoặc chia nhỏ khối cần tính hoặc bổ sung thêm http://ebook.here.vn Thư viện Bài giảng, Đề thi trắc nghiệm trực tuyến
Bài 1 Cho lăng trụ tam giác ABCA’B’C’ có đáy ABC là tam giác đều, cạnh a và A’A = A’B = A’C. Cạnh AA’ tạo với đáy một góc 60o. Tính thể tích lăng trụ ABCA’B’C’. GIẢI B' C' A' B C O a A Gọi O là tâm ABC⇒ OA = OB = OC A’A = A’B = A’C (gt) ⇒A’O⊥ (ABC) (AA’,(ABC)) = (AO, AA’) = 600 A’O ⊥OA (vì A’O⊥ (ABC) Trong tam giác vuông A’OA có OA’ = OA tan 600 = a 3a 2 a3 3 Vì ∆ABC đều cạnh a nên S∆ABC = ⇒VABCA’B’C’ = S∆ABC.A’O = 4 4 Bài 2: Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC là một tam giác vuông tại A, AC = b, C = 60o. (BC’,(AA’C’C)) = 30o. Tính thể tích của khối lăng trụ GIẢI A' C' B' b' b A C B Dễ thấy AB  (ACC’A’) nên (BC’, (ACC’ A’)) = AC’B = 300 ∆ABC vuông tại A có C =600, AC=b nên BC=2b và AB= 3 b. ˆ http://ebook.here.vn Thư viện Bài giảng, Đề thi trắc nghiệm trực tuyến
vì AB  (ACC’A’) nên AB b AC’ AB ∆ABC’ vuông tại A có AC’ =  3b tan 30 0 ∆ACC’ vuông tại C có (CC’)2 = AC’2- AC2 = 9b2- b2 = 8b2 1 3b 2 ⇒CC’ = 2 2 b =AA’. S∆ABC = 2 CA.CBsin6oo = 2 ⇒VABCA’B’C’ = S∆ABC.AA’ = 6 b3 http://ebook.here.vn Thư viện Bài giảng, Đề thi trắc nghiệm trực tuyến
DẠNG 2 : TỈ SỐ THỂ TÍCH A/. Phương pháp: Giả sử mặt phẳng ỏ chia khối đa diện thành hai khối có thể tích là V1 V1 và V2. Để tính k = ta có thể: V2 -Tính trực tiếp V1, V2 bằng công thức ⇒ k -Tính V2 (hoặc V2) bằng công thức tính thể tích của cả khối ⇒ Thể tích V2 (hoặc V1) ⇒ k Ta có các kết quả sau: +Hai khối chóp có cùng diện tích đáy là tỉ số thể tích bằng tỉ số hai đường cao tương ứng. +Hai khối chóp có cùng độ dài đường cao thì tỉ số thể tích bằng tỉ số hai diện tích đáy.  VSABC SA. SB . SC + VSA ' B 'C ' SA '.SB '.SC ' C' A' C A B' B (chỉ đúng cho khối chóp tam giác (tứ diện)) B. Các bài tập Bài 1: Chóp SABCD có đáy ABCD là hình bình hành. M là trung điểm SC. mặt phẳng (P) chứa AM và //BD chia hình chóp thành hai phân. Tính tỉ số thể tích của hai phần đó. GIẢI S M D' I D C B' O A B http://ebook.here.vn Thư viện Bài giảng, Đề thi trắc nghiệm trực tuyến
-Gọi O = AC ∩ BD, I = SO ∩ AM ⇒ I ∈ (P) BD ⊂ (SBD) BD // (P) ⇒ (P) ∩ (SBD) = B’D’ // BD VSMBD'  SM. CSB. SD'  1 . SO. SO  1 . 2 . 2  9 (vì I là trọng tâm ∆SAC) SB' SI SI 2 ' VSCBD SC SD 2 233 VSMBD'  SA' . SB' . SD' 1. 2. 2  9 2 ' VSCBD SA SB SD 33 1 mà VSABD = VSCBD = VSABCD 2  VSAB 'D '  9  9  2  VVSAB 'MD '  1  VVSAB 'MD ' '  1 VSMB 'D ' 2 4 3 3 2 1 1 V V SABCD ABCDD 'MB 2 2 Bài 2: Hình chóp SABCD có đáy là hình vuông, SA  (ABCD). (SC, (SAB)) = ỏ. Mắp phẳng (P) qua A và vuông góc SC chia hình chóp thành hai phần. Tính tỉ số thể tích hai phần đó. GIẢI Kí hiệu K1 = VSMAQN S V2 = V - V1 Gọi O = AC ∩ BD ∆SAC kẻ AN  SC N Q E = SO ∩ AN ⇒ E ∈ (P) E M vì (P)  SC A mà BD  SC D BD  AC O BD  SA  BD  (SAC) B C BD ⊂ (SAC) ⇒ (P) // (SBD) ⇒ (P) ∩ (SBD) = MQ //BD CB  AB (gt) CB  SA (vì SA  (ABCD)) ⇒CB  (SAB) ⇒ (SC, (SAB)) = CSB = ỏ V1 = 2VSANQ, V = 2VSACB V SANQ   . SQ V1 SN V V SACB SC SB SA 2 Tam giác vuông SAC: SA2 = SC.SN ⇒ SN = SC http://ebook.here.vn Thư viện Bài giảng, Đề thi trắc nghiệm trực tuyến
SA 2 Tam giác vuông SAB: SA2 = SB.SQ ⇒ SQ = SB V1  . SB 2  ( SB .SC ) 2 SA 2 2 2 SA SA V SC 2 BC  AB (gt) BC  SA (vì SA  (ABCD)) ⇒BC  SB SB SB Tam giác vuông SBC: cos ỏ = ⇒ SC = cos  SC Tam giác vuông SAB: SA2 = SB2 - AB2 = SB2 - BC2 = SB2 - SB2tanỏ 2  ( SB SB1. SA  ) ) 2  (cos   sin  ) 2  1  sin 2 V1 ( tan V cos  V (1sin 2 )    1sin22 V1 V1 V (11 sin 2 ) sin  V V1 V Bài 3: SABCD là hình chóp tứ giác đều cạnh a, đường cao h. Mặt phẳng qua AB  (SDC) chia chóp làm hai phần. Tính tỉ số thể tích hai phần đó. Bài 4: Cho hình lập phương ABCDA’B’C’D’ cạnh là a. M là trung điểm CD, N là trung điểm A’D’. Tính tỉ số thể tích hai phần đó (MNB’) chia hình lập phương. GIẢI D M C Q P A B C' D' E B' A' Gợi ý: Gọi V1, V2 tương ứng là thể tích các phần trên và phần dưới thiết diện ta có: V1 = VB’ECF - (VEPD’N + VFMQC) a 2a a Để ý: ED’ = a, FC = , PD’ = , CQ = 3 3 4 http://ebook.here.vn Thư viện Bài giảng, Đề thi trắc nghiệm trực tuyến
55a 3 Tính được V1 = 144 55a 3 89a 3 V 55 V2 = V- V1 = a3 - =  1 V2 89 144 144 SM 1 SN Bài 5: Cho tứ diện SABC lấy M, N thuộc cạnh SA, SB sao cho ,  2 . Mặt MA 2 NB phẳng qua MN // SC chia tứ diện thành hai phần. Tính tỉ số thể tích hai phần này. GIẢI M N C B E F A' A Dễ thấy thiết diện là hình thang MNEF (với MF // NE) Đặt V = VSABC, V1 = VMNEFCS, V2 = VMNEFAB V1 = VSCEF + VSFME + VSMNE   1.2  VSCEF . CF CE 2 V CA CB 33 9  . SE   VSFME SM SM 1 VSFEA SE SA SA 3     VSFEA S FEA S FEA SCEA . . FA CE 4 V S ABC SCEA S ABC CA CB 9 . VSFME V 14 4 ⇒ V 39 27   VSMNE . SM SN 2 VSABE SA SB 9   . S CEA   VSABE S ABE S ABE S . EB CE 1 V S ABC SCEA CE CB 3 ABC 2 4 4 2 2 V1  4 ⇒VSABE = 27 V ⇒ V1 = 9 V + 27 V + 27 V = 9 V V2 5 Bài 6: Cho lăng trụ đứng tam giác đều ABCA’B’C’ có cạnh đáy và cạnh bên đều bằng a. M, N, E lần lượt là trung điểm của BC, CC’, C’A’. Tính tỉ số thể tích hai phần lăng trụ do (MNE) tạo ra. GIẢI http://ebook.here.vn Thư viện Bài giảng, Đề thi trắc nghiệm trực tuyến
E A' C' A' B' N A C M I B Dễ thấy (MNE) cắt lăng trụ theo thiết diện là ngũ giác MNEFI Gọi V1, V2 tương ứng là thể tích phần trên và phần dưới của thiết diện, ta có V1 = VNIBM + VNBB’FI + VNB’C’EF V2 = VNFA’E + VNAA’FI + VNACMI V1 So sánh từng phần tương ứng ta có V1 = V2  =1 V2 Bài 7: Cho hình vuông ABCD cạnh a. {O} = AC  BD, ox  (ABCD). Lấy S  Ox, S  O. Mặt phẳng qua AC và vuông góc (SAD) chia hình chóp thành hai phần. Tính tỉ số thể tích của hai phần đó. http://ebook.here.vn Thư viện Bài giảng, Đề thi trắc nghiệm trực tuyến
DẠNG 3 : PHƯƠNG PHÁP THỂ TÍCH : CHỨNG MINH ĐẲNG THỨC, BẤT ĐẲNG THỨC,KHOẢNG CÁCH TỪ 1 ĐIỂM TỚI MỘT MẶT PHẲNG DỰA VÀO THỂ TÍCH. Bài 1: SABC có SA = 3a, SA  (ABC), ∆ABC có AB = BC = 2a, ABC =120o Tính D(A,(SBC)). GIẢI S 3a A C 2a B M 1 2 a.2 a. 3 S∆ABC = 2 AB.BC.sin120o = = a3 3 4 1 a2 . 3 3a = a3 3 SSABC = 3 S∆ABC .SA= 3 Kẻ SM  BC BC SA (vì SA  (ABC)) ⇒BC  AM ⇒ AM = a 3 ∆SAM vuông tại A có SM = 2 3 a S∆SBC = SM.BC = 2 3 a2 3a 3 3 3VSABC  3a d(A, (SBC)) = S SBC 2 2 3a 2 Bài 2: SABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a 3 , SA  (ABC), SA =2a. `Tính d(A, (SBC)) GIẢI http://ebook.here.vn Thư viện Bài giảng, Đề thi trắc nghiệm trực tuyến