intTypePromotion=1
zunia.vn Tuyển sinh 2024 dành cho Gen-Z zunia.vn zunia.vn
ADSENSE
 » 
 » 

Bài tập trả lời ngắn môn Toán 11 - Vấn đề 8: Cấp số nhân

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:16

Thêm vào BST
Báo xấu
2
lượt xem 0
download
 
  Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Bài tập trả lời ngắn môn Toán 11 - Vấn đề 8: Cấp số nhân giúp học sinh nắm vững lý thuyết về cấp số nhân, công thức tính tổng, cách xác định công bội và số hạng tổng quát của dãy số. Chuyên đề cung cấp bài tập trả lời ngắn, công thức quan trọng và bài tập trắc nghiệm để hỗ trợ ôn tập hiệu quả. Mời các bạn cùng tham khảo tài liệu "Bài tập trả lời ngắn môn Toán 11 - Vấn đề 8" để học tập và nâng cao kỹ năng giải toán.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Bài tập trả lời ngắn môn Toán 11 - Vấn đề 8: Cấp số nhân

  1. TOÁN 11-BÀI TẬP TRẢ LỜI NGẮN Điện thoại: 0946798489 VẤN ĐỀ 8. CẤP SỐ NHÂN • Fanpage: Nguyễn Bảo Vương PHẦN E. CÂU HỎI TRẢ LỜI NGẮN CÂU HỎI Câu 1. Cho cấp số nhân  un  có tổng n số hạng đầu tiên là Sn  5n  1 . Tìm số hạng đầu u1 và công bội q của cấp số nhân đó. Trả lời: ………………………… 1 1 Câu 2. Cho cấp số nhân có các số hạng lần lượt là ; ;1;; 4096 . Tính tổng S của tất cả các số hạng 4 2 của cấp số nhân đã cho. Trả lời: ………………………… u1  u5  51 Câu 3. Tìm số hạng đầu và công bội của cấp số nhân  un  , biết:  u2  u6  102 Trả lời: ………………………… u2  6 Câu 4. Tìm số hạng đầu và công bội của cấp số nhân  un  , biết:   S3  43 Trả lời: ………………………… u  u  u  31 Câu 5. Tìm số hạng đầu và công bội của cấp số nhân  un  , biết:  1 2 3 u1  u3  26 Trả lời: ………………………… u5  u2  36 Câu 6. Tìm số hạng đầu và công bội của cấp số nhân  un  , biết:  u6  u4  48 Trả lời: ………………………… Câu 7. Cho cấp số nhân  un  biết u1  5, u5  405 và tổng Sn  u1  u2 .  un  1820 . Tìm n . Trả lời: ………………………… Câu 8. Viết thêm bốn số vào giữa hai số 160 và 5 để được một cấp số nhân gồm sáu số hạng. Tìm tổng tất cả các số hạng của cấp số nhân đó. Trả lời: ………………………… Câu 9. Cho cấp số nhân  un  có u1  3 và 15u1  4u2  u3 đạt giá trị nhỏ nhất. Tìm số hạng thứ 13 của cấp số nhân đã cho. Trả lời: ………………………… Câu 10. Tính tổng tất cả các số hạng của một cấp số nhân, biết số hạng đầu bằng 18, số hạng thứ hai bằng 54 và số hạng cuối bằng 39366 . Trả lời: ………………………… Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuong Trang 1
  2. Blog: Nguyễn Bảo Vương: https://www.nbv.edu.vn/ 2 2 2  1  1  1  Câu 11. Tính tổng sau theo n : Sn   2     4     2 n  n  .  2  4  2  Trả lời: ………………………… Câu 12. Tính tổng sau theo n : Sn  8  88  888  888 .    n chöõ soá Trả lời: ………………………… Câu 13. Tổng ba số hạng liên tiếp của một cấp số cộng là 21. Nếu lấy số thứ hai trừ đi 1 và số thứ ba cộng thêm 1 thì ba số đó lập thành một cấp số nhân. Tìm ba số đó biết số hạng đầu có giá trị nhỏ hơn 4 Trả lời: ………………………… Câu 14. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình sau có ba nghiệm phân biệt lập thành một cấp số nhân: x3  7 x 2  2  m 2  6m  x  8  0 . Trả lời: ………………………… Câu 15. Chu kì bán rã của nguyên tố phóng xạ polonium 210 là 138 ngày (nghĩa là sau 138 ngày khối lượng của nguyên tố đó chỉ còn một nửa). Tính khối lượng còn lại của 20 gam polonium 210 sau 7314 ngày (khoảng 20 năm). Trả lời: ………………………… Câu 16. Ông Minh gửi số tiền 100 triệu đồng vào một ngân hàng với hình thức lãi kép kì hạn 12 tháng lãi suất 7% /năm Giả sử trong khoảng thời gian gửi tiền ông Minh không rút tiền ra và lãi suất không thay đổi, hỏi sau 10 năm thì tổng số tiền cả vốn lẫn lãi mà ông nhận được là bao nhiêu (đơn vị: đồng, tính kết quả gần đúng đến hàng nghìn)? Trả lời: ………………………… 2 96 Câu 17. Cho cấp số nhân có u1  3, q  . Số là số hạng thứ mấy của cấp số này? 3 243 Trả lời: ………………………… Câu 18. Cho cấp số nhân  un  có S2  4 và S3  13 (trong đó S2 , S3 theo thứ tự là tổng của hai và của ba số hạng đầu của cấp số nhân). Tìm S5 là tổng của năm số hạng đầu của cấp số nhân có công bội dương Trả lời: ………………………… Câu 19. Cho các số 2 x  1; x; 2 x  1 theo thứ tự lập thành một cấp số nhân. Tìm x . Trả lời: ………………………… Câu 20. Cho các số x  6 y;5 x  2 y;8 x  y theo thứ tự lập thành một cấp số cộng; đồng thời các số x  1; y  2; x  3 y theo thứ tự đó lập thành một cấp số nhân. Tính x 2  y 2 . Trả lời: ………………………… 315 b Câu 21. Kết quả của tổng S  1  2  5  3  52    79  578 được viết dưới dạng a   5  b  , a là 16 b phân số tối giản). Tính giá trị biểu thức P  a  . 16 Trả lời: ………………………… Trang 2 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/
  3. Điện thoại: 0946798489 TOÁN 11-BÀI TẬP TRẢ LỜI NGẮN Câu 22. Theo báo cáo của Chính phủ, dân số của nước ta tính đến tháng 12 năm 2018 là 95,93 triệu người, nếu tỉ lệ tăng trưởng dân số trung bình hằng năm là 1,33% thì dân số nước ta vào tháng 12 năm 2025 là bao nhiêu? (Tính theo đơn vị triệu người, làm tròn đến hàng phần trăm) Trả lời: ………………………… Câu 23. Cho cấp số nhân  un  có u1  1, u2  2 . Tính số hạng thứ 2019 của cấp số nhân. Trả lời: ………………………… Câu 24. Cho cấp số nhân  un  có u1  3 , công bội q  2 . Hỏi -192 là số hạng thứ mấy của  un  ? Trả lời: ………………………… Câu 25. Một cấp số nhân hữu hạn có công bội q  3 , số hạng thứ ba bằng 27 và số hạng cuối bằng 1594323. Hỏi cấp số nhân đó có bao nhiêu số hạng? Trả lời: ………………………… 2 3 100 Câu 26. Tính tổng S  10  10  10    10 . Trả lời: ………………………… S  9  99  999  9999    Câu 27. Tính tổng 100 só 9 . Trả lời: ………………………… Câu 28. Cho các số nguyên x và y thỏa mãn 5 x  y , 2 x  3 y , x  2 y theo thứ tự lập thành cấp số cộng, đồng thời ( y  1)2 , xy  1,( x  1)2 theo thứ tự lập thành cấp số nhân. Tìm x và y . Trả lời: ………………………… Câu 29. Cho tam giác ABC cân tại A . Biết rằng độ dài cạnh BC , trung tuyến AM và độ dài cạnh AB theo thứ tự đó lập thành một cấp số nhân có công bội q . Tìm công bội q của cấp số nhân đó. Trả lời: ………………………… 1 1 1 1 Câu 30. Tính tổng sau: S n      n 2 2 2 23 2 Trả lời: ………………………… Câu 31. Tính tổng sau: Sn  3  33  333  3333 .    n Trả lời: ………………………… Câu 32. Cho 3 số tạo thành một cấp số cộng có tổng 21 . Nếu thêm 2,3,9 lần lượt vào số thứ nhất, số thứ hai, số thứ ba tạo thành một cấp số nhân. Tìm 3 số đó. Trả lời: ………………………… Câu 33. Bạn Lan thả quả bóng cao su từ độ cao 12 m theo phương thẳng đứng. Mỗi khi chạm đất nó lại 2 nảy lên theo phương thẳng đứng với độ cao bằng độ cao trước đó. Tính tổng quãng đường bóng đi 3 được đến khi bóng dừng hẳn. Trả lời: ………………………… 1 n 1 Câu 34. Cho dãy số  un  xác định bởi u1  và un 1   un . 3 3n Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 3
  4. Blog: Nguyễn Bảo Vương: https://www.nbv.edu.vn/ u2 u3 u   10 ? Tính giá trị tổng S  u1  2 3 10 Trả lời: ………………………… Câu 35. Cho 3 số dương có tổng là 65 lập thành một cấp số nhân tăng. Nếu bớt một đơn vị ở số hạng thứ nhất và 19 đơn vị ở số hạng thứ ba ta được một cấp số cộng. Tìm 3 số đó? Trả lời: ………………………… Câu 36. Với giá trị nào của tham số m thì phương trình x 3  mx 2  6 x  8  0 có ba nghiệm thực lập thành một cấp số nhân? Trả lời: ………………………… LỜI GIẢI Câu 1. Cho cấp số nhân  un  có tổng n số hạng đầu tiên là Sn  5n  1 . Tìm số hạng đầu u1 và công bội q của cấp số nhân đó. Trả lời: u1  4, q  5 Lời giải Ta có u1  S1  5  1  4 và u2  S 2  S1   5  1  (5  1)  20 . 2 Vậy u1  4, q  5 . 1 1 Câu 2. Cho cấp số nhân có các số hạng lần lượt là ; ;1;; 4096 . Tính tổng S của tất cả các số hạng 4 2 của cấp số nhân đã cho. 32767 Trả lời: 4 Lời giải  1 u1  12 n 1 1 n1 n 3 Cấp số nhân đã cho có  4  4096  2  u1q   2  2  n  15 . q  2 4  Khi đó: cấp số nhân đã cho có tất cả 15 số hạng. 1  q15 1 1  215 32767 Vậy S15  u1     . 1 q 4 1 2 4 u  u  51 Câu 3. Tìm số hạng đầu và công bội của cấp số nhân  un  , biết:  1 5 u2  u6  102 Trả lời: u1  3; q  2 Lời giải n 1 Áp dụng công thức: un  u1  q Trang 4 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/
  5. Điện thoại: 0946798489 TOÁN 11-BÀI TẬP TRẢ LỜI NGẮN     51    u1  1  q 4 u  u  51 u  u q 4  51 4 u  (1  q )  51  Ta có:  1 5  1 1 5  1   1  4 u  1  q4  u2  u6  102 u1q  u1q  102 u1q  (1  q )  102  51     u1q  1  q 4  102     1 1   q2 q 2 51 Khi đó: u1  3 1  24 Vậy u1  3; q  2 . u  6 Câu 4. Tìm số hạng đầu và công bội của cấp số nhân  un  , biết:  2  S3  43  1 q  6 q  Trả lời:  hoặc  6 . u1  1 u1  36  Lời giải Áp dụng công thức un  u1  q n 1 và S n   u1  1  q n  1 q     6  u1q  6 u q  6 u1  q u  6    Ta có:  2   u  (1  q 3 )  1   S3  43  1  43 u1 (1  q  q 2 )  43  q 6 1 q 2        1  q  q 43  q  6  43q  6. 1  q  q 2   6q 2  37q  6  0   q  1  6 6 1 6 Với q  6 thì u1   1 . Với q  thì u1   36 6 6 1 6  1 q  6 q  Vậy  hoặc  6 . u1  1 u1  36  u  u  u  31 Câu 5. Tìm số hạng đầu và công bội của cấp số nhân  un  , biết:  1 2 3 u1  u3  26  1 q  5 q  Trả lời: Vậy  hoặc  5 . u1  1 u1  25  Lời giải Ta có: Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 5
  6. Blog: Nguyễn Bảo Vương: https://www.nbv.edu.vn/    1  q  q 2 31   2  2  2  u1  u2  u3  31 u1  u1q  u1q  31 u1 (1  q  q )  31  1  q 26   2  2  u1  u3  26 u1  u1q  26 u1 (1  q )  26 u  26      1 1  q2     26. 1  q  q 2   31. 1  q 2  q  5  26  26q  26q  31  31q  5q  26q  5  0   2 2 2 q  1  5 26 Với q  5 thì u1  1. 1  52  1 1 26 q  5 q  Với q  thì u1  2  25 . Vậy  hoặc  5 . 5 1 u1  1 u1  25 1    5 u  u  36 Câu 6. Tìm số hạng đầu và công bội của cấp số nhân  un  , biết:  5 2 u6  u4  48 Trả lời: q  2; u1  2 Lời giải     36   4 u q 4  q  36 u1  q 4  q  u  u  36 u  q  u  q  36  1  Ta có:  5 2  1 5 1 3   4  u6  u4  48 u1  q  u1  q  48 u1  q  q  48  q  q  36 5 3       5 q  q 3 48       4  q 4  q  3  q5  q 3   4q 4  4q  3q 5  3q 3  4q 4  4q  3q 5  3q 3  0    q 3q 4  4q 3  3q 2  4q  0   q(q  1)(q  2) q  0  q  1  q  2  2 3q  q  2  0  q  2( do q  0; q  1) 36 Với q  2 thì u1  4 2 2 2  q  3q 4  4q 3  3q 2  4q   0   q( q  1)( q  2)  3q 2  q  2   0 Vậy q  2; u1  2 . Câu 7. Cho cấp số nhân  un  biết u1  5, u5  405 và tổng Sn  u1  u2 .  un  1820 . Tìm n . Trả lời: 6 Lời giải   u1  5 u1  5 u1  5  u  5 Ta có:   4   4 405  1 . u5  405 u1q  405 q  u  81 q  3    1 Trang 6 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/
  7. Điện thoại: 0946798489 TOÁN 11-BÀI TẬP TRẢ LỜI NGẮN Trường hợp 1: u1  5; q  3 .  Sn  u1  u2 .  un  1820 n  N *  n n 1 q 1  3 1820  u1  1820    3n  729  n  6. 1 q 1 3 5 Trường hợp 2: u1  5; q  3 . 1  qn 1  (3)n 1820  Sn  u1  u2 .  un  1820 n  N *  u1  1 q  1820  1 3  5  (3)n  1455  n , n  N * . Vaäy n  6. Câu 8. Viết thêm bốn số vào giữa hai số 160 và 5 để được một cấp số nhân gồm sáu số hạng. Tìm tổng tất cả các số hạng của cấp số nhân đó. Trả lời: 315 Lời giải Gọi  un  là cấp số nhân lập được và q là công bội của cấp số nhân đó. Cấp số nhân cần lập có dạng: 160; u2 ; u3 ; u4 ; u5 ;5 .    u1  160 u  160 u1  160 u1  160  Ta có :  1  5  5  1 . u6  5 u1q  5 160q  5 q      2   1 6  160 1     Tổng các số hạng của cấp số nhân là: S6   u1 1  q 6    2     315 . 1 q 1 2 Câu 9. Cho cấp số nhân  un  có u1  3 và 15u1  4u2  u3 đạt giá trị nhỏ nhất. Tìm số hạng thứ 13 của cấp số nhân đã cho. Trả lời: 12288 Lời giải Gọi q là công bội của cấp số nhân  un  . Ta có: u2  u1q  3q; u3  u1q 2  3q 2 . Suy ra 15u1  4u2  u3  45  12q  3q 2  3(q  2)2  33  33, q   . Ta có: 15u1  4u2  u3 đạt giá trị nhỏ nhất (bằng 33 ) khi và chỉ khi q  2 . Khi đó: u13  u1q12  3  212  12288 . Câu 10. Tính tổng tất cả các số hạng của một cấp số nhân, biết số hạng đầu bằng 18, số hạng thứ hai bằng 54 và số hạng cuối bằng 39366 . Trả lời: 59040 Lời giải Gọi  un  là cấp số nhân cần tìm, q là công bội của cấp số nhân đó. u2 54 Ta có: u1  18, u2  54  q    3. u1 18 Xét số hạng cuối un  39366  u1q n 1  39366  18.3n1  39366  3n 1  37  n  8. Vậy tổng tám số hạng của cấp số nhân là: S8   u1 1  q 8   18  1  3 8  59040 . 1 q 1 3 Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 7
  8. Blog: Nguyễn Bảo Vương: https://www.nbv.edu.vn/ 2 2 2  1  1  1  Câu 11. Tính tổng sau theo n : Sn   2     4     2 n  n  .  2  4  2  4n 1 1 Trả lời: 1    2n 3 3  4n Lời giải 1 1 1 Sn  22  2  2  24  4  2  22 n  2 n  2 2 2 2  1 1 1     22  24  22 n   2  4  2 n   2n 2 2 2  Ta thấy S n chứa hai tổng của cấp số nhân: cấp số nhân thứ nhất có n phần tử, số hạng đầu bằng 4, công 1 1 bội bằng 4; cấp số nhân thứ hai có n phần tử, số hạng đầu bằng , công bội bằng . 4 4 Vì vậy 1 n 1 n 1 4 1 4 1 1  Sn  4    4  2n   1  4 n    1  n   2n 1 4 4 1 1 3 3 4  4 4 n 1 1  1    2n 3 3  4n Câu 12. Tính tổng sau theo n : Sn  8  88  888  888 .    n chöõ soá Trả lời:  80 10 n  1 8n 81 9 Lời giải 8 Sn  (9  99  999  999)    9 n chöõ soá 8  9  10  1  102  1  103  1  10 n  1 8  n   8  10  1  10  n   n  80 10  1 8    9  2 3 n 10  10  10  10  n  9  1  10 81  n 9   Câu 13. Tổng ba số hạng liên tiếp của một cấp số cộng là 21. Nếu lấy số thứ hai trừ đi 1 và số thứ ba cộng thêm 1 thì ba số đó lập thành một cấp số nhân. Tìm ba số đó biết số hạng đầu có giá trị nhỏ hơn 4 Trả lời: u1  3; u2  7; u3  11. Lời giải Gọi  un  là cấp số cộng có công sai d . Ta có: u1  u2  u3  21  u1   u1  d    u1  2d   21  u1  d  7(*). . Theo giả thiết: u1 ; u2  1; u3  1 lập thành cấp số nhân hay u1 ; u1  d  1; u1  2d  1 lập thành một cấp số nhân. 2 2 Suy ra:  u1  d  1  u1  u1  2d  1   u1  d  1  u1  2  u1  d   u1  1 .   Kết hợp với (*) , ta được: (7  1)2  u1  2.7  u1  1  36  u1 15  u1  Trang 8 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/
  9. Điện thoại: 0946798489 TOÁN 11-BÀI TẬP TRẢ LỜI NGẮN u  12  4( L)  u12  15u1  36  0   1 u1  3 Với u1  3 thì d  4  u2  7; u3  11. Câu 14. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình sau có ba nghiệm phân biệt lập thành một cấp số nhân: x3  7 x 2  2  m 2  6m  x  8  0 . Trả lời: m  1; m  7 Lời giải Điều kiện cần: Giả sử phương trình đã cho có ba nghiệm phân biệt x1 , x2 , x3 lập thành một cấp số nhân. Ta có: x 3  7 x 2  2  m 2  6m  x  8   x  x1  x  x2  x  x3  , m    x1 x2 x3  8. 2 Theo tính chất của cấp số nhân: x1 x3  x2 . 3 Suy ra: x2  8  x2  2 . Thay nghiệm x  x2  2 vào phương trình đã cho, ta có: m  1   8  28  2 m2  6m  2  8  0  4m2  24m  28  0   .  m  7 Điều kiện đủ: Thử lại với các giá trị m tìm được. x  4 Với m  1 , ta có phương trình: x  7 x  14 x  8  0   x  2 (thoả mãn). 3 2  x  1  x  4 Với m  7 , ta có phương trình x  7 x  14 x  8  0   x  2 (thoả mãn). 3 2  x  1  Vậy m  1; m  7 là các giá trị cần tìm. Câu 15. Chu kì bán rã của nguyên tố phóng xạ polonium 210 là 138 ngày (nghĩa là sau 138 ngày khối lượng của nguyên tố đó chỉ còn một nửa). Tính khối lượng còn lại của 20 gam polonium 210 sau 7314 ngày (khoảng 20 năm). Trả lời:  2, 22 1015 Lời giải Gọi un (gam) là khối lượng còn lại của 20 gam polonium 210 sau n chu kì bán rã. Ta có 7314 ngày gồm 53 chu kì bán rã. Theo đề bài ra, ta cần tính u53 . 20 Từ giả thiết suy ra dãy  un  là một cấp số nhân với số hạng đầu là u1   10 và công bội q  0, 5 . Suy 2 ra un  10  (0,5)n 1 . Do đó u53  10  (0,5)52  2, 22 1015 . Câu 16. Ông Minh gửi số tiền 100 triệu đồng vào một ngân hàng với hình thức lãi kép kì hạn 12 tháng lãi suất 7% /năm Giả sử trong khoảng thời gian gửi tiền ông Minh không rút tiền ra và lãi suất không thay đổi, hỏi sau 10 năm thì tổng số tiền cả vốn lẫn lãi mà ông nhận được là bao nhiêu (đơn vị: đồng, tính kết quả gần đúng đến hàng nghìn)? Trả lời:  196715000 Lời giải Gọi r là lãi suất tiền gửi theo năm: r  0, 07 / năm; tiền gửi là 108 (đồng). Sau năm thứ nhất, số tiền người gởi nhận được là: Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 9
  10. Blog: Nguyễn Bảo Vương: https://www.nbv.edu.vn/ 108  108 r  108 (1  r ). Sau năm thứ hai, số tiền người gởi nhận được là: 108 (1  r )  108 (1  r )r  108 (1  r )(1  r )  108 (1  r )2 . Theo quy luật đó, ta thấy số tiền mà ông Minh nhận được sau n năm là số hạng thứ n của một câp số nhân có số hạng đầu u1  108 (1  r ) , công bội q  1  r . Sau năm thứ n , ông Minh nhận được số tiền: un  108 (1  r )n . Sau 10 năm, số tiền ông Minh nhận được: u10  108 (1  0,07)10  196715000 (đồng). 2 96 Câu 17. Cho cấp số nhân có u1  3, q  . Số là số hạng thứ mấy của cấp số này? 3 243 Trả lời: 6 Lời giải n 1 2 Số hạng tổng quát của câp số nhân là: un  u1q n 1  3    . 3 n 1 n 1 5 96 2 96  2  32  2  Xét un   3            n 1  5  n  6 . 243 3 243  3  243  3  96 Vậy là số hạng thứ 6 của cấp số nhân đã cho. 243 Câu 18. Cho cấp số nhân  un  có S2  4 và S3  13 (trong đó S2 , S3 theo thứ tự là tổng của hai và của ba số hạng đầu của cấp số nhân). Tìm S5 là tổng của năm số hạng đầu của cấp số nhân có công bội dương Trả lời: 121. Lời giải 9 Ta có: u3  S3  S2  9  u1q 2  9  u1  (1) (vì q  0 ). q2 Mặt khác S2  4 nên u1  u1q  4 . (2) 9 9 3 Thay (1) vào (2), ta có: 2   4  4q 2  9q  9  0  q  3 hoặc q   . q q 4 Với q  3 thì u1  1 , khi đó: S5   u1 1  q 5   11  3   121. 5 1 q 1 3 Câu 19. Cho các số 2 x  1; x; 2 x  1 theo thứ tự lập thành một cấp số nhân. Tìm x . 1 Trả lời: x   3 Lời giải Vì 2 x  1; x; 2 x  1 theo thứ tự lập thành cấp số nhân 1  (2 x  1)(2 x  1)  x 2  4 x 2  1  x 2  x   . 3 1 Vậy có hai giá trị x   thoả mãn đề bài. 3 Câu 20. Cho các số x  6 y;5 x  2 y;8 x  y theo thứ tự lập thành một cấp số cộng; đồng thời các số x  1; y  2; x  3 y theo thứ tự đó lập thành một cấp số nhân. Tính x 2  y 2 . Trang 10 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/
  11. Điện thoại: 0946798489 TOÁN 11-BÀI TẬP TRẢ LỜI NGẮN 2 2 Trả lời: x  y  40 Lời giải ( x  6 y )  (8 x  y )  2(5 x  2 y ) Theo giả thiêt, ta có:  2 ( x  1)( x  3 y )  ( y  2) x  3y  x  3y  x  6  2  2  . (3 y  1)(3 y  3 y )  ( y  2)  0  ( y  2)  y  2 Suy ra x 2  y 2  40 . 315 b Câu 21. Kết quả của tổng S  1  2  5  3  52    79  578 được viết dưới dạng a   5  b  , a là 16 b phân số tối giản). Tính giá trị biểu thức P  a  . 16 Trả lời: 5 Lời giải Từ giả thiết, ta có: 5 S  5  2  52  3  53    79  579 . Do đó: 4 S  S  5S  1  5   578  79.579 . 52    S  2 78 Xét tổng S  1  5  5    5 là tổng của 79 số hạng của một cấp số nhân có số hạng đầu bằng 1 và 1  579 công bội bằng 5 , ta có: S  . 1 5 1  579 1 315  579 1 315 79 Vậy 4S  S   79  579   79  579    S  5 . 1 5 4 4 16 16 1 315 79 315 b 1 1 79 Ta có: S   5  a   5  a  , b  79  P    5. 16 16 16 16 16 16 Câu 22. Theo báo cáo của Chính phủ, dân số của nước ta tính đến tháng 12 năm 2018 là 95,93 triệu người, nếu tỉ lệ tăng trưởng dân số trung bình hằng năm là 1,33% thì dân số nước ta vào tháng 12 năm 2025 là bao nhiêu? (Tính theo đơn vị triệu người, làm tròn đến hàng phần trăm) Trả lời:  105, 23 Lời giải Theo tỉ lệ tăng trưởng 1,33% thì: - Tháng 12 năm 2019, dân số nước ta là: 1,33  1,33  u1  95,93  95,93   95,93 1   (triệu người). 100  100  - Tháng 12 năm 2020, dân số nước ta là:  1, 33   1,33  1,33 u2  95, 93 1    95,93  1    100   100  100 2  1,33  1, 33   1,33   95,93  1   1    95,93  1   (triệu người).  100  100   100  - Theo quy luật đó, ta biết dân số nước ta vào tháng 12 năm thứ n kể từ năm 2019 được tính theo công n  1,33  thức un  95,93  1   (triệu người).  100  - Vậy vào tháng 12 năm 2025 (tức n  2025  2018  7 ), dân số nước ta là: 7  1,33  u7  95, 93  1    105, 23 (triệu người).  100  Câu 23. Cho cấp số nhân  un  có u1  1, u2  2 . Tính số hạng thứ 2019 của cấp số nhân. Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 11
  12. Blog: Nguyễn Bảo Vương: https://www.nbv.edu.vn/ Trả lời: 22018 Lời giải u1  1 Ta có:   q  2 . u2  u1  q  2 Vậy u 2019  u1  q 2018  1  (  2) 2018  2 2018 . Câu 24. Cho cấp số nhân  un  có u1  3 , công bội q  2 . Hỏi 192 là số hạng thứ mấy của  un  ? Trả lời: 7 Lời giải Giả sử un  192 và  un  là cấp số nhân, ta có: 192  3.(2)n 1  (2)n 1  64  (2)n 1  (2)6  n  7. Vậy 192 là số hạng thứ 7. Câu 25. Một cấp số nhân hữu hạn có công bội q  3 , số hạng thứ ba bằng 27 và số hạng cuối bằng 1594323. Hỏi cấp số nhân đó có bao nhiêu số hạng? Trả lời: 13 Lời giải Gọi cấp số nhân thỏa mãn đề bài là u1 ; u2 ; u3 ;; um . Theo đề bài, ta có: u 3  27  u1  q 2  27  u1  3 . u m  1594323  u1  q m 1  1594323  3.(  3) m 1  1594323  m  1  12  m  13. Vậy cấp số nhân đã cho có 13 số hạng. Câu 26. Tính tổng S  10  10 2  103   10100 . 10 Trả lời: 9   10100  1  Lời giải Ta nhận xét đây là tổng cấp số nhân với u1  10, q  10, n  100 . 1  q n 10  1  10  100 10  Vậy S  u1  1 q  1  10   10100  1 . 9   Câu 27. Tính tổng S  9  99  999  9999 .    100 só 9 10 Trả lời: 9    10100  1  100 Lời giải  S  9  99  999  9999  (10  1)  102  1  103  1  10100  1         100 soá 9 10   10  102  103  10100  100   9   10100  1  100.  Câu 28. Cho các số nguyên x và y thỏa mãn 5 x  y , 2 x  3 y , x  2 y theo thứ tự lập thành cấp số cộng, đồng thời ( y  1)2 , xy  1,( x  1)2 theo thứ tự lập thành cấp số nhân. Tìm x và y . Trả lời: x  0 ; y  0 Lời giải Do 5 x  y , 2 x  3 y , x  2 y theo thứ tự lập thành cấp số cộng nên: 2(2 x  3 y )  5 x  y  x  2 y  2 x  5 y (1) . Trang 12 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/
  13. Điện thoại: 0946798489 TOÁN 11-BÀI TẬP TRẢ LỜI NGẮN 2 2 Do ( y  1) , xy  1, ( x  1) theo thứ tự lập thành cấp số nhân nên: ( xy  1)2  ( y  1)2 ( x  1)2  (4  2 y  2 x)(4 xy  2 x  2 y)  0 (2). Thay (1) vào (2) ta được phương trình:  y  0  4 (4  2 y  5 y ) 10 y  5 y  2 y   0  y (4  3 y )(10 y  3)  0   y  2 .  3  3 y    10 Vì y   nên suy ra y  0 khi đó x  0 . Câu 29. Cho tam giác ABC cân tại A . Biết rằng độ dài cạnh BC , trung tuyến AM và độ dài cạnh AB theo thứ tự đó lập thành một cấp số nhân có công bội q . Tìm công bội q của cấp số nhân đó. 2 2 2 Trả lời: q  2 Lời giải Ta có: AM là đường trung tuyến nên cũng là đường cao AB  AM  AB  BC  AM  AB và q   1. AM  AM  BC.q Do đó:  2 .  AB  BC  q Ta có: AB 2  AM 2  BM 2 (Áp dụng định lý Pythagore cho ABM vuông tại M )  2 1 2 BC 2 1 1 q  2 4 2  BC  q  BC  q  2 4 2 4 2  q  q   q q  0  2 4 4 4  2 1 2 q   2 22 2 q . 2 1 1 1 1 Câu 30. Tính tổng sau: S n   2  3   n 2 2 2 2 1 Trả lời: S n  1  2n Lời giải Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 13
  14. Blog: Nguyễn Bảo Vương: https://www.nbv.edu.vn/ 1 1 1 1 1 Ta có dãy số ; 2 ; 3 ;; n là một cấp số nhân với n số hạng, số hạng đầu u1  và công bội 2 2 2 2 2 1 2 1 q 2  1 2 2 n 1  1   1     Khi đó: S n   u1  1  q n  2  2      1 1 1 q 1 1 2n 2 1 Vậy S n  1  . 2n Câu 31. Tính tổng sau: Sn  3  33  333  3333 .    n 10 1 Trả lời: S n  27  10 n  1  n 3  Lời giải Sn  3  33  333  3333    n 3 Sn  (9  99  333  99.9)  9 n Ta có: 1 Sn  (10  1)  (100  1)  (1000  1)  10n  1  3    Sn   1 10  102  103  10n  n    n 1 10  10  1   n   3  3  10  1    10 Vậy S n  27 10n  1  1 n . 3 Câu 32. Cho 3 số tạo thành một cấp số cộng có tổng 21 . Nếu thêm 2,3,9 lần lượt vào số thứ nhất, số thứ hai, số thứ ba tạo thành một cấp số nhân. Tìm 3 số đó. Trả lời: (3; 7;11) hoặc (18; 7; 4) . Lời giải Gọi u1 ; u2 ; u3 theo thứ tự ba số cần tìm tạo thành cấp số cộng. Vì ba số u1 ; u2 ; u3 có tổng 21 nên: u1  u2  u3  21 (1) Vì ba số u1 ; u2 ; u3 lập thành cấp số cộng nên: u1  u3  2u2 (2) Vì nếu thêm 2,3,9 lần lượt vào số thứ nhất, số thứ hai, số thứ ba tạo thành một cấp số nhân nên ta có: 2  u1  2  u3  9    u2  3 Từ (1), (2) và (3) ta có hpt: u  u  u  21 3u  21  1 2 3   2   u1  u3  2u2  u1  u3  2u2 (u  2)(u  9)  (u  3) 2  2  1  3 2  u1  2  u3  9    u2  3  u2  7   u1  u3  14  u2  7u1  14  u3 14  u3  2  u3  9   100(*) (u  2)(u  9)  (7  3)2  1 3 Trang 14 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/
  15. Điện thoại: 0946798489 TOÁN 11-BÀI TẬP TRẢ LỜI NGẮN u  11 Giải pt (*) : 16  u3  u3  9   100  u3  7u3  44  0   3 2 . u3  4 Với u3  11 thì u1  14  11  3 Với u3  4 thì u1  14  (4)  18 Vậy ba số cần tìm là (3; 7;11) hoặc (18; 7; 4) . Câu 33. Bạn Lan thả quả bóng cao su từ độ cao 12 m theo phương thẳng đứng. Mỗi khi chạm đất nó lại 2 nảy lên theo phương thẳng đứng với độ cao bằng độ cao trước đó. Tính tổng quãng đường bóng đi 3 được đến khi bóng dừng hẳn. Trả lời: 60m Lời giải 2 Các quãng đường khi bóng đi xuống tạo thành một cấp số nhân có u1  12 và q  . 3 u1 12 Tổng các quãng đường khi bóng đi xuống là S    36( m) 1 q  2   1   3 Vậy tổng quãng đường bóng đi được (cả lên và xuống) đến khi bóng dừng hẳn là 2 S  12  2.36  12  60( m ) 1 n 1 Câu 34. Cho dãy số  un  xác định bởi u1  và un 1   un . 3 3n u2 u3 u Tính giá trị tổng S  u1    10 ? 2 3 10 29524 Trả lời: 59049 Lời giải n 1 un 1 1 un Theo đề bài ta có: un 1   un    3n n 1 3 n 2 2 3 10 1 u 1 u 1 1 1 u 1 u 1 1 1 u 1 Mà u1  nên 2   1      ; 3   2        ;; 10    3 2 3 1 3 3 3 3 3 2 3 3 3 10  3  u  1 1 Do đó dãy  n  là một cấp số nhân có số hạng đầu u1  , công bội q  .  n 3 3 10 1  1   1     Khi đó: S  u1  u2 u3 u   10   u1  1  q10   3  3     29524 . 2 3 10 1 q 1 59049 1 3 Câu 35. Cho 3 số dương có tổng là 65 lập thành một cấp số nhân tăng. Nếu bớt một đơn vị ở số hạng thứ nhất và 19 đơn vị ở số hạng thứ ba ta được một cấp số cộng. Tìm 3 số đó? Trả lời: 5;15; 45 Lời giải Gọi u1 ; u2 ; u3 theo thứ tự là ba số cần tìm lập thành một cấp số nhân Vì tổng của ba số u1 ; u2 ; u3 cần tìm là 65 nên ta có pt : u1  u2  u3  65 Vì nếu bớt một đơn vị ở số hạng thứ nhất và 19 đơn vị ở số hạng thứ ba ta được một cấp số cộng nên ta có pt:  u1  1   u3  19   2u2  u1  2u2  u3  20 u1  u2  u3  65  u1  u1q  u1q 2  65 Từ (1) và (2) ta có hpt:   2 u1  2u2  u3  20  u1  2u1q  u1q  20 Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 15
  16. Blog: Nguyễn Bảo Vương: https://www.nbv.edu.vn/   65  2 u1  1  q  q 2 u (1  q  q )  65   1 2  2 u1 (1  2q  q )  20  1  q  q  65  13   1  2q  q 2 20 4  q  3  4. 1  q  q 2  13. 1  2q  q 2  9q 2  30q  9  0       q  1  3 Vì u1 ; u2 ; u3 theo thứ tự là ba số cần tìm lập thành một cấp số nhân tăng nên q  3 . 65 Khi đó u1  2  5; u2  u1q  5.3  15; u3  5.32  45 1 3  3 Vậy ba số cần tìm là 5;15; 45 . Câu 36. Với giá trị nào của tham số m thì phương trình x 3  mx 2  6 x  8  0 có ba nghiệm thực lập thành một cấp số nhân? Trả lời: m  3 Lời giải x  x  x  m Ta chứng minh nếu x1 ; x2 ; x3 là nghiệm của phương trình x 3  mx 2  6 x  8  0 thì  1 2 3  x1 x2 x3  8 Thật vậy x3  mx 2  6 x  8   x  x1  x  x2  x  x3   x3  mx 2  6 x  8  x 3   x1  x2  x3  x 2   x1 x2  x2 x3  x1 x3  x  x1 x2 x3 x  x  x  m  1 2 3  x1 x2 x3  8 Điều kiện cần: Phương trình x 3  mx 2  6 x  8  0 có ba nghiệm thực x1  x2  x3 lập thành một cấp số 2 3 nhân nên x1  x3  x2  x2  x2  8  x2  x2  2 . Vậy phương trình x 3  mx 2  6 x  8  0 phải có nghiệm bằng 2 Thay x2  2 vào phương trình x 3  mx 2  6 x  8  0 ta được m  3 . Điều kiện đủ: Thử lại với m  3 ta có:  x  4 x  3x  6 x  8  0   x  2 (thỏa yêu cầu bài toán) 3 2   x  1  Vậy m  3 thì phương trình đã cho có ba nghiệm x1 ; x2 ; x3 lập thành cấp số nhân. Trang 16 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/
ADSENSE

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

THÔNG TIN
TRỢ GIÚP
HỖ TRỢ KHÁCH HÀNG
Theo dõi chúng tôi

Chịu trách nhiệm nội dung:

Nguyễn Công Hà - Giám đốc Công ty TNHH TÀI LIỆU TRỰC TUYẾN VI NA

LIÊN HỆ

Địa chỉ: P402, 54A Nơ Trang Long, Phường 14, Q.Bình Thạnh, TP.HCM

Hotline: 093 303 0098

Email: support@tailieu.vn

Giấy phép Mạng Xã Hội số: 670/GP-BTTTT cấp ngày 30/11/2015 Copyright ©2025 TaiLieu.VN. All rights reserved.

 

Đồng bộ tài khoản
12=>0